台形の中線とは何ですか。 台形の特性

面積の問題を解く際には、図形の辺や角度に加えて、中央値、高さ、対角線、二等分線などの他の量が重要な役割を果たすことがよくあります。 その中には真ん中のラインもあります。
元の多角形が台形の場合、その正中線は何でしょうか? このセグメントは、図の辺を中央で交差し、他の 2 つの辺、つまり底辺に平行な直線の一部です。

正中線と基線を通して台形の中線を見つける方法

上底と下底の値がわかっている場合、式は未知の値を計算するのに役立ちます。

a、b - 塩基、l - 正中線。

領域内の台形の中線を見つける方法

ソースデータに図形の面積の値が含まれている場合は、この値を使用して台形の中央の線の長さを計算することもできます。 式 S = (a+b)/2*h を使用してみましょう。
Sエリア、
h - 高さ、
a、b - 塩基。
ただし、l = (a+b)/2 なので、S = l*h、つまり l=S/h になります。

台形の底辺を通る正中線とその角度を見つける方法

図形の大きい方の底辺の長さ、その高さ、および角度の既知の度数を考慮すると、台形の中央の線を見つけるための式は次のようになります。

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2、一方
l は希望の値です。
a は大きい方の底であり、
α、βはその角度です。
h は図形の高さです。

小さい方の底の値がわかっている場合 (他のデータが同じ場合)、その比率は中点線を見つけるのに役立ちます。

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2、

l は希望の値です。
b は小さい方の底であり、
α、βはその角度です。
h は図形の高さです。

高さ、対角線、角度を使用して台形の中心線を見つけます

問題の条件に、図形の対角線の値、対角線が互いに交差するときに形成する角度、および高さが含まれる状況を考えてみましょう。 次の式を使用して平均線を計算できます。

l=(d1*d2)/2h*sinγ または l=(d1*d2)/2h*sinφ、

l - 正中線、
d1、d2 - 対角線、
φ、γはそれらの間の角度、
h は図形の高さです。

二等辺図形の台形の中線を見つける方法

基本図形が等脚台形の場合、上記の式は次の形になります。

• 台形の底辺の値があれば式に変更はありません。

l = (a + b) / 2、a、b - 塩基、l - 中央線。

• 高さ、底辺、およびそれに隣接する角度がわかっている場合は、次のようになります。

l=a-h*ctga、
l=b+h*ctga、

l - 正中線、
a、b は塩基 (b< a),
α - それに対する角度、
h は図形の高さです。

• 台形の辺と底辺の 1 つがわかっている場合は、次の式を参照して目的の値を決定できます。

l=a-√(c*c-h*h)、
l=b+√(c*c-h*h)、
l - 正中線、
a、b は塩基 (b< a),
h は図形の高さです。

• 高さ、対角線（それらは互いに等しい）、およびそれらの交差の結果として形成される角度の既知の値を使用して、正中線は次のように見つけることができます。

l=(d*d)/2h*sinγ または l=(d*d)/2h*sinφ、

l - 正中線、
d - 対角線、
φ、γはそれらの間の角度、
h は図形の高さです。

• 図形の面積と高さがわかったら、次のようになります。

l=S/h、
Sエリア、
h は高さです。

• 垂直高さが不明な場合は、三角関数の定義を使用して決定できます。

h=c*sinα なので
l=S/c*sinα、
l - 正中線、
Sエリア、
C側、
α - 底面の角度。

台形の中線、特にその特性は、問題を解決したり特定の定理を証明したりするために幾何学でよく使用されます。

互いに平行な辺が 2 つだけある四角形です。 平行な辺は底辺と呼ばれます (図 1 - 広告と 紀元前)、他の 2 つは横方向です (図では ABと CD).

台形の中線- これは側面の中点を結ぶ線分です (図 1 - クアラルンプール).

台形の中線の性質

台形正中線定理の証明

証明台形の中線はその底辺の合計の半分に等しく、これらの底辺に平行であること。

ダナ台形 あいうえお正中線あり クアラルンプール。 検討中の特性を証明するには、点を通る直線を引く必要があります。 Bと L。 図 2 では、これは直線です BQ。 そしてベースも継続 広告線との交差点まで BQ.

