体の運動量の変化の測定。 身体衝動とは何ですか
基本的な力学量: 力、質量、物力積、力のモーメント、角運動量。
力はベクトル量であり、特定の物体に対する他の物体またはフィールドの作用の尺度です。
強さの特徴は次のとおりです。
・モジュール
方向
応用ポイント
SI システムでは、力はニュートンで測定されます。
1 ニュートンの力が何であるかを理解するには、物体に加えられる力によって速度が変化することを覚えておく必要があります。 さらに、物体の慣性を思い出してください。これは、私たちが覚えているように、物体の質量に関連付けられています。 それで、
1ニュートンは、重さ1kgの物体の速度を1秒ごとに1m/s変える力です。
力の例は次のとおりです。
· 重力– 重力相互作用の結果として物体に作用する力。
· 弾性力- 身体が外部負荷に抵抗する力。 その原因は、身体分子の電磁相互作用です。
· アルキメデスの力- 物体が一定量の液体または気体を移動させるという事実に関連する力。
· 地面反力- サポートがその上にある体に作用する力。
· 摩擦力– 物体の接触面の相対的な動きに対する抵抗力。
· 表面張力は、2 つの媒体間の界面で発生する力です。
· 体重- 身体が水平支持体または垂直支持体に作用する力。
そして他の勢力も。
強度は専用の装置を使用して測定されます。 この装置はダイナモメーターと呼ばれます（図1）。 ダイナモメーターは、その伸びによって力を示すスプリング 1、スケール 3 に沿ってスライドする矢印 2、スプリングが伸びすぎるのを防ぐリミッター バー 4、荷重を吊り下げるフック 5 で構成されています。
米。 1. ダイナモメーター (出典)
多くの力が身体に作用する可能性があります。 物体の動きを正確に記述するには、合力の概念を使用すると便利です。
合力とは、物体にかかるすべての力の作用を置き換える力です（図2）。
ベクトル量を扱うための規則を知っていれば、物体に加えられるすべての力の合力がこれらの力のベクトル和であることは簡単に推測できます。
米。 2. 物体に作用する 2 つの力の合力
さらに、ある座標系で物体の動きを考慮しているため、通常は力そのものではなく、軸へのその投影を考慮することが有利です。 投影はスカラー量であるため、軸上の力の投影は負または正の場合があります。 したがって、図 3 には力の投影が示されており、力の投影は負であり、力の投影は正です。
米。 3. 軸への力の投影
したがって、このレッスンから、私たちは強さの概念についての理解を深めました。 私たちは力の測定単位と力を測定する装置を覚えました。 さらに、自然界にはどのような力が存在するのかを調べました。 最後に、いくつかの力が体に作用したときにどのように行動するかを学びました。
重さ、物質の主な特性の 1 つであり、その慣性特性と重力特性を決定する物理量。 したがって、慣性質量と重力質量（重い、重力がある）は区別されます。
質量の概念は I. ニュートンによって力学に導入されました。 古典的なニュートン力学では、質量は物体の運動量 (運動量) の定義に含まれます。 R体の速度に比例する v, p = MV(1)。 比例係数は、特定の物体に対する定数値です。 メートル- そしてそれは体の質量です。 質量の同等の定義は古典力学の運動方程式から得られます。 f = マ(2)。 ここで、質量は物体に作用する力の比例係数です。 fそしてそれによって引き起こされる体の加速度 ある。 関係式 (1) および (2) によって定義される質量は、慣性質量または慣性質量と呼ばれます。 これは物体の動的特性を特徴付けるものであり、物体の慣性の尺度です。力が一定の場合、物体の質量が大きいほど、加速度は小さくなります。つまり、運動状態の変化が遅くなります (慣性が大きくなります）。
異なる物体に同じ力で作用し、それらの加速度を測定することで、これらの物体の質量間の関係を決定できます。 m 1: m 2: m 3 ... = a 1: a 2: a 3 ...; 質量の 1 つを測定単位とすると、残りの物体の質量を求めることができます。
ニュートンの重力理論では、質量は別の形、つまり重力場の源として現れます。 各物体は、物体の質量に比例する重力場を作成します (また、他の物体によって作成された重力場の影響を受けます。その強さも物体の質量に比例します)。 この場は、ニュートンの重力の法則によって決定される力で、他の物体をこの物体に引き寄せます。
(3)
どこ r- 物体間の距離、 Gは万有引力定数、a メートル1そして 平方メートル- 引き寄せられる物体の塊。 式 (3) から、次の式を簡単に得ることができます。 重さ R体重 メートル地球の重力場では: P = mg (4).
