最も単純な三角方程式。 人生の面白い出来事 単位円上に正反対の 2 つがある

+ – 0;2 P; 4P～2P。 -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P P -3 P P -2 P P - P P - P P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P;3 P; P. -5 P;-3 P;- P. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k, k Z (-1) k P 4P 4 + P g, g Z P 3P 3 ± + 2 P n, n Z P 6P 6 + P 3P 3 m , m Z 次の数字に対応する点を見つけます。

0 y X - P +2 P k, k Z P 3P P n, n Z P m, m Z P (+ m), m Z 2P 32P P n, n Z P 2P 2 P P n, n Z 1 3 P (+2 l ), l Z 次の数字に対応する点を見つけます

1. 点 A は数円のどの 4 分の 1 に属しますか? まず最初に。 B. 2番目。 V. 3番目。 G. 4番目。 2. 点 A は数円のどの 4 分の 1 に属しますか? まず最初に。 B. 2番目。 V. 3番目。 G. 4番目。 3. A. a>0、b>0 の場合、数値 a と b の符号を決定します。 B. a 0. B. a>0、b0、b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1.数字円のどの 4 分の 1 が A を指します。最初に。B. 2. 2 番目. C. 3 番目. D. 4 番目. 2. 点 A. 1 番目. B. 2 番目. C. 3 番目. D. 4 番目は、数円のどの四分の一に属しますか? 3. 次の場合に数字 a と b の符号を決定します。 : A. a>0"> title="1. 点 A は数円のどの 4 分の 1 に属しますか? まず最初に。 B. 2番目。 V. 3番目。 G. 4番目。 2. 点 A は数円のどの 4 分の 1 に属しますか? まず最初に。 B. 2番目。 V. 3番目。 G. 4番目。 3. A. a>0 の場合、数値 a と b の符号を決定します。"> !}

問題: 円上で、正反対の点 A と B および異なる点 C を選択します。点 A で円に引かれた接線と、点 D で円に引かれた直線 BC が点 D で交差します。点 C で円に引かれた接線が二等分することを証明してください。セグメント A.D. 三角形 ABC の内接円は、点 M と N でそれぞれ辺 AB と辺 BC に接します。 線はACの中点を線と平行に通過します。 MN は、点 D および点 E でそれぞれ線 BA および BC と交差します。 AD=CE であることを証明してください。

円周上で、正反対の点 A と B と、異なる点 C を選択します。点 A で円に引かれた接線と、点 D で直線 BC が交差します。点 C で円に引かれた接線が、直線 BC を二等分することを証明します。セグメントAD。 三角形 ABC の内接円は、点 M と N でそれぞれ辺 AB と辺 BC に接します。 線はACの中点を線と平行に通過します。 MN は、点 D および点 E でそれぞれ線 BA および BC と交差します。 AD=CE であることを証明してください。

答え:

同様の質問

• 文を完成させます。 私は（通常は）ランドンまで飛行機で行きます
• 浮き上がった単語と横たわった単語の形態学的分析
• 帝国主義の特徴を書きなさい
• 14と24の公約数
• 式を多項式に変換!! -2(v+1)(v+4) - (v-5)(v+5)
• 方程式の実根の積を求めます: y^(4) - 2y^(2) - 8 = 0
• 角度 BEN と CEN が隣接しており、一方が他方より 1.5 倍小さいと仮定して、角度 BEN と CEN を求めます。
• 3 つの花瓶には 6 個、21 個、9 個のプラムがあります。各花瓶のプラムの数を均等にするために、マディナは、そこにあるのと同じ数のプラムをある花瓶から別の花瓶に移しました。2 回移すことで、プラムの数を均等にしました。彼女はどうやってこれを作ったのでしょうか？
• 化学の教科書 (学習した段落) から、よく使われる 10 個の単語 (さまざまな品詞) と 10 個の特別な単語 (用語と用語の組み合わせ) を書き留めます。テキストから選択した用語でフレーズを作成し、書き留めます。

どうやら、後に球面幾何学と呼ばれることになるものに対する人類の最初の訴えは、プラトンのアカデミーの参加者の一人であるギリシャの数学者エウドクソス (408 年頃 - 355 年) の惑星理論だったようです。 それは、4 つの回転する同心球を使って地球の周りの惑星の動きを説明する試みでした。それぞれの球には特別な回転軸があり、その端が周囲を囲む球に固定されており、その球に星が「釘付け」されています。 」 このようにして、惑星の複雑な軌道が説明されました（ギリシャ語から翻訳された「惑星」はさまようことを意味します）。 このモデルのおかげで、古代ギリシャの科学者は惑星の動きを非常に正確に記述し、予測することができました。 これは、たとえば航海や他の多くの「地上の」仕事において必要であり、地球は 3 頭のクジラの上に乗っている平らなパンケーキではないことを考慮する必要がありました。 球面幾何学への多大な貢献は、アレクサンドリアのメネラウス (西暦 100 年頃) によって行われました。 彼の仕事 スフェリクスこの分野におけるギリシャの業績の頂点となった。 で スフェリケ球面三角形が考慮されますが、これはユークリッドには見られない主題です。 メネラウスは、平面三角形のユークリッド理論を球面に移し、とりわけ、球面三角形の辺上の 3 点またはその延長線が同一直線上にあるという条件を獲得しました。 平面に対応する定理は当時すでに広く知られていましたが、それはまさにメネラウスの定理として幾何学の歴史に名を連ね、著作の中で多くの計算を行ったプトレマイオス (150 年頃) とは異なり、メネラウスの論文は幾何学的には、厳密にユークリッドの伝統の精神に基づいています。

球面幾何学の基本原理。

球と交差する平面は、断面が円になります。 平面が球の中心を通過すると、断面はいわゆる大円になります。 正反対の点を除く球上の任意の 2 点を介して、1 つの大きな円を描くことができます。 (地球上の大円の例は、赤道とすべての子午線です。) 無数の大円が正反対の点を通過します。 小円弧 AmB大圏の (図 1) は、与えられた点を結ぶ球上のすべての線の中で最も短いものです。 この行は次のように呼ばれます 測地的な。 測地線は、面積測定における直線と同じ役割を球面上で果たします。 平面上の幾何学の多くの規定は球面でも有効ですが、平面とは異なり、2 つの球面の線は正反対の 2 つの点で交差します。 したがって、平行度の概念は球面幾何学には存在しません。 もう 1 つの違いは、球面線が閉じていることです。 同じ方向に沿って移動すると、開始点に戻りますが、その点は線を 2 つの部分に分割しません。 そして、面積測定の観点から見たもう 1 つの驚くべき事実は、球上の三角形は 3 つの直角すべてを持つことができるということです。

球上の線、セグメント、距離、角度。

球上の大円は直線とみなされます。 2 つの点が大円に属する場合、これらの点を結ぶ円弧のうち小さい方の長さは次のように定義されます。 球面距離これらの点の間には、円弧自体が球状のセグメントのようなものがあります。 正反対の点は、無限の数の球形セグメント、つまり大きな半円によって接続されています。 球セグメントの長さは、中心角 a のラジアン測定と球の半径によって決定されます。 R(図 2)、弧長の式によれば、それは次のようになります。 Rａ． 任意の点 と球状セグメント ABはそれを 2 つに分割し、面積測定と同様に、それらの球面の長さの合計はセグメント全体の長さに等しくなります。 R AOC+R フクロウ=P AOB。 どの点でも Dセグメント外 AB「球面三角形の不等式」があります。つまり、からの球面距離の合計です。 D前に あそしてから D前に でもっと AB、つまり R AOD+ R 生年月日> R AOB, – 球面形状と平面形状の間の完全な対応。 三角不等式は球面幾何学における基本的なものの 1 つであり、このことから、面積測定と同様に、球面のセグメントは球面の破線よりも短く、したがってその端を結ぶ球面上の曲線よりも短いことがわかります。

