ダミーのための数学の限界: 説明、理論、解決策の例。
微積分カテゴリには、このトピックに関する無料のオンライン ビデオ レッスンが含まれています。 数学的分析は、微分積分の方法を使用した関数とその一般化の研究を扱う数学の一連の分野です。 これらには、ルベーグ積分の理論を含む関数解析、複素平面上で定義された関数を研究する複素解析 (TFKP)、級数および多次元積分の理論、無限小および無限大の数を研究する非標準解析、ベクトル解析、および変分法が含まれます。 ビデオレッスンで微積分を学ぶことは、初心者にも経験豊富な数学者の両方にも役立ちます。 「数学的分析」セクションのビデオレッスンをいつでも無料で視聴できます。 数学的分析に関する一部のビデオ レッスンには、ダウンロードできる追加資料が含まれています。 楽しく学習しましょう！
総材料: 12
展示資料: 1-10
関数の導関数とは何ですか
数学における関数の微分とは何か知りたいですか? もちろん、あなたはこの派生語について何度も聞いたことがあり、おそらく学校でこの派生語を受講したことさえあるでしょうが、自分の行動の意味をまったく理解していません。 この動画では公式は教えませんが、指の微分の意味を丸い急須でも分かるように解説します。 ただし、その前に、私の以前のビデオを見ていただいたほうがよいでしょう。そこでも、この機能についてわかりやすい方法で説明しています。 このビデオチュートリアルでは、シンプル、明確、そして実例となる生活の例を紹介します。
分析の紹介。 セットの力
オンラインレッスン「分析入門。 「集合の力」では、集合の力などの概念の問題を取り上げます。 この質問は、セットの定量的な特徴付けに関するものです。 集合が有限であれば、その要素の数について話すことができます。 しかし、無限集合はどうなるでしょうか? 確かに、この場合、多いか少ないかという概念はありません。 この問題を解決するために、電力などの概念が導入されます。 検出力は無限集合を定量的に比較するためのツールです。 このレッスンで得られるものは...
ある点における関数の制限 - 定義、例
このオンライン レッスンでは、ある点における関数の制限などの概念、定義、例について説明します。 関数の研究のほとんどの要素は、関数の極限という基本概念に基づいています。 ここでは、簡単な例を使用して、ある点における関数の極限を検討します。その後、内容をよりよく理解するために、ある点における関数の極限の厳密な定義をグラフ上の詳細な図で示します。 このレッスンでは、他の例も見て、一方的なものの厳密な定義を示します。
べき級数の収束 - 収束領域を見つける方法の例、研究
このビデオチュートリアルでは、べき級数の収束などの概念、収束領域を見つける方法の例、研究について説明します。 べき級数は、そのメンバーが引数 x のべき関数である関数級数の特殊なケースです。 収束領域は、対応する数値系列が収束する変数 x のすべての値です。 研究では、ダランベール検定を使用して、べき級数が収束または発散することを示すことができます。
原始的とは何か
このビデオでは、デリバティブの親戚であるアンチデリバティブについて説明します。 実際、私の以前のビデオをご覧になった方は、彼女についてほとんどすべてをすでにご存知です。i に点を付けるだけで十分です。 逆導関数は導関数の「親」関数です。 逆導関数を見つけるということは、「それは誰の子ですか?」という質問に答えることを意味します。 娘がわかっているなら、母親を見つけなければなりません。 以前は、逆に、私たちは特定の母親のために娘を探していました。 現在、次からの移行を行っています。
導関数の幾何学的意味
このビデオでは、導関数の幾何学的意味について説明します。 導関数の幾何学的意味は、導関数と接線の傾きがほぼ同じものであることを学びます。 「ほぼ」と言ったのは、導関数が接線の傾きの正接に等しいためです。 導関数と接線の傾きには密接な関係があると仮定できます。 傾きが大きければ導関数も大きくなり、この時点での関数は急激に増加します。 傾斜角が小さい場合、導関数も小さくなります...
数学における関数とは何ですか
数学における関数とは何か知りたいですか? このビデオチュートリアルでは、グラフィックイラストと実例を使用して、関数とは何か、その引数は何か、関数とは何か (増加、減少、混合)、関数を設定する方法 (グラフ、表、数式を使用) を簡単かつ明確に説明します。 ある量が別の量にどのように関係しているかを示す関係を関数と呼ぶことがわかります。 あらゆる関数は量間の関係です...
無限大における関数の極限 - 定義、例
「無限における関数の極限 - 定義、例」のレッスンでは、無限における極限とは何かという問題を取り上げます。 基本関数のほとんどは、引数の任意の大きな値に対して定義されています。 この場合、無限大での関数の動作を知ることが重要です。 このような挙動の研究の 1 つの要素は、無限における関数の極限を見つけることです。 無限大は数値ではなく、数直線上にそれに対応する点はありませんが、無限大の極限の定義は...
