平面波と球面波の方程式。 平面進行波の方程式 平面波の特徴を示す抜粋

媒体中を波の形で伝播する振動過程。その前面は 飛行機、と呼ばれる 平面音波。 実際には、平面波は、放射する長波長に比べて線形寸法が大きい光源によって、波面ゾーンが光源から十分に離れたところに位置している場合に形成できます。 ただし、これは制約のない環境の場合です。 ソースの場合 柵で囲まれた何らかの障害物がある場合、ピストンの直径が放射される波の長さよりも大幅に小さい場合、平面波の典型的な例は、硬い壁を持つ長いパイプ (導波管) 内の硬くて曲げられないピストンによって励起される振動です。 壁が硬いため、波が導波管に沿って伝播してもパイプ内の前面は変化しません (図 3.3 を参照)。 空気中での吸収と散逸による音エネルギーの損失は無視します。

エミッタ（ピストン）がある周波数の調和則に従って振動すると、
、ピストンの寸法 (導波管の直径) は音の波長よりも大幅に小さいため、その表面付近に圧力が発生します。
。 遠くから見ると明らかに バツプレッシャーはあるだろう
、 どこ
– エミッタからポイントまでの波の伝播時間x。 この式は次のように記述すると便利です。
、 どこ
- 波の伝播の波数。 仕事
- 距離だけ離れた点での振動過程の決定された位相シフト バツエミッターから。

得られた式を運動方程式 (3.1) に代入して、後者を振動速度に関して積分します。

(3.8)

一般に、任意の時点で、次のことが判明します。

. (3.9)

式（３．９）の右辺は、媒質の特性、波動、または比音響抵抗（インピーダンス）である。 式 (3.) 自体は、音響的な「オームの法則」と呼ばれることもあります。 解からわかるように、結果として得られる方程式は平面波の場で有効です。 圧力と振動速度 同相これは、媒体の純粋に能動的な抵抗の結果です。

例: 平面波における最大圧力
パ。 空気粒子の変位の振幅を周波数によって決定しますか?

解決策: 以降、次のようになります。

式 (3.10) から、少なくとも音源自体のサイズと比較して、音波の振幅は非常に小さいことがわかります。

スカラーポテンシャル、圧力、振動速度に加えて、音場はエネルギー特性によっても特徴付けられます。その中で最も重要なのは強度、つまり単位時間当たりに波によって伝達されるエネルギー束密度のベクトルです。 A優先
- は音圧と振動速度の積の結果です。

媒体に損失がなければ、理論的には、平面波は任意の長い距離にわたって減衰することなく伝播できます。 平坦な前面形状が維持されているということは、波の「発散」がないこと、したがって減衰がないことを示します。 波の前面が湾曲している場合は状況が異なります。 このような波には、まず球面波と円筒波が含まれます。

3.1.3. 非平面フロントを持つ波のモデル

球面波の場合、位相が等しい面は球面になります。 このような波の発生源も球であり、そのすべての点が同じ振幅と位相で振動し、中心は静止したままになります（図 3.4、a を参照）。

球面波は、ソースから伝播する波の電位に対する球面座標系の波動方程式の解である関数によって記述されます。

. (3.11)

平面波から類推すると、音源から離れると調査対象の波の長さが大幅に長くなることがわかります。
。 これは、音響的な「オームの法則」がこの場合にも当てはまることを意味します。 実際の条件では、球面波は主に任意の形状のコンパクトな音源によって励起され、その寸法は励起される音または超音波の長さよりも大幅に小さくなります。 言い換えれば、「点」音源は主に球面波を放射します。 波源から遠く離れたところ、または彼らが言うところの「遠い」ゾーンでは、球面波は、波面の限られたサイズの部分に関しては、平面波のように振る舞う、または彼らが言うように、「縮退する」平面波に。」 狭いエリアの要件は周波数だけで決まるのではなく、
- 比較された点間の距離の差。 この機能に注意してください
特徴があります:
で
。 このため、音の放射と散乱に関連する回折問題を厳密に解決する際に、特定の困難が生じます。

