多重積分（問題と演習）。重積分平面図形の重心座標

デフ . させて、
,

.

セットは、閉区間または閉バーと呼ばれます。 .

この集合は開区間と呼ばれます

またはオープンビーム .

デフ . 間隔の測定そして量は次のように呼ばれます。

（より正確に
).

デフ . もし
そのような
それから間隔退化と呼ばれるものであり、
.

ギャップ測定のプロパティ:

A)。陽性：
、そして
そのとき、そのときだけ – 退化する。

b）。正の均一性: 。

Ⅴ）。相加性:

* のために
そのような
;

* のために
そして

.

G)。メジャーの単調性: 。

デフ . ビームの直径 (ギャップ) は次の値です。

ご了承ください
そして
– これは同じものではありません。たとえば、次の場合 – 退化すると、
、あ
（一般的に言えば）。

ここで: * ;

* ;*
.

デフ . 全体性
間隔のサブスパンインターバルパーティションと呼ばれる、もし： *;

*
; *
; *
; *
.

マグニチュード
パーティションパラメータと呼ばれる P(ここで
).

デフ . 分割パーティションリファインメントと呼ばれる、パーティションのすべての要素の場合パーティション要素を分割することによって取得される .

示されるもの:
。読み取り: 小さいまたはより大きな .

「大きい方 – 小さい方」の比率については、次のことが当てはまります。

*。推移性 – ; *。
;

*.

; *.

|
.

§. 重積分の定義

させて
– 木材（隙間） ,
– ギャップを区切る私。パーティションの各間隔で点をマークします
.

我々が得る
マークされたポイントを持つパーティション
.

マグニチュード
関数のリーマン積分和と呼ばれます f (バツ) 間隔で私マークされたポイントのあるパーティションごと
.

デフ :
=
=
.

指定する – ビームに統合された多くの機能私かきましょう：

デフ : ε > 0 δ>0<.

機能の場合 f(バツ）の上私とパーティション
- で表す
– 関数の最大値と最小値 f(バツ）の上私 kそれから値
=
そして
=
はダルブー下和と上ダルブー和と呼ばれます。

§. 重積分の存在に関するダルブー基準.

T 0 . 機能するために
梁に組み込まれていました（それらの。
) は必要かつ十分であるため、

. Δ▲.

ユークリッド空間におけるビーム上の関数の積分が定義されます。ユークリッド空間から任意の有界集合にわたって関数を統合するにはどうすればよいでしょうか?

関数の積分を定義しましょう f 多くの人によって
.

デフ : させて
そして
– 限定的、つまり
。関数
集合の特性関数を呼びます M.

それから：
≡
.

集合積分の定義は、どのビームが含まれるかには依存しません。 M選択された、つまり

.

これは、集合に対する積分の定義が正しいことを意味します。

統合可能性の必要条件。機能するために f(バツ）の上 M統合可能であることが必要です f(バツ）に限定されていました M. Δ▲.

§. 多重積分の性質。

1  . 直線性: 多く R Mセットに統合可能な機能 M –線形

スペース、そして
– 線形関数。

2  . 正規化条件:
。別のエントリー形式
基本的に、ユークリッド空間から任意のセットの尺度を決定します。

3  . ルベーグ測度ゼロの集合にわたる積分が存在する場合、

ゼロに等しい。

注記：たくさんの Mはルベーグ測度ゼロの集合と呼ばれます、

もし

そのような
そして
.

4  . A.;b.;

V.もし
そして – ゼロから区切られる M、それ

5  .
そして f=g PV (ほぼどこでも) M、それ
.

6  . 相加性: If
そして
それ

一般的に：
.

Δ。等式から次のようになります。▲

7  . 単調：
そして
それ
.

8  . 不等式の積分: if
伊藤

9  . させて

。するために
、セットの内部点があることが必要かつ十分です。 Mここで、 f (バツ) > 0 かつ連続的。

10  . 統合可能な機能モジュールの統合性:
.

11  . 平均値定理:
,
の上 Mサインを保存し、
、それ

セットなら M– 一貫性があり、 f(バツ) – 連続オン
それ
そのような
.

12  . 非負関数の積分が 0 になるには

～するために必要かつ十分な f(バツ) = 0 ほぼどこでも M.

13  . フビニの定理。二重積分の場合:

地域にしましょう
- 長方形:。次に、内部単一積分が存在する場合、二重積分を見つけるために、繰り返し積分に進むことができます (図 a を参照)。

、または

積分領域が長方形でない場合でも、フビニの定理は有効であり、次の形式になります (図 b を参照)。

. (*)

注記：積分の外部限界は定数でなければなりませんが、積分の内部限界は積分がまだ実行されていない変数に依存する場合があります。

式(*)は設定された特性関数を使用して求めることができます D.

重積分の場合:

Let とユークリッド空間の一部の部分集合そして。ユークリッド空間の部分集合であるこれらの集合のデカルト積を定義しましょう
:.

次にフビニの定理
の形式は次のとおりです。
.

この定理はビームにも当てはまりますバツそして Y、より複雑な構成の場合。

例:

1 0 . 計算する
、エリアの境界の場合
方程式で与えられます。

。領域の境界を定義する曲線の交点を見つけると、次の 2 つの点が得られます。

そして

。次に、反復積分に渡すときの積分限界の考えられる配置は次のようになります。

A)。
;

0 . 反復積分の積分の順序を変更します。

–

レシピ：二重積分で積分限界を設定する場合は、外側の積分限界から始めることをお勧めします。

0 . 計算します:

、もし

反復積分に渡すと次が得られます。
.

同時に、三重積分では、極限の設定は積分の内部極限から始めなければなりません。次にエリアを投影します V飛行機へ xOy

地域内に制限を設ける D– 飛行機の中で横たわっている xOy.

4 0 . 反復積分の積分の順序を変更します。
.

多重積分

平面上、三次元上、または、ある領域で指定された関数の積分 n-次元空間。 Kさんの中には。二重積分、三重積分などを区別します。 n-多重積分。

機能させましょう f(x、y) が一部の地域で与えられています。 D飛行機 ×オイ。エリアを分けてみましょう Dの上 n部分領域私、面積が等しい私、エリアごとに選ぶ私はポイント（ ξi, η i）（cm。米。 ) を計算し、整数和を計算します。

部分領域の最大直径を無制限に縮小した場合私は金額 Sポイントの選択に関係なく制限があります ( ξi, η i)、この制限は関数の二重積分と呼ばれます。 f(x、y）地域別 Dと示します

三重積分も同様に定義され、一般に次のようになります。 n-多重積分。

二重積分が存在するためには、たとえば、次の領域で十分です。 Dは閉じた二乗可能な領域 (二乗可能な領域を参照) であり、関数 f(x、y）は連続していました D. Kさんと。単純な積分のプロパティに似たプロパティが多数あります。 . Kを計算するには、と。通常は、反復積分になります (反復積分を参照)。 K. の情報に関する特別な場合と。グリーンの公式とオストログラツキーの公式は、低次元の積分として機能します。 Kさんと。物体の体積、質量、静的モーメント、慣性モーメントなどを表現するために使用されます。

ソビエト大百科事典。 - M.: ソビエト百科事典. 1969-1978 .

他の辞書で「重積分」が何であるかを確認してください。

複数の変数の関数の積分。これは、1 つの変数の関数の定積分と同様に、積分和を使用して決定されます (積分計算を参照)。変数の数に応じて、ダブル、トリプル、n... があります。大百科事典

複数の変数の関数の定積分。 K.やのコンセプトは色々あります。 (リーマン積分、ルベーグ積分、ルベーグスティルチェス積分など)。多重リーマン積分はジョルダン測度に基づいて導入されます。E をジョルダン可測とします... ... 数学百科事典

数学的解析では、倍数または多重積分は、変数から取得された一連の積分です。次に例を示します。注: 多重積分は定積分であり、その計算の結果は常に数値になります。目次 1... ...ウィキペディア

複数の変数の関数の積分。これは、1 つの変数の関数の定積分と同様に、積分和を使用して決定されます (積分計算を参照)。変数の数に応じて、ダブル、トリプル、n... があります。百科事典

複数の変数の関数の積分。同様に定義された整数和を使用して決定されます。 1 変数の関数の積分 (積分計算を参照)。変数の数に応じて、ダブル、トリプル、イ……などがあります。自然科学。百科事典

注: この記事で記号が使用されている箇所は、特に明記されていない限り、(倍数) リーマン積分を意味します。この記事のどこでも、集合の可測性について話している場合は、そうでない場合でも、ヨルダンの可測性を意味します... ... ウィキペディア