同様に、他の多くの面積測定の概念、特に距離によって表現できる概念を球体に置き換えることができます。 例えば、 球状の円– 与えられた点から等距離にある球上の点のセット R。 円が球の直径に垂直な平面上にあることを示すのは簡単です RR` (図3)、つまり これは直径上に中心がある普通の平らな円です RR`。 ただし、球状の中心が 2 つあります。 Rそして R`。 これらのセンターは通常、 極。 地球儀に目を向けると、これは緯線などの円について話していることがわかり、すべての緯線の球の中心は北極と南極です。 球円の直径 r が p/2 に等しい場合、球円は球直線になります。 （地球上には赤道があります）。 この場合、そのような円を次のように呼びます。 極地それぞれのポイント Rそして P`.

幾何学における最も重要な概念の 1 つは、図形の等価性です。 距離が維持されるような方法 (回転と平行移動によって) に一方を他方の上に表示できる場合、それらの図形は等しいとみなされます。 これは球面ジオメトリにも当てはまります。

球上の角度は次のように定義されます。 2つの球面線が交わるとき あるそして b平面上の 2 つの交差する線が球を 4 つの平面角に分割するのと同じように、4 つの球形のビゴンが球上に形成されます (図 4)。 各対角線は、以下を含む直径方向の平面によって形成される二面角に対応します。 あるそして b。 そして、球状の直線の間の角度は、それらが形成する対角線の角度の小さい方に等しい。

また、角度 P にも注目してください。 ABC、大円の 2 つの円弧によって球上に形成され、角度 P で測定されます。 あ`紀元前` ある点における対応する円弧の接線の間 で(図 5) または球面セグメントを含む直径方向の平面によって形成される二面角 ABそして 太陽.

立体測定の場合と同様に、球上の各点は、球の中心からこの点まで引かれた光線に関連付けられ、球上のあらゆる図形は、球と交差するすべての光線の結合に関連付けられます。 したがって、球面直線はそれを含む直径平面に対応し、球面線分は平面角に対応し、二角形は二面角に対応し、球面円はその軸が円の極を通過する円錐面に対応します。

球の中心に頂点を持つ多面体の角度が球多角形に沿って球と交差します (図6)。 これは、球セグメントの破線で囲まれた球上の領域です。 破線のリンクは球面多角形の辺です。 それらの長さは、多面体の角度の対応する平面角度の値、および任意の頂点での角度の値に等しくなります。 あエッジの上二面角に等しい OA.

球面三角形。

すべての球状ポリゴンの中で、球状三角形が最も興味深いものです。 2 点でペアで交差する 3 つの大きな円が、球上に 8 つの球面三角形を形成します。 そのうちの 1 つの要素 (辺と角度) がわかれば、他のすべての要素を決定することができます。そのため、そのうちの 1 つの要素 (すべての辺が大きい要素の半分未満である要素) 間の関係を考慮します。丸。 三角形の辺は、三面角の平面角によって測定されます。 OABC、三角形の角度は同じ三面角の二面角です（図7）。

球面三角形の多くの特性 (三面角の特性でもあります) は、通常の三角形の特性をほぼ完全に繰り返します。 その中には、三角不等式があります。これは、三面体角の用語で、三面体角の任意の平面角が他の 2 つの角度の合計よりも小さいことを示します。 または、たとえば、三角形の等価性を示す 3 つの記号。 言及した定理のすべての測地学的結果は、その証明とともに、球面上でも有効です。 したがって、セグメントの端から等距離にある点のセットは、セグメントの中央を通る直線であるそれに垂直な球上にもあり、そこから二等分線は球面三角形の辺に垂直であることがわかります。 ABC共通点がある、というよりむしろ、正反対の 2 つの共通点がある Rそして R`、これはその唯一の外接円の極です (図 8)。 立体測定では、これは、任意の三面体の角度を中心に円錐を記述できることを意味します。 三角形の二等分線が内接円の中心で交差するという定理を球に当てはめるのは簡単です。