ここ g = G*M/r 2- 地球の重力場における自由落下の加速、および r » R- 地球の半径。 関係式 (3) と (4) によって決定される質量を物体の重力質量と呼びます。
原理的には、重力場を作成する質量が同じ物体の慣性も決定するということはどこからもわかりません。 ただし、慣性質量と重力質量は互いに比例する (通常の測定単位の選択により、数値的には等しい) ことが経験的に示されています。 この基本的な自然法則を等価原理といいます。 この発見は、地球上のすべての物体が同じ加速度で落下することを証明した G. ガリレオの名前に関連付けられています。 A. アインシュタインは、この原理 (彼によって初めて定式化された) を一般相対性理論の基礎に組み込みました。 等価原理は実験的に非常に高い精度で確立されています。 初めて (1890 年から 1906 年まで)、慣性質量と重力質量が等しいかどうかの精密テストが L. Eotvos によって実行され、質量が ~ 10 -8 の誤差で一致することが判明しました。 1959年から1964年にかけて、アメリカの物理学者R.ディッケ、R.クロトコフ、P.ロールは誤差を10 -11に減少させ、1971年にはソ連の物理学者V.B.ブラギンスキーとV.I.パノフは誤差を10 -12に減少させた。
等価原理により、体重を計ることで最も自然に体重を決定することができます。
当初、質量は（たとえばニュートンによって）物質の量の尺度として考えられていました。 この定義は、同じ材料から作られた均質なボディを比較する場合にのみ明確な意味を持ちます。 それは質量の加法性を強調しています。つまり、物体の質量はその部分の質量の合計に等しいということです。 均質な物体の質量はその体積に比例するため、物体の単位体積の質量である密度の概念を導入できます。
古典物理学では、物体の質量はどのような過程においても変化しないと考えられていました。 これは、M.V. ロモノーソフと A.L. ラヴォアジエによって発見された質量（物質）保存の法則に対応します。 特に、この法則は、あらゆる化学反応において、初期成分の質量の合計は最終成分の質量の合計に等しいと述べています。
質量の概念は、A. アインシュタインの特殊相対性理論の力学において、より深い意味を獲得しました。この理論では、物体 (または粒子) の非常に高速な動き (~3 10 10 cm/秒の光速に相当) が考慮されています。 新しい力学 - それは相対論的力学と呼ばれます - では、粒子の運動量と速度の関係は次の関係式で与えられます。
(5)
低速時( v << c) この関係はニュートン関係に入ります p = MV。 したがって、値は m0静止質量と呼ばれ、移動する粒子の質量 メートルは、次の間の速度に依存する比例係数として定義されます。 pそして v:
(6)
特にこの公式を念頭に置くと、粒子 (物体) の質量は速度の増加とともに増加すると言えます。 高エネルギー荷電粒子の加速器を設計する際には、速度が増加するにつれて粒子の質量が相対論的に増加することを考慮する必要があります。 レストマス m0(粒子に関連付けられた基準座標系の質量) は、粒子の最も重要な内部特性です。 すべての素粒子には厳密に定義された意味がある m0、特定のタイプの粒子に固有のもの。
相対論的力学では、加速度が消滅するため、運動方程式 (2) からの質量の定義は、粒子の運動量と速度の間の比例係数としての質量の定義と等価ではないことに注意してください。それを引き起こした力と平行であり、質量は粒子の速度の方向に依存することがわかります。
相対性理論によれば、粒子の質量は メートル彼女のエネルギーとつながっている E比率：
(7)
静止質量は粒子の内部エネルギー、いわゆる静止エネルギーを決定します。 E 0 = m 0 s 2。 したがって、エネルギーは常に質量と関連付けられます（逆も同様です）。 したがって、（古典物理学の場合のように）別個の質量保存則とエネルギー保存則は存在せず、それらは合計（つまり、粒子の静止エネルギーを含む）エネルギー保存の単一の法則に統合されます。 エネルギー保存則と質量保存則へのおおよその分割は、粒子速度が遅い場合の古典物理学でのみ可能です ( v << c)、粒子変換プロセスは発生しません。
相対論的力学では、質量は物体の付加的な特性ではありません。 2 つの粒子が結合して 1 つの化合物の安定状態を形成すると、過剰なエネルギー (結合エネルギーに等しい) が放出されます D E、これは質量 D に対応します。 m = D E/秒2。 したがって、複合粒子の質量は、それを構成する粒子の質量の合計よりも量 D だけ小さくなります。 E/秒2（いわゆる大量欠陥）。 この効果は核反応において特に顕著です。 たとえば、重陽子の質量 ( d) は陽子の質量の合計 ( p) と中性子 ( n); 欠陥質量D メートルエネルギーに関係する 例：ガンマ量子 ( g)、重陽子の形成中に生まれます。 p + n -> d + g, E g = DMC 2。 複合粒子の形成中に発生する質量欠陥は、質量とエネルギーの間の有機的な関係を反映しています。
CGS 単位系の質量単位は次のとおりです。 グラム、そして 国際単位系シ - キログラム。 原子や分子の質量は通常、原子質量単位で測定されます。 素粒子の質量は通常、電子の質量の単位で表されます。 自分、またはエネルギー単位で、対応する粒子の静止エネルギーを示します。 したがって、電子の質量は 0.511 MeV、陽子の質量は 1836.1 MeV です。 自分、または938.2 MeVなど。