次の形式の多重積分。これは、三角関数の和の係数の 2k 次の平均値です。この積分の値に関するヴィノグラドフの定理、平均値定理は、ワイル和の推定の基礎となります。文学ヴィノグラドヴァインテル... ウィキペディア

図形の面積としての定積分この用語には他の意味もあります。積分 (意味) を参照してください。関数の積分 ... Wikipedia

異なる変数を順次積分する積分、つまり次の形式の積分。 (1) 関数 f(x, y) は、空間 X と Y の直積 XX Y にある集合 A 上に定義され、ここで、 s には有限メジャー mx と my が与えられます。数学百科事典

平面または空間上の任意の曲線に沿って取られた積分。 Kとあります。 1種目と2種目。 Kさんと。タイプ 1 は、たとえば、可変密度曲線の質量を計算する問題を考慮するときに発生します。指定されています…… ソビエト大百科事典

注意: 積分区間内の特異点を含む不適切な積分を計算する場合、エラーが発生する可能性があるため、ニュートン・ライプニッツの公式を機械的に適用することはできません。

原則：ニュートン・ライプニッツの公式は、次の逆導関数が正しい場合に正しいです。 f(x)後者の特異点では連続です。

例2.11。

特異点 x = 0 の不適切な積分を考えてみましょう。ニュートン・ライプニッツの公式を形式的に適用すると、次のようになります。

ただし、一般規則はここでは適用されません。 f(x) = 1/x の場合、逆微分 ln |x| は x = 0 では定義されておらず、この時点では無限に大きくなります。この時点では連続していません。積分が発散することは直接検証によって簡単に検証できます。本当に、

e と d は独立してゼロになる傾向があるため、結果として生じる不確実性はさまざまな方法で明らかになります。特に、e = d と設定すると、0 に等しい不適切積分の主値が得られます。e = 1/n および d =1/n 2 の場合、つまり、 d は e よりも早く 0 になる傾向があり、次のようになります。

いつ、またその逆の場合、

それらの。積分は発散します。n

例2.12。

特異点 x = 0 の不適切な積分を考えてみましょう。関数の逆微分は次の形式を持ち、点 x = 0 で連続です。したがって、ニュートン-ライプニッツの公式を適用できます。

定リーマン積分の概念を複数の変数の関数の場合に自然に一般化したものは、多重積分の概念です。 2 変数の場合、そのような積分はと呼ばれます。 ダブル。

2次元ユークリッド空間で考えるるる、つまりデカルト座標系の平面上の集合 E最終エリア S.

( で表しましょう) 私 = 1, …, k) パーティションを設定する E、つまりそのようなシステムのサブセット E i、i = 1、。。、、 k、i ¹ j の Ø と (図 2.5)。ここでサブセットを表します E i には境界線がありません。つまり、サブセット E i の内部点。その境界とともに グループE私は閉じた部分集合を形成します E私、。その地域であることは明らかです S(E i) サブセット E境界の面積はなので、i はその内部の面積と一致します。 GrE i はゼロに等しい。

d(E i) を次のように表します。 設定直径え、つまり。 2 つの点間の最大距離。量 l(t) = d(E i) が呼び出されます。 仕切りの細かさ t. 関数 f(x),x = (x, y) が 2 つの引数の関数として E で定義されている場合、次の形式の合計

X i О E i 、i = 1、. 。。、k、x i = (x i , y i)、

関数 f と分割 t の両方、および点の選択 x i О E i М t に応じて、次のように呼ばれます。 関数 f の整数和 .

関数 f に対して、パーティション t にも点の選択 (i = 1, ..., k) にも依存しない値が存在する場合、この制限はと呼ばれます。 ダブルリーマン積分 f(x,y) から、次のように表されます。

この場合、関数 f 自体が呼び出されます。 リーマン積分可能.

1 つの引数をセットとして持つ関数の場合を思い出してください。 E統合が実行されると、通常はセグメントが取得されます。、そのパーティション t はセグメントから構成されるパーティションとみなされます。他の点では、容易にわかるように、二重リーマン積分の定義は、1 つの引数の関数に対する定リーマン積分の定義を繰り返します。

2 変数の有界関数の二重リーマン積分は、1 つの引数の関数に対する定積分の通常の性質を持ちます。 直線性、加算性積分が実行されるセットに関して、保存統合するとき 非厳密な不等式, 製品の統合性統合機能など

複数のリーマン積分の計算は次の計算に帰着します。 反復積分。二重リーマン積分の場合を考えてみましょう。機能させましょう f(x,y)は、集合 X ´ Y、E М X ´ Y のデカルト積にある集合 E 上で定義されます。

