累乗を含む式を変換します。 式の変換

式の値を計算するときに最後に実行される算術演算が「マスター」演算です。

つまり、文字の代わりに (任意の) 数値を代入して式の値を計算しようとした場合、最後のアクションが乗算であれば、積が得られます (式は因数分解されます)。

最後のアクションが加算または減算である場合、これは式が因数分解されていない (したがって、約分できない) ことを意味します。

これを強化するには、いくつかの例を自分で解決してください。

例:

解決策:

1. すぐに切り出さなくてよかったと思いますが、どうですか？ 次のように単位を「減らす」だけではまだ十分ではありませんでした。

最初のステップは因数分解です。

4. 分数の足し算と引き算。 分数を共通の分母に換算します。

通常の分数の加算と減算はよく知られた操作です。共通の分母を探し、各分数に不足している因数を乗算し、分子を加算または減算します。

覚えておきましょう:

答え:

1. 分母と は比較的素です。つまり、共通の因数がありません。 したがって、これらの数値の最小公倍数はその積に等しくなります。 これが共通点になります。

2. ここでの共通点は次のとおりです。

3. ここでは、まず帯分数を不正分数に変換し、次に通常のスキームに従います。

分数に文字が含まれている場合は、まったく別の問題になります。たとえば、次のとおりです。

簡単なことから始めましょう:

a) 分母に文字が含まれていない

ここでは、すべてが通常の分数の場合と同じです。共通の分母を見つけ、各分数に不足している因数を乗算し、分子を加算または減算します。

ここで、分子に同様のものがあれば与えて、因数分解することができます。

自分で試してみてください:

答え:

b) 分母に文字が含まれる

文字を使わずに共通分母を見つける原則を思い出してみましょう。

· まず第一に、共通因数を決定します。

· 次に、すべての共通因子を一度に 1 つずつ書き出します。

· そして、それらを他のすべての非共通因数で乗算します。

分母の共通因数を決定するには、まず分母を素因数に因数分解します。

共通の要素を強調しましょう。

次に、共通因子を一度に 1 つずつ書き出して、それらに非共通因子 (下線のない因子) をすべて加えてみましょう。

これが共通点です。

手紙の話に戻りましょう。 分母はまったく同じ方法で与えられます。

· 分母を因数分解します。

· 共通の (同一の) 要因を決定します。

· すべての共通因子を一度書き出します。

· 他のすべての非共通因数を乗算します。

したがって、順番に:

1) 分母を因数分解します。

2) 共通の (同一の) 要素を決定します。

3) すべての共通因数を一度書き出して、他のすべての (強調されていない) 因数を掛けます。

つまり、ここには共通点があります。 最初の分数には次の値を乗算し、2 番目の分数には次の値を乗算する必要があります。

ちなみに、一つコツがあります。

例えば： 。

分母には​​同じ要素が含まれていますが、指標がすべて異なるだけです。 共通点は次のようになります。

程度に

程度に

程度に

程度に。

タスクを複雑にしてみましょう。

分数の分母を同じにする方法は?

分数の基本的な性質を思い出してみましょう。

分数の分子と分母から同じ数を引く (または足す) ことができるとはどこにも記載されていません。 それは真実ではないからです！

自分自身で確認してください。たとえば、任意の分数をとり、分子と分母に数値を加算します (たとえば、 )。 何を学びましたか？

したがって、もう一つの揺るぎないルールは次のとおりです。

分数を公分母に減らすときは、乗算演算のみを使用してください。

しかし、得るために何を掛ける必要があるのでしょうか?

それで乗算します。 そして次のように乗算します。

因数分解できない式を「要素因数」と呼びます。

たとえば、これは基本的な要素です。 - 同じ。 しかし、いいえ、因数分解することができます。

表現についてはどうでしょうか？ 初級ですか？

いいえ、因数分解できるため、次のようになります。

(因数分解についてはトピック「」ですでに読んでいます)。

したがって、文字を使用した式を分解する基本因子は、数値を分解する単純な因子に似ています。 そして、私たちはそれらにも同様の方法で対処します。

両方の分母に乗数があることがわかります。 それはある程度の共通点に達します (理由を覚えていますか?)。

この因数は基本的なものであり、共通の因数はありません。つまり、最初の分数には単純にそれを掛ける必要があります。

もう一つの例：

解決：

パニックになってこれらの分母を掛ける前に、それらを因数分解する方法を考える必要があります。 両方とも次のことを表します。

素晴らしい！ それから：

もう一つの例：

解決：

いつものように、分母を因数分解してみましょう。 最初の分母では、単純に括弧の外に置きます。 2番目 - 平方の差:

共通因子は存在しないように思えます。 しかし、よく見ると似ています...そしてそれは本当です:

それでは、次のように書きましょう:

つまり、次のようになります。括弧内で用語を交換し、同時に分数の前の符号を反対に変更しました。 これは頻繁に行う必要があることに注意してください。

では、共通点を考えてみましょう。

わかった？ 今すぐ確認してみましょう。

独立したソリューションのタスク:

答え:

ここでもう 1 つ覚えておく必要があるのは、立方体の違いです。

2 番目の分数の分母には「和の 2 乗」という式が含まれていないことに注意してください。 和の二乗は次のようになります。

A は、いわゆる和の不完全二乗です。その中の 2 番目の項は、最初と最後の項の積であり、その 2 倍の積ではありません。 和の部分二乗は、立方体の差の拡大の要因の 1 つです。

すでに端数が 3 つある場合はどうすればよいでしょうか?

