回転体の力学の基本法則。 体の回転運動

1.8.

軸に対する物体の運動量のモーメント。

軸に対する固体の角運動量は、その固体を構成する個々の粒子の軸に対する角運動量の合計です。 それを考慮すると、

物体の角運動量の変化による回転運動の力学の基本法則を表現します。

任意の物体系を考えてみましょう。 システムの角運動量は、選択された基準システムの同じ点を基準とした、その個々の部分 Li の角運動量のベクトル和に等しい量 L です。

系の角運動量の変化率を求めてみましょう。 剛体の回転運動の説明と同様の推論を実行すると、次のことが得られます。

システムの角運動量の変化率は、このシステムの各部分に作用する外力 M のモーメントのベクトル和に等しくなります。

さらに、ベクトル L と M は、選択された CO 内の同じ点 O を基準にして指定されます。 式 (21) は、システムの角運動量の変化の法則を表します。

角運動量の変化の理由は、システムに作用する外力の結果として生じるトルクです。 有限期間にわたる角運動量の変化は、次の式を使用して求めることができます。

角運動量保存則。 例。

固定軸の周りを回転する物体に作用する力のモーメントの合計がゼロに等しい場合、角運動量は保存されます (角運動量保存則）:
.

角運動量保存の法則は、バランスのとれたジャイロスコープ、つまり 3 つの自由度を備えた急速に回転する物体を使った実験で非常に明確です (図 6.9)。

アイスダンサーが回転速度を変えるために利用する角運動量保存則です。 または、もう 1 つのよく知られた例は、ジュコフスキー ベンチです (図 6.11)。

力の働き。

力の働き -機械的な動作を別の形式の動作に変換するときの力の影響の尺度。

力の仕事の公式の例。

重力の働き。 傾斜面での重力の働き

弾性力の仕事

摩擦力の仕事

保守勢力と非保守勢力。

保守的は力と呼ばれ、その仕事は軌道の形状には依存せず、始点と終点の位置によってのみ決定されます。

保守的なクラスには、たとえば、重力、弾性力、静電相互作用の力が含まれます。

仕事がパスの形状に依存する力、つまり、閉じたパスに沿った仕事がゼロに等しくない力があります (たとえば、摩擦力)。 このような力はこう呼ばれます 非保守的 .
この場合、仕事は位置エネルギー (dA dEn) を増加させるのではなく、物体を加熱する、つまり物体の分子の運動エネルギーを増加させるために行われます。

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回転運動の力学の基本法則の導出。 回転運動の力学の基本方程式の導出へ。 質点の回転運動のダイナミクス。 接線方向への投影では、運動方程式は Ft = mt の形式になります。

15. 回転運動の力学の基本法則の導出。

米。 8.5。 回転運動の力学の基本方程式の導出へ。

質点の回転運動のダイナミクス。半径の円に沿って電流 O の周りを回転する質量 m の粒子を考えます。 R 、合力の作用下で F (図 8.5 を参照)。 慣性座標系では 2 が有効です痛い ニュートンの法則。 任意の瞬間に関連してそれを書いてみましょう。

F = m・a。

力の垂直成分は物体の回転を引き起こすことができないため、その接線成分の作用のみを考慮します。 接線方向に投影すると、運動方程式は次の形式になります。

F t = m・a t 。

a t = e・R なので、

F t = m e R (8.6)

方程式の左辺と右辺に R をスカラー的に乗算すると、次のようになります。

F t R= m e R 2 (8.7)
M＝いえ。 (8.8)

式(8.8)は2を表します。痛い 質点の回転運動に関するニュートンの法則（力学方程式）。 トルクの存在により、回転軸に沿った平行な角加速度ベクトルが現れることを考慮して、ベクトル特性を与えることができます (図 8.5 を参照)。

M = I・e。 (8.9)