高さと中央値の交点に関する定理も依然として真実ですが、面積測定における通常の証明では、球面上には存在しない平行度が直接的または間接的に使用されるため、立体測定の言語で再度証明する方が簡単です。 米。 図 9 は、球面中央定理の証明を示しています。球面三角形の中央線を含む平面です。 ABC、通常の中線に沿って同じ頂点を持つ平面三角形と交差するため、それらはすべて平面の中線の交点を通過する球の半径を含みます。 半径の端は、3 つの「球形」中央線の共通点になります。

球面三角形の特性は、平面上の三角形の特性とは多くの点で異なります。 したがって、既知の直線三角形が等しい 3 つのケースに、4 番目の 2 つの三角形が追加されます。 ABCそして А`В`С` は 3 つの角度 P がそれぞれ等しい場合に等しい あ=P あ`, R で=P で`, R と=P と`。 したがって、球面上には相似な三角形は存在せず、さらに、球面幾何学には相似性という概念自体がありません。 すべての距離を同じ（1 ではない）回数だけ変更する変換はありません。 これらの特徴は、ユークリッドの平行線の公理の違反に関連しており、ロバチェフスキーの幾何学にも固有のものです。 三角形など、等しい要素を持ち、方向が異なる三角形は対称と呼ばれます。 交流`とそして VSS` (図10)。

球面三角形の角度の合計は常に 180° より大きくなります。 差P あ+P で+P と - p = d (ラジアンで測定) は正の量であり、球面過剰と呼ばれます。 与えられた球面三角形の。 球面三角形の面積： S = R 2dどこで Rは球の半径、d は球の余剰分です。 この公式は 1629 年にオランダ人の A. ジラールによって初めて発表され、彼の名にちなんで命名されました。

角度 a の対角線を考えると、226 = 2p/ n (n –整数) 球を正確に切り取ることができます Pこのようなダイアゴンのコピー、球の面積は4です nR 2 = 4pで R= 1 なので、対角線の面積は 4p/ n= 2a。 この式は、 = 2P t/nしたがって、すべての a に当てはまります。 球面三角形の辺を続けると ABCそして、角度を付けて得られたビゴンの領域を介して球の面積を表現します あ,で,とそしてそれ自体の領域を考慮すると、上記のジラールの公式に到達することができます。

球上の座標。

球上の各点は、2 つの数値を指定することによって完全に決定されます。 これらの数字 ( 座標)は次のように決定されます(図11)。 いくつかの大きな円が修正されました QQ` (赤道)、球の直径の 2 つの交点のうちの 1 つ PP`、赤道面に垂直、球の表面、たとえば R (ポール)、および大きな半円の 1 つ パップ` ポールから出てくる ( 第一子午線）。 大きな半円が出てきます P子午線と呼ばれる、赤道に平行な小さな円。 LL`、 – 平行線。 ポイント座標の一つとして M球面上で角度 q がとられます =POM (ポイントの高さ)、2 番目の角度 j として = エーオン第一子午線とその点を通過する子午線の間 M (経度ポイント、反時計回りに数えます)。

(地球上の) 地理では、グリニッジ天文台 (グリニッジはロンドン区) のメインホールを通過するグリニッジ子午線を第一子午線として使用するのが通例であり、地球をそれぞれ東半球と西半球に分けます。 、経度は東または西であり、グリニッジから両方向に 0 ～ 180° で測定されます。 そして、地理では点の高さの代わりに緯度を使用するのが通例です で、つまり コーナー ノム = 90° – q、 赤道から測ったもの。 なぜなら 赤道は地球を北半球と南半球に分けるため、緯度は北か南のいずれかとなり、0 から 90 度まで変化します。

マリーナ・フェドソワ

数学の最終課題
グレード10
2017 年 4 月 28 日
オプション MA00602
（基本的なレベル）
記入者: フルネーム_______________________________________ クラス ______
作業を行うための指示
最後の数学作業を完了するために 90 分が与えられます。 仕事
15 のタスクが含まれており、2 つの部分で構成されます。
最初の部分のタスク (1 ～ 10) の答えは整数です。
小数または一連の数値。 フィールドに答えを書いてください
作品の本文で答えてください。
2 番目のパートのタスク 11 では、答えを特別な形式で書き留める必要があります。
これに割り当てられたフィールド。
2 番目のパートのタスク 12 ～ 14 では、解決策と回答を書き留める必要があります。
この目的のために提供されたフィールドに。 タスク 15 の答えは次のとおりです。
関数グラフ。
タスク 5 と 11 はそれぞれ 2 つのバージョンで提示されます。
1 つを選択して実行するだけです。
ワークを行う場合、教科書を使用したり、ワークしたりすることはできません。
ノート、参考書、電卓。
必要に応じて、ドラフトを使用できます。 ドラフトのエントリーはレビューまたは採点されません。
タスクは任意の順序で完了できますが、重要なのは正しく実行することです
できるだけ多くのタスクを解決します。 時間を節約することをお勧めします
すぐに完了できないタスクはスキップして次に進みます
次へ。 すべての作業が完了してもまだ時間があれば、
見逃したタスクに戻ることができます。
あなたの成功を祈っています！

パート1
タスク 1 ～ 10 では、整数、小数、または小数で答えてください。
数字の並び。 本文の回答欄に答えを書いてください
仕事。
1

電気ケトルの価格は10％値上げされ、
1980ルーブル。 値上げ前のやかんの価格は何ルーブルでしたか?

オレグとトーリャは同時に学校を出て、同じ方向に家に帰りました。
高い。 少年たちは同じ家に住んでいます。 図はグラフを示しています
それぞれの動き：オレグ - 実線、トルヤ - 点線。 による
縦軸は距離（メートル単位）を示し、横軸は距離を示します
それぞれの移動時間（分単位）。

グラフを使用して、正しいステートメントを選択してください。
1)
2)
3)

オレグはトーリャより先に帰宅した。
学校を出て３分後、オレグはトーリャに追いついた。
旅全体を通じて、少年たちの間の距離は縮まりました
100メートル。
4) 最初の 6 分間で、男子生徒は同じ距離を走行しました。


答え： ___________________________

式の意味を調べてください

π
π
- 2 罪 2。
8
8

答え： ___________________________
StatGrad 2016 ～ 2017 学年度。 オンラインまたは印刷物で出版する
StatGrad の書面による同意がない限り、これは禁止されています

数学。 グレード10。 オプション 00602 (基本レベル)

単位円上に 2 つのマークが付いています
正反対の点 Pα と
Pβ は角度 α および角度による回転に対応します。
β (図を参照)。
次のように言うことは可能でしょうか:
1) α  β  0
2) cosα  cosβ
3) α  β  2π
4) sin α  sin β  0

回答では、スペース、カンマ、および
その他の追加キャラクター。
答え： ___________________________
タスク 5.1 または 5.2 のいずれか 1 つだけを選択して完了します。
5.1

図はグラフを示しています
関数 y  f (x) は区間   3;11 で定義されます。
最小値を見つける
セグメント  1 上の関数。 5。

答え： ___________________________
5.2

方程式 log 2 4 x5  6 を解きます。

答え： ___________________________

StatGrad 2016 ～ 2017 学年度。 オンラインまたは印刷物で出版する
StatGrad の書面による同意がない限り、これは禁止されています

数学。 グレード10。 オプション 00602 (基本レベル)