はい、同じです！ まず、分母の因数の最大数が同じであることを確認してください。

注: 1 つの括弧内の符号を変更すると、分数の前の符号が反対の符号に変わります。 2 番目の括弧内の符号を変更すると、分数の前の符号が再び反対に変わります。 結果として、それ（分数の前の符号）は変化しません。

最初の分母全体を共通の分母に書き出してから、まだ書き込まれていないすべての因数を 2 番目から、次に 3 番目から (さらに分数がある場合は同様に) 加えます。 つまり、次のようになります。

うーん...分数をどうするかは明らかです。 しかし、二人はどうでしょうか？

それは簡単です。分数の加算方法は知っていますよね? したがって、2 を分数にする必要があります。 覚えておいてください: 分数は除算演算です (忘れた場合のために、分子を分母で割ります)。 数値を除算することほど簡単なことはありません。 この場合、数値自体は変わりませんが、分数に変わります。

まさに必要なものです！

5. 分数の掛け算と割り算。

さて、最も難しい部分はもう終わりました。 そして、私たちの前にあるのは最も単純ですが、同時に最も重要なことです。

手順

数式を計算する手順は何ですか? この式の意味を計算して覚えてください。

数えましたか？

うまくいくはずです。

それで、思い出させてください。

最初のステップは次数を計算することです。

2つ目は掛け算と割り算です。 複数の乗算と除算を同時に実行する場合、それらは任意の順序で実行できます。

そして最後に、加算と減算を実行します。 繰り返しますが、順序は任意です。

ただし、括弧内の式は順番どおりに評価されません。

複数の括弧が互いに乗算または除算される場合は、まず各括弧内の式を計算してから、それらを乗算または除算します。

括弧内にさらに括弧がある場合はどうなるでしょうか? さて、考えてみましょう。括弧内に何らかの式が書かれています。 式を計算するとき、最初に何をすべきでしょうか? そうです、括弧を計算してください。 さて、私たちはそれを理解しました。最初に内側の括弧を計算し、次に他のすべてを計算します。

したがって、上記の式の手順は次のとおりです (現在のアクションは赤で強調表示されています。つまり、現在実行しているアクションです)。

はい、すべて簡単です。

でもこれって文字を使った表現とは違うんですよね？

いいえ、同じです！ 算術演算の代わりにのみ、代数演算、つまり前のセクションで説明したアクションを実行する必要があります。 似たようなものを持ってくる、分数の加算、分数の減算など。 唯一の違いは、多項式の因数分解の動作です (分数を扱うときにこれをよく使用します)。 ほとんどの場合、因数分解するには、I を使用するか、単純に共通因数を括弧の外に置く必要があります。

通常、私たちの目標は式を積または商として表すことです。

例えば：

表現を簡略化してみましょう。

1) まず、括弧内の式を簡略化します。 そこには分数の違いがあり、私たちの目標はそれを積または商として表すことです。 したがって、分数を共通の分母にして、次のように加算します。

この式をこれ以上単純化することは不可能です。ここでの要素はすべて基本的なものです (これが何を意味するかまだ覚えていますか?)。

2) 次のようになります。

分数の掛け算: もっと簡単なことはないでしょうか。

3) これで、次のように短縮できます。

OK、もう終わりです。 何も複雑なことはありませんね?

もう一つの例：

表現を簡略化します。

まず、自分で解決してみて、それから解決策を見てください。

解決：

まずは行動の順番を決めましょう。

まず、括弧内の分数を加算して、2 つの分数の代わりに 1 つの分数を取得します。

次に、分数の割り算をしてみます。 さて、結果を最後の分数で足してみましょう。

ステップに概略的に番号を付けます。

次に、現在のアクションを赤で着色してプロセスを示します。

1. 類似品がある場合は、直ちにお持ちください。 私たちの国で同様のことが起こった場合は、すぐに取り上げることをお勧めします。

2. 同じことが分数の削減にも当てはまります。削減の機会が現れたらすぐにそれを利用しなければなりません。 例外は、加算または減算する分数です。分母が同じになっている場合は、約分を後で行う必要があります。

以下に、自分で解決する必要のあるタスクをいくつか示します。

そして、最初に約束されたことは次のとおりです。

答え:

解決策 (概要):

少なくとも最初の 3 つの例に対処できた場合は、このトピックを習得したと考えてください。

さあ、学習へ！

式の変換。 概要と基本公式

基本的な単純化操作:

• 同様のものを持ち込む: 類似した用語を追加 (削減) するには、それらの係数を追加し、文字部分を割り当てる必要があります。
• 因数分解:共通因数を括弧の外に出す、適用するなど。
• 分数の約定: 分数の分子と分母は、ゼロ以外の同じ数値で乗算または除算できますが、分数の値は変わりません。
  1) 分子と分母 因数分解する
  2) 分子と分母に共通の因数がある場合は、取り消し線を引くことができます。

  重要: 減らすことができるのは乗数のみです。

• 分数の加算と減算:
  ;
• 分数の乗算と除算:
  ;

式、式変換

べき乗式（べき乗を伴う式）とその変形

この記事では、累乗を使用した式の変換について説明します。 まず、かっこを開いたり、類似した用語を持ってきたりするなど、べき乗表現を含むあらゆる種類の表現で実行される変換に焦点を当てます。 次に、次数の式に特有の変換を分析します。基数と指数の操作、次数のプロパティの使用などです。

ページナビゲーション。

力表現とは何ですか？

「べき乗式」という用語は、学校の数学の教科書にはほとんど登場しませんが、問題集、特に統一国家試験や統一国家試験対策用の問題集にはよく登場します。 パワー表現を使用してアクションを実行する必要があるタスクを分析すると、パワー表現はエントリにパワーを含む表現として理解されることが明らかになります。 したがって、次の定義を自分自身で受け入れることができます。

