線形代数方程式の例の同次系を解きます。 基本的な意思決定体系（具体例）

サービスの目的。 オンライン計算ツールは、SLAE に対する重要かつ根本的な解決策を見つけるように設計されています。 結果のソリューションは Word ファイルに保存されます (ソリューション例を参照)。

説明書。 マトリックスの次元を選択します:

線形同次方程式系の性質

定理。 m=n の場合の系は、この系の行列式がゼロに等しい場合に限り、自明ではない解を持ちます。

定理。 システムに対する解の線形結合は、そのシステムに対する解でもあります。
意味。 線形同次方程式系の解の集合はと呼ばれます。 解決の基本システム、このセットが線形独立した解で構成されており、システムに対する解がこれらの解の線形結合である場合。

定理。 システム行列のランク r が未知数の数 n より小さい場合、(n-r) 個の解から構成される基本的な解系が存在します。

連立一次一次方程式を解くアルゴリズム

1. 行列のランクを求める。
2. 基本マイナーを選択します。 依存（基本）未知と自由未知を区別します。
3. 係数が基底マイナーに含まれていないシステムの方程式は、他の方程式の結果であるため (基底マイナーの定理に従って) 取り消し線を引きます。
4. 自由未知数を含む方程式の項を右側に移動します。 その結果、与えられたものと等価で、行列式が非ゼロである r 個の未知数をもつ r 方程式系が得られます。
5. 未知のものを排除することで、結果として得られるシステムを解決します。 自由変数を介して従属変数を表現する関係が見つかります。
6. 行列のランクが変数の数と等しくない場合、システムの根本的な解決策が見つかります。
7. rang = n の場合、自明な解決策が得られます。

例。 ベクトル系 (a 1、a 2、...、a m) の基底を見つけ、基底に基づいてベクトルをランク付けして表現します。 1 =(0,0,1,-1)、2 =(1,1,2,0)、3 =(1,1,1,1)、4 =(3,2,1)の場合、4)、および 5 =(2,1,0,3)。
システムの主なマトリックスを書き留めてみましょう。

均質なシステムは常に一貫性があり、自明な解決策を持ちます。
。 自明でない解が存在するには、行列のランクが は未知の数よりも少なかった:

.

ソリューションの基本体系 均質系
列ベクトルの形式で解系を呼び出す
、正規の基礎に対応します。 任意の定数を基底とする
交互に 1 に設定され、残りは 0 に設定されます。

この場合、均一系の一般解は次の形式になります。

どこ
- 任意の定数。 言い換えれば、全体的なソリューションは、基本的なソリューション システムの線形結合です。

したがって、自由な未知数に順番に 1 の値を与え、他のすべてを 0 に設定すると、一般解から基本解を取得できます。

例。 システムの解決策を見つけよう

を受け入れましょう。すると、次のような形式で解決策が得られます。

ここで、基本的な解決策のシステムを構築しましょう。

.

一般的な解決策は次のように記述されます。

同次一次方程式系の解には次の特性があります。

言い換えれば、均質系に対する解の線形結合もまた解になります。

ガウス法を使用した連立一次方程式の解法

線形方程式系の解法は、数世紀にわたって数学者の関心を集めてきました。 最初の結果は 18 世紀に得られました。 1750 年、G. Kramer (1704–1752) は正方行列の行列式に関する著作を発表し、逆行列を求めるアルゴリズムを提案しました。 1809 年、ガウスは消去法として知られる新しい解決法の概要を説明しました。

ガウス法、または未知数の逐次消去法は、初等変換を使用して方程式系をステップ (または三角形) 形式の等価系に還元するという事実にあります。 このようなシステムにより、すべての未知のものを特定の順序で順番に見つけることが可能になります。

システム (1) で次のように仮定します。
(これはいつでも可能です)。

(1)

最初の式にいわゆる次の式を 1 つずつ乗算します。 適当な数字

そして、乗算の結果をシステムの対応する方程式と加算すると、最初の方程式を除くすべての方程式に未知数が存在しない等価なシステムが得られます。 バツ 1

(2)

