複数の変数の関数の最大値を見つけます。 機能

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また大晦日...凍りつくような天気と窓ガラスの雪の結晶...これらすべてが私に...フラクタルについて、そしてWolfram Alphaがそれについて知っていることについてもう一度書くように促しました。 このテーマに関する興味深い記事があり、2 次元フラクタル構造の例が含まれています。 ここでは、3 次元フラクタルのより複雑な例を見ていきます。

フラクタルは、幾何学的図形または物体 (両方がセット、この場合は点のセットであることを意味します) として視覚的に表現 (記述) でき、その細部は元の図形自体と同じ形状を持ちます。 つまり、これは自己相似構造であり、その詳細を拡大すると、拡大しない場合と同じ形状がわかります。 一方、通常の幾何学的図形 (フラクタルではない) の場合、拡大すると、元の図形自体よりも単純な形状の詳細が表示されます。 たとえば、十分に高い倍率では、楕円の一部が直線セグメントのように見えます。 フラクタルではこれは起こりません。フラクタルが増加すると、再び同じ複雑な形状が表示され、増加するたびに何度も繰り返されます。

フラクタル科学の創始者であるブノワ・マンデルブロは、彼の記事「フラクタルと科学という名の芸術」の中で次のように書いています。全体のサイズに拡大すると、正確に、またはおそらくわずかに変形して、全体として表示されます。」

定理 1.5 閉領域を考慮する D関数指定 z=z(x,y)、一次の連続偏導関数を持ちます。 国境 G地域 D区分的に滑らかです (つまり、「触ると滑らかな」曲線または直線の部分で構成されます)。 それからエリア内で D関数 z(x,y)最大に達する Mそして少なくとも メートル価値観。

証拠はありません。

下記のプランをご提案させていただきます。 Mそして メートル.
1. 図面を作成し、エリア境界のすべての部分を選択します Dそして境界線のすべての「コーナー」ポイントを見つけます。
2. 内部の静止点を見つける D.
3. 各境界上の静止点を見つけます。
4. すべての静止点とコーナー点で計算し、最大のものを選択します。 Mそして少なくとも メートル意味。

例 1.14 最大のものを見つける Mそして少なくとも メートル関数値 z= 4x​​2-2xy+y2-8x閉鎖されたエリアで D、 限定： バツ= 0、y = 0、4x+3y=12 .

1.エリアを作ろう D(図 1.5) 飛行機上 おおおお.

コーナーポイント: O (0; 0)、B (0; 4)、A (3; 0).

国境 G地域 D次の 3 つの部分で構成されます。

2. 領域内の静止点を見つける D:

3. 境界上の静止点 l 1、l 2、l 3:

4. 6 つの値を計算します。

例

例1.

この関数は変数のすべての値に対して定義されています バツそして yただし、原点では分母がゼロになります。

多項式 x 2 +y 2はどこでも連続であるため、連続関数の平方根は連続です。

分数は、分母がゼロの点を除いてどこでも連続します。 つまり、考慮中の関数は座標平面全体で連続です おおおお、原点を除きます。

例2。

関数の連続性を調べる z=tg(x,y)。 正接は、奇数の数量に等しい値を除き、引数のすべての有限値に対して定義され、連続的です。 π /2 、つまり 以下の点を除きます。

固定ごとに 「き」方程式 (1.11) は双曲線を定義します。 したがって、考慮中の関数は連続関数です バツそしてy、曲線上にある点は除きます (1.11)。

例 3.

関数の偏導関数を求める u=z -xy、z > 0.

例4.

その関数を表示する

恒等式を満たす：

– この等式はすべての点に対して有効です M(x;y;z)という点を除いて M 0 (a;b;c).

2 つの独立変数の関数 z=f(x,y) を考えて、部分変数の幾何学的意味を確立してみましょう。 z"x =f"x(x,y)そして z" y =f" y(x,y).

