クズネッツのいくつかの変数の関数の微分計算。 いくつかの関数の微分計算

変数の関数の微積分の拡張が多変量解析です。 いくつかの変数の関数の微分計算- 統合および微分された関数は、1 つではなく複数の変数に影響を与えます。

いくつかの変数の関数の微分計算には、次の一般的な操作が含まれます。

1. 継続性と限界。

1 つの変数の関数の特徴ではない多くの病理学的および非論理的な結果は、多次元空間における連続性と限界の研究から生じます。 たとえば、定義領域内に点を持つ 2 つの変数スカラー関数があり、直線に沿って近づくと特定の制限が与えられ、放物線に沿って近づくとまったく異なる制限が与えられます。 ゼロにするには、関数は原点を通過する直線に沿って通過するときにゼロになる傾向があります。 異なる軌道に沿って制限が一致しないため、単一の制限は存在しません。

変数 x が傾向にある場合、制限関数は特定の数を持ちます。 特定の点における関数の限界値が存在し、関数の特定の値に等しい場合、そのような関数は特定の点で連続的であると呼ばれます。 関数が点の集合上で連続である場合、その関数は点の集合上で連続であると呼ばれます。

2. 偏導関数を求めます。

複数の変数の偏導関数は 1 つの変数の導関数を意味し、他のすべての変数は定数とみなされます。

3. 複数の統合。

多重積分は、積分の概念をいくつかの変数の関数に拡張します。 空間および平面内の領域の体積と面積を計算するには、二重積分および三重積分が使用されます。 Tonelli-Fubini の定理によれば、多重積分は反復積分としても計算できます。

これらすべてにより、いくつかの変数の関数の微分計算を実行することが可能になります。

数学の試験問題。 II学期。

質問に答えるときは、使用されるすべての用語を定義する必要があります。

代数。

1. グループ、リング、フィールド。 グループ同型性。

2. 線形空間の定義。 ベクトルの線形依存系および独立系に関する定理。

3. k ベクトルのシステムの線形依存性に関する定理。それぞれのベクトルは、m ベクトルのシステムの線形結合です (k>m)。

4. 線形空間の基礎。 基底の要素数の不変性に関する定理。 線形独立系の要素の数に関する定理 (T. 1.3、T.1.4)。

5. ベクトル座標。 ベクトル座標に関する定理 (T.1.5 および T.1.7)。

6. スカラー積の定義とプロパティ。 ベクトル間の角度。

7. スペースと .

8. 線形空間の部分空間。 ベクトル系の線形スパン。

9. 行列: 定義; 加算と乗算。 同じサイズの行列の空間の次元と基底。

10. 行列の乗算。 プロパティ。

11. 逆行列と転置行列。

12. ブロックに分割された行列の乗算。

13. 直交行列。

14. 行列の行列式: 最初の列の定義、展開。 上三角行列と下三角行列の行列式。 行列式と の関係。

15. 順列。

16. 項の和に関する行列式の表現に関する定理。各項には行列要素 (各行と各列から 1 つずつ) の積が含まれ、何らかの規則に従って符号が付けられます。

17. 行列式のプロパティ: 行 (列) の置換、任意の列 (行) での展開、i 番目の行の要素と j 番目の行の対応する要素の代数的補数との積の合計。

18. 行または列の要素にわたる行列式の線形性。 行 (列) が線形従属している行列の行列式。 行列の行列式。その行のある行に、数値を掛けた別の行が追加されます。

19. ブロック行列行列式。 行列の積の行列式。

20. 逆行列。 三角行列の系。

21. 初等変換の行列。

22. 連立一次方程式に一貫性がない場合、または一意の解がある場合に連立一次方程式を解くためのガウス法。

23. 系が無限に多くの解を持つ場合に線形方程式系を解くためのガウス法。 システムの一般的な解の構造。

24. 線形方程式の同次系。

25. クラマーの定理。

26. マトリックスの水平および垂直ランク。 マイナーランク。 台形行列の場合の一致。

27. 行列に非縮退行列を乗算したときの行列のランクの不変性。 任意の行列のランクの等価性に関する定理。

28. クロネッカー・カペリの定理。

29. 固有値と行列ベクトル。 類似した行列の特性多項式の一致。 異なる固有値に対応する固有ベクトルの線形独立性。

30. ベクトル系の線形依存性と対応する座標列系との関係。 異なる基底にある 1 つのベクトルの座標列の通信。

31. 線形空間の線形マッピング。 一部の拠点ではマトリックスを表示します。 ベクトルの画像を計算するために使用されます。 異なる基底でのマッピング行列の関係。

32. カーネルと表示イメージ。 表示ランク、表示マトリックスのランクとの関係。

33. 演算子の固有値と固有ベクトル。 固有ベクトルに基づく演算子行列。

34. 演算子の異なる固有値に対応する固有ベクトルの線形独立性。 固有部分空間、その次元。 結果。

35. ユークリッド空間とユニタリー空間。 グラムシュミット直交化プロセス。

36. 実対称行列の固有値と固有ベクトルに関する定理。

37. ある対角行列に対する実対称行列の直交相似定理。 結果。

38. 双一次形式と二次形式の定義。 何らかの基底における双一次形式の行列。双一次形式を計算するために使用されます。 異なる基数での同じ双一次形式の行列の接続。

39. 二次形式を正準形式に還元する基底の直交変換の存在に関する定理。 基底の直交変換（固有ベクトルの方法）を使用して、二次形式を正準形式に還元するための実用的な方法。 曲線の構築

40. 二次形式の正（負）定性のための必要十分条件に関する定理。

41. 二次形式を正準形式に還元する基底の三角変換の存在に関する定理。 シルベスターの基準。

数学的分析。

いくつかの変数の関数の微分計算。

42. 座標方向の収束定理における点のシーケンス。

43. 機能制限 R変数。 機能の継続性 R変数。 ワイエルシュトラスの定理。

44. 関数の微分可能性 R変数。 微分可能関数の和と積の微分可能性。

45. 関数の偏導関数 R変数。 関数の微分可能性と偏導関数の存在との関係。 点 A に偏微分があるが、その点では微分可能ではない関数の例。

46. 偏微分が存在する場合の関数の微分可能性と連続性。

47. 複素関数の導関数。 複素関数の偏導関数。 一次微分の形式の不変性。

48. 高次の偏導関数。 混合導関数の等価性に関する定理。

49. 高次の微分。 最初の次数よりも高い次数の微分に対する形式不変性の欠如。

50. p 個の変数の関数に関するテイラーの公式。

51. 1 つの変数の陰的に与えられた関数の存在と微分可能性に関する定理。 関数の一次導関数と二次導関数の計算 y(x)、方程式によって暗黙的に与えられます。

52. 関数方程式系によって与えられる p 個の変数の陰的に与えられた関数の存在と微分可能性に関する定理。 導関数を計算するためのテクニック。 関数の一次導関数と二次導関数の計算 z(x,y)、方程式によって暗黙的に与えられます。

.

関数の一次導関数の計算 y(x)、z(x), u(x)、システムによって暗黙的に設定される

.

53. いくつかの変数の関数の極値点の決定。 極値点が存在するための必要十分条件。

54. いくつかの変数の関数の条件付き極値点の決定。 条件付き極値点が存在するための必要十分条件。 例: 条件 の下で関数の条件付き極値点を見つけます。

グレード 3 を解答する場合、質問 1 ～ 54 のすべての定義と公式、および質問 25、29、33、40、46、49 の定理の証明を知っている必要があります。ノート (およびカンニングペーパー) は使用できません。

n 個の変数の関数 x、y、z、…、t の各値系が、その変化範囲 (定義領域) から特定の値 u に対応する場合、変数 u は n 個の変数 (引数) x、y、z、…、t の関数と呼ばれます。 関数の定義域は、関数が特定の実数値を持つすべての点の集合です。 2 つの変数の関数 z=f(x, y) の場合、定義域は平面内の特定の点のセットを表し、3 つの変数の関数 u=f(x, y, z) の場合、定義域は空間内の特定の点のセットを表します。

2 変数の関数 2 変数の関数は、定義領域からの独立変数 x、y (引数) の値の各ペアが従属変数 z (関数) の値に対応する法則です。 この関数は次のように表されます: z = z(x, y) または z= f(x, y) 、または別の標準文字: u=f(x, y) 、 u = u (x, y)

一次偏導関数 独立変数 x に関する関数 z \u003d f (x, y) の偏導関数は、定数 y で計算される有限の極限です y に関する偏導関数は、定数 x で計算される有限の極限です 偏導関数の場合、通常のルールと微分公式が有効です。

関数 z =f(x, y) の全微分は次の式で計算されます。 3 つの引数の関数 u =f(x, y, z) の全微分は次の式で計算されます。

高次の偏導関数 関数 z =f(x, y) の 2 次の偏導関数は、その 1 次の偏導関数の偏導関数であり、同様に 3 次以降の偏導関数も定義され、表示されます。

高次微分 関数 z=f(x, y) の 2 階微分はその浅微分の微分です 高次微分は次の式で計算されます シンボリックな公式があります

複素関数の微分 z=f(x, y) とします。ここで、x=φ(t)、y=ψ(t) であり、関数 f(x, y)、φ(t)、ψ(t) は微分可能です。 次に、複素関数 z=f[φ(t), ψ(t)] の導関数が次の式で計算されます。

陰関数の微分 方程式 F(x, y, z)=0 で与えられる 2 つの変数 z=f(x, y) の陰関数の導関数は、次の式で計算できます。

関数の極値 関数 z=f(x, y) は、この点での関数の値が点 M 0 の近傍の他の点 M(x; y) での値より大きい (小さい) 場合、点 M 0(x 0; y 0) で最大 (最小) になります。微分可能関数 z=f(x, y) が点 M 0(x 0; y 0) で極値に達する場合、この時点での 1 次偏導関数は 0、つまり (極値の必要条件) に等しくなります。

M 0(x 0; y 0) を関数 z=f(x, y) の静止点とする。 判別式 Δ=AC B 2 を構成する AND を指定しましょう。次に、 Δ>0 の場合、関数は点 M 0 に極値、つまり A 0 (または C>0) に極大値を持ちます。 Δの場合

逆微分関数 関数 F(x) は、この区間の各点で f(x) が F(x) の微分である場合、区間 X=(a, b) 上の関数 f(x) の逆微分と呼ばれます。つまり、この定義から、反微分を見つける問題は微分問題の逆であることがわかります。つまり、与えられた関数 f(x) に対して、微分が f(x) に等しい関数 F(x) を見つける必要があります。

不定積分 f(x) に対する関数 F(x)+C のすべての反導関数の集合を関数 f(x) の不定積分といい、 という記号で表します。 したがって、定義により、C は任意の定数です。 f(x) 被積分関数; f(x) dx 被積分関数。 x 積分変数。 不定積分の符号。

不定積分の性質 1. 不定積分の微分は被積分関数に等しく、不定積分の導関数は被積分関数に等しい。 2. ある関数の微分の不定積分は、この関数と任意の定数の和に等しい。

3. 定数因数は積分符号から取り出すことができます。 4. 有限数の連続関数の代数和の不定積分は、関数の項の積分の代数和に等しいです。 5. If, then and where u=φ(x) が連続導関数を持つ任意の関数である

基本的な積分法 直接積分法 被積分関数 (または式) の同一変換と不定積分の性質を適用することによって、与えられた積分を 1 つ以上の表積分に還元する積分法を直接積分といいます。

この積分を表形式の積分に換算する場合、次の微分の変換がよく使用されます (「微分の符号の下に置く」操作)。

不定積分における変数の変更 (代入積分) 代入積分法は、新しい積分変数を導入することにあります。 この場合、指定された積分は、表形式またはそれに還元可能な新しい積分に還元されます。 積分を計算する必要があるとしましょう。 x = φ(t) という置換を行ってみましょう。ここで、φ(t) は連続導関数を持つ関数です。 すると、dx=φ "(t)dt となり、不定積分の積分公式の不変性を利用して、積分公式を代入により求めることができます。

部分積分 部分積分の公式 この公式を使用すると、積分の計算を積分の計算に減らすことができ、元の積分よりもはるかに簡単になる可能性があります。

有理分数の積分 有理分数は、P(x)/Q(x) の形式の分数です。ここで、P(x) と Q(x) は多項式です。 多項式 P(x) の次数が多項式 Q(x) の次数より低い場合、有理分数は適切と呼ばれます。 それ以外の場合、その分数は仮分数と呼ばれます。 最も単純な (基本的な) 分数は、次の形式の通常の分数です。 ここで、A、B、p、q、a は実数です。

方程式の右側にある最も単純なタイプIV分数の最初の積分は、x2 + px + q \u003d tを代入することで簡単に見つかり、2番目は次のように変換されます。 x + p / 2 \u003d t、dx \u003d dtと仮定すると、q-p 2/4 \u003d a 2を示します。

単純な分数への分解を使用した有理分数の積分 有理分数 P(x)/Q(x) を積分する前に、次の代数変換と計算を行う必要があります。 1) 間違った有理分数が与えられた場合は、その整数部分を選択します。つまり、M(x) が多項式であり、P 1(x)/Q(x) が適切な有理分数である形式でそれを表します。 2) 分数の分母を一次および二次因数に展開します。ここで、р2/4 q

3) 正しい有理分数を単純な分数に分解します。 4) 最後の等式を公分母にする不定係数 A 1、A 2、...、Am、...、B 1、B 2、...、Bm、...、C 1、C 2、...、Cm、... を計算し、得られた恒等式の左側と右側の部分の x の同じべき乗の係数を等しくして、係数と低い係数に関して連立一次方程式を解きます。 s.

最も単純な無理関数の積分 1. R が有理関数である形式の積分。 m 1、n 1、m 2、n 2、…整数。 置換 ax+b=ts (s は数値 n 1、n 2、... の最小公倍数) を使用して、指定された積分が有理関数の積分に変換されます。 2. 次の形式の積分 このような積分は、平方三項式から平方を選択することによって、表積分 15 または 16 に変換されます。

3. 次の形式の積分 この積分を求めるには、根号の下にある平方三項式の導関数を分子で選択し、積分を積分の和に展開します。

4. 次の形式の積分 x α=1/t を代入すると、この積分は考慮される項目 2 に簡約されます。 5. 形式の積分。Рn(х) は n 次の多項式です。 この種の積分は恒等式を使用して求められます。ここで、Qn 1(x) は不定の係数をもつ次次の多項式 (n 1)、λ は数値です。 示された恒等式を微分して結果を公分母に換算すると、2 つの多項式の等価性が得られ、そこから多項式 Qn 1(x) の係数と数値 λ を決定できます。

6. m、n、p が有理数である微分二項積分の積分。 P. L. チェビシェフが証明したように、微分二項積分の積分は次の 3 つの場合にのみ初等関数で表現されます。 1) p が整数の場合、この積分は x=ts を代入することで有理関数の積分に変換されます。ここで、s は分母 m と n の最小公倍数です。 2) (m+1)/n は整数です。この場合、この積分は a+bxn=ts という置換を使用して合理化されます。 3) (m+1)/n+р は整数です。この場合、置換 ax n+b=ts は同じ目的につながります。ここで、s は分数 р の分母です。

三角関数の積分 R が有理関数である形式の積分。 積分記号の下にはサインとコサインの有理関数があります。 この場合、万能三角関数代入 tg(x/2)=t が適用でき、この積分は新しい引数 t の有理関数の積分に帰着します (表 p. 1)。 次の表に示すように、他の置換もあります。

セグメント上の関数 f(x) の定積分は、最大の部分セグメント Δхi の長さがゼロに近づく傾向があるという条件で、積分和の限界となります。 数値 a と b は、積分の下限と上限と呼ばれます。 コーシーの定理。 関数 f(x) が線分 上で連続である場合、定積分が存在します。

Src="https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt="線分上で f(x)>0 の場合、定積分は幾何学的に曲線の面積になります。"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0!}

定積分を計算するための規則 1. ニュートン ライプニッツの公式: ここで、F(x) は f(x) の逆導関数、つまり F(x)‘= f(x) です。 2. 部分による積分: ここで、u=u(x)、v=v(x) はセグメント上の連続微分可能な関数です。

3. 変数の変更。ここで、х=φ(t) は区間 α≤t≤β で導関数 φ‘ (t) とともに連続する関数です。a= φ(a)、b= φ(β)、f[φ(t)] – 関数は [α; で連続です。 β] 4. f(x) が奇関数の場合、つまり f(x)= f(x)、f(x) が偶数関数の場合、つまり f(x)=f(x)。

不適切な積分 不適切な積分は次のとおりです。 1) 無限の限界を持つ積分。 2) 無制限関数の積分。 a から + 無限大までの範囲の関数 f (x) の不適切な積分は、次の等式によって定義されます。この極限が存在し、有限である場合、その不適切な積分は収束と呼ばれます。 極限が存在しない、または無限大に等しい場合、発散 関数 f(x) がセグメントからの点で無限の不連続性を持ち、a≤x に対して連続である場合

不適切な積分の収束の研究では、比較記号の 1 つが使用されます。 1. 関数 f(x) と φ(x) がすべての х≥а に対して定義されており、区間 で積分可能である場合、ただし А≥а で、すべての х≥а に対して 0≤f(x)≤φ(x) である場合、積分の収束は積分の収束を意味します。 2. 1 x→+∞ として、関数 f(x)≤0 が次数 p>0 の無限小である場合、比較2.2 関数 f(x)≥ 0 が定義され、区間 a ≤ x で連続である場合、積分は p>1 で収束し、p≤ 1 で発散します。

平らな図形の面積を計算する曲線y \u003d f (x)、直線x \u003d aおよびx \u003d b、およびOX軸のセグメントによって境界付けられる曲線台形の面積は、この曲線、直線x = a、x = b、およびOX軸のセグメントによって計算されます。t 1およびt 2は式a=x(t)から決定されます1)、b=x(t2)

平坦な曲線の円弧の長さの計算 セグメント上の曲線 y \u003d f (x) が滑らかな場合（つまり、導関数 y '= f ' (x) が連続である場合）、この曲線の対応する円弧の長さは式 e で求められます。滑らかな曲線が極座標で方程式 ρ=ρ(θ)、α≤θ≤β によって与えられる場合、円弧の長さは等しくなります。

体積の計算 1. 既知の断面積から体積を計算します。 OX 軸に垂直な平面である胴体の断面積が x の関数として、つまり S=S(x) (a≤x≤b) の形で表現できる場合、OX​​ 軸に垂直な平面 x=a と x=b で囲まれた胴体の部分の体積は式 2 で求められます。回転体の体積を計算します。 曲線 y=f(x) と直線 y=0、x=a、x=b で囲まれた曲線台形が OX 軸の周りを回転する場合、回転体の体積は次の式で計算されます。

回転表面積の計算 滑らかな曲線 y=f(x) (a≤x≤b) の円弧が OX 軸の周りを回転する場合、回転表面積は次の式で計算されます。 曲線がパラメトリック方程式 x=x(t)、y=y(t) (t 1≤t≤t 2) で与えられる場合、

基本概念 微分方程式は、独立変数、その関数、およびこの関数の導関数 (または微分) を関連付ける方程式です。 独立変数が 1 つである場合、その方程式は「常連方程式」と呼ばれますが、独立変数が 2 つ以上ある場合、その方程式は「偏微分方程式」と呼ばれます。

一次方程式 独立変数である目的関数 y(x) とその導関数 y (x) を結ぶ関数方程式 F(x, y, y) = 0 または y = f(x, y) を一階微分方程式といいます。 一次方程式の解は任意の関数 y= (x) であり、その導関数 y = (x) とともに方程式に代入すると、それが x に関する恒等式に変わります。

一次微分方程式の一般解 一次微分方程式の一般解は、パラメーター C の任意の値に対して、この微分方程式の解となる関数 y = (x, C) です。 一般解を陰関数として定義する方程式 Ф(x, y, C)=0 は、微分方程式の一般積分と呼ばれます。

導関数に関して解かれた方程式 1次方程式が導関数に関して解かれた場合、その一般解は幾何学的に積分曲線の族、つまり定数Cの異なる値に対応する一連の直線であると表すことができます。

コーシー問題のステートメント での初期条件を満たす微分方程式の解を見つける問題は、一次方程式のコーシー問題と呼ばれます。 幾何学的には、これは、指定された点を通過する微分方程式の積分曲線を見つけることを意味します。

分離変数方程式 微分方程式は分離変数方程式と呼ばれます。 1 次微分方程式は、次の形式を持つ場合、分離可能な変数を含む方程式と呼ばれます。 方程式を解くには、その両方の部分を関数の積で除算し、積分します。

同次方程式 一次微分方程式が y = の形式、または と が同じ次数の同次関数である形式に還元できる場合、その一次微分方程式は同次と呼ばれます。

1 次の線形方程式 1 次の微分方程式は、y と y‘ を 1 次まで含む場合、つまり次の形式を持つ場合、線形と呼ばれます。 このような方程式は、代入 y=uv を使用して解決されます。ここで、u および v は補助関数を方程式に代入することによって求められる補助未知関数であり、関数の 1 つに特定の条件が課されます。

ベルヌーイの方程式 ベルヌーイの方程式は、次の形式を持つ 1 次方程式です。

2 次微分方程式 2 次方程式は次の形式を持ちます。 または 2 次方程式の一般解は、パラメーターの任意の値に対して、この方程式の解となる関数です。

2 次方程式のコーシー問題 2 次微分方程式に関して 2 次方程式を解く場合、そのような方程式に対して次の問題が発生します: 初期条件を満たす方程式の解を見つけます: この問題は 2 次微分方程式のコーシー問題と呼ばれます。

2 次方程式の解の存在と一意性定理 方程式内で関数とその引数に関する偏導関数が点を含む領域で連続である場合、条件 と を満たすこの方程式の一意の解も存在します。

次数の削減を可能にする 2 次方程式 最も単純な 2 次方程式は二重積分によって解きます。 y を明示的に含まない方程式は代入によって解決され、x を含まない方程式は代入によって解決されます。

線形同次方程式 二次線形同次微分方程式は方程式であり、この方程式のすべての係数が一定である場合、その方程式は係数が一定である方程式と呼ばれます。

線形同次方程式の定理の解の性質 1. y(x) が方程式の解である場合、Cy(x) (C は定数) もこの方程式の解です。

線形同次方程式の解の性質 定理 2. と が方程式の解である場合、それらの和もこの方程式の解になります。 結果。 と が方程式の解である場合、関数もその方程式の解になります。

線形従属関数と線形独立関数 2 つの関数と線形独立関数は、これらの関数の線形結合がこの区間で完全にゼロに等しく、かつゼロに等しくない数値を選択できる場合、つまり、ある区間に線形依存していると呼ばれます。

そのような数値を選択できない場合、関数と関数は指定された間隔に線形独立して呼び出されます。 関数は、その比率が一定である場合に限り、線形に依存します。

2 次の線形同次方程式の一般解の構造に関する定理 2 次 LOE の線形独立部分解の場合、 と が任意の定数であるそれらの線形結合がこの方程式の一般解になります。

係数が一定の 2 次の線形一次方程式 この方程式を一次方程式の特性方程式といいます。 これは、導関数を次数に対応する累乗 k に置き換えることによって LOE から取得されます。

微積分入門

1. セット、それらを定義する方法。 数量指定子。 セット (和集合、積集合、差分) の演算とそのプロパティ。 数の係数、そのプロパティ。 集合のデカルト積。 境界線を設定します。 可算集合と不可算集合。

2 .. 機能、設定方法、分類。

3. 点の近傍。 シーケンスの制限。 ボルツァーノ・コーシーおよびワイエルシュトラスの定理 (証明なし)。 ハイネによる関数の極限の決定。

4. 一方的な制限。 限界が存在するための必要十分条件。 限界の幾何学的意味。

5. と の連続引数の関数のコーシー限界の決定。

6. 無限に小さい関数と無限に大きい関数、それらの間の関係。 無限小関数の性質。

7. 極限と無限小関数の和としての関数の表現に関する定理。

極限に関する定理 (極限の性質)。

8. 中間関数に関する定理。 最初の素晴らしい制限。

9. 2 番目の顕著な制限、その正当化、財務計算への適用。

10. 微小関数の比較。

11. 点およびセグメント上の関数の連続性。 連続関数に対するアクション。 基本的な初等機能の継続性。

12. 連続関数の性質。

13. 関数のブレークポイント。

1変数関数の微分計算

14. 関数の導関数、その幾何学的および機械的意味。

15. 関数の連続性と微分可能性の関係。 導関数の直接決定。

16. 関数を区別するためのルール。

17. 三角関数と逆三角関数を微分する公式の導出。

18. 対数関数と指数関数を微分するための公式の導出。

19. 微分べきべき関数および指数べき乗関数の公式の導出。 派生テーブル。 高次の導関数。

20. 関数の弾性、その幾何学的および経済的意味、特性。 例。

21. 1 変数の関数の微分。 定義、存在条件、幾何学的意味、特性。

22. 近似計算のための 1 変数の微分関数の適用。 高次微分。

23. ロールの定理、その幾何学的意味、その使用例。

24. 関数の有限増分に関するラグランジュの定理、その幾何学的意味。

25. 微分可能関数に関するコーシーの定理。

26. ロピタルのルール、限界を見つける際の不確実性を開示するためのその使用。

27. テイラー式。 ラグランジュとペアノの形式の残差項。

28. マクローリンの公式、その剰余項。 初等関数の分解。

29. マクローリンの公式、極限を見つけて関数の値を計算するためのその応用。

30. モノトーン関数。 関数の単調性に対する必要かつ十分な基準。

31. 関数の極値。 関数の極値に必要な基準。

32. 関数の極値に対する 1 番目と 2 番目の十分な基準。

33. 関数グラフの凸性、凹性の十分な兆候。

34. 変曲点が存在するための必要かつ十分な基準。

35. 関数のグラフの漸近線。 関数を研究してプロットするための一般的なスキーム。

いくつかの変数の関数の微分計算

36. いくつかの変数の関数、その定義、レベルラインとレベルサーフェス。

37. コーシーによるいくつかの変数の関数の極限の決定。 プロパティを制限します。

38. 無限に小さな関数。 いくつかの変数の関数の連続性の定義。 点と線を区切ります。 連続関数のプロパティ。

39. いくつかの変数の関数の部分増分と偏導関数。 偏導関数を求めるためのルール。 偏導関数の幾何学的意味。

40. いくつかの変数の関数が微分可能であるための必要条件。 微分可能関数と連続関数の関係の例。

41. いくつかの変数の関数の微分可能性のための十分条件。

42. 複数の変数の関数の総微分、その定義。

43. いくつかの変数の関数の総微分の近似計算への適用。

44. 偏導関数と高次の微分。

45. いくつかの変数の複素関数の偏導関数。

46. 暗黙的に与えられた、いくつかの変数の関数の偏導関数。

47. いくつかの変数の関数の方向導関数。

48. いくつかの変数の勾配関数とそのプロパティ。

49. いくつかの変数の関数に関するテイラーの公式。

50. 2 変数関数の極値に対する必要かつ十分な基準。

51. いくつかの変数の関数の条件付き極値。 ラグランジュ乗数法。

52. 条件付き極値の十分な符号。 いくつかの変数の関数の絶対的な極値。

53. 最小二乗法。

転写物

1 PA Velmisov YuV Pokladova 複数の変数の関数の微分計算 教科書 ウリヤノフスク UlGTU

2 UDC (7 LBC n7 V 8 査読者: USU 応用数学学科 (学科長、物理数学博士、A A Butov 教授、物理数学博士、UlGU A S Andreev 教授) 大学編集出版委員会により教科書として承認 Velmisov P A V 8 複数の変数の関数の微分計算: 教科書 / P A Vel missov Yu V Pokladova Ul yanovsk: UlGTU with ISBN このマニュアルは、「複数の変数の関数の微分計算」セクションを学習するすべての専門分野の学士を対象としています マニュアルには、簡単な理論資料、問題解決の個々のタスクの例が含まれており、このセクションを習得する際に学生が自主的に取り組むことを保証することを目的としています。

3 目次 はじめに 理論的な質問 理論的資料と問題解決の例 複数の変数の関数の定義領域 問題の解決例 偏導関数 問題の解決例 8 複素関数の微分 8 問題の解決例 9 陰関数の微分 問題の解決例 微分 問題の解決例 関数値の近似計算における微分の使用 7 問題の解決例 7 7 テイラーとマクローリンの公式8 問題の解決例 接平面と表面の法線 9 問題の解決例 方向の勾配と導関数 問題の解決例 9 複数の変数の関数の極値 問題の解決例 問題の解決例 複数の変数の関数の条件付き極値 問題の解決例 7 領域内の 2 つの変数の関数の最小値と最大値 9 問題の解決例 9 最小二乗法 問題の解決例問題の解決例 問題の解決例 8 計算タスク 9 参考資料

4 はじめに 学生の積極的な自主的な取り組みは、数学を習得し、その方法を習得する上で重要な要素です. 標準計算システムは、学生の自主的な取り組みを活性化し、高等数学のコースのより深い学習に貢献します. a 理論的な質問はすべての学生に共通です。 このマニュアルに含まれる各タスクは 8 つのオプションで示されます 各トピックについて、基本的な理論情報が要約され、典型的な例に対する解決策が示され、理論を参照するためのルールの基本式が示されます。

5 理論的問題 定義域の 2 変数関数の定義 これらの概念の幾何学的解釈 3 変数関数の概念 1 点における 2 変数および 3 変数関数の極限の概念 複数変数の連続関数の概念 2 変数および 3 変数関数の偏微分 1 点で微分可能な関数の定義 2 変数および 3 変数関数の一次微分 接平面と表面法線の方程式 複数の独立変数の複素関数の偏導関数全導関数 7 1 変数および複数の独立変数の陰関数の微分 8 高次の偏導関数の定義 2 変数および 3 変数の関数の 2 階微分 9 2 変数関数のテイラー公式とマクローリン公式 勾配微分と方向導関数 2 変数および 3 変数関数の極値点の概念 2 変数関数の極値に対する必要十分条件 3 変数関数の極値に対する必要十分条件 条件式の概念2 変数関数の極値点 2 変数関数の条件付き極値の必要十分条件 ラグランジュ乗数法 閉じた有界領域内の 2 変数関数の最大値と最小値を求める 7 最小二乗法

6 理論的資料と問題解決の例 複数の変数の関数の定義 D を独立変数の値のペアの集合とし、定義 各ペア D が変数の特定の値に関連付けられている場合、それは 2 つの独立変数の関数であり、集合 D (f で示される) で定義されていると言われます。要素に値がある集合 D は、関数 f の定義域と呼ばれます (定義 ある集合 D R からの独立変数の値の各集合が、変数 u の特定の値の場合、u は集合 D (u f で定義された変数の関数であると言われます) 問題の解決例 関数の範囲を変更する = (解決策: 対数関数は引数が正の場合にのみ定義されるため、> または< Значит границей области будет парабола = Кроме того знаменатель не должен быть равен нулю поэтому или Таким образом область определения функции состоит из точек расположенных ниже (внутри параболы = за исключением прямых = = Частные производные Определение Частным приращением функции u f в точке M по переменной k называется разность u f k k k k f k k k k Определение Частной производной функции u f по переменной k k в точке M называется предел (если он существует u f k k k k f k k k k lm lm k k k k

7 u f または u k k k f k で表します 必要に応じて、関数が依存する変数、たとえば f k 2 変数の関数 f の場合、定義上、 f f f f lm - f に関する偏導関数 f f f f lm - に関する偏導関数があります また、素数を先頭に置かない表記も使用されます。たとえば、 f f f k は定数とみなされます たとえば、関数 f の変数の偏導関数を計算する場合、変数は考慮されます定義 関数の - 次の偏導関数 u f はその 1 次偏導関数の偏導関数です 定義によれば、2 次導関数は次のように表され、求められます: u u u - 変数 k k k k k k u u u - k k k 変数 k および f に関する混合 2 次導関数: 特に 2 つの変数の関数については、上記の素数は省略できます。 2 番目の注記 異なる変数に関する関数の重微分の結果は、結果の混合偏導関数が連続である限り、微分の次数に依存しません 7

8 問題を解く例 与えられた関数 s がどのような解かを示す 偏導関数 os を求めてみましょう。 オス; オスオス ; オス ; os os s 見つかった偏導関数をこの方程式の左側に代入すると、os s s を証明するために必要な恒等式 os s が得られます。 複素関数の導関数 u f (- それ自体が独立変数の微分可能な関数である変数の微分可能な関数 t: (t (t (t) If u f (t where (t (t (t)、t に関する関数 u の導関数 (これを全導関数と呼びます) は du u u d u となります) du d (dt t dt dt dt) : u u u u t t t t 8

9 u t k u t u u u t t t (u u u u tm t m t m t m du u d u d u d t t t os t t ost 8(t ost (t t s t t t t s t 複合関数の偏導関数を求めます u osv l(v w w e v e u u 9

10 解法 関数 u は 2 つの変数 v と w の関数です。変数 v と w も 2 つの独立変数の関数であり、偏導関数を求めます。 w w v e v e u v u w e e s v v v w w v w u u e u u v u w v w s v e e v w v w v w (e (e (ee e) 陰関数 (方程式 F で与えられる) の導関数は次のように求められます。 F F (FF F ただし、F 注方程式 F u で与えられる関数 u f の変数 k に関する偏導関数は、次のようになります。

この方程式を k で微分することによっても 11 が得られます。この場合、k に対する u の依存性を考慮する必要があります。特に、式 F を使用して与えられる陰関数の導関数 (式 F を微分することで求められます (変数 x に関して、x への依存性を考慮する必要があります)) tg 解法: 陰関数の導関数 (方程式 d F F を使用して与えられます (式 (: d F (F F os) で計算できます) (os (陰関数の導関数を求めます: d F os (os (d F os (os (この場合、F l tg メソッド: 方程式の両辺を微分します。 l tg 変数 x y を x の関数として数えます): l (tg (os 式: os (os (by) 1 次陰関数の偏導関数を求めます (次の方程式で与えられます)

12 解法: 陰関数の微分 (式 F の F を使用して計算できます (: F F F この場合、F (F F 陰関数の偏導関数を求めます: F F F F F 方法: 関数を考慮して変数 x に関して方程式の両方の部分を微分します: ((表現します: 同様に、関数を考慮して変数に関して方程式の両方の部分を微分します: ((式: 陰関数の 2 次導関数を求めます)関数 (方程式 l で与えられます。解法) : 陰関数の導関数 (方程式 d F F を使用して与えられます (式 (: d F で計算できます)。この場合、d 導関数を求めます: d F(l F F

13 F F d d y が x (((

14 この場合 (F F F F 陰関数の偏導関数を求めます。 F F F F 次の関数を考慮して、複素関数の微分規則によって二次導関数を求めます。 結果の式に代入すると、次のことがわかります。 方法 9: 方程式の両方の部分を変数 x に関して微分し、次の関数を数えます。

15 結果の式に代入します: 同様に導関数が見つかります。 9 見つけるには、次の関数を考慮して元の方程式を 2 回微分する必要があります。 混合導関数を見つけるには、元の方程式を最初に微分し、次に微分します (またはその逆)。 微分定義 関数 u f M の合計増分は差 u f f です。 定義 引数の増分に対応する点 M における関数 u f は、この点の近傍で関数の合計増分が u A A として表現できる場合、微分可能と呼ばれます。 A o ((ここで、A A A は定義に依存しない数値です。点 M における関数 u f の 1 次の微分 du は、検討中の点におけるこの関数の合計増分の主な部分であり、以下に関して線形です。 du A A A

16 記号式 d d d による微分 (関数 u f の k 次は k d u d d d u で表されます (特に du については、d u は次のように求められます) u d u dk d (m k m km) 問題の解決例 関数 u e l の 3 階微分を求めます。 解法 3 次までのすべての偏導関数を求めます。 u e u e l u e u e l u e u e u e u e l の 3 階微分を求めます。式 u を使用して 2 変数の関数 u を求める 解決策 3 変数の関数の 2 階微分を求めるには、式 ((:

17 du d d d u u u u u u d d d d dd dd dd u f 近似的等価性がある u du または f f df ここで、df は次の式で決定されます。 関数の近似値を計算します (点 A で (9; 解)) 関数の近似値 (点 A では、式 (: 7 を使用して計算します)

18 ((((9 があります; 座標を使用して点での関数の値を計算しましょう: Because ((then (式に代入します: 9; (9 (9 (7 テイラー式とマクローリン式) ある点での 2 つの変数の関数 f の場合、テイラー式は次の形式になります)式 (7 をマクローリンの公式と呼ぶ) の特殊なケース 問題 7 の解法の例 点 M 付近の関数 (e を展開します (2 次の項に限定) 解法 この場合、テイラーの公式 (7) は次の形式になります。 df (d f (f (R ただし、R はテイラー式の剰余項です !!) 9 (9 (e ((2 次までの関数の微分を合成します。d((d (d d d

19 d ((d (dd (d d dd 9d d d と考えると、((9(e ((R 8 接平面と表面に対する法線) 定義 点 M における表面の接平面 (接点は、この点を通る表面に描かれた曲線のすべての接線を含む平面です。 定義 点 M における表面の法線は、この点における接平面に垂直であり、接点 M を通過する線です) 表面の方程式が与えられている場合、明示的な形式 f の場合、点 M における接平面の方程式は f (f ((8 の法線の方程式 (f (f ((8正規方程式の形式は (8 f ((f (9

20 点 M における偏導関数 f f の値を求めます。 f f f (f (見つかった値を接平面と法線の方程式に代入して得られます: 7 ((または - 平面の接平面 7 の方程式; - 法線の方​​程式 8 点 M における接平面の方程式と表面 7 の法線の方程式を作成します (解) 表面方程式が陰的な形式 F で与えられる場合 (次の方程式は次のようになります)点 M における接平面は次の形式を持ちます (8 F (F ((F ((法線は式 (8 F (F (F (F (F(F(F(F(F(F(F(F(F関数 f を点の近傍で定義し、この点から出るベクトルとする。ベクトル上で、点 M を取る (極限と呼ばれる点 M における関数 f の微分の定義) (もし存在する場合は f (f (f (M f (M ( M ( M lm lm M M M)

21 os os ここで、os os はベクトルの方向余弦です。 定義 点 M における関数 f の勾配 (投影がこの点における関数の偏導関数の値であるベクトル、それらの grd j (9 注) 変数関数の方向導関数と勾配は同じ方法で定義されます。 点 A における d; 点 A におけるベクトルの方向の微分 解 点 A で grd を見つけます。これについては、計算し、点 A では次のようになります。 (A (A したがって、 grd (A j 関数 f (ベクトルの方向) の導関数を求めるには、式 (9) を使用します。

22 いくつかの変数の関数の極値 点 M の関数 u f を近傍で定義するとします。 定義 点に対する関数 u f は最大値 (M における最小値) を持ちます。すべての点 M (M M) について、点 M で不等式 f M f M (それぞれ f M f M) が成り立つような点 M の近傍がある場合、点 M ではこの点 f (M) これらの条件が満たされる点は、関数の静止 u f 点と呼ばれます。 極値の十分条件M は関数 u f の静止点であり、この関数は点 M の近傍で 2 回微分可能であり、そのすべての 2 階偏微分は点​​ M で連続です。点 M には心はありません。 値のセットの d u が同時にゼロに等しくない場合、追加の研究が必要です。 2 つの変数の関数の場合を考えます。 定義関数 f (点 M での極大値 (最小値) を持ちます (M 以外のすべての点 M について、不等式 f (f (f (2 つの変数の関数の極値の必要条件)) が成立する点 M の近傍がある場合

23 M (このとき、この時点で 1 次の偏導関数はゼロに等しい f f ((((2 つの変数の関数の極値に対する十分条件) という表記を導入しましょう: A f B f C f D AB C (((M ( を関数 f の定常点とし、関数が点 M の近傍に 2 次の連続偏導関数を持つようにします) 次に: D の場合、関数 f (は点 M (極値、つまり、 A B で最大値、A B で最小値; D の場合、点 M での極値 (from が存在しない; D の場合、追加の研究が必要) 関数 u f (3 変数) の場合を考える シルベスターの基準 ゼロに等しくない d d d の任意の値に対して不等式 d u が成り立つためには、次のことが同時に必要かつ十分です: u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u uu

24 8 この系を解くと、2 つの静止点 M (- M (-- 2 つの変数の関数の極値に対する十分条件を使用します。 A f B f C f (((D AB C 点 M (-: A B C 問題) を考えます。 3 つの変数の関数の極値を求めます。 u 解法 与えられた関数の静止点を見つけます。 u これを行うには、連立方程式を作成します。 u u u 得られるものを解きます。 ; 2 次の偏導関数を求めます。 u u u u u u 静止点 M での値を計算します (;; : u u u u u u dd dd シルベスター基準を使用しましょう この問題では:

25 u u u u u 8 u u u u u u u u u u u u u u u u u u u シルベスター基準によれば、点 M (;; は、極値の十分条件に従った関数 u の最小点です。最小点 u m における関数の値です。条件付き極値 u f は、条件付き最大値 (すべての点 M (制約方程式を満たす M M) に対して不等式 f M f M (それぞれ f M f M) が満たされる L (M L (M k m

未知数が見つかる m 条件付き極値の十分条件 系の解を考えます (関数 u f は、m m d d d がゼロに等しくない値に対して、点 m M if d L で条件付き最大値を持ち、同時に m m d d d がゼロに等しくない値に対して条件付き最小値 if d L を持ち、そのような k d d k m k f ((L (f (((((((L (L (((L ((L条件付き最大値; 条件付き最小値の場合は関数 ラグランジュ関数のシルベスター基準を適用することもできます: d L (関数は、L L L L L および d L の場合に限り、条件付き最小値を持ちます (関数は、L L L L L の場合に限り、条件付き最大値を持ちます)

同時にゼロに等しくない任意の値 d d d d の場合は 27 です。 問題の解決例 制約方程式が次の形式である場合、2 つの変数の関数の条件付き極値を見つけます。 ラグランジュ関数を作成します。 L(f (ost) 条件付き極値が可能な点を見つけます。 これを行うには、方程式系 (: L L 系の 1 番目と 2 番目の方程式から、結果の式を見つけて等価します: またはここから) 2 つのケースを考えます: 次に、制約方程式に代入します: ; 2 つの根を見つけ、9 での解を見つけます。その後、接続方程式に代入します: ((または間違っている 8 解はありません。したがって、システムには一意の解があります 9 方法 条件付き極値の十分条件を使用します。偏微分を求めます: L L L と行列式を作成します: ((9 9 (((9 L L (((9 L L 結論: 関数は点 M (条件付き最大))

28 方法: L L L 点 M (で) における関数 L の 2 階微分を求めましょう: 9 d L(L (d L (dd L (d d)制約方程式を使用して関数 8 の um を計算します。 解法 ラグランジュ関数を作成します。 L(f (8 ost 条件付き極値が可能な点を見つけます。これを行うには、方程式系 L L を作成し、それを解きます。 最初の方程式から、2 番目の方程式から表し、3 番目の方程式を等式化します。 したがって、システムは一意の解を見つけます。 d L(L (d L (dd L (d d d 8)

29 d L d d d したがって、関数には条件付き最大値があります。 条件付き最大値の点における関数の値は m です。 方法 この場合、変数は接続方程式で簡単に表現できます。 1 つの変数の関数を関数の方程式に代入すると、1 つの変数の関数が得られます。 そして、最大値 (領域 D の静止点または境界点における最小値) 有界閉領域内で微分可能な関数の最大値と最小値を見つけるには、次の操作を行う必要があります。この領域内にある静止点を見つけて、これらの点での関数の値を計算します; 領域の境界を形成する線上の関数の最大値と最小値を見つけます; 見つかったすべての値から、最大値と最小値を選択します 問題の解決例 与えられた不等式系によって、有界閉領域 D 内の関数の最小値と最大値を求めます 解法 領域 D は、直線 9 の座標で囲まれた三角形です

30 領域 D 内の関数の静止点を見つけてみましょう。 これらの点では、偏導関数はゼロに等しくなります。 この系を解くと、点 K が得られます。 この点は領域 D に属しません。 8 8 したがって、領域 D には静止点はありません。 領域の境界上の関数を調べます。 境界は 3 つの異なる方程式で記述される 3 つのセクションで構成されるため、各セクションの関数を個別に調べます。 導関数 得られた方程式から、関数の最大値と最小値は次のようになります。境界は点の値の中にあります ((これらの値を見つけます: (または (このセクション 7 方程式 8 7 を解くと 7 が得られます。したがって 8 7 が得られます。この点での関数の値は (およびセグメントの終端では、関数の値は上記で見つかります) 得られた値を比較すると、(((((((((閉領域 D 内の関数の 0b は、不等式によって与えられる領域 D に等しい 解 領域 D は、半径 c の円の原点の中心である

31 領域内の関数の静止点を見つけます D これらの点では、偏導関数は 0 に等しいため、静止点はありません 領域の境界上の関数を調べます ラグランジュ関数 L を作成します (極値の存在に必要な条件を使用して、連立方程式 L L を取得します) 結果の系を解きます 最初の方程式から表現します 2 番目の方程式から表現します 等式化すると、(M 最小二乗法) に等しくなります。実験では、分析的な依存関係 f (2 つの変数との間) を確立する必要があります。この問題を解決するために広く使用されている方法は最小二乗法です。実験の結果を引数の対応する値に対応する関数の値にします。結果は表 x y にまとめられています。

32 まず、近似関数のタイプを確立します (理論的考察から、または実験値に対応する点の平面 O 上の位置の性質に基づいてください。次に、選択したタイプの関数を使用して、検討中の依存関係を最もよく反映するように、その関数に含まれるパラメーターを選択する必要があります。最小二乗法は次のとおりです。関数 (S から極値まで) いくつかの変数の関数の極値の必要条件から、これらの値が満たされることがわかります。方程式系 S S S または拡張形式 (関数 (S の形式の線形近似の場合、S ((これは 2 つの変数を持つ関数です。極値まで調べてみましょう)) の極値に必要な条件を書き留めてみましょう: ((S S

33 ここから、未知数に対する次の連立方程式が得られます (この系は一意の解を持ち、見つかった値と関数 (S は最小値を持ちます) の形式の二次近似の場合、関数 (の形式は S ((((または拡張形式では (3 つの未知数を決定するための 3 つの一次方程式系が得られました)) の形式の関数を見つけたい場合は、関数 ( S の形式で記述します）

34 または拡張形式（問題の解決例） 表に書かれた 5 つの引数の値から、関数 (f) の 5 つの値が実験的に得られます。最小二乗法を使用して、関数 (f) を近似する形の関数を求めます。実験点をプロットする図面と、デカルト直交座標系での近似関数のグラフを作成します。 解法 関数 (f) を一次関数の形で求めます。

35 7 になります 7 この系を解くと、次のことがわかります。 7 目的の直線の方程式は次の形式になります。 7 y x のグラフを作成します。 問題の解決例 関数 f の 6 つの値が実験的に得られます (表 7 に書かれている引数の 6 つの値に対して) 最小二乗法を使用して、関数 f を近似的に表す形式の関数を見つけます (デカルト直交座標系で実験点と近似関数のグラフ 解 二次関数の形式で関数 f を探します。 システム (形式を取る):

この系を解くと、次のことがわかります。 目的の関数の方程式は次の形式になります。 グラフを作成します。 関数 f の 5 つの値が実験的に取得されます (テーブルに記録されている引数の 5 つの値を使用します) 最小二乗法を使用して、関数 f を近似的に表す形式の関数を見つけます (その上に図を作成します)

37 デカルト直交座標系で、実験点と近似関数のグラフを作成します。 解の関数 f (関数 System ( の形式をとる) を探します。 この系を解くとすると、次のことがわかります。 7 87 目的の関数の方程式は次の形式になります。 7 87 グラ​​フを作成します 7

38 問題の解決例 幅 a の長方形のブリキ板から、断面が最大になるように角柱状の側溝を作ります。 解法 ABCD のブリキ板 =AD を =AE とすると、FD = EF = (図。ADFE の断面を持つ側溝をブリキの板から作りました (図。すると、側溝の下底は EF に等しい = 側面は FD に等しい = A E B F D - 図 シート)ブリキのC A G D α α E F 図 同じ側溝の断面図 断面は等脚台形で、その上底と高さを求めます。角度の値で示します。ADF 点Fから、垂直FGを三角形GDFから辺ADに下げます。GD osと台形GFの高さを見つけます。したがって、AD EF GD os - 台形の上底 台形ADFEの面積で示します。 s s os s os os os os したがって、問題の条件に従って、連立方程式は次の形式になります。 os os os

39 計算タスク タスク 次の関数の定義域を見つけて表現します。 ((= + =l(+ +l l (=l (9 + l = = = + + = e 8 = ros (+ + =l(+l (s 9 = + = rs (=l(+ 7 = = + 8 =l(+l (os = l (+ 9 l (= + =e =l(+ + =l(+ =9 + = l (+ = ros (+ = l (= + 7 = rs (=l(+ 8 =l(+l (s)

40 f (式 s 9 le e os (9 rtg (s os (7 e 8 rs((9 tg s 7 9 l s os e e

41 f (方程式 l 7 8 s os ros 問題 複素関数の微分を求めます u(微分 u l u du? d du u rs s t os t? dt u v w w v u u? w v u t t t du? dt v w u u u w s v os? w v t du u r tg e lt? dt 7 u e l u du? d 8 u v w l(v w w e v e u u? 9 u t t t du? dt u e u u v os w w s v? w v u os u du? d

42 u(デリバティブ u tg t t e s t e os t du? dt v u u u w w v os? w e e u du u l? d u rtg t e t du? dt u e u u v os w ws v? w v u du 7 u tg? d du 8 u t t s t? dt rsv 7 u u 9 u w v l w 7? u u u e lw w s v? w v u du u e? d du u ros s to st? dt w u u u tg lw v? v w v v w u 7 u r tg lw v wv? w v du 8 u lt t t? dt

43 問題 陰関数の一次導関数を求めます function function s tgos l e 7 e l 7 8 os os os rtg l 9 7 e e 8 s 9 tg (e 7 os rtg rtge e 7 os l l 8 問題 3 次微分値を求めます (- 次の関数の独立変数 d u ue os 7 u l l u 8 u e u 9 u s u e u u s(os(u l os u l(ue

44 タスク 関数 ((点 A の座標 (点 A 点 A の座標 (9; (-98; 97 (98; 9 (98; 9; 9 l (8; 7 rtg (; 9 (; 9 8 os (99; 7 (9; 9 (; 9 u os u s u u u u u u u l (7 ul s u e s 8 u u os e 9 u l l 7 u u e 8 u (98; (97; 98 (; 9 (; 98 7 s 8 l (; 98 (98; 9 (9; (9; 9; rs (99; s (; 98 e (; 97 (; 9 s (; 97 (; 97 (; 9 7 l e e (98; rs (; 9 8 ( 97;

45 タスク 7 関数を展開します (点 M でのテイラー公式に従って、2 次の項を含む (M (M s os e (e (- 7 s s (8 l l ((9 (s s ) - (- (- (- (7 ((- 8 ((7 os es 8 os l(e os os 9 e os l

46 タスク 8 点 A における指定されたサーフェスの接平面と法線の方程式を作成します。 surface A (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; l (; ; (; ; 7 (; ; 8 (; ; ; (; ; 8 8 (; -; (; ; (-; -; l (; ; (; ; (-; ; 7 (; ; 8 (; ; ; 9 (; ; 9 e (; -/; l (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; (; ; 7

47 面 A (; ; 7 l8 (-/; ; 8 (; ; 7 タスク 9 関数 (点 A( とベクトル (検索: 点 A での grd; 点 A でのベクトルの方向の微分) (A a rtg ((- (- (((- (- (- (- l ((- 7 ((- 7 ((- 7 (( - (- (- ((- 7

48 (A a 7 e ((8 8 l 9 (((rtg (((- rs ((- 7 ((((e ((- l (- (7 8 s (- (-)

49 ((l l 8l 8 l l 7 l l 8 9 l l 8 問題 3 つの変数 u (u (u (8 9 l 88l 7l (9

50 u (u (((7 8 問題

51 (結合方程式 l l l 7 l

52 タスク 与えられた不等式系 (領域 D によって閉領域 D 内) の関数の最小値と最大値を求めます。

53 (領域 D タスク 関数 f の 5 つの値が実験的に得られました (引数の 5 つの値がテーブルに記録されています) 最小二乗法を使用して、近似を表す Y X 形式の関数 (近似関数 f) を求めます (デカルト直交座標系で実験点と近似関数 Y X x のグラフを描いた図を作成します)

54 x タスク 関数 f の値は実験的に取得されます (表に記録されます) 最小二乗法を使用して、Y X X (奇数のオプションの場合、Y (偶数 X X オプションの場合) の近似関数 f) の形式の関数を見つけます (デカルト直交座標系で実験点と近似関数 x x のグラフを描く図面を作成します)

55タスク 最大値と最小値の応用問題を解く 半径Rのボールの形のワークピースで作られた最大体積の円柱の寸法を見つける 家の屋根は二等辺三角形の形の断面を持っています 部屋の体積が最大になるように屋根裏部屋に建てられた長方形の部屋の断面の寸法はどうあるべきですか 斜辺が与えられた直角三角形の形で最大周囲のワークピースの寸法を見つけます から長方形の箱を作りますブリキ（この容器の蓋なし V、材料費が最も安いもの B 直径 d の球を最大体積の直方体に刻む。表面 S の最大容量の円筒形容器の寸法を求める。 7 与えられた寸法の長方形の鉄板がある。端を曲げて得られる容器の体積が最大になるような大きさで、角に同じ正方形を切り出す。 8 直方体の表面は Q に等しい。 最大体積の直方体の寸法を求める。 9 の辺の和。直方体は最大の体積である 対角線の長さを d として、最大の体積の直方体を見つける 最小の総表面積を持つ体積 V の回転円錐を見つける 最小の総表面を持つ円柱を直径 d の球に内接する 全表面 S のすべての直方体の中で、最大の体積を持つものを見つける 側面が S に等しいという条件で、最大の体積の円錐の寸法を決定する 面積 S のすべての直角三角形のうち、次のようなものを見つける円に内接するすべての三角形のうち、面積が最大のものを見つけます。 7 周囲長 p のすべての三角形のうち、面積が最大のものを見つけます。 8 所定の面積 S を持つすべての長方形のうち、周囲の値が最小のものを見つけます。 9 体積 V のすべての直方体の中で、表面積の合計が最小のものを見つけます。 合計が最小になるように、数を 4 つの正の係数の積として表します。

56 辺の 1 つを中心に回転すると、最大体積の本体を形成する、指定された周囲長 p の三角形を見つけます。 製造に費やされる材料の量が最小になるように、指定された壁厚 d と容積 V を持つ開いた直方体箱の外形寸法を決定します。 同じ底辺と頂点の角度が同じすべての三角形の中で、面積が最も大きいものを見つけます。 最大体積の直方体を半径 R の球に内接します。 直方体箱を与えられた直円錐に内接します。最大体積 与えられた体積 V を持つ開いた長方形の箱の表面はどの寸法で最小になりますか? 7 最大体積の円錐形フィルターを作成できるように、円からセクターを切り取る必要があります。 8 開いた円筒形の容器の体積が与えられます。 溶接の長さを最小限にするには、その寸法はどのようにすべきですか？ (空白: 円ベースの長方形のシートの側面の形のシート 参考文献 高等数学 方法論的指示と制御タスク (プログラム付き / Ed. YUS Arutyunova M: 高等学校 98 Danko PE Popov AG Kozhevnikova TY 演習とタスクにおける高等数学 Ch M 高等学校 98 複数の変数の関数の微分計算: 制御作業を実行するための方法論的指示 / Comp: NYA Goryacheva YuA Reshetnikov Uly anovsk 999 s 複数の変数の関数の微分計算: 高等数学における典型的な計算 / 編集者: AV Ankilov NYa Goryacheva TB Rasputko Ulyanovsk: UlGTU s Piskunov NS 微分積分計算 T M: Integral-Press s Written DT 高等数学の講義ノート: in h H M: Iris-press 88 s 7 数学の課題集 H: 教科書高等教育機関 / AV Efimova AS Pospelova の総編集のもと - M: FIZMATLIT - s 8 Fikhtengolts GM 微積分コース T M: FIZMATLIT 8 s

57 教育用電子出版物 VELMISOV Petr Aleksandrovich POKLADOVA DIFFERENTIAL CALCULATION OF FUNCTION OF SEVERAL VARIABLES チュートリアル 変換印刷 データ量 Mb EI 印刷版 LR 97 から 印刷用に署名 フォーマット 8/ 変換印刷 l 配布部数 オーダー印刷所 UlGTU 7 g Ulyanovsk st Sev Venets d ウリヤノフスク州立工科大学 7 U lyanovsk Sev Venets St. Tel: (E-ml:

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連邦教育庁 モスクワ州立測地地図製作大学 (MIIGAiK) O. V. イサコバ L. A. サイコバ

複数の変数の関数 自然科学やその他の分野の幾何学の多くの問題では、2 つ 3 つ以上の変数の関数を扱わなければなりません。 例: 三角形の面積 S a h (a が底辺)

陰関数の微分 関数 (,) = C (C = const) を考えます。 この方程式は陰関数を定義します () この方程式を解いて陽的な式 = () が見つかったとします。

VPBelkin によってコンパイル 1 講義 1 複数の変数の関数 1 基本概念 変数 1, n に対する変数の依存関係 \u003d f (1, n) は、n 個の引数 1, n の関数と呼ばれます。

実践演習 複素関数と陰関数の微分 複素関数の微分 1 つの方程式で与えられる陰関数の微分 陰的関数とパラメトリックに与えられる系

ロシア連邦教育科学省 GOU VPO「シベリア国立測地アカデミー」 OG Pavlovskaya ES Plyusnina 数学パート いくつかの変数の関数 方法論的指示

複数の変数の関数の微分計算 複数の変数の関数 ある集合 X に属する各点 M n が割り当てられた場合、量は変数 n の関数と呼ばれます

ロシア連邦教育科学省 連邦国家予算高等教育機関「クルガン州立大学」 応用数学学科

複数の変数の関数 1 つの独立変数の関数は、自然界に存在するすべての依存関係をカバーするわけではありません。 したがって、関数依存性のよく知られた概念を拡張して導入するのは自然なことです。

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ロシア連邦教育科学省 モスクワ州立測地・地図大学 OV イサコバ、LA サイコバ 複数の変数の関数の微分計算 推奨

連邦鉄道運輸庁 ウラル州立鉄道交通大学 E E Popovskiy P P Skachkov いくつかの変数の関数 標準計算 エカテリンブルク 1 連邦

はじめに このガイドラインは、2 つの変数の関数の理論の研究と実践的な応用に特化しています。各段落は、このトピックに関する 1 つの実践的なレッスンに対応しています。

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教育科学省 モスクワ州立工科大学「マミ」学科「高等数学」 MA ボドゥノフ、SI ボロディナ、VV ポカゼエフ、BE テウシュ OI Tkachenko、微分計算

微分計算 このトピックを学習した結果、学生は次のことができるようになります: 導関数の表と微分規則を適用して初等関数の導関数を計算できるようになること 導関数を見つけることができること

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トピック 8 いくつかの変数の微分関数 講義 8.1。 いくつかの変数の関数。 偏導関数 プラン 1. 2 つおよび複数の変数の関数の概念 極限と連続性

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ロシア連邦教育科学省 高等専門教育連邦国家予算教育機関「ノヴゴロド州立大学」にちなんで命名

5 F F F またはこれらの導関数の少なくとも 1 つが存在しない点を面の特異点と呼びます このような点では、面は接平面を持たない可能性があります 定義 面に垂直

講義 9 複数の変数の関数の極値 定義 複数の変数の関数 f f ((ある集合 D と (この集合のある点) が与えられる) とする

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実践的な演習 5 複数の変数の関数の極値 5 極値の定義と必要条件 5 二次形式に関する情報 53 極値の十分条件 5 定義と必要条件

典型的な変型「1 変数の関数の積分計算」の I タスク 不定積分 I cos d 9 を計算します。この積分 I を積分の和として表しましょう: d I cos d d d 9 を使用します。

ワークショップ: 「テイラー公式」 関数 f () が区間 (0, 0), 0 内で (n +) 次数までの導関数を持つ場合、この区間のすべての x について、テイラー公式 (次数 n) () f

いくつかの変数の関数 いくつかの変数の関数 2 次曲面。 x 変数の関数の定義。 幾何学的な解釈。 関数のプライベート インクリメント。 プライベートデリバティブ。

第 8 講 複素関数の微分 複素関数 t t t f を考えます。ここで、ϕ t t t t t t f t t t t t t t t

新学期のスタートおめでとうございます。 多変数の関数と微分方程式の学習が成功することを願っています。学科の Web ページ http://kvm.gubkin.ru 1 多変数の関数 2 定義

I 複数の変数の関数の定義 定義領域 多くの現象を研究する場合、2 つ以上の独立変数の関数を扱う必要があります。たとえば、特定の瞬間の体温などです。

複数の変数の関数 複数の変数の関数 複数の変数の関数の極値。 閉領域内の関数の最大値と最小値を求める 条件付き極値 複素数

第 2 章 2 変数関数の極値 2 変数関数の極値 多くの経済問題を解くとき、最大値と最小値を計算する必要があります。

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講義 複数の変数の関数の極値 複数の変数の関数の極値 極値が存在するための必要十分条件 点 M, 0) を最大値関数の最小点と呼ぶ

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~ 1 ~ 複数の変数の関数 3 2 つの変数の関数、定義範囲、指定方法、および幾何学的意味。 定義: z f は、値の各ペアが次の場合、2 つの変数の関数と呼ばれます。

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II 微分方程式 一階微分方程式 定義 未知の変数とその関数が導関数または微分符号の下にある関係をと呼びます。

講義 N. スカラーフィールド。 方向導関数。 勾配。 接平面と表面法線。 複数の変数の関数の極値。 条件付き極値、スカラー フィールド。 に関する派生語

講義 章 複数の変数の関数 基本概念 複数の変数のいくつかの関数はよく知られています いくつかの例を挙げてみましょう 三角形の面積を計算するには、ヘロンの公式 S が知られています

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デザイン専門の学生向けの、いくつかの変数の関数に関するトピックに関する RGR のガイドラインとバリアント。 数量の値を設定することで数量が互いに独立して一意に決まる場合、

P0 Derivative 引数に応じて関数 f () を検討します。この関数を点 0 とその近傍の一部で定義し、この点とその近傍で連続するとします。

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微分幾何学における曲面理論 初等曲面の定義 平面上の領域が同相写像のもとで白円の像である場合、初等領域と呼ばれます。

講義 11. 条件付き極値 1. 条件付き極値の概念. 条件付き極値を見つける方法. 閉じた領域内の 2 つの変数の関数の最大値と最小値。 1. 条件付きの概念

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はじめに 数学的分析におけるホームテスト (HCT) は、生徒の自主的な作業を現在の管理する主な形式の 1 つです。 DKR を完了するのに必要なおおよその時間、

パートタイムの学生のためのトレーニングセッションの主な形式は、教材の自主的な学習であり、次の要素で構成されます：教科書の教材の学習、問題の解決、自己検査。

1. 以下の関数の定義ドメインを構築します。 a) 関数はそこで定義されるので、関数の定義領域は集合、つまり半平面になります。 b) 関数のスコープは次のとおりです。

複数の変数の関数 1. 基本概念。 ある集合 D からの、互いに独立した変数の各ペアに変数が割り当てられる場合、それは 2 の関数と呼ばれます。

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