ここで、システム (2) の 2 番目の方程式に適切な数を掛けてみましょう。

,

それを下位のものと加算すると、変数が削除されます 3 番目から始まるすべての方程式から。

このプロセスを続けると、
得られるステップ:

(3)

少なくとも 1 つの数字があれば、
がゼロに等しくない場合、対応する等式は矛盾し、システム (1) は矛盾します。 逆に、任意の結合番号体系については、
はゼロに等しい。 番号 はシステム (1) の行列のランクにすぎません。

システム (1) から (3) への遷移をといいます。 まっすぐ ガウス法、および (3) から未知数を求める – 逆に .

コメント : 方程式自体を使用するのではなく、システム (1) の拡張行列を使用して変換を実行する方が便利です。

例。 システムの解決策を見つけよう

.

システムの拡張行列を書いてみましょう。

.

最初の行を 2、3、4 行目に追加し、それぞれ (-2)、(-3)、(-2) を掛けてみましょう。

.

行 2 と行 3 を交換して、結果の行列で行 2 を行 4 に追加し、次の値を掛けます。 :

.

4 行目に加算 3 行目に乗算
:

.

それは明らかです
したがって、システムは一貫しています。 結果として得られる連立方程式から

逆置換によって解を求めます。

,
,
,
.

例2。システムの解決策を見つけます。

.

システムに一貫性がないことは明らかです。
、A
.

ガウス法の利点 :

Cramer の方法よりも労力がかかりません。

システムの互換性を明確に確立し、解決策を見つけることができます。

任意の行列のランクを決定できるようにします。

線形方程式は次のように呼ばれます 同種の、自由期間がゼロに等しい場合、そうでない場合は不均一です。 同次方程式からなる系は同次と呼ばれ、次の一般形式になります。

すべての同種システムは一貫性があり、ゼロ (自明) 解をもつことは明らかです。 したがって、一次方程式の同次系に適用すると、多くの場合、非ゼロ解の存在に関する疑問に対する答えを探す必要があります。 この質問に対する答えは、次の定理として定式化できます。

定理 . 同次一次方程式系は、ランクが未知数の数より小さい場合に限り、ゼロ以外の解を持ちます。 .

証拠: ランクが等しいシステムにはゼロ以外の解があると仮定します。 明らかに を超えません。 システムに独自のソリューションがある場合。 同次一次方程式系には常にゼロ解があるため、ゼロ解はこの一意の解になります。 したがって、ゼロ以外の解は についてのみ可能です。

結果 1 : 方程式の数が未知数の数よりも少ない同次方程式系では、常に非ゼロの解が得られます。

証拠: 方程式系に がある場合、系の階数は方程式の数を超えません。 。 したがって、条件が満たされるため、システムは非ゼロの解を持ちます。

結果 2 : 未知数を含む同次方程式系は、行列式が 0 である場合に限り、非ゼロの解を持ちます。

証拠: 行列式 をもつ行列の線形同次方程式系が非ゼロの解を持つと仮定します。 次に、証明された定理によれば、これは行列が特異であることを意味します。 。

線形代数方程式の同次系.

すべての自由項が 0 に等しい場合、n 個の変数を持つ m 個の線形方程式系は線形同次方程式系と呼ばれます。線形同次方程式系は常に一貫しています。 常に少なくともゼロ解が存在します。 線形同次方程式系は、変数の係数行列のランクが変数の数より小さい場合に限り、非ゼロの解を持ちます。 ランク A (n. 任意の線形結合) の場合

リンシステムソリューション。 同種の。 ur-ii もこのシステムのソリューションです。

システムの各解が解の線形結合である場合、線形独立解システム e1、e2、...、еk は基本と呼ばれます。 定理: 線形同次方程式系の変数の係数行列のランク r が変数の数 n より小さい場合、その系のすべての基本解系は n-r 個の解で構成されます。 したがって、線形システムの一般解。 ある日 ur-th の形式は c1e1+c2e2+...+skek です。ここで、e1、e2、...、ek は任意の基本解系、c1、c2、...、ck は任意の数、k=n-r です。 n 個の変数を含む m 個の線形方程式系の一般解は、次の合計に等しくなります。