次に、無限に長い脈動する円筒から円筒波（波面の表面は円筒）が放射されます（図 3.4 を参照）。

遠方ゾーンでは、そのようなソースのポテンシャル関数の式は漸近的に次の式になる傾向があります。


. (3.12)

この場合も関係が成り立つことがわかります
。 遠方ゾーンでは球状のような円筒状の波 退化する平面波に。

伝播中の弾性波の弱まりは、波面の曲率の変化（波の「発散」）だけでなく、「減衰」の存在とも関連しています。 音が弱くなる。 形式的には、媒質内の減衰の存在は、波数を複素数として表すことによって説明できます。
。 次に、たとえば平面圧力波の場合、次のことが得られます。 R(バツ, t) = Pマックス
=
.

複素波数の実数部が空間進行波を表し、虚数部が波の振幅の減衰を特徴付けることがわかります。 したがって、の値は減衰（減衰）係数と呼ばれ、は寸法値（Neper/m）になります。 1 つの「ネーパー」は、波面が単位長さあたりに移動するときの波の振幅の「e」倍の変化に対応します。 一般的な場合、減衰は媒質内の吸収と散乱によって決まります:  =  吸収 +  散乱。 これらの影響はさまざまな理由によって決定されるため、個別に検討できます。

一般に、吸収は、音エネルギーが熱に変換される際の不可逆的な損失を伴います。

散乱は、入射波のエネルギーの一部が入射波と一致しない他の方向に再配向されることに関連しています。

この関数は、時間と座標の両方に関して周期的である必要があります (波は伝播する振動であるため、周期的に繰り返される動きです)。 また、距離 l の距離にある点も同様に振動します。

平面波方程式

振動が本質的に調和であると仮定して、平面波の場合の関数 x の形を求めてみましょう。

軸が次のように座標軸を向けましょう。 バツ波の伝播方向と一致します。 すると波面は軸に対して垂直になります バツ。 波面のすべての点が均等に振動するため、変位 x は次の条件のみに依存します。 バツそして t: 。 平面内にある点の振動を (初期段階で) 形にします。

任意の値に対応する粒子の面内振動の種類を求めてみましょう バツ。 道を進むために バツ、 時間がかかる。

したがって、 平面内の粒子の振動バツ～までに遅れますt平面内の粒子の振動から、つまり

,

(5.2.3)

- これ 平面波方程式。

だから× がある バイアス座標を持つ任意の点バツある時点でt。 導出では、振動の振幅が であると仮定しました。 これは波のエネルギーが媒体に吸収されない場合に起こります。

振動が軸に沿って伝播する場合、式 (5.2.3) は同じ形になります。 yまたは z.

一般的に 平面波方程式は次のように書かれています:

式 (5.2.3) と (5.2.4) は次のようになります。 進行波方程式 .

式 (5.2.3) は増加方向に伝播する波を表します。 バツ。 逆方向に伝播する波は次のような形になります。

.

波動方程式は別の形式で書くこともできます。

紹介しましょう 波数 、またはベクトル形式:

ここで、 は波数ベクトル、 は波面の法線です。

それ以来 。 ここから。 それから 平面波方程式 次のように書かれます:

.

(5.2.6)

球面波動方程式

1 つの空間座標に依存する波

アニメーション

説明

平面波では、波の伝播方向に垂直な任意の平面内にある媒質のすべての点が、各瞬間で媒質の粒子の同じ変位と速度に対応します。 したがって、平面波を特徴付けるすべての量は、時間と 1 つの座標 (たとえば、Ox 軸が波の伝播方向と一致する場合は x) のみの関数になります。

縦平面波の波動方程式は次の形式になります。

d 2 j / dx 2 = (1/c 2 ) d 2 j / dt 2 。 (1)

その一般的な解は次のように表されます。

j = f 1 (ct - x)+f 2 (ct + x)、(2)