繰り返し積分により関数 f(x, y) のは積分と呼ばれ、異なる変数に対して順次積分が実行されます。形式の積分

E(y) = (x: О E) М X が呼び出されます断面与えられた y に対応する E を設定します (y О E y )。集合 E y は呼び出されます – 投影 Y軸にEを設定します。

反復積分には、次の表記法も使用されます。

これは、前のものと同様に、最初に、固定の y、y О E y、機能が統合されている f(x, y)によるバツセグメントに沿って E(y)、セットの一部です Eこれに対応する やあ。その結果、内部積分は 1 つの変数の関数を定義します。 やあ。この関数は、外側の積分記号で示されているように、1 つの変数の関数として積分されます。

積分の順序を変更すると、次の形式の繰り返し積分が得られます。

内部統合が実行される場所 そう、そして外部 - によって バツ。この反復積分は、上で定義した反復積分とどのように関係するのでしょうか?

関数の二重積分がある場合 f、つまり

この場合、両方の反復積分が存在し、それらの大きさは同じで 2 倍に等しい、つまり

このステートメントで定式化された反復積分の積分の順序変更の可能性に関する条件は、単に 十分な、しかし必要ありません。

その他の十分条件反復積分における積分の順序を変更する可能性は次のように定式化されます。

少なくとも 1 つの積分が存在する場合

それから関数 f(x, y)セット上で統合可能なリーマン E、その両方の繰り返し積分が存在し、二重積分と等しくなります。 n

反復積分の表記における射影とセクションの表記を指定しましょう。

集合 E が長方形の場合

それ E x = (x: a £ x £ b)、E y = (y: c £ y £ d);ここで E(y) = 任意の y に対する E x、y О E y 。、あ E(x) = Ey任意の x に対して , x О E x ..

正式なエントリ: " y y О yÞ E(y) = ExÙ" x x × ×Þ E(x) = Ey

集合 E が 湾曲した境界線そして表現を許可します

この場合、繰り返し積分は次のように記述されます。

例2.13。

長方形領域にわたる二重積分を計算し、それを反復的に計算します。

条件 sin 2 (x+ y) =| なので、 sin 2 (x + y)| を計算し、反復積分のいずれかの形式で二重積分 I が存在するための十分条件が満たされるかどうかを確認します。

これを特に実行する必要はなく、すぐに繰り返し積分の計算に進むことができます。

それが存在する場合、二重積分も存在し、 I = I 1 となります。なぜなら

したがって、I = .n

例2.14。

三角形領域の二重積分を計算し (図 2.6 を参照)、それを繰り返しに縮小します。

Gr(E) = ( : x = 0、y = 0、x + y = 2)。

まず、二重積分 I の存在を確認しましょう。これを行うには、繰り返し積分の存在を確認するだけで十分です。

それらの。被積分関数はすべてべき関数であるため、積分区間で連続です。したがって、積分 I 1 が存在します。この場合、二重積分も存在し、反復されたものと等しくなります。

例2.15。

二重積分と反復積分の概念間の関係をよりよく理解するために、次の例を考えてみましょう。最初に読むときは省略してもよいでしょう。 2 つの変数の関数 f(x, y) が与えられます。

固定 x の場合、この関数は y で奇数になり、固定 y の場合、x で奇数になることに注意してください。この関数を積分する集合 E として、平方 E = ( : -1 £ x £ 1、-1 £ y £ 1)。

まず反復積分を考えます

内部積分

は、固定 y、-1 £ y £ 1 に対して取得されます。固定 y の被積分関数は x において奇数であり、この変数の積分は点 0 に関して対称な線分 [-1, 1] 上で実行されます。内部積分は 0 に等しい。明らかに、ゼロ関数の変数 y の外部積分も 0 に等しい。

2 番目の反復積分についても同様の推論を行うと、同じ結果が得られます。

したがって、考慮中の関数 f(x, y) については、反復積分が存在し、互いに等しいことになります。ただし、関数 f(x, y) の二重積分はありません。これを理解するために、繰り返し積分の計算の幾何学的意味に目を向けてみましょう。

反復積分を計算するには

特殊なタイプの平方 E の分割と、特殊な整数和の計算が使用されます。すなわち、正方形 E を横縞に分割し (図 2.7 を参照)、各縞を小さな長方形に分割します。各ストリップは変数 y の特定の値に対応します。たとえば、これはストリップの水平軸の縦座標である可能性があります。

整数合計の計算は次のように実行されます。まず、合計がバンドごとに個別に計算されます。異なる x に対して固定 y で、これらの中間合計が異なるバンドに対して合計されます。異なるyのために。分割の細かさがゼロに近づく傾向がある場合、極限内で上記の繰り返し積分が得られます。

2 回目の反復積分については、次のことが明らかです。

集合 E は、異なる x に対応する縦縞に分割されます。中間合計は、小さな長方形内の各バンド内で計算されます。 y に沿って計算し、異なるバンドごとに合計します。 ×によって。極限において、分割の細かさがゼロに近づく傾向にあるとき、対応する反復積分が得られます。

二重積分が存在しないことを証明するには、分割の例を 1 つ挙げるだけで十分です。分割の細かさが 0 になる傾向がある極限内で積分和の計算を行うと、値とは異なる結果が得られます。反復積分の計算。極座標系 (r, j) に対応するこのようなパーティションの例を示します (図 2.8 を参照)。

極座標系では、平面 M 0 (x 0 , y 0) 上の任意の点の位置 (x 0 、y 0 は点 M 0 のデカルト座標) は、半径の長さ r 0 によって決まります。それを原点と、この半径によって形成される角度 j 0 を正の x 軸方向と接続します (角度は反時計回りに数えられます)。デカルト座標と極座標の関係は明らかです。

y 0 = r 0 × sinj 0 。

パーティションは次のように構築されます。まず、正方形 E を座標の中心からの半径で扇形に分割し、次に各扇形を扇形軸に垂直な線によって小さな台形に分割します。積分和の計算は次のように実行されます。まず、各セクター内の小さな台形に沿ってその軸 (r に沿って) に沿って実行され、次にすべてのセクターにわたって (j に沿って) 実行されます。各セクターの位置はその軸 j の角度によって特徴付けられ、その軸の長さ r(j) はこの角度に依存します。

またはの場合、;

もし、その後 ;

もしなら、それでは

の場合、その後。

極分割の細かさがゼロになる傾向にある極分割の整数和の極限まで進むと、極座標での二重積分の表現が得られます。このような表記は、デカルト座標 (x, y) を極座標 (r, j) に置き換えることにより、純粋に形式的な方法で取得できます。

デカルト座標から極座標への積分の遷移規則によれば、定義上、次のように書く必要があります。

極座標では、関数 f(x, y) は次のように記述されます。

ついにできました

最後の式の内積分（不正）

ここで、関数 r(j) は上で示した 0 £ j £ 2p であり、任意の j に対して +¥ に等しいので、

したがって、j に対して評価される外部積分の被積分関数は、どの j に対しても定義されません。しかし、その場合、外側の積分自体は定義されていません。元の二重積分は定義されていません。

関数 f(x, y) は、集合 E にわたる二重積分が存在するための十分条件を満たしていないことに注意してください。積分が

存在しない。本当に、

同様に、積分でも同じ結果が得られます。

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講義5-6

トピック2. 多重積分。

二重積分。

質問をコントロールします。

1. 二重積分、その幾何学的および物理的意味

2. 二重積分の性質。

3. デカルト座標での二重積分の計算。

4. 二重積分における変数の変更。極座標での二重積分の計算。

機能させましょう z = f (バツ , y) 限られた閉じた領域で定義される D飛行機。エリアを分けてみましょう Dランダムにオン n基本的な閉鎖エリア  1 , … , n、領域を持つ  1 , …,   nと直径 d 1 , …, d n それぞれ。と表しましょう d面積の最大直径  1 , … ,  n。あらゆる地域で  k任意の点を選択 P k (バツ k 、y k）そして作曲する 整数和機能 f(x、y)

S =
(1)

意味。 二重積分機能 f(x、y）地域別 D積分和の極限と呼ばれる

, (2)

それが存在する場合。

コメント。累計額 Sエリアの分割方法によって異なります Dそしてポイントの選択 P k (k=1, …, n）。ただし、限界は
存在する場合、領域の分割方法には依存しません。 Dそしてポイントの選択 P k .

二重積分が存在するための十分条件。関数が次の場合に二重積分 (1) が存在します。 f(x、y) 継続的に D有限数の区分的に滑らかな曲線を除き、制限されています。 D。以下では、検討中のすべての二重積分が存在すると仮定します。

二重積分の幾何学的意味。

もし f(x、y) 面積が0以上 Dの場合、二重積分 (1) は、図に示す「円筒形」の体の体積に等しくなります。

V =
(3)

円筒体は領域により以下に制限されます D、上から - 表面の一部 z = f (バツ , y)、側面から - この表面と領域の境界を接続する垂直直線セグメントによって D.

二重積分の物理的意味。平板の質量。

平らな板を与えましょう D既知の密度関数 γ( バツ、で)、プレート D をパーツ D に分割します。私任意の点を選択する
、プレートの質量を求めます。
、または、式 (2) と比較すると、次のようになります。

(4)

4. 二重積分のいくつかの性質。

直線性。もしとが数値定数である場合、

相加性。エリアの場合 D エリアに「分割」 D 1 そして D 2、それでは

3) 限定エリアの面積 Dに等しい

(5)

デカルト座標での二重積分の計算。

面積を与えましょう

写真1

D= { (バツ , y ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (バツ ) ≤ y ≤ φ 2 (バツ ) } (6)

地域 D 直線間の帯で囲まれたバツ = ある , y = b、それぞれ下と上から曲線で囲まれています y = φ 1 (バツ ) そして y = φ 2 (バツ ) .

領域にわたる二重積分 (1) D(4) は反復積分に渡すことによって計算されます。

(7)

この反復積分は次のように計算されます。まず、内部積分が計算されます

変数による yここで、バツ一定とみなされます。結果は変数の関数になりますバツ、そして変数に対するこの関数の「外側」積分が計算されますバツ .

コメント。式 (7) に従って反復積分に移行するプロセスは、二重積分における積分限界の配置と呼ばれることがよくあります。積分制限を設定するときは、2 つの点に注意する必要があります。第一に、積分の下限は上限を超えてはなりません。第二に、外側の積分の限界は一定である必要があり、内側の積分の限界は、一般に、外側の積分の積分変数に依存する必要があります。

さあ、その地域を Dのように見える

D= { (バツ , y ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y ) ≤ x ≤ ψ 2 (y ) } . (8)

それから

. (9)

面積があると仮定しましょう Dは (6) と (8) として同時に表すことができます。すると等式が成り立つ

(10)

式 (10) における 1 つの反復積分から別の反復積分への遷移は、と呼ばれます。 積分の順序を変更する二重積分で。

例。

1) 積分における積分の順序を変更する

解決。反復積分の形式を使用して、領域を見つけます。

D= { (バツ , y ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y ≤ 2 } .

地域を描こう D。図から、この領域は直線間の水平ストリップ内に位置していることがわかります。 y =0, y=2 と行間バツ =0 そしてバツ=D

場合によっては、計算を簡素化するために、変数の変更が行われます。

,
(11)

関数 (11) が連続微分可能であり、考慮中の領域で行列式 (ヤコビアン) がゼロ以外の場合:

(12)

ロシア連邦教育科学省

コースワーク

専門分野: 高等数学

(線形計画法の基礎)

トピック: 多重積分

完了者: _______________

教師：___________

日付 ___________________

学年 _________________

サイン ________________

ヴォロネジ 2008

1 重積分

1.1 二重積分

1.2 三重積分

1.3 曲線座標における多重積分

1.4 多重積分の幾何学的および物理的応用

2 曲線積分と曲面積分

2.1 曲線積分

2.2 曲面積分

2.3 幾何学的および物理的応用

参考文献

1 重積分

1.1 二重積分

線 L で囲まれた Oxy 平面内の閉じた領域 D を考えてみましょう。この領域をいくつかの線で n 個の部分に分割しましょう

、これらの各部分の点間の対応する最大距離は、d 1 、d 2 、...、d n で示されます。各部分の点 Pi を選択しましょう。

関数 z = f(x, y) が領域 D に与えられるとします。選択した点におけるこの関数の値を f(P 1)、f(P 2)、…、f(P n) で表し、f(P i)ΔS i の形式の積の和を構成しましょう。

, (1)

領域 D の関数 f(x, y) の積分和と呼ばれます。

同じ整数和の極限 (1) がある場合、

と、領域 D を部分に分割する方法にも、その中の点 Pi の選択にも依存しない場合、これは領域 D にわたる関数 f(x, y) の二重積分と呼ばれ、次のように表されます。

. (2)

線で囲まれた領域 D 上の二重積分の計算

x = a、x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла: