§13. შტაინერის თეორემა თვითნებური ღერძის მიმართ ინერციის მომენტზე

სხეულები მმანძილის კვადრატზე დღერძებს შორის:

J = J c + m d 2, (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)

სად მ- სხეულის მთლიანი წონა.

მაგალითად, ღეროს ინერციის მომენტი მის ბოლოში გამავალი ღერძის მიმართ უდრის:

J = J c + m d 2 = 1 12 მ ლ 2 + მ (ლ 2) 2 = 1 3 მ ლ 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\მარჯვნივ)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

ზოგიერთი სხეულის ინერციის ღერძული მომენტები

ინერციის მომენტებიუმარტივესი ფორმის ერთგვაროვანი სხეულები ბრუნვის გარკვეულ ღერძებთან შედარებით

აღწერა	ღერძის პოზიცია ა	Ინერციის მომენტი ჯ ა
მატერიალური წერტილის მასა მ	დისტანციაზე რწერტილიდან, სტაციონარული
ღრუ თხელკედლიანი ცილინდრი ან რადიუსის რგოლი რდა მასები მ	ცილინდრის ღერძი	m r 2 (\displaystyle mr^(2))
მყარი ცილინდრიანი ან რადიუსის დისკი რდა მასები მ	ცილინდრის ღერძი	1 2 მ რ 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
ღრუ სქელკედლიანი მასის ცილინდრი მგარე რადიუსით რ 2 და შიდა რადიუსი რ 1	ცილინდრის ღერძი	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
მყარი ცილინდრის სიგრძე ლ, რადიუსი რდა მასები მ		1 4 მ ⋅ r 2 + 1 12 მ ⋅ l 2 (\ჩვენების სტილი (1 \4-ზე მეტი)მ\cdot r^(2)+(1 \12)მ\cdot l^(2))
ღრუ თხელკედლიანი ცილინდრის (რგოლის) სიგრძე ლ, რადიუსი რდა მასები მ	ღერძი ცილინდრის პერპენდიკულარულია და გადის მის მასის ცენტრში	1 2 მ ⋅ r 2 + 1 12 მ ⋅ l 2 (\ჩვენების სტილი (1 \2-ზე მეტი)მ\cdot r^(2)+(1 \12)მ\cdot l^(2))
სწორი თხელი სიგრძის ღერო ლდა მასები მ	ღერძი ღეროზე პერპენდიკულარულია და გადის მის მასის ცენტრში	1 12 მ ლ 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
სწორი თხელი სიგრძის ღერო ლდა მასები მ	ღერძი ღეროზე პერპენდიკულარულია და გადის მის ბოლოზე	1 3 მ ლ 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
თხელკედლიანი რადიუსის სფერო რდა მასები მ	ღერძი გადის სფეროს ცენტრში	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
რადიუსის ბურთი რდა მასები მ	ღერძი გადის ბურთის ცენტრში	2 5 მ რ 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
რადიუსის კონუსი რდა მასები მ	კონუსის ღერძი	3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
ტოლფერდა სამკუთხედი სიმაღლით თ, საფუძველი ადა მასა მ	ღერძი სამკუთხედის სიბრტყის პერპენდიკულარულია და გადის წვეროზე	1 24 მ (a 2 + 12 სთ 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
რეგულარული სამკუთხედი გვერდით ადა მასა მ	ღერძი პერპენდიკულარულია სამკუთხედის სიბრტყის მიმართ და გადის მასის ცენტრში	1 12 მ 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
მოედანი გვერდით ადა მასა მ	ღერძი კვადრატის სიბრტყის პერპენდიკულარულია და გადის მასის ცენტრში	1 6 მ 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
მართკუთხედი გვერდებით ადა ბდა მასა მ	ღერძი მართკუთხედის სიბრტყის პერპენდიკულარულია და გადის მასის ცენტრში	1 12 მ (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
რადიუსის რეგულარული n-გონი რდა მასა მ	ღერძი სიბრტყის პერპენდიკულარულია და გადის მასის ცენტრში	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\ მარცხნივ)
ტორუსი (ღრელი) სახელმძღვანელო წრის რადიუსით რ, გამომმუშავებელი წრის რადიუსი რდა მასა მ	ღერძი პერპენდიკულარულია ტორუსის სახელმძღვანელო წრის სიბრტყის მიმართ და გადის მასის ცენტრში	I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\მარჯვნივ))

ფორმულების გამოყვანა

თხელკედლიანი ცილინდრი (რგოლი, რგოლი)

ფორმულის წარმოშობა

სხეულის ინერციის მომენტი უდრის მისი შემადგენელი ნაწილების ინერციის მომენტების ჯამს. მოდით გავყოთ თხელკედლიანი ცილინდრი მასის მქონე ელემენტებად დმდა ინერციის მომენტები დჯ ი. მერე

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

ვინაიდან თხელკედლიანი ცილინდრის ყველა ელემენტი ბრუნვის ღერძიდან ერთსა და იმავე მანძილზეა, ფორმულა (1) გარდაიქმნება ფორმაში

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)

სქელკედლიანი ცილინდრი (რგოლი, რგოლი)

ფორმულის წარმოშობა

მოდით იყოს ერთგვაროვანი რგოლი გარე რადიუსით რ, შიდა რადიუსი რ 1, სქელი თდა სიმკვრივე ρ. დავჭრათ სქელ თხელ რგოლებად Dr. წვრილი რადიუსის რგოლის ინერციის მასა და მომენტი რიქნება

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r. (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

მოდით ვიპოვოთ სქელი რგოლის ინერციის მომენტი, როგორც ინტეგრალი

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2 )-R_(1)^(2)\მარჯვნივ)\მარცხნივ(R^(2)+R_(1)^(2)\მარჯვნივ).)

ვინაიდან ბეჭდის მოცულობა და მასა თანაბარია

V = π (R 2 − R 1 2) სთ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \მარცხნივ(R^(2)-R_(1)^(2)\მარჯვნივ)h,)

ვიღებთ საბოლოო ფორმულას ბეჭდის ინერციის მომენტისთვის

J = 1 2 მ (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\მარჯვნივ).)