質量の性質は、現代物理学の最も重要な未解決の問題の 1 つです。 素粒子の質量は、それに関連する場 (電磁気、核など) によって決定されることが一般に受け入れられています。 しかし、質量の定量理論はまだ確立されていません。 また、素粒子の質量が値の離散スペクトルを形成する理由を説明する理論はなく、ましてやこのスペクトルを決定することはできません。
天体物理学では、重力場を形成する物体の質量によって、物体のいわゆる重力半径が決まります。 R gr = 2GM/s 2。 重力の影響により、光を含む放射線は半径のある物体の表面を越えて逃げることはできません。 R=< R гр 。 このサイズの星は見えなくなります。 それが彼らが「ブラックホール」と呼ばれた理由です。 このような天体は宇宙において重要な役割を果たしているに違いありません。
力の衝動。 身体の衝動
運動量の概念は、17 世紀前半にルネ デカルトによって導入され、その後アイザック ニュートンによって洗練されました。 運動量を運動量と呼んだニュートンによれば、これは運動量の尺度であり、物体の速度とその質量に比例します。 現代の定義: 物体の運動量は、物体の質量と速度の積に等しい物理量です。
まず、上の式から、力積はベクトル量であり、その方向は物体の速度の方向と一致することが明らかです。力積の測定単位は次のとおりです。
= [kg m/s]
この物理量が運動法則とどのように関係しているかを考えてみましょう。 加速度が時間の経過に伴う速度の変化であることを考慮して、ニュートンの第 2 法則を書き留めてみましょう。
物体に作用する力、より正確には合力とその運動量の変化の間には関連性があります。 力と時間の積の大きさを力積といいます。上の式から、物体の運動量の変化は力の力積に等しいことが明らかです。
この式 (図 1) を使用してどのような効果を説明できますか?
米。 1. 力衝動と身体力積の関係（出典）
弓から放たれる矢。 弦と矢との接触が長く続くほど (Δt)、矢の運動量の変化 (Δ) が大きくなり、最終速度が速くなります。
衝突する2つのボール。 ニュートンの第 3 法則が教えているように、ボールが接触している間、ボールは同じ大きさの力で互いに作用します。 これは、ボールの質量が等しくなくても、ボールの運動量の変化も大きさが等しくなければならないことを意味します。
式を分析した後、2 つの重要な結論を導き出すことができます。
1. 同じ時間作用する同じ力は、異なる物体の質量に関係なく、異なる物体の運動量に同じ変化を引き起こします。
2. 物体の運動量の同じ変化は、長期間にわたって小さな力を作用させることによっても、同じ物体に大きな力を短時間作用させることによっても達成できます。
ニュートンの第 2 法則によれば、次のように書くことができます。
Δt = Δ = Δ / Δt
物体の運動量の変化と、この変化が起こった期間の比率は、物体に作用する力の合計に等しくなります。
この方程式を分析すると、ニュートンの第 2 法則により、解決すべき問題のクラスを拡張し、物体の質量が時間の経過とともに変化する問題を含めることができることがわかります。
ニュートンの第 2 法則の通常の定式化を使用して、物体の可変質量の問題を解決しようとすると、次のようになります。
そのような解決策を試みるとエラーが発生します。
この例としては、すでに述べたジェット機や宇宙ロケットが挙げられます。これらは移動中に燃料を燃焼させ、この燃焼生成物が周囲の空間に放出されます。 当然のことながら、燃料が消費されると航空機やロケットの質量は減少します。
力の瞬間- 力の回転効果を特徴付ける量。 は長さと力の積の寸法を持ちます。 区別する 力の瞬間中心（点）を基準としたものと軸を基準としたものです。
MS。 中心に対して について呼ばれた ベクトル量 M 0 は半径ベクトルのベクトル積に等しい r から実施 ○力が加わるところまで F 、強さへ M 0 = [rF ] または他の表記 M 0 = r F （米。）。 数値的にはM.s. 力の係数とアームの積に等しい h、つまり、から下げた垂線の長さによって について力の作用線上、または面積の 2 倍
中心に建てられた三角形 ○そして強さ：
有向ベクトル M 0 を通過する平面に垂直 ○そして F 。 向かっている側 M 0、条件付きで選択 ( M 0 - 軸ベクトル)。 右手座標系では、ベクトルは M 0 は反時計回りに力による回転が見える方向を指します。
MS。 と呼ばれる Z 軸を基準とした スカラー量 Mz、軸への投影に等しい zベクトル M. s. 任意の中心に対して について、この軸上で取得されます。 サイズ Mz平面への投影として定義することもできます xy、z 軸に垂直な、三角形の面積 OABまたは投影の瞬間として フォクシー強さ F 飛行機へ xy、z 軸とこの平面の交点を基準にして取得されます。 に。、
M. s. の最後の 2 つの表現では、 回転力が正であるとみなされる フォクシーポジティブから見える Z 軸の端を反時計回りに (右の座標系で)。 MS。 座標軸に対して オキシズ解析的に計算することも可能です。 f-ラム:
どこ FX、FY、FZ- 力の投影 F 座標軸上では、 x、y、z- 点座標 あ力の適用。 量 M x 、 M y 、 M zベクトルの投影に等しい M 座標軸上では 0。
相互作用力が各物体に作用するため、それらは変化しますが、力積の合計は一定のままです。 これはと呼ばれます 運動量保存則.