意味。

力の表現度を含む式です。

あげましょう 力の表現の例。 さらに、自然指数を伴う次数から実指数を伴う次数への見解の発展がどのように起こるかに従ってそれらを提示します。

知られているように、この段階では、最初の最も単純な累乗式である 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) について学びます。 4、3 a 2 は −a+a 2 、x 3−1 、(a 2) 3 などのように現れます。

少し後で、整数の指数をもつ数値のべき乗が研究され、次のような負の整数べき乗をもつべき乗式が現れます: 3 −2, 、ａ －２ ＋２ ｂ －３ ＋ｃ ２ 。

高校では学位に戻ります。 そこでは有理指数を伴う次数が導入され、対応するべき乗式の出現が伴います。 , , 等々。 最後に、無理指数を含む次数とそれを含む式が考慮されます: 、 。

問題は、列挙した累乗式に限定されません。さらに、変数が指数に浸透し、たとえば、次のような式が生じます。 2 x 2 +1 または 。 そして、 に慣れると、x 2・lgx −5・x lgx など、べき乗や対数を使った式が出てくるようになります。

以上、力表現が何を表すかという問題を取り上げてきました。 次に、それらを変換する方法を学びます。

べき乗式の変換の基本的な種類

べき乗式を使用すると、式の基本的な恒等変換を実行できます。 たとえば、かっこを開いたり、数値式をその値に置き換えたり、類似した用語を追加したりできます。 当然のことながら、この場合、アクションを実行するために承認された手順に従う必要があります。 例を挙げてみましょう。

例。

べき乗式 2 3 ·(4 2 −12) の値を計算します。

解決。

アクションの実行順序に従って、最初に括弧内のアクションを実行します。 そこでは、まず、べき乗 4 2 をその値 16 に置き換えます (必要に応じて、参照)。次に、差 16−12=4 を計算します。 我々は持っています 2 3 ・(4 2 −12)=2 3 ・(16 −12)=2 3 ・4.

結果の式では、2 3 乗をその値 8 に置き換えてから、積 8・4=32 を計算します。 これが望ましい値です。

それで、 2 3 ・(4 2 −12)=2 3 ・(16−12)=2 3 ・4=8・4=32.

答え：

2 3 ·(4 2 −12)=32。

例。

累乗を使用して式を簡略化する 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

解決。

明らかに、この式には同様の項 3・a 4 ・b −7 と 2・a 4 ・b −7 が含まれており、次のように表すことができます。

答え：

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

例。

力のある表現をプロダクトとして表現する。

解決。

このタスクには、数字 9 を 3 2 の累乗として表し、省略された乗算の公式 (二乗の差) を使用することで対処できます。

答え：

特にべき乗式に固有の同一の変換も多数あります。 さらに分析していきます。

基数と指数の操作

基数や指数が単なる数値や変数ではなく、いくつかの式である次数があります。 例として、エントリ (2+0.3·7) 5−3.7 および (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) を与えます。

このような式を使用する場合、次数の基底の式と指数の式の両方を、変数の ODZ 内のまったく同じ式に置き換えることができます。 言い換えれば、私たちが知っている規則に従って、次数の底と指数を別々に変換できます。 この変換の結果、元の式とまったく同じ式が得られることは明らかです。

このような変換により、べき乗を使用して式を簡素化したり、必要な他の目標を達成したりすることができます。 たとえば、上記のべき乗式 (2+0.3 7) 5−3.7 では、底と指数の数値を使用して演算を実行でき、4.1 1.3 乗に移動できます。 そして括弧を開いて同様の項を次数の底に持ってくると (a・(a+1)−a 2) 2・(x+1)、より単純な形式の累乗表現 a 2・(x+) が得られます。 1) 。

次数プロパティの使用

累乗を使用して式を変換するための主なツールの 1 つは、 を反映する等式です。 主なものを思い出してみましょう。 任意の正の数 a と b、および任意の実数 r と s について、次のべき乗の性質が当てはまります。

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a・b) r =a r ・b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (ar) s =a r・s 。

自然指数、整数指数、正の指数の場合、数値 a と b の制限はそれほど厳しくない場合があることに注意してください。 たとえば、自然数 m と n の場合、等価 a m ·a n =a m+n は、正の a だけでなく、負の a や a=0 にも当てはまります。

学校では、べき乗式を変換する際の主な焦点は、適切なプロパティを選択し、それを正しく適用する能力にあります。 この場合、度数の基数は通常は正であるため、度数のプロパティを制限なく使用できます。 同じことが、累乗の基底に変数を含む式の変換にも当てはまります。変数の許容値の範囲は、通常、累乗の基数が正の値のみを取るため、累乗のプロパティを自由に使用できます。 。 一般に、この場合に学位のプロパティを使用できるかどうかを常に自問する必要があります。プロパティの使用を誤ると、教育的価値が狭められたり、その他の問題が発生したりする可能性があるためです。 これらの点については、べき乗の特性を使用した式の変換の記事で例を挙げて詳しく説明します。 ここでは、いくつかの簡単な例を検討することに限定します。

例。

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 という式を底を a とするべき乗として表します。

解決。

まず、べき乗の性質を使用して 2 番目の因数 (a 2) −3 を変換します。 (a 2) −3 =a 2・(−3) =a −6。 元のべき乗式は、a 2.5 ·a −6:a −5.5 の形式になります。 明らかに、べき乗の乗算と除算の性質を同じ基底で使用する必要があります。
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
ａ−３．５−（−５．５）＝ａ２．

答え：

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

べき乗式を変換するときのべき乗のプロパティは、左から右と右から左の両方で使用されます。

例。

べき乗の値を求めます。

解決。

等式 (a・b) r =a r ・br r を右から左に適用すると、元の式から次の形式の積、そしてさらに先に進むことができます。 同じ基数でべき乗を掛けると、指数は合計されます。 .

元の式を別の方法で変換することも可能でした。

答え：

.