ერთგვაროვანი დისკი (მყარი ცილინდრი)

ფორმულის წარმოშობა

ცილინდრის (დისკის) განხილვა, როგორც რგოლი ნულოვანი შიდა რადიუსით ( რ 1 = 0), ვიღებთ ცილინდრის (დისკის) ინერციის მომენტის ფორმულას:

J = 1 2 მ R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

მყარი კონუსი

ფორმულის წარმოშობა

კონუსი გავტეხოთ სისქის თხელ დისკებად დჰ, კონუსის ღერძის პერპენდიკულარული. ასეთი დისკის რადიუსი ტოლია

r = Rh H, (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

სად რ- კონუსის ფუძის რადიუსი, ჰ- კონუსის სიმაღლე, თ– მანძილი კონუსის ზემოდან დისკამდე. ასეთი დისკის ინერციის მასა და მომენტი იქნება

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\მარჯვნივ)^(4)dh;)

ინტეგრირება, ჩვენ ვიღებთ

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 სთ 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(გასწორებული)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \მარჯვნივ)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\მარჯვნივ)^(4)\მარცხნივ.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(გასწორებული)))

მყარი ერთგვაროვანი ბურთი

ფორმულის წარმოშობა

მოდით, ბურთი დავყოთ სისქის თხელ დისკებად დჰ, ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარული. ასეთი დისკის რადიუსი მდებარეობს სიმაღლეზე თსფეროს ცენტრიდან ვპოულობთ მას ფორმულის გამოყენებით

r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

ასეთი დისკის ინერციის მასა და მომენტი იქნება

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\მარჯვნივ)dh.)

ჩვენ ვპოულობთ ბურთის ინერციის მომენტს ინტეგრაციის გზით:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 სთ 2 + სთ 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 სთ 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\მარჯვნივ)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\მარჯვნივ) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \მარჯვნივ) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(გასწორებული)))

თხელკედლიანი სფერო

ფორმულის წარმოშობა

ამის გამოსათვლელად ვიყენებთ რადიუსის ერთგვაროვანი ბურთის ინერციის მომენტის ფორმულას რ :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

მოდით გამოვთვალოთ რამდენად შეიცვლება ბურთის ინერციის მომენტი, თუ მუდმივი სიმკვრივის ρ მისი რადიუსი უსასრულოდ მცირე რაოდენობით გაიზრდება. dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R2. (\displaystyle (\begin(გასწორებული)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\right)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(გასწორებული)))

თხელი ღერო (ღერძი გადის ცენტრში)

ფორმულის წარმოშობა

ღერო დავჭრათ სიგრძის პატარა ფრაგმენტებად Dr. ასეთი ფრაგმენტის ინერციის მასა და მომენტი ტოლია

d m = m d r l; d J = r 2 d m = m r 2 d r l. (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

ინტეგრირება, ჩვენ ვიღებთ

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 ლ / 2 = 2 მ ლ ლ 3 24 = 1 12 მ ლ 2. (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\მარცხნივ.(\frac (r^(3))(3))\მარჯვნივ|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)

თხელი ღერო (ღერძი გადის ბოლოში)

ფორმულის წარმოშობა

როდესაც ბრუნვის ღერძი მოძრაობს ღეროს შუადან მის ბოლომდე, ღერძის სიმძიმის ცენტრი მოძრაობს ღერძის მიმართ მანძილით. ლ ⁄ 2. შტაინერის თეორემის მიხედვით, ინერციის ახალი მომენტი ტოლი იქნება

J = J 0 + მ რ 2 = J 0 + მ (ლ 2) 2 = 1 12 მ ლ 2 + 1 4 მ ლ 2 = 1 3 მ ლ 2. (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\მარჯვნივ)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)

პლანეტების და თანამგზავრების ინერციის უგანზომილებიანი მომენტები

მათი უგანზომილებიანი ინერციის მომენტები დიდი მნიშვნელობა აქვს პლანეტების და მათი თანამგზავრების შიდა სტრუქტურის შესწავლას. რადიუსის სხეულის ინერციის უგანზომილებიანი მომენტი რდა მასები მუდრის მისი ინერციის მომენტის შეფარდებას ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში იმავე მასის მატერიალური წერტილის ინერციის მომენტთან ბრუნვის ფიქსირებულ ღერძთან, რომელიც მდებარეობს მანძილზე რ(უდრის ბატონი 2). ეს მნიშვნელობა ასახავს მასის განაწილებას სიღრმეზე. პლანეტებთან და თანამგზავრებთან მისი გაზომვის ერთ-ერთი მეთოდია მოცემული პლანეტის ან თანამგზავრის მახლობლად მფრინავი AMS-ის მიერ გადაცემული რადიოსიგნალის დოპლერის ცვლა. თხელკედლიანი სფეროსთვის ინერციის უგანზომილებიანი მომენტი უდრის 2/3 (~0,67), ერთგვაროვანი ბურთისთვის - 0,4 და ზოგადად, რაც უფრო ნაკლებია, მით მეტია სხეულის მასა კონცენტრირებული მის ცენტრში. მაგალითად, მთვარეს აქვს ინერციის უგანზომილებიანი მომენტი 0,4-თან ახლოს (უდრის 0,391-ს), ამიტომ ვარაუდობენ, რომ იგი შედარებით ერთგვაროვანია, მისი სიმკვრივე ოდნავ იცვლება სიღრმესთან ერთად. დედამიწის ინერციის უგანზომილებიანი მომენტი ერთგვაროვანი ბურთის მომენტზე ნაკლებია (ტოლია 0,335), რაც არგუმენტია მკვრივი ბირთვის არსებობის სასარგებლოდ.

ინერციის ცენტრიდანული მომენტი

სხეულის ინერციის ცენტრიდანული მომენტები მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ღერძებთან მიმართებაში არის შემდეგი სიდიდეები:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _(V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)

სად x , წდა ზ- პატარა სხეულის ელემენტის კოორდინატები მოცულობით dV, სიმკვრივე ρ და მასა დმ .

OX ღერძი ეწოდება სხეულის ინერციის მთავარი ღერძი, თუ ინერციის ცენტრიდანული მომენტები J xyდა J xzერთდროულად ნულის ტოლია. ინერციის სამი ძირითადი ღერძი შეიძლება გაივლოს სხეულის თითოეულ წერტილში. ეს ღერძები ერთმანეთის მიმართ პერპენდიკულარულია. სხეულის ინერციის მომენტებიინერციის სამ ძირითად ღერძთან მიმართებაში, რომელიც გამოსახულია თვითნებურ წერტილში ოსხეულებს უწოდებენ ინერციის ძირითადი მომენტებიამ სხეულის.

