一般化された座標と一般化された力。 一般化座標と一般化力 一般化座標における力の働きはどのようになりますか

分析力学。 接続の分類。 例。 考えられる動き。

繋がり– これはシステムの点の座標と速度の間の関係であり、等式または不等式の形で表されます。

分類:

幾何学的な– システム点の座標のみに制限を課します (速度は含まれません)

キネマティック– 速度が方程式に組み込まれます。 速度を取り除くことができれば、接続は統合されます。

ホロノミック接続– 幾何学的な統合可能な差動接続。

接続は次のように呼ばれます ホールディング(課せられた制限または制限はシステムのどの位置にも残ります) および 抑制されていない、この特性を持たない（彼らが言うように、そのような接続からシステムを「解放」できる）

移転の可能性

あらゆるメンタル

無限小

システムポイントの移動が可能

この瞬間に

システムに課せられた接続。

実際の動き– 力、時間、接続、初期条件によって異なります。

可能な移動は接続のみに依存します。

固定接続の場合、実際の移動も考えられる接続の 1 つです。

理想的な接続。 可能な動きの原理。

理想的可能な変位に対するすべての反応の基本仕事の合計が 0 に等しい接続と呼ばれます。

可能な動きの原理。

理想的な固定接続を備えた機械システムの平衡のためには、あらゆる可能な変位に対するすべての有効な力の基本仕事の合計が 0 に等しいことが必要かつ十分です。この場合、十分であるためには、初速度が等しくなければなりません。ゼロに。 必要なバランス => 十分な => バランス。

一般化された座標。 システムの自由度の数。 一般化された力、それらを計算する方法。 ホロノミック制約を持つシステムの平衡条件。一般化された力で表現されます。

一般化された座標– システムの位置を完全に決定し、システム内の点のすべてのデカルト座標を表現できる独立したパラメーター。

自由度の数は一般化された座標の数によって決まります。

空間内の機械システムの位置を一意に決定する相互に独立したスカラー量の数は、自由度数と呼ばれます。

機械システムの一般化座標は、空間内のシステムの位置を一意に決定する、互いに独立した幾何学的な量です。

Q i = δA j /δq j または δA j = Q i ⋅ δq j 。

一般化された力- これは、システムに適用されるすべての力が適用点の対応する変位に作用するのと同じように、一般化された座標に沿った可能な変位に同じ作用を及ぼす力です。

一般化された力を見つけるには、他の座標を変更せずに、その一般化された座標に沿って可能な変位を与えます。 次に、システムに加えられるすべての力によって行われる仕事を求め、起こり得る変位で割ります。

一般化された力に関する可能な変位の原理。

平衡状態では、可能な変位に関する基本仕事の合計 ( bA=bq j , これらは互いに依存しないため、次のことが真でなければなりません: Q 1 =0; Ｑ２＝０； Q K =0

一般化された力の定義

1 自由度のシステムの場合、一般化された座標に対応する一般化された力 q、次の式で求められる量と呼ばれます。

ここで、D q– 一般化された座標の小さな増分。 – システムの可能な動きに対するシステムの力の基本的な働きの合計。

システムの可能な移動は、特定の瞬間における接続によって許容される無限に近い位置へのシステムの移動として定義されることを思い出してください (詳細については、付録 1 を参照)。

システムのあらゆる変位に対して理想的な結合の反力によって行われる仕事の合計はゼロに等しいことが知られています。 したがって、理想的な接続を持つシステムの場合、式ではシステムのアクティブな力の働きのみを考慮する必要があります。 接続が理想的でない場合、その反力 (摩擦力など) は従来、有効な力と見なされます (図 1.5 の図の説明については、以下を参照)。 これには、アクティブな力の基本仕事とアクティブな力のペアのモーメントの基本仕事が含まれます。 これらの作品を決定するための式を書いてみましょう。 力としましょう( F kx 、F ky 、F kz) ポイントに適用されます に、その半径ベクトルは ( x k 、y k 、z k)、および考えられる変位 – (d Xのk、 d yk、 d zk）。 可能な変位に対する力の基本仕事はスカラー積に等しく、解析形式では次の式に対応します。

d あ( ) = Fから d rからcosへ()、(1.3a)

そして座標形式での式は

d あ( ) = F kx d x k + F ky d y k + F kz d zk。 (1.3b)

瞬間的にいくつかの力が加わった場合 M角座標が j、可能な変位が dj である回転体に適用すると、その瞬間の基本仕事が計算されます。 M可能な変位 dj は次の式で決定されます。

d 午前） = ± M d j。 (1.3v)

ここで、記号 (+) は、次の瞬間に対応します。 Mと可能な動き dj は方向が一致します。 方向が逆の場合は記号 (-) を付けます。

式 (1.3) を使用して一般化された力を決定できるようにするには、一般化された座標 d の小さな増分を通じて物体と点の可能な動きを表現する必要があります。 q、依存関係を使用して (1)…(7) 1.