例。

べき乗式 a 1.5 −a 0.5 −6 を考えると、新しい変数 t=a 0.5 を導入します。

解決。

次数 a 1.5 は a 0.5 3 として表すことができ、次数 (a r) s =ar s の次数の特性に基づいて右から左に適用すると、それを (a 0.5) 3 の形式に変換します。 したがって、 a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6。 新しい変数 t=a 0.5 を導入するのは簡単です。t 3 −t−6 が得られます。

答え：

ｔ３−ｔ−６。

累乗を含む分数の変換

べき乗式には、べき乗を含む分数を含めたり、分数を表すことができます。 あらゆる種類の分数に固有の分数の基本的な変換は、そのような分数に完全に適用できます。 つまり、累乗を含む分数を約分したり、新しい分母に換算したり、分子や分母を別々に処理したりすることができます。 これらの言葉を説明するために、いくつかの例に対する解決策を考えてみましょう。

例。

べき乗表現を簡略化する .

解決。

このべき乗式は分数です。 分子と分母を操作してみましょう。 分子では括弧を開き、累乗の性質を使用してこの後に得られる式を簡略化します。分母では同様の項を示します。

また、分数の前にマイナスを付けて、分母の符号を変更しましょう。 .

答え：

.

累乗を含む分数を新しい分母に減らすことは、有理分数を新しい分母に減らすのと同様に実行されます。 この場合、追加の因数も見つかり、分数の分子と分母にそれが乗算されます。 このアクションを実行するときは、新しい分母への削減が VA の縮小につながる可能性があることを覚えておく価値があります。 これを防ぐには、元の式の ODZ 変数の変数の値について、追加の係数がゼロにならないようにする必要があります。

例。

分数を新しい分母に減算します: a) を分母 a、b) 分母に。

解決。

a) この場合、どの乗数を追加すれば望ましい結果を達成できるかを理解するのは非常に簡単です。 a 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a なので、これは a 0.3 の乗数です。 変数 a の許容値の範囲 (これはすべての正の実数のセットです) では、0.3 のべき乗は消えません。したがって、与えられた値の分子と分母を乗算する権利があることに注意してください。この追加係数による分数:

b) 分母を詳しく見てみると、次のことがわかります。

この式に を乗算すると、 3 乗と の和、つまり が得られます。 これは、元の分数を減らす必要がある新しい分母です。

こうして追加の要素が見つかりました。 変数 x と y の許容値の範囲内では、式は消滅しないため、分数の分子と分母にそれを掛けることができます。

答え：

A) 、b) .

また、累乗を含む分数を約分することにも新しいことはありません。分子と分母はいくつかの因数として表され、分子と分母の同じ約数が約分されます。

例。

分数を減らします: a) 、b）。

解決。

a) まず、分子と分母は 30 と 45 だけ減算され、15 に等しくなります。 x 0.5 +1 と によるリダクションを実行することも明らかに可能です。 。 私たちが持っているものは次のとおりです。

b) この場合、分子と分母の同一の因数はすぐには見えません。 それらを取得するには、予備変換を実行する必要があります。 この場合、二乗の差の公式を使用して分母を因数分解します。

答え：

A)

b) .

分数の新しい分母への変換と分数の約分は、主に分数を処理するために使用されます。 アクションは既知のルールに従って実行されます。 分数を加算（減算）する場合、分母は共通の分母に減らされ、その後分子が加算（減算）されますが、分母は変わりません。 結果は、分子が分子の積であり、分母が分母の積である分数になります。 分数による除算は、その逆数による乗算です。

例。

手順に従ってください .

解決。

まず、括弧内の分数を引きます。 これを行うには、それらを共通の分母に導きます。 、その後、分子を減算します。

次に、分数を掛けます。

明らかに、x 1/2 乗で減らすことができます。 .

二乗差の公式を使用して、分母の累乗式を簡素化することもできます。 .

答え：

例。

電力式を簡略化する .

解決。

明らかに、この分数は (x 2.7 +1) 2 で減らすことができます。これにより、次の分数が得られます。 。 X の力を使って何か他のことを行う必要があることは明らかです。 これを行うために、結果として得られる部分を積に変換します。 これにより、同じ基底で権力を分割するという特性を利用する機会が得られます。 。 そしてプロセスの最後に、最後の製品から端数に移動します。

答え：

.

また、負の指数を持つ因数を分子から分母に、または分母から分子に転送して、指数の符号を変更することが可能であり、多くの場合それが望ましいことも付け加えておきます。 このような変換により、その後のアクションが簡素化されることがよくあります。 たとえば、べき乗式は に置き換えることができます。

根と累乗を使用した式の変換

多くの場合、何らかの変換が必要な式では、べき乗とともに分数指数を含む根も存在します。 このような式を目的の形式に変換するには、ほとんどの場合、根またはべき乗のみを実行するだけで十分です。 しかし、パワーを使って作業するほうが便利なので、通常はルートからパワーへ移動します。 ただし、元の式の変数の ODZ により、モジュールを参照したり ODZ をいくつかの区間に分割したりすることなく、ルートを累乗で置き換えることができる場合には、このような遷移を実行することをお勧めします (これについては、「で詳しく説明しました」で説明しています)。根からべき乗への記事の移行 有理指数を使用した次数を理解した後、無理指数を使用した次数が導入され、この段階で任意の実数指数を使用した次数について話し始めることができます。学校で勉強しました。 指数関数これは、累乗によって分析的に与えられます。その底は数値であり、指数は変数です。 したがって、べき乗の底と指数に数値を含むべき乗式、つまり変数を含む式に直面することになり、当然、そのような式の変換を実行する必要が生じます。

通常、解決時に指定された型の式の変換を実行する必要があると言われるべきです。 指数方程式そして 指数関数的不等式, これらの変換は非常に簡単です。 圧倒的多数の場合、それらは度数の特性に基づいており、ほとんどの場合、将来的に新しい変数を導入することを目的としています。 方程式を使用すると、それらを実証できます。 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

まず、ある変数（または変数を含む式）と数値の和を指数とするべき乗を積に置き換えます。 これは、左辺の式の最初と最後の項に適用されます。
5 2 × 5 1 −3 5 × 7 × −14 7 2 × 7 −1 =0,
5 5 2 × −3 5 × 7 × −2 7 2 × =0.

次に、等式の両辺が式 7 2 x で除算されます。これは、元の方程式の変数 x の ODZ 上で正の値のみをとります (これは、このタイプの方程式を解くための標準的な手法ですが、私たちはそうではありません)それについては今話しているので、累乗を使用したその後の式の変換に焦点を当ててください):

これで、べき乗で分数をキャンセルできるようになります。 .

最後に、同じ指数を持つべき乗の比が関係のべき乗に置き換えられ、次の方程式が得られます。 、これは同等です 。 行われた変換により、元の指数方程式の解を二次方程式の解に帰着させる新しい変数を導入することができます。

市立教育機関

初等中等教育学校第25

代数のレッスン

主題：

« 小数部のべき乗を含む式を変換する

によって開発された：

,

数学の先生

より高い資格カテゴリー

ノーダル

2013

レッスンのテーマ: 指数を含む式を小数部の指数に変換する

レッスンの目的:

1. 分数指数を含む次数を含む式を変換するスキル、知識、およびスキルのさらなる開発

2. 間違いを見つける能力の開発、思考、創造性、スピーチ、コンピューティングスキルの開発

3. 独立性、主題への関心、注意力、正確さを育みます。

TCO:磁気ボード、テスト カード、テーブル、個人用カード、学童には個人作業用のテーブル上に白紙の署名済みシート、クロスワード パズル、数学的ウォームアップ用のテーブル、マルチメディア プロジェクターがあります。

レッスンタイプ: ZUNの確保。

長期にわたるレッスン計画

1. 組織的な側面 (2 分)

2. 宿題のチェック（5分）

3. クロスワード パズル (3 分)

4. 数学的なウォーミングアップ (5 分)

5. 正面強化エクササイズを解く (7 分)

6. 個人作業（10分）

7. 反復演習の解答 (5 分)

8. レッスンの概要 (2 分)

9. 宿題（1分）

授業中

1) ピアレビューの形で宿題をチェックする 。 良い生徒は弱い子のノートをチェックします。 そして、弱い奴らはサンプルコントロールカードを使って強い奴らとチェックする。 宿題は 2 つのバージョンで出されます。

私 オプションのタスクは難しくありません

Ⅱ オプション、その仕事は難しい

チェックの結果、生徒たちは単純な鉛筆で間違いを強調表示し、評価を与えます。 放課後、子どもたちがノートを提出してから、私が最終的にチェックをします。 私は彼らにテストの結果を尋ね、この種の作業の成績を集計表に記入します。

2) 理論的な内容をテストするために、クロスワード パズルが提供されています.

垂直方向:

1. 単項式と多項式を乗算するときに使用される乗算のプロパティ?

2. べき乗を累乗するときの指数の効果は?

3. インデックスがゼロの学位?

4. 同一の要素から構成される製品ですか?

水平方向:

5. ルートn – ああ、非負数の次数ですか?

6. べき乗を乗算するときの指数の作用?

7. べき乗を分割するときの指数の効果?

8. すべて同一の因子の数?

3) 数学的なウォーミングアップ

a) 計算を実行し、暗号を使用して問題に隠された単語を読み取ります。

あなたの目の前のボードの上にテーブルがあります。 列 1 の表には、計算が必要な例が含まれています。

テーブルの鍵

そして答えを欄に書きます II、および列 III この答えに対応する文字を入れてください。

先生: つまり、暗号化された単語は「学位」ということですね。 次のタスクでは、2 度および 3 度を扱います。

b) ゲーム「間違えないように」

ドットの代わりに数字を入力します

a) x=(x...)2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) a=(a1/3)…; d) 5... = (51/4)2; e) 34/3=(34/9)…; e) 74/5 = (7...)2; g) x1/2=(x...)2; h) y1/2=(y...)2

エラーを見つけてみましょう。

А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/

さて、皆さん、このタスクを完了するには何が必要でしたか:

度数の性質: 度数を累乗すると、指数が乗算されます。

4) それでは、フロントエンドの作成作業を始めましょう。 、以前の作業の結果を使用します。 ノートを開いて、レッスンの日付とトピックを書き留めます。

№ 000

a) a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2 = (a1/2 – b1/2)*(a1/2 + b1/2)

b) a – c = (a1/3)3 – (b1/3)3 = (a1/3 – c1/3)*(a2/3 + a1/3 b1/3 + b2/3)

No.000（a、c、d、e）

あ ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

c) a3 – 4 = (a3/2)2 – 22 = (a3/2 – 2)*(a3/2 +2)

d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

No.000(a、d、f)

a) x3 – 2 = x3 – (21/3)3 = (x – 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 – 3 a2/5 + 9)

e) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

学年

5) 別のシートで 4 つのオプションを使用して個々のカードを操作する

さまざまな難易度のタスクは、教師からの指示なしで完了します。

私はすぐに作品をチェックし、自分のテーブルとメンバーのシートに成績を記入します。

No.000（a、c、d、h）

a) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)

c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

e) (a2/3 – b2/3)/(a1/3 +b1/3) = (a1/3)2 – (b1/3)2/(a1/3 +b1/3) = (a1/3) + b1/3)*(a1/3 – b1/3)/(a1/3 + b1/3) = a1/3 – b1/3

h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) 複雑さの程度が異なる個々のカードの作業。 一部の演習には教師の推奨事項が含まれています。これは、内容が複雑で、弱い子供たちが作業に対処するのが難しいためです。

オプションも 4 つあります。 評価はすぐに行われます。 すべての成績をスプレッドシートに記入しました。

コレクションの問題番号

先生は次のように質問します。

1. 問題の中で何を見つける必要がありますか?

2. そのために何を知っておく必要がありますか?

3. 歩行者1人と歩行者2人の時間をどう表現するか？

4. 問題の条件に応じて歩行者 1 と歩行者 2 の時間を比較し、方程式を作成します。

問題の解決策:

歩行者1人の速度をx(km/h)とします。

X +1 (km/h) – 速度 2 歩行者

4/х (h) – 歩行者時間

4/(x +1) (h) – 2 番目の歩行者の時間

問題の条件によると 4/x >4/ (x +1) 12 分間

12分 = 12 /60時間 = 1/5時間

方程式を立ててみましょう

X/4 – 4/ (x +1) = 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 – 20x – x2 – x = 0

X2 +x –20 = 0

D=1 – 4*(-20) = 81、81>0、2k

x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 km/h – 歩行者 1 人の速度

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – x>0 であるため、問題の意味に当てはまりません。

答え: 5 km/h – 歩行者 2 人の速度

9) レッスンの概要: さて、皆さん、今日のレッスンでは、次数を含む式を変換する知識、スキル、スキルを統合し、省略された乗算公式を適用し、共通因数を括弧の外に移動し、カバーされた内容を繰り返しました。 利点と欠点を指摘します。

授業を表にまとめます。

10) 成績を発表します。 宿題

個人カード K-1 および K-2

B – 1 と B – 2 を変更します。 B – 3 と B – 4 は同等であるため

レッスンへのお申込み。

1) 宿題用のカード

1. 簡素化する

a) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

b) (a3/2 + 5a1\2)2 – 10a2

2. 合計として提示

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

b) (a1/2 – b1/2)*(a + a1/2 b1\2 + c)

3. 全体の乗数を取り出します。

c) 151/3 +201/3

1. 簡素化する

a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1\8 – b1/8)

2. 合計として提示

a) x0.5 y0.5*(x-0.5 – y1.5)

b) (x1/3 +y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 +y2/3)

3. 括弧内の共通因数を取り除きます

b) c1\3 – c

c) (2a)1/3 – (5a)1\3

2) B-2用コントロールカード

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 – m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 – n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1/8 – b1/8) = (a1/4 + b1/4)*(a1/8)2 – ( ×1/8)2 = (а1/4 + ×1/4)*(а1/4 – ×1/4) = (а1/4)2 – (×1/4)2 = а1/2 – ×1/2

a) x0.5 y0.5* (x-0.5-y1.5) = x0.5 y0.5 x-0.5 – x0.5 y0.5y1.5 = x0 y0.5 – x0.5 y2 = y0。 5 – x0.5 y2

b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

a) 3 – 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

b) v1/3 – v = v1/3 *(1 – v2/3)

c) (2a)1/3 – (5a)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)

3) 個人作品第1弾のカード

a) a – y、x ≥ 0、y ≥ 0

b) a – そして、a ≥ 0

1. 二乗の差として因数分解する

a) a1/2 – b1/2

2. 立方体の差または和として因数分解する

a) c1/3 + d1/3

1. 二乗の差として因数分解する

a) X1/2 + Y1/2

b) X1/4 – U1/4

2. 立方体の差または和として因数分解する

4) 個人作品第2弾のカード

a) (x – x1/2)/ (x1/2 – 1)

命令: x1/2、括弧から分子を削除します。

b) (a - c)/(a1/2 – b1/2)

注: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

端数を減らす

a) (21/4 – 2)/ 5*21/4

説明: 21/4 をブラケットから外します

b) (a – c)/(5а1/2 – 5×1/2)

注: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

オプション 3

1. 端数を減らす

a) (x1/2 – x1/4)/x3/4

説明: x1/4を括弧の外に入れます

b) (a1/2 – b1/2)/(4a1/4 – 4b1/4)

オプション 4

端数を減らす

a) 10/ (10 – 101/2)

b) (a - c)/(a2/3 + a1\3b1/3+ B 1/3)

主題： " 小数部のべき乗を含む式を変換する

「誰かが数学から学位を排除しようと試みさせれば、学位なしでは遠くまで到達できないことがわかるだろう。」 (M.V.ロモノーソフ)

レッスンの目標:

教育的:「合理的な指標による学位」に関する学生の知識を要約し体系化する。学生の知識とスキルの習熟度を監視する。

現像：生徒の自制スキルを開発し、各生徒が仕事に興味を持てる雰囲気を作り、生徒の認知活動を発展させます。

教育的:数学の歴史への興味を育みます。

レッスンタイプ：知識の一般化と体系化のレッスン

備品: 評価シート、課題が記載されたカード、デコーダー、各生徒用のクロスワード パズル。

事前準備: クラスはグループに分かれており、各グループのリーダーはコンサルタントです。

授業中

I. 組織的な瞬間。

教師：「有理指数を持つべき乗とその性質」というテーマの学習が終わりました。 このレッスンの課題は、学習した内容をどのように習得したか、また、取得した知識を応用して特定の問題を解決する方法を示すことです。 皆さんの机の上にはそれぞれスコアシートがあります。 ここに、レッスンの各段階の評価を入力します。 レッスンの最後に、レッスンの平均点を教えていただきます。