სხეულის მასის ცენტრში გამავალი ინერციის ძირითად ღერძებს უწოდებენ სხეულის ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძი, და ინერციის მომენტები ამ ღერძების მიმართ არის მისი ინერციის მთავარი ცენტრალური მომენტები. ერთგვაროვანი სხეულის სიმეტრიის ღერძი ყოველთვის არის მისი ინერციის ერთ-ერთი მთავარი ცენტრალური ღერძი.

ინერციის გეომეტრიული მომენტები

მოცულობის ინერციის გეომეტრიული მომენტი

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

სადაც, როგორც ადრე რ- ელემენტისგან დაშორება dVღერძამდე ა .

ფართობის ინერციის გეომეტრიული მომენტიღერძთან შედარებით - სხეულის გეომეტრიული მახასიათებელი, გამოხატული ფორმულით:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

სადაც ინტეგრაცია ხორციელდება ზედაპირზე ს, ა dS- ამ ზედაპირის ელემენტი.

განზომილება JSa- სიგრძე მეოთხე ხარისხამდე ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)))), შესაბამისად, SI საზომი ერთეულია 4. სამშენებლო გამოთვლებში, ლიტერატურაში და ნაგლინი ლითონის ასორტიმენტებში, ხშირად მითითებულია სმ 4-ში.

მონაკვეთის წინააღმდეგობის მომენტი გამოიხატება არეალის ინერციის გეომეტრიული მომენტით:

W = J S a r m a x. (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

Აქ rmax- მაქსიმალური მანძილი ზედაპირიდან ღერძამდე.

ზოგიერთი ფიგურის ფართობის ინერციის გეომეტრიული მომენტები
მართკუთხედის სიმაღლე h (\displaystyle h)და სიგანე b (\displaystyle b):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
მართკუთხა ყუთის განყოფილება სიმაღლით და სიგანით გარე კონტურების გასწვრივ H (\displaystyle H)და B (\displaystyle B)და შიდა h (\displaystyle h)და b (\displaystyle b)შესაბამისად	J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
წრის დიამეტრი d (\displaystyle d)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

ინერციის მომენტი სიბრტყესთან მიმართებაში

ხისტი სხეულის ინერციის მომენტი გარკვეულ სიბრტყესთან მიმართებაში არის სკალარული სიდიდე, რომელიც უდრის სხეულის თითოეული წერტილის მასის ნამრავლების ჯამს ამ წერტილიდან განსახილველ სიბრტყამდე მანძილის კვადრატზე.

თუ თვითნებური წერტილის მეშვეობით O (\displaystyle O)კოორდინატთა ღერძების დახატვა x , y , z (\displaystyle x,y,z), შემდეგ ინერციის მომენტები კოორდინატულ სიბრტყეებთან შედარებით x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)და z O x (\displaystyle zOx)გამოიხატება ფორმულებით:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2, (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

მყარი სხეულის შემთხვევაში შეჯამება იცვლება ინტეგრაციით.

ინერციის ცენტრალური მომენტი

ინერციის ცენტრალური მომენტი (ინერციის მომენტი O წერტილის შესახებ, ინერციის მომენტი პოლუსზე, ინერციის პოლარული მომენტი) J O (\displaystyle J_(O))არის გამონათქვამით განსაზღვრული რაოდენობა:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

ინერციის ცენტრალური მომენტი შეიძლება გამოიხატოს როგორც ინერციის ძირითადი ღერძული მომენტებით, ასევე სიბრტყეების მიმართ ინერციის მომენტებით:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \მარჯვნივ)) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

ინერციის ტენსორი და ინერციის ელიფსოიდი

სხეულის ინერციის მომენტი თვითნებურ ღერძთან მიმართებაში, რომელიც გადის მასის ცენტრში და აქვს ერთეული ვექტორით განსაზღვრული მიმართულება. s → = ‖ s x, s y, s z ‖ T, | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\მარჯვნივ\ვერტ =1), შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კვადრატული (ბილინარული) ფორმის სახით:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)

სად არის ინერციის ტენსორი. ინერციის ტენსორის მატრიცა არის სიმეტრიული და აქვს ზომები 3 × 3 (\ჩვენების სტილი 3\ჯერ 3)და შედგება ცენტრიდანული მომენტების კომპონენტებისგან:

J ^ = ‖ J x x − J x − J x z − J y x J y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(მასივი )(cccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(მაივი))\right\Vert ,) J x y = J y x, J x z = J z x, J z y = J y z, (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\quad)J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m, J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m, J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m. (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _((მ)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

შესაბამისი კოორდინატთა სისტემის არჩევით, ინერციის ტენსორის მატრიცა შეიძლება შემცირდეს დიაგონალურ ფორმამდე. ამისათვის თქვენ უნდა გადაჭრათ ტენსორული მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობის პრობლემა J ^ (\displaystyle (\ქუდი (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=(\hat (Q))^(T)\cdot (\hat (J))\ cdot (\ქუდი (Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\ დასაწყისი(მასივი)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\ბოლო(მასივი))\მარჯვნივ\Vert ,)

სად Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- ინერციის ტენზორის საკუთარ საფუძველზე გადასვლის ორთოგონალური მატრიცა. სათანადო საფუძველზე, საკოორდინატო ღერძები მიმართულია ინერციის ტენზორის ძირითადი ღერძების გასწვრივ და ასევე ემთხვევა ინერციის ტენსორის ელიფსოიდის მთავარ ნახევრად ღერძებს. რაოდენობები J X, J Y, J Z (\displaystyle J_(X), J_(Y), J_(Z))- ინერციის ძირითადი მომენტები. გამოხატვას (1) საკუთარ კოორდინატულ სისტემაში აქვს ფორმა:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , (\displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

საიდანაც ვიღებთ ელიფსოიდის განტოლებას საკუთარ კოორდინატებში. განტოლების ორივე მხარის გაყოფა მე (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s)) ))\მარჯვნივ)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\მარჯვნივ)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Z)=1)

და ჩანაცვლების გაკეთება:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))))

ვიღებთ ელიფსოიდური განტოლების კანონიკურ ფორმას კოორდინატებში ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)

მანძილი ელიფსოიდის ცენტრიდან გარკვეულ წერტილამდე დაკავშირებულია სხეულის ინერციის მომენტის მნიშვნელობასთან ელიფსოიდის ცენტრსა და ამ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის გასწვრივ.