結果として得られる三角形を考えてみましょう LBCと LQD:

1. 正中線の定義により クアラルンプールドット Lセグメントの中点です CD。 このことから、セグメントは次のようになります。 CLと LDは同じ。
2. ∠BLC = ∠クイーンズランド州これらの角度は垂直であるためです。
3. ∠BCL = ∠LDQ、これらの角度は平行線を横切って横たわっているため、 広告と 紀元前そして割線 CD.

これら 3 つの等式から、前に検討した三角形は次のようになります。 LBCと LQDは 1 つの辺とそれに隣接する 2 つの角で等しい (図 3 を参照)。 したがって、 ∠LBC = ∠LQD, BC=DQそして最も重要なこと - BL=LQ => クアラルンプール、台形の中線です あいうえお、三角形の中線でもあります ABQ。 三角形の中線の性質によると ABQ我々が得る。

台形の正中線の概念

まず、台形とはどんな図形なのかを覚えておきましょう。

定義 1

台形とは、2 つの辺が平行で、他の 2 つの辺が平行ではない四角形です。

この場合、平行な辺は台形の底辺と呼ばれ、平行ではない辺は台形の辺と呼ばれます。

定義 2

台形の中線は、台形の辺の中点を結んだ線分です。

台形正中線定理

ここで台形の中線に関する定理を導入し、ベクトル法で証明します。

定理1

台形の中線は底辺に平行で、その合計の半分に等しくなります。

証拠。

底面 $AD\ と \ BC$ を持つ台形 $ABCD$ を与えてみましょう。 そして、$MN$ をこの台形の中線とします (図 1)。

図 1. 台形の中心線

$MN||AD\ および \ MN=\frac(AD+BC)(2)$ であることを証明しましょう。

ベクトル $\overrightarrow(MN)$ を考えてみましょう。 次に、ベクトル加算に多角形ルールを使用します。 一方で、私たちはそれを理解しています

向こう側では

最後の 2 つの等式を追加すると、次のようになります。

$M$ と $N$ は台形の辺の中点であるため、次のようになります。

我々が得る：

したがって、

同じ等式から ($\overrightarrow(BC)$ と $\overrightarrow(AD)$ は同方向であり、したがって共線的であるため)、$MN||AD$ が得られます。

定理は証明されました。

台形の正中線の概念に関するタスクの例

例1

台形の辺はそれぞれ $15\cm$ と $17\cm$ です。 台形の周囲は $52\cm$ です。 台形の中線の長さを求めます。

解決。

台形の中線を $n$ で示します。

辺の和は

したがって、周囲の長さは $52\ cm$ であるため、底辺の合計は次のようになります。

したがって、定理 1 により、次のようになります。

答え：$10\cm$。

例 2

円の直径の両端は、接線からそれぞれ $9$ cm と $5$ cm の位置にあり、この円の直径を求めます。

解決。

中心 $O$、直径 $AB$ の円が与えられたとします。 接線 $l$ を引き、距離 $AD=9\ cm$ と $BC=5\ cm$ を作成します。 半径 $OH$ を描いてみましょう (図 2)。

図2.

$AD$ と $BC$ は接線までの距離であるため、$AD\bot l$ と $BC\bot l$ となり、$OH$ は半径であるため、$OH\bot l$ となり、したがって $OH | \左|AD\右||BC$。 これらすべてから、$ABCD$ は台形であり、$OH$ はその正中線であることがわかります。 定理 1 により、次のようになります。

台形は、1 組の辺が平行な四角形の特殊なケースです。 「台形」という用語は、「テーブル」、「テーブル」を意味するギリシャ語のτράπεζαに由来しています。 この記事では、台形の種類とその特性について説明します。 さらに、この例の個々の要素、二等辺台形の対角線、正中線、面積などを計算する方法を理解します。この資料は、一般的な初歩的な幾何学のスタイル、つまり、簡単にアクセスできる形式で表示されます。形状。

一般情報

まず、四角形とは何かを理解しましょう。 この図は、4 つの辺と 4 つの頂点を含む多角形の特殊なケースです。 隣接していない四角形の 2 つの頂点を対向と呼びます。 隣接しない 2 つの辺についても同じことが言えます。 四角形の主な種類は、平行四辺形、長方形、ひし形、正方形、台形、三角形です。

さて、空中ブランコに戻ります。 すでに述べたように、この図には平行な 2 つの辺があります。 それらは塩基と呼ばれます。 他の 2 つ (非平行) は側面です。 試験やさまざまなテストの資料では、台形に関連した課題がよく出題されますが、その解決策としては、プログラムでは提供されていない知識が学生に求められることがよくあります。 学校の幾何学コースでは、角度と対角線の性質、および等脚台形の中線を生徒に紹介します。 しかし結局のところ、これに加えて、前述の幾何学的図形には他の特徴もあります。 しかし、それらについては後で詳しく説明します...

台形の種類

このフィギュアにはたくさんの種類があります。 ただし、ほとんどの場合、そのうちの 2 つ、つまり二等辺三角形と長方形を考慮するのが通例です。

1. 長方形台形とは、いずれかの辺が底辺に対して垂直な図形です。 常に 90 度である 2 つの角度があります。

2. 二等辺台形は、辺が互いに等しい幾何学的図形です。 これは、底面の角度もペアごとに等しいことを意味します。

台形の特性を研究するための方法論の主な原則

主な原則は、いわゆるタスクアプローチの使用です。 実際、この図形の新しい特性を幾何学の理論的過程に導入する必要はありません。 それらは、さまざまな問題を解決する過程で発見され、定式化されます（システム的な問題よりも優れています）。 同時に、教師が教育の過程で一度に生徒にどのような課題を設定する必要があるかを知っておくことが非常に重要です。 さらに、台形の各プロパティはタスク システムのキー タスクとして表現できます。

2 番目の原理は、台形の「注目すべき」特性を研究するいわゆるスパイラル組織です。 これは、学習プロセスが特定の幾何学的図形の個々の特徴に戻ることを意味します。 したがって、学生はそれらを暗記しやすくなります。 たとえば、4 点のプロパティです。 それは、類似性の研究とその後のベクトルの助けの両方で証明できます。 そして、図形の辺に隣接する三角形の面積が等しいことは、同じ線上にある辺に描かれた同じ高さの三角形の性質を適用するだけでなく、公式S= 1/2を使用することによっても証明できます。 （アブ○シンα）。 また、内接台形や外接台形上の直角三角形なども鍛えることができます。

学校のコースの内容で幾何学的図形の「プログラム外の」特徴を使用することは、それらを教えるための課題技術です。 他のトピックを通過するときに研究対象の特性を常にアピールすることで、学生は台形についてのより深い知識を得ることができ、タスクを確実に解決できます。 それでは、この素晴らしい人物について研究を始めましょう。

二等辺台形の要素と性質

すでに述べたように、この幾何学的図形の辺は等しいです。 右台形とも呼ばれます。 なぜこれほど注目すべきであり、なぜそのような名前が付けられたのでしょうか? この図形の特徴は、辺や底辺の角だけでなく、対角線も等しいことです。 また、二等辺台形の角度の和は360度になります。 しかしそれだけではありません！ 既知の台形のうち、円を表現できるのは二等辺の周りだけです。 これは、この図形の対角の和が180度であり、この条件下でのみ四角形の周りに円を描くことができるためです。 考慮中の幾何学図形の次の特性は、基底頂点から、この基底を含む直線上への反対側の頂点の投影までの距離が正中線に等しくなるということです。

では、二等辺台形の角度を求める方法を考えてみましょう。 図形の辺の寸法がわかっている場合に、この問題の解決策を考えてみましょう。

解決

通常、四角形は文字 A、B、C、D で表され、BS と AD が底辺となります。 二等辺台形では、辺は等しいです。 それらのサイズを X、ベースのサイズを Y と Z (それぞれ小さい方と大きい方) と仮定します。 計算を実行するには、角度 B から高さ H を引く必要があります。結果は直角三角形 ABN になります。ここで、AB は斜辺、BN と AN は脚です。 脚のサイズANを計算します。大きい方のベースから小さい方を引き、結果を2で割ります。それを式の形式で書きます：（Z-Y）/ 2 \u003d F。次に、三角形の鋭角には cos 関数を使用します。 次のレコードが得られます: cos(β) = Х/F。 ここで角度を計算します: β=arcos (Х/F)。 さらに、1 つの角度がわかれば、2 番目の角度を決定できます。このために、基本的な算術演算 180 - β を実行します。 すべての角度が定義されています。