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仮説。
新しい。 ナタンソン S.M. 数学的分析の短期コース。 2004年 98ページのdjvu。 1.2MB。
この出版物は、1997 年から 1998 年および 2002 年から 2003 年度に、著者が独立モスクワ大学の 1 年生向けに読んだ講義の概要です。
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新しい。 E.B. ボロニン。 数学的分析。 講義ノート。 2007年 160ページPDF。 2.1MB。
この本は、微積分の試験に向けて勉強したい工学系の学生向けに書かれています。 この本の内容は、ロシアのほとんどの高等教育機関で実施される試験である「数学的分析」コースのプログラムと完全に一致しています。 このプログラムは、不必要な困難を伴うことなく、質問に対する必要な答えを迅速に見つけるのに役立ちます。
質問は、教師の要件を考慮して、個人的な経験に基づいて著者によって編集されています。
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アルヒーポフ、サドヴニチ、チュバリコフ。 数理解析に関する講義を行います。 教科書分析。 1999年 635ページ。 5.2MB。
この本は数学的解析の教科書であり、1 つまたは複数の変数の関数の微分および積分の計算に特化しています。 これは、著者らがモスクワ州立大学機械数学学部で行った講義に基づいています。 M.V.ロモノーソフ。 この教科書は、コースの内容そのものだけでなく、分析の多くの基本概念や定理の提示に対する新しいアプローチを提案しています。 大学、教育大学、数学を深く学ぶ大学の学生向け
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アクショーノフ A.P. 数学的分析。 (フーリエ級数。フーリエ積分。発散級数の総和。) 教科書。 1999年 86 ページ PDF 1.2 MB。
このマニュアルは、学士号 510200「応用数学と情報学」の分野「数学解析」の州標準に対応しています。
「フーリエ級数」、「フーリエ積分」、「発散級数の総和」というトピックに関する現在のプログラムに従った理論資料のプレゼンテーションが含まれています。 多数の例が示されています。 Cesaro と Abel-Poisson の方法の級数理論への応用について説明します。 経験的に与えられた関数の調和解析の問題を検討します。
物理機械学部専門分野010200、010300、071100、210300の学生および実習授業を行う教員を対象としています。
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アクセノフ。 数学的分析。 （パラメータに応じた積分。二重積分。曲線積分。） 教科書SPb． 2000年。 145 ページ。PDF。 サイズ 2.3MB。 ジュヴ。
このマニュアルは、学士号 510200「応用数学と情報学」の分野「数学解析」の州標準に対応しています。 現在のプログラムに従った次のトピックに関する理論資料のプレゼンテーションが含まれています:「パラメータ、固有および不適正に依存する積分」、「二重積分」、「第 1 種および第 2 種曲線積分」、「陽的方程式とパラメトリック方程式の両方が与えられた曲面の面積の計算」、「オイラー積分 (ベータ関数とガンマ関数)」。 多数の事例と問題が分析されています (合計 47)。
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デ・ブライネ。 分析における漸近的手法。 245ページ。 1.6MB。
この本には、漸近式を得るために分析に使用される多数の方法の初歩的な解説が含まれています。 この本で紹介されているメソッドの重要性、プレゼンテーションの明快さとアクセスしやすさにより、この本はすべての初心者にとってそのようなメソッドを知るのに非常に価値があります。 この本は、この分析分野にすでに精通している人にとっても間違いなく興味深いものです。
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ステファン・バナッハ。 微分積分。 1966年 437ページ。 7.7MB。
ステファン・バナッハは、20世紀で最も偉大な数学者の一人です。 この本は、この主題を最初に知るためのマニュアルとして彼によって考案されました。 一方、著者は、分量の少ない本で、細心の注意を払った厳密な表現で読者を怖がらせることなく、微分積分学の基本的な内容のほぼすべてを巧みにカバーすることに成功しました。
この本の特徴は、表現の単純さと簡潔さです。 これには、厳選された多くの例と、独立した解決策のためのタスクが含まれています。 高専 (特に通信制) の学生、教育機関、および微積分の基本的な事実をさらに磨きたいエンジニアリングおよび技術従事者向けに設計されています。
第 2 版を作成する際には、いくつかの高等技術教育機関でこの本を教えた経験が考慮されました。 この点に関して、本書には少数の追加が加えられ、本文のいくつかの場所が修正されました。 これにより本書は現代の数学解析教科書のレベルに近づき、高等専門学校でも使用できるようになりました。
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BM ブダック、S.V. フォーミン。 複数の積分と級数。 教科書。1965 年。 606ページ。 4.6MB。
物理・数学用。 大学の学部。
私はお勧め！！！。 特に物理学者にとっては。
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ヴィオサグミル I.A. ダミーのための高等数学。 機能制限。 2011年。 95ページPDF。 6.1MB。
関数の限界についての私の最初の本へようこそ。 これは、私の今後のシリーズ「ダミーのための高等数学」の最初の部分です。 この本のタイトルからすでに多くのことがわかるはずですが、完全に誤解している可能性があります。 この本は「ダミー」ではなく、教授が本の中で何をしているのかを理解するのが難しいと感じているすべての人に捧げられています。 きっとご理解いただけると思います。 私自身も、同じ文章を何度も読まなければならないような状況にありましたし、今もいます。 これでいいですか？ 私は違うと思います。
では、私の本が他の本と違うのは何でしょうか? まず、ここでの言葉遣いは普通のものであり、「難解」なものではありません。 第二に、ここでは分析された例がたくさんあります。ちなみに、これらは間違いなく役に立つでしょう。 第三に、テキスト自体に大きな違いがあります。主要な事項は特定のマーカーで強調表示されています。そして最後に、私の目標は 1 つだけです。それは、皆様の理解です。 必要なのはただ一つ、意欲とスキルです。 「スキル？」 - あなたが尋ねる。 はい！ 記憶して理解する能力。
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V.N. ゴルブゾフ。 数学的分析: パラメーターに応じた積分。 うーん。 手当。 2006年 496 ページ。PDF。 1.6MB。
パラメータに依存する、特定の不適切な積分によって与えられる関数の微積分計算を示します。 数学と物理学を学ぶ大学生、および数学の拡張プログラムを持つ技術専門学生を対象としています。
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ドロゴフツェフA.Ya。 数学的分析。 モダンな雰囲気のショートコース。 第 2 版。 2004年 560ページ。 5.1MB。
この本には、数学的分析の現代の流れについての短く、同時に非常に完全なプレゼンテーションが含まれています。 この本は主に大学および工業大学の学生を対象としており、コースの初期学習を目的としています。 いくつかのセクションの現代化されたプレゼンテーションが提供されます: いくつかの変数の関数、多重積分、多様体上の積分、ストークスの公式の説明など。理論的な内容は、多数の演習と例によって説明されます。 。 大学生、数学教師、エンジニアリングおよび技術従事者向け。
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エゴロフ V.I.、サリモワ A.F. 定積分と多重積分。 場の理論の要素。 2004年 256ページ。 1.6MB。
この出版物では、定積分と重積分の理論と主な応用、さらに場の理論の要素が紹介されています。 この教材は、高等技術教育機関における現代の数学教育プログラムに適合しており、コンピューター教育システムで使用できます。 この本は工科大学の学生を対象としています。 教師、エンジニア、研究者にも役立ちます。
明らかによく書かれた本です。 理論のすべての記述は例によって示されています。 内容を理解するための追加文献として推奨します。
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エフグラフォフ。 漸近推定と関数全体。 320ページのDJVU。 3.2MB。
この本は、関数全体の理論で使用される漸近推定のさまざまな方法 (ラプラス法、鞍点法、留数理論) の紹介に専念しています。 この理論の資料を中心にその方法を説明します。 関数全体の理論から得られる基本的な事実は、読者に知られるべきではありません。それらの表現は本の構造に有機的に組み込まれています。 等角写像の漸近に関する章が第 3 版に追加されました。 この本は、学生から科学者、数学者と応用科学者の両方まで、幅広い読者を対象としています。
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私は...するだろう。 ゼルドビッチ、I.M. ヤグロム。 初心者の物理学者や技術者向けの高等数学。 1982年 514ページ。 12.3MB。
本書は数学的分析の入門書です。 この本には、解析幾何学と数学的解析 (微分および積分) の原理の提示に加えて、べき乗と三角級数、最も単純な微分方程式の概念が含まれており、物理学の多くのセクションやトピックにも触れています (力学と振動理論、電気回路の理論、放射性崩壊、レーザーなど)。 この本は、高等数学の自然科学への応用に興味のある読者、大学教授や専門学校、そして将来の物理学者やエンジニアを対象としています。
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ゼルドビッチ、ヤグロム。 この本は 3 部構成になっています: 1. 高等数学の要素。 内容: 関数とグラフ (50 ページ)(、微分とは (50 ページ)、積分とは (20 ページ)、微分の計算 (20 ページ)、積分手法 (20 ページ)、級数、簡単な微分方程式 (35 ページ)、関数の考察、幾何学の問題 (55 ページ)。振動、分子の熱運動、大気中の空気の密度分布、光の吸収と放出、レーザー、電気回路3. 高等数学の追加トピック (50 ページ) 内容: 複素数、物理学に必要な関数、ディラックの素晴らしいデルタ関数、複素変数関数とデルタ関数のいくつかの応用 4. 応用、答え、指示、解決策。目次を 1 つ読むだけでわかります。ただし、これは数学の教科書ではありません。この本は数学の使い方についてです。ところで、それを勉強すると、必然的に物理学を学ぶことになります。 。 素晴らしい。 djvu、500 ページ、サイズ 8.7 MB。
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ゾーリヒ V.A. 数学的分析。 2部構成。 教科書。 1 - 1997 年、2 - 1984 年。 567+640ページのdjvu。 9.6+7.4MB。
物理学と数学を専門とする学生のための大学の教科書。 この本は、高度な数学的訓練を受けた学部や大学の学生だけでなく、数学とその応用分野の専門家にも役立ち、古典的な解析コースと現代の数学コース (代数、微分幾何学、微分方程式、複素解析および関数解析) とのつながりを反映しています。
最初の部分には次の内容が含まれます。分析の概要 (論理記号、集合、関数、実数、極限、連続性)。 1 変数の関数の微積分計算。 いくつかの変数の関数の微分計算。
教科書の第 2 部には次のセクションが含まれています。 多次元積分。 微分形式とその統合。 パラメータに応じた級数と積分 (級数とフーリエ変換、漸近展開を含む)。
問題解決の支援。
新しい。 ガーデニング I.V.、ホロシロバ E.V. 定積分: 計算の理論と実践。 2008年 528ページ。 2.7MB。