დაე, იყოს მყარი სხეული. ავირჩიოთ სწორი ხაზი OO (ნახ. 6.1), რომელსაც ღერძს დავარქმევთ (სწორი OO შეიძლება იყოს სხეულის გარეთ). მოდით, სხეული დავყოთ ელემენტარულ მონაკვეთებად (მატერიალურ წერტილებად) მასებით
მდებარეობს ღერძიდან მოშორებით
შესაბამისად.

მატერიალური წერტილის ინერციის მომენტი ღერძთან შედარებით (OO) არის მატერიალური წერტილის მასის პროდუქტი ამ ღერძამდე მისი მანძილის კვადრატით:

. (6.1)

სხეულის ინერციის მომენტი (MI) ღერძთან მიმართებაში (OO) არის სხეულის ელემენტარული მონაკვეთების მასების ნამრავლების ჯამი ღერძამდე მათი მანძილის კვადრატით:

. (6.2)

როგორც ხედავთ, სხეულის ინერციის მომენტი არის დანამატი სიდიდე - მთელი სხეულის ინერციის მომენტი გარკვეულ ღერძთან მიმართებაში უდრის მისი ცალკეული ნაწილების ინერციის მომენტების ჯამს იმავე ღერძთან მიმართებაში.

Ამ შემთხვევაში

ინერციის მომენტი იზომება კგმ 2-ში. იმიტომ რომ

, (6.3)

სადაც  - ნივთიერების სიმკვრივე;
- მოცულობა მე- მერე განყოფილება

ან უსასრულოდ მცირე ელემენტებზე გადასვლა,

. (6.4)

ფორმულა (6.4) მოსახერხებელია გამოსაყენებლად რეგულარული ფორმის ერთგვაროვანი სხეულების MI-ის გამოსათვლელად სხეულის მასის ცენტრში გამავალი სიმეტრიის ღერძთან შედარებით. მაგალითად, ცილინდრის MI ღერძის მიმართ, რომელიც გადის გენერატრიქსის პარალელურად მასის ცენტრში, ეს ფორმულა იძლევა

სად თ- წონა; რ- ცილინდრის რადიუსი.

შტაინერის თეორემა დიდ დახმარებას უწევს სხეულების MI-ის გამოთვლას გარკვეულ ღერძებთან მიმართებაში: სხეულების MI მენებისმიერ ღერძთან შედარებით უდრის ამ სხეულის MI-ის ჯამს მე გსხეულის მასის ცენტრში გამავალი ღერძის მიმართ და მოცემულის პარალელურად და სხეულის მასის ნამრავლი მანძილის კვადრატზე დმითითებულ ღერძებს შორის:

. (6.5)

ძალის მომენტი ღერძის გარშემო

დაე, ძალა იმოქმედოს სხეულზე ფ. სიმარტივისთვის დავუშვათ, რომ ძალა ფდევს სიბრტყეში პერპენდიკულარულ OO სწორი ხაზის მიმართ (ნახ. 6.2, ა), რომელსაც დავარქმევთ ღერძს (მაგალითად, ეს არის სხეულის ბრუნვის ღერძი). ნახ. 6.2, ა ა- ძალის გამოყენების წერტილი ფ,
- ღერძის გადაკვეთის წერტილი სიბრტყესთან, რომელშიც დევს ძალა; რ- რადიუსის ვექტორი, რომელიც განსაზღვრავს წერტილის პოზიციას აპუნქტთან შედარებით შესახებ"; ო"ბ = ბ - მხრის ძალა. ძალის მკლავი ღერძთან შედარებით არის უმცირესი მანძილი ღერძიდან სწორ ხაზამდე, რომელზეც დევს ძალის ვექტორი. ფ(წერტილიდან გამოყვანილი პერპენდიკულურის სიგრძე ამ ხაზამდე).

ღერძის მიმართ ძალის მომენტი არის ვექტორული სიდიდე, რომელიც განისაზღვრება ტოლობით

. (6.6)

ამ ვექტორის მოდული არის . ამიტომ ზოგჯერ ამბობენ, რომ ღერძის გარშემო ძალის მომენტი ძალისა და მისი მკლავის პროდუქტია.

თუ ძალა ფმიმართულია თვითნებურად, მაშინ ის შეიძლება დაიშალოს ორ კომპონენტად; და (ნახ.6.2, ბ), ე.ი.
+, სად - კომპონენტი მიმართულია OO ღერძის პარალელურად და დევს ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში. ამ შემთხვევაში ძალის მომენტში ფვექტორის გაგება OO ღერძთან შედარებით

. (6.7)

(6.6) და (6.7) გამონათქვამების შესაბამისად ვექტორი მმიმართულია ღერძის გასწვრივ (იხ. სურ. 6.2, ა,ბ).

სხეულის იმპულსი ბრუნვის ღერძის მიმართ

პ მიეცით სხეულს კუთხური სიჩქარით ბრუნვა გარკვეული ღერძის გარშემო OO
. მოდით გონებრივად დავყოთ ეს სხეული ელემენტარულ ნაწილებად მასებით
, რომლებიც განლაგებულია ღერძიდან, შესაბამისად, დისტანციებზე
და ბრუნავს წრეებში, რომელსაც აქვს წრფივი სიჩქარე
ცნობილია, რომ ღირებულება თანაბარია
- არის იმპულსი მე- ნაკვეთი. იმპულსის მომენტი მე- მონაკვეთს (მატერიალურ წერტილს) ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში ეწოდება ვექტორი (უფრო ზუსტად, ფსევდოვექტორი)

, (6.8)

სად რ მე- რადიუსის ვექტორი, რომელიც განსაზღვრავს პოზიციას მე- ფართობი ღერძის მიმართ.

