理論を構築する公理的な方法について。 自然数の定義

数学理論を公理的に構築する場合、次のようなことが考えられます。 ルール:

· 理論のいくつかの概念は基本的なものとして選択され、定義なしで受け入れられています。

· 基本概念のリストに含まれていない理論の各概念には定義が与えられます。

· 公理が定式化される - 与えられた理論において証明なしで受け入れられる命題。 それらは基本的な概念の特性を明らかにします。

· 公理のリストに含まれていない理論のすべての命題は証明されなければなりません。 このような命題は定理と呼ばれ、公理や定理に基づいて証明されます。

理論の公理的な構築では、すべてのステートメントは証明を通じて公理から導出されます。

したがって、公理系には特別な要件が適用されます。 要件：

· 一貫性 (公理系は、相互に排他的な 2 つの命題を論理的に演繹することができない場合、一貫性があると呼ばれます)。

· 独立性 (公理系のどの公理も他の公理の結果ではない場合、その公理系は独立していると呼ばれます)。

関係が指定された集合は、その中で与えられた系のすべての公理が満たされる場合、与えられた公理系のモデルと呼ばれます。

一連の自然数に対する公理系を構築する方法は数多くあります。 たとえば、数値の和や順序関係などが基本概念として考えられます。 いずれの場合も、基本概念の特性を説明する公理系を定義する必要があります。

加算演算の基本概念を受け入れて、公理系を与えてみましょう。

空でない集合 N演算が定義されている場合は、それを自然数の集合と呼びましょう (a; b) → a + b、加算と呼ばれ、次のプロパティがあります。

1. 加算は可換です。つまり、 a + b = b + a。

2. 加算は結合的です。つまり、 (a + b) + c = a + (b + c)。

4. どのセットでも あ、セットのサブセットです N、 どこ あ数字などがあり、すべてが はぁ、 は同じ a+b、 どこ bN.

公理 1 ～ 4 は、自然数の算術全体を構築するのに十分です。 しかし、このような構成では、これらの公理に反映されていない有限集合の性質に依存することはもはや不可能になります。

空でない集合上で定義される「...に直接従う」という関係を主な概念として考えます。 N。 このとき、数の自然系列は「すぐ後に続く」という関係が定義された集合 N となり、N のすべての要素を自然数と呼び、以下が成り立ちます。 ペアノの公理:

公理1.

大量にNこのセットのどの要素の直後にも続かない要素があります。 これを統一と呼び、記号 1 で示します。

公理2.

の各要素についてNa の直後に要素 a が 1 つあります。

公理3.

各要素 a についてNa の直後に続く要素は最大 1 つです。

アクソイマ4。

集合の任意の部分集合 MNと一致するN、次のプロパティがある場合: 1) 1 は M に含まれます。 2) a が M に含まれるという事実から、a も M に含まれるということになります。

たくさんの Nさん公理 1 ～ 4 を満たし、「... に直接従う」関係が成立する要素を と呼びます。 自然数の集合 、その要素は 自然数。

セットなら N公理 1 ～ 4 を満たす特定の関係が与えられる特定のセットを選択すると、異なる結果が得られます。 解釈（モデル） 与えられた 公理システム。

ペアノ公理系の標準モデルは、社会の歴史的発展の過程で出現した1、2、3、4、5、...という一連の数字です。

ペアノ公理のモデルは、任意の可算集合にすることができます。

たとえば、I、II、III、III、...

おおおおおおおお…

1 2 3 4、 …

set (oo) が最初の要素であり、後続の各セットは、別の円を追加することによって前のセットから取得される一連のセットを考えてみましょう (図 15)。

それから N記述された形式の集合からなる集合があり、それはペアノ​​公理システムのモデルです。

実際、多くの場合、 N指定されたセットのどの要素にも直後に続かない要素 (oo) があります。つまり、 各セットについて公理 1 が満たされます。 あ考慮中の母集団から得られる単一のセットがあります。 あ円を 1 つ追加することで、つまり 各セットに対して公理 2 が成り立ちます。 あセットを形成するセットは最大 1 つだけです あ円を 1 つ追加することで、つまり 公理 3 が成立する場合。 MNそして多くのことが知られています あに含まれた Mさんつまり、集合内にある円よりも円が 1 つ多い集合は、 あにも含まれています M、 それ M =N、したがって、公理 4 が満たされます。

自然数の定義では、公理を省略することはできません。

図に示されているセットがどれであるかを確認してみましょう。 16 はペアノ公理のモデルです。

解決。図 16 a) は、公理 2 と 3 が満たされるセットを示しています。実際、各要素の直後に一意の要素があり、その後に一意の要素が続きます。 しかし、この集合では、公理 1 は満たされません (集合内に他の要素のすぐ後に続かない要素がないため、公理 4 は意味を持ちません)。 したがって、このセットはペアノ公理のモデルではありません。

図 16 b) は、公理 1、3、および 4 が満たされる集合を示していますが、要素の背後にあります。 あ公理 2 で要求されているように、すぐに 2 つの要素が続きます。公理 2 で必要なように、1 つではありません。したがって、このセットはペアノ公理のモデルではありません。

図では、 16 c) は、公理 1、2、4 が満たされる集合を示していますが、要素は と 2 つの要素の直後にすぐに続きます。 したがって、このセットはペアノ公理のモデルではありません。

図では、 図 16 d) は、公理 2、3 を満たす集合を示しています。数値 5 を初期要素としてとると、この集合は公理 1 と 4 を満たすことになります。つまり、この集合には各要素に対してただちに一意の要素が存在します。それに続くものは 1 つの要素です。 このセットのどの要素にも直後に続かない要素もあります。これは 5 です。 , それらの。 公理 1 が満たされると、公理 4 も満たされます。したがって、この集合はペアノの公理のモデルになります。

ペアノの公理を使用すると、多くのステートメントを証明できます。たとえば、すべての自然数に対して不等式が証明されます。 ××。

証拠。で表しましょう あ自然数の集合 ああ。番号 1 所属 あ、以降のどの数字にも従わないため、 Nこれは、それ自体が続かないことを意味します: 1 1. させて ああ、それから ああ。と表しましょう あを通して b。 公理 3 により、 あb、それらの。 bbそして bA.

演習 3.1.4 で述べたように、整数理論の公理系の与えられた系は独立していません。

定理1.整数の公理理論は一貫しています。

証拠。 自然数の公理理論が無矛盾であるという仮定に基づいて、整数の公理理論の無矛盾性を証明します。 これを行うために、理論のすべての公理が満たされるモデルを構築します。

まずはリングを作りましょう。 セットを検討してください

N´ N = {(a、b)ï a、bÎ N}.

a、b) 自然数。 このようなペアによって、自然数の違いが理解できます。 a-b。 しかし、そのような違いが存在する整数系の存在が証明されるまでは、そのような指定を使用する権利はありません。 同時に、そのような理解により、必要に応じてペアのプロパティを設定する機会が得られます。

私たちは、自然数の異なる差が同じ整数に等しくなる可能性があることを知っています。 そこで、セットで紹介しましょう N´ N等価関係:

(a、b) = (CD) Û a + d = b + c.

この関係が再帰的、対称的、推移的であることは簡単にわかります。 したがって、それは同等の関係であり、平等と呼ばれる権利があります。 集合の因子集合 N´ N Z。 その要素を整数と呼びます。 これらは、ペアのセット上の同値クラスを表します。 ペアを含むクラス
(a、b)、[ で表します a、b].

Z a、b】その違いはどうですか？ a-b

[a、b] + [CD] = [a+c、b+d];

[a、b] × [ CD] = [AC+BD、AD+BC].

厳密に言えば、ここでの演算記号の使用は完全に正しいわけではないことに注意してください。 同じ記号 + は、自然数とペアの加算を示します。 ただし、特定の操作がどのセットで実行されるかは常に明らかであるため、ここではこれらの操作に別個の表記法を導入しません。

これらの操作の定義が正しいこと、つまり結果が要素の選択に依存していないことをチェックする必要があります。 あるそして b、ペアを定義する [ a、b]。 確かに、しましょう

[a、b] = [ある 1 、b 1 ], [SD] = [と 1 、d 1 ].

だということだ a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + と 1. これらの等式を追加すると、次のようになります。

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + と 1Þ[ a + b、c + d] = [ある 1 +と 1 、b 1 + d 1]Þ

Þ [ a、b] + [CD] = [ある 1 、b 1 ] + [c 1 、d 1 ].

乗算の定義の正しさも同様に判定されます。 しかし、ここではまず次のことを確認する必要があります [ a、b] × [ CD] = [ある 1 、b 1 ] × [ CD].

ここで、結果の代数が環、つまり公理 (Z1) – (Z6) であることを確認する必要があります。

たとえば、加算の可換性、つまり公理 (Z2) を確認してみましょう。 我々は持っています

[CD] + [a、b] = = [a+c、b+d] = [a、b] + [CD].

整数の加算の可換性は、既知であると考えられる自然数の加算の可換性から導出されます。

公理 (Z1)、(Z5)、(Z6) も同様にチェックされます。

ゼロの役割はペアによって演じられます。 で表しましょう 0 。 本当に、

[a、b] + 0 = [a、b] + = [α+ 1,b+ 1] = [a、b].

ついに、 -[ a、b] = [b、a]。 本当に、

[a、b] + [b、a] = [a+b、b+a] = = 0 .

次に、拡張公理を確認してみましょう。 リングの要素は自然数のペアのクラスであるため、構築されたリングには自然数自体が存在しないことに留意する必要があります。 したがって、自然数の半環と同型の部分代数を見つける必要があります。 ここでもまたカップルのアイデアが [ a、b】その違いはどうですか？ a-b。 自然数 nたとえば、次のように 2 つの自然値の差として表すことができます。 n = (n+ 1) – 1. したがって、対応関係を確立するという提案が生じます。 f: N ® Z規則に従って

f(n) = [n + 1, 1].

この対応は単射的です:

f(n) = f(メートル) Þ [ n + 1, 1]= [メートル+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (メートル+ 1) Þ n = m.

したがって、以下の間には 1 対 1 対応が成立します。 Nそしていくつかのサブセット Zで表します。 N*。 操作が保存されていることを確認してみましょう。

f(n) + f(メートル) = [n + 1, 1]+ [メートル + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + メートル+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(メートル) = [n+ 1、1]×[ メートル + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

これにより、 N*のフォーム Z加算と乗算の演算に関しては部分代数同型 N

ペアを表すとしましょう [ n+ 1, 1] から N* n、 を通して n a、b] 我々は持っています

[a、b] = [ある + 1, 1] + = [ある + 1, 1] – [b + 1, 1] = ある – b .

これは最終的にカップルの考えを実証します[ a、b］を自然数の差として表します。 同時に、構築されたセットの各要素が Zは 2 つの自然値の差として表されます。 これは最小性の公理を検証するのに役立ちます。

させて M –サブセット Z, 含む N*あらゆる要素と一緒に あそして b彼らの違い a – b。 この場合、それを証明しましょう M =Z。 実際、どの要素も Zは、条件によって以下に属する 2 つの自然数の差として表されます。 Mその違いも含めて。

Z

定理2.整数の公理理論はカテゴリー論的です。

証拠。 この理論のすべての公理が満たされる任意の 2 つのモデルが同型であることを証明しましょう。

しましょう Z 1、+、×、 N 1 ñ と á Z 2、+、×、 N 2 ñ – 私たちの理論の 2 つのモデル。 厳密に言えば、それらの操作は別の記号で示される必要があります。 計算が混乱しないように、この要件から離れていきます。どのような操作について話しているのかは、毎回明確です。 検討中のモデルに属する要素には、対応するインデックス 1 または 2 が与えられます。

最初のモデルから 2 番目のモデルへの同型マッピングを定義します。 なぜなら N 1と N 2 が自然数の半環である場合、最初の半環から 2 番目の半環への同型写像 j が存在します。 マッピングを定義しましょう f: Z 1® Z 2. すべての整数 バツ 1Î Z 1 は 2 つの自然値の差として表されます。
バツ 1 = a 1 –b 1. 我々は信じている

f (バツ 1) = j( ある 1) – j( b 1).

それを証明しましょう f– 同型性。 マッピングが正しく定義されている場合: バツ 1 = で 1 どこで y 1 = c 1 – d 1、それでは

ある 1 –b 1 = c 1 – d 1Þ ある 1 +d 1 = b 1 + c 1×j( ある 1 +d 1) = j( b 1 + c 1)Þ

Þj( ある 1) + j( d 1) = j( b 1) + j( c 1)Þj( ある 1) – j( b 1)= j( c 1) – j( d 1)Þ f(バツ 1) =f (y 1).

したがって、 f – 1対1のマッピング Z 1インチ Z 2. でも誰にとっても バツ 2の Z 2つの自然要素が見つかります ある 2と b 2 そのような バツ 2 = a 2 –b 2. j は同型であるため、これらの要素は逆像を持ちます。 ある 1と b 1. 手段、 バツ 2 = j( ある 1) – j( b 1) =
= f (ある 1 –b 1) からの各要素について Z 2はプロトタイプです。 したがって、対応 f 1対1。 操作が保存されることを確認してみましょう。

もし バツ 1 = a 1 –b 1 , y 1 =c 1 –d 1、それでは

バツ 1 + y 1 = (ある 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(バツ 1 + y 1) = j( ある 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( ある 1)+j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( ある 1) – j( b 1)+j( c 1)– j( d 1) =f(バツ 1) + f(y 1).

同様に、乗算が保存されることが確認されます。 これにより、 fは同型写像であり、定理は証明されています。

演習

1. 自然数系を含む環には整数の環も含まれることを証明します。

2. 恒等性を持つすべての最小順序可換環が整数の環と同型であることを証明します。

3. 約数が 1 でゼロがないすべての順序付けされたリングには、整数のリングと同型の部分リングが 1 つだけ含まれていることを証明します。

4. 実数体上の 2 次行列の環には、整数の環と同型の部分環が無限に多く含まれていることを証明します。

有理数の場

有理数系の定義と構築は、整数系の場合と同じ方法で実行されます。

意味。有理数系は、整数のリングを拡張した最小体です。

この定義に従って、有理数系の次の公理的な構造が得られます。

主な用語:

Q– 有理数のセット;

0、1 – 定数。

+、× – 二項演算 Q;

Z– サブセット Q、整数のセット。

Å、Ä – 二項演算 Z.

公理:

私。 場の公理.

(Q1) ある+ (b+c) = (a+b) + c.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" ある) ある + 0 = ある.

(Q4) (" ある)($(–ある)) ある + (–ある) = 0.

(Q5) ある× ( b× c) = (ある× b) × c.

(問6) ある× b = b× ある.

(Q7) あ× 1 = あ.

(Q8) (" ある¹ 0)($ ある –1) ある × ある –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× c.

II. 拡張公理.

(問10) b Z、Å、Ä、0、1ñ – 自然数の環。

(Q11) Z Í Q.

(Q12) (" a、bÎ Z) a + b = aÅ b.

(Q13) (" a、bÎ Z) ある× b = aÄ b.

Ⅲ． 最小性の公理.

(問14) MÍ Q, ZÍ M, ("a、bÎ M)(b ¹ 0 ® ある× b–1О M)Þ M = Q.

番号 ある× b–1は数値の商と呼ばれます あそして bで示される ある/bまたは 。

定理1.すべての有理数は 2 つの整数の商として表すことができます。

証拠。 させて M– 2 つの整数の商として表すことができる一連の有理数。 もし n- 全部、それでは n = n/1 所属 Mしたがって、 ZÍ M。 もし a、bÎ M、 それ a = k/l、b = m/ん、どこ k、l、m、nÎ Z。 したがって、 ある/b=
= (知っている) / (lm)Î M。 公理によると（Q14） M= Qとなり、定理が証明されました。

定理2.有理数のフィールドは、独特の方法で線形かつ厳密に順序付けることができます。 有理数の分野での順序はアルキメデス的であり、整数の環でも順序が続きます。

証拠。 で表しましょう Q+ 分数として表現できる一連の数値。 kl> 0。この条件が数値を表す分数の種類に依存しないことは簡単にわかります。

それを確認しましょう Q + – フィールドのポジティブな部分 Q。 整数の場合 kl次の 3 つのケースが考えられます。 kl = 0, klÎ N, –kl Î Nの場合、a = の場合、次の 3 つの可能性のうちの 1 つが得られます: a = 0、aО Q+、-aО Q + 。 さらに、 a = 、 b = が属する場合 Q+ 、その後 kl > 0, ん> 0. 次に、 a + b = 、および ( kn+ml)ln = kln 2 + MNL 2 > 0。つまり a + bО Q + 。 abО と同様の方法で検証できます。 Q + 。 したがって、 Q + – フィールドの正の部分 Q.

させて Q++ – この分野のポジティブな部分。 我々は持っています

l =.l 2 О Q ++ .

ここから NÍ Q＋＋。 定理 2.3.4 により、自然数の逆数も以下に属します。 Q＋＋。 それから Q + Í Q＋＋。 定理 2.3.6 により Q + =Q＋＋。 したがって、正の部分によって定義される次数も一致します。 Q+と Q ++ .

なぜなら Z + = NÍ Q+ の場合、順序は次のようになります。 Qで注文を継続します Z.

ここで、a => 0、b => 0 とします。アルキメデスの整数の環の順序なので、正の場合は次のようになります。 知っているそして ミリリットル何か自然なものがある とそのような と× 知っている>ミリリットル。 ここから と a = と> = b. これは、有理数分野の順序がアルキメデスであることを意味します。

演習

1. 有理数の体が密であること、つまりあらゆる有理数の体が密であることを証明します。 ある < b合理性がある rそのような ある < r < b.

2. 方程式が成り立つことを証明してください バツ 2 = 2には解決策がありません Q.

3. 集合であることを証明する Q数えられるほど。

定理3.有理数の公理理論は一貫しています。

証拠。 有理数の公理理論の一貫性は、整数の場合と同じ方法で証明されます。 これを行うには、理論のすべての公理が満たされるモデルが構築されます。

基本としてセットを採用します

Z´ Z* = {(a、b)ï a、bÎ Z, b ¹ 0}.

このセットの要素はペアです ( a、b) 整数。 このようなペアによって、整数の商がわかります。 ある/b。 これに従って、ペアのプロパティを設定します。

セットで紹介しましょう Z´ Z*等価関係:

(a、b) = (CD) Û 広告 = 紀元前.

これは等価関係であり、平等と呼ばれる権利があることに注意します。 集合の因子集合 Z´ Z*この等価関係によれば、次のように表されます。 Q。 その要素を有理数と呼びます。 ペア ( a、b)、[ で表します a、b].

構築済みセットで紹介しましょう Q加算と乗算の演算。 これは要素を理解するのに役立ちます [ a、b』プライベートとして ある/b。 これに従って、定義により次のように仮定します。

[a、b] + [CD] = [広告+BC、BD];

[a、b] × [ CD] = [AC、BD].

これらの操作の定義が正しいこと、つまり結果が要素の選択に依存しないことをチェックします。 あるそして b、ペアを定義する [ a、b]。 これは、定理 3.2.1 の証明と同じ方法で行われます。

ゼロの役割はペアによって演じられます。 で表しましょう 0 。 本当に、

[a、b] + 0 = [a、b] + = [あ× 1+0× b、b× 1] = [a、b].

の反対 [ a、b] はペア –[ a、b] = [–a、b]。 本当に、

[a、b] + [–a、b]= [ab – ab、bb] = = 0 .

単位はペアです = 1 。 ペアに戻す [ a、b] - ペア [ b、a].

次に、拡張公理を確認してみましょう。 通信を確立しましょう
f: Z ® Q規則に従って

f(n) = [n, 1].

これが 1 対 1 対応であることを確認します。 Zそしていくつかのサブセット Qで表します。 Z*。 さらに、演算が保存されていることを確認します。これは、以下の同型性が確立されていることを意味します。 Zそしてリングの下で Z* V Q。 これは、拡張公理が検証されたことを意味します。

ペアを表すとしましょう [ n、1]から Z*、自然数に対応 n、 を通して n 。 次に、任意のペアについて [ a、b] 我々は持っています

[a、b] = [ああ、 1] × = [ ああ、 1] / [b、 1] = ある /b .

これはペアという考えを正当化します [ a、b] を整数の商として計算します。 同時に、構築されたセットの各要素が Qは 2 つの整数の商として表されます。 これは最小性の公理を検証するのに役立ちます。 検証は定理 3.2.1 と同様に行われます。

したがって、構築されたシステムに対して、 Q整数理論のすべての公理が満たされています。つまり、この理論のモデルが構築されました。 定理は証明されました。

定理4.有理数の公理理論はカテゴリー論的です。

この証明は、定理 3.2.2 の証明と同様です。

定理5.アルキメデスの順序体は、有理数体の拡張です。

証明は演習です。

定理6.させて F– アルキメデス順序体、 ある > b、どこ a、bÎ F。 有理数 Î があります Fそのような ある > > b.

証拠。 させて ある > b³ 0.それでは a-b> 0、および ( a-b) –1 > 0。自然な Tそのような メートル×1 > ( a-b) –1 、どこから メートル –1 < a-b £ あ。 さらに、自然な kそのような k× メートル–13 ある。 させて kは、この不等式が成り立つ最小の数です。 なぜなら k> 1 の場合、次のように入れます。 k = n + 1, n Î N。 その中で
(n+1)× メートル–13 ある, n× メートル –1 < ある。 もし n× メートル–1ポンド b、 それ ある = b + (a-b) > b+m–13 n× メートル –1 + メートル –1 =
= (n+1)× メートル-1 。 矛盾。 手段、 ある >n× メートル –1 > b.

演習

4. 整数の環を含む体には有理数の体も含まれることを証明してください。

5. すべての最小順序体が有理数体と同型であることを証明します。

実数

学校の数学コースでは、測定を実行する必要性に基づいて、実数が建設的な方法で定義されました。 この定義は厳密ではなかったので、研究者を行き詰まりに導くことがよくありました。 たとえば、実数の連続性の問題、つまり、この集合に空隙は存在するかどうかという問題です。 したがって、数学的研究を行う際には、少なくとも実践と一致する直観的な仮定 (公理) の枠組み内で、研究対象の概念を厳密に定義する必要があります。

定義: 要素のセット x、y、z、…、複数の要素で構成され、セットと呼ばれる Rこれらのオブジェクトに対して次の演算と関係が確立されている場合、実数になります。

I 公理群– 加算演算の公理。

大量に R加算演算が導入されました。つまり、要素の任意のペアに対して あるそして b 額そして指定された ある + b
私 1. ある+b=b+ある, a、b R .

私 2. ある+(b+c)=(a+b)+c,ある, b, c R .

I 3. という要素があります。 ゼロ 0 で示されます。 ある R 条件が満たされている ある+0=ある.

私 4. どの要素に対しても ある R という要素があります 反対そして - で示されます ある、そのために ある+(-ある)=0。 要素 ある+(-b), ある, b R 、と呼ばれる 違い要素 あるそして bそして指定されている ある - b.

II – 公理のグループ - 乗算演算の公理。 大量に R操作が入力されました 乗算つまり、要素の任意のペアに対して あるそして b単一の要素が定義されており、それらと呼ばれます 仕事そして指定された ab、次の条件が満たされるようにします。
Ⅱ 1. 腹筋=ば、あ, b R .

Ⅱ 2 ある(紀元前)=(腹筋)c, ある, b, c R .

Ⅱ３． という要素があります ユニット 1 で示されます。 ある R 条件が満たされている ある 1=ある.

Ⅱ４． 誰にも ある 0 それと呼ばれる要素があります 逆行するまたは 1/ で表されます。 ある、そのために ある=1。 要素 ある , b 0、呼び出されました プライベート部門から あるの上 bそして指定されている ある:bまたは、または ある/b.

Ⅱ５． 加算演算と乗算演算の関係: 任意の場合 ある, b, c R 条件は満たされています（ ac + b)c=ac+bc。

グループ I および II の公理を満たすオブジェクトの集合は、数値フィールドまたは単にフィールドと呼ばれます。 そして、対応する公理を体の公理と呼びます。

III – 公理の 3 番目のグループ – 順序の公理。要素の場合 R順序関係が定義されています。 それは以下の通りである。 任意の 2 つの異なる要素について あるそして b 2 つの関係のうちの 1 つが成立します: ある b(「」と読みます) あるそれ以下か等しい b"）、 または ある b(「」と読みます) あるそれ以上か同等 b")。次の条件が満たされると想定されます。

Ⅲ １． ある あるそれぞれに ａ．から ある b、bすべき a=b。

Ⅲ２． 推移性。 もし ある bそして b c、 それ ある c.

Ⅲ ３． もし ある b、任意の要素に対して c発生する ある+c b+c.

Ⅲ４． もし ある 0、b 0, それ 腹筋 0 .

グループ IV の公理は 1 つの公理、つまり連続性の公理で構成されます。空でないセットの場合 バツそして Yから R要素の各ペアに対して バツ バツそして y Y不平等が成立する バツ < y、要素があります ある R、条件を満たす

バツ < ある < y, バツ バツ, y Y(図2)。 リストされたプロパティは、他のすべてのプロパティがこれらのプロパティに従うという意味で、実数のセットを完全に定義します。 この定義は、実数のセットをその要素の特定の性質に至るまで一意に定義します。 ゼロのみからなるセットは明らかにすべての公理を満たすため、セットには複数の要素が含まれるという注意が必要です。 以下では、集合の要素を R 番号と呼びます。

ここで、自然数、有理数、無理数というよく知られた概念を定義してみましょう。 数字 1、2 1+1、3 2+1、... と呼ばれます。 自然数、それらの集合は次のように表されます。 N 。 自然数の集合の定義から、それは次のような特有の性質を持つことがわかります。 もし

1) あ N ,

3) 各要素 x に対して A 包含 x+ 1 あ, それからA=N .

実際、条件 2) によれば、 1 になります。 あしたがって、特性 3) および 2 により、 あ、同じプロパティに従って、3 が得られます。 あ。 任意の自然数なので n 1 に同じ 1 を連続して加算することで 1 から得られます。 n あ、つまり N あ、条件 1 によって包含されるため、 あ N 、 それ あ=N .

証明の原理は自然数のこの性質に基づいています 数学的帰納法による。 ステートメントが多数ある場合、それぞれに自然数 (その番号) が割り当てられます。 n=1, 2, ... そして、次のことが証明された場合:

1) ステートメント番号 1 は真です。

2) 任意の数値を含むステートメントの有効性から n N ステートメントの有効性を数値で追跡します n+1;

そうすれば、すべてのステートメントの正当性がそれによって証明されます。 任意の数値を含む任意のステートメント n N .

数字の0、 + 1, + 2、...と呼ばれます 整数、それらの集合は次のように表されます Z .

フォームの番号 月/日、 どこ メートルそして n全体、そして n 0、と呼ばれます 有理数。 すべての有理数の集合は次のように表されます。 Q .

有理数ではない実数をこう呼ぶ 不合理な、それらの集合は次のように表されます 私 .

おそらく有理数は集合のすべての要素を使い果たすのではないかという疑問が生じます。 Ｒ？この質問に対する答えは、連続性の公理によって得られます。 実際、この公理は有理数には当てはまりません。 たとえば、次の 2 つのセットについて考えてみましょう。

あらゆる要素と不等式についてそれを確認するのは簡単です。 しかし 合理的なこれら 2 つのセットを区切る番号はありません。 実際、この数字は しかあり得ませんが、これは合理的ではありません。 この事実は、集合の中に無理数が存在することを示しています。 R.

数値の四則演算に加え、べき乗や根の抽出などの演算を行うことができます。 任意の番号に対して ある R そして自然な n程度 あ、ん製品として定義されます n因数が等しい ある:

A優先 ある 0 1, ある>0, ある-n1/ あるん、 ある 0, n- 自然数。

例。ベルヌーイの不等式: ( 1+x)n> 1+nx帰納法で証明します。

させて ある>0, n- 自然数。 番号 b呼ばれた ルートnの中から 6 番目の学位 ある、 もし b n =a。 この場合は と書かれています。 あらゆる程度の正の根の存在と独自性 n任意の正の数からの値は、以下のセクション 7.3 で証明されます。
ルートでも、 ある 0 には 2 つの意味があります。 b = , k N 、 それから -b= 。 確かに、から b 2k = あるそれに続きます

(-b)2k = ((-b) 2 )k = (b2)k = b 2k

負でない値はその値と呼ばれます 算術値.
もし r = p/q、 どこ pそして q全体、 q 0、つまり rが有理数である場合、 ある > 0

したがって、学位は、 あーる任意の有理数に対して定義される r。 その定義から、あらゆる合理的なものに対して、 r平等がある

a -r = 1/あーる.

程度 ×（番号 バツ呼ばれた 指数) 任意の実数の場合 バツ有理指数による次数の連続伝播を使用して取得されます (詳細については、セクション 8.2 を参照)。 任意の番号に対して ある R 負でない数

それは呼ばれています 絶対値または モジュール。 数値の絶対値の場合、次の不等式が有効です。

|ある + b| < |ある| + |b|,
||ある - b|| < |ある - b|, ある, b R

それらは実数の性質 I ～ IV を使用して証明されます。

数学的解析の構築における連続性の公理の役割

連続性の公理の重要性は、それなしでは数学的分析の厳密な構築が不可能であるほどです。 [ ソースが指定されていない 1351 日] 説明のために、いくつかの基本的な分析ステートメントを示します。その証明は実数の連続性に基づいています。

· (ワイエルシュトラスの定理)。すべての有界単調増加シーケンスは収束します

· (ボルツァーノ・コーシーの定理)。セグメント上で連続し、その端で異なる符号の値を取る関数は、セグメントの内部のある点で消滅します。

· (定義の「自然な」領域全体にわたるべき乗関数、指数関数、対数関数、およびすべての三角関数の存在)。たとえば、すべての人と全体にとって 、つまり方程式の解が存在することが証明されています。 これにより、すべての有理数の式の値を決定できます。

最後に、やはり数直線の連続性のおかげで、任意の式の値を決定することができます。 同様に、連続性の性質を使用して、任意の に対して数値の存在が証明されます。

歴史の長い期間、数学者は、幾何学的な正当化に言及する「微妙な場所」で、分析から定理を証明してきましたが、多くの場合、それは明白であるため完全にスキップしていました。 継続性という非常に重要な概念が明確な定義なしに使用されました。 19 世紀の最後の 3 分の 1 になって初めて、ドイツの数学者カール ヴァイエルシュトラスが解析を算術化し、無限小数としての実数に関する最初の厳密な理論を構築しました。 彼は言語における極限の古典的な定義を提案し、それまで「自明」と考えられていた多くの命題を証明し、それによって数学的解析の基礎の構築を完成させました。

その後、実数を決定するための他のアプローチが提案されました。 公理的アプローチでは、実数の連続性が別の公理として明示的に強調されます。 実数理論への構成的なアプローチでは、たとえば、デデキントセクションを使用して実数を構成する場合、(何らかの形で) 連続性の特性が定理として証明されます。

連続性の性質の他の定式化と同等の文[編集 | ウィキテキストを編集]

実数の連続性の性質を表すいくつかの異なるステートメントがあります。 これらの原理はそれぞれ、連続性の公理として実数の理論を構築するための基礎として使用でき、他のすべての原理もそこから導き出すことができます。 この問題については、次のセクションで詳しく説明します。

デデキントによる継続性[編集 | ウィキテキストを編集]

主な記事：有理数分野におけるカット理論

デデキントは、著書「連続性と無理数」の中で実数の連続性の問題を考察しています。 その中で、彼は有理数を直線上の点と比較します。 知られているように、直線上でセグメントの開始点と測定単位を選択すると、有理数と直線上の点との間に対応関係を確立することができます。 後者を使用すると、有理数ごとに対応する線分を作成し、正または負の数に応じて右または左にずらすことで、その数に対応する点を取得できます。 したがって、各有理数に対して、直線上の点は 1 つだけ対応します。

直線上には、どの有理数にも対応しない点が無数に存在することがわかります。 例えば、単位線分上に作られた正方形の対角線の長さをプロットした点。 したがって、有理数の領域にはそれがありません。 完全、 または 連続、これは直線に固有のものです。

この連続性が何から構成されているかを知るために、デデキントは次のような発言をしています。 直線上に特定の点がある場合、その直線上のすべての点は、左側に位置する点と右側に位置する点の 2 つのクラスに分類されます。 ポイント自体は下位クラスまたは上位クラスに任意に割り当てることができます。 デデキントは、連続性の本質を逆の原理に見ています。

幾何学的には、この原理は明白に思えますが、それを証明することはできません。 デデキントは、本質的には、この原理は、直接的なものに帰せられる特性（我々が連続性と呼ぶ）の本質を表現する公準であることを強調している。

デデキントの意味での数直線の連続性の本質をよりよく理解するには、実数の集合の任意のセクション、つまりすべての実数を 2 つの空でないクラスに分割して、すべての数が1 つのクラスの数は、2 番目のクラスのすべての数の左側の数直線上にあります。 これらのクラスはそれに応じて名前が付けられます より低いそして 上流階級セクション。 理論的には 4 つの可能性があります。

1. 下位クラスには最大要素があり、上位クラスには最小要素がありません。

2. 下位クラスには最大要素はありませんが、上位クラスには最小要素があります

3. 下位クラスには最大要素があり、上位クラスには最小要素があります

4. 下位クラスには最大要素はなく、上位クラスには最小要素はありません

1 番目と 2 番目のケースでは、それぞれ下部の最大要素または上部の最小要素がこのセクションを生成します。 3 番目のケースでは、 飛躍するそして4番目では - 空間。 したがって、数直線の連続性は、実数の集合にジャンプやギャップがないこと、つまり、比喩的に言えば、空白がないことを意味します。

実数の集合のセクションの概念を導入すると、デデキントの連続原理は次のように定式化できます。

デデキントの連続性（完全性）の原理。 実数のセットのセクションごとに、このセクションを生成する数値があります。

コメント。 2 つのセットを分離する点の存在に関する連続性の公理の定式化は、デデキントの連続性の原理の定式化を非常に思い出させます。 実際には、これらのステートメントは同等であり、本質的に同じことを異なる形式で表したものです。 したがって、これらのステートメントはどちらも次のように呼ばれます。 デデキントの実数の連続原理.

入れ子になったセグメントの補題 (コーシー・カントールの原理)[編集 | ウィキテキストを編集]

主な記事：ネストされたセグメントの補題

ネストされたセグメントの補題 （コーシー - カントール）。 ネストされたセグメントの任意のシステム

には空ではない交差があります。つまり、指定されたシステムのすべてのセグメントに属する数値が少なくとも 1 つあります。

さらに、特定のシステムのセグメントの長さがゼロになる傾向がある場合、つまり、

この場合、このシステムのセグメントの交点は 1 つの点で構成されます。

このプロパティは次のように呼ばれます カントールの意味における実数の集合の連続性。 以下では、アルキメデス順序体の場合、カントール連続性がデデキント連続性と同等であることを示します。

至上主義[編集 | ウィキテキストを編集]

至上主義。 上に境界のある空でない実数の集合にはそれぞれ上限があります。

微積分のコースでは、この命題は通常定理であり、その証明は本質的に何らかの形で実数のセットの連続性を利用します。 同時に、逆に、上に有界された空でない集合に対して至高値の存在を仮定し、これに依存して、たとえばデデキントによる連続性の原理を証明することもできます。 したがって、最高定理は、実数の連続性の等価な定式化の 1 つです。

コメント。 最高値の代わりに、下限値という二重概念を使用できます。

無限大の原理。 下から有界された空でない実数のセットにはすべて下限値があります。

この提案はデデキントの連続性原理にも相当します。 さらに、最高定理のステートメントは下限定理のステートメントから直接帰結し、またその逆も同様であることを示すことができます (以下を参照)。

有限被覆補題 (ハイネ・ボレル原理)[編集 | ウィキテキストを編集]

主な記事：ハイネ・ボレルの補題

有限カバー補題 (ハイネ - ボレル)。 セグメントをカバーする任意の区間系には、このセグメントをカバーする有限サブシステムが存在します。

極限点補題 (ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの原理)[編集 | ウィキテキストを編集]

主な記事：ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理

極限点補題 (ボルツァーノ - ヴァイエルシュトラス)。 すべての無限の制限された数のセットには、少なくとも 1 つの制限点があります。

実数の集合の連続性を表現する文の等価性[編集 | ウィキテキストを編集]

予備的な注意事項をいくつか述べておきます。 実数の公理的定義によれば、実数のセットは 3 つのグループの公理を満たします。 最初のグループは体の公理です。 2 番目のグループは、実数の集合が線形に順序付けされた集合であり、順序関係が体の基本演算と一致しているという事実を表します。 したがって、公理の第 1 グループと第 2 グループは、実数のセットが順序付けされたフィールドを表すことを意味します。 公理の 3 番目のグループは、1 つの公理、つまり連続性 (または完全性) の公理で構成されます。

実数の連続性のさまざまな定式化の等価性を示すには、これらのステートメントの 1 つが順序付けされたフィールドに当てはまる場合、他のすべてのステートメントの妥当性がこれから得られることを証明する必要があります。

定理。 を任意の線形順序集合とする。 次のステートメントは同等です。

1. 空でない集合など、任意の 2 つの要素に対して不等式が成り立つものは何でも、すべてに対してその関係が成り立つような要素が存在します。

2. セクションごとに、このセクションを生成する要素があります

3. 上に境界のある空でないすべての集合には上限があります。

4. 下から境界のある空でないすべてのセットには下限値があります。

この定理からわかるように、これら 4 つの文は線形順序関係が導入されていることを利用しているだけで、体の構造は利用していません。 したがって、それらのそれぞれは、線形に順序付けられたセットであるという特性を表します。 このプロパティ (必ずしも実数のセットである必要はない、線形に順序付けされた任意のセットの) と呼ばれます。 デデキントによれば、連続性、または完全性.

他の文の等価性を証明するには、フィールド構造の存在がすでに必要です。

定理。 を任意の順序付けフィールドとしましょう。 次の文は同等です。

1. (線形順序集合として) デデキントは完全です

2. アルキメデスの原理を実現するにはそして ネストされたセグメントの原則

3. ハイネ・ボレルの法則が満たされるため

4. ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの原則が満たされる

コメント。 定理からわかるように、ネストされたセグメントの原理自体は 等価ではないデデキントの継続原理。 デデキントの連続性の原理から、ネストされたセグメントの原理が続きますが、その逆の場合は、順序付けされたフィールドがアルキメデスの公理を満たすことをさらに要求する必要があります。

上記の定理の証明は、以下の参考文献リストの書籍で見つけることができます。

· クドリャフツェフ、L.D.数学的解析のコース。 - 第5版 - M.: 「ドロファ」、2003。 - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1。

· フィクテンゴルツ、G.M.数学的解析の基礎。 - 第 7 版 - M.: 「FIZMATLIT」、2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X。

· デデキント、R.連続性と無理数 = Stetigkeit und irrationale Zahlen。 - 改訂第 4 版。 - オデッサ: 数学、1923 年。 - 44 p。

· バージニア州ゾーリッヒ数学的分析。 パート I. - 編 4 番目、修正 - M.: 「MCNMO」、2002 - 657 ページ。 - ISBN 5-94057-056-9。

· 関数と数値領域の連続性: B. Bolzano、L. O. Cauchy、R. Dedekind、G. Cantor。 - 第 3 版 - ノボシビルスク: ANT、2005。 - 64 p。

4.5. 連続性の公理

2 つの空でない実数セット A と

B 、任意の要素 a ∈ A および b ∈ B に対して不等式

a ≤ b の場合、すべての a ∈ A、b ∈ B に対して次が成り立つような数 λ があります。

等価 a ≤ λ ≤ b。

実数の連続性という性質は、実数上で次のことを意味します。

静脈のラインには「空隙」がありません。つまり、数字を表す点が埋められています。

実軸全体。

連続性の公理を別の定式化してみましょう。 これを行うために、私たちは以下を導入します

定義1.4.5。 2 つのセット A と B をセクションと呼びます

実数のセット (場合)

1) セット A と B は空ではありません。

2) 集合 A と B の和集合は、すべての実数の集合を構成します。

数字。

3) セット A のすべての数値がセット B の数値より小さい。

つまり、セクションを形成するすべてのセットには少なくとも 1 つが含まれます。

要素の場合、これらのセットには共通の要素が含まれておらず、a ∈ A および b ∈ B の場合、

セット A を下位クラス、セット B を上位クラスと呼びます。

セクションクラス。 このセクションを A B と表記します。

セクションの最も単純な例は、次のように取得されるセクションです。

吹き方。 いくつかの数値 α をとって次のようにしましょう

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

がカットされ、a ∈ A かつ b ∈ B の場合、a< b , поэтому множества A и B образуют

セクション。 同様に、セットごとにセクションを形成できます

A =(x x ≤ α ) 、B =(x x > α ) 。

このようなセクションを、数値 α によって生成されるセクションと呼びます。

数値 α がこのセクションを生成するとします。 これは次のように書くことができます

任意の番号で生成されたセクションには、興味深い 2 つのセクションがあります。

プロパティ：

プロパティ 1. 上位クラスには最小の数値が含まれ、下位クラスには最小の数値が含まれます。

クラスに最大の数値がないか、下位のクラスに最大の数値が含まれています

ああ、上流階級にはこれ以上のものはない。

特性 2. 特定のセクションを生成する番号は一意です。

上記で定式化された連続性の公理は次と同等であることがわかります。

これは、デデキントの原理と呼ばれる次のステートメントと一致しています。

デデキントの原理。 各セクションには、生成される番号があります。

これはセクションです。

これらのステートメントが同等であることを証明しましょう。

連続性の公理が真であるとします。

A B と読みます。 すると、クラス A とクラス B が条件を満たすため、式は次のようになります。

公理で述べられているように、任意の数に対して a ≤ λ ≤ b となるような数 λ が存在します。

a ∈ A および b ∈ B。 ただし、数値 λ は次のうちの 1 つにのみ属している必要があります。

クラス A または B、したがって、不等式 a ≤ λ のいずれかが満たされます。< b или

ある< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

または上位クラスの最小のものを選択し、指定されたセクションを生成します。

逆に、デデキントの原理が満たされ、2 つの非空であるとします。

すべての a ∈ A と b ∈ B に対して不等式が成り立つように A と B を設定します。

a ≤ b。 任意の場合に a ≤ b となるような数値 b の集合を B で表すことにします。

b ∈ B およびすべての a ∈ A。 すると B ⊂ B となります。 セット A については、すべての数値のセットを取得します。

Bに含まれない村。

集合 A と B がセクションを形成していることを証明しましょう。

実際、集合 B が空ではないことは明らかです。

空ではないセット B。 数値 a ∈ A の場合、集合 A も空ではありません。

次に、数値 a − 1∉ B です。B に含まれる数値は少なくとも次の値でなければなりません。

数値 a なので、a − 1∈ A となります。

集合の選択により、すべての実数の集合。

そして最後に、a ∈ A かつ b ∈ B の場合、a ≤ b です。 確かに、もしあれば

数値 c は不等式 c > b (b ∈ B) を満たすため、正しくありません。

c > a (a は集合 A の任意の要素) および c ∈ B が等価です。

したがって、A と B はセクションを形成し、デデキントの原理により、次の数が得られます。

lo λ はこのセクションを生成します。つまり、クラス内で最大のセクションになります。

この数値がクラス A に属することができないことを証明しましょう。 有効

しかし、λ ∈ A の場合、次のような数 a* ∈ A が存在します。< a* . Тогда существует

数値 λ と数値 a* の間にある数値 a'。 不等式 a' より< a* следует, что

a′ ∈ A 、そして不等式 λ から< a′ следует, что λ не является наибольшим в

クラス A であり、デデキントの原理に矛盾します。 したがって、数値 λ は次のようになります。

はクラス B で最小であり、すべての a ∈ A で不等式が成り立ちます。

a ≤ λ ≤ b 、これは証明する必要があるものです。◄

したがって、公理で定式化された性質と性質

デデキントの原理で定式化されたものは等価です。 将来的にはこれら

一連の実数の性質を連続性と呼びます

デデキントによれば。

デデキントによれば、実数の集合の連続性から次のことがわかります。

2 つの重要な定理。

定理1.4.3。 (アルキメデスの原理) 実数が何であっても

a、次のような自然数 n があります。< n .

定理の記述が偽である、つまり次のようなものが存在すると仮定しましょう。

すべての自然数に対して不等式 n ≤ b0 が成り立つような数値 b0

n. 実数のセットを 2 つのクラスに分割しましょう。クラス B には次のクラスを含めます。

任意の自然数 n に対して不等式 n ≤ b を満たすすべての数値 b。

このクラスには数値 b0 が含まれているため、空ではありません。 すべてをクラスAに入れます

残りの数字。 任意の自然数なので、このクラスも空ではありません。

Aに含まれます。 クラス A と B は交差せず、それらの和集合は次のようになります。

すべての実数の集合。

任意の数 a ∈ A と b ∈ B を取ると、自然数が存在します。

次のような数値 n0< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A と B はデデキントの原理を満たし、次の数 α があります。

セクション A B を生成します。つまり、α はクラス A 内で最大であるか、

またはクラスBの最小のもの。 α がクラス A にあると仮定すると、

不等式 α が成り立つ自然数 n1 を見つけることができます。< n1 .

n1 も A に含まれるため、数値 α はこのクラスで最大にはなりません。

したがって、私たちの仮定は間違っており、α は次の中で最小になります。

クラスB。

一方、クラス A に含まれる数 α − 1 を考えます。 スレドバ-

したがって、α − 1 となるような自然数 n2 が存在します。< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

したがって、α ∈ A となります。 結果として生じる矛盾は定理を証明します。◄

結果。 a と b が 0 となるような数値は何でも< a < b , существует

na > b という不等式が成り立つ自然数 n。

それを証明するには、アルキメデスの原理を数に適用するだけで十分です。

そして不等式の性質を利用します。◄

この結果は単純な幾何学的な意味を持ちます。

セグメントが大きい場合は、端の 1 つから連続してセグメント化します。

小さい方を入力すると、有限のステップ数でそれを超えることができます

より大きなセグメント。

例 1. すべての非負の数に対して a が存在することを証明する

次のような唯一の非負の実数 t

t n = a、n ∈、n ≥ 2。

n 次の算術根の存在に関するこの定理

学校の代数学コースでの非負の数からの計算は証明なしで受け入れられます

行為。

☺ a = 0 の場合、x = 0、つまり算術の存在の証明

a の実根は、a > 0 の場合にのみ必要です。

a > 0 と仮定して、すべての実数の集合を除算してみましょう

2クラス分。 クラス B には、次を満たすすべての正の数 x が含まれます。

クラス A と他の全員で、不等式 x n > a を作成します。

アルキメデスの公理によれば、次のような自然数 k と m があります。

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a および 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A には正の数が含まれます。

明らかに、A ∪ B = そして、x1 ∈ A および x2 ∈ B の場合、x1< x2 .

したがって、クラス A とクラス B は断面を形成します。 これを構成する数字は

t で示されるセクション。 この場合、 t はクラス内の最大の数のいずれかです

ce A、またはクラス B の最小のもの。

t ∈ A および t n と仮定します。< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

主権 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

次に、(t + h) を取得します。< a . Это означает,

したがって、h を取ると、<

t + h ∈ A ですが、これは t がクラス A の最大の要素であるという事実と矛盾します。

同様に、 t がクラス B の最小要素であると仮定すると、

次に、不等式 0 を満たす数値 h をとります。< h < 1 и h < ,

(t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cnt t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a 。

これは、 t − h ∈ B であり、 t が最小要素になることはできないことを意味します

クラスB。 したがって、t n = aです。

一意性は、t1 の場合、< t2 , то t1n < t2 .☻ n

例 2.< b , то всегда найдется рациональное число r

そのような< r < b .

☺数 a と b が有理数であれば、その数は有理数であり、満足のいく数です。

必要な条件を満たしています。 数字 a または b の少なくとも 1 つが存在すると仮定します。

無理数 たとえば、数 b が無理数であるとします。 おそらく

また、a ≥ 0、b > 0 であると仮定します。 数値 a と b の表現を次の形式で書きましょう。

小数分数: a = α 0,α1α 2α 3.... および b = β 0, β1β 2 β3...、ここで 2 番目の分数は無限大です

断続的かつ非周期的。 数 a の表現については、次のように考えます。

数値 a が有理数である場合、その表記法は有限であるか、そうでないかのいずれかであることに注意してください。

周期が 9 に等しくない周期分数。

b > a であるため、β 0 ≥ α 0 です。 β 0 = α 0 の場合、β1 ≥ α1。 β1 = α1 の場合、β 2 ≧ α 2

など、そして初めて次の値が得られる i があります。

厳密な不等式 βi > α i が満たされます。 この場合、数値 β 0、β1β 2 ...βi は有理数になります。

nal と will は数字 a と b の間にあります。

もし< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n。n は n ≥ a の自然数です。 このような数字の存在

アルキメデスの公理から導かれます。 ☻

定義1.4.6。 数直線のセグメントのシーケンスが与えられるとします。

([ an ; bn ])、< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

任意の n について不等式 an ≤ an+1 および

このようなシステムでは、インクルージョンが作成されます。

[a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2 ] ⊃ [ a3 ; b3 ] ⊃ ... ⊃ [ ; bn ] ⊃ ... 、

つまり、後続の各セグメントは前のセグメントに含まれます。

定理1.4.4。 ネストされたセグメントのシステムには次のものがあります。

これらのセグメントのそれぞれに含まれる少なくとも 1 つの点。

2 つのセット A = (an) と B = (bn) を考えてみましょう。 それらは空ではありません。

n と m は不等式 an< bm . Докажем это.

n ≥ m の場合、< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

したがって、クラス A と B は連続性の公理を満たし、

したがって、任意の n に対して、an ≤ λ ≤ bn となるような数 λ が存在します。 これ

番号は任意のセグメント [ an ; に属します。 bn ] .◄

以下 (定理 2.1.8) では、この定理を改良します。

定理 1.4.4 で定式化されたステートメントは原理と呼ばれます

Cantor であり、この条件を満たす集合は非集合と呼ばれます。

カントールによれば不連続である。

順序集合が Dede 連続であることを証明しました。

キンドゥ、そのときアルキメデスの原理はその中で実現されており、カントールによればそれは連続的である。

原則が満たされる順序集合であることが証明できる

デデキントによれば、アルキメデスとカントールのシペスは連続するだろう。 証拠

この事実は、たとえば、に含まれています。

アルキメデスの原理により、各線分を非比較で比較することができます。

これは条件を満たす唯一の正の数です。

1. 等しいセグメントは等しい数値に対応します。

2. 線分ACの点Bと線分AB、BCが数字aと数字に対応するとします。

b の場合、セグメント AC は数値 a + b に対応します。

3. 数字 1 は特定のセグメントに対応します。

各セグメントに対応し、条件 1 ～ 3 を満たす番号

をこのセグメントの長さと呼びます。

カントールの原理により、あらゆるポジティブな点について次のことが証明できます。

この数値に等しい長さのセグメントを見つけることができます。 したがって、

正の実数のセットとセグメントのセットの間

kovs、指定された側に沿った直線上の特定の点からレイオフされます。

この時点から、1 対 1 の対応を確立できます。

これにより、数値軸を定義し、数値軸間の対応関係を導入することができます。

実数値とポイントをラインで待っています。 これを行うには、いくつか取りましょう

最初の線を選択し、その上の点 O を選択します。これにより、この線が 2 つに分割されます。

ビーム。 これらの光線の 1 つを正の光線と呼び、2 番目の光線を負の光線と呼びます。

名目。 そして、この直線上の方向を選択したと言えます。

定義1.4.7。 この直線を数値軸と呼びます。

a) 点 O。原点または座標原点と呼ばれます。

b) 方向。

c) 単位長さのセグメント。

ここで、各実数 a について、点 M を数値に関連付けます。

そうするためにまっすぐに吠える

a) 数値 0 は座標の原点に対応します。

b) OM = a - 原点から点 M までのセグメントの長さは次のとおりでした。

モジュロ数;

c) a が正の場合、点は正の光線上に取られ、

負の場合は負です。

このルールにより、次の間の 1 対 1 対応が確立されます。

実数のセットと直線上の点のセット。

数直線（軸）を実数直線とも呼びます

これは、実数の係数の幾何学的意味も意味します。

la: 数値の係数は、原点から描かれた点までの距離に等しい

数直線上のこの数字を押します。

これで、プロパティ 6 と 7 に幾何学的解釈を与えることができます。

実数の法。 数値 x の正の C について、次の条件を満たします。

プロパティ 6 を満たし、区間 (−C, C) を満たし、数値 x が満たされます。

特性 7、光線 (−∞,C) または (C, +∞) 上にあります。

物質モジュールのもう 1 つの注目すべき幾何学的特性に注目してみましょう。

実数。

2 つの数値間の差の係数は、点間の距離に等しく、次のようになります。

実軸上のこれらの数値に対応します。

ry 標準番号セット。

自然数のセット。

整数のセット。

有理数のセット。

実数のセット。

それぞれ、有理数と実数の整数のセット

負でない実数。

複素数のセット。

また、実数の集合は (−∞, +∞) と表されます。

このセットのサブセット:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - セグメント;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

lyまたはハーフセグメント。

(a, +∞) = ( x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) または (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) - 閉じた光線。

最後に、時には気にしないギャップが必要になることもあります

その端がこの区間に属するかどうか。 そんな期間を迎えます

a、bを表します。

§ 5 数値集合の有界性

定義1.5.1。 数値集合 X は有界と呼ばれます

上から、すべての要素 x に対して x ≤ M となる数値 M がある場合、

Xを設定します。

定義1.5.2。 数値集合 X は有界と呼ばれます

以下では、すべての要素 x に対して x ≥ m となるような数値 m があるとします。

Xを設定します。

定義1.5.3。 数値セット X は有界と呼ばれます。

上下限定の場合。

記号表記では、これらの定義は次のようになります。

∃M ∀x ∈ X: x ≤ M の場合、集合 X は上から有界となります。

∃m ∀x ∈ X: x ≥ m および

は、∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M の場合に制限されます。

定理1.5.1。 数値セット X は、次の場合にのみ有界となります。

このセットのすべての要素に対して x となるような数値 C があるとき

この場合、不等式 x ≤ C が成り立ちます。

集合 X が有界であるとします。 C = max (m, M) - 最大値とします。

数値 m と M の大きい方。 次に、実数モジュールのプロパティを使用して、

数値から、不等式 x ≤ M ≤ M ≤ C および x ≥ m ≥ − m ≥ −C が得られ、そこから次のようになります。

確かに、x ≤ C です。

逆に、不等式 x ≤ C が満たされる場合は、−C ≤ x ≤ C となります。 これがその 3 つです -

M = C および m = −C とすると期待されます。◄

集合 X を上から境界付ける数値 M は、上位と呼ばれます。

セットの境界。 M が集合 X の上限である場合、任意の

M より大きい数値 M ' も、このセットの上限になります。

したがって、集合の上限の集合について話すことができます。

バツ。 上限のセットを M で表すことにします。 すると、 ∀x ∈ X と ∀M ∈ M

したがって、公理に従って、不等式 x ≤ M が満たされます。

x ≤ M 0 ≤ M となる数 M 0 が存在します。 この数値は正確な数値と呼ばれます

数値セット X の上限も、このセットの上限もありません

集合または集合 X の上限であり、M 0 = sup X で表されます。

したがって、空ではないすべての数値セットが、

上の境界には常に正確な上限があります。

等式 M 0 = sup X が次の 2 つの条件と同等であることは明らかです。

1) ∀x ∈ X 不等式 x ≤ M 0 が成り立ちます。つまり、 M 0 - 多重度の上限

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X なので、不等式 xε > M 0 − ε が成り立ちます。 このゲーム

価格の改善（値下げ）はできません。

例 1. 集合 X = ⎨1 − ⎬ を考えます。 sup X = 1 であることを証明しましょう。

☺確かに、まず、不等式 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈ ; 次に、任意の正の数 ε を取ると、次のようになります。

アルキメデスの原理を使用すると、 nε > となるような自然数 nε を見つけることができます。 それ-

ここで、不等式 1 − > 1 − ε が満たされます。 見つかった要素 xnsε 複数

X の値は 1 − ε より大きく、1 が最小上限であることを意味します

同様に、セットが以下に制限されている場合、次のことが証明できます。

正確な下限があり、下限とも呼ばれます。

セット X の新規または上限であり、inf X で表されます。

等式 m0 = inf X は、次の条件と同等です。

1) ∀x ∈ X 不等式 x ≥ m0 が成り立ちます。

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X なので、不等式 xε が成り立ちます。< m0 + ε .

集合 X に最大の要素 x0 がある場合、それを x0 と呼びます。

集合 X の最大要素であり、 x0 = max X を示します。 それから

sup X = x0 。 同様に、セット内に最小の要素がある場合、

これを最小と呼び、最小 X を示します。

集合 X の最大値。

たとえば、自然数の集合には最小の要素があります -

単位。これはセットの最低値でもあります。 最高

このセットには上からの境界がないため、夢魔はありません。

正確な上限と下限の定義は次のように拡張できます。

sup X = +∞ または、それに応じて、上下に制限のないセット

したがって、 inf X = −∞ となります。

結論として、上限と下限の境界のいくつかの特性を定式化します。

プロパティ 1. X を何らかの数値セットとする。 で表しましょう

− X セット (− x | x ∈ X ) 。 次に、 sup (− X) = − inf X および inf (− X) = − sup X となります。

性質 2. X をある数値集合とし、λ を実数とする

番号。 集合 (λ x | x ∈ X ) を λ X で表します。 λ ≥ 0 の場合、

sup (λ X) = λ sup X 、inf (λ X) = λ inf X、そして λ の場合< 0, то

sup (λ X) = λ inf X 、inf (λ X) = λ sup X 。

プロパティ 3. X1 と X2 を数値セットとする。 で表しましょう

X1 + X 2 は集合 ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) であり、X1 − X 2 を通じて集合

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) 。 次に、 sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2 、

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2、sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2、および

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 。

プロパティ 4. X1 と X2 を数値セットとし、そのすべての要素を次のようにします。

ryh は非負です。 それから

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 、inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 。

たとえば、性質 3 の最初の等式を証明してみましょう。

x1 ∈ X1、x2 ∈ X 2、x = x1 + x2 とします。 次に、x1 ≤ sup X1、x2 ≤ sup X 2、および

x ≤ sup X1 + sup X 2 であるため、 sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 となります。

逆の不等式を証明するには、次の数値を取ります。

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

それ×1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2、これは数値 y より大きく、

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

残りのプロパティの証明も同様に実行され、次のようになります。

読者に明らかになります。

§ 6 可算集合と不可算集合

定義1.6.1。 最初の n 個の自然数の集合を考えます

n = (1,2,..., n) および一部のセット A。 相互接続が可能であれば

A と n が 1 対 1 に対応している場合、集合 A が呼び出されます。

最後の。

定義1.6.2。 集合 A を与えてみましょう。 できれば

集合 A と集合 A の間に 1 対 1 の対応関係を確立します。

自然数の集合の場合、集合 A は count- と呼ばれます。

定義1.6.3。 集合 A が有限または可算である場合、次のようになります。

それは数えられる以上のものではないと信じています。

したがって、要素が数えられる場合、セットは数えられます。

シーケンスに入れます。

例 1. マッピング n ↔ 2n であるため、偶数の集合は可算です。

自然のセット間の 1 対 1 対応です。

数字と多くの偶数。

明らかに、このような対応関係は、

ゾム。 たとえば、セットとマルチの間の対応関係を確立できます。

(整数の) 取得、この方法での対応関係の確立

この推奨事項は、「代数と数論」という分野を研究している教育大学の学生を対象としています。 この分野の枠組みの中で、州の基準に従って、6学期には「数値体系」のセクションが学習されます。 これらの推奨事項は、自然数系 (ペアノ公理系)、整数系、および有理数系の公理的構築に関する資料を提供します。 この公理により、学校の数学コースの基本概念の 1 つである数値とは何かをより深く理解できるようになります。 内容をよりよく理解できるように、関連するトピックに関する問題が提供されます。 推奨事項の最後には、回答、指示、問題の解決策が記載されています。

査読者：教育科学博士、教授 ダリンジャー V.A.

(c) モザン N.N.

出版のために署名 - 1998/10/22

1. 自然な数字。

1.1 ペアノの公理系と最も単純な結果。

ペアノの公理理論の最初の概念は、集合 N (自然数の集合と呼びます)、そこから得られる特別な数ゼロ (0)、そして S(a) で示される N に「従う」二項関係です (またはあ())。
公理:
1. ((a(N) a"(0 (数の後に続かない自然数 0 があります。)
2. a=b (a"=b" (すべての自然数 a に対して、それに続く自然数 a" は 1 つだけあります。)
3. a"=b" (a=b (各自然数の後には最大 1 つの数値が続きます。)
4. (帰納公理) 集合 M(N と M が 2 つの条件を満たす場合:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M の場合、M=N。
関数用語では、これはマッピング S:N®N が単射的であることを意味します。 公理 1 から、マッピング S:N®N は全射的ではないことがわかります。 公理 4 は、「数学的帰納法による」ステートメントを証明するための基礎です。
公理から直接導かれる自然数のいくつかの性質に注目してみましょう。
プロパティ 1. すべての自然数 a(0 の後には 1 つの数値だけが続きます。
証拠。 M を、ゼロと、それぞれが何らかの数字に続くすべての自然数を含む自然数のセットを表すものとします。 M=N であること、一意性が公理 3 から得られることを示すだけで十分です。帰納法公理 4 を適用してみましょう。
A) 0(M - 集合 M の構築による;
B) if a(M, then a"(M, なぜなら、a" は a の後に続くからです。
これは、公理 4 より、M=N であることを意味します。
プロパティ 2. a(b の場合、a"(b"。
この性質は、公理 3 を使用して矛盾によって証明されます。次の性質 3 は、公理 2 を使用して同様の方法で証明されます。
プロパティ 3. a"(b" の場合、a(b.
プロパティ 4. ((a(N)a(a"。 (自然数が後続することはありません。)
証拠。 M=(x (x(N, x(x")) とします。M=N であることを示すだけで十分です。公理 1 ((x(N)x"(0、つまり 0"(0したがって、公理 4 0(M - の条件 A) が満たされます。x(M、つまり x(x" の場合、プロパティ 2 x"((x")"、つまり条件 B) x になります。 ( M ® x"(M. しかし、公理 4 によれば、M=N となります。
自然数の性質を ( とします。数 a が (という性質を持つ) という事実を、((a) と書きます。
タスク1.1.1。 自然数の集合の定義からの公理 4 が次のステートメントと同等であることを証明します: for any property (, if ((0) and, then.
タスク1.1.2。 3 要素の集合 A=(a,b,c) では、単項演算 ( (は次のように定義されます: a(=c, b(=c, c(=a)。この集合で真となるペアノ公理はどれですか操作を伴うA（？
タスク1.1.3。 A=(a) を単一集合、a(=a とします。演算 (?
タスク1.1.4。 集合 N に対して、any を仮定して単項演算を定義します。 演算に関して定式化されたペアノ公理のステートメントが N で真となるかどうかを調べます。
問題1.1.5。 そうしましょう。 A が操作 () で閉じていることを証明します。操作 () を使用して、集合 A に関するペアノ公理の真実性を検証します。
問題1.1.6。 としましょう。 A の設定に対する単項演算を定義しましょう。 ペアノ公理のうち、演算を伴う集合 A で正しいものはどれですか?

1.2. ペアノ公理系の一貫性と定言性。

公理系は、その公理から定理 T とその否定 (T) を証明することが不可能である場合、矛盾しないと呼ばれます。矛盾する公理系が数学において意味を持たないことは明らかです。なぜなら、そのような理論では、あらゆることを証明できるからです。理論は現実世界の法則を反映していない したがって、公理系の一貫性は絶対に必要な要件です。
定理 T とその否定 (T) が公理理論に見つからない場合、これはそのような理論が将来現れる可能性があることを意味するものではありません。したがって、公理システムの整合性が証明されなければなりません。一貫性を証明する最も一般的な方法は、明らかに一貫した理論 S に公理系の解釈がある場合、公理系自体が一貫しているという事実に基づく解釈の方法です。実際、公理系が矛盾している場合、その場合、定理 T と (T) は証明可能ですが、その場合、これらの定理は有効であり、その解釈では、理論 S の一貫性と矛盾します。この解釈方法では、理論の相対的な一貫性のみを証明できます。 。
ペアノ公理系については、さまざまな解釈を構築できます。 集合論は特に解釈が豊富です。 これらの解釈の 1 つを示してみましょう。 集合 (、(()、((())、(((())))、... を自然数と見なし、ゼロを特別な数 (と見なします。関係は「次の」になります。集合 M の後に集合 (M) が続き、その唯一の要素は M 自体です。 したがって、("=(()、(()"=((​​()) など) が実現可能です。公理 1 ～ 4 は簡単に検証できますが、そのような解釈の有効性はわずかです。集合論が一貫している場合、ペアノの公理系が一貫していることを示します。しかし、集合論の公理系の一貫性を証明するのはさらに困難です。ペアノ公理システムの最も説得力のある解釈は直感的な算術であり、その一貫性は何世紀にもわたる開発によって確認されています。
一貫した公理系は、この系の各公理が他の公理に基づいて定理として証明できない場合、独立していると呼ばれます。 公理が（システムの他の公理に依存しない）ことを証明するには
(1、(2、...、(n、((1)
公理系が一貫していることを証明できれば十分です
(1、(2、...、(n、(((2)
実際、システム (1) の残りの公理に基づいて (が証明された場合、システム (2) には定理 (および公理 (() が存在するため、システム (2) は矛盾することになります。
したがって、公理系 (1) の他の公理からの独立性を証明するには、公理系 (2) の解釈を構築するだけで十分です。
公理系の独立性はオプションの要件です。 場合によっては、「難しい」定理の証明を避けるために、意図的に冗長な (依存した) 公理系が構築されることがあります。 ただし、「余分な」公理により、理論における公理の役割や、理論の異なるセクション間の内部論理的接続を研究することが困難になります。 さらに、公理の従属系の解釈を構築することは、独立した公理系の解釈を構築するよりもはるかに困難です。 結局のところ、「追加の」公理の妥当性をチェックする必要があります。 これらの理由から、公理間の依存関係の問題は古くから最も重要視されてきました。 かつて、ユークリッドの公理の公準5「点Aを通る直線と平行な直線は1本しかない」が定理である(つまり、残りの公理に依存する)ことを証明する試みがロバチェフスキーの発見につながった。幾何学。
与えられた理論の命題 A が証明または反駁できる場合、つまり A または (A はこの理論の定理です。証明も反駁もできない命題がある場合、一貫したシステムは演繹的に完全であると呼ばれます。この場合、公理系は演繹的に不完全であると呼ばれます。たとえば、群理論、環理論、および場の理論の公理系は、有限群と無限群の両方が存在するため、必須の要件ではありません。これらの理論では、「群 (環、体) には有限数の要素が含まれる」という命題を証明したり反証したりすることは不可能です。
多くの公理理論 (つまり、形式化されていない理論) では、一連の命題が正確に定義されていると見なすことができず、したがって、そのような理論の公理系の演繹的完全性を証明することは不可能であることに注意してください。 もう 1 つの完全性の感覚は、カテゴリー性と呼ばれます。 公理系は、その解釈のいずれか 2 つが同型である場合、つまり、一方の解釈の初期オブジェクトの集合ともう一方の解釈の初期オブジェクトの集合の間に、すべての初期関係の下で保存されるような 1 対 1 の対応関係がある場合、カテゴリー的と呼ばれます。 カテゴリ性もオプションの条件です。 たとえば、群論の公理系はカテゴリー的ではありません。 これは、有限群が無限群と同型であることはできないという事実からわかります。 ただし、数値システムの理論を公理化する場合、カテゴリー性は必須です。 たとえば、自然数を定義する公理系のカテゴリー的性質は、同型写像までは自然系列が 1 つだけ存在することを意味します。
ペアノ公理系の定言的性質を証明しましょう。 (N1, s1, 01) と (N2, s2, 02) をペアノ公理系の任意の 2 つの解釈とします。 以下の条件を満たす全単射 (1 対 1) マッピング f:N1®N2 を示す必要があります。
a) N1 の任意の x に対して f(s1(x)=s2(f(x)))。
b) f(01)=02
単項演算 s1 と s2 の両方が同じ素数で表される場合、条件 a) は次のように書き換えられます。
a) f(x()=f(x)(.
次の条件により、集合 N1(N2) 上の二項関係 f を定義しましょう。
1) 01f02;
2) xfy の場合、x(fy(.
この関係が N1 から N2 へのマッピング、つまり N1 からの各 x に対するマッピングであることを確認しましょう。
(((y(N2) xfy (1)
M1 が、条件 (1) が満たされる N1 からのすべての要素 x の集合を表すものとします。 それから
A) 01(1 による M1);
B) x(M1 ® x((2 による M1) および段落 1 のプロパティ 1。
ここから、公理 4 に従って、M1=N1 と結論付けられます。これは、関係 f が N1 から N2 への写像であることを意味します。 さらに、1) より、f(01)=02 となります。 条件 2) は次の形式で記述されます: if f(x)=y, then f(x()=y(. したがって、f(x()=f(x)() となります。したがって、f 条件 a を表示するには) と b) は満たされます。写像 f が全単射であることを証明する必要があります。
N2 からの要素のセットを M2 で表すことにします。各要素は、マッピング f の下で N1 からの 1 つだけの要素のイメージです。
f(01)=02なので、02は画像になります。 さらに、x(N2 および x(01) の場合、項目 1 のプロパティ 1 により、x は N1 の要素 c の後に続き、f(x)=f(c()=f(c)((02 を意味します。唯一の要素 01、つまり 02(M2.
さらに y(M2 および y=f(x) とします。ここで、x は要素 y の唯一の逆イメージです。次に、条件 a) により、y(=f(x)(=f(x()))、つまり、 y(は要素x (のイメージです。cは要素y(の任意の逆イメージです。つまり、f(c)=y(です。y((02であるため、c(01、cについては前のこの要素を d で表します。すると、y(=f( c)=f(d()=f(d)() となり、公理 3 より y=f(d) となります。ただし、y(M2 なので、d= x, whence c=d(=x(. y が一意の要素のイメージである場合、 y( は一意の要素のイメージ、つまり y(M2 ® y((M2. 両方とも) であることを証明しました。公理 4 の条件が満たされるため、M2=N2 となり、圏性の証明が完了します。
ギリシャ以前のすべての数学は本質的に経験的なものでした。 理論の個々の要素は、実際的な問題を解決するための多数の経験的手法の中に埋もれていました。 ギリシャ人はこの経験的資料を論理処理し、さまざまな経験的情報間のつながりを見つけようとしました。 この意味で、ピタゴラスと彼の学派 (紀元前 5 世紀) は幾何学において重要な役割を果たしました。 公理的方法の考え方は、アリストテレス (紀元前 4 世紀) の著作にはっきりと表れています。 ただし、これらのアイデアの実際の実装は、ユークリッドの『原論』（紀元前 3 世紀）で実行されました。
現在、公理理論は 3 つの形式に区別できます。
1)。 前世紀半ばまでは唯一の公理だった意味のある公理。
2)。 前世紀の最後の四半世紀に生まれた半形式的な公理学。
3)。 形式的（または形式化された）公理学。その誕生の日付は、D. ヒルベルトが形式化された数学の基本原理に関する有名なプログラムを発表した 1904 年と考えられます。
それぞれの新しい形式は以前の形式を否定するものではなく、その発展と明確化であるため、それぞれの新しい形式の厳密さのレベルは以前のものよりも高くなります。
集中公理論は、公理が定式化される前であっても、最初の概念が直観的に明確な意味を持っているという事実によって特徴付けられます。 したがって、ユークリッドの原論では、点はまさにこの概念によって直感的に理解されるものを意味します。 この場合、アリストテレスに遡る、通常の言語と通常の直観的論理が使用されます。
半形式的な公理理論でも、通常の言語と直感的な論理が使用されます。 ただし、意味のある公理論とは異なり、元の概念には直観的な意味が与えられておらず、公理によってのみ特徴付けられます。 直観がある程度厳密さを妨げるため、これにより厳密さが増します。 さらに、そのような理論で証明されたすべての定理はどのような解釈においても有効であるため、一般性が獲得されます。 準形式的な公理理論の例は、ヒルベルトの著書「幾何学の基礎」(1899 年) に記載されている理論です。 準形式理論の例には、環の理論や、代数コースで提示される他の多くの理論もあります。
形式化された理論の例としては、数理論理学のコースで学習される命題微積分があります。 実体公理や半形式公理とは異なり、形式理論では特別な記号言語が使用されます。 つまり、理論のアルファベット、つまり、通常の言語の文字と同じ役割を果たす特定の記号のセットが与えられます。 有限の文字列は式または単語と呼ばれます。 式の中では式のクラスが区別され、各式が式であるかどうかを判断できる正確な基準が示されます。 数式は、通常の言語における文章と同じ役割を果たします。 一部の公式は公理として宣言されています。 さらに、論理推論ルールが指定されます。 このような各ルールは、完全に明確な公式が特定の一連の公式から直接得られることを意味します。 定理自体の証明は式の有限連鎖であり、最後の式は定理自体であり、各式は公理または以前に証明された定理のいずれかであるか、または次のいずれかに従って連鎖の前の式から直接続きます。推論のルール。 したがって、証拠の厳密さについてはまったく疑問の余地はありません。特定のチェーンが証拠であるか、疑わしい証拠がないかのどちらかです。 この点において、形式化された公理論は、主に私たちの日常言語の不正確さや曖昧さによって、通常の直観的論理が誤った結論につながる可能性がある数学理論の実証という特に微妙な問題で使用されます。
形式化された理論では、各式についてそれが式であるかどうかを言うことができるため、形式化された理論の一連の文は明確であると考えることができます。 この点に関して、原理的には、解釈に頼ることなく、演繹的完全性の証明と一貫性の証明の問題を提起することができます。 多くの単純なケースではこれを実現できます。 たとえば、命題微積分の整合性は解釈なしで証明されます。
形式化されていない理論では、多くの命題が明確に定義されていないため、解釈に頼らずに一貫性を証明するという問題を提起することは無意味です。 演繹的完全性の証明の問題にも同じことが当てはまります。 しかし、証明も反証もできない、形式化されていない理論の提案に遭遇した場合、その理論は明らかに演繹的に不完全です。
公理的手法は、数学だけでなく物理学でも古くから使用されてきました。 この方向への最初の試みはアリストテレスによってなされましたが、公理的な方法が物理学で実際に応用されたのは、ニュートンの力学の著作においてのみでした。
科学の数学化の急速なプロセスに関連して、公理化のプロセスも存在します。 現在、公理的手法は遺伝学のような生物学の一部の分野でも使用されています。
それにもかかわらず、公理的方法の可能性は無限ではありません。
まず第一に、形式化された理論であっても、直観を完全に避けることはできないことに注意してください。 解釈のない形式化された理論自体に意味はありません。 したがって、形式化された理論とその解釈との関係については、多くの疑問が生じます。 さらに、形式化された理論と同様に、公理系の一貫性、独立性、完全性について疑問が生じます。 このようなすべての疑問の全体は、形式化された理論のメタ理論と呼ばれる別の理論の内容を構成します。 形式化された理論とは異なり、メタ理論の言語は通常の日常言語であり、論理的推論は通常の直観的論理の規則によって実行されます。 したがって、形式化された理論から完全に追放された直観は、そのメタ理論の中に再び現れます。
しかし、これは公理的手法の主な弱点ではありません。 形式化された公理手法の基礎を築いた D. ヒルベルトのプログラムについてはすでに述べました。 ヒルベルトの主なアイデアは、古典数学を形式化された公理理論として表現し、その一貫性を証明することでした。 しかし、このプログラムは要点においてはユートピア的であることが判明した。 1931 年、オーストリアの数学者 K. ゲーデルは彼の有名な定理を証明し、そこからヒルベルトが提起した両方の主要な問題は不可能であることが判明しました。 彼は、コーディング手法を使用して、形式的な算術の公式を使用してメタ理論からのいくつかの真の仮定を表現し、これらの式が形式的な算術では演繹できないことを証明することに成功しました。 したがって、形式化された算術は演繹的に不完全であることが判明しました。 ゲーデルの結果から、この証明不可能な公式が公理の数に含まれている場合、何らかの真の命題を表す別の証明不可能な公式が存在することがわかりました。 これらすべては、すべての数学だけでなく、その最も単純な部分である算術さえも完全に形式化できないことを意味しました。 特に、ゲーデルは「形式化された算術は一貫している」という文に対応する式を構築し、この式も導出できないことを示しました。 この事実は、形式化された算術の一貫性は算術自体では証明できないことを意味します。 もちろん、より強力な形式化された理論を構築し、その手段を使用して形式化された算術の一貫性を証明することは可能ですが、その場合、この新しい理論の一貫性についてより難しい問題が生じます。
ゲーデルの結果は、公理的手法の限界を示しています。 それでもなお、知られざる真実が存在するという知識理論における悲観的な結論には全く根拠がありません。 形式的な算術では証明できない算術的真理が存在するという事実は、未知の真理が存在するという意味ではなく、また人間の思考が制限されているという意味でもありません。 それは、私たちの思考の可能性が完全に形式化された手順に限定されておらず、人類がまだ新しい証明原理を発見し発明していないことを意味するだけです。

1.3.自然数の足し算

自然数の加算と乗算の演算は、ペアノ公理系では仮定されていません。これらの演算を定義します。
意味。 自然数の加算は、集合 N に対する 2 項代数演算 + であり、次の特性があります。
1秒。 ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
疑問が生じます。そのような操作は存在するのか、存在する場合、それが唯一の操作なのかということです。
定理。 自然数の足し算は1つだけです。
証拠。 集合 N に対する 2 値代数演算は、マッピング (:N(N®N) です。プロパティ: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)()。各自然数 x に対して写像の存在を証明する場合) fx:N®N プロパティ 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)() の場合、関数 ((x,y)、等式 ((x) ,y) (fx(y) は条件 1) と 2 を満たします)。
集合 N 上で、条件によって二項関係 fx を定義します。
a) 0fxx;
b) yfxzの場合、y(fxz(.
この関係が N から N へのマッピング、つまり N からの各 y に対するマッピングであることを確認しましょう。
(((z(N) yfxz (1)
条件 (1) が満たされる自然数 y の集合を M とします。 次に、条件 a) から 0(M、条件 b) と節 1 のプロパティ 1 から、if y(M, then y((M. ここから、公理 4 に基づいて、M = と結論付けます。 N であり、これはリレーション fx が N から N へのマッピングであることを意味します。このマッピングでは、次の条件が満たされます。
1() fx(0)=x - a) による。
2() fx((y)=fx(y() - b のおかげ)。
したがって、加法が存在することが証明される。
一意性を証明しましょう。 + と ( を、プロパティ 1c と 2c を持つ集合 N に対する任意の 2 つの二項代数演算とします。次のことを証明する必要があります。
((x,y(N) x+y=x(y
任意の数 x を固定し、等式が成り立つ自然数 y の集合を S で表しましょう。
x+y=x(y (2)
実行されました。 1c によると x+0=x および x(0=x なので、
A) 0(S
ここで、y(S、つまり、等式 (2) が満たされるとします。x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(and x+y=x(y)) なので、公理 2 x+y(=x(y(、つまり、条件が満たされます) により、
B) y(S ® y((S.
したがって、公理 4 によれば、S=N となり、定理の証明が完了します。
加算のいくつかの性質を証明しましょう。
1. 数字 0 は加算の中立要素です。つまり、すべての自然数 a に対して a+0=0+a=a となります。
証拠。 等式 a+0=a は条件 1c から導かれます。 0+a=a という等価性を証明しましょう。
M がそれが保持するすべての数値の集合を表すものとします。 明らかに、0+0=0 であるため、0(M となります。a(M、つまり、0+a=a とします。その場合、0+a(=(0+a)(=a(、したがって、a((Mこれは M=N を意味し、これを証明する必要があります。
次に補題が必要です。
レマ。 a(+b=(a+b)(。
証拠。 M を、a の任意の値に対して等価 a(+b=(a+b) が真であるすべての自然数 b の集合とします。次に、次のようになります。
A) 0(M、a(+0=(a+0)(; なので)
B) b(M ® b((M. 実際、b(M と 2c という事実から、
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
つまり、b((M。これは M=N を意味し、これを証明する必要があります。
2. 自然数の加算は可換です。
証拠。 M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a) とします。M=N を証明すれば十分です。次のようになります。
A) 0(M - 特性 1 による。
B) a(M ® a((M. 実際、補題と a(M という事実を適用すると、次が得られます。
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(。
これは a((M、そして公理 4 より M=N を意味します。
3. 加算は結合的です。
証拠。 させて
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
M=N であることを証明する必要があります。 (a+b)+0=a+b および a+(b+0)=a+b であるため、0(M とします。c(M、つまり (a+b)+c=a+(b+c ) とします。 。 それから
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
これは c((M であり、公理 4 より M=N を意味します。
4. a+1=a(、1=0(。
証拠。 a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. b(0 の場合、((a(N)a+b(a.
証拠。 M=(a(a(N(a+b(a) とします。0+b=b(0 なので、0(M。さらに、a(M、つまり a+b(a) の場合、プロパティ 2 項目 1 (a+b)((a( または a(+b(a(。つまり、a((M および M=N。
6. b(0 の場合、((a(N)a+b(0.
証拠。 a=0 の場合、0+b=b(0 ですが、a(0 かつ a=c( の場合、a+b=c(+b=(c+b)(0。つまり、いずれの場合も a + b(0.
7. (加算の三分法則)。 任意の自然数 a および b について、次の 3 つの関係のうち 1 つだけが真になります。
1) a=b;
2) b=a+u、ここで u(0;
3) a=b+v、ここで v(0.
証拠。 任意の数 a を固定し、関係 1)、2)、3) の少なくとも 1 つが成立するすべての自然数 b の集合を M で表します。 M=N であることを証明する必要があります。 b=0 とします。 次に、a=0 の場合、関係 1 が真になります)、a(0 の場合、a=0+a であるため、関係 3 が真になります)。 つまり、0(M.
ここで、b(M、つまり、選択された a について、関係 1)、2)、3) のいずれかが満たされると仮定します。 a=b の場合、b(=a(=a+1、つまり b の場合 (関係 2 が成立))。b=a+u の場合、b(=a+u(、つまり b(関係 2) a=b+v の場合、v=1 と v(1) の 2 つのケースが考えられます。v=1 の場合、a=b+v=b"、つまり、b" の場合、関係 1 は次のようになります。同じ v(1、次に v=c"、c(0、そして a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c、ここで c(0、つまりb" 関係 3 は満たされます)。したがって、b(M®b"(M、したがって M=N、つまり、任意の a と b について、関係 1)、2)、3 の少なくとも 1 つが満たされることが証明されました。実際に、関係 1) と 2) が満たされる場合、それらは b=b+u となり、ここで u(0) となり、これはプロパティ 5 と矛盾します。 1) の充足可能性の不可能性は、3) と同様の方法でチェックされます。最後に、関係 2) と 3) が満たされる場合、a=(a+u)+v = a+ +(u+v) になります。 )、これは特性 5 と 6 により不可能です。特性 7 は完全に証明されています。
タスク1.3.1。 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)) とします。3+5=8 であることを証明してください) 2+4=6。

1.4. 自然数の乗算。

1.5. 自然数系の順序。

1.6. 自然数体系の完全な順序。

1.7. 誘導の原理。

1.8. 自然数の減算と除算。

1.10. 個別の完全順序集合としての自然数系。

2. 整数と有理数。

2.2. 整数系の存在。

2.3. 整数体系の一意性。

2.4. 有理数系の定義と性質。

2.5. 有理数系の存在。

2.6. 有理数系の一意性。

答え、指示、解決策。

文学

整数系

自然系列がオブジェクトをリストするように見えたことを思い出してください。 しかし、オブジェクトに対して何らかのアクションを実行したい場合は、数値の算術演算が必要になります。 つまり、リンゴを積み上げたり、ケーキを分割したりしたい場合、これらの動作を数字の言語に翻訳する必要があります。

演算 + と * を自然数の言語に導入するには、これらの演算のプロパティを定義する公理を追加する必要があることに注意してください。 しかし、自然数の集合自体も 拡大する.

自然数の集合がどのように拡張されるかを見てみましょう。 最も単純な演算は、最初に必要になった演算の 1 つである加算です。 加算の演算を定義したい場合は、その逆の減算を定義する必要があります。 実際、足し算の結果が何になるか、たとえば 5 と 2 がわかっていれば、「11 を得るには 4 に何を足す必要があるか」といった問題も解決できるはずです。つまり、足し算に関する問題は確実に解決できるはずです。逆のアクション、つまり引き算を実行する能力が必要です。 しかし、自然数を加算すると再び自然数が得られる場合、自然数を減算すると N に収まらない結果が得られます。他の数値が必要でした。 大きな数から小さな数を引くという理解できることと同様に、小さな数から大きな数を引くという規則が導入されました。これが負の整数の出現方法です。

+ と - の演算で自然数列を補足すると、整数のセットが得られます。

Z=N+演算数(+-)

算術言語としての有理数体系

次に、最も複雑なアクションである乗算について考えてみましょう。 本質的には、これは加算の繰り返しです。 そして、整数の積は整数のままです。

しかし、乗算の逆演算は除算です。 しかし、常に最良の結果が得られるとは限りません。 そして再び、私たちはジレンマに直面します。割り算の結果が「存在しない」可能性があることを前提として受け入れるか、または何らかの新しいタイプの数値を考え出すかのどちらかです。 こうして有理数が登場したのです。

整数系を取り上げ、乗算と除算の演算を定義する公理で補ってみましょう。 有理数系が得られます。

Q=Z+演算(*/)

したがって、有理数の言語を使用すると、 すべての算術演算数字を超えて。 自然数の言語ではこれには十分ではありませんでした。

有理数系の公理的な定義を与えてみましょう。

意味。 有理数の公理と呼ばれる次の一連の条件が満たされる場合、集合 Q は有理数の集合と呼ばれ、その要素は有理数と呼ばれます。

加算演算の公理。 注文したペアごとに x、yからの要素 Q何らかの要素が定義されている x+yОQ、合計と呼ばれます バツそして で。 この場合、次の条件が満たされます。

1. (ゼロの存在) 要素 0 (ゼロ) が存在します。 バツÎQ

バツ+0=0+バツ=バツ。

2. 任意の要素について バツО Q 要素があります - バツО Q (反対側) バツ） そのような

バツ+ （-バツ） = （-バツ） + バツ = 0.

3. (可換性) 任意の場合 x、y○Q

4. (結合性) 任意の x,y,zО Q に対して

x + (y + z) = (x + y) + z

乗算演算の公理。

注文したペアごとに x、y Q の要素 いくつかの要素が定義されています xyО Q、製品と呼ばれます バツそして あなた。この場合、次の条件が満たされます。

5. (単位要素の存在) バツ○Q

バツ . 1 = 1。 x = x

6. あらゆる要素に対して バツОQ、( バツ≠ 0) 逆要素があります バツ-1 ≠0 であるため、

バツ。 x -1 = x -1。 x = 1

7. (連想性) 任意の x、y、z○Q

バツ . (y . z) = (x . や） . z

8. (可換性) 任意の x、y○Q

加算と乗算の間の関係の公理。

9. (分配性) x、y、z○Q

(x+y) . z = x . z+y . z

秩序の公理。

任意の 2 つの要素 x、y、О Q は比較関係 ≤ に入ります。 この場合、次の条件が満たされます。

10. (バツ≤で)L ( で≤バツ) ó x=y

11。 （バツ≤や） L ( y≤ z) => バツ≤z

12. 誰にでも x、yО Q または ×< у, либо у < x .

態度< называется строгим неравенством,

= という関係は Q の要素の等価性と呼ばれます。

加算と順序の間の関係の公理。

13. 任意の x、y、z ОQ、(x £ y) Þ x+z £ y+z について

乗算と順序の間の関係の公理。

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

アルキメデスの連続性の公理。

15. 任意の a > b > 0 に対して、m 3 1, n となる m О N と n О Q が存在します。< b и a= mb+n.

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したがって、有理数体系は算術の言語です。

ただし、この言語は実際のコンピューティングの問題を解決するには十分ではありません。