点 A、B、C を通過する平面 (「.
図)、立方体を 2 つの多面体に分割します。 の一つ
4つの側面があります。 2番目には顔が何個ありますか？

答え： ___________________________
7

正しいステートメントの番号を選択してください。
1)
2)
3)
4)

空間では、特定の線上にない点を介して、次のことができます。
与えられた線と交差しない平面を描きます。
1つ。
平面に描かれた傾斜線は、平面と同じ角度を形成します。
すべての直線はこの平面内にあります。
任意の 2 本の交差する線を通して平面を描くことができます。
特定の線上にない空間内の点を介して、次のことができます。
指定された線と交差しない 2 本の直線を描きます。

回答では、スペース、カンマ、および
その他の追加キャラクター。
答え： ___________________________
8

養鶏場にはニワトリとアヒルしかいないが、ニワトリの数はニワトリの7倍である。
アヒル ランダムに選択された農場が、
その鳥はアヒルであることが判明しました。
答え： ___________________________

キャノピーの屋根は14°の角度で配置されています
水平方向に。 2つのサポート間の距離
400センチメートルです。 テーブルを使って、
1つのサポートが何センチであるかを決定します
他よりも長いです。
α
13
14
15
16
17
18
19

シンα
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Cosα
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tgα
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

答え： ___________________________
StatGrad 2016 ～ 2017 学年度。 オンラインまたは印刷物で出版する
StatGrad の書面による同意がない限り、これは禁止されています

数学。 グレード10。 オプション 00602 (基本レベル)

3 で割り切れる最小の 7 桁の自然数を見つけます。
ただし、6 で割り切れず、2 番目から始まる各桁が小さい
前回のもの。
答え： ___________________________
パート2
タスク 11 では、指定されたスペースに答えを記入します。 タスク内
12-14 解答と答えを特別に指定されたスペースに書き留める必要があります
この分野のために。 タスク 15 の答えは関数のグラフです。
タスク 11.1 または 11.2 のいずれか 1 つだけを選択して完了します。

2
。 考えられる 3 つの異なる値を書き留めます。
2
そういった角度。 ラジアンで答えてください。

log 7 80 より大きい最小の自然数を見つけます。

角度の余弦は -

StatGrad 2016 ～ 2017 学年度。 オンラインまたは印刷物で出版する
StatGrad の書面による同意がない限り、これは禁止されています

数学。 グレード10。 オプション 00602 (基本レベル)

三角形 ABC では、辺 AB と辺 BC にマークが付けられます
BM: AB  1: 2 となるように、それぞれ点 M と K
BK:BC  2:3。 三角形ABCの​​面積は何倍？
三角形MVKの面積より大きい？

不等式 ax  b  0 となるような数値 a と b のペアを選択します。
図に示されている 5 つのポイントのうち 3 つを正確に満たしています。
-1

StatGrad 2016 ～ 2017 学年度。 オンラインまたは印刷物で出版する
StatGrad の書面による同意がない限り、これは禁止されています

数学。 グレード10。 オプション 00602 (基本レベル)

アイアンの価格は同じ割合で 2 回値上げされました。 の上
鉄の価格は毎回何パーセント上がりましたか
初期費用は2000ルーブル、最終費用は3380ルーブルですか？

StatGrad 2016 ～ 2017 学年度。 オンラインまたは印刷物で出版する
StatGrad の書面による同意がない限り、これは禁止されています

数学。 グレード10。 オプション 00602 (基本レベル)

関数 y  f (x) には次の特性があります。
1) 2  x  1 で f (x)  3 x  4;
2) f (x)  x  2 at 1  x  0;
3) f (x)  2  ​​2 x at 0  x  2;
4) 関数 y  f (x) は周期 4 で周期的です。
この関数のグラフをセグメント  6;4 上に描きます。
y

StatGrad 2016 ～ 2017 学年度。 オンラインまたは印刷物で出版する
StatGrad の書面による同意がない限り、これは禁止されています