それに対応する系の一般解は均一である。 線形方程式とこの系の任意の特定の解。

7. 線形空間。 部分空間。 基礎、次元。 リニアシェル。 線形空間と呼ばれます n次元、その中に線形に独立したベクトルの系があり、それよりも多数のベクトルからなる系が線形に依存している場合。 番号が呼ばれます 次元 (次元の数)線形空間であり、 で表されます。 言い換えれば、空間の次元は、この空間の線形独立ベクトルの最大数です。 このような数が存在する場合、その空間は有限次元と呼ばれます。 任意の自然数 n に対して、空間内に線形独立ベクトルからなる系が存在する場合、そのような空間は無限次元と呼ばれます (表記: )。 以下では、特に明記しない限り、有限次元空間を考慮します。

n 次元線形空間の基礎は、線形に独立したベクトルの順序付けられた集合です ( 基底ベクトル).

基底に関するベクトルの展開に関する定理 8.1。 が n 次元線形空間の基底である場合、任意のベクトルは基底ベクトルの線形結合として表すことができます。

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
そしてさらに、唯一の方法で、つまり 係数は一意に決定されます。言い換えれば、空間のあらゆるベクトルを基底に、さらに独自の方法で拡張することができます。

確かに、空間の次元は です。 ベクトル系は線形独立です (これが基礎です)。 任意のベクトルを基底に追加すると、線形依存システムが得られます (このシステムは n 次元空間のベクトルで構成されているため)。 7 つの線形依存ベクトルと線形独立ベクトルの特性を使用して、定理の結論を取得します。

6.3. 同次一次方程式系

さあ、システム (6.1) に入りましょう.

均質なシステムは常に一貫しています。 解決 （) と呼ばれます ゼロ、 または つまらない.

同種システム (6.1) は、そのランク ( ) は未知数よりも少ないです。 特に、方程式の数が未知数の数に等しい均質系では、行列式が 0 の場合に限り、非ゼロの解が得られます。

なぜなら今回はすべてが、式 (6.6) の代わりに、次が得られます。

(6.7)

式 (6.7) には、均一系 (6.1) の任意の解が含まれます。

1. 同次一次方程式系 (6.1) のすべての解の集合は、線形空間を形成します。

2. 線形空間R同次一次方程式系 (6.1) のすべての解n未知数と主行列のランクは以下に等しいr、次元がありますn–r.

任意のセット (n–r) 均質系の線形独立解 (6.1) は空間の基底を形成しますRすべての決断。 いわゆる 基本的同次方程式系 (6.1) の一連の解。 特に重点を置いているのは、 "普通"均一系の基本的な解のセット (6.1):

(6.8)

基礎の定義により、あらゆる解決策 バツ均質系 (6.1) は次の形式で表すことができます。

(6.9)

どこ – 任意の定数。

式 (6.9) には均一系 (6.1) の解が含まれているため、次のようになります。 共通の決定このシステム。

例。

解決電卓を使って求めます。 解のアルゴリズムは、線形不均一方程式系の場合と同じです。
行のみを操作して、行列のランク、基底マイナーを見つけます。 依存未知数と自由未知数を宣言し、一般的な解決策を見つけます。

例2。 システムの一般解と基本的な解体系を見つける
解決。



,
つまり、行列のランクは 3 であり、未知数の数に等しいということになります。 これは、システムには自由な未知数がないため、独自の解決策、つまり簡単な解決策があることを意味します。

エクササイズ 。 連立一次方程式を調べて解きます。
例 4

エクササイズ 。 各システムの一般的な解決策と特定の解決策を見つけます。
解決。システムの主なマトリックスを書き留めてみましょう。

タスク 。 同次一次方程式系の基本的な解のセットを見つけます。