ニュートンの第二法則という式で表されます。 加速度が物体の速度の変化率に等しいことを覚えておけば、別の方法で書くこともできます。 等加速度運動の場合、式は次のようになります。
この式を式に代入すると、次のようになります。
,
この式は次のように書き換えることができます。
この等式の右辺は、物体の質量と速度の積の変化を記録します。 体重と速度の積は、と呼ばれる物理量です。 身体の衝動または 体の動きの量.
身体の衝動は物体の質量と速度の積と呼ばれます。 これはベクトル量です。 運動量ベクトルの方向は速度ベクトルの方向と一致する。
言い換えれば、質量体 メートル, スピードを持って動くことには勢いがあります。 力積の SI 単位は、重さ 1 kg の物体が 1 m/s (kg m/s) の速度で移動する力積です。 2 つの物体が相互作用するとき、最初の物体が 2 番目の物体に力を作用させると、ニュートンの第 3 法則に従って、2 番目の物体が最初の物体に力を作用します。 これら 2 つの物体の質量を次のように表します。 メートル 1と メートル 2、および任意の基準系との相対的な速度。 時間とともに t物体の相互作用の結果として、それらの速度は変化し、等しくなります。 これらの値を式に代入すると、次のようになります。
,
,
したがって、
等号の両辺の符号を反対の符号に変えて、次の形式で書きましょう。
方程式の左側は 2 つの物体の初期力積の合計、右側は同じ物体の時間経過に伴う力積の合計です。 t。 金額は等しいです。 それで、それにもかかわらず。 各物体の力積は相互作用中に変化しますが、合計の力積 (両方の物体の力積の合計) は変化しません。
複数のボディが相互作用する場合にも有効です。 ただし、これらの物体が相互にのみ相互作用し、システムに含まれていない他の物体からの力の影響を受けないこと (または外部の力のバランスが取れていること) が重要です。 他の物体と相互作用しない物体のグループはと呼ばれます 閉鎖系閉じたシステムにのみ有効です。
ニュートンの法則を研究すると、物体に作用するすべての力を知っていれば、その助けを借りて力学の基本的な問題を解決できることがわかります。 状況によっては、これらの値を決定することが困難または不可能な場合もあります。 そのような状況をいくつか考えてみましょう。2 つのビリヤード ボールまたは車が衝突するとき、働く力について、これがそれらの性質であり、ここで弾性力が作用すると主張できます。 ただし、特にこれらの力の作用時間が非常に短いため、そのモジュールや方向を正確に判断することはできません。ロケットやジェット機の動きについても、これらの物体を動かす力についてはほとんど語ることができません。このような場合、運動方程式を解くことを回避し、これらの方程式の結果をすぐに使用できる方法が使用されます。 この場合、新しい物理量が導入されます。 これらの量の 1 つである、物体の運動量を考えてみましょう。
弓から放たれる矢。 弦と矢との接触が長く続くほど (Δt)、矢の運動量の変化 (Δ) が大きくなり、最終速度が速くなります。
衝突する2つのボール。 ニュートンの第 3 法則が教えているように、ボールが接触している間、ボールは同じ大きさの力で互いに作用します。 これは、ボールの質量が等しくなくても、ボールの運動量の変化も大きさが等しくなければならないことを意味します。
式を分析した後、2 つの重要な結論を導き出すことができます。
1. 同じ時間作用する同じ力は、異なる物体の質量に関係なく、異なる物体の運動量に同じ変化を引き起こします。
2. 物体の運動量の同じ変化は、長期間にわたって小さな力を作用させることによっても、同じ物体に大きな力を短時間作用させることによっても達成できます。
ニュートンの第 2 法則によれば、次のように書くことができます。
Δt = Δ = Δ / Δt
物体の運動量の変化と、この変化が起こった期間の比率は、物体に作用する力の合計に等しくなります。
この方程式を分析すると、ニュートンの第 2 法則により、解決すべき問題のクラスを拡張し、物体の質量が時間の経過とともに変化する問題を含めることができることがわかります。
ニュートンの第 2 法則の通常の定式化を使用して、物体の可変質量の問題を解決しようとすると、次のようになります。
そのような解決策を試みるとエラーが発生します。
この例としては、すでに述べたジェット機や宇宙ロケットが挙げられます。これらは移動中に燃料を燃焼させ、この燃焼生成物が周囲の空間に放出されます。 当然のことながら、燃料が消費されると航空機やロケットの質量は減少します。