回転運動中の質点の力学の基本法則は次のように定式化できます。

慣性モーメントと角加速度の積は、物質点に作用する力のモーメントに等しくなります。

回転軸回りの慣性モーメント

物質点の慣性モーメント 、 (1.8) ここで、 は点の質量、 は回転軸からの距離です。

1. 個別の剛体の慣性モーメント、(1.9) ここで、 は剛体の質量要素です。 – 回転軸からのこの要素の距離。 – ボディ要素の数。

2. 連続質量分布（固体）の場合の慣性モーメント。 (1.10) 物体が均質である場合、つまり その密度が体積全体にわたって同じである場合、式 (1.11) が使用されます。ここで、 は物体の体積です。

3. シュタイナーの定理。 任意の回転軸の物体の慣性モーメントは、物体の質量中心を通過する平行軸に対する慣性モーメントに、物体の質量と回転軸の 2 乗の積を加えたものに等しくなります。それらの間の距離。 (1.12)

1. 、(1.13) ここで、 は力のモーメント、 は物体の慣性モーメント、 は角速度、 は角運動量です。

2. 物体の慣性モーメントが一定の場合 – 、(1.14) ここで、 は角加速度です。

3. 力のモーメントと慣性モーメントが一定の場合、回転体の角運動量の変化は、この瞬間の作用中に回転体に作用する力の平均モーメントの積に等しくなります。 (1.15)

回転軸が物体の質量中心を通過しない場合、この軸に対する物体の慣性モーメントはシュタイナーの定理によって決定できます。つまり、任意の軸に対する物体の慣性モーメントは等しいです。平行軸にある物体の質量中心 C を通過する回転軸 O 1 O 2 に対するこの物体の慣性モーメントの合計と、これらの間の距離の 2 乗と本体質量の積。軸 (図 1 を参照)、つまり 。

個々の物体のシステムの慣性モーメントは等しい (たとえば、物理的な振り子の慣性モーメントは に等しい。ここで、慣性モーメントを持つ円板が取り付けられているロッドの慣性モーメントは に等しい)。

類推表

角運動量（運動量、角運動量、軌道運動量、角運動量）は、回転運動の量を特徴付けます。 回転する質量、回転軸に対して質量がどのように分布するか、および回転が発生する速度によって決まる量。 ここでの回転とは、軸の周りの通常の回転だけではなく、広い意味で理解されることに注意してください。 たとえば、物体が運動線上にない任意の仮想点を通過して直線的に移動する場合でも、物体には角運動量が生じます。 おそらく、実際の回転運動を記述する際に最も大きな役割を果たすのは角運動量です。点に対する角運動量は擬似ベクトルであり、軸に対する角運動量は擬スカラーです。

運動量保存の法則（運動量保存の法則）とは、系に作用する外力のベクトル和がゼロの場合、系のすべての物体（または粒子）の運動量のベクトル和が一定値になることをいいます。

1) より線形な特性: 経路 S、速度、接線方向および垂直加速度。

2) 物体が固定軸の周りを回転するとき、角加速度ベクトル ε は回転軸に沿って角速度の基本増分ベクトルに向かう方向に向きます。 動きが加速している場合、ベクトル ε はベクトル ω と同方向になります (図 3)、動きが遅い場合はその逆になります。

4) 慣性モーメントは、体内の質量の分布を特徴付けるスカラー量です。 慣性モーメントは、回転中の物体の慣性 (物理的な意味) の尺度です。

加速度は速度の変化率を特徴づけます。

5) 力のモーメント (同義語: トルク、トルク、トルク、トルク) - 半径ベクトル (定義により、回転軸から力の作用点まで引かれる) のベクトル積に等しいベクトル物理量。この力のベクトル。 固体に対する力の回転作用を特徴付けます。