一般化された力の定義 Q、選択した一般化座標に対応します q、次の順序で行うことをお勧めします。

· システムのすべてのアクティブな力を設計図に描きます。

・一般化座標dに微増分を与える q> 0; 力が適用されるすべての点の対応する可能な変位と、力のペアのモーメントが適用されるすべての物体の可能な角変位を計算図上に示します。

· これらの動きに対するシステムのすべてのアクティブな力の基本的な働きの式を作成し、d から d までの可能な動きを表現します。 q.

· 式 (1.3) を使用して一般化された力を決定します。

例 1.4 (図 1.1 の条件を参照)。

一般化座標に対応する一般化力を定義しましょう s(図1.4)。

アクティブな力がシステムに作用します。 P- 貨物重量; G– ドラムの重量とトルク M.

粗い傾斜面は荷重用です あ不完全な接続。 滑り摩擦力 Ftr、負荷に作用する あこの関係から、次と等しい F tr = f N.

強さを判断するには N移動中の平面上の荷重の常圧では、ダランベールの原理を使用します。つまり、接続のアクティブなアクティブな力と反力に加えて、条件付き慣性力がシステムの各点に適用される場合、結果として生じる一連の力のバランスがとれ、動的方程式に静的平衡方程式の形を与えることができます。 この原理を適用するよく知られた方法に従って、荷重に作用するすべての力を表します。 あ(図 1.5)、-、および 、ここで、 はケーブルの張力です。

米。 1.4 図 1.5

慣性力を追加しましょう。ここで、 は負荷の加速度です。 軸への投影におけるダランベールの原理の方程式 yのように見える N–Pcosある = 0.

ここから N = ピコ秒ａ． 滑り摩擦力は次の式で求められます。 F tr = f P cosａ．

一般化した座標を与えてみましょう s小さな増分 d s> 0. この場合、荷重 (図 1.4) は傾斜面を距離 d まで移動します。 s、ドラムは反時計回りに角度 dj だけ回転します。

(1.3a) や (1.3c) のような式を使用して、基本トルク仕事の和の式を作成しましょう。 M、 強さ Pそして Ftr:

この式の dj を d で表しましょう s： 、 それから

式 (1.3) を使用して一般化された力を定義します。

以前に書いた式を考慮してみましょう。 Ftrそしてついに手に入れます

同じ例で、角度 j を一般化された座標とすると、一般化された力は次のようになります。 Q j式で表される

1.4.2. 一般化されたシステム力の決定
2 つの自由度を持つ

システムに n自由度、その位置が決定されます n一般化された座標。 それぞれのコーディネート qi(私 = 1,2,…,n) その一般化された力に対応します Qi、次の式で決定されます。

上の活動力の初歩的な仕事の合計はどこにありますか 私-d のときのシステムの可能な動き q i > 0、残りの一般化された座標は変更されません。

決定するときは、式 (1.3) に従って一般化力を決定するための指示を考慮する必要があります。

2 つの自由度を持つシステムの一般化された力を次の順序で決定することをお勧めします。

· システムのすべてのアクティブな力を設計図に表示します。

· 最初の一般化力を決定する Q1。 これを行うには、次のときにシステムに最初の可能な動きを与えます。 q1 > 0、およびd q 2 =q1システムのすべての物体と点の可能な動き。 compose - 最初の可能な変位に対するシステムの力の基本仕事の表現。 d を通じて表現される可能な動き q1; 探す Q1式 (1.4) に従って、 私 = 1.

· 2 番目の一般化力を決定する Q2。 これを行うには、次の場合にシステムに 2 番目の可能な動作を与えます。 q2 > 0、およびd q1 = 0; 対応する d を設計図に表示します q2システムのすべての物体と点の可能な動き。 compose - 2 番目に可能な変位を強制するシステムの基本的な仕事の表現。 d を通じて表現される可能な動き q2; 探す Q2式 (1.4) に従って、 私 = 2.

例 1.5 (図 1.2 の条件を参照)

定義しましょう Q1そして Q2、一般化された座標に対応 xDそして xA(図1.6、 あ).

システムには 3 つのアクティブな力が作用しています。 P A = 2P, P B = P D = P.