評価書

II. 宿題のチェック。

鉛筆を手にピアチェックし、生徒が答えを読み上げます。

Ⅲ． 学生の知識を更新します。

教師：有名なフランスの作家アナトール・フランスはかつてこう言いました。「学ぶことは楽しくなければなりません...知識を吸収するには、食欲を持って吸収しなければなりません。」

クロスワードパズルを解きながら、必要な理論情報を繰り返し学習しましょう。

水平方向:

1. 度数の値を計算するアクション （工事）。

2. 同一の要素から構成される製品 （程度）。

3. べき乗をべき乗するときの指数の作用 （仕事）。

4. 度の指数を減算した度の効果 （分割）。

垂直方向:

5. すべて同一の因子の数 （索引）。

6. ゼロ指数の度数 （ユニット）。

7. 繰り返し乗数 （ベース）。

8. 10 5 の値: (2 3 5 5) （四）。

9. 通常は書かない指数 （ユニット）。

IV. 数学的なウォーミングアップ。

教師。有理指数とそのプロパティを使用して次数の定義を繰り返し、次のタスクを完了しましょう。

1. 因数の 1 つが x 2、x 5.5、x 1\3、x 17.5、x 0 に等しい場合、式 x 22 を基数 x の 2 乗の積として提示します。

2. 簡略化します:

b) y 5\8 y 1\4: y 1\8 = y

c) 1.4 から -0.3 から 2.9

3. デコーダを使用して単語を計算して構成します。

このタスクを完了すると、「指数」という用語を導入したドイツの数学者の名前がわかるでしょう。

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

言葉： 1234567 (シュティーフェル)

V. ノートへの書き込み（解答は板書で公開） .

タスク:

1. 式を簡略化します。

(x-2): (x 1\2 -2 1\2) (y-3): (y 1\2 – 3 1\2) (x-1): (x 2\3 - x 1\3) +1)

2. 次の式の値を見つけます。

(x 3\8 x 1\4:) x=81 で 4

VI. グループで作業します。

エクササイズ。 デコーダを使用して方程式を解き、単語を形成します。

カードNo.1

言葉： 1234567 (ディオファントス)

カードNo.2

カードNo.3

言葉： 123451 (ニュートン)

デコーダ

教師。これらすべての科学者は、「学位」の概念の発展に貢献しました。

VII. 学位概念の発展に関する歴史情報（学生メッセージ）。

自然の指標を伴う学位の概念は古代の人々の間で形成されました。 面積と体積の計算には平方数と立方数が使用されました。 古代エジプトとバビロンの科学者は、特定の問題を解決するためにいくつかの数字の力を使用しました。

3世紀には、ギリシャの科学者ディオファントスの著書『算術』が出版され、文字記号導入の基礎が築かれました。 ディオファントスは、未知の最初の 6 つの力とその逆数の記号を紹介します。 この本では、正方形は下付き文字 r の付いた記号で表されます。 cube – インデックス r を持つ符号 k など。

より複雑な代数問題を解決し、次数を操作する実践から、次数の概念を一般化し、指数としてゼロ、負の数、分数を導入することでそれを拡張する必要性が生じました。 数学者は、非自然指数を使用して次数の概念を徐々に一般化するという考えに至りました。

分数指数と、分数指数を使用したべき乗の最も単純な規則は、フランスの数学者ニコラス オレーム (1323 ～ 1382 年) の著書「比例のアルゴリズム」に記載されています。

a 0 =1 (0 に等しくない) という等号は、15 世紀初頭にサマルカンドの科学者ギヤサディン カシ ジェムシッドによって作品の中で使用されました。 これとは別に、ゼロ指標は 15 世紀にニコライ シュケによって導入されました。 ニコラ・シュケ (1445 ～ 1500 年) は、負の指数とゼロの指数をもつ度数を考慮したことが知られています。

その後、分数と負の指数は、ドイツの数学者 M. シュティーフェルの『完全な算術』(1544 年) とサイモン ステヴィンで発見されました。 Simon Stevin は、1/n は根であることを示唆しました。

ドイツの数学者 M. シュティーフェル (1487 ～ 1567) は、0 = 1 の定義を与え、指数という名前を導入しました (これはドイツ語の指数の直訳です)。 ドイツ語のpotenzierenは累乗するという意味です。

16 世紀末、フランソワ ビエットは、変数だけでなくその係数も指定する文字を導入しました。 彼は、第一級、第二級、第三級を表す N、Q、C という略語を使用しました。 しかし、現代の表記法 (a 4、a 5 など) は 17 世紀にルネ デカルトによって導入されました。

ゼロ、負、分数の指数をもつ累乗の現代の定義と表記法は、英国の数学者ジョン ウォリス (1616 ～ 1703 年) とアイザック ニュートン (1643 ～ 1727 年) の研究に由来しています。

ゼロ、負、分数の指数と現代記号の導入の妥当性については、1665 年に英国の数学者ジョン ウォリスによって初めて詳細に書かれました。 彼の仕事はアイザック ニュートンによって完成され、彼は新しい記号を体系的に適用し始め、その後、記号は一般的に使用されるようになりました。

有理指数を伴う次数の導入は、数学的作用の概念を一般化した多くの例のうちの 1 つです。 ゼロ、負、小数の指数を持つ次数は、自然指数を持つ次数と同じ動作規則が適用されるように定義されます。 そのため、最初に定義された程度の概念の基本的な特性が保存されます。

有理指数を使用した度数の新しい定義は、自然指数を使用した度数の古い定義と矛盾しません。つまり、有理指数を使用した度数の新しい定義の意味は、度数の特殊な場合でも同じです。自然指数付き。 数学的概念を一般化するときに観察されるこの原理は、永続性の原理（不変性の保存）と呼ばれます。 1830 年にイギリスの数学者 J. ピーコックによって不完全な形で表現され、1867 年にドイツの数学者 G. ハンケルによって完全かつ明確に確立されました。

Ⅷ. 自分自身で調べて。

カードを使った自主制作（答えはボードに表示されます） .