მთელი სხეულის კუთხურ იმპულსს ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში ვექტორი ეწოდება

(6.9)

რომლის მოდული
.

(6.8) და (6.9) გამონათქვამების შესაბამისად, ვექტორები
და მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ (სურ. 6.3). ადვილია იმის ჩვენება, რომ სხეულის კუთხური იმპულსი ლბრუნვის ღერძთან და ინერციის მომენტთან შედარებით მეამ სხეულის ერთსა და იმავე ღერძთან შედარებით დაკავშირებულია მიმართებით

. (6.10)

სხეულის (სისტემის) ინერციის მომენტი მოცემულ ღერძთან მიმართებით Oz (ან ინერციის ღერძული მომენტი) არის სკალარული სიდიდე, რომელიც განსხვავდება სხეულის (სისტემის) ყველა წერტილის მასების ნამრავლების ჯამისგან. მათი მანძილის კვადრატები ამ ღერძიდან:

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ სხეულის (ან სისტემის) ინერციის მომენტი რომელიმე ღერძის მიმართ არის დადებითი სიდიდე და არ უდრის ნულს.

მომავალში ნაჩვენები იქნება, რომ ინერციის ღერძული მომენტი იგივე როლს ასრულებს სხეულის ბრუნვის დროს, როგორც მასა მთარგმნელობითი მოძრაობისას, ანუ, რომ ინერციის ღერძული მომენტი არის სხეულის ინერციის საზომი ბრუნვის დროს. მოძრაობა.

ფორმულის მიხედვით (2) სხეულის ინერციის მომენტი უდრის მისი ყველა ნაწილის ინერციის მომენტების ჯამს იმავე ღერძთან მიმართებაში. ერთი მატერიალური წერტილისთვის, რომელიც მდებარეობს ღერძიდან h მანძილზე, . ინერციის მომენტის საზომი ერთეული SI-ში იქნება 1 კგ (MKGSS სისტემაში -).

ინერციის ღერძული მომენტების გამოსათვლელად, ღერძებიდან წერტილების მანძილი შეიძლება გამოისახოს ამ წერტილების კოორდინატებით (მაგალითად, Ox ღერძიდან მანძილის კვადრატი იქნება და ა.შ.).

შემდეგ ღერძების შესახებ ინერციის მომენტები განისაზღვრება ფორმულებით:

ხშირად გამოთვლების დროს გამოიყენება გირაციის რადიუსის კონცეფცია. სხეულის ინერციის რადიუსი ღერძის მიმართ არის წრფივი სიდიდე, რომელიც განისაზღვრება ტოლობით

სადაც M არის სხეულის მასა. განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ინერციის რადიუსი გეომეტრიულად უდრის დაშორებას იმ წერტილის ღერძიდან, სადაც მთელი სხეულის მასა უნდა იყოს კონცენტრირებული ისე, რომ ამ ერთი წერტილის ინერციის მომენტი ტოლი იყოს ინერციის მომენტის. მთელი სხეულის.

ინერციის რადიუსის ცოდნა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა (4) სხეულის ინერციის მომენტის მოსაძებნად და პირიქით.

ფორმულები (2) და (3) მოქმედებს როგორც ხისტი სხეულისთვის, ასევე მატერიალური წერტილების ნებისმიერი სისტემისთვის. მყარი სხეულის შემთხვევაში, მისი ელემენტარულ ნაწილებად დაყოფისას, აღმოვაჩენთ, რომ ზღვარში ტოლობის ჯამი (2) გადაიქცევა ინტეგრალში. შედეგად, იმის გათვალისწინებით, რომ სად არის სიმკვრივე და V არის მოცულობა, მივიღებთ

აქ ინტეგრალი ვრცელდება სხეულის მთელ V მოცულობაზე, ხოლო სიმკვრივე და მანძილი h დამოკიდებულია სხეულის წერტილების კოორდინატებზე. ანალოგიურად, მყარი სხეულების ფორმულები (3) ფორმას იღებს

ფორმულები (5) და (5) მოსახერხებელია გამოსაყენებლად რეგულარული ფორმის ერთგვაროვანი სხეულების ინერციის მომენტების გაანგარიშებისას. ამ შემთხვევაში, სიმკვრივე იქნება მუდმივი და დაეცემა ინტეგრალური ნიშნის მიღმა.

ვიპოვოთ ზოგიერთი ერთგვაროვანი სხეულის ინერციის მომენტები.

1. l სიგრძისა და M მასის თხელი ერთგვაროვანი ღერო. გამოვთვალოთ მისი ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ პერპენდიკულარულ ღერძთან და გადის მის ბოლო A-ზე (სურ. 275). მოდით მივმართოთ კოორდინატთა ღერძი AB-ის გასწვრივ, შემდეგ d სიგრძის ნებისმიერი ელემენტარული სეგმენტისთვის მნიშვნელობა არის , ხოლო მასა არის , სადაც არის ღეროს სიგრძის ერთეულის მასა. შედეგად, ფორმულა (5) იძლევა

ჩანაცვლება აქ მისი ღირებულებით, ჩვენ საბოლოოდ ვიპოვით

2. R რადიუსის და M მასის თხელი მრგვალი ერთგვაროვანი რგოლი. ვიპოვოთ მისი ინერციის მომენტი რგოლის სიბრტყის პერპენდიკულარულ ღერძთან მიმართებაში და მის ცენტრში C (სურ. 276).

ვინაიდან ბეჭდის ყველა წერტილი მდებარეობს ღერძიდან დაშორებით, ფორმულა (2) იძლევა

ამიტომ, ბეჭდისთვის

ცხადია, იგივე შედეგი მიიღება M და R რადიუსის თხელი ცილინდრული გარსის ინერციის მომენტისთვის მის ღერძთან მიმართებაში.