「合力は物体の質量とその加速度の積に等しい」という形式のニュートンの第 2 法則により、かなり幅広い種類の問題を解決できるという事実にもかかわらず、物体の運動の場合には解決できない場合があります。この式で完全に説明できます。 このような場合、物体の運動量の変化を合力の力積と結び付ける、第 2 法則の別の定式化を適用する必要があります。 さらに、運動方程式を解くことが数学的に非常に困難であるか、不可能ですらある問題が数多くあります。 このような場合、運動量の概念を使用すると便利です。
運動量保存則と、力の運動量と物体の運動量の関係を使用して、ニュートンの第 2 法則と第 3 法則を導き出すことができます。
ニュートンの第 2 法則は、力の力積と物体の運動量の関係から導出されます。
力の衝動は物体の運動量の変化に等しい：
適切な伝達を行った後、加速度に対する力の依存性が得られます。これは、加速度が速度の変化とこの変化が起こった時間の比として定義されるためです。
値を式に代入すると、ニュートンの第 2 法則の式が得られます。
ニュートンの第 3 法則を導き出すには、運動量保存の法則が必要です。
ベクトルは、速度のベクトルの性質、つまり速度が方向に変化する可能性があるという事実を強調します。 変換後は次のようになります。
閉鎖系内の期間は両方の物体にとって一定の値であるため、次のように書くことができます。
ニュートンの第 3 法則、つまり 2 つの物体が、大きさが等しく、方向が反対の力で相互に作用するということがわかりました。 これらの力のベクトルはそれぞれ相互に向けられており、これらの力のモジュールの値は等しい。
参考文献
- Tikhomirova S.A.、Yavorsky B.M. 物理学 (基礎レベル) - M.: Mnemosyne、2012。
- Gendenshtein L.E.、Dick Yu.I. 物理10年生。 - M.: ムネモシュネ、2014 年。
- 帰光院 I.K.、帰光院 A.K. 物理学 - 9、モスクワ、教育、1990 年。
宿題
- 物体の衝撃、つまり力の衝撃を定義します。
- 身体の衝動は力の衝動とどのように関連していますか?
- 身体力積と力力積の公式からどのような結論を導き出すことができますか?
- インターネットポータルQuestions-physics.ru（）。
- インターネットポータルFrutmrut.ru（）。
- インターネット ポータル Fizmat.by ()。
速度が光よりはるかに遅い場合の物理学における物体の移動の問題は、ニュートン力学または古典力学の法則を使用して解決されます。 その中の重要な概念の 1 つは衝動です。 物理学の基本的なものはこの記事で説明されています。
衝動か勢いか？
物理学における物体の運動量の公式を説明する前に、この概念について理解しましょう。 インペト（衝動）と呼ばれる量は、17 世紀初頭にガリレオによって初めて作品の説明に使用されました。 その後、アイザック ニュートンは、これに別の名前、motus (動き) を使用しました。 ニュートンの図はガリレオの図よりも古典物理学の発展に大きな影響を与えたため、当初は物体の運動量についてではなく、運動量について話すのが通例でした。
運動量は、物体の移動速度と慣性係数、つまり質量の積として理解されます。 対応する式は次のとおりです。
ここで、p￣ は方向が v￣ と一致するベクトルですが、モジュールはモジュール v￣ の m 倍です。
p 値の変化
運動量の概念は、現在、衝動ほど頻繁には使用されません。 そして、この事実はニュートン力学の法則に直接関係しています。 学校の物理の教科書に載っている形で書いてみましょう。
加速度 a￣ を速度導関数の対応する式に置き換えると、次のようになります。
dt を等式の右辺の分母から左辺の分子に移すと、次のようになります。
興味深い結果が得られました。作用力 F￣ が物体の加速につながるという事実に加えて (この段落の最初の式を参照)、運動量も変化します。 左側にある力と時間の積を力積といいます。 それは p￣ の変化に等しいことがわかります。 したがって、最後の式は物理学では運動量公式とも呼ばれます。
dp￣ も同様ですが、p￣ とは異なり、速度 v￣ としてではなく、力 F￣ として指示されることに注意してください。
運動量 (力積) のベクトルの変化の顕著な例は、サッカー選手がボールを打つときの状況です。 ヒットする前にボールはプレーヤーに向かって動きましたが、ヒット後はプレーヤーから遠ざかりました。
運動量保存則
値 pâ の保存を説明する物理学の公式は、いくつかのバージョンで与えられます。 それらを書き留める前に、運動量がいつ保存されるかという質問に答えてみましょう。
前の段落の式に戻りましょう。
それは、システムに作用する外力の合計がゼロ (閉じたシステム、F￣= 0) の場合、dp￣= 0、つまり運動量の変化は起こらないことを示しています。
この表現は物理学における物体の運動量と運動量保存則に共通です。 この式を実際にうまく適用するために知っておくべき 2 つの重要な点に注意してください。