ここで、 j は媒体の波動を特徴付けるポテンシャルまたはその他の量 (変位、変位速度など) です。

c は波の伝播速度です。

f 1 と f 2 は任意の関数で、最初の項 (2) は Ox 軸の正の方向に伝播する平面波を表し、2 番目の項は反対方向に伝播します。

特定の瞬間において波の位相が同じ値を持つ波面または媒質内の点の幾何学的位置。PV の場合、それらは平行面の系を表します (図 1)。

平面波の波面

米。 1

均質な等方性媒質では、平面波の波面は光線と呼ばれる波の伝播方向 (エネルギー伝達の方向) に対して垂直です。

タイミング特性

開始時間 (-10 から 1 までの対数)。

寿命 (-10 から 3 までの log tc);

劣化時間 (-10 から 1 までの log td);

最適な発達の時間 (-3 から 1 までの log tk)。

図:

エフェクトの技術的な実装

エフェクトの技術的実装

厳密に言えば、実際の波は平面波ではありません。 x 軸に沿って伝播する平面波は、y 座標と z 座標に沿った -ɐ から +̐ までの空間領域全体をカバーする必要があります。 ただし、多くの場合、実質的に平面波と一致する、y、z 方向に限定された波のセクションを示すことができます。 まず第一に、これは、ソースから十分に大きな距離 R にある均一な等方性媒質内で可能です。 したがって、高調波平面波の場合、その伝播方向に垂直な平面のすべての点の位相は同じになります。 あらゆる高調波は、幅 r のセクションにわたる平面波と見なすことができることがわかります。<< (2R l )1/2 .

エフェクトを適用する

一部の波テクノロジーは、平面波を近似するのに最も効果的です。 特に、層状の地質構造によって表される石油およびガス地層に対する（石油およびガスの回収率を高めるための）地震音響衝撃中に、層の境界から反射された直接波面と平面波面の相互作用によって、定常波。定在波の腹で炭化水素流体の緩やかな移動と集中が始まります (FE「定常波」の説明を参照)。

プレートウェーブ

プレートウェーブ

空間内のすべての点で伝播方向が同じである波。 最も単純な例は均一な単色です。 減衰されていない P.v.:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

ここで、A は振幅、j= wt±kz - 、w=2p/T - 円周波周波数、T - 発振周期、k - です。 一定位相面 (位相面) j=const P.v. 飛行機です。

分散が存在せず、vph と vgr が同一で一定である (vgr = vph = v) 場合、静止した (つまり、全体として動いている) 直線運動が実行され、次の形式の一般的な表現が可能になります。

u(z, t)=f(z±vt)、(2)

ここで、f は任意の関数です。 分散のある非線形媒体では、静止して実行される PV も可能です。 タイプ (2) ですが、その形状はもはや任意ではなく、システムのパラメーターと動きの性質の両方に依存します。 吸収性 (散逸性) 媒体において P. v. 広がるにつれて振幅が減少します。 線形減衰の場合、これは、(1) の k を複素波数 kd ± ikм (km は係数) に置き換えることによって考慮できます。 P.v.の減衰

無限全体を占める均一な PV は理想化ですが、有限領域に集中する波 (たとえば、送電線や導波管によって誘導される) は、PV の重ね合わせとして表すことができます。 何らかのスペースで。 スペクトルk. この場合、波は依然として平坦な位相面を持つ可能性がありますが、振幅は不均一です。 そんなP.v. 呼ばれた 平面不均一波。 一部の領域は球状です。 そして円筒形の 位相面の曲率半径に比べて小さい波は、ほぼ位相波のように動作します。

物理的な百科事典。 - M.: ソビエト百科事典. . 1983 .

プレートウェーブ

- 波、伝播の方向は空間内のすべての点で同じです。

どこ A -振幅、 - 位相、 - 円周周波数、 た -振動周期 k-波数。 = 定数 P.v. 飛行機です。
分散がない場合、位相速度が v fとグループ v gr は同一で定数です ( vグラム = v f = v) 静止している (つまり、全体として動いている) 実行中の P があります。 c. 一般形式で表すことができます。