3. R რადიუსის და M მასის მრგვალი ერთგვაროვანი ფირფიტა ან ცილინდრი. გამოვთვალოთ მრგვალი ფირფიტის ინერციის მომენტი ფირფიტაზე პერპენდიკულარული და მის ცენტრში გამავალი ღერძის მიმართ (იხ. სურ. 276). ამისათვის ვირჩევთ ელემენტარულ რგოლს რადიუსით და სიგანით (სურ. 277, ა). ამ რგოლის ფართობი არის , ხოლო მასა არის ის, სადაც არის მასა ფირფიტის ფართობის ერთეულზე. შემდეგ, ფორმულის მიხედვით (7) შერჩეული ელემენტარული რგოლისთვის იქნება და მთელი ფირფიტისთვის

როგორც ზემოთ აღინიშნა, მარტივი სიბრტყის ფიგურები მოიცავს სამ ფიგურას: მართკუთხედს, სამკუთხედს და წრეს. ეს ფიგურები მარტივად ითვლება, რადგან წინასწარ არის ცნობილი ამ ფიგურების სიმძიმის ცენტრის პოზიცია. ყველა სხვა ფიგურა შეიძლება შედგებოდეს ამ მარტივი ფიგურებისგან და ჩაითვალოს რთულად. მოდით გამოვთვალოთ მარტივი ფიგურების ინერციის ღერძული მომენტები მათ ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში.

1. მართკუთხედი.განვიხილოთ მართკუთხა პროფილის განივი კვეთა ზომებით (სურ. 4.6). მოდით ავირჩიოთ განყოფილების ელემენტი ორი უსასრულოდ ახლო მონაკვეთით მანძილზე ცენტრალური ღერძიდან
.

მოდით გამოვთვალოთ მართკუთხა განივი კვეთის ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ:

. (4.10)

მართკუთხა მონაკვეთის ინერციის მომენტი ღერძის გარშემო
ანალოგიურად ვიპოვით. დასკვნა აქ არ არის მოცემული.

. (4.11)

და
უდრის ნულს, ვინაიდან ღერძები
და
არის სიმეტრიის ღერძი და, შესაბამისად, ძირითადი ღერძი.

2. Ტოლფერდა სამკუთხედი.განვიხილოთ სამკუთხა პროფილის მონაკვეთი ზომებით
(სურ.4.7). მოდით ავირჩიოთ განყოფილების ელემენტი ორი უსასრულოდ ახლო მონაკვეთით მანძილზე ცენტრალური ღერძიდან
. სამკუთხედის სიმძიმის ცენტრი დაშორებულია
ბაზიდან. სამკუთხედი ითვლება ტოლფერდა, ამიტომ ღერძი
განყოფილება არის სიმეტრიის ღერძი.

გამოვთვალოთ მონაკვეთის ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ
:

. (4.12)

ზომა სამკუთხედების მსგავსებიდან ვადგენთ:

; სადაც
.

გამონათქვამების ჩანაცვლება (4.12)-ში და ინტეგრირებისას ვიღებთ:

. (4.13)

ინერციის მომენტი ტოლფერდა სამკუთხედისთვის ღერძის გარშემო
გვხვდება ანალოგიურად და უდრის:

(4.14)

ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ღერძების მიმართ
და
უდრის ნულს, ვინაიდან ღერძი
არის მონაკვეთის სიმეტრიის ღერძი.

3. წრე. განვიხილოთ დიამეტრის მქონე წრიული პროფილის ჯვარი (სურ.4.8). მოდით გამოვყოთ მონაკვეთის ელემენტი ორი უსასრულოდ მჭიდრო კონცენტრული წრეებით, რომლებიც მდებარეობს მანძილზე წრის სიმძიმის ცენტრიდან .

გამოვთვალოთ წრის ინერციის პოლარული მომენტი გამოსახულებით (4.5):

. (4.15)

უცვლელობის პირობის გამოყენება ინერციის ღერძული მომენტების ჯამისთვის ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული ღერძის შესახებ (4.6) და იმის გათვალისწინებით, რომ წრეზე, სიმეტრიის გამო
, ჩვენ განვსაზღვრავთ ინერციის ღერძული მომენტების მნიშვნელობას:

. (4.16)

. (4.17)

ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ღერძების მიმართ და უდრის ნულს, ვინაიდან ღერძები
და
არის მონაკვეთის სიმეტრიის ღერძი.

4.4. დამოკიდებულებები ინერციის მომენტებს შორის პარალელურ ღერძებთან მიმართებაში

რთული ფიგურებისთვის ინერციის მომენტების გაანგარიშებისას უნდა გახსოვდეთ ერთი წესი: შეიძლება დაემატოს ინერციის მომენტების მნიშვნელობები. თუ ისინი გამოითვლება იმავე ღერძის მიმართ. რთული ფიგურებისთვის, ყველაზე ხშირად ცალკეული მარტივი ფიგურების სიმძიმის ცენტრები და მთელი ფიგურა არ ემთხვევა ერთმანეთს. შესაბამისად, ცალკეული მარტივი ფიგურების ცენტრალური ღერძი და მთლიანი ფიგურა არ ემთხვევა. ამასთან დაკავშირებით, არსებობს ინერციის მომენტების ერთ ღერძზე მიყვანის ტექნიკა, მაგალითად, მთელი ფიგურის ცენტრალური ღერძი. ეს შეიძლება გამოწვეული იყოს ინერციის ღერძების პარალელური თარგმნით და დამატებითი გამოთვლებით.

განვიხილოთ ინერციის მომენტების განსაზღვრა ნახ.4.9-ზე ნაჩვენები ინერციის პარალელურ ღერძებთან მიმართებაში.

მოდით, 4.9-ზე ნაჩვენები ინერციის ღერძული და ცენტრიდანული მომენტები. ფიგურები თვითნებურად არჩეულ ცულებთან შედარებით
და
წერტილში წარმოშობით ცნობილია. საჭიროა გამოთვალოთ ფიგურის ინერციის ღერძული და ცენტრიდანული მომენტები თვითნებურ პარალელურ ღერძებთან მიმართებაში.
და
წერტილში წარმოშობით . ღერძები
და
ხორციელდება დისტანციებზე და შესაბამისად ცულებიდან
და
.