意味 Q1。 システムに最初の可能な動きを与えてみましょう。 xD> 0、d ×A＝ 0 (図 1.6、 あ）。 同時に負荷も D xD、 ブロック B反時計回りに角度 dj だけ回転します B、シリンダー軸 あ動かないままになります、シリンダー あ軸の周りを回転します あアングルDJで あ時計回りに。 示された動きに対する作業の合計をコンパイルしてみましょう。

定義しましょう

定義しましょう Q2。 次の場合にシステムに 2 番目の可能な動きを与えてみましょう。 ×D = 0、d xA> 0 (図 1.6、 b）。 この場合、円柱の軸は あ垂直に距離 d だけ下に移動します xA、シリンダー あ軸の周りを回転します あ時計回りにDJの角度へ あ、 ブロック Bそして貨物 D動かないままになります。 示された動きに対する作業の合計をコンパイルしてみましょう。

定義しましょう

例 1.6 (図 1.3 の条件を参照)

定義しましょう Q1そして Q2、一般化された座標 j に対応する、 s(図1.7、 あ）。 システムには 4 つの有効な力が作用します: ロッドの重量 P、ボール重量、スプリング弾性力および。

それを考慮に入れてみましょう。 弾性力の係数は式(a)で求められます。

力の作用点に注意してください F2は静止しているため、システムのあらゆる可能な変位に対するこの力の仕事はゼロです。一般化された力の表現では、力は F2入りません。

意味 Q1。 DJ するときにシステムに最初に可能な動きを与えてみましょう > 0、d s = 0 (図 1.7、 あ）。 この場合のロッドは、 AB軸の周りを回転します z角度 dj だけ反時計回り、ボールの動きの可能性 Dそして中心 Eロッドはセグメントに対して垂直に向けられています 広告、バネの長さは変わりません。 それを座標形式にまとめてみましょう [参照]。 式(1.3b)]:

(したがって、最初に考えられる変位に対してこの力によって行われる仕事は 0 であることに注意してください)。

変位 d を表しましょう ×Eそしてd xD DJ経由で。 これを行うには、まず次のように書きます。

そして、式（７）に従って、ａｄｊ． 1 見つけます

見つかった値を に代入すると、次のようになります。

式 (1.4) を使用して、次のことを考慮して次のように決定します。

意味 Q2。 DJ のときにシステムに 2 番目の可能な動きを与えてみましょう = 0、d s> 0 (図 1.7、 b）。 この場合のロッドは、 AB動かないままになり、ボールは Mロッドに沿って距離 d だけ移動します s。 示された動きに対する作業の合計をコンパイルしてみましょう。

定義しましょう

力の値を代入する F1式 (a) から、次のようになります。

1.5. システムの運動エネルギーを表現する
一般化された座標で

システムの運動エネルギーは、その物体と点の運動エネルギーの合計に等しくなります (付録 2)。 手に入れるには T式 (1.2) は、運動学の手法を使用した一般化された速度を通じて、システムのすべての物体と点の速度を表現する必要があります。 この場合、システムは任意の位置にあると見なされ、その一般化された速度はすべて正、つまり一般化された座標の増加に向けられていると見なされます。

例1. 7 (図 1.1 の状態を参照)

距離を一般化座標として取り、システムの運動エネルギーを決定してみましょう (図 1.8)。 さん、

T = T A + T B.

式(2)および(3)によれば、 2: があります。

このデータを代入すると、 Tそれを考慮すると、次のようになります。

例1.8(図 1.2 の状態を参照)

図のシステムの運動エネルギーを求めてみましょう。 1.9、量を一般化された座標として取る xDそして xA,

T = T A + T B + T D.

式(2)、(3)、(4)によれば、 2 書き留めておきます

表現しましょう VA、VD、wBそしてw あを通して ：

wを決めるとき あという点が考慮されます ○(図 1.9) – シリンダの瞬間中心速度 あそして V k = V D(例 2 付録 2 の対応する説明を参照してください)。

得られた結果を代入すると、 Tそしてそれを考慮すると

定義しましょう

例1.9(図 1.3 の状態を参照)

図のシステムの運動エネルギーを求めてみましょう。 1.10、 j および を一般化された座標として取る s,

T = T AB + T D.

式 (1) と (3) によると、 2 私たちは持っています

wを表現しましょう ABそして VDおよび経由:

ボールの転送速度はどこですか D、その係数は次の式で決定されます。

セグメントに対して垂直方向 広告角度jが増加する方向。 – ボールの相対速度。そのモジュールは、座標の増加に向けられた公式によって決定されます。 s。 は垂直であることに注意してください。

これらの結果を代入すると、 Tそしてそれを考慮すると

1.6. 微分方程式の作成
機械システムの動き

必要な方程式を取得するには、一般化座標と一般化力でシステムの運動エネルギーを表す以前に見つかった式をラグランジュ方程式 (1.1) に代入する必要があります。 Q 1 , Q 2 , … , Qn.