この場合、方程式は z=f(x,y)ある曲面の方程式があります (図 1.3)。 平面を描いてみよう y= 定数。 この表面の断面では z=f(x,y)あなたはいくつかのラインを取得します l1量だけが変化する交差点 バツそして z.

偏導関数 z"x(その幾何学的意味は、1 つの変数の関数の導関数の既知の幾何学的意味から直接得られます) は、角度の正接に数値的に等しいです。 α 軸に対する傾き おお、接線 L1カーブに向かって l1結果として表面の一部が得られます z=f(x,y)飛行機 y= 定数時点で M(x,y,f(xy)): z" x = Tanα.

表面の断面では z=f(x,y)飛行機 バツ= 定数交線が得られます l 2、それに沿って量だけが変化します でそして z。 次に、偏導関数 z"y数値的には角度の正接に等しい β 軸に対して傾く OU、接線 L2指定された行に l 2ある点の交差点 M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ.

例5。

軸に対してどのような角度を成しますか? おお線の接線:

時点で M(2,4,5)?

変数に関する偏導関数の幾何学的意味を使用します。 バツ(一定の で):

例6。

(1.31) によると:

例7。

方程式があると仮定すると、

関数を暗黙的に定義します

探す z"x、z"y.

したがって、(1.37) に従って、答えが得られます。

例8.

極限まで探索してください:

1. システム (1.41) を解くことによって静止点を見つけます。

つまり、4 つの静止点が見つかります。
2.

定理 1.4 により、最小値が存在します。

さらに

4. 6 つの値を計算します。

得られた6つの値から最大値と最小値を選択します。

参考文献:

ü Belko I.V.、Kuzmich K.K. 経済学者のための高等数学。 Iセメスター：エクスプレスコース。 – M.: 新しい知識、2002. – 140 p.

ü Gusak A.A.. 数学的解析と微分方程式. – Mn.: TetraSystems, 1998. – 416 p.

ü Gusak A. A.. 高等数学。 大学生向けの教科書で全2巻。 – Mn.、1998. – 544 p. (1巻)、448ページ。 (2巻)。

ü Kremer N. Sh.、Putko B. A.、Trishin I.M.、Fridman M. N. 経済学者のための高等数学: 大学向け教科書 / 編 教授 N. Sh. Kremer. – M.: UNITI、2002. – 471 p.

ü Yablonsky A.I.、Kuznetsov A.V.、Shilkina E.I. など高等数学。 一般コース：教科書／一般中。 編 S. A. サマル – 名: ヴィシュ。 学校、2000年。 – 351ページ。

関数 $z=f(x,y)$ が定義され、ある有界な閉じた領域 $D$ 内で連続的であるとします。 この領域の指定された関数が一次の有限偏導関数を持つものとします (おそらく、有限数の点を除く)。 指定された閉領域内の 2 つの変数の関数の最大値と最小値を見つけるには、単純なアルゴリズムの 3 つのステップが必要です。

クリティカルポイントとは何ですか? 表示/非表示

下 重要なポイント両方の一次偏導関数がゼロに等しい点を意味します (つまり $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ および $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $)または、少なくとも 1 つの偏導関数が存在しません。

多くの場合、一次偏導関数がゼロに等しい点は、 静止点。 したがって、静止点は臨界点のサブセットです。

例その1

線$x=3$、$y=0$、$y=xで囲まれた閉領域内の関数$z=x^2+2xy-y^2-4x$の最大値と最小値を求めます。 +1ドル。

上記に従っていきますが、最初に、文字 $D$ で示す特定の領域の描画を扱います。 この領域を制限する 3 つの直線の方程式が与えられます。 直線 $x=3$ は、縦軸 (Oy 軸) に平行な点 $(3;0)$ を通ります。 直線$y=0$は横軸(Ox軸)の方程式です。 さて、線 $y=x+1$ を作成するには、この線を引く 2 つの点を見つけます。 もちろん、$x$ の代わりに、いくつかの任意の値を代入することもできます。 たとえば、$x=10$ を代入すると、$y=x+1=10+1=11$ となります。 直線 $y=x+1$ 上にある点 $(10;11)$ が見つかりました。 ただし、直線 $y=x+1$ が線 $x=3$ および $y=0$ と交差する点を見つける方がよいでしょう。 なぜこの方が良いのでしょうか? なぜなら、直線 $y=x+1$ を作成するための 2 つの点を取得し、同時にこの直線が指定された領域を制限する他の線とどの点で交差するかを調べることになるため、一石二鳥だからです。 線分 $y=x+1$ は点 $(3;4)$ で線分 $x=3$ と交差し、線分 $y=0$ は点 $(-1;0)$ で交差します。 解答の進行が補助的な説明でごちゃごちゃにならないように、この2点を求める問題をメモに残しておきます。

ポイント $(3;4)$ と $(-1;0)$ はどのように取得されたのでしょうか? 表示/非表示

線 $y=x+1$ と $x=3$ の交点から始めましょう。 目的の点の座標は 1 番目と 2 番目の直線の両方に属しているため、未知の座標を見つけるには、連立方程式を解く必要があります。

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

このようなシステムの解決策は自明です。最初の方程式に $x=3$ を代入すると、$y=3+1=4$ が得られます。 点 $(3;4)$ は、線 $y=x+1$ と $x=3$ の望ましい交点です。

ここで、線 $y=x+1$ と $y=0$ の交点を見つけてみましょう。 もう一度連立方程式を作成して解いてみましょう。

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

$y=0$ を最初の方程式に代入すると、$0=x+1$、$x=-1$ が得られます。 点 $(-1;0)$ は、線 $y=x+1$ と $y=0$ (x 軸) の望ましい交点です。

次のような図面を作成する準備がすべて整いました。

写真にはすべてが表示されているため、メモの問題は明白に思えます。 ただし、図面は証拠として機能しないことに注意してください。 図面は説明のみを目的としています。

私たちのエリアは、それを境界付ける直線方程式を使用して定義されました。 明らかに、これらの線は三角形を定義しますよね? それとも全く明らかではないのでしょうか？ あるいは、同じ線で囲まれた別の領域が与えられるかもしれません。

もちろん、条件ではそのエリアは閉鎖されているため、表示されている写真は間違っています。 ただし、このような曖昧さを避けるには、不等式によって領域を定義する方が良いでしょう。 直線 $y=x+1$ の下にある平面の部分に興味があるでしょうか? OK、$y ≤ x+1$ です。 私たちのエリアは $y=0$ の線より上にあるべきでしょうか? なるほど、$y ≥ 0$ ということですね。 ちなみに、最後の 2 つの不等式は、$0 ≤ y ≤ x+1$ という 1 つに簡単に組み合わせることができます。

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

これらの不等式は領域 $D$ を定義し、曖昧さを許すことなく明確に定義します。 しかし、これがメモの冒頭で述べた質問にどのように役立つでしょうか? これも役立ちます:) 点$M_1(1;1)$が領域$D$に属しているかどうかを確認する必要があります。 この領域を定義する不等式に $x=1$ と $y=1$ を代入してみましょう。 両方の不等式が満たされる場合、点は領域内にあります。 少なくとも 1 つの不等式が満たされない場合、その点はその領域に属しません。 それで：

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

どちらの不等式も有効です。 点 $M_1(1;1)$ は領域 $D$ に属します。

次に、領域の境界における関数の動作を研究します。 に行きましょう 。 まずは直線 $y=0$ から始めましょう。

直線 $y=0$ (横軸) は、条件 $-1 ≤ x ≤ 3$ の下で領域 $D$ を制限します。 与えられた関数 $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ に $y=0$ を代入してみましょう。 代入の結果得られる 1 つの変数 $x$ の関数を $f_1(x)$ と表記します。

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x。 $$

ここで、関数 $f_1(x)$ については、区間 $-1 ≤ x ≤ 3$ の最大値と最小値を見つける必要があります。 この関数の導関数を見つけて、それをゼロにしましょう。

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

値 $x=2$ はセグメント $-1 ≤ x ≤ 3$ に属しているため、$M_2(2;0)$ も点のリストに追加します。 さらに、セグメント $-1 ≤ x ≤ 3$ の端にある関数 $z$ の値を計算してみましょう。 点$M_3(-1;0)$と$M_4(3;0)$です。 ちなみに、点 $M_2$ が検討中のセグメントに属していない場合は、当然のことながら、そのセグメント内の関数 $z$ の値を計算する必要はありません。

そこで、$M_2$、$M_3$、$M_4$の点における関数$z$の値を計算してみましょう。 もちろん、これらの点の座標を元の式 $z=x^2+2xy-y^2-4x$ に代入することもできます。 たとえば、点 $M_2$ の場合、次のようになります。

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

ただし、計算は少し簡略化することができます。 これを行うには、セグメント $M_3M_4$ に $z(x,y)=f_1(x)$ があることを覚えておく価値があります。 これを詳しく書きます：

\begin(整列) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3。 \end(整列)

もちろん、通常はそのような詳細な記録は必要ありません。将来的には、すべての計算を簡単に書き留めることにします。

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

さて、直線$x=3$に目を向けてみましょう。 この直線は、条件 $0 ≤ y ≤ 4$ の下で領域 $D$ を制限します。 与えられた関数 $z$ に $x=3$ を代入してみましょう。 この置換の結果、関数 $f_2(y)$ が得られます。

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3。 $$

関数 $f_2(y)$ の場合、区間 $0 ≤ y ≤ 4$ の最大値と最小値を見つける必要があります。 この関数の導関数を見つけて、それをゼロにしましょう。

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

値 $y=3$ はセグメント $0 ≤ y ≤ 4$ に属しているため、以前に見つかった点に $M_5(3;3)$ も追加します。 さらに、線分 $0 ≤ y ≤ 4$ の端の点における関数 $z$ の値を計算する必要があります。 点 $M_4(3;0)$ と $M_6(3;4)$ です。 $M_4(3;0)$ の時点で、$z$ の値がすでに計算されています。 点 $M_5$ と $M_6$ における関数 $z$ の値を計算してみましょう。 セグメント $M_4M_6$ には $z(x,y)=f_2(y)$ があるため、次のようになります。

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5。 \end(整列)

そして最後に、領域 $D$ の最後の境界、つまり 直線$y=x+1$。 この直線は、条件 $-1 ≤ x ≤ 3$ の下で領域 $D$ を制限します。 $y=x+1$ を関数 $z$ に代入すると、次のようになります。

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1。 $$

もう一度、1 つの変数 $x$ の関数があります。 そして再び、区間 $-1 ≤ x ≤ 3$ でこの関数の最大値と最小値を見つける必要があります。 関数 $f_(3)(x)$ の導関数を見つけて、それをゼロと等価にしてみましょう。

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

値 $x=1$ は、区間 $-1 ≤ x ≤ 3$ に属します。 $x=1$ の場合、$y=x+1=2$ となります。 $M_7(1;2)$ を点のリストに追加し、この時点での関数 $z$ の値を調べてみましょう。 セグメント $-1 ≤ x ≤ 3$ の端の点、つまり 点 $M_3(-1;0)$ と $M_6(3;4)$ は以前に考慮されており、それらの関数の値はすでに見つかりました。

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

解決策の 2 番目のステップが完了しました。 7 つの値を受け取りました。

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

話を戻しましょう。 3 番目の段落で取得した数値から最大値と最小値を選択すると、次のようになります。

$$z_(分)=-4; \; z_(最大)=6.$$

問題は解決したので、あとは答えを書き留めるだけです。

答え: $z_(分)=-4; \; z_(最大)=6$。

例その2

$x^2+y^2 ≤ 25$ の範囲で関数 $z=x^2+y^2-12x+16y$ の最大値と最小値を求めます。

まず、図面を作成しましょう。 方程式 $x^2+y^2=25$ (これは指定された領域の境界線です) は、原点 (つまり、点 $(0;0)$) を中心とし、半径が5. 不等式 $x^2 +y^2 ≤ $25 は、言及された円の内側および上のすべての点を満たします。

に従って行動させていただきます。 偏導関数を求めて臨界点を見つけてみましょう。

$$ \frac(\部分 z)(\部分 x)=2x-12; \frac(\部分 z)(\部分 y)=2y+16。 $$

求められた偏導関数が存在しない点はありません。 両方の偏導関数が同時にゼロに等しくなる点を調べてみましょう。 静止点を見つけてみましょう。

$$ \left \( \begin(整列) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(整列) \right. \;\; \left \( \begin(整列) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned)\right.$$

静止点 $(6;-8)$ を取得しました。 ただし、見つかった点は領域 $D$ に属しません。 これは、描画に頼らなくても簡単に示すことができます。 領域 $D$ を定義する不等式 $x^2+y^2 ≤ 25$ が成り立つかどうかを確認してみましょう。 $x=6$、$y=-8$ の場合、$x^2+y^2=36+64=100$、つまり 不等式 $x^2+y^2 ≤ 25$ は成り立ちません。 結論: 点 $(6;-8)$ は領域 $D$ に属しません。

したがって、領域 $D$ 内には臨界点はありません。 次に進みましょう... 与えられた領域の境界における関数の動作を研究する必要があります。 円 $x^2+y^2=25$ 上で。 もちろん、$y$ を $x$ で表現し、その結果の式を関数 $z$ に代入することもできます。 円の方程式から $y=\sqrt(25-x^2)$ または $y=-\sqrt(25-x^2)$ が得られます。 たとえば、指定された関数に $y=\sqrt(25-x^2)$ を代入すると、次のようになります。

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5。 $$

さらなる解決策は、前の例 1 の領域の境界における関数の動作の研究と完全に同じになります。 ただし、この状況ではラグランジュ法を適用する方が合理的であるように私には思えます。 このメソッドの最初の部分のみに注目します。 ラグランジュ法の最初の部分を適用した後、関数 $z$ の最小値と最大値を調べる点を取得します。

ラグランジュ関数を作成します。

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2) -25)。 $$

ラグランジュ関数の偏導関数を見つけて、対応する連立方程式を構成します。

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\ラムダ x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\ラムダ y.\\ \left \( \begin (整列) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(整列) \ right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end(整列)\right.$$

この系を解くために、$\lambda\neq -1$ をすぐに指摘しましょう。 なぜ $\lambda\neq -1$ なのでしょうか? $\lambda=-1$ を最初の方程式に代入してみましょう。

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6。 $$

結果として生じる矛盾 $0=6$ は、値 $\lambda=-1$ が受け入れられないことを示します。 出力: $\lambda\neq -1$。 $x$ と $y$ を $\lambda$ で表現してみます。

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\ラムダ)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda)。 \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\ラムダ)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\ラムダ)。 \end(整列)

$\lambda\neq -1$ という条件を特に規定した理由がここで明らかになるかと思います。 これは、式 $1+\lambda$ を干渉することなく分母に当てはめるために行われました。 つまり、分母が $1+\lambda\neq 0$ であることを確認します。

$x$ と $y$ の結果の式をシステムの 3 番目の方程式に代入してみましょう。 $x^2+y^2=25$ で:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\ラムダ)^2)+\frac(64)((1+\ラムダ)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\ラムダ)^2)=25 ; \; (1+\ラムダ)^2=4。 $$

結果の等価性から、$1+\lambda=2$ または $1+\lambda=-2$ となります。 したがって、パラメータ $\lambda$ には 2 つの値、つまり $\lambda_1=1$、$\lambda_2=-3$ があります。 したがって、$x$ と $y$ の 2 つのペアの値が得られます。

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4。 \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4。 \end(整列)

したがって、可能な条件付き極値の 2 つの点が得られました。 $M_1(3;-4)$ と $M_2(-3;4)$。 関数 $z$ の点 $M_1$ と $M_2$ の値を見つけてみましょう。

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125。 \end(整列)

最初のステップと 2 番目のステップで取得した値から最大値と最小値を選択する必要があります。 しかし、この場合、選択肢は少ないです:) 次のものがあります。

$$ z_(分)=-75; \; z_(最大)=125。 $$

答え: $z_(分)=-75; \; z_(最大)=$125。

実用的な観点から見ると、最も興味深いのは、導関数を使用して関数の最大値と最小値を見つけることです。 これは何と関係があるのでしょうか？ 利益の最大化、コストの最小化、設備の最適な負荷の決定...言い換えれば、生活の多くの分野で、いくつかのパラメーターを最適化するという問題を解決する必要があります。 そして、これらは関数の最大値と最小値を見つけるタスクです。

関数の最大値と最小値は通常、関数の領域全体または定義領域の一部である特定の間隔 X で求められることに注意してください。 区間 X 自体はセグメント、つまり開いた区間にすることができます。 、無限の間隔。

この記事では、1 つの変数 y=f(x) の明示的に定義された関数の最大値と最小値を見つける方法について説明します。

ページナビゲーション。

主な定義を簡単に見てみましょう。

関数の最大値 それは誰にとっても 不平等は真実です。

区間 X 上の関数 y=f(x) の最小値は次のような値です それは誰にとっても 不平等は真実です。

これらの定義は直観的です。関数の最大 (最小) 値は、横軸で考慮されている区間で許容される最大 (最小) 値です。

静止点は、関数の導関数がゼロになる引数の値です。

最大値と最小値を見つけるときに静止点が必要なのはなぜですか? この質問に対する答えは、フェルマーの定理によって得られます。 この定理から、微分可能関数がある点で極値 (極小値または極大値) を持つ場合、その点は定常であることがわかります。 したがって、関数は多くの場合、間隔 X の静止点の 1 つで、この間隔の最大 (最小) 値を取得します。

また、関数は、この関数の一次導関数が存在せず、関数自体が定義されている時点で最大値と最小値を取ることがよくあります。

このトピックに関する最も一般的な質問の 1 つである「関数の最大 (最小) 値を決定することは常に可能ですか?」にすぐに答えてみましょう。 いいえ、いつもではありません。 場合によっては、区間 X の境界が関数の定義域の境界と一致するか、区間 X が無限になることがあります。 また、無限大および定義領域の境界にある一部の関数は、無限に大きい値と無限に小さい値の両方を取ることができます。 このような場合、関数の最大値と最小値については何も言えません。

わかりやすくするために、図解を示します。 写真を見れば、多くのことがより明らかになるでしょう。

セグメント上

最初の図では、関数はセグメント [-6;6] 内にある静止点の最大値 (最大 y) と最小値 (最小 y) を取得します。

2 番目の図に示されているケースを考えてみましょう。 セグメントを に変更しましょう。 この例では、関数の最小値は静止点で得られ、最大値は横軸が区間の右境界に対応する点で得られます。

図 3 では、セグメント [-3;2] の境界点は、関数の最大値と最小値に対応する点の横座標です。

開いた間隔で

4 番目の図では、関数は開いた区間 (-6;6) 内にある静止点で最大値 (最大 y) と最小値 (最小 y) を取得します。

区間 では、最大値について結論を引き出すことはできません。

無限遠で

7 番目の図に示す例では、関数は横座標 x=1 の静止点で最大値 (max y) をとり、最小値 (min y) は区間の右側の境界で得られます。 マイナス無限大では、関数値は y=3 に漸近します。

間隔全体にわたって、関数は最小値にも最大値にも到達しません。 右から x=2 に近づくにつれて関数値はマイナス無限大に近づく傾向があり (直線 x=2 は垂直方向の漸近線です)、横軸がプラス無限大に近づくにつれて関数値は y=3 に漸近します。 この例を図示したものを図 8 に示します。

セグメント上の関数の最大値と最小値を見つけることができるアルゴリズムを書いてみましょう。

セグメント上の関数の最大値と最小値を見つける例を解決するためのアルゴリズムを分析してみましょう。

例。

関数の最大値と最小値を見つける

• セグメント上で;
• セグメント [-4;-1] 上。

解決。

関数の定義範囲は、ゼロを除く実数のセット全体です。 どちらのセグメントも定義ドメイン内に収まります。

以下に関する関数の導関数を求めます。

明らかに、関数の導関数はセグメントと [-4;-1] のすべての点に存在します。

方程式から静止点を決定します。 唯一の実根は x=2 です。 この静止点は最初のセグメントに分類されます。

最初のケースでは、セグメントの端と静止点、つまり x=1、x=2、x=4 の関数の値を計算します。

したがって、関数の最大値は、 x=1 で達成され、最小値になります。 – x=2の場合。

2 番目のケースでは、セグメント [-4;-1] の端でのみ関数値を計算します (単一の静止点が含まれていないため)。

解決。

関数のドメインから始めましょう。 分数の分母の二乗三項式が消えてはいけません。

問題ステートメントのすべての区間が関数の定義領域に属していることを確認するのは簡単です。

関数を微分してみましょう。

明らかに、導関数は関数の定義領域全体にわたって存在します。

静止点を見つけてみましょう。 導関数は でゼロになります。 この静止点は、間隔 (-3;1] と (-3;2) 内にあります。

各ポイントで得られた結果を関数のグラフと比較できるようになりました。 青い点線は漸近線を示します。

この時点で、関数の最大値と最小値を見つけることで終了できます。 この記事で説明するアルゴリズムを使用すると、最小限のアクションで結果を得ることができます。 ただし、最初に関数の増加と減少の間隔を決定し、その後でのみ、任意の間隔での関数の最大値と最小値について結論を導き出すと便利な場合があります。 これにより、結果の全体像がより明確になり、厳密な根拠が得られます。

§ いくつかの変数の関数の極値、最大値と最小値 - ページ番号 1/1

ドット
呼ばれた 最高点機能
何かの点でしたら

不平等が成立する

.

同様のポイント
呼ばれた 最小点機能
何かの点でしたら
ある点の近くから
不平等が成立する

.

ノート。 1) 定義によれば、関数は
点の近傍で定義する必要があります
。 それらの。 関数の最大点と最小点
存在できるのは領域の内部点のみです
.

2) 点の近傍がある場合
、どの点についても
と違う
不平等が成立する

(

）、次にポイント
呼ばれた 厳密な最高点（それぞれ 厳密な最低点） 機能
。 これに関連して、上記で定義された最大点および最小点は、非厳密な最大点および最小点と呼ばれることもあります。

極値の概念は本質的に局所的なものであり、ある点における関数の値です。
かなり近い点で関数値と比較されます。 特定の領域では、関数に極値がまったくない場合もあれば、いくつかの極小値、極大値、さらにはその両方が無限に存在する場合もあります。 さらに、一部の最小値は一部の最大値よりも大きくなる場合があります。 関数の最大値と最小値をその最大値と最小値と混同しないでください。

極値の必要条件を見つけてみましょう。 たとえば、次のようにしましょう。
– 関数の最大点
。 次に、定義により、点の近傍に gif" align=absmiddle width="17px" height="18px"> があります。
そのような
あらゆる点で
この付近から。 特に、

(1)

どこ
,
、 そして

(2)

どこ
,
。 ただし、(1) は 1 つの変数の関数を意味します
要点にある 最大値または間隔内にある
絶え間ない。 したがって、

または
- 存在しない、

⇒
または
- 存在しない。

同様に (2) から次のことが得られます。

または
- 存在しない。

したがって、次の定理が成り立ちます。

定理8.1。 (極値の必要条件)。 関数の場合
時点で
に極値がある場合、この時点でその 1 次偏導関数が両方とも 0 に等しいか、これらの偏導関数の少なくとも 1 つが存在しません。

幾何学的に、定理 8.1 は次のことを意味します。
– 関数の極値点
の場合、その点におけるこの関数のグラフの接平面は、その平面に平行であるか、
、またはまったく存在しません。 これを検証するには、表面に対する接平面の方程式の求め方を覚えておくだけで十分です (式 (4.6) を参照)。

定理 8.1 の条件を満たす点を と呼びます。 重要なポイント機能
。 1 つの変数の関数と同様に、極値に必要な条件は十分ではありません。 それらの。 関数のすべての臨界点がその極値点になるわけではありません。

例。機能を考えてみる
。 ドット
は、この時点でその 1 次偏導関数の両方が存在するため、この関数にとって重要です。
そして
はゼロに等しい。 ただし、極端な点にはなりません。 本当に、
ただし、ポイントの付近では
関数が正の値をとる点と負の値をとる点があります。 これは、関数のグラフ (双曲放物面) を作成すると簡単に検証できます。

2 変数の関数の場合、最も便利な十分条件は次の定理によって与えられます。

定理8.2. (2 変数関数の極値の十分条件)。 させて
– 機能の重要なポイント
そしてポイントの近くのどこかで
この関数には 2 次までの連続偏導関数があります。 と表しましょう

,
,
.

次に、1) の場合
、次にポイントします
は極値点ではありません。


定理 8.2 を使って臨界点を調べると
失敗した（つまり、
または関数が近傍にまったくポイントを持たない
必要な次数の連続偏導関数)、ある点での存在に関する質問への答え
extremum は、この時点での関数の増分の符号を示します。

実際、定義から、次のことがわかります。
要点にある
厳密な最大値

すべてのポイントについて
ある点の近くから
、 もしくはそうでないか

すべて十分に小さい
そして
。 同様に、次の場合も
は厳密な最小値の点であり、すべての点で十分に小さい
そして
不平等は満たされるだろう
.

したがって、臨界点かどうかを確認するには、
極値点に到達するには、この点での関数の増分を調べる必要があります。 すべてが十分に小さければ
そして
符号を保存し、その時点で
関数には厳密な極値 (次の場合の最小値) があります。
、および最大の場合
).

コメント。 このルールは非厳密な極値には引き続き当てはまりますが、一部の値については次のような修正が加えられています。
そして
関数の増分はゼロになります
例。 関数の極値を求める：

1)
; 2)
.

重要な点を検討するために、定理 8.2 を適用します。 我々は持っています：

,
,
.

要点を探ってみましょう
:

,
,
,

;
.

したがって、その時点で、
この関数には最小値があります。
.

臨界点を探る
:

,
,
,


.

したがって、2 番目の臨界点は関数の極値点ではありません。

臨界点を研究するために、定理 8.2 を適用します。 我々は持っています：

,
,
,

,
,
,

.

ある点での極値の有無を判断する
定理 8.2 の使用は失敗しました。

この時点での関数の増分の符号を調べてみましょう。
:

もし
、 それ
;

もし
、 それ
.

なぜなら
点の近傍の符号を保持しません
の場合、この時点では関数には極値がありません。

.

同様に、その点での関数の値は
呼ばれた 一番小さい何かの点でしたら
地域から
不平等が成立する

.

先ほど、関数が連続であり、面積が
– が閉じていて制限されている場合、関数はこの領域の最大値と最小値を取得します。 同時にポイントも
そして
両方のエリア内に横たわることができます
、そしてその国境にあります。 ポイントなら
（または
) 領域内にあります
、この場合、これは関数の最大 (最小) 点になります。
、つまり 領域内の関数の臨界点
。 したがって、関数の最大値と最小値を見つけるには
エリア内
次のことが必要です:
.