どこ f- 任意の関数。 分散のある非線形媒体では、静止して実行される PV も可能です。 タイプ (2) ですが、その形状はもはや任意ではなく、システムのパラメーターと波動の性質の両方に依存します。 吸収（散逸）媒体では、複素波数の P.k k d そうです m、どこで k m - 係数 P.v.の減衰 無限大全体を占める均一な波動場は理想化ですが、有限領域に集中する波動場 (たとえば、有向波動場) 伝送ラインまたは 導波路)、重ね合わせPで表すことができます。 V. 何らかの空間スペクトルを使用して k.この場合、波は依然として平坦な位相面を持ち、振幅分布が不均一になる可能性があります。 そんなP.v. 呼ばれた 平面不均一波。 部 領域球状 または円筒形 位相面の曲率半径に比べて小さい波は、PT とほぼ同様に動作します。

点灯。アートの下を参照してください。 波。

M.A.ミラー、L.A.オストロフスキー。

物理百科事典。 全5巻。 - M.: ソビエト百科事典. 編集長 A.M. プロホロフ. 1988 .

: 平面波の前面は で始まるため、そのような波は自然界には存在しません。 $-\backslash 数学(1)$そしてで終わります $+\backslash 数学(1)$、明らかにあり得ません。 また、平面波は無限のパワーを運び、平面波を生成するには無限のエネルギーが必要になります。 複素 (実) 前面を持つ波は、空間変数のフーリエ変換を使用して平面波のスペクトルとして表すことができます。

準平面波- 限られたエリアでフロントがフラットに近い波。 領域の寸法が検討中の問題に対して十分に大きい場合、準平面波はほぼ平面であると考えることができます。 複雑なフロントを持つ波は、局所的な準平面波のセットによって近似できます。その位相速度ベクトルは、その各点で実際のフロントに垂直です。 準平面電磁波の発生源の例としては、レーザー、ミラー、レンズ アンテナが挙げられます。開口部 (放出孔) に平行な平面内の電磁場の位相分布はほぼ均一です。 開口部から離れるにつれて、波面は複雑な形状になります。

意味

あらゆる波の方程式は、と呼ばれる微分方程式の解です。 波。 関数の波動方程式 $あ$フォームに書かれた

$\backslash Delta\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$どこ

• $\backslash デルタ$- ラプラス演算子;
• $A(\backslash vec(r),t)$- 必要な機能。
• $r$- 目的の点の半径ベクトル。
• $v$- 波の速度;
• $t$- 時間。

1次元の場合

総エネルギーは

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash \; cfrac(\backslash partial\; A)(\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; 。$

したがって、エネルギー密度は次のようになります。

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash 右）\; 。$

分極

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文学

• サヴェリエフ I.V.【その2 波。 弾性波] // 一般物理学のコース / Gladnev L.I.、Mikhalin N.A.、Mirtov D.A. 編集 - 第 3 版 - M.: ナウカ、1988. - T. 2. - P. 274-315。 - 496秒。 - 220,000部。

ノート

こちらも参照

平面波の特徴を示す抜粋

君主が行った広場では、右側にプレオブラジェンスキーの兵士大隊が向かい合って立っており、左側には熊皮の帽子をかぶったフランス衛兵大隊が立っていた。
君主が警備に当たっていた大隊の一方の側面に近づいている間に、別の騎兵の集団が反対側の側面に飛び上がり、彼らの前でロストフはナポレオンを認識した。 それは他の誰かであるはずがありません。 彼は小さな帽子をかぶり、肩に聖アンドリューのリボンを掛け、白いキャミソールの上に開いた青い制服を着て、珍しいアラビアの灰色のサラブレッドの馬に乗り、深紅の金の刺繍が施された鞍布に乗って疾走した。 アレクサンダーに近づくと、彼は帽子を上げました、そして、この動きで、ロストフの騎兵の目は、ナポレオンの座り方が悪く、馬にしっかりと座っていないことに気づかずにはいられませんでした。 大隊は叫んだ：万歳、万歳 l 「皇帝！ [皇帝万歳！] ナポレオンがアレクサンダーに何か言った。両皇帝は馬から降りて、お互いに手を取った。ナポレオンの顔には不快な偽りの笑みが浮かんでいた。アレクサンダーは何かを言った」愛情深い表情を浮かべた彼。
ロストフは、群衆を包囲するフランス憲兵隊の馬が踏み荒らされていたにもかかわらず、目を離すことなく、アレクサンダー皇帝とボナパルトのあらゆる動きを追跡した。 彼は、アレクサンダーがボナパルトと対等に振る舞ったこと、そしてボナパルトが完全に自由であるという事実に驚き、あたかも君主との親密さが自然であり慣れ親しんでいるかのように、ロシア皇帝を対等に扱った。
アレクサンダーとナポレオンは、長い従者の尾を引き連れて、プレオブラジェンスキー大隊の右翼に、そこに立っている群衆に向かって直接近づいた。 群衆は突然皇帝たちに非常に近づいたことに気づき、最前列に立っていたロストフは彼らに自分が認識されるのではないかと恐れた。
「殿下、レジオンドヌール勲章を最も勇敢な兵士に授与する許可をお願いします」と鋭い男が言った。正確な声で、それぞれの手紙を書き終えた アレクサンダーの目をまっすぐに見つめながら話したのは背の低いボナパルトだった。アレクサンダーは話に注意深く耳を傾け、快適に微笑みながら頭を下げた。
「A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre、[戦争中に最も勇敢であることを示した者に]」とナポレオンは、ロストフにしてはとんでもない冷静さと自信を持って隊列を見渡しながら、各音節を強調して付け加えた。数人のロシア人が兵士たちの前に体を伸ばし、全員を警戒し、動かずに皇帝の顔を見つめている。
「Votre majeste me permettra t elle de requester l"avis du Colonel? [陛下は私が大佐の意見を聞くことを許していただけますか?] - アレクサンダーはそう言って、大隊指揮官であるコズロフスキー公爵に向かって急いで数歩踏み出した。一方、ボナパルトは行動を開始した。白い手袋と小さな手からそれを引き裂き、副官はそれを投げ、後ろから急いで前に飛び出し、それを拾い上げた。
- 誰にあげればいいですか？ – アレクサンダー皇帝は、大声ではなくロシア語でコズロフスキーに尋ねた。
- 陛下、誰に命令しますか？ 「皇帝は不快感に顔をしかめ、周囲を見回してこう言いました。
- しかし、あなたは彼に答えなければなりません。
コズロフスキーは決然とした表情で隊列を振り返り、その視線でロストフも捉えた。
「私じゃないの？」 ロストフは思った。
- ラザレフ！ – 大佐は眉をひそめながら命令した。 そして一等兵のラザレフが賢く前に出た。
-どこに行くの？ ここで止​​まって！ -どこに行けばよいのか分からなかったラザレフに声がささやきました。 ラザレフは立ち止まり、恐怖に大佐を横目で見ましたが、前線に召集された兵士にはよくあることですが、彼の顔は震えていました。
ナポレオンはわずかに頭を後ろに向け、まるで何かを手に入れようとしているかのように、小さくて太い手を引っ込めた。 従者の顔はその瞬間に何が起こっているのか察し、大騒ぎし、ささやき合い、互いに何かを伝え始めた。そして小姓は、ロストフが昨日ボリスの家で見たのと同じ小姓が前に走り出して、うやうやしくかがみ込んだ。彼は差し伸べられた手に彼女を一秒も待たせずに赤いリボンに注文を入れた。 ナポレオンは何も見ずに二本の指を握り締めた。 教団は彼らの間に存在した。 ナポレオンはラザレフに近づき、ラザレフは目を丸くして頑固に主権者だけを見続け、アレクサンダー皇帝を振り返り、それによって彼が今していることは同盟国のためにしていることを示した。 命令を持った小さな白い手が兵士ラザレフのボタンに触れた。 まるでナポレオンは、この兵士が永遠に幸せで、報われ、世界中の他の誰からも区別されるためには、彼、つまりナポレオンの手だけが兵士の胸に触れるに値するものでなければならないことを知っていたかのようでした。 ナポレオンはちょうどラザレフの胸に十字架を置くと、十字架がラザレフの胸に刺さるべきであることを知っていたかのように、手を放してアレクサンダーに向き直った。 クロスは本当に刺さりました。