6) 荷重が吊り下げられて静止している場合、糸の弾性力 \張力\ の係数は重力と等しくなります。

基本概念。

力の瞬間回転軸を基準とした値 - これは、半径ベクトルと力のベクトル積です。

力のモーメントはベクトルです , ボディに作用する力の方向に応じて、ギムレット（右ネジ）の規定によりその方向が決まります。 力のモーメントは回転軸に沿って方向付けられ、特定の作用点を持ちません。

このベクトルの数値は次の式で決定されます。

M=r×F× シナ(1.15),

ここで - 半径ベクトルと力の方向との間の角度。

a=0の場合または p、力の瞬間 M=0、つまり 回転軸を通過する力、または回転軸と一致する力は回転を引き起こしません。

力が斜めに作用する場合、最大の弾性トルクが生成されます。 a=p/2 (M > 0)または a=3p/2 (M< 0).

レバレッジの概念を使用する d- これは回転中心から力の作用線まで下ろした垂線です)、力のモーメントの公式は次の形式になります。

どこ (1.16)

力のモーメントの法則(回転軸が固定された物体の平衡状態):

回転軸が固定された物体が平衡状態にあるためには、この物体に作用する力のモーメントの代数的合計がゼロに等しくなる必要があります。

S M i =0(1.17)

力のモーメントのSI単位は[N×m]です。

回転運動中の物体の慣性は、その質量だけでなく、回転軸に対する空間内での分布にも依存します。

回転中の慣性は、回転軸に対する本体の慣性モーメントによって特徴付けられます。 J.

慣性モーメント回転軸に対する物質点は、その点の質量と回転軸からの距離の二乗の積に等しい値です。

J i =m i × r i 2(1.18)

軸に対するボディの慣性モーメントは、ボディを構成する物質点の慣性モーメントの合計です。

J=S m i × r i 2(1.19)

物体の慣性モーメントは、回転軸の選択だけでなく、その質量と形状にも依存します。 特定の軸に対する物体の慣性モーメントを決定するには、シュタイナー ホイヘンスの定理が使用されます。

J=J 0 +m×d 2(1.20),

どこ J0– 体の質量中心を通る平行軸の周りの慣性モーメント、 d– 2つの平行な軸の間の距離 . SI の慣性モーメントは [kg × m 2 ] で測定されます。

人体の回転運動における慣性モーメントは実験的に求められ、円柱、丸棒、または球の公式を使用して近似的に計算されます。

重心を通過する垂直回転軸に対する人の慣性モーメント (人体の重心は、第 2 仙椎のわずかに前の矢状面に位置します)。人の位置、次の値があります：注意を払って立っているとき - 1.2 kg × m 2; 「アラベスク」ポーズの場合 – 8 kg × m 2; 水平位置 - 17 kg × 平方メートル。

回転運動での作業外力の影響下で物体が回転するときに発生します。

回転運動における力の基本仕事は、力のモーメントと物体の回転の基本角度の積に等しくなります。

dA i =M i × dj(1.21)

複数の力が物体に作用する場合、加えられたすべての力の合力の基本仕事は次の式で求められます。

dA=M×dj(1.22),

どこ M– 身体に作用するすべての外力の合計モーメント。

回転体の運動エネルギーWへボディの慣性モーメントとその回転の角速度に依存します。

力積の角度 (角運動量) –数値的には、物体の運動量と回転半径の積に等しい量。

L=p×r=m×V×r(1.24).

適切に変換した後、次の形式で角運動量を決定する式を書くことができます。

(1.25).

角運動量は、右ねじの法則によって方向が決定されるベクトルです。 角運動量のSI単位は[kg×m 2 /s]です。

回転運動の力学の基本法則。

回転運動の力学の基本方程式:

回転運動を受ける物体の角加速度は、すべての外力の合計モーメントに正比例し、物体の慣性モーメントに反比例します。

(1.26).