偏導関数を求める場合 T一般化された座標と一般化された速度を使用する場合、次の変数を考慮する必要があります。 q 1 、q 2 、…、q n; は互いに独立しているとみなされます。 これは、偏導関数を定義するとき、 Tこれらの変数の 1 つについて、式内の他のすべての変数 T定数として考慮する必要があります。

演算を実行するときは、変数に含まれるすべての変数を時間微分する必要があります。

ラグランジュ方程式は一般化された座標ごとに記述されることを強調します。 qi (私 = 1, 2、…ん）システム。

解析力学では、他の物質体から特定の物体への影響を特徴付けるベクトル量としての力の概念とともに、次の概念が使用されます。 一般化された力。 決定するため 一般化された力システムの点に適用される仮想的な力の仕事を考えてみましょう。

ホロノミック拘束力が課せられた機械システムの場合 hつながりがある s =3n-h自由度 , その後、このシステムの位置が決定されます ( i = s)

一般化座標と (2.11) : (2.13)、(2.14) 仮想変位によると k –点目

(2.13)

(2.14)

(2.14): を仮想力の仕事の公式に代入します。

(2.24) を取得すると、

スカラー量 = (2.26)

呼ばれた 一般化された力、対応する 私番目の一般化された座標。

一般化された力私に対応する-一般化座標は、機械システムに作用する仮想的な力の仕事の表現における、特定の一般化座標の変化の乗数に等しい量です。

バーチャルワークから決定される

¾ 制限に依存しない特定の活動力と

¾ カップリング反応 (カップリングが理想的でない場合、問題を解決するには物理的依存性を追加設定する必要があります) Tからの N j、( T j ¾ これらは、原則として、転がり摩擦に対する摩擦力または抵抗モーメントであり、決定できます)。

一般的に 一般化された力は、一般化された座標、システム点の速度、および時間の関数です。 定義から次のことがわかります 一般化された力¾ は、特定の機械システムに対して選択された一般化座標に依存するスカラー量です。 これは、特定のシステムの位置を決定する一般化された座標のセットが変化すると、 一般化された力。

例2.10。 半径のあるディスクの場合 rそして質量 メートル、傾斜面上を滑らずに転がる (図 2.9) は、一般化された座標として取ることができます。

3/4または q = sディスクの重心の3/4移動、

¾どちらか q= j 3/4 ディスクの回転角度。 転がり抵抗を無視すると、次のようになります。

¾最初のケースでは 一般化された力意思

米。 2.9 Q s = mg sina、a

¾ 2 番目の場合 ¾ Q j = mg r cosa。

一般化された座標は、対応する座標の測定単位も決定します。 一般化された力。式 (2.25) より

(2.27)

したがって、測定単位は 一般化された力仕事の単位を一般化された座標の単位で割ったものに等しい。

一般化された座標として q受け入れる q = s任意の点の ¾ の移動と測定単位 一般化された力 Q s ¾ は次のようになります [ニュートン] ,

もし、として、 q= j ¾ 物体の回転角 (ラジアン単位) が取得され、測定単位が計算されます。 一般化された力 Q j 2 は [ ニュートンメートル].

システムの可能な変位に関して、システムの点に作用する力の基本仕事の合計を書き留めてみましょう。

ホロノミック システムに 自由度、したがって空間内の位置が決まります 一般化された座標
.

(225)を(226)に代入し、インデックスによる合計の順序を変更する そして 、 我々が得る

. (226")

スカラー量はどこにありますか

呼ばれた 一般化座標に関連する一般化力 。 2 つのベクトルのスカラー積のよく知られた式を使用すると、与えられる力は次のように表すこともできます。

– 座標軸上の力の投影。
– 力の適用点の座標。

(226") に従った一般化された力の寸法は、次のように寸法に依存します。 、寸法と一致 :

, (228)

つまり、一般化された力の次元は、力の仕事 (エネルギー) または力のモーメントの次元を、一般化された力が割り当てられる一般化された座標の次元で割ったものに等しくなります。 このことから、一般化された力は力または力のモーメントの次元を持つことができるということになります。

一般化された力の計算

1. 一般化された力は、それを定義する式 (227) を使用して計算できます。

2. 一般化された力は、基本作業 (226") の式における一般化座標の対応する変化の係数として計算できます。

3. (226 "") から得られる一般化力を計算するための最も適切な方法は、1 つの一般化座標のみが変化し、他の座標は変化しないような可能な動きをシステムに与える場合です。 それで、もし
、残り
、(179") からは次のようになります。

.