オプション1

1. 計算: (1 ポイント)

(a + 3a 1\2): (a 1\2 +3)

オプション 2

1. 計算: (1 ポイント)

2. 式を簡略化：各 1 点

a) x 1.6 x 0.4 b)(x 3\8) -5\6

3. 方程式を解きます: (2 点)

4. 式を簡略化します: (2 点)

5. 式の値を求めます: (3 点)

IX. レッスンをまとめます。

授業中に覚えた公式やルールは何ですか?

授業で自分の課題を分析します。

生徒の授業での取り組みが評価されます。

X. 宿題。 K: R IV (繰り返し) art. 156-157 No. 4 (a-c)、No. 7 (a-c)、

追加：No.16

応用

評価書

名前/名前/学生__________________________________________________________

カードNo.1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) 1\2 = 2\3; 4) x -0.5 x 1.5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) 2\7、12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

デコーダ

カードNo.2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

デコーダ

カードNo.3

1) 2\7、12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0.7 x 3.7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) そして 1\2 = 2\3

デコーダ

カードNo.1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) 1\2 = 2\3; 4) x -0.5 x 1.5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) 2\7、12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

デコーダ

カードNo.2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

デコーダ

カードNo.3

1) 2\7、12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0.7 x 3.7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) そして 1\2 = 2\3

デコーダ

カードNo.1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) 1\2 = 2\3; 4) x -0.5 x 1.5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) 2\7、12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

デコーダ

カードNo.2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

デコーダ

カードNo.3

1) 2\7、12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0.7 x 3.7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) そして 1\2 = 2\3

デコーダ

セクション: 数学

クラス： 9

目標: 有理指数を使用して学位の特性を適用するスキルを強化し、向上させること。 小数指数を含む累乗を含む式の単純な変換を実行するスキルを開発します。

レッスンの種類: このトピックに関する知識を統合し、応用するレッスン。

教科書: 代数 9 版 SA テリャコフスキー。

授業中

先生の開会の挨拶

「代数学に慣れていない人は、この科学の助けを借りて、驚くべきことが達成できることを想像することもできません。」 G.V. ライプニッツ

代数は私たちに複合実験室への扉を開きます 「合理的な指数を備えた学位」

1. 正面調査

1) 小数部の指数を使用して次数の定義を与えます。

2) 底がゼロに等しい次数はどの小数指数で定義されますか?

3) 次数は負の基数の小数指数で決まりますか?

課題: 数字 64 を底が 2 の累乗であると想像してください。 2; 8.

64 は何の数の 3 乗ですか?

64 という数字を有理指数を使った累乗として表す別の方法はありますか?

2. グループで作業する

1グループ。 式 (-2) 3/4 ; が成り立つことを証明します。 0-2は意味がありません。

2番目のグループ。 根の形の分数指数を持つべき乗を想像してください: 2 2/3; 3 -1|3 ; -1.5で; 5a 1/2; (x-y) 2/3 。

3番目のグループ。 小数指数を伴う累乗として表示されます: v3; 8 va 4; 3v2 -2 ; v(x+y) 2/3 ; うわー。

3. 実験室「権限に関するアクション」に進みましょう

研究室には天文学者がよく来ます。 彼らは「天文学的な数字」を持ち込んで代数処理を行い、有用な結果を取得します。

たとえば、地球からアンドロメダ星雲までの距離は次の数で表されます。

95000000000000000000 = 95 10 18 km;

それは呼ばれています 京。

太陽の質量はグラム単位で表され、1983 10 30 g - という数字で表されます。 ノナリオン。

さらに、研究室は他の重大な課題にも直面しています。 たとえば、次のような式を計算する問題です。

A) ; b）; V) 。

研究室のスタッフは、そのような計算を最も便利な方法で実行します。

仕事につなげることができます。 これを行うために、有理指数を使用してべき乗の性質を繰り返してみましょう。

ここで、有理指数を含む累乗の特性を使用して式を計算または簡略化します。

1番目のグループ:

グループ 2:

グループ 3:

チェック: グループから 1 人がボードにいます。

4. 比較タスク

累乗の性質を使用して式 2 100 と 10 30 を比較するにはどうすればよいでしょうか?

答え：

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. さて、私はあなたを「学位の研究」研究室に招待します。

権力に対してどのような変換を実行できますか?

1) 数字 3 を指数 2 のべき乗として想像してください。 3; -1。

2) 式 a ～ c​​ はどのように因数分解できますか? インチ + インチ 1/2 ; a-2a 1/2; ２の２？

3) 端数を削減した後、相互検証を行います。

4) 実行された変換を説明し、式の意味を見つけます。

6. 教科書を使って作業する。 No.611(g、d、f)。

グループ 1: (d)。

グループ 2: (d)。

グループ 3：（e）。

No.629(a、b)。

ピアレビュー。

7. ワークショップ（自主制作）を実施します。

与えられた式:

乗算の公式を約分して共通因数を括弧の外に置くとき、どの分数が省略されますか?

グループ 1: No. 1、2、3。

グループ2：No.4、5、6。

グループ3：7番、8番、9番。

タスクを完了するときに、推奨事項を使用できます。

1. 表記例に有理指数付き累乗と n 次の根の両方が含まれている場合は、n 次の根を有理指数付き累乗の形式で記述します。
2. 演算対象の式を簡略化してください。かっこを開く、省略された乗算公式を使用する、負の指数を持つべき乗から正の指数を持つべき乗を含む式に移行するなどです。
3. アクションを実行する順序を決定します。
4. 手順は実行順に完了してください。

ノートを回収した後、教師が評価します。

8. 宿題: No. 624、623。