この方程式は、回転運動を記述する際に、並進運動に対するニュートンの第 2 法則と同じ役割を果たします。 方程式から、外力の作用下では、角加速度が大きくなるほど、本体の慣性モーメントが小さくなることが明らかです。

回転運動の力学に関するニュートンの第 2 法則は、別の形式で書くことができます。

(1.27),

それらの。 時間に関する物体の角運動量の 1 次導関数は、特定の物体に作用するすべての外力の合計モーメントに等しくなります。

物体の角運動量保存の法則:

物体に作用するすべての外力の合計モーメントがゼロに等しい場合、つまり

S M i =0、 それから dL/dt=0 (1.28).

これは (1.29) のいずれかを意味します。

この記述は、物体の角運動量保存則の本質を構成し、次のように定式化されます。

回転体に作用する外力のモーメントの合計がゼロであれば、回転体の角運動量は一定です。

この法則は絶対剛体に対してのみ有効ではありません。 例としては、垂直軸を中心に回転を行うフィギュア スケート選手が挙げられます。 スケーターは手を押すことで慣性モーメントが減少し、角速度が増加します。 回転を遅くするために、彼は逆に腕を大きく広げます。 その結果、慣性モーメントが増加し、回転角速度が減少します。

結論として、並進運動と回転運動の力学を特徴付ける主な量と法則の比較表を提示します。

表1.4。

前進	回転運動
物理量	式	物理量	式
重さ	メートル	慣性モーメント	J=m×r2
力	F	力の瞬間	M=F×rの場合
身体衝動（運動量）	p=m×V	体の勢い	Ｌ＝ｍ×Ｖ×ｒ； L=J×w
運動エネルギー		運動エネルギー
機械作業	dA=FdS	機械作業	dA=Mdj
並進運動力学の基本方程式		回転運動の力学の基本方程式	,
体の運動量保存の法則	または もし	物体の角運動量保存則	または SJ i w i =const、もし

遠心分離。

異なる密度の粒子からなる不均一系の分離は、重力とアルキメデス力 (浮力) の影響下で実行できます。 異なる密度の粒子の水性懸濁液がある場合、正味の力がそれらに作用します。

F r =F t – F A =r 1 ×V×g - r×V×g、つまり

F r =(r 1 - r)× V ×g(1.30)

ここで、V は粒子の体積、 r1そして r– それぞれ、粒子と水の物質の密度。 密度が互いにわずかに異なる場合、結果として生じる力は小さく、分離（堆積）は非常にゆっくりと起こります。 そこで、分離媒体の回転による粒子の強制分離を利用します。

遠心分離慣性の遠心力の影響下で起こる、異なる質量の粒子からなる不均一系、混合物、または懸濁液の分離（分離）プロセスです。

遠心分離機の基礎となるのは、密閉されたハウジング内に配置された試験管用のネストを備えたローターであり、電気モーターによって駆動されます。 遠心分離機のローターが十分に高速で回転すると、慣性による遠心力の影響を受けて、質量の異なる浮遊粒子がさまざまな深さの層に分布し、最も重い粒子が試験管の底に堆積します。

分離が発生する影響を受ける力は次の式で決定されることがわかります。

(1.31)

どこ w- 遠心分離機の回転角速度、 r– 回転軸からの距離。 分離された粒子と液体の密度の差が大きいほど遠心分離の効果は大きくなり、回転の角速度にも大きく依存します。

毎分約 10 5 ～ 10 6 回転のローター速度で動作する超遠心分離機は、液体中に懸濁または溶解したサイズ 100 nm 未満の粒子を分離できます。 それらは生物医学研究に広く応用されています。

超遠心分離を使用すると、細胞を細胞小器官と巨大分子に分離できます。 まず、より大きな部分（核、細胞骨格）が沈殿します（沈殿物）。 遠心分離速度をさらに高めると、最初にミトコンドリア、リソソーム、次にミクロソーム、そして最後にリボソームと大きな高分子という小さな粒子が順番に沈降します。 遠心分離中に、異なる画分が異なる速度で沈降し、試験管内に分離して検査できる別々のバンドが形成されます。 分画細胞抽出物 (無細胞系) は、タンパク質生合成の研究や遺伝暗号の解読など、細胞内プロセスの研究に広く使用されています。