この出版物は、定積分の計算の理論的および実践的な側面、ならびにその評価方法、特性、およびさまざまな幾何学的および物理的問題を解決するための応用に特化しています。 この本には、固有積分の計算方法、不適切な積分の性質、定積分の幾何学的および物理的応用、およびリーマン積分の一般化であるルベーグ積分とスティルチェス積分に関するセクションが含まれています。
理論的資料の提示は、特定の積分の特性の計算、評価、研究に関する多数 (220 以上) の分析例によって裏付けられています。 各段落の最後には、独立した解決策のためのタスクが示されています (640 以上、大部分が解決策付き)。
このマニュアルの目的は、講義や演習で「定積分」というトピックを学習する際に学生を助けることです。 学生は、発生した問題に関する背景情報について彼に連絡できます。 この本は、教師や、このトピックを十分に詳細かつ幅広く研究したいと考えているすべての人にとっても役立ちます。
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新しい。 ホロシロワ E.V. 数学的分析: 不定積分。 （練習を助けるため）。 2007年 184ページ。 822KB。
この本は、不定積分に関する基本的な理論情報を提供し、既知のほとんどの手法と積分方法、およびさまざまなクラスの積分可能な関数 (積分方法の指示付き) を考察します。 この資料のプレゼンテーションは、積分計算の多数の分析例 (200 を超える積分) によってサポートされており、各段落の最後には独立した解決策のタスク (200 を超える答え付きタスク) が用意されています。
このマニュアルには、「不定積分の概念」、「積分の基本的な方法」、「有理分数の積分」、「無理関数の積分」、「三角関数の積分」、「双曲線、指数関数、対数関数およびその他の超越関数の積分」のセクションが含まれています。 この本は、不定積分の理論を実際に習得し、実践的な積分スキルを開発し、講義のコースを強化し、セミナーや宿題の準備中に使用することを目的としています。 このマニュアルの目的は、学生が統合のさまざまなテクニックや方法を習得できるようにすることです。
数学解析のコースの一環として積分微積分を学ぶ、数学の専門分野を含む大学生向け。
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新しい。 V.F. ブトゥーゾフ、ノースカロライナ州 クルチツカヤ、G.N. メドベージェフ、A.A. シシキン。 質問とタスクの数学的分析: Proc. 手当。 第 5 版、改訂版。 2002年 480ページのDJVU。 3.8MB。
このマニュアルは、1 つまたは複数の変数の関数の数学的分析のコースのすべてのセクションをカバーしています。 トピックごとに、主要な理論情報が要約され、制御質問が提案されます。 標準および非標準の問題の解決策が提供されます。 独立した作業のためのタスクと演習が、答えと指示とともに提供されます。 第 4 版 2001
大学生向け。
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A.A. ブルツェフ。 1年2学期の数理解析の試験問題の解き方。 2010年 pdf、56ページ、275キロバイト。
前の 4 つのタスクのバリエーション。 今年の。
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Vinogradova I. A. et al. 数学的解析の問題と演習 (パート 1)。 1988年 djvu、416 ページ 5.0 Mb。
このコレクションは、モスクワ州立大学機械数学学部の 1 年生での数学解析コースの授業の資料をもとに編集されており、数学解析学科の指導経験が反映されています。 Ⅰ学期とⅡ学期に相当する２部構成となっております。 各パートでは、計算演習と理論的問題が個別に強調表示されます。 最初の部分には、関数のグラフのスケッチの作成、極限の計算、1 つの実数変数の関数の微分計算、および理論的問題が含まれます。 第 2 部 - 不定積分、リーマンの定積分、多変数関数の微分積分、理論的問題。 計算演習を含む章では、各段落の前に詳細な方法論的な説明が記載されています。 これらには、このセクションで使用されるすべての定義、主要な定理の定式化、いくつかの必要な関係の導出、典型的な問題の詳細な解決策が含まれており、一般的なエラーに注意が向けられています。 ほとんどのタスクと演習は、B.P. デミドヴィッチの有名な問題集に含まれているタスクとは異なります。 コレクションの両方の部分には、約 1800 の計算演習と 350 の理論問題が含まれています。
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Vinogradova I. A. et al. 数学的分析の問題と演習 (パート 2)。 1991年 djvu、352 ページ 3.2 Mb。
この問題集は 2 年次に提示される数学的解析のコースに対応しており、二重積分および三重積分とその幾何学的および物理的応用、第 1 種および第 2 種の曲線積分および曲面積分といったセクションが含まれています。 必要な理論的情報が与えられ、問題のクラス全体を解決するのに適した典型的なアルゴリズムが与えられ、詳細な方法論的な指示が与えられます。
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ヴィノグラドフら編。 サドヴニチ。 数学的解析の問題と演習。 51 ページ。PDF。 1.9MB。
プロットセクションについて詳しく説明します。 35 ページは考慮された例で占められています。
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ゼルトゥーキン。 不定積分: 計算方法。 2005年。 サイズ 427 KB。 PDF、80 ページ、便利なガイド、参考として使用できます。 積分を計算するためのすべての方法を紹介するだけでなく、各ルールの例も多数提供します。 私はお勧め。
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ザポルジェツ。 数学的解析の問題を解決するためのガイド。 第4版 460ページのDJVU。 7.7MB。
関数の学習から微分方程式の解法までを網羅しています。 役に立つ本。
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カリーニン、ペトロワ、カリン。 不定積分と定積分。 2005年。 230ページ、PDF。 1.2MB。
最後に、数学者は自分自身のためではなく、物理学者や他の技術専門学生のために本を書き始めました。 補題や定理の証明ではなく、計算方法を学びたい場合にお勧めします。
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カリーニン、ペトロワ。 複数の曲線積分および曲面積分。 チュートリアル。 2005年。 230ページ、PDF。 1.2MB。
このチュートリアルでは、さまざまな積分の計算例を示します。
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カプラン。 高等数学の実践的なレッスン。 解析幾何学、微分積分、積分、微分方程式の積分。 1 つのアーカイブに 2 つのファイルが含まれています。 一般 925 ページ。djvu。 6.9MB。
一般的な数学のコース全体にわたる問題解決の例が考慮されます。
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K.N. Lungu, et al. 高等数学の問題のコレクション。 第2クールのパート2。 2007年 djvu、593 ページ 4.1 Mb。
級数と積分。 ベクトルおよび複素解析。 微分方程式。 確率論。 演算子。 これは単なる問題集ではなく、チュートリアルでもあります。 問題を解決する方法を教えることができます。
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ルング、マカロフ。 高等数学。 問題解決へのガイド。 パート 1。2005 年 サイズ 2.2MB。 djvu、315ページ
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I.A. マルーン。 例とタスクでの微分および積分の計算 (1 つの変数の関数)。 1970年 ジュヴ。 400 ページ 11.3 MB。
この本は、数学的解析（1変数の関数）の問題を解くためのマニュアルです。 簡単な理論的紹介、典型的な例に対する解決策、および独立した解決策のタスクが含まれています。 アルゴリズム計算的な性質のタスクに加えて、理論を説明し、学生の独立した数学的思考を開発し、理論をより深く理解するのに貢献する多くのタスクが含まれています。 この本の目的は、数学的分析の過程で問題を自主的に解決できるように生徒に教えることです。
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D.T. 書き込み。 高等数学 100 試験問題。 1999年 ジュヴ。 304 ページ 9.3 MB。
このマニュアルは主に 1 年生の高等数学の試験を準備する学生を対象としています。 口頭試験の試験問題に対する回答が簡潔でわかりやすい形式で記載されています。 このマニュアルは、何らかの形で高等数学を勉強しているあらゆるカテゴリーの学生にとって役立ちます。 大学（高等専門学校）1年生が通常学習する高等数学の科目10セクションに必要な内容を収録しています。 108 の試験問題 (サブ項目を含む) への回答には、通常、関連する例とタスクの解決策が付属しています。
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ソボル B.V.、ミシュニャコフ N.T.、ポークシェヤン V.M. 高等数学に関するワークショップ。 2006年 630ページ。 5.4MB。
この本には、高等教育機関の幅広い専門分野のための高等数学の標準コースのすべてのセクションが含まれています。
各章 (コースの対応するセクション) には参考資料と、問題を解決するために必要な主な理論的規定が含まれています。 この出版物の特徴は、解決策を含む多数のタスクであり、教室での学習だけでなく、学生の自主的な学習にも使用できます。 タスクはトピックごとに提示され、解決方法ごとに体系化されています。 各章を、回答付きの独立した解決策のための一連のタスクで完了します。
この出版物の内容の完全性と比較的コンパクトな内容により、この主題の知識とスキルを体系化したい高等教育機関の教師や学生だけでなく、高度な訓練機関の学生にもお勧めできます。
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E.P. ジョージア州スリャンジガ ウシャコフ。 数学のテスト: 極限、微分、代数および幾何の要素。 うーん。 手当。 2009年。 pdf、127ページ、1.1MB。
提案されたチュートリアルは、タスクの集合として見ることができます。 タスクは伝統的なトピック、つまり数学的解析の基礎、つまり関数、その極限、微分をカバーします。 線形代数と解析幾何学の基礎に関するタスクがあります。 関数の極限と導関数はより難しく、さらにこれらのトピックは積分計算の基本であるため、最も注目され、典型的な問題の解決策が詳細に分析されます。 トレーニングマニュアルにまとめられた内容は、実践的な授業で繰り返し使用されました。
すべての大学の1年生が対象です。
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この記事では、限界値を見つける方法を学びたい人のために、それについて説明します。 理論については詳しく説明しません。通常は教師の講義で説明されます。 したがって、「退屈な理論」の概要をノートに書く必要があります。 そうでない場合は、教育機関の図書館または他のインターネット リソースから教科書を読むことができます。
したがって、極限の概念は、高等数学の学習において、特に積分微積分に出会って極限と積分の関係を理解する場合に非常に重要です。 この資料では、簡単な例とその解決方法を検討します。
ソリューション例
| 例1 |
| a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; を計算します。 b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| 解決 |
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a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ これらの制限は、解決するための支援を求めて私たちに送られてくることがよくあります。 私たちは、それらを別の例として強調し、これらの制限は原則として覚えておく必要があるだけであることを説明することにしました。 問題が解決できない場合は、弊社までお送りください。 詳細な解決策を提供いたします。 計算の進行状況を把握し、情報を収集することができます。 これは、教師からタイムリーに単位を取得するのに役立ちます。 |
| 答え |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ |
形式の不確実性をどうするか: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| 例 3 |
| $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ を解きます。 |
| 解決 |
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いつものように、$ x $ の値を限界記号の下の式に代入することから始めます。 $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac(0)(0) $$ 次は何ですか？ 結果はどうなるでしょうか? これは不確実性であるため、まだ答えは得られておらず、計算を続けます。 分子に多項式があるので、よく知られた式 $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ を使用してそれを因数に分解します。 覚えていますか？ 素晴らしい！ さあ、曲に適用してみましょう:) 分子 $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ がわかります。 上記の変換を考慮して解き続けます。 $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+1))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| 答え |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
最後の 2 つの例の極限を無限大にして、不確実性を考えてみましょう。 $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| 例5 |
| $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ を計算します。 |
| 解決 |
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$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ 何をすべきか？ どうすればいいですか？ パニックにならないでください。不可能なことは可能です。 分子と分母 X の括弧を外して約分する必要があります。 その後、限度額を計算してみます。 試しています... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac(1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ 例 2 の定義を使用し、x を無限大に置き換えると、次のようになります。 $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| 答え |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
制限値を計算するためのアルゴリズム
そこで、分析された例を簡単に要約して、制限を解決するためのアルゴリズムを作成しましょう。
- 限界記号に続く式の点 x を置き換えます。 特定の数、または無限大が得られると、極限は完全に解決されます。 それ以外の場合は、「ゼロをゼロで割る」または「無限を無限で割る」という不確実性があり、命令の次の段落に進みます。
- 「ゼロ除算」の不確実性を排除するには、分子と分母を因数分解する必要があります。 同様のものを減らします。 式の限界記号の下に点 x を代入します。
- 不確実性が「無限を無限で割った」場合、最大次数の分子と分母 x の両方を取り除きます。 x を短くします。 制限の下からの x 値を残りの式に代入します。
この記事では、微積分コースでよく使用される、極限を解く基本について学びました。 もちろん、これらは試験官が提示するすべての種類の問題ではなく、最も単純な制限にすぎません。 他の種類のタスクについては今後の記事で説明しますが、次に進むには、まずこのレッスンを学ぶ必要があります。 私たちは根や次数がある場合に何をすべきかを議論し、無限小等価関数、素晴らしい極限、ロピタルの法則を研究します。
自分で制限を把握できなくても、パニックに陥る必要はありません。 いつでも喜んでお手伝いさせていただきます！
ひどい数式の山、開いてもすぐに閉じてしまう高等数学のマニュアル、一見非常に単純な問題の解決策を探すのに苦労する…。 このような状況は珍しいことではなく、特に数学の教科書が最後に開かれたのは遠く離れた 11 年生でした。 一方、大学では、多くの専門分野のカリキュラムが、誰もが好きな高等数学の研究を提供します。 そして、このような状況では、ひどい数学的意味不明の山を前にした完全なティーポットのように感じることがよくあります。 さらに、同様の状況は、あらゆる主題の研究、特に自然科学のサイクルで発生する可能性があります。
何をすべきか？ フルタイムの学生の場合、もちろん、その主題が非常に無視されない限り、すべてがはるかに簡単です。 先生やクラスメートに相談したり、隣の人から机の上にメモを書いたりすることもできます。 高等数学では満杯のティーポットであっても、このようなシナリオではセッションを乗り切ることができます。
そして、ある人が大学の通信学部で学んでいる場合、控えめに言っても、将来的に高等数学が必要になる可能性は低いでしょうか？ また、授業の時間がありません。 ほとんどの場合、そのとおりですが、テストの実施と試験（ほとんどの場合、筆記）の合格をキャンセルする人はいませんでした。 高等数学のテストでは、あなたがティーポットであろうとなかろうと、すべてが簡単になります - 数学のテストを注文できます。 たとえば、私はそうしています。 他の商品も注文可能です。 もうここにはいません。 しかし、審査のためにテスト用紙を実施して提出しても、誰もが望む成績表への登録にはまだ至っていません。 オーダーメイドで作られた芸術作品を擁護する必要がある場合はよくありますが、なぜこれらの手紙からその公式が導かれるのかを説明する必要があります。 さらに、試験が近づいており、そこではすでに行列式、極限、微分を独立して解く必要があります。 もちろん、教師が高価な贈り物を受け取らなかったり、教室の外に雇われて善意を示す人がいなかったりする場合は別ですが。
とても重要なアドバイスをさせてください。 精密科学や自然科学のテストや試験では、何かを理解することが非常に重要です。 少なくとも何かを覚えておいてください。 思考プロセスが完全に欠如していると、教師は単純に激怒します。パートタイムの学生が 5 ～ 6 回ラップされたケースを私は知っています。 ある若者はテストに 4 回合格し、再受験するたびに私に無料の保証相談を求めてきたことを覚えています。 結局、彼が回答の中で「ピ」という文字の代わりに「ペ」という文字を書いていることに気づき、査読者から厳しい制裁を受けることになりました。 学生は課題を調べようともせず、何気なく書き直した
高等数学では完全なダミーになることもできますが、定数の導関数がゼロに等しいことを知っていることが非常に望ましいです。 初歩的な質問に愚かな答えをしたら、大学での勉強が終わってしまう可能性が高いからです。 教師は、その主題を少なくとも理解しようとしている生徒、あるいはたとえ間違っていたとしても、何かを解決したり、説明したり、証明しようとしている生徒に対して、はるかに好意的です。 そして、この言葉はすべての分野に当てはまります。 したがって、「私は何も知らない、何も理解できない」という立場は断固として拒否されるべきです。
2 番目の重要なアドバイスは、たとえその数が少なくても、講義に出席することです。 これについては、サイトのメインページですでに言及しました。 通信制学生のための数学。 なぜそれが非常に重要なのかを繰り返すのは意味がありません。そこをお読みください。
それで、鼻のテスト、高等数学のテストがあり、状況が嘆かわしい、つまりティーポットがいっぱいになった、またはむしろ空になった状態になった場合はどうすればよいでしょうか？
一つの選択肢は家庭教師を雇うことです。 家庭教師の最大のデータベースは (主にモスクワ) または (主にサンクトペテルブルク) にあります。 検索エンジンを使用すると、あなたの街の家庭教師を見つけたり、地元の広告新聞を調べたりできる可能性が高くなります。 家庭教師のサービスの料金は、教師の資格に応じて、1 時間あたり 400 ルーブル以上の場合があります。 特に数学の知識が豊富な場合は、安いからといって悪いわけではないことに注意してください。 同時に、2〜3Kルーブルでたくさんのものを手に入れることができます。 無駄に誰もそのようなお金を受け取りませんし、誰もそのようなお金を支払うのは無駄です;-)。 唯一重要な点は、専門的な教育教育を受けた家庭教師を選ぶようにすることです。 そして実際、私たちは法的な助けを求めて歯医者に行きません。
最近ではオンライン家庭教師サービスが人気を集めています。 1 つか 2 つの問題を急いで解決したり、トピックを理解したり、試験の準備をしたりする必要がある場合に非常に便利です。 疑いの余地のない利点は、オフライン家庭教師よりも数倍安い価格と移動時間の節約であり、これは大都市の居住者にとって特に重要です。
高等数学のコースでは、家庭教師なしではいくつかのことを習得するのは非常に困難ですが、必要なのは「生きた」説明だけです。
それでも、多くの種類の問題を自分で理解することは十分に可能です。サイトのこのセクションの目的は、試験で必ずと言っていいほど出題される典型的な例と問題の解決方法を教えることです。 さらに、多くのタスクには「難しい」アルゴリズムがあり、正しい解決策から逃れることはできません。 そして、特に私には教育学の教育を受け、専門分野での職歴があるので、私の知る限り、皆さんのお役に立ちたいと思っています。
数学的な意味不明なことをかき集め始めましょう。 大丈夫、たとえあなたがティーポットであっても、高等数学はとてもシンプルで、とても親しみやすいものです。
そして、学校の数学コースを繰り返すことから始める必要があります。 繰り返しは痛みの母です。
私の方法論的な資料の研究を始める前に、また一般に高等数学の資料の研究を始める前に、以下を読むことを強くお勧めします。
高等数学の問題をうまく解決するには、次のことを行う必要があります。
マイクロ電卓を入手してください。
プログラムの中で - Excel (素晴らしい選択です!)。 「ダミー」のマニュアルをライブラリにアップロードしました。
食べる？ もういいよ。
– 項を並べ替えると、合計は変わりません: .
しかし、これらはまったく異なるものです。
「x」と「4」を並べ替えることはまったく不可能です。 同時に、数学において未知の値または変数の値を意味する象徴的な文字「x」を思い出します。
– 要素を並べ替えても、製品は変わりません: .
割り算では、そのようなトリックは機能しません。これらは 2 つのまったく異なる分数であり、分子を分母で並べ替えても結果が生じます。
また、掛け算記号 (「ドット」) はほとんどの場合書かれていないことを思い出してください。
– 括弧を展開するためのルールを思い出してください:
- ここでは項の符号は変わりません
- そしてここではそれらが逆転しています。
そして乗算の場合は次のようになります。 
一般的に、次のことを覚えておけば十分です。 2 つのマイナスがプラスを与える、A スリー マイナス - マイナスを与える。 そして、高等数学の問題を解くときは、この点で混乱しないようにしてください (非常に頻繁で迷惑な間違いです)。
– 類似用語の削減を思い出してください, 次の操作をよく理解している必要があります。
– 学位とは何かを思い出してください:
, , 
, 
.
学位は単なる普通の掛け算です。
–分数は約分できることに注意してください: (2 で削減)、(5 で削減)、( で削減)。
– 分数を使ってアクションを覚える:
また、分数を公分母に減らすための非常に重要な規則もあります。 
これらの例が明確でない場合は、学校の教科書を参照してください。
これがないと厳しいです。
アドバイス: 高等数学におけるすべての中級計算は、たとえ のような恐ろしい分数であっても、普通の右分数と不規則分数で行うのが最適です。 この分数は として表すべきではありません。また、電卓で分子を分母で割って 4.334552102 ... を求めてはなりません。
ルールの例外はタスクの最終的な答えです。その場合は、 or と書くのが良いでしょう。
– 方程式。 左側と右側があります。 例えば：
記号を変更することで任意の項を別の部分に転送できます:
たとえば、すべての項を左側に移動してみましょう。
または右側:
マトリックス数字が詰まった長方形のテーブルと呼ばれます。 行列の最も重要な特性は、行数と列数です。 行列の行数と列数が同じ場合、その行列は 四角。 行列はラテン語の大文字で表されます。
数字自体は次のように呼ばれます 行列要素そして、行番号と列番号を指定し、最初に行番号、次に列番号という二重インデックスとしてそれらを記述することにより、行列内の位置によってそれらを特徴付けます。 例えば、 ある 14 は 1 行目 4 列目の行列要素です。 ある 32 は 3 行 2 列目にあります。
正方行列の主対角線同じインデックスを持つ要素、つまり行番号が列番号と一致する要素を呼び出します。 側面対角線主対角線に対して「垂直」になります。
特に重要なのは、いわゆる 恒等行列。 これらは、主対角が 1 で、他のすべての数値が 0 に等しい正方行列です。これらは恒等行列 E を示します。行列は次のように呼ばれます。 同等同じ行数、列数を持ち、同じインデックスを持つすべての要素が等しい場合。 マトリックスはと呼ばれます ヌル、すべての要素が 0 に等しい場合。ゼロ行列 O で示されます。
マトリックスを使用した最も単純なアクション
1. 行列と数値の乗算。これを行うには、行列の各要素に指定された数値を乗算する必要があります。
2. マトリックスの加算。同じサイズ、つまり同じ行数と同じ数の列を持つ行列のみを追加できます。 マトリックスを追加すると、対応する要素も追加されます。
3. マトリックスの転置。行列が転置されると、行は列になり、その逆も同様です。 結果の行列は転置と呼ばれ、 A T で表されます。 行列の転置には次の特性が当てはまります。
4. 行列の乗算。行列積には次の特性があります。
- 最初の行列の列数が 2 番目の行列の行数と等しい場合、行列を乗算できます。
- 結果は、行数が最初の行列の行数に等しく、列数が 2 番目の行列の列数に等しい行列になります。
- 行列の乗算は非可換です。これは、積内の行列を再配置すると結果が変わることを意味します。 また、積 A・B が計算できても、積 B・A が計算できるわけではありません。
- C = A∙B とします。 行列 C の要素を決定するには、 私-その行と k-番目の列を取得する必要があります 私最初の乗算行列の - 番目の行と k-番目の列 2 番目。 次に、これらの行と列の要素を交互に取り出して乗算します。 最初の行列の行から最初の要素を取得し、2 番目の行列の列の最初の要素を掛けます。 次に、最初の行列の行の 2 番目の要素を取得し、2 番目の行列の列の 2 番目の要素を掛けます。 そして、これらすべての作業を追加する必要があります。
行列行列式
決定要因 (決定要因)正方行列 A は数値と呼ばれ、det で表されます。 あ、それほど頻繁ではありません | あ| または単に Δ であり、特定の方法で計算されます。 1x1 行列の場合、行列式は行列自体の単一要素です。 2x2 行列の場合、行列式は次の式を使用して求められます。
マイナーと代数的加算
行列 A を考えてみましょう。その中で選択します s線と s列。 得られた行と列の交点にある要素から正方行列を作成してみましょう。 マイナー次数の行列 A sは、結果の行列の行列式と呼ばれます。
正方行列 A を考えます。その中で選択します。 s線と s列。 追加のマイナー未成年者まで s指定された行と列を削除した後に残った要素で構成される行列式を呼び出します。
代数加算要素へ アイク正方行列 A は、この要素の追加マイナーと呼ばれ、(-1) を掛けられます。 私+k、 どこ 私+k要素の行番号と列番号の合計です。 アイク。 代数の補数 A を表す そうです.
代数の補数による行列の行列式の計算
正方行列 A について考えてみましょう。その行列式を計算するには、その行または列のいずれかを選択し、この行または列の各要素とその代数補数の積を見つける必要があります。 そして、これらすべての作業を合計する必要があります。
代数的加算の計算は、2x2 を超えるサイズの行列式の計算に削減できます。 この場合も、計算が必要な代数加算のサイズが 2x2 になるまで代数加算などを行って、その後上記の式を使用する必要があります。
逆行列
正方行列 A を考えてみましょう。行列 A –1 は次のように呼ばれます。 逆行それらの積が単位行列と等しい場合、行列 A に変換されます。 逆行列は正方行列に対してのみ存在します。 逆行列は、行列 A が次の場合にのみ存在します。 非退化つまり、行列式はゼロに等しくありません。 そうしないと、逆行列を計算できません。 逆行列を構築するには、以下が必要です。
- 行列行列式を求めます。
- 行列の各要素の代数補数を求めます。
- 代数的加算から行列を構築し、必ず転置してください。 移調は忘れられがちです。
- 結果の行列を元の行列の行列式で割ります。
したがって、行列 A のサイズが 3x3 の場合、その逆行列は次の形式になります。
デリバティブ
何らかの機能を考えてみる f(バツ) 引数に応じて バツ。 この関数を次の時点で定義します バツ 0 とその近傍の一部は、この点とその近傍で連続しています。 関数の引数 ∆ の小さな変更を考慮してください。 バツ。 関数をΔに変えてみます f(バツ）。 それから 微分関数このときの関係を次の関係といいます。