索引 基本作業の合計が、可能な変位に基づいて計算されることを示します。その間、座標のみが変化します (変化します)。 。 変数座標が 、 それ

. (227")

一般化された力に関する力の系の平衡条件

システムの平衡状態 可能な動きの原理から導き出されます。 これらは、この原則が有効なシステムに適用されます。 ホロノミックな、静止した、理想的な非解放制約を受ける機械システムの平衡のためには、システムのすべての点の速度がゼロに等しい瞬間に、すべての一般化された力がゼロに等しいことが必要かつ十分です。

. (228")

3.6.7. 一般力学方程式

任意の接続を備えたシステムの一般力学方程式 (ダランベール・ラグランジュ原理の結合または 力学の一般方程式):

, (229)

どこ – に加えられる有効な力 -システムの 番目の点。 – 結合の反応強度。
– 点慣性力; – 動きの可能性。

システムの平衡の場合、システムの各点の慣性力がすべてなくなると、可能な変位の原理に変わります。 通常、条件が満たされる理想的な接続を持つシステムに使用されます。

この場合、(229) は次のいずれかの形式を取ります。

,

,

. (230)

したがって、 一般的な力学方程式によれば、理想的な接続を持つシステムの運動のいかなる瞬間においても、システムの点のすべての有効力と慣性力の基本仕事の合計は、システムが許容されるあらゆる可能な運動においてゼロに等しくなります。つながりによって.

一般的な力学方程式には、他の等価な形式を与えることができます。 ベクトルのスカラー積を展開すると、次のように表現できます。

どこ
– 座標 システムの - 番目のポイント。 座標軸上の慣性力の投影とこれらの軸上の加速度の投影は次の関係式で表されると考えると、

,

力学の一般方程式は次の形式で与えられます。

この形式ではこう呼ばれます 解析形式の一般力学方程式.

一般的な力学方程式を使用する場合、考えられる変位に対するシステムの慣性力の基本仕事を計算できる必要があります。 これを行うには、通常の力に対して得られた基本仕事に対応する公式を適用します。 剛体の運動の特定の場合における剛体の慣性力への適用を考えてみましょう。

前進中。 この場合、ボディには 3 つの自由度があり、課された制約により並進運動のみを実行できます。 接続を可能にする体の可能な動きも並進的です。

並進運動中の慣性力は、合力に減少します。
。 物体の可能な並進運動に対する慣性力の初等仕事の合計については、次のようになります。

どこ
– 体のすべての点の並進可能な動きは同じであるため、重心と体の任意の点の可能な動き。加速度も同じです。つまり、
.

剛体が固定軸の周りを回転する場合。 この場合、ボディには 1 つの自由度があります。 固定軸を中心に回転可能
。 結合の重ね合わせによって可能となる動きは、基本的な角度による体の回転でもあります。
固定軸の周りに。

慣性力がある程度まで減少 回転軸上では主ベクトルに縮小されます そして要点
。 慣性力の主ベクトルは固定点に適用され、可能な変位に対するその基本的な仕事はゼロです。 慣性力の主モーメントの場合、非ゼロの基本仕事は回転軸への投影によってのみ実行されます。
。 したがって、考慮中の可能な変位に対する慣性力の仕事の合計は、次のようになります。

,

角度があれば
角加速度の円弧矢印の方向にレポートします。 .

フラットモーションで。 この場合、剛体に課せられた制約により、可能な平面移動のみが許可されます。 一般的なケースでは、重心を選択する極とともに可能な並進運動と、基本角による回転で構成されます。
軸の周りに
、重心を通過し、物体が平面運動を実行できる平行な平面に垂直です。

剛体の平面運動における慣性力は主ベクトルに還元できるため、 そして要点
(質量中心を低減の中心として選択した場合)、平面上の可能な変位の慣性力の基本仕事の合計は、慣性力ベクトルの基本仕事に換算されます。
重心の起こり得る動きと、軸の周りの基本的な回転運動における主慣性モーメントの力の基本的な仕事について
、重心を通過します。 この場合、ゼロ以外の基本仕事は、主慣性モーメントの力を軸に投影することによってのみ実行できます。
、つまり
。 したがって、検討中のケースでは、

回転が基本角度による場合
弧を描く矢印を向けて .

もちろん、この一般化された力を計算するとき、位置エネルギーは一般化された座標の関数として決定される必要があります。

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

ノート。

初め。 一般化反力を計算する場合、理想的な接続は考慮されません。

2番。 一般化された力の次元は、一般化された座標の次元に依存します。 したがって、次元 [ q] – メートル、次に寸法

[Q]= Nm/m = ニュートン、[の場合] q] – ラジアン、[Q] = Nm; もし [ q] = m 2、その後、[Q] = H/m などとなります。

例4.リングは垂直面内で揺れるロッドに沿ってスライドします。 M重さ R(図10)。 ロッドは無重力であると考えます。 一般化された力を定義しましょう。

図10

解決。システムには 2 つの自由度があります。 2 つの一般化された座標を割り当てます sそして 。

座標に対応する一般化された力を求めてみましょう s.この座標に増分を与え、座標は変更しないままにして、唯一のアクティブな力の仕事を計算します。 R、一般化された力を取得します

次に、次のように座標をインクリメントします。 s= 定数 ロッドをある角度で回転させると、力の作用点が R、 指輪 M、 に移動します。 一般化された力は次のようになります。

システムは保守的であるため、位置エネルギーを使用して一般化された力も見つけることができます。 我々が得る そして 。 それははるかに簡単であることがわかります。

ラグランジュの平衡方程式

定義により (7) 一般化された力 , k = 1,2,3,…,s、 どこ s– 自由度の数。

システムが平衡状態にある場合、可能変位の原理に従って (1) 。 接続によって許可される動き、可能な動きは次のとおりです。 したがって、物質系が平衡状態にあるとき、その一般化された力はすべてゼロに等しくなります。

Qk= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

これらの方程式は 一般化座標における平衡方程式または ラグランジュの平衡方程式 , 静的問題を解決するもう 1 つの方法が可能になります。

システムが保守的であれば、 。 これは平衡状態にあることを意味します。 つまり、そのような物質系の平衡位置では、その位置エネルギーは最大または最小のいずれかになります。 関数 П(q) には極値があります。

これは、最も単純な例 (図 11) の分析から明らかです。 所定の位置にあるボールの位置エネルギー M 1 には最小値があり、その位置に M 2 – 最大。 位置的には次のことがわかります M 1 平衡状態は安定します。 妊娠中 M 2 – 不安定。

図11

この位置にある体に低速が与えられるか、小さな距離が変位され、今後これらの偏差が増加しない場合、平衡は安定していると考えられます。

保存系の平衡位置でその位置エネルギーが最小値を持つ場合、この平衡位置は安定であることが証明できます (ラグランジュ-ディリクレの定理)。

1 自由度の保守的なシステムの場合、最小位置エネルギーの条件、したがって平衡位置の安定性は、平衡位置での値である二次導関数によって決まります。

例5。カーネル OA重さ R垂直面内で軸を中心に回転できる について(図12)。 平衡位置の安定性を見つけて研究してみましょう。

図12

解決。ロッドには 1 つの自由度があります。 一般化された座標 - 角度。

より低いゼロ位置を基準とした位置エネルギー P = 博士または

平衡位置では、 。 したがって、角度と (位置に対応する 2 つの平衡位置が存在します) OA 1と OA 2)。 それらの安定性を調べてみましょう。 二次導関数を求めます。 もちろん、、付き。 平衡位置が安定します。 で 、 。 2 番目の平衡位置は不安定です。 結果は明らかです。

一般化された慣性力。

一般化力を計算したのと同じ方法 (8) を使用します。 Qk、アクティブな力、指定された力、一般化された力に対応するものも決定されます S k、システムの点の慣性力に対応します。

それ以来 それ

いくつかの数学的変換。

明らかに、

a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s) なので、次のようになります。

これは、速度の偏導関数が次のことを意味します。

さらに、最後の項 (14) では、微分の順序を変更できます。

(15) と (16) を (14) に代入し、(14) を (13) に代入すると、次のようになります。

最後の合計を 2 で割り、導関数の合計が合計の導関数に等しいことに留意すると、次のようになります。

ここで、 はシステムの運動エネルギー、 は一般化された速度です。

ラグランジュ方程式。

定義により、(7) および (12) 一般化された力

しかし、一般力学方程式 (3) に基づくと、等式の右辺はゼロに等しくなります。 そしてすべてから（ k = 1,2,3,…,s) がゼロとは異なる場合、 。 一般化慣性力 (17) の値を代入すると、次の方程式が得られます。

これらの方程式は 一般化座標における微分運動方程式、第二種ラグランジュ方程式と呼ばれる または単に – ラグランジュ方程式。

これらの方程式の数は、材料システムの自由度の数と同じです。

システムが保守的で、潜在的な場力の影響下で動く場合、一般化された力が のとき、ラグランジュ方程式は次の形式で構成できます。

どこ L = T– P が呼ばれます ラグランジュ関数 (位置エネルギー P は一般化された速度に依存しないと仮定されます)。

多くの場合、物質系の運動を研究すると、一般化された座標が q jは、ラグランジュ関数 (またはラグランジュ関数) に明示的に含まれていません。 TとP）。 このような座標は次のように呼ばれます 周期的な. これらの座標に対応するラグランジュ方程式はより簡単に得られます。

このような方程式の最初の積分はすぐに求めることができます。 これは巡回積分と呼ばれます。

ラグランジュ方程式のさらなる研究と変換は、理論力学の特別セクション「解析力学」の主題となります。

ラグランジュ方程式には、システムの運動を研究する他の方法と比較して多くの利点があります。 主な利点: 方程式を作成する方法はすべての問題で同じであり、問​​題を解く際に理想的な接続の反応は考慮されません。

そしてもう 1 つ、これらの方程式は機械だけでなく、他の物理システム (電気、電磁、光学など) の研究にも使用できます。

例6。指輪の動きの研究を続けましょう Mスイングロッド上で（例 4）。

一般化された座標には – と s が割り当てられます (図 13)。 一般化された力は次のように定義されます。 .

図13

解決。リングの運動エネルギー ここで、 a と .

2 つのラグランジュ方程式を作成します

方程式は次のようになります。

2 つの非線形 2 次微分方程式が得られましたが、その解法には特別な方法が必要です。

例7。ビームの微分運動方程式を作ってみましょう AB、円筒面に沿って滑らずに転がります（図14）。 ビームの長さ AB = 私、 重さ - R.

平衡位置では、ビームは水平であり、重心は とそれはシリンダーの最上部にありました。 ビームには 1 つの自由度があります。 その位置は一般化された座標、つまり角度によって決定されます (図 76)。

図14

解決。システムは保守的です。 したがって、水平位置を基準にして計算された位置エネルギー P=mgh を使用してラグランジュ方程式を作成します。 接触点には、速度の瞬間的な中心があります (角度を伴う円弧の長さに等しい)。

したがって (図 76 を参照)、 と になります。

運動エネルギー (ビームは面平行運動をします)

方程式に必要な導関数を見つけて、

方程式を立ててみましょう

または、最終的には、

セルフテストの質問

拘束された機械システムの可能な動きは何と呼ばれますか?

システムの可能な動きと実際の動きはどのように関係しているのでしょうか?

どのような接続が呼ばれますか: a) 固定。 b) 理想的ですか？

可能な動きの原理を定式化します。 その公式表現を書き留めます。

理想的ではない接続を持つシステムに仮想移動の原理を適用することは可能でしょうか?

機械システムの一般化座標とは何ですか?

機械システムの自由度は何ですか?

システム内の点のデカルト座標が一般化された座標だけでなく時間にも依存するのはどのような場合ですか?

機械システムの可能な動きは何と呼ばれますか?

可能な動きはシステムに作用する力に依存しますか?

機械システムのどのような接続が理想的と呼ばれますか?

摩擦によって形成される結合はなぜ理想的な結合ではないのでしょうか?

可能な動きの原理はどのように定式化されるのでしょうか?

仕事方程式にはどのようなタイプがありますか?

可能性のある変位の原理により、多数の物体で構成される拘束システムに適用される力の平衡条件の導出が簡単になるのはなぜですか?

いくつかの自由度を持つ機械システムに作用する力に対する仕事方程式はどのように構築されるのでしょうか?

単純な機械における駆動力と抵抗力の関係は何ですか?

力学の黄金律はどのように定式化されるのでしょうか?

接続の反応は、可能な動きの原理を使用してどのように決定されるのでしょうか?

どのような接続がホロノミックと呼ばれますか?

機械システムの自由度は何ですか?

システムの一般化された座標は何ですか?

自由でない機械システムには一般化座標がいくつありますか?

車のハンドルの自由度はどれくらいですか?

一般化された力とは何ですか?

システムに適用されるすべての力の基本仕事の合計を一般化された座標で表す式を書き留めます。

一般化された力の次元はどのように決定されるのでしょうか?

保守的なシステムでは一般化された力はどのように計算されますか?

理想的な接続を備えたシステムのダイナミクスの一般方程式を表す式の 1 つを書き留めます。 この方程式の物理的な意味は何でしょうか?

システムに適用されるアクティブな力の一般化された力は何ですか?

一般化慣性力とは何ですか?

一般化された力におけるダランベールの原理を定式化します。

力学の一般方程式とは何ですか?

システムの一般化された座標に対応する一般化された力は何と呼ばれますか?また、その次元はどのようなものですか?

理想的な結合の一般化された反応は何ですか?

一般化された力における力学の一般方程式を導出します。

一般化力における力学の一般方程式から得られる、機械システムにかかる力の平衡条件はどのような形になりますか?

デカルト座標の固定軸への力の投影を通じて一般化された力を表す式は何ですか?

保守勢力の場合と非保守勢力の場合、一般化勢力はどのように決定されるのでしょうか?

どのような接続を幾何学的と呼びますか?

可能な変位の原理をベクトル表現してください。

理想的な静止幾何学的接続を備えた機械システムが平衡するための必要十分条件に名前を付けてください。

平衡状態における保存系の力関数はどのような性質を持っていますか?

第 2 種ラグランジュ微分方程式系を書き留めます。

拘束された機械システムに対して、第 2 種ラグランジュ方程式はいくつ構築できますか?

機械システムのラグランジュ方程式の数は、システムに含まれる物体の数に依存しますか?

システムの運動ポテンシャルとは何ですか?

ラグランジュ関数はどの機械系に存在しますか?

機械システムに属する点の速度ベクトルの関数は何ですか? s自由度？

ある一般化された速度に関するシステム内の点の速度ベクトルの偏導関数は何ですか?

ホロノミックな非定常制約を受けるシステムの運動エネルギーは、どの引数の関数ですか?

第 2 種ラグランジュ方程式はどのような形式になりますか? 各機械システムに対するこれらの方程式の数は何ですか?

システムが保守的な力と非保守的な力によって同時に作用される場合、第 2 種ラグランジュ方程式はどのような形になりますか?

ラグランジュ関数、または運動ポテンシャルとは何ですか?

保守的なシステムの場合、第 2 種ラグランジュ方程式はどのような形式になりますか?

ラグランジュ方程式を構成する際、機械システムの運動エネルギーはどの変数に応じて表現されるべきでしょうか?

弾性力の影響下にある機械システムの位置エネルギーはどのように決定されるのでしょうか?

自主的に解決すべき問題

タスク1。可能な変位の原理を使用して、複合構造の接続の反応を決定します。 構造図を図に示します。 解法に必要なデータを表に示します。 1. 写真では、すべての寸法はメートル単位です。

表1

オプション 1 オプション 2

オプション 3 オプション 4

オプション 5 オプション 6

オプション 7 オプション 8

図16 図17

解決。この問題では、ラグランジュ原理を適用するためのすべての条件が満たされていること (システムが平衡状態にあり、接続が静止し、ホロノミックで、閉じ込められ、理想的である) を検証するのは簡単です。

反応に応じた繋がりから解放されよう バツ A（図17）。 これを行うには、点 A で固定ヒンジをロッド サポートなどに置き換える必要があります。この場合、システムは 1 つの自由度を受け取ります。 すでに述べたように、システムの可能な動きは、システムに課せられた制約によって決まり、加えられる力には依存しません。 したがって、考えられる変位を決定することは運動学的な問題になります。 この例では、フレームは画像の平面内でのみ移動できるため、その可能な動きも平面的です。 平面運動では、体の動きは、瞬間的な速度中心の周りの回転として考えることができます。 瞬間的な速度中心が無限遠にある場合、これは、物体のすべての点の変位が同じである瞬間的な並進運動の場合に対応します。

瞬間的な速度の中心を見つけるには、物体の任意の 2 点の速度の方向を知る必要があります。 したがって、複合構造の可能な変位を決定するには、そのような速度が既知である要素の可能な変位を見つけることから始める必要があります。 この場合、フレームから始める必要があります CDB、その時点から では静止しているため、このフレームの可能な動きは、ヒンジ B を通過する軸の周りの角度による回転です。 ここで、点の可能な動きを知ることができます。 と(システムの両方のフレームに同時に属します) およびポイントの移動の可能性 あ(点 A の可能な動きは、軸に沿った動きです。 バツ)、フレームの瞬間速度中心 C 1 を見つけます。 AES。 したがって、フレームが移動する可能性があります。 AESは、点 C 1 の周りの角度 による回転です。 角と角の間の接続は、点 C の移動によって決定されます (図 17 を参照)。

三角形 EC 1 C と BCD の相似性から、次のことがわかります。

結果として、依存関係が得られます。

可能な動きの原理によると

ここに含まれる可能性のあるジョブを順番に計算してみましょう。

Q=2q – 分散荷重の結果、その適用点は図に示されています。 79; それによって行われる可能性のある仕事は等しいです。