歯科でハンドピースを滅菌するには、遠心分離機を備えたオイル滅菌器を使用して余分なオイルを除去します。

遠心分離を使用すると、尿中に懸濁した粒子を沈降させることができます。 血漿からの形成要素の分離。 生体高分子、ウイルス、細胞内構造の分離。 薬物の純度の管理。

知識を自己管理するためのタスク。

演習 1 。 自制心を養うための質問。

等速円運動と等速直線運動の違いは何ですか? どのような条件下で物体は円を描くように均一に動きますか?

加速度によって円周等速運動が起こる理由を説明してください。

加速度がなければ曲線運動は起こりますか?

力のモーメントがゼロになるのはどのような条件ですか? 最大の値を取るか？

運動量と角運動量の保存則の適用限界を示します。

重力の影響による分離の特徴を示します。

異なる分子量のタンパク質の分離は遠心分離を使用して実行できるのに、分別蒸留の方法は受け入れられないのはなぜですか?

タスク 2 。 自制心のテスト。

不足している単語を入力してください:

角速度の符号の変化は、回転運動の変化を示します。

角加速度の符号の変化は、_ _ _ 回転運動の変化を示します

角速度は、時間に対する動径ベクトルの回転角度の導関数に等しい。

角加速度は、時間に対する動径ベクトルの回転角度の微分値に等しくなります。

物体に作用する力の方向が回転軸と一致する場合、力のモーメントは _ _ _ _ に等しくなります。

正しい答えを見つけてください:

力のモーメントは力の作用点のみに依存します。

物体の慣性モーメントは物体の質量のみに依存します。

等速円運動は加速度なしで発生します。

A. そうです。 B. 不正解。

上記の量はすべてスカラーです。例外は次のとおりです。

A. 力のモーメント。

B. 機械的作業。

C. 位置エネルギー;

D. 慣性モーメント。

ベクトル量は次のとおりです。

A. 角速度;

B. 角加速度。

C. 力のモーメント。

D. 角運動量。

答え: 1 – 方向。 2 – キャラクター。 3 – 最初。 4 – 2番目。 5 – ゼロ。 6 – B; 7 – B; 8 – B; 9 – A; 10 – A、B、C、D。

タスク 3. 測定単位間の関係を取得する :

線速度 cm/min および m/s。

角加速度 rad/min 2 および rad/s 2 ;

力のモーメント kN×cm および N×m。

体積パルス g×cm/s および kg×m/s。

慣性モーメント g×cm 2 および kg×m 2

タスク 4. 医学的および生物学的コンテンツのタスク。

タスクその1。ジャンプの飛行段階中、アスリートは体の重心の軌道を変えるための動作を一切使用できないのはなぜでしょうか? 空間内の身体部分の位置が変化したときに、アスリートの筋肉は機能しますか?

答え：放物線に沿って自由飛行することによって、アスリートは、重心 (この場合は回転の中心) に対する身体と​​その個々の部分の位置を変えることしかできません。 アスリートは体の回転の運動エネルギーを変化させる作業を行います。

タスクその2。歩行時間が 0.5 秒の場合、人は歩くときに平均どのくらいのパワーを発揮しますか? 下肢の加速と減速に仕事が費やされると考えてください。 脚の角度運動は約 Dj=30°です。 下肢慣性モーメントは1.7kg × 平方メートル。 脚の動きは、均一に交互に回転するものとして考える必要があります。

解決：

1) 問題の状況を簡単に書き留めてみましょう。 Dt= 0.5秒; DJ=30 0 =p/ 6; 私=1.7kg × 平方メートル

2) 1 つのステップで作業を定義します (右脚と左脚): A= 2×Iw2/ 2=Iw 2 .