- 運動量は各座標に沿って保存されます。つまり、あるイベントの前にシステムの p x の値が 2 kg*m/s だった場合、このイベントの後も同じになります。
- 運動量は、システム内の固体の衝突の性質に関係なく保存されます。 このような衝突には、絶対的な弾性衝突と絶対的な塑性衝突という 2 つの理想的なケースがあります。 前者の場合、運動エネルギーも保存されます。後者の場合、運動エネルギーの一部は物体の塑性変形に費やされますが、運動量は依然として保存されます。
2 つの物体の弾性および非弾性相互作用
物理学とその保存において運動量公式を使用する特殊なケースは、互いに衝突する 2 つの物体の運動です。 上の段落で述べた、根本的に異なる 2 つのケースを考えてみましょう。
衝撃が絶対的に弾性である場合、つまり、ある物体から別の物体への運動量の伝達が弾性変形によって行われる場合、保存式 p は次のように書かれます。
m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = m 1 *u 1 + m 2 *u 2
ここで、速度の符号は、検討中の軸に沿った方向を考慮して置き換える必要があることを覚えておくことが重要です (反対の速度は符号が異なります)。 この式は、システムの既知の初期状態 (値 m 1、v 1、m 2、v 2) が与えられた場合、最終状態 (衝突後) には 2 つの未知数 (u 1、u 2) があることを示しています。 。 対応する運動エネルギー保存の法則を使用すると、それらを見つけることができます。
m 1 *v 1 2 + m 2 *v 2 2 = m 1 *u 1 2 + m 2 *u 2 2
衝撃が完全に非弾性または塑性である場合、衝突後 2 つの物体は 1 つの全体として動き始めます。 この場合、次の式が行われます。
m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = (m 1 + m 2) * u
ご覧のとおり、未知数 (u) は 1 つだけについて話しているため、この 1 つの等式でそれを決定するには十分です。
円を描くときの体の運動量
運動量について上で述べたことはすべて、物体の直線的な動きに当てはまります。 オブジェクトが軸の周りを回転する場合はどうすればよいでしょうか? この目的のために、線形運動量に似た別の概念が物理学に導入されました。 それを角運動量といいます。 物理学における公式は次の形式になります。
ここで r￣ は、回転軸から運動量 p￣ を持つ粒子までの距離に等しいベクトルであり、この軸の周りで円運動を行います。 量 Lâ もベクトルですが、ベクトルの積について話しているため、計算は p￣ よりもいくらか難しくなります。
保存則 L￣
上に示した L￣ の公式は、この量の定義です。 実際には、少し異なる表現を使用することが好まれます。 取得方法については詳しく説明しませんが (難しいことではなく、誰でも自分で行うことができます)、すぐに取得しましょう。
ここで、I は慣性モーメント (質点の場合、m*r 2 に等しい) であり、回転する物体の慣性特性を表します。ω￣ は角速度です。 ご覧のとおり、この方程式は線形運動量 p￣ の形と似ています。
回転系に外力 (実際にはトルク) が作用しない場合、系内で発生するプロセスに関係なく、I と ω￣ の積は保存されます。 つまり、L￣ の保存則は次の形式になります。
その現れの一例は、フィギュアスケート選手が氷上でスピンを行うときのパフォーマンスです。
統一国家試験コードのトピック:物体の運動量、物体系の運動量、運動量保存の法則。
脈物体の は、物体の質量と速度の積に等しいベクトル量です。
力積を測定するための特別な単位はありません。 運動量の次元は、単に質量の次元と速度の次元の積です。
運動量の概念が興味深いのはなぜですか? これを利用すると、ニュートンの第 2 法則に少し異なる、非常に便利な形式を与えることができることがわかりました。
インパルス形式のニュートンの第 2 法則
を質量体に加えられる力の合力とします。 ニュートンの第 2 法則の通常の表記法から始めます。
物体の加速度が速度ベクトルの導関数に等しいことを考慮すると、ニュートンの第 2 法則は次のように書き換えられます。
導関数記号の下に定数を導入します。
ご覧のとおり、インパルスの導関数は左側で得られます。
. ( 1 )
関係 (1) は、ニュートンの第 2 法則を記述する新しい形式です。
インパルス形式のニュートンの第 2 法則。 物体の運動量の導関数は、物体に加えられる力の結果です。
これは言えることです。物体に作用する結果として生じる力は、物体の運動量の変化率に等しいということです。
式 (1) の導関数は、最終増分の比率に置き換えることができます。
. ( 2 )
この場合、時間間隔中に物体に作用する平均的な力が存在します。 値が小さいほど、比率は導関数に近づき、平均力は特定の時点での瞬間値に近づきます。