გამოვიყენოთ გამონათქვამები ინერციის ღერძული მომენტებისთვის (4.4) და ინერციის ცენტრიდანული მომენტისთვის (4.7). მოდით ჩავანაცვლოთ ეს გამონათქვამები მიმდინარე კოორდინატების ნაცვლად
და
ელემენტი უსასრულო კოორდინატთა ფართობით
და
ახალ კოორდინატთა სისტემაში. ჩვენ ვიღებთ:

მიღებული გამონათქვამების გაანალიზებით, მივდივართ დასკვნამდე, რომ პარალელურ ღერძებთან მიმართებაში ინერციის მომენტების გამოთვლისას, ინერციის თავდაპირველ ღერძებთან შედარებით გამოთვლილ ინერციის მომენტებს უნდა დაემატოს დანამატები დამატებითი ტერმინების სახით. ვიდრე თავდაპირველ ღერძებთან შედარებით ინერციის მომენტების მნიშვნელობები. ამიტომ, ეს დამატებითი პირობები არავითარ შემთხვევაში არ უნდა იყოს უგულებელყოფილი.

განხილული შემთხვევა არის ღერძების პარალელური გადაცემის ყველაზე ზოგადი შემთხვევა, როდესაც ინერციის თვითნებური ღერძები საწყისად იქნა აღებული. უმეტეს გამოთვლებში არის ინერციის მომენტების განსაზღვრის განსაკუთრებული შემთხვევები.

პირველი განსაკუთრებული შემთხვევა. საწყისი ცულები არის ფიგურის ინერციის ცენტრალური ღერძი. შემდეგ, ფართობის სტატიკური მომენტისთვის ძირითადი თვისების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვრიცხოთ განტოლებებიდან (4.18)–(4.20) განტოლებების ტერმინები, რომლებიც მოიცავს ფიგურის ფართობის სტატიკურ მომენტს. შედეგად ვიღებთ:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

აქ არის ცულები
და
- ინერციის ცენტრალური ღერძი.

მეორე განსაკუთრებული შემთხვევა. საცნობარო ღერძი არის ინერციის მთავარი ღერძი. შემდეგ, იმის გათვალისწინებით, რომ ინერციის მთავარ ღერძებთან მიმართებაში, ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია, მივიღებთ:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

აქ არის ცულები
და
 ინერციის ძირითადი ღერძი.

გამოვიყენოთ მიღებული გამონათქვამები და განვიხილოთ სიბრტყე ფიგურებისთვის ინერციის მომენტების გამოთვლის რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 4.2.განსაზღვრეთ ნახატზე ნაჩვენები ფიგურის ინერციის ღერძული მომენტები. 4.10, ცენტრალურ ღერძებთან შედარებით და .

წინა მაგალითში 4.1, ნახ. 4.10-ზე ნაჩვენები ფიგურისთვის, განისაზღვრა სიმძიმის ცენტრის პოზიცია C. სიმძიმის ცენტრის კოორდინატი გამოსახული იყო ღერძიდან. და შეადგინა
. გამოვთვალოთ დისტანციები და ცულებს შორის და და ცულები და . ეს მანძილი იყო შესაბამისად
და
. ორიგინალური ცულებიდან გამომდინარე და არის ცენტრალური ღერძი მარტივი ფიგურებისთვის მართკუთხედების სახით, რათა დადგინდეს ფიგურის ინერციის მომენტი ღერძთან მიმართებაში. გამოვიყენოთ დასკვნები პირველი კონკრეტული შემთხვევისთვის, კერძოდ, ფორმულა (4.21).

ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ ჩვენ ვიღებთ მარტივი ფიგურების ინერციის მომენტების დამატებით იმავე ღერძთან შედარებით, რადგან ღერძი არის საერთო ცენტრალური ღერძი მარტივი ფიგურებისთვის და მთელი ფიგურისთვის.

სმ 4.

ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ღერძების მიმართ და უდრის ნულს, რადგან ინერციის ღერძი არის მთავარი ღერძი (ფიგურის სიმეტრიის ღერძი).

მაგალითი 4.3.რა არის ზომა? ბ(სმ-ში) ნახატზე ნაჩვენები ფიგურა. 4.11, თუ ფიგურის ინერციის მომენტი ღერძთან მიმართებაში უდრის 1000 სმ 4-ს?

გამოვხატოთ ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ განყოფილების უცნობი ზომის მეშვეობით ფორმულის გამოყენებით (4.21), იმის გათვალისწინებით, რომ ღერძებს შორის მანძილი და უდრის 7 სმ:

სმ 4. (A)

(ა) გამოთქმის ამოხსნა მონაკვეთის ზომასთან მიმართებაში , ვიღებთ:

სმ.

მაგალითი 4.4. 4.12-ზე ნაჩვენები ფიგურებიდან რომელს აქვს ინერციის უფრო დიდი მომენტი ღერძთან შედარებით თუ ორივე ფიგურას აქვს იგივე ფართობი
სმ 2?

1. გამოვხატოთ ფიგურების ფართობები მათი ზომის მიხედვით და განვსაზღვროთ:

ა) მონაკვეთის დიამეტრი მრგვალი მონაკვეთისთვის:

სმ 2; სად
სმ.

ბ) კვადრატული მხარის ზომა:

; სად
სმ.

2. გამოთვალეთ ინერციის მომენტი წრიული მონაკვეთისთვის:

სმ 4.

3. გამოთვალეთ ინერციის მომენტი კვადრატული მონაკვეთისთვის:

სმ 4.

მიღებული შედეგების შედარებისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ კვადრატულ მონაკვეთს ექნება ინერციის ყველაზე მაღალი მომენტი იმავე ფართობის წრიულ მონაკვეთთან შედარებით.

მაგალითი 4.5.განსაზღვრეთ მართკუთხა მონაკვეთის ინერციის პოლარული მომენტი (სმ 4-ში) მის სიმძიმის ცენტრთან მიმართებაში, თუ მონაკვეთის სიგანე
სმ, მონაკვეთის სიმაღლე
სმ.

1. იპოვეთ მონაკვეთის ინერციის მომენტები ჰორიზონტალურთან მიმართებაში და ვერტიკალური ინერციის ცენტრალური ღერძი:

სმ 4;
სმ 4.

2. მონაკვეთის ინერციის პოლარულ მომენტს განვსაზღვრავთ, როგორც ინერციის ღერძული მომენტების ჯამს:

სმ 4.

მაგალითი 4.6.განსაზღვრეთ 4.13-ზე ნაჩვენები სამკუთხა ფიგურის ინერციის მომენტი ცენტრალურ ღერძთან მიმართებაში. , თუ ფიგურის ინერციის მომენტი ღერძთან მიმართებაში უდრის 2400 სმ 4.

სამკუთხა მონაკვეთის ინერციის მომენტი ინერციის მთავარ ღერძთან მიმართებაში ნაკლები იქნება ღერძის მიმართ ინერციის მომენტთან შედარებით თანხით
. ამიტომ, როცა
ღერძის მიმართ მონაკვეთის ინერციის სმ მომენტი ჩვენ ვპოულობთ მას შემდეგნაირად.

განმარტება

მბრუნავი სხეულის ინერციის საზომია ინერციის მომენტი(J) ღერძთან შედარებით, რომლის გარშემოც ხდება ბრუნვა.

ეს არის სკალარული (ზოგადად, ტენზორული) ფიზიკური რაოდენობა, რომელიც უდრის მატერიალური წერტილების მასების ნამრავლს () რომლებშიც მოცემული სხეული უნდა დაიყოს მანძილების კვადრატებად () მათგან ბრუნვის ღერძამდე:

სადაც r არის სივრცეში მატერიალური წერტილის პოზიციის ფუნქცია; - სხეულის სიმკვრივე; - სხეულის ელემენტის მოცულობა.

ერთგვაროვანი სხეულისთვის, გამოხატულება (2) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

ინერციის მომენტი ერთეულების საერთაშორისო სისტემაში იზომება:

J რაოდენობა შედის ძირითად კანონებში, რომლებითაც აღწერილია ხისტი სხეულის ბრუნვა.

ზოგადად, ინერციის მომენტის სიდიდე დამოკიდებულია ბრუნვის ღერძის მიმართულებაზე და რადგან მოძრაობის დროს ვექტორი ჩვეულებრივ ცვლის მიმართულებას სხეულთან მიმართებაში, ინერციის მომენტი უნდა ჩაითვალოს დროის ფუნქციად. გამონაკლისს წარმოადგენს სხეულის ინერციის მომენტი, რომელიც ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო. ამ შემთხვევაში ინერციის მომენტი მუდმივი რჩება.

შტაინერის თეორემა

შტაინერის თეორემა შესაძლებელს ხდის სხეულის ინერციის მომენტის გამოთვლას ბრუნვის თვითნებურ ღერძთან მიმართებაში, როდესაც აღნიშნული სხეულის ინერციის მომენტი ცნობილია ამ სხეულის მასის ცენტრში გამავალი ღერძის მიმართ და ეს ღერძები არის პარალელურად. მათემატიკური ფორმით, შტაინერის თეორემა წარმოდგენილია შემდეგნაირად:

სად არის სხეულის ინერციის მომენტი სხეულის მასის ცენტრში გამავალი ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში; m არის მოცემული სხეულის მასა; a არის მანძილი ღერძებს შორის. დარწმუნდით, რომ გახსოვდეთ, რომ ღერძი უნდა იყოს პარალელური. გამონათქვამიდან (4) გამომდინარეობს, რომ:

ზოგიერთი გამოთქმა სხეულის ინერციის მომენტების გამოსათვლელად

ღერძის გარშემო ბრუნვისას მატერიალურ წერტილს აქვს ინერციის მომენტი ტოლი:

სადაც m არის წერტილის მასა; r არის მანძილი წერტილიდან ბრუნვის ღერძამდე.

ერთგვაროვანი თხელი ღეროსთვის m მასისა და l სიგრძის J J ღერძის მიმართ, რომელიც გადის მის მასის ცენტრში (ღერძი ღეროზე პერპენდიკულარულია) უდრის:

თხელი რგოლი მასით, რომელიც ბრუნავს ღერძის გარშემო, რომელიც გადის მის ცენტრში, რგოლის სიბრტყის პერპენდიკულარულად, მაშინ ინერციის მომენტი გამოითვლება როგორც:

სადაც R არის ბეჭდის რადიუსი.

R რადიუსის და m მასის მრგვალ ერთგვაროვან დისკს აქვს J მის ცენტრში გამავალი ღერძის მიმართ და დისკის სიბრტყის პერპენდიკულარულად, ტოლია:

ერთგვაროვანი ბურთისთვის

სადაც m არის ბურთის მასა; R არის ბურთის რადიუსი. ბურთი ბრუნავს ღერძის გარშემო, რომელიც გადის მის ცენტრში.

თუ ბრუნვის ღერძი არის მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ღერძი, მაშინ უწყვეტი სხეულისთვის ინერციის მომენტები შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

სადაც არის სხეულის უსასრულო ელემენტის კოორდინატები.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

მაგალითი 1

ვარჯიში

ორი ბურთი, რომლებიც შეიძლება ჩაითვალოს წერტილოვან ბურთებად, ერთმანეთს უჭირავს თხელი უწონო ჯოხით. ღეროს სიგრძე ლ. რა არის ამ სისტემის ინერციის მომენტი ღერძთან შედარებით, რომელიც გადის ღეროზე პერპენდიკულარულად მასის ცენტრში. წერტილების მასები იგივეა და ტოლია m-ის.

გამოსავალი

ვიპოვოთ ერთი ბურთის () ინერციის მომენტი მისგან დაშორებული ღერძის მიმართ:

მეორე ბურთის ინერციის მომენტი ტოლი იქნება:

სისტემის ინერციის ჯამური მომენტი უდრის ჯამს:

უპასუხე

მაგალითი 2

ვარჯიში

რა არის ფიზიკური გულსაკიდის ინერციის მომენტი ღერძთან მიმართებაში, რომელიც გადის O წერტილში (ნახ. 1)? ღერძი პერპენდიკულარულია ნახატის სიბრტყის მიმართ. განვიხილოთ, რომ ფიზიკური ქანქარა შედგება l სიგრძის თხელი ღეროსგან, რომელსაც აქვს m მასა და მასის დისკი. დისკი მიმაგრებულია ღეროს ქვედა ბოლოზე და აქვს ტოლი რადიუსი

გამოსავალი

ჩვენი ქანქარის (J) ინერციის მომენტი ტოლი იქნება ღეროს () ინერციის მომენტის ჯამის ჯამი, რომელიც ბრუნავს ღერძის გარშემო, რომელიც გადის O წერტილში და დისკი () რომელიც ბრუნავს იმავე ღერძის გარშემო: