角度の合計と平行四辺形の面積、つまり性質と符号を計算します。平行四辺形の定義とその性質平行四辺形の対辺と角度の性質の証明

レッスンのテーマ

平行四辺形の対角線の性質。

レッスンの目的

新しい定義を知り、すでに研究されている定義を思い出してください。
平行四辺形の対角線の性質を定式化して証明します。
問題を解決する際に形状の特性を適用する方法を学びます。
開発 - 生徒の注意力、忍耐力、忍耐力、論理的思考、数学的スピーチを開発します。
教育 - レッスンを通じて、お互いに対する注意深い態度を養い、仲間の話を聞く能力、相互扶助、独立性を植え付けます。

レッスンの目的

生徒の問題解決能力をチェックします。

レッスンプラン

導入。
以前に学習した内容の繰り返し。
平行四辺形、その性質と記号。
タスクの例。
セルフチェック。

導入

「大きな科学的発見は大きな問題の解決策を提供しますが、どんな問題の解決にも一粒の発見が含まれます。」

平行四辺形の対辺の性質

平行四辺形は向かい合う辺が等しい。

証拠。

ABCD を与えられた平行四辺形とする。そして、その対角線が点Oで交差するようにします。
三角形の等号の最初の符号により Δ AOB = Δ COD (∠ AOB = ∠ COD、垂直方向のものとして、AO=OC、DO=OB、平行四辺形の対角線の性質により) なので、AB=CD となります。同様に、三角形 BOC と DOA が等しいことから、BC=DA となります。定理は証明されました。

平行四辺形の対角の性質

平行四辺形には反対の角があります。

証拠。

ABCD を与えられた平行四辺形とする。そして、その対角線が点Oで交差するようにします。
三角形の対辺の性質から、三辺の定理Δ ABC = Δ CDA で証明されます (証明されたことから AB=CD、BC=DA、AC が一般的)。三角形の等式から、∠ABC = ∠CDA が成り立ちます。
また、∠ ABD = ∠ CDB より、∠ DAB = ∠ BCD であることも証明されます。定理は証明されました。

平行四辺形の対角線の性質

平行四辺形の対角線が交差し、その交点が二等分されます。

証拠。

ABCD を与えられた平行四辺形とする。斜めのACを描いてみましょう。中央の O をマークし、セグメント DO の続きで、DO に等しいセグメント OB 1 を脇に置きます。
前の定理により、AB 1 CD は平行四辺形です。したがって、線ＡＢ１はＤＣと平行である。ただし、点 A を介して DC に平行に引くことができる線は 1 本だけです。したがって、線ＡＢ１は線ＡＢと一致する。
BC 1 は BC と一致することも証明されています。したがって、点 C は C 1 と一致します。平行四辺形 ABCD は、平行四辺形 AB 1 CD と一致します。したがって、平行四辺形の対角線は交差し、その交点は二等分されます。定理は証明されました。

普通の学校の教科書（たとえば、ポゴレロフ）では、次のように証明されています：対角線は平行四辺形を4つの三角形に分割します。 1つのペアを考えて調べてください - それらは等しいです：それらの底辺は反対側であり、それに隣接する対応する角度は平行線の垂直線と同じです。つまり、対角線のセグメントはペアごとに等しいということです。全て。

それだけですか？
交点が存在する場合、交点は対角線を二等分することが上記で証明されました。上記の推論は、その存在をまったく証明しません。つまり、定理の「平行四辺形の対角線が交差する」という部分は証明されていないままである。

面白いことに、この部分を証明するのは非常に難しいです。ちなみに、これはより一般的な結果から得られます。凸状の四角形では対角線は交差しますが、非凸状の四角形では対角線は交差しません。

辺に沿った三角形とそれに隣接する 2 つの角の等価性 (三角形の等価性の 2 番目の記号) などについて。

辺に沿った 2 つの三角形とそれに隣接する 2 つの角が等しいという定理について、タレスは重要な実用化を発見しました。ミレトスの港には距離計が設置されており、海上で船までの距離を測定します。それは、3 つの駆動ペグ A、B、C (AB = BC) と、CA に垂直なマークされた直線 SK で構成されていました。船が直線ＳＣ上に現れたとき、点Ｄ、点Ｂ、点Ｅが同一直線上にある点Ｄを見つけた。図から明らかなように、地上の距離 CD が船までの望ましい距離です。

質問

正方形の対角線は交点で二等分されていますか?
平行四辺形の対角線は等しいですか?
平行四辺形の対角は等しいか?
平行四辺形の定義は何ですか?
平行四辺形の特徴はいくつありますか?
ひし形は平行四辺形になるでしょうか?

使用したソースのリスト

Kuznetsov A. V.、数学教師 (5 年生から 9 年生)、キエフ
「2006 年統一国家試験。数学。学生の準備のための教育およびトレーニング資料 / Rosobrnadzor、ISOP - M .: Intellect-Center、2006
Mazur K. I. 「M. I. Scanavi が編集したコレクションの数学における主要な競争問題の解決」
L. S. アタナシアン、V. F. ブトゥーゾフ、S. B. カドムツェフ、E. G. ポズニャク、I. I. ユディナ「幾何学、7 ～ 9: 教育機関向けの教科書」

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クズネツォフ A.V.

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科目 > 数学 > 数学 8 年生

平行四辺形は、対辺が平行な四辺形です。平行四辺形の残りの性質は定理の形で証明されるため、この定義はすでに十分です。

平行四辺形の主な特性は次のとおりです。

平行四辺形は凸型の四角形です。
平行四辺形は、対になる等しい対辺を持ちます。
平行四辺形は、ペアで等しい対角を持ちます。
平行四辺形の対角線は交点で二等分されます。

平行四辺形 - 凸四角形

まず次の定理を証明しましょう 平行四辺形は凸四角形です。多角形のいずれかの辺が直線まで延長されると、多角形は凸状となり、多角形の他のすべての辺はこの直線の同じ側になります。

平行四辺形 ABCD が与えられるとします。AB は CD の反対側、BC は AD の反対側です。次に、平行四辺形の定義から、AB || が得られます。 CD、BC || 広告。

平行なセグメントには共通点がなく、交差しません。これは、CD が AB の片側にあることを意味します。線分 BC は線分 AB の点 B と線分 CD の点 C を接続し、線分 AD は他の点 AB と CD を接続するため、線分 BC と AD も線分 AB の CD と同じ側に位置します。したがって、CD、BC、AD の 3 つの辺はすべて AB の同じ側にあります。

同様に、平行四辺形の他の辺についても、他の３辺は同じ側にあることが証明される。

対辺と角が等しい

平行四辺形の性質の 1 つは次のとおりです。 平行四辺形では対辺と対角は等しい。たとえば、平行四辺形 ABCD が与えられた場合、AB = CD、AD = BC、∠A = ∠C、∠B = ∠D となります。この定理は次のように証明される。

平行四辺形は四角形です。したがって、対角線が 2 つあります。平行四辺形は凸型の四角形なので、どちらも三角形を2つに分割します。対角線ACを描いて得られる平行四辺形ABCDの中の三角形ABCとADCを考えてみましょう。

これらの三角形には、AC という共通の 1 つの辺があります。角度 BCA は角度 CAD に等しく、BC と AD が平行である場合の垂直線も同様です。角度 BAC と ACD も等しく、AB と CD が平行な場合の垂直角も等しくなります。したがって、2 つの角度とそれらの間の辺にわたって ΔABC = ΔADC となります。

これらの三角形において、辺 AB は辺 CD に対応し、辺 BC は辺 AD に対応します。したがって、AB = CD、BC = AD となります。

角度 B は角度 D に対応します。つまり、∠B = ∠D です。平行四辺形の角度 A は、2 つの角度 - ∠BAC と ∠CAD の合計です。角度 C は、∠BCA と∠ACD で構成されます。角度のペアは互いに等しいため、∠A = ∠C となります。

したがって、平行四辺形では対辺と角度が等しいことが証明されます。

対角線を半分にカット

平行四辺形は凸四角形なので対角線が2つあり、それらが交差します。平行四辺形 ABCD が与えられ、その対角線 AC と BD が点 E で交差するとします。それらによって形成される三角形 ABE と CDE を考えてみましょう。

これらの三角形の辺 AB と CD は、平行四辺形の対辺に等しいです。角度 ABE は、平行線 AB と CD を横切る角度であるため、角度 CDE に等しくなります。同様の理由で、∠BAE = ∠DCEとなります。したがって、2 つの角度とそれらの間の辺にわたって ∆ABE = ∆CDE となります。

また、角度 AEB と CED は垂直であるため、互いに等しいこともわかります。

三角形 ABE と CDE は互いに等しいため、それらに対応するすべての要素も同様です。最初の三角形の辺 AE は 2 番目の三角形の辺 CE に対応するため、AE = CE となります。同様に、BE = DEです。等しい線分の各ペアが、平行四辺形の対角線を構成します。したがって、次のことが証明されます 平行四辺形の対角線は交点で二等分されます.

平行四辺形は、対辺が平行、つまり平行線上にある四角形です (図 1)。

定理1. 平行四辺形の辺と角の性質について。平行四辺形では、対辺は等しく、対角も等しく、平行四辺形の 1 つの辺に隣接する角度の合計は 180°です。

証拠。この平行四辺形ABCDに対角線ACを引くと、2つの三角形ABCとADCが得られます（図2）。

∠ 1 = ∠ 4、∠ 2 = ∠ 3 (平行線での交差角) であるため、これらの三角形は等しく、辺 AC は共通です。 Δ ABC = Δ ADC の等式から、AB = CD、BC = AD、∠ B = ∠ D となります。一方の辺に隣接する角度、たとえば角度 A と D の合計は、1 として 180 ° に等しくなります。 -側面に平行な線が付いています。定理は証明されました。

コメント。平行四辺形の対辺が等しいということは、平行な辺で切り取られた平行な辺の線分が等しいことを意味します。

系 1. 2 つの線が平行である場合、一方の線のすべての点はもう一方の線から同じ距離にあります。

証拠。確かに、 || を考えてみましょう。 b (図3)。

線分 b の 2 点 B と C から、線 a に対する垂線 BA と CD を引きましょう。 AB 以来 || CD の場合、図形 ABCD は平行四辺形なので、AB = CD となります。

2 本の平行線の間の距離は、一方の線上の任意の点からもう一方の線までの距離です。

証明されているように、これは一方の平行線のある点からもう一方の平行線まで引いた垂線の長さに等しい。

例1平行四辺形の周囲は 122 cm、一方の辺は他方の辺より 25 cm 長いです。平行四辺形の辺を求めます。

解決。 定理 1 より、平行四辺形の対辺は等しい。平行四辺形の一方の辺を x 、もう一方の辺を y と表します。次に、条件 $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ この系を解くと、x = 43、y = 18 が得られます。したがって、平行四辺形の辺は 18、43、18、43 cm となります。

例 2

解決。 図 4 を問題の状況に対応させます。

AB を x で表し、BC を y で表します。条件により、平行四辺形の周囲長は 10 cm、つまり 2(x + y) = 10 または x + y = 5 となり、三角形 ABD の周囲長は 8 cm になります。また、AB + AD = x + y = 5 より、、BD = 8 - 5 = 3 となります。したがって、BD = 3 cmです。

例 3一方が他方より 50 度大きいことを知って、平行四辺形の角度を見つけます。

解決。 図 5 を問題の状態に対応させます。

角度 A の度数を x と表します。この場合、角度 D の度数は x + 50° となります。

角度 BAD と ADC は、平行線 AB と DC、および割線 AD を伴う内部片面です。この場合、これらの名前付き角度の合計は 180° になります。
x + x + 50° = 180°、または x = 65°。したがって、∠ A = ∠ C = 65°、a ∠ B = ∠ D = 115°です。

例 4平行四辺形の一辺は 4.5 dm と 1.2 dm です。二等分線は鋭角の頂点から描画されます。平行四辺形の長辺はどの部分に分割されますか?

解決。 図 6 を問題の状況に対応させます。

AE は、平行四辺形の鋭角の二等分線です。したがって、∠1 = ∠2 となります。

平行四辺形は、対辺が平行な四辺形です。平行四辺形の面積は、底辺(a)と高さ(h)の積に等しい。 2 つの辺と角度、および対角線を通じてその面積を求めることもできます。

平行四辺形のプロパティ

1. 反対側は同一です

まず、対角線 $AC $ を描きます。 $ABC $ と $ADC $ という 2 つの三角形が得られます。

$ABCD $ は平行四辺形であるため、次のことが当てはまります。

$AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 $横たわっているように。

$AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 $横たわっているように。

したがって、(第 2 の根拠: $AC$ が一般的です)。

したがって、 $\三角ABC = \三角ADC$、次に $AB = CD $ と $AD = BC $ です。

2. 反対の角は同じです

証拠によると プロパティ 1私達はことを知っています $\角度 1 = \角度 2, \角度 3 = \角度 4 $。したがって、対角の合計は次のようになります。 $\角度 1 + \角度 3 = \角度 2 + \角度 4 $。とすれば $\三角ABC = \三角ADC$$\angle A = \angle C $ 、 $\angle B = \angle D $ が得られます。

3. 対角線は交点で二等分されます

による プロパティ 1$AB = CD $ というように、反対側が同一であることがわかります。もう一度、横方向に等しい角度があることに注目してください。

したがって、次のことがわかります。 $\triangle AOB = \triangle COD $三角形の等価性 (2 つの角とそれらの間の辺) に関する 2 番目の基準に従います。つまり、 $BO = OD $ (角 $\angle 2 $ と $\angle 1 $ の反対側) および $AO = OC $ (角 $\angle 3 $ の反対側) と$ \angle 4 $ それぞれ)。

平行四辺形の特徴

問題に記号が 1 つだけ存在する場合、その図形は平行四辺形となり、この図形のすべてのプロパティを使用できます。

よりよく暗記するには、平行四辺形の記号が次の質問の答えになることに注意してください。 「どうやって調べますか？」。つまり、与えられた図形が平行四辺形であることをどうやって調べるかということです。

1. 平行四辺形は、2 つの辺が等しく平行である四角形です。

$AB = CD $ ; $AB || CD \Rightarrow ABCD $- 平行四辺形。

さらに詳しく考えてみましょう。なぜ $AD || BC $ なのでしょうか?

$\三角ABC = \三角ADC$による プロパティ 1: $AB = CD $ 、 $\angle 1 = \angle 2 $ を平行な $AB $ と $CD $ および正割 $AC $ と交差させます。

しかし、もし $\三角ABC = \三角ADC$、次に $\angle 3 = \angle 4 $ (それらは $AD || BC $ の反対側にあります ($\angle 3 $ と $\angle 4 $ - 反対側にあるものも等しい)。

最初の記号は正しいです。

2. 平行四辺形は、対辺が等しい四角形です。

$AB = CD $ , $AD = BC \Rightarrow ABCD $ は平行四辺形です。

この特徴について考えてみましょう。対角線 $AC $ を再度描きます。

による プロパティ 1$\三角ABC = \三角ACD $.

したがって、次のようになります。 $\角度 1 = \角度 2 \Rightarrow AD || BC $そして $\角度 3 = \角度 4 \Rightarrow AB || CD $つまり、$ABCD$ は平行四辺形です。

2 番目の記号は正しいです。

3. 平行四辺形は、対角が等しい四角形です。

$\角度 A = \角度 C $ 、 $\角度 B = \角度 D \Rightarrow ABCD $- 平行四辺形。

$2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) $(定義上、 $\angle A = \angle C $ 、 $\angle B = \angle D $ であるためです)。

それが判明、。しかし、 $\alpha $ と $\beta $ は正割 $AB $ で内部片側です。

そして何 $\アルファ + \ベータ = 180^(\circ) $$AD || BC $ とも言えます。

証拠

まずは斜めACを描きましょう。 ABC と ADC の 2 つの三角形が得られます。

ABCD は平行四辺形なので、次のことが当てはまります。

広告 || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2横たわっているように。

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4横たわっているように。

したがって、\triangle ABC = \triangle ADC (2 番目の特徴により、AC は共通です) となります。

したがって、 \triangle ABC = \triangle ADC 、さらに AB = CD および AD = BC となります。

証明されました！

2. 反対の角は同じです。

証拠

証拠によると プロパティ 1私達はことを知っています \角度 1 = \角度 2、\角度 3 = \角度 4。したがって、対角の合計は次のようになります。 \角度 1 + \角度 3 = \角度 2 + \角度 4。 \triangle ABC = \triangle ADC と考えると、 \angle A = \angle C 、 \angle B = \angle D が得られます。

証明されました！

3. 対角線は交点によって二等分されます。

証拠

もう一つ対角線を引いてみましょう。

による プロパティ 1反対側は同一であることがわかります: AB = CD 。もう一度、横方向に等しい角度があることに注目してください。

したがって、三角形の等号 (2 つの角とそれらの間の辺) の 2 番目の符号によって、 \triangle AOB = \triangle COD であることがわかります。つまり、BO = OD ( \angle 2 と \angle 1 の反対) および AO = OC (それぞれ \angle 3 と \angle 4 の反対) です。