タスクでは、通常、時間間隔は非常に短くなります。 たとえば、これはボールが壁に衝突した時点であり、その後、衝突中に壁からボールに作用する平均の力である可能性があります。
関係式 (2) の左辺のベクトルを次のように呼びます。 衝動の変化その間 。 運動量の変化は、最終運動量ベクトルと初期運動量ベクトルの差です。 つまり、 が初期の瞬間における物体の運動量であり、 が一定期間後の物体の運動量である場合、運動量の変化はその差となります。
運動量の変化はベクトル間の差であることをもう一度強調しましょう (図 1)。
たとえば、ボールが壁に対して垂直に飛行し (インパクト前の運動量が に等しい)、速度を失うことなく跳ね返る (インパクト後の運動量が に等しい) とします。 力積の絶対値 () は変化していないにもかかわらず、力積には変化があります。
幾何学的に、この状況を図に示します。 2:
ご覧のとおり、運動量の変化係数は、ボールの初期力積の係数の 2 倍に等しくなります。
式(2)を次のように書き換えてみましょう。
, ( 3 )
または、上記のように勢いの変化を説明します。
量はと呼ばれます 力の衝動。力積には特別な測定単位はありません。 力の衝撃の次元は、単純に力と時間の次元の積です。
(これは、物体の運動量の別の可能な測定単位であることが判明したことに注意してください。)
等式 (3) の言葉による定式化は次のとおりです。 物体の運動量の変化は、一定期間にわたって物体に作用する力の運動量に等しい。もちろん、これも運動量形式のニュートンの第 2 法則です。
力の計算例
ニュートンの第 2 法則をインパルス形式に適用する例として、次の問題を考えてみましょう。
タスク。
質量 g のボールが m/s の速度で水平に飛行し、滑らかな垂直の壁に衝突すると、速度を失うことなく跳ね返ります。 ボールの入射角 (つまり、ボールの移動方向と壁の垂線との間の角度) は に等しい。 打撃は秒間持続する。 平均力を求めて、
インパクト時にボールに作用します。
解決。まず、反射角が入射角と等しいこと、つまりボールは同じ角度で壁から跳ね返ることを示しましょう (図 3)。
(3) によれば、次のようになります。 つまり、運動量のベクトルが変化する 共同監督ベクトル、つまりボールのリバウンド方向に壁に垂直に向けられたものです（図5）。
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ベクターと
弾性率が等しい
（球速は変わらないので） したがって、ベクトル 、 、 から構成される三角形は二等辺です。 これは、ベクトルとベクトルの間の角度が に等しいことを意味します。つまり、反射角は実際には入射角に等しいということです。
さらに、二等辺三角形には角度があることに注意してください (これが入射角です)。 したがって、この三角形は正三角形です。 ここから：
そして、ボールに作用する望ましい平均力は次のようになります。
物体システムの衝動
2 体システムの単純な状況から始めましょう。 つまり、それぞれ衝撃と をもつ物体 1 と物体 2 があるとします。 これらの物体のシステムの力積は、各物体の力積のベクトル和です。
物体系の運動量については、(1) の形式でニュートンの第 2 法則に似た公式が存在することがわかります。 この式を導き出してみましょう。
検討しているボディ 1 と 2 が相互作用する他のすべてのオブジェクトを 1 と 2 と呼びます。 外部の本体。外部物体が物体 1 と 2 に作用する力は次のように呼ばれます。 外力によって。物体 1 に作用する合成外力を とします。同様に、物体 2 に作用する合成外力を とします (図 6)。
さらに、ボディ 1 とボディ 2 は相互に対話できます。 物体 2 が物体 1 に力を作用させます。 次に、物体 1 が物体 2 に力を加えます。 ニュートンの第 3 法則によれば、力の大きさは等しく、方向は反対です。 力とあります 内なる力、システム内で動作しています。
それぞれの物体 1 と 2 について、ニュートンの第 2 法則を (1) の形式で書きましょう。
, ( 4 )
. ( 5 )
等式 (4) と (5) を追加しましょう。
結果として得られる等式の左側には、ベクトル と の合計の導関数に等しい導関数の合計があります。 ニュートンの第 3 法則により、右側では次のようになります。
しかし、これは物体 1 と 2 からなるシステムの衝動です。また、これはシステムに作用する外力の結果であることも示しましょう。 我々が得る：
. ( 6 )
したがって、 物体系の運動量の変化率は、その系に加えられる外力の結果です。私たちは、物体系のニュートンの第 2 法則の役割を果たす等式 (6) を取得したいと考えていました。
式(6)は物体が2つの場合について導出されたものである。 ここで、システム内の任意の数の物体の場合に推論を一般化してみましょう。
身体システムの衝動物体は、システムに含まれるすべての物体の運動量のベクトル和です。 システムが物体で構成されている場合、このシステムの運動量は次と等しくなります。
その後、すべてが上記とまったく同じ方法で行われます (技術的には少し複雑に見えます)。 それぞれの物体について、(4) と (5) に類似した等式を書き留め、これらの等式をすべて加算すると、左側ではシステムの運動量の導関数が再び得られ、右側には次の式のみが残ります。外部力の合計 (内部力をペアで加算すると、ニュートンの第 3 法則によりゼロになります)。 したがって、式 (6) は一般的な場合でも有効です。
運動量保存則
物体のシステムはと呼ばれます 閉まっている、特定のシステムの本体に対する外部の本体の作用が無視できるか、または相互に補償し合う場合。 したがって、物体の閉じたシステムの場合、これらの物体同士の相互作用のみが重要であり、他の物体との相互作用は重要ではありません。
閉じたシステムに加えられる外力の合力はゼロに等しくなります: 。 この場合、(6) から次が得られます。
しかし、ベクトルの導関数がゼロになる (ベクトルの変化率がゼロになる) 場合、ベクトル自体は時間の経過とともに変化しません。
運動量保存則。 物体の閉じたシステムの運動量は、このシステム内の物体の相互作用に対して時間が経っても一定のままです。
運動量保存則に関する最も単純な問題は、これから示す標準スキームに従って解決されます。
タスク。 質量 g の物体は、滑らかな水平面上を速度 m/s で移動します。 質量 g の物体が m/s の速度でそれに向かって移動します。 完全に非弾性の衝撃が発生します (物体がくっつきます)。 衝突後の物体の速度を求めます。
解決。その状況を図に示します。 7。 最初のボディの進行方向に軸を向けてみましょう。
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表面が滑らかなので摩擦がありません。 表面は水平であり、それに沿って運動が発生するため、重力とサポートの反力は互いに釣り合います。
したがって、これらの物体のシステムに加えられる力のベクトル和はゼロに等しくなります。 これは、物体のシステムが閉じていることを意味します。 したがって、運動量保存則は次のように満たされます。
. ( 7 )
衝撃前のシステムの力積は、物体の力積の合計です。
非弾性衝撃の後、目的の速度で移動する 1 つの質量体が得られます。
運動量保存の法則 (7) から、次のようになります。
ここから、衝撃後に形成される体の速度がわかります。
軸への投影に移りましょう。
条件ごとに次のようになります: m/s、m/s
マイナス記号は、くっついたボディが軸と反対の方向に移動することを示します。 必要な速度: m/s。
運動量投影の保存則
問題では次のような状況がよく発生します。 物体系は閉じていません(系に作用する外力のベクトル和はゼロではありません)が、そのような軸は存在します。 軸上への外力の投影の合計はゼロですいつでも。 この場合、この軸に沿って物体システムは閉じたものとして動作し、システムの運動量の軸への投影が保存されると言えます。
これをもっと厳密に示してみましょう。 等式 (6) を軸に投影してみましょう。
合成外力の投影が消えると、
したがって、射影は定数です。
運動量投影の保存則。 システムに作用する外力の合計の軸への投影がゼロに等しい場合、システムの運動量の投影は時間の経過とともに変化しません。
運動量投影保存則がどのように機能するかを確認するために、特定の問題の例を見てみましょう。
タスク。 滑らかな氷の上にスケート靴を履いて立っているマスボーイが、水平に対して斜めにマスストーンを投げます。 少年が投げた後に転がる速度を求めてください。
解決。その様子を図に模式的に示します。 ８． 少年は堅物として描かれています。
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「少年＋石」系の勢いは保たれていない。 これは、投げる前には存在しなかった、システムの運動量の垂直成分（つまり、ストーンの運動量の垂直成分）が投げ後に現れるという事実からわかります。
したがって、少年と石が形成するシステムは閉じられていません。 なぜ？ 実際のところ、投げている間、外力のベクトルの合計はゼロに等しくないのです。 値は合計より大きく、この超過によりシステムの運動量の垂直成分が現れます。
ただし、外力は垂直方向にのみ作用します（摩擦はありません）。 したがって、力積の水平軸への投影は保存されます。 投げる前は、この予測はゼロでした。 軸を投げる方向に向けると（少年が負の半軸の方向に進むように）、結果が得られます。