この問題には 2 番目の解決策もあります。 まず、角Bからの高さHを下げます。BN脚の値を計算します。 直角三角形の斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しいことがわかっています。 取得します：BN \u003d √ (X2-F2)。 次に三角関数 tg を使います。 結果として、β = arctg (BN / F) となります。 鋭い角が見つかりました。 次に、最初の方法と同様に決定します。

二等辺台形の対角線の性質

まずは4つのルールを書き出してみましょう。 二等辺台形の対角線が垂直の場合、次のようになります。

図形の高さは、底辺の合計を 2 で割った値に等しくなります。

高さと正中線は等しい。

円の中心は、 ; が配置される点です。

側面が接触点によってセグメント H と M に分割される場合、それはこれらのセグメントの積の平方根に等しくなります。

台形の頂点と内接円の中心の接点で作られる四角形は、一辺が半径に等しい正方形です。

図形の面積は、底辺とその高さの合計の半分の積に等しい。

類似の台形

このトピックは、この台形の性質を調べるのに非常に便利です。たとえば、台形を 4 つの三角形に分割する対角線、底辺に隣接する三角形は相似で、辺に隣接する三角形は等しいです。 この記述は、台形を対角線で分割した三角形の性質と呼ぶことができます。 この主張の最初の部分は、2 つの角度での類似性の基準によって証明されます。 2 番目の部分を証明するには、以下に示す方法を使用することをお勧めします。

定理の証明

図形 ABSD (AD と BS - 台形の底辺) が対角線 VD と AC で除算されることを受け入れます。 それらの交点は O です。4 つの三角形が得られます。AOS - 下底、BOS - 上底、ABO と SOD が側面にあります。 三角形 SOD と BOS は、セグメント BO と OD が底辺の場合、共通の高さを持ちます。 それらの面積の差 (P) は、これらのセグメント間の差、PBOS / PSOD = BO / OD = K に等しいことがわかります。したがって、PSOD = PBOS / K となります。 同様に、BOS 三角形と AOB 三角形は共通の高さを持っています。 CO および OA セグメントをベースとします。 PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d KおよびPAOB \u003d PBOS / Kを取得します。 このことから、PSOD = PAOB となります。

資料を統合するには、次の問題を解いて、台形を対角線で分割して得られる三角形の領域間の接続を見つけることをお勧めします。 三角形BOSとAODの面積が等しいことが知られているため、台形の面積を見つける必要があります。 PSOD \u003d PAOB なので、PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD を意味します。 三角形 BOS と AOD の類似性から、BO / OD = √ (PBOS / PAOD) となります。 したがって、PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD) となります。 PSOD = √ (PBOS * PAOD) が得られます。 この場合、PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2となります。

類似性のプロパティ

このトピックを発展させ続けると、台形の他の興味深い特徴を証明することができます。 したがって、相似性を使用すると、この幾何学的図形の対角線の交差によって形成される点を通り、底辺に平行な線分の特性を証明できます。 これを行うには、次の問題を解決します。点 O を通過する線分 RK の長さを見つける必要があります。三角形 AOD と BOS の相似性から、AO/OS=AD/BS となります。 三角形AOPとASBの類似性から、AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD) となります。 ここから、RO \u003d BS * AD / (BS + AD) を取得します。 同様に、三角形DOKとDBSの類似性から、OK \u003d BS * AD / (BS + AD) となります。 ここから、RO=OK および RK=2*BS*AD/(BS+AD) が得られます。 底辺に平行で 2 つの辺を結ぶ対角線の交点を通過する線分は、交点によって半分に分割されます。 その長さは、図の底辺の調和平均です。

台形の次の性質を考えてみましょう。これは 4 点の性質と呼ばれます。 対角線の交点 (O)、辺の延長部分の交点 (E)、および底辺の中点 (T と W) は常に同じ線上にあります。 これは相似法で簡単に証明できます。 結果として得られる三角形 BES と AED は類似しており、それぞれの中央値 ET と EZH が頂点 E での角度を等しい部分に分割します。 したがって、点 E、T、W は同一直線上にあります。 同様に、点 T、O、G は同一直線上にあり、これはすべて三角形 BOS と AOD の相似から導かれます。 このことから、4 つの点 (E、T、O、W) はすべて 1 つの直線上にあると結論付けられます。

生徒は、類似の台形を使用して、図形を 2 つの類似した図形に分割する線分 (LF) の長さを見つけるように求められます。 このセグメントはベースと平行である必要があります。 結果として得られる台形 ALFD と LBSF は類似しているため、BS/LF=LF/AD となります。 したがって、LF=√(BS*BP) となります。 台形を 2 つの類似したものに分割する線分の長さは、図形の底辺の長さの幾何平均に等しいことがわかります。

次の類似性プロパティを考えてみましょう。 これは、台形を 2 つの等しいサイズの図形に分割するセグメントに基づいています。 台形 ABSD が線分 EN によって 2 つの類似したものに分割されることを受け入れます。 頂点 B からは高さが省略され、線分 EH によって B1 と B2 の 2 つの部分に分割されます。 取得します：PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2およびPABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2。 次に、最初の方程式が (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 であり、2 番目の方程式が (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / であるシステムを構成します。 2. B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) および BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1) となります。 台形を 2 つの等しいものに分割する線分の長さは、底辺の長さの二乗平均に等しいことがわかります: √ ((BS2 + AD2) / 2)。

類似性の推論

したがって、次のことが証明されました。

1. 台形の辺の中点を結ぶ線分は AD と BS に平行で、BS と AD の算術平均 (台形の底辺の長さ) に等しくなります。

2. AD と BS に平行な対角線の交点 O を通る線は、数値 AD と BS の調和平均 (2 * BS * AD / (BS + AD)) に等しくなります。

3. 台形を相似形に分割する線分は、底辺 BS と AD の幾何平均の長さを持ちます。

4. 図形を 2 等分する要素は、平均平方数 AD と BS の長さを持ちます。

資料を統合し、考慮したセグメント間の接続を理解するには、学生は特定の台形に合わせてセグメントを構築する必要があります。 正中線と、底辺に平行な点 O (図の対角線の交点) を通過する線分を簡単に表示できます。 しかし、3番目と4番目はどこになるのでしょうか？ この答えは、生徒を平均間の望ましい関係の発見に導きます。

台形の対角線の中点を結ぶ線分

この図の次の性質を考慮してください。 線分 MH が底辺に平行であり、対角線を二等分していることを受け入れます。 交点を W と W と呼びます。このセグメントは、塩基の差の半分に等しくなります。 これをさらに詳しく分析してみましょう。 MSH - 三角形 ABS の中心線、BS / 2 に等しい。 MS - 三角形ABDの中心線、AD / 2に等しい。 次に、ShShch = MShch-MSh、つまり Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2 が得られます。

重心

特定の幾何学的図形に対してこの要素がどのように決定されるかを見てみましょう。 これを行うには、ベースを反対方向に延長する必要があります。 どういう意味ですか？ 下のベースを上のベースに、たとえば右側などの側面に追加する必要があります。 そして、下部は上部の長さだけ左に延長されます。 次に、それらを対角線で接続します。 この線分と図の中心線との交点が台形の重心になります。

内接台形と外接台形

そのような図の特徴をリストしてみましょう。

1. 台形は二等辺の場合にのみ円に内接することができます。

2. 台形は、底辺の長さの合計が辺の長さの合計と等しい場合に、円の周りに記述することができます。

内接円の結果:

1. 記述された台形の高さは常に 2 つの半径に等しくなります。

2. 記載されている台形の側面を円の中心から直角に観察します。

最初の帰結は明らかであり、2 番目の帰結を証明するには、SOD 角度が正しいことを確立する必要がありますが、実際、これも難しくありません。 しかし、この性質を知っていれば、問題を解く際に直角三角形を使用できるようになります。

ここで、円に内接する二等辺台形についてこれらの結果を指定します。 高さは図の底辺の幾何平均であることがわかります: H=2R=√(BS*AD)。 台形の問題を解決するための主なテクニック (2 つの高さを描く原理) を練習して、学生は次の課題を解決する必要があります。 BT が二等辺図形 ABSD の高さであることを受け入れます。 セグメント AT と TD を見つける必要があります。 上で説明した公式を使用すると、これを行うのは難しくありません。

外接台形の面積を使って円の半径を求める方法を考えてみましょう。 頂点BからADの底辺までの高さを下げます。 円は台形に内接するため、BS + AD \u003d 2AB または AB \u003d (BS + AD) / 2 となります。 三角形 ABN から、sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD) がわかります。 PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2、BN \u003d 2R。 PABSD \u003d (BS + HELL) * R を取得すると、R \u003d PABSD / (BS + HELL) になります。

台形の中線のすべての公式

次に、この幾何学的図形の最後の要素に進みます。 台形の中心線 (M) が何に等しいかを調べてみましょう。

1.ベースを介して：M \u003d（A + B）/ 2。

2. 高さ、底辺、角度を通して:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. 高さ、対角線、およびそれらの間の角度を通して。 たとえば、D1 と D2 は台形の対角線です。 α、β - それらの間の角度:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H。

4. 面積と高さ: M = P / N。

この記事では、台形の特性を可能な限り完全に反映するように努めます。 特に、台形の一般的な記号と特性、内接台形の特性と台形に内接する円について説明します。 二等辺三角形と直方台形の性質についても触れていきます。

考慮された特性を使用して問題を解決する例は、頭の中で物事を整理し、内容をよりよく思い出すのに役立ちます。

空中ブランコとオールオールオール

まず、台形とは何か、そして台形に関連する他の概念を簡単に思い出してみましょう。

したがって、台形は、2 つの辺が互いに平行である四角形の図形です (これらが底辺です)。 そして、2つは平行ではありません - これらは側面です。

台形では、底辺に垂直な高さを省略できます。 中心線と対角線が引かれます。 また、台形のどの角度からでも二等分線を描くことができます。

これらすべての要素とその組み合わせに関連するさまざまなプロパティについて説明します。

台形の対角線の性質

わかりやすくするために、読みながら、紙に ACME の台形をスケッチし、そこに対角線を描きます。

1. それぞれの対角線の中点 (これらの点を X と T と呼びます) を見つけて接続すると、セグメントが得られます。 台形の対角線の特性の 1 つは、線分 XT が正中線上にあることです。 そして、その長さは、塩基の差を 2 で割ることによって取得できます。 XT \u003d (a - b) / 2.
2. 私たちの前には同じACMEの台形があります。 対角線は点 O で交差します。対角線のセグメントと台形の底辺によって形成される三角形 AOE と IOC を考えてみましょう。 これらの三角形は相似です。 k 個の三角形の類似係数は、台形の底辺の比率で表されます。 k = AE/KM。
   三角形 AOE と IOC の面積の比は、係数 k 2 で表されます。
3. すべて同じ台形で、同じ対角線が点 O で交差します。今回のみ、対角線のセグメントが台形の辺と一緒に形成した三角形を考慮します。 三角形 AKO と EMO の面積は等しく、それらの面積は同じです。
4. 台形のもう 1 つの特性には、対角線の構築が含まれます。 したがって、AK と ME の側面を小さい方の底辺の方向に続けると、遅かれ早かれそれらはある点で交差します。 次に、台形の底辺の中点を通る直線を引きます。 点 X と点 T でベースと交差します。
   ここで線分 XT を延長すると、台形 O の対角線の交点、つまり X と T の辺の延長線と底辺の中点が交差する点を結ぶことになります。
5. 対角線の交点を介して、台形の底辺を接続するセグメントを描きます (T は KM の小さい底辺にあり、X - は大きい AE にあります)。 対角線の交点は、このセグメントを次の比率で分割します。 TO/OH = KM/AE.
6. そして、対角線の交点を通して、台形の底辺に平行な線分を描きます (a と b)。 交点により 2 つの等しい部分に分割されます。 セグメントの長さは次の式を使用して見つけることができます。 2ab/(a + b).

台形の中線の性質

台形の底辺に平行に中央線を引きます。

1. 台形の正中線の長さは、底辺の長さを加算して半分に分けることで計算できます。 m = (a + b)/2.
2. 台形の両方の底辺を通る線分 (たとえば、高さ) を描くと、中央の線によって台形が 2 つの等しい部分に分割されます。

台形の二等分線の性質

台形の任意の角度を選択し、二等分線を描きます。 たとえば、台形 ACME の角度 KAE を考えてみましょう。 自分で構築を完了すると、二等分線が底辺（または図形自体の外側の直線上の継続）から辺と同じ長さのセグメントを切り取っていることが簡単にわかります。

台形角のプロパティ

1. 辺に隣接する 2 つの角度のペアのどちらを選択しても、ペアの角度の合計は常に 180 0 になります。α + β = 180 0 および γ + δ = 180 0 です。
2. 台形の底辺の中点を線分 TX で接続します。 次に、台形の底辺の角度を見てみましょう。 いずれかの角度の合計が 90 0 である場合、TX セグメントの長さは、底辺の長さの差を半分に割った値に基づいて簡単に計算できます。 TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. 台形の角の辺を通る平行線を引くと、角の辺が比例したセグメントに分割されます。

二等辺（二等辺）台形の性質

1. 二等辺台形では、どの底面の角度も等しいです。
2. ここで、内容を想像しやすくするために、台形を再度作成します。 AE の底面を注意深く見てください。M の反対側の底面の頂点が、AE を含む線上の特定の点に投影されます。 頂点Aから頂点Mの投影点までの距離と等脚台形の中線は等しい。
3. 二等辺台形の対角線の性質について少し説明します。それらの長さは等しいです。 また、台形の底辺に対するこれらの対角線の傾斜角度も同じです。
4. 四辺形の対角の合計 180 0 がその前提条件であるため、円は二等辺台形の近くでのみ記述できます。
5. 二等辺台形の性質は前の段落から続きます。台形の近くに円を記述できる場合、それは二等辺です。
6. 二等辺台形の特徴から、台形の高さの特性は次のようになります。対角線が直角に交わる場合、高さの長さは底辺の合計の半分に等しくなります。 h = (a + b)/2.
7. 台形の底辺の中点を通る線 TX を再度描きます。等脚台形では、底辺に垂直になります。 そして同時に、TX は等脚台形の対称軸でもあります。
8. 今度は、台形の反対側の頂点からの高さを大きい方の底辺 (a と呼びます) に下げます。 2カットお受けいたします。 1 の長さは、底辺の長さを足して半分にするとわかります。 (a+b)/2。 大きい方の基数から小さい方を減算し、得られた差を 2 で割ると、2 番目の値が得られます。 (a – b)/2.

円に内接する台形の性質

円に内接する台形についてはすでに話しているので、この問題についてさらに詳しく説明しましょう。 特に、台形に対して円の中心はどこにあるのか。 ここでも、鉛筆を手に取り、以下で説明するものを描くのを怠らないことをお勧めします。 そのため、理解が早くなり、よりよく覚えられるようになります。

1. 円の中心の位置は、台形の側面に対する対角線の傾斜角度によって決まります。 たとえば、台形の上部から側面に対して直角に対角線が現れることがあります。 この場合、大きい方の底辺は外接円の中心とちょうど真ん中で交差します (R = 1/2AE)。
2. 対角線と側面が鋭角で交わることもあります。その場合、円の中心は台形の内側になります。
3. 台形の対角線と側面との間に鈍角がある場合、外接円の中心は台形の大きな底辺を超えて台形の外側にある可能性があります。
4. ACME 台形の対角線と大きな底辺によって形成される角度 (内接角) は、それに対応する中心角の半分です。 MAE = 1/2MY.
5. 外接円の半径を求める2つの方法について簡単に説明します。 方法 1: 図面を注意深く見てください。何が見えますか? 対角線によって台形が 2 つの三角形に分割されることが簡単にわかります。 半径は、三角形の辺と反対の角度の正弦の比を 2 倍することで求められます。 例えば、 R \u003d AE / 2 * sinAME。 同様に、両方の三角形の辺のいずれについても式を書くことができます。
6. 方法 2: 台形の対角線、辺、底面で形成される三角形の領域を通る外接円の半径を求めます。 R \u003d AM * ME * AE / 4 * SAME.

円に外接する台形の性質

1つの条件を満たせば、台形に円を内接することができます。 詳細については以下をご覧ください。 そして、この数字の組み合わせには、多くの興味深い特性があります。

1. 円が台形に内接する場合、その正中線の長さは、辺の長さを加算し、得られた合計を半分で割ることによって簡単に求めることができます。 m = (c + d)/2.
2. 円に外接する台形 ACME の場合、底辺の長さの合計は辺の長さの合計と等しくなります。 AK + 私 = KM + AE.
3. 台形の底辺のこの性質から、逆のステートメントが続きます。つまり、底辺の合計が辺の合計に等しい円をその台形に内接することができます。
4. 台形に内接する半径 r の円の接点は、側面を 2 つのセグメントに分割し、それらを a と b とします。 円の半径は次の式を使用して計算できます。 r = √ab.
5. そしてもう一つ物件が。 混乱しないように、この例を自分で描いてください。 円に外接する古き良き ACME 台形があります。 その中に対角線が描かれ、点 O で交差します。対角線と辺のセグメントによって形成される三角形 AOK と EOM は長方形です。
   これらの三角形の斜辺 (台形の辺) まで下げた高さは、内接円の半径と一致します。 そして台形の高さは内接円の直径と同じになります。

直方体台形の性質

台形は長方形と呼ばれ、その角の 1 つが右になります。 そしてその特性はこの状況から生まれます。

1. 長方形台形は、辺の 1 つが底辺に対して垂直になっています。
2. 直角に隣接する台形の高さと辺は等しい。 これにより、長方形台形の面積を計算できます（一般式） S = (a + b) * h/2）高さだけでなく、直角に隣接する側面も通過します。
3. 長方形台形の場合、すでに上で説明した台形の対角線の一般的な特性が関係します。

台形のいくつかの性質の証明

二等辺台形の底辺の角度が等しい：

• おそらくここでも ACME 台形が必要であることはすでにおわかりでしょう。二等辺台形を描きます。 頂点 M から AK の辺に平行な線 MT を描きます (MT || AK)。

結果として得られる四角形 AKMT は、平行四辺形 (AK || MT、KM || AT) です。 ME = KA = MT であるため、∆ MTE は二等辺であり、MET = MTE です。

AK || MT であるため、MTE = KAE、MET = MTE = KAE となります。

ここで、AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME。

Q.E.D.

さて、等脚台形の性質（対角線が等しい）に基づいて、次のことを証明します。 台形 ACME は二等辺です:

• まず、直線 МХ – МХ || を引きましょう。 ケ。 平行四辺形 KMHE (ベース - MX || KE および KM || EX) が得られます。

AM = KE = MX、MAX = MEA であるため、ΔAMH は二等辺三角形です。

MX || KE、KEA = MXE、したがって MAE = MXE。

AM \u003d KE と AE が 2 つの三角形の共通の辺であるため、三角形 AKE と EMA は互いに等しいことがわかりました。 そしてMAE \u003d MXEもあります。 AK = ME と結論付けることができるため、台形 AKME は二等辺であることがわかります。

繰り返すタスク

台形 ACME の底辺は 9 cm と 21 cm で、8 cm に等しい KA の辺は、小さい方の底辺と 150° の角度を形成します。 台形の面積を見つける必要があります。

解決策: 頂点 K から、台形のより大きな底辺まで高さを下げます。 台形の角度を見てみましょう。

角度 AEM と KAN は片側です。 つまり、合計すると 1800 になります。 したがって、KAN = 30 0 (台形の角度の特性に基づく)。

ここで、長方形の ∆ANK について考えてみましょう (この点は、さらなる証明がなくても読者には明らかだと思います)。 そこから台形 KH の高さを求めます。三角形では、それは角度 30 0 の反対側にある脚です。 したがって、KN \u003d 1/2AB \u003d 4 cmです。

台形の面積は次の式で求められます：S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2。

あとがき

この記事を慎重かつ思慮深く学び、鉛筆を手に上記のすべての特性の台形を描いて実際に分析するのが面倒でなければ、この内容を十分に習得しているはずです。

もちろん、ここには多くの情報があり、多様で、時には混乱を招くことさえあります。記述された台形の特性と内接された台形の特性を混同することは、それほど難しいことではありません。 しかし、あなた自身もその違いが非常に大きいことに気づいたはずです。

これで、台形のすべての一般的なプロパティの詳細な概要が得られました。 二等辺三角形と直方体台形の具体的な性質と特徴も併せて説明します。 テストや受験の準備にとても便利です。 自分で試して、リンクを友達と共有してください。

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