平均角速度の公式を使用する w av =Dj/Dt、我々が得る： w= 2w av = 2×DJ/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3

3) 数値を代入します。 N=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36)=14.9(幅)

答え: 14.9W

タスクその3。歩くときの腕の動きの役割は何ですか？

答え: 互いに距離を置いて配置された 2 つの平行な平面内を移動する脚の動きにより、人体を垂直軸の周りに回転させようとする力のモーメントが生じます。 人は脚の動きに「向かって」腕を振り、それによって反対の符号の力のモーメントが生じます。

タスクその4。歯科で使用されるドリルを改良する分野の 1 つは、バーの回転速度を上げることです。 フットドリルのホウ素チップの回転速度は 1500 rpm、固定電気ドリルでは 4000 rpm、タービンドリルではすでに 300,000 rpm に達しています。 単位時間当たりの回転数が大きいドリルの新しい改良型が開発されているのはなぜですか?

回答: 象牙質は皮膚よりも数千倍痛みに敏感です。皮膚 1 mm あたり 1 ～ 2 個の痛みのポイントがあり、切歯象牙質 1 mm あたり最大 30,000 の痛みのポイントがあります。 生理学者によれば、回転数を増やすと虫歯の治療時の痛みが軽減されます。

Z タスク5 . 表に記入します。

表1。 回転運動の線形特性と角度特性を類推し、それらの関係を示します。

表2。

タスク6。 示唆的なアクション カードに記入します。

第 2 章。バイオメカニクスの基礎。

質問。

人間の筋骨格系のレバーと関節。 自由度の概念。

筋肉の収縮の種類。 筋肉の収縮を記述する基本的な物理量。

人間の運動調節の原理。

生体力学的特性を測定するための方法および機器。

2.1. 人間の筋骨格系のレバーと関節。

人間の筋骨格系の解剖学と生理学には、生体力学的計算で考慮する必要がある次の特徴があります。体の動きは、筋力だけでなく、外部反力、重力、慣性力、弾性力によっても決定されます。そして摩擦。 運動システムの構造により、回転運動のみが可能になります。 運動連鎖の分析を使用すると、並進運動を関節の回転運動に還元できます。 動きは非常に複雑なサイバネティックメカニズムによって制御されているため、加速度は常に変化します。

人間の筋骨格系は、互いに関節結合した骨格で構成されており、筋肉が特定の点で結合しています。 骨格の骨は、関節を支点とするレバーの役割を果たし、筋肉の収縮によって生じる牽引力によって駆動されます。 区別する 3種類のレバー:

1) 力が作用するレバー Fそして抵抗力 R支点の反対側に適用されます。 そのようなレバーの例は、矢状面で見た頭蓋骨です。

2) アクティブな力を持つレバー Fそして抵抗力 R支点の片側にかかる力と Fレバーの端にかかる力 R- 支点に近づく。 このレバーにより、強度が増加し、距離が減少します。つまり、 は 力のレバー。 例としては、顎顔面領域のレバーである足の半分を持ち上げるときの足の土踏まずの動作が挙げられます (図 2.1)。 咀嚼装置の動きは非常に複雑です。 口を閉じるとき、下顎を最大限に下げた位置からその歯が上顎の歯と完全に閉じる位置までの上昇は、下顎を持ち上げる筋肉の動きによって行われます。 これらの筋肉は、関節を支点とする第二種のレバーとして下顎に作用します（噛む力を高めます）。

3) 抵抗力よりも支点に近い位置に作用力がかかるレバーです。 このレバーは スピードレバー、 なぜなら 力は失われますが、動きは向上します。 例としては前腕の骨があります。

米。 2.1. 顎顔面領域と足の土踏まずのレバー。

骨格のほとんどの骨はいくつかの筋肉の作用下にあり、さまざまな方向に力を発生させます。 それらの結果は、平行四辺形の法則に従った幾何学的な加算によって求められます。

筋骨格系の骨は、関節または関節で互いに接続されています。 関節を形成する骨の端は、それらをしっかりと包む関節包と、骨に取り付けられた靭帯によって一緒に保持されています。 摩擦を減らすために、骨の接触面は滑らかな軟骨で覆われ、その間には粘着性のある液体の薄い層があります。

運動プロセスの生体力学的分析の最初の段階は、運動プロセスの決定です。 このような分析に基づいて、抽象的な運動連鎖が構築され、その可動性や安定性が幾何学的な考慮事項に基づいてチェックされます。 関節とそれらの間に位置する剛体リンクによって形成される閉じた運動連鎖と開いた運動連鎖があります。

3 次元空間における自由物質点の状態は、3 つの独立した座標によって与えられます。 x、y、z。 機械システムの状態を特徴付ける独立変数は、と呼ばれます。 自由度。 より複雑なシステムでは、自由度の数が高くなる可能性があります。 一般に、自由度の数は、(機械システムの状態を特徴付ける) 独立変数の数だけでなく、システムの独立した動きの数も決定します。

度数自由度は関節の主な機械的特性です。 定義する 車軸の数、その周りで関節のある骨の相互回転が可能です。 これは主に、関節で接触する骨の表面の幾何学的形状によって引き起こされます。

ジョイントの最大自由度は 3 です。

人体の一軸 (平坦) 関節の例には、上腕尺骨関節、踵骨上関節、および指骨関節があります。 1 つの自由度での屈曲と伸展のみが許可されます。 したがって、尺骨は、半円形のノッチの助けを借りて、関節の軸として機能する上腕骨の円筒状の突起を覆います。 関節の動きは、関節の軸に垂直な平面内での屈曲と伸長です。

手首関節は、屈曲・伸展、内転・外転が起こり、２自由度の関節に分類されます。

3 つの自由度を持つ関節 (空間関節) には、股関節と肩甲上腕関節が含まれます。 たとえば、肩甲上腕関節では、ボール状の上腕骨頭が肩甲骨の突起の球状の空洞に収まります。 関節の動きには、（矢状面での）屈曲と伸長、（前額面で）内転と外転、および長手方向軸の周りの四肢の回転があります。

閉じたフラット運動チェーンには多くの自由度があります f F, リンクの数によって計算されます n次の方法で:

宇宙における運動連鎖の状況はさらに複雑です。 ここで関係が成り立ちます

(2.2)

どこ f i -自由度制限の数 私-番目のリンク。

どのボディでも、特別なデバイスを使用せずに、回転中の方向が維持される軸を選択できます。 彼らには名前があります 自由回転軸

講義その4

動力学と力学の基本法則

回転運動。 機械式

生体組織の特性。 生体力学

筋系のプロセス

人。

1. 回転運動の運動学の基本法則。

固定軸を中心とした体の回転運動は、最も単純な種類の運動です。 物体のどの点も円を描き、その中心は回転軸と呼ばれる同じ直線 0 ﺍ 0 ﺍﺍ 上に位置するという特徴があります (図 1)。

この場合、任意の時点における物体の位置は、その初期位置に対する任意の点 A のベクトル R の半径の回転角 φ によって決まります。 時間への依存性:

(1)

は回転運動の方程式です。 物体の回転速度は角速度 ω によって特徴付けられます。 回転体のすべての点の角速度は同じです。 それはベクトル量です。 このベクトルは回転軸に沿った方向を向いており、右ねじの法則によって回転方向に関連付けられます。

. (2)

点が円の周りを均一に移動するとき

, (3)

ここで、Δφ=2πは体の1回転に相当する角度、Δt=Tは1回転の時間、つまり回転周期です。 角速度の測定単位は [ω]=c -1 です。

等速運動では、物体の加速度は角加速度 ε によって特徴付けられます (そのベクトルは角速度ベクトルと同様の位置にあり、加速運動中は角速度ベクトルに従って、スローモーション中は反対方向に向けられます)。

. (4)

角加速度の測定単位は [ε]=c -2 です。

回転運動は、その個々の点の線形速度と加速度によって特徴付けることもできます。 角度 dφ だけ回転させたときの点 A (図 1) によって描かれる円弧の長さ dS は、次の式で決定されます: dS=Rdφ。 (5)

次に、その点の線速度 :

. (6)

直線加速度 あ:

. (7)

2. 回転運動の力学の基本法則。

軸を中心とした物体の回転は、物体の任意の点に加えられる力 F によって引き起こされます。力 F は、回転軸に垂直な平面内で作用し、点の半径ベクトルに垂直な方向に向かう (またはこの方向の成分を持つ) ものです。アプリケーションの説明 (図 1)。

パワーの瞬間 回転中心に対する相対的なベクトル量は力の積に数値的に等しい 回転中心から力の方向に下ろした垂線の長さ d だけ、力の腕と呼ばれます。 図 1 では d=R であるため、

. (8)

一瞬 回転力はベクトル量です。 ベクター 円Oの中心に適用され、回転軸に沿って方向付けられます。 ベクトルの方向 右ねじの法則による力の方向と一致します。 小さな角度 dφ で回転するとき、物体が小さな経路 dS を通過するときの基本仕事 dA i は、次と等しくなります。

並進運動中の物体の慣性の尺度は質量です。 物体が回転するとき、その慣性の尺度は、回転軸に対する物体の慣性モーメントによって特徴付けられます。

回転軸に対する物質点の慣性モーメント I i は、その点の質量と軸からの距離の 2 乗の積に等しい値です (図 2)。

. (10)

軸に対するボディの慣性モーメントは、ボディを構成する物質点の慣性モーメントの合計です。

. (11)

または、極限 (n→∞) では次のようになります。
, (12)

G de 積分はボリューム V 全体にわたって実行されます。 規則的な幾何学的形状の均質体の慣性モーメントも同様の方法で計算されます。 慣性モーメントは kg m 2 で表されます。

重心を通過する垂直回転軸に対する人の慣性モーメント (人の重心は、第 2 十字椎骨のわずかに前の矢状面にあります)。人の場合、次の値があります。注意時は 1.2 kg m 2。 17 kg m 2 – 水平位置。

物体が回転するとき、その運動エネルギーは、物体の個々の点の運動エネルギーで構成されます。

(14) を微分すると、運動エネルギーの基本変化が得られます。

. (15)

外力の基本仕事 (式 9) を運動エネルギーの基本変化 (式 15) と同等にすると、次が得られます。
、 どこ：
または、それを考慮すると
我々が得る：
. (16)

この式を回転運動力学の基本方程式といいます。 この依存関係は、並進運動に関するニュートン II 法則に似ています。

軸に対する物質点の角運動量 Li は、点の運動量と回転軸までの距離の積に等しい値です。

. (17)

固定軸の周りを回転する物体の力積 L の運動量:

角運動量は、角速度ベクトルの方向を向いたベクトル量です。

ここで主方程式 (16) に戻りましょう。

,
.

定数値 I を微分符号の下に置き、次を取得しましょう。
, (19)

ここで、Mdt はモーメントインパルスと呼ばれます。 物体が外力の作用を受けていない場合 (M=0)、角運動量の変化 (dL=0) もゼロになります。 これは、角運動量が一定のままであることを意味します。
. (20)

この結論は、回転軸に対する角運動量保存則と呼ばれます。 たとえば、アクロバットなどのスポーツの自由軸に対する回転運動中に使用されます。 したがって、氷上のフィギュアスケーターは、回転中の体の位置を変更し、それに応じて回転軸に対する慣性モーメントを変更することで、回転速度を調整できます。