いわゆる等差数列。 等差数列を見つけるにはどうすればよいですか? 等差数列の例と解
等差数列について聞いたことがある人はたくさんいますが、それが何であるかをよく理解している人はいません。 この記事では、対応する定義を示し、等差数列の違いを見つける方法の問題についても検討し、いくつかの例を示します。
数学的定義
したがって、算術または代数数列について話している場合 (これらの概念は同じことを定義します)、これは次の法則を満たす特定の数列が存在することを意味します。つまり、その列内の隣接する 2 つの数値はすべて同じ値だけ異なります。 数学的には次のように書かれます。
ここで、n はシーケンス内の要素 a n の数を意味し、数値 d は数列の差です (その名前は提示された式から来ています)。
違い d を知ることは何を意味しますか? 隣り合う数字が互いにどのくらい「離れているか」について。 ただし、d の知識は、進行全体を決定 (復元) するための必要条件ではありますが、十分条件ではありません。 もう 1 つの数字を知る必要があります。これは、検討中の系列の任意の要素 (たとえば、4、a10) にすることができますが、原則として、最初の数字、つまり 1 を使用します。
進行要素を決定するための公式
一般に、特定の問題の解決に進むには、上記の情報だけで十分です。 それにもかかわらず、等差数列が与えられ、その違いを見つける必要がある前に、いくつかの有用な公式を提示します。これにより、その後の問題を解決するプロセスが容易になります。
次のように、番号 n のシーケンスの任意の要素を見つけることができることを示すのは簡単です。
a n = a 1 + (n - 1) * d
実際、誰でも簡単な検索でこの式を確認できます。n = 1 に置き換えると最初の要素が得られ、n = 2 に置き換えると、式は最初の数値と差の合計を返します。
多くの問題の条件は、既知の数値のペアが与えられ、その数値も数列で与えられると、数値系列全体を再構成する (差分と最初の要素を見つける) 必要があるように構成されています。 ここで、この問題を一般的な形式で解決します。
そこで、番号 n と m を持つ 2 つの要素が与えられたとします。 上記で得られた式を使用すると、2 つの方程式からなる系を作成できます。
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
未知の量を見つけるには、このような系を解くためのよく知られた簡単な手法を使用します。つまり、ペアの左辺と右辺を減算すると、等式は有効のままです。 我々は持っています：
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
したがって、未知の 1 つ (a 1) を除外しました。 これで、d を決定するための最終式を書くことができます。
d = (a n - a m) / (n - m)、n > m
非常に単純な公式を受け取りました。問題の条件に従って差 d を計算するには、要素自体とそのシリアル番号の間の差の比率を取るだけで済みます。 1 つの重要な点に注意を払う必要があります。「先輩」メンバーと「後輩」メンバーの間で差異が考慮されます。つまり、n > m (「先輩」とはシーケンスの先頭から遠くに立っていることを意味し、その絶対値は次のいずれかです)多かれ少なかれ「ジュニア」要素が多くなります）。
差分 d 数列の式は、問題を解く開始時にいずれかの式に代入して、最初の項の値を取得する必要があります。
コンピューター技術が発展した現代では、多くの学童がインターネット上で課題の解決策を見つけようとしているため、この種の質問がよく発生します。「オンラインで等差数列の違いを見つけてください」というものです。 このようなリクエストの場合、検索エンジンは多数の Web ページを返します。そこにアクセスして、条件からわかるデータを入力する必要があります (これは、進行の 2 つの項、またはそれらの特定の数の合計のいずれかです) ）すぐに答えが得られます。 しかし、問題を解決するためのこのアプローチは、生徒の成長と、割り当てられた課題の本質の理解という点で非生産的です。
数式を使わない解法
与えられた公式を一切使用せずに最初の問題を解いてみましょう。 級数の要素を a6 = 3、a9 = 18 とします。等差数列の違いを求めます。
既知の要素が互いに近接して並んでいます。 最大値を得るには、差 d を最小値に何回加算する必要がありますか? 3 回 (最初に d を追加すると 7 番目の要素が得られ、2 回目は 8 回目、最後に 3 回目は 9 回目)。 3に3回足すと18になる数字は何ですか? これが5番です。 本当に：
したがって、未知の差は d = 5 となります。
もちろん、適切な公式を使用して解決策を実行することもできましたが、これは意図的に行われたものではありません。 問題の解決策の詳細な説明は、等差数列が何であるかを明確に示す例となるはずです。
前のタスクと同様のタスク
次に、入力データを変更して、同様の問題を解決してみましょう。 したがって、a3 = 2、a9 = 19 かどうかを確認する必要があります。
もちろん、再び「正面からの」解決方法に頼ることもできます。 ただし、系列の要素が互いに比較的遠く離れているため、この方法は完全に便利というわけではありません。 しかし、結果の式を使用すると、すぐに答えが得られます。
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83
ここで最終的な数値を四捨五入しました。 この丸めがどの程度エラーを引き起こしたかは、結果を確認することで判断できます。
a9 = a3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98
この結果は、条件で指定された値とわずか 0.1% だけ異なります。 したがって、100 分の 1 の位まで四捨五入することは成功した選択であると考えられます。
an項の公式の適用に関する問題
未知の d を決定する問題の典型的な例を考えてみましょう。a1 = 12、a5 = 40 の場合の等差数列の差を求めます。
未知の代数列の 2 つの数が与えられ、そのうちの 1 つが要素 a 1 である場合、長く考える必要はなく、すぐに a n 項の公式を適用する必要があります。 この場合、次のようになります。
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
除算時に正確な数値を取得したため、前の段落で行ったように、計算結果の正確性を確認することに意味はありません。
別の同様の問題を解いてみましょう。a1 = 16、a8 = 37 の場合の等差数列の差を見つける必要があります。
前と同様のアプローチを使用すると、次の結果が得られます。
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
等差数列について他に知っておくべきことは何ですか?
未知の差分や個々の要素を見つける問題に加えて、数列の最初の項の合計の問題を解くことが必要になることもよくあります。 これらの問題についての考察はこの記事の範囲を超えていますが、情報を完全にするために、一連の n 個の数値の合計に関する一般的な式を示します。
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
式の主な本質は何ですか?
この式を使用すると、次のことがわかります。 どれでも 彼の番号で」 ん」 .
もちろん、最初の用語も知っておく必要があります 1そして進行度の差 dそうですね、これらのパラメータがなければ、特定の進行を書き留めることはできません。
この公式を暗記する（または暗記する）だけでは十分ではありません。 その本質を理解し、公式をさまざまな問題に適用する必要があります。 そして、適切な瞬間を忘れないようにしましょう...) 方法 忘れないで- わからない。 そしてここ 覚え方必要であれば、必ずアドバイスさせていただきます。 レッスンを最後まで受講した方が対象です。）
それでは、等差数列の n 項の公式を見てみましょう。
一般に数式とは何ですか? ちなみに、未読の方はぜひ読んでみてください。 そこではすべてがシンプルです。 それが何であるかを理解することはまだ残っています n期目。
一般に、進行は一連の数値として記述できます。
1、2、3、4、5、....
1- 等差数列の最初の項を表します。 3- 3人目のメンバー、 4- 4番目など。 第 5 期に興味がある場合は、次のように取り組んでいるとしましょう。 5、120分の1の場合 - s 120.
一般的にそれをどのように定義できますか? どれでも等差数列の項、 どれでも番号？ とてもシンプルです！ このような：
あ、ん
それはそれです 等差数列の n 番目の項。文字 n は、すべてのメンバー番号 (1、2、3、4 など) を一度に非表示にします。
そして、そのような記録は私たちに何をもたらすのでしょうか？ 考えてみてください、彼らは数字の代わりに文字を書き留めました...
この表記法は、等差数列を扱うための強力なツールを提供します。 表記法を使用する あ、ん、すぐに見つけることができます どれでもメンバー どれでも等差数列。 そして、その他の進行上の問題をたくさん解決してください。 さらに詳しくは自分の目で確認してください。
等差数列の n 番目の項の式では、次のようになります。
| a n = a 1 + (n-1)d |
1- 等差数列の最初の項。
n- 会員番号。
この式は、あらゆる進行の主要なパラメータを結び付けます。 ; 1 ; dそして n. すべての進行上の問題は、これらのパラメータを中心に展開します。
n 項の公式は、特定の数列を記述するためにも使用できます。 たとえば、問題は進行が条件によって指定されていると言う場合があります。
a n = 5 + (n-1) 2.
このような問題は行き止まりになる可能性があります...級数も差分もありません...しかし、条件を式と比較すると、このような進行であることが簡単に理解できます ａ １ ＝５、およびｄ＝２である。
そして、それはさらに悪いことになる可能性があります!) 同じ条件を仮定すると、次のようになります。 a n = 5 + (n-1) 2、はい、括弧を開けて、同じようなものを持ってきてください? 新しい式が得られます。
a n = 3 + 2n。
これ 一般的なものではなく、特定の進行のためのものです。 ここに落とし穴が潜んでいます。 1期は3だと思う人もいる。 実際には最初の項は 5 ですが...もう少し低く、このような修正された式を使用して作業します。
進行問題では別の表記法があります - n+1。 ご想像のとおり、これは数列の「n プラス第一」項です。 その意味は単純で無害です。) これは、番号 n より 1 大きい数列のメンバーです。 たとえば、何らかの問題が発生した場合、 あ、んそれから5期目 n+1 6人目のメンバーになります。 等。
ほとんどの場合、指定 n+1漸化式で見られます。 この恐ろしい言葉を恐れないでください!) これは等差数列のメンバーを表現する単なる方法です 前回のものを通して。漸化式を使用して、次の形式で等差数列が与えられたとします。
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
4 番目から 3 番目まで、5 番目から 4 番目まで、というようになります。 たとえば、20 項をすぐに数えるにはどうすればよいでしょうか? 20? でもそんなわけない！） 19期がわかるまでは20期を数えることはできない。 これが漸化式と n 項の式の根本的な違いです。 リカレントは経由でのみ機能します 前の第 n 項の式は次のようになります。 初めそして許可します すぐに番号でメンバーを検索します。 一連の数値全体を順番に計算する必要はありません。
等差数列では、再帰式を通常の式に変えるのは簡単です。 連続する用語のペアを数え、その差を計算します d、必要に応じて最初の項を見つけます 1、通常の形式で数式を記述し、それを操作します。 州科学アカデミーではこのような作業が頻繁に行われます。
等差数列の n 番目の項に対する公式の適用。
まず、公式を直接適用する方法を見てみましょう。 前回のレッスンの終わりに次の問題がありました。
等差数列 (a n) が与えられます。 a 1 =3 および d=1/6 の場合、121 を求めます。
この問題は公式を使わずに等差数列の意味だけで解くことができます。 追加しても追加しても... 1 ～ 2 時間。)
式によれば、解決には 1 分もかかりません。 時間は調整できます。）決めましょう。
条件は、式を使用するためのすべてのデータを提供します。 ａ １ ＝３、ｄ＝１／６。何が等しいかを理解することはまだ残っています n.問題ない！ 見つける必要があります 121。 したがって、次のように書きます。
注目してください！ インデックスの代わりに n特定の数字が表示されました: 121。これは非常に論理的です。) 私たちは等差数列のメンバーに興味があります。 百二十一番。これは私たちのものになります n.これが意味です n= 121 括弧内の式にさらに代入します。 すべての数値を式に代入して計算します。
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
それでおしまい。 510 番目の項と 1003 番目の項をすぐに見つけることができます。 代わりに置きます n文字のインデックス内の希望の番号「 ああ」そして括弧内で数えます。
重要なことを思い出させてください。この式を使用すると、次のことがわかります。 どれでも等差数列項 彼の番号で」 ん」 .
もっと巧妙な方法で問題を解決しましょう。 次の問題に遭遇してみましょう。
a 17 =-2 の場合、等差数列 (a n) の最初の項を見つけます。 d=-0.5。
何かお困りのことがあれば、最初のステップを教えます。 等差数列の n 項の式を書きなさい!はいはい。 ノートに直接、手で書き留めてください。
| a n = a 1 + (n-1)d |
さて、式の文字を見ると、どのようなデータがあり、何が欠けているのかがわかります。 利用可能 d=-0.5、 17人目のメンバーがいる…あれ？ それだけだと思っていたら問題は解決しません、はい...
まだ番号はあります n！ 状態 a 17 =-2隠れた 2 つのパラメータ。これは、第 17 項の値 (-2) とその数 (17) の両方です。 それらの。 n=17。この「些細なこと」はしばしば頭をすり抜けてしまい、それがなければ（頭ではなく「些細な」ことがなければ！）問題は解決できません。 ただし...頭もありません。)
ここで、愚かにもデータを式に代入することができます。
a 17 = a 1 + (17-1)・(-0.5)
そうそう、 17-2 であることがわかっています。 さて、次のように置き換えてみましょう。
-2 = a 1 + (17-1)・(-0.5)
基本的にはこれですべてです。 あとは等差数列の第 1 項を式から表現して計算するだけです。 答えは次のようになります。 a 1 = 6。
このテクニック - 式を書き留めて既知のデータを単純に置き換える - は、単純なタスクに非常に役立ちます。 もちろん、数式から変数を表現できなければなりませんが、どうすればよいでしょうか? このスキルがなければ数学はまったく勉強できないかもしれません...
もう 1 つの人気のあるパズル:
a 1 =2 の場合、等差数列の差 (a n) を求めます。 a 15 = 12。
私たちは何をしているのでしょうか？ 驚くでしょう、私たちは式を書いているのです!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
私たちが知っていることを考えてみましょう: ａ１＝２； ａ１５＝１２； そして（特に強調します！） n=15。 これを式に代入してください。
12=2 + (15-1)d
私たちは算術を行います。)
12=2 + 14日
d=10/14 = 5/7
これが正解です。
したがって、次のタスクは、 n、1そして d決めた。 残っているのは、数値の求め方を学ぶことだけです。
数字 99 は等差数列 (a n) のメンバーであり、a 1 =12 です。 d=3。 この会員番号を見つけてください。
既知の量を n 項の式に代入します。
a n = 12 + (n-1) 3
一見すると、ここには未知の量が 2 つあります。 nとn。しかし あ、ん- これは番号が付いた進行中のメンバーです n...そして私たちはこの進行メンバーを知っています! 99です。その番号はわかりません。 ん、したがって、この番号を見つける必要があります。 数列 99 の項を式に代入します。
99 = 12 + (n-1) 3
式から表すと n、 我々が考えます。 答えは次のとおりです。 n=30。
そして今度は同じトピックに関する問題ですが、より創造的です):
数値 117 が等差数列 (a n) のメンバーであるかどうかを判断します。
-3,6; -2,4; -1,2 ...
もう一度式を書いてみましょう。 えっ、パラメータがないんですか？ うーん...なぜ私たちに目があるのですか?) 進行の最初の項が見えますか? 私たちは見る。 これは-3.6です。 安全に次のように書くことができます。 a 1 = -3.6。違い dシリーズから判断できますか？ 等差数列の違いがわかれば簡単です。
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
そこで、最も単純なことを行いました。 未知の番号への対処が残っている n前の問題では、少なくとも、それが与えられた数列の項であることがわかっていました。 しかし、ここでは私たちもわかりません...どうすればいいですか? さて、どうなるか、どうなるか...創造力を発揮してください!)
私たちは 仮定する結局のところ、117 は私たちの進歩の一員なのです。 知らない番号で n。 そして、前の問題と同じように、この数値を見つけてみましょう。 それらの。 式を書き (はい、はい!))、数値を置き換えます。
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
もう一度式から表すとnを数えて次を取得します。
おっとっと！ 数字が判明しました 分数！ 111.5。 そして、数列の分数 あり得ません。どのような結論を導き出せるでしょうか? はい！ 117番 ではありません私たちの進歩のメンバー。 それは百と第一項と百と第二項の間のどこかです。 数値が自然であることが判明した場合、つまり が正の整数の場合、その数値は、見つかった数値の数列のメンバーになります。 私たちの場合、問題に対する答えは次のようになります。 いいえ。
GIA の実際のバージョンに基づくタスク:
等差数列は次の条件によって与えられます。
a n = -4 + 6.8n
進行の第 1 項と第 10 項を見つけます。
ここでの進行は珍しい方法で設定されています。 ある種の公式…それは起こります。）しかし、この公式（上で書いたように）- 等差数列の n 項の公式でもあります。彼女も許可します 進行のメンバーをその番号で見つけます。
最初のメンバーを募集しています。 考える人。 最初の項がマイナス 4 であるというのは致命的な間違いです!) 問題の式が変更されているためです。 その中の等差数列の最初の項 隠れた。大丈夫、すぐに見つけます。）
前の問題と同様に、次のように置き換えます。 n=1この式に：
a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
ここ！ 最初の項は -4 ではなく 2.8 です。
同じ方法で 10 番目の項を探します。
a 10 = -4 + 6.8 10 = 64
それでおしまい。
そして今、これらの行を読んだ人には約束されたボーナスがあります。)
国家試験や統一国家試験の厳しい戦闘状況で、等差数列の n 項に役立つ公式を忘れたとします。 何かは覚えているけど、なんとなく不確か… あるいは nそこで、または n+1、または n-1...なんと！
落ち着いた！ この公式は簡単に導き出せます。 それほど厳密ではありませんが、自信と正しい決断をするには間違いなく十分です!) 結論を言うと、等差数列の基本的な意味を覚えて、数分の時間を確保できれば十分です。 ただ絵を描くだけでいいのです。 明確にするために。
数直線を引き、その上の最初の直線に印を付けます。 2番目、3番目など。 メンバー。 そして私たちは違いに気づきます dメンバー間で。 このような：
私たちは絵を見て考えます: 2 番目の項は何に等しいでしょうか? 2番 1つ d:
ある 2 =a1+ 1 d
第三期とは何ですか？ 三番目項は最初の項にプラスを加えたものに等しい 二 d.
ある 3 =a1+ 2 d
わかりますか？ いくつかの単語を太字で強調しているのは当然のことです。 わかりました、もう一歩）。
第四期とは何ですか？ 第4項は最初の項にプラスを加えたものに等しい 三つ d.
ある 4 =a1+ 3 d
ギャップの数、つまり d、 いつも 探しているメンバーの番号より1つ少ない数 n. つまり、その数に n、スペースの数意思 n-1。したがって、式は次のようになります (バリエーションはありません!)。
| a n = a 1 + (n-1)d |
一般に、視覚的な絵は数学の多くの問題を解決するのに非常に役立ちます。 写真を無視しないでください。 ただし、絵を描くのが難しい場合は、式だけで十分です!) さらに、第 n 項の式を使用すると、方程式、不等式、システムなど、数学の強力な武器全体を解決策に結び付けることができます。 数式に画像を挿入することはできません...
独立した解決策のためのタスク。
ウォームアップするには:
1. 等差数列 (a n) a 2 =3; ａ５＝５．１。 3 を見つけます。
ヒント: 画像によると、この問題は 20 秒で解けます...公式によると、それはさらに難しいことがわかります。 ただし、公式をマスターするには、この方が便利です。) セクション 555 では、この問題は図と公式の両方を使用して解決されます。 違いを感じます！）
そしてこれはもはやウォーミングアップではありません。)
2. 等差数列 (a n) a 85 =19.1。 a 236 =49, 3. a 3 を見つけます。
え、絵描きたくないの？） もちろんですよ！ 公式によれば、そうです...
3. 等差数列は次の条件によって与えられます。a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5。 この数列の 125 項を見つけてください。
このタスクでは、進行は反復的に指定されます。 しかし、125 項まで数えてみると...誰もがそのような偉業を達成できるわけではありません。) しかし、n 項の公式は誰でもできるのです。
4. 等差数列 (a n) を指定すると、次のようになります。
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
数列の最小の正の項の数を見つけます。
5. タスク 4 の条件に従って、数列の最小の正の項と最大の負の項の合計を見つけます。
6. 増加する等差数列の第 5 項と第 12 項の積は -2.5 に等しく、第 3 項と第 11 項の和はゼロに等しくなります。 14 を見つけます。
最も簡単な作業ではありません、そうです...) 「指先」の方法はここでは機能しません。 数式を書いて方程式を解く必要があります。
答え（混乱中）：
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
起こりました？ いいね！）
すべてがうまくいかないのですか？ 起こります。 ところで、最後の作業で微妙な点が一つあります。 問題を読む際には注意が必要です。 そしてロジック。
これらすべての問題の解決策は、セクション 555 で詳しく説明されています。また、4 番目のファンタジーの要素、6 番目の微妙な点、および n 項の公式に関係する問題を解決するための一般的なアプローチ、すべてが説明されています。 お勧めします。
このサイトが気に入ったら...
ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう!)
関数と導関数について知ることができます。
等差数列の合計。
等差数列の和は単純なものです。 意味的にも式的にも。 しかし、このトピックに関してはあらゆる種類のタスクがあります。 ベーシックなものからかなりしっかりしたものまで。
まずは金額の意味と計算式を理解しましょう。 そしてそれから私たちが決めます。 あなた自身の楽しみのために。）金額の意味は、mooと同じくらい単純です。 等差数列の和を求めるには、そのすべての項を注意深く追加するだけです。 これらの項が少ない場合は、数式を使用せずに加算できます。 しかし、たくさんある場合、またはたくさんある場合...足し算は面倒です。) この場合、公式が役に立ちます。
金額の計算式は簡単です。
数式にはどんな文字が含まれているのか見てみましょう。 これでかなりすっきりします。
Sn - 等差数列の合計。 加算結果 みんなメンバーと、 初めによる 最後。大事です。 それらは正確に合計されます 全て飛ばしたり飛ばしたりすることなく、メンバーを一列に並べます。 そして、正確には、から始めて、 初め。 3 番目と 8 番目の項の合計、または 5 番目から 20 番目の項の合計を求めるような問題では、公式を直接適用すると期待外れになります)。
1 - 初めプログレッションのメンバー。 ここではすべてが明確です、簡単です 初め行番号。
あ、ん- 最後プログレッションのメンバー。 シリーズの最終号。 あまり聞きなれない名前ですが、金額に当てはめるととてもぴったりです。 そうすればあなた自身の目でわかります。
n - 最後のメンバーの番号。 この数式では、この数値が は追加された項の数と一致します。
コンセプトを定義しましょう 最後メンバー あ、ん。 難しい質問: メンバーは誰になるのか 最後のもの与えられれば 無限の等差数列?)
自信を持って答えるには、等差数列の基本的な意味を理解し、タスクを注意深く読む必要があります。)
等差数列の和を求めるタスクでは、最後の項が常に (直接的または間接的に) 現れます。 それは制限されるべきです。それ以外の場合は、最終的な特定の金額 単に存在しないだけです。解の場合、進行が有限か無限かは関係ありません。 一連の数値や n 番目の項の式など、その与え方は関係ありません。
最も重要なことは、この式が数列の最初の項から数字の項まで機能することを理解することです。 n.実際、式の完全な名前は次のようになります。 等差数列の最初の n 項の合計。これらの最初のメンバーの数、つまり n、タスクによってのみ決定されます。 タスクでは、この貴重な情報はすべて暗号化されることがよくあります...しかし気にしないでください。以下の例では、これらの秘密が明らかになります。)
等差数列の和に関するタスクの例。
まず最初に、役立つ情報:
等差数列の和を伴うタスクの主な困難は、式の要素を正しく決定することにあります。
タスクの作成者は、まさにこれらの要素を無限の想像力で暗号化します。）ここで重要なことは、恐れないことです。 要素の本質を理解するには、それらを解読するだけで十分です。 いくつかの例を詳しく見てみましょう。 実際の GIA に基づいたタスクから始めましょう。
1. 等差数列は、a n = 2n-3.5 という条件で与えられます。 最初の 10 項の合計を求めます。
よくやった。 簡単です。) 公式を使用して金額を決定するには、何を知る必要がありますか? 最初のメンバー 1、前期 あ、んはい、最後のメンバーの番号です n.
最後の会員番号はどこで入手できますか? n? はい、その通りです、条件付きで！ それは言う：合計を見つけてください 最初の10人のメンバー。さて、何番になるでしょうか？ 最後、 10人目のメンバー？）信じられないでしょう、彼の番号は10人目です！）したがって、代わりに あ、ん式に代入していきます 10、そして代わりに n- 十。 繰り返しますが、最後のメンバーの番号はメンバーの数と一致します。
決定するのはまだ先だ 1そして 10。 これは、問題文に示されている n 項の公式を使用して簡単に計算できます。 やり方がわからないですか？ 前回のレッスンに参加してください。これなしではどうしようもありません。
1= 2 1 - 3.5 = -1.5
10=2・10 - 3.5 =16.5
Sn = S10.
等差数列の和を求める公式のすべての要素の意味がわかりました。 残っているのは、それらを代入して数えることだけです。
それでおしまい。 答え：75。
GIA に基づく別のタスク。 もう少し複雑です:
2. 等差数列 (a n) が与えられると、その差は 3.7 になります。 ａ １ ＝２．３。 最初の 15 項の合計を求めます。
すぐに合計の式を書きます。
この公式を使用すると、任意の項の値をその番号によって見つけることができます。 単純な置換を探します。
a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1
すべての要素を等差数列の合計の式に代入して、答えを計算する必要があります。
答え：423。
ちなみに、 の代わりに合計式の場合 あ、ん n 番目の項を式に置き換えるだけで、次の結果が得られます。
同様のものを提示して、等差数列の項の和の新しい公式を取得してみましょう。
 |
ご覧のとおり、ここでは n 番目の項は必要ありません あ、ん。 問題によっては、この公式が非常に役立つことがあります。この公式を覚えておいてください。 または、ここのように適切なタイミングで表示することもできます。 結局のところ、和の公式とn番目の項の公式は常に覚えておく必要があります。)
タスクは短い暗号化の形式になります):
3. 3 の倍数であるすべての正の 2 桁の数値の合計を求めます。
おお！ 最初のメンバーでも、最後のメンバーでも、全然進まない…どうやって生きていくのか！
頭で考えて、条件から等差数列の和の要素をすべて取り出す必要があります。 私たちは 2 桁の数字が何であるかを知っています。 2 つの数字で構成されています。) 2 桁の数字は何になりますか? 初め? おそらく 10 です。) 最後のこと二桁の数字？ もちろん99です！ 三桁の奴らは彼を追いかけるだろう…
3 の倍数... うーん... これは 3 で割り切れる数です。 10は3で割り切れません、11は割り切れません…12は…割り切れます！ それで、何かが浮かび上がってきます。 問題の条件に応じて系列を書き留めることができます。
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
この数列は等差数列になりますか? 確かに！ 各用語は前の用語と厳密に 3 つの点が異なります。 たとえば、項に 2 または 4 を追加すると、結果は次のようになります。 新しい数値は 3 で割り切れなくなります。等差数列の違いをすぐに判断できます。 d = 3。重宝しますよ！）
したがって、いくつかの進行パラメータを安全に書き留めることができます。
番号は何になりますか? n最後のメンバー？ 99 が致命的な間違いだと思っている人はいません... 数字は常に連続していますが、私たちのメンバーは 3 つを飛び越えます。 一致しません。
ここには 2 つの解決策があります。 1 つは、超勤勉な人のための方法です。 進行状況や一連の数字全体を書き留めたり、指でメンバーの数を数えたりすることができます。) 2 番目の方法は、思慮深い人向けです。 n項の公式を覚えておく必要があります。 この公式を問題に適用すると、99 が数列の 30 番目の項であることがわかります。 それらの。 n = 30。
等差数列の和の公式を見てみましょう。
私たちは見て喜びます。) 金額を計算するために必要なすべてを問題文から取り出しました。
1= 12.
30= 99.
Sn = 小30.
残るは初歩的な算数だけだ。 数値を式に代入して計算します。
答え: 1665
別の種類の人気のあるパズル:
4. 等差数列を考えると:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
20 番目から 34 番目までの項の合計を求めます。
私たちは金額の計算式を見て...動揺します。) 念のため言っておきますが、この計算式は金額を計算するものです 最初からメンバー。 そして問題では合計を計算する必要があります 二十代から…公式は成り立ちません。
もちろん、すべての進行をシリーズで書き出して、20 から 34 までの用語を追加することもできます。しかし、それはなんだか愚かで時間がかかりますよね?)
もっとエレガントな解決策があります。 シリーズを 2 つのパートに分けてみましょう。 最初の部分は次のようになります 第一期から第十九期まで。第二部 - 二十時から三十四時まで。最初の部分の項の合計を計算すると、次のことが明らかです。 S1-19、後半の項の合計と足してみます。 小20-34、最初の項から 34 番目の項までの進行の合計を取得します。 S1-34。 このような：
S1-19 + 小20-34 = S1-34
これから、合計を求めることがわかります 小20-34単純な引き算で実行できます
小20-34 = S1-34 - S1-19
右側の両方の金額が考慮されます 最初からメンバー、つまり 標準的な合計公式はそれらに非常に当てはまります。 始めましょう？
問題文から進行パラメータを抽出します。
d = 1.5。
1= -21,5.
最初の 19 項と最初の 34 項の合計を計算するには、19 番目と 34 番目の項が必要になります。 問題 2 と同様に、n 番目の項の式を使用してそれらを計算します。
19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5
34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28
何も残っていない。 34 項の合計から 19 項の合計を引きます。
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
答え: 262.5
重要な注意事項が 1 つあります。 この問題を解決するには非常に便利なトリックがあります。 直接計算する代わりに 必要なもの (S 20-34)、私たちは数えました 必要ないと思われるもの - S 1-19。そして彼らは決意した 小20-34、完全な結果から不要なものを破棄します。 この種の「耳を使ったフェイント」により、厄介な問題を回避できることがよくあります。)
このレッスンでは、等差数列の和の意味を理解するだけで十分な問題を取り上げました。 そうですね、いくつかの公式を知っておく必要があります。)
実践的なアドバイス:
等差数列の和に関する問題を解くときは、このトピックの 2 つの主要な公式をすぐに書き出すことをお勧めします。
n番目の項の式:
これらの公式は、問題を解決するために何を調べ、どの方向に考えるべきかをすぐに示します。 役立ちます。
そして今度は独立した解決策のタスクです。
5. 3 で割り切れないすべての 2 桁の数値の合計を求めます。
クール?) ヒントは問題 4 のメモに隠されています。まあ、問題 3 が役立つでしょう。
6. 等差数列は、次の条件によって与えられます。 a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5。 最初の 24 項の合計を求めます。
珍しい?) これは反復式です。 これについては、前のレッスンで読むことができます。 リンクを無視しないでください。このような問題は州科学アカデミーでよく見つかります。
7. ヴァシャは休暇のためにお金を貯めました。 なんと4550ルーブル！ そして大好きな人（自分）に数日間の幸せを与えることにした）。 自分を否定せずに美しく生きましょう。 初日に 500 ルーブルを費やし、その後の毎日は前の日よりも 50 ルーブル多く費やします。 お金がなくなるまで。 ヴァシャは何日間幸せを感じましたか？
難しいですか?) 問題 2 の追加公式が役に立ちます。
答え（混乱中）：7、3240、6。
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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう!)
関数と導関数について知ることができます。
すべての自然数について n 実数と一致する あ、ん 、その後、彼らはそれが与えられると言います 数列 :
ある 1 , ある 2 , ある 3 , . . . , あ、ん , . . . .
したがって、数列は自然引数の関数です。
番号 ある 1 呼ばれた 数列の最初の項 、 番号 ある 2 — シーケンスの第 2 項 、 番号 ある 3 — 三番目 等々。 番号 あ、ん 呼ばれた シーケンスの n 番目のメンバー 、および自然数 n — 彼の番号 .
隣り合った2人のメンバーから あ、ん そして あ、ん +1 シーケンスメンバー あ、ん +1 呼ばれた その後 （に向かって あ、ん )、A あ、ん — 前の （に向かって あ、ん +1 ).
シーケンスを定義するには、任意の番号を持つシーケンスのメンバーを検索できるメソッドを指定する必要があります。
多くの場合、シーケンスは次のように指定されます。 n項の公式 つまり、シーケンスのメンバーを番号によって決定できる式です。
例えば、
一連の正の奇数は次の式で与えられます。
あ、ん= 2n- 1,
そして交互のシーケンス 1 そして -1 - 式
b n = (-1)n +1 . ◄
順番が決められる リカレントフォーミュラ, つまり、あるメンバーから始まり、前の (1 つ以上の) メンバーまでのシーケンスの任意のメンバーを表す式です。
例えば、
もし ある 1 = 1 、A あ、ん +1 = あ、ん + 5
ある 1 = 1,
ある 2 = ある 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ある 3 = ある 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ある 4 = ある 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ある 5 = ある 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
もし 1= 1, 2 = 1, あ、ん +2 = あ、ん + あ、ん +1 , この場合、数列の最初の 7 項は次のように確立されます。
1 = 1,
2 = 1,
3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,
4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,
5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,
ある 6 = ある 4 + ある 5 = 3 + 5 = 8,
ある 7 = ある 5 + ある 6 = 5 + 8 = 13. ◄
シーケンスは次のとおりです。 最後の そして 無限の .
シーケンスは次のように呼ばれます 究極の 、メンバーの数が有限の場合。 シーケンスは次のように呼ばれます 無限の 、無限に多くのメンバーがいる場合。
例えば、
2 桁の自然数の列:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
最後の。
素数の列:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
無限。 ◄
シーケンスは次のように呼ばれます 増加する 、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーより大きい場合。
シーケンスは次のように呼ばれます 減少する 、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーより小さい場合。
例えば、
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — 増加するシーケンス。
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — 減少するシーケンス。 ◄
数が増えても要素が減らない、あるいは逆に要素が増えない数列を数列といいます。 単調なシーケンス .
単調シーケンスは特に、増加シーケンスと減少シーケンスです。
等差数列
等差数列 は、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーと等しく、それに同じ番号が追加されるシーケンスです。
ある 1 , ある 2 , ある 3 , . . . , あ、ん, . . .
任意の自然数の場合は等差数列です n 条件が満たされています:
あ、ん +1 = あ、ん + d,
どこ d - 特定の数。
したがって、特定の等差数列の後続の項と前の項の差は常に一定です。
2 - ある 1 = 3 - ある 2 = . . . = あ、ん +1 - あ、ん = d.
番号 d 呼ばれた 等差数列の違い.
等差数列を定義するには、その最初の項と差を示すだけで十分です。
例えば、
もし ある 1 = 3, d = 4 、次に、次のようにシーケンスの最初の 5 つの項を見つけます。
1 =3,
2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,
3 = 2 + d= 7 + 4 = 11,
4 = 3 + d= 11 + 4 = 15,
ある 5 = ある 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
第 1 項の等差数列の場合 ある 1 そしてその違い d 彼女 n
あ、ん = 1 + (n- 1)d.
例えば、
等差数列の 30 番目の項を見つけます
1, 4, 7, 10, . . .
1 =1, d = 3,
30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = 1 + (n- 2)d、
あ、ん= 1 + (n- 1)d、
あ、ん +1 = ある 1 + nd,
それから明らかに
| あ、ん=
| n-1 + n+1
|
| 2
|
2 番目から始まる等差数列の各メンバーは、前後のメンバーの算術平均に等しくなります。
数値 a、b、c は、そのうちの 1 つが他の 2 つの算術平均に等しい場合に限り、算術数列の連続した項になります。
例えば、
あ、ん = 2n- 7 、等差数列です。
上記の文を使ってみましょう。 我々は持っています：
あ、ん = 2n- 7,
n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
したがって、
| n+1 + n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = あ、ん,
|
| 2
| 2
|
◄
ご了承ください n 等差数列の第 項は、次の方法だけで見つけられるわけではありません。 ある 1 、しかしそれ以前のものも ああ
あ、ん = ああ + (n- k)d.
例えば、
のために ある 5 書き留めることができます
5 = 1 + 4d,
5 = 2 + 3d,
5 = 3 + 2d,
5 = 4 + d. ◄
あ、ん = N-K + K D,
あ、ん = n+k - K D,
それから明らかに
| あ、ん=
| ある n-k
+a n+k
|
| 2
|
等差数列の 2 番目から始まるすべての要素は、この等差数列の等間隔に配置された要素の合計の半分に等しくなります。
さらに、あらゆる等差数列に対して次の等式が成り立ちます。
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l。
例えば、
等差数列で
1) ある 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ある 9 + ある 11 )/2;
2) 28 = 10 = 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, なぜなら
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
Sn= a 1 + a 2 + a 3 + 。 。 。+ あ、ん,
初め n 等差数列の項は、極値項の合計の半分と項の数の積に等しくなります。
ここから特に、条件を合計する必要がある場合は、次のようになります。
ああ, ああ +1 , . . . , あ、ん,
その場合、前の式はその構造を保持します。
例えば、
等差数列で 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
等差数列が与えられると、量は ある 1 , あ、ん, d, nそしてS n 2 つの式で結び付けられます。
したがって、これらの量のうち 3 つの値が指定されている場合、他の 2 つの量の対応する値はこれらの式から決定され、2 つの未知数を含む 2 つの方程式系に結合されます。
等差数列は単調数列です。 ここで:
- もし d > 0 、その後は増加しています。
- もし d < 0 、その後は減少しています。
- もし d = 0 、その後、シーケンスは静止します。
幾何級数
幾何級数 は、2 番目から始まる各メンバーが、前のメンバーに同じ数値を乗算したものと等しいシーケンスです。
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .
任意の自然数の場合は等比数列です n 条件が満たされています:
bn +1 = bn · q,
どこ q ≠ 0 - 特定の数。
したがって、与えられた等比数列の後続の項の前の項に対する比率は定数になります。
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.
番号 q 呼ばれた 等比数列の分母.
等比数列を定義するには、その最初の項と分母を指定するだけで十分です。
例えば、
もし b 1 = 1, q = -3 、次に、次のようにシーケンスの最初の 5 つの項を見つけます。
b1 = 1,
b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,
b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,
b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 と分母 q 彼女 n 番目の項は次の式を使用して求めることができます。
bn = b 1 · qn -1 .
例えば、
等比数列の第 7 項を見つける 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b1 · qn -2 ,
bn = b1 · qn -1 ,
bn +1 = b 1 · qn,
それから明らかに
bn 2 = bn -1 · bn +1 ,
等比数列の各要素は、2 番目から始まり、前後の要素の幾何平均 (比例) に等しくなります。
逆もまた真であるため、次のステートメントが成り立ちます。
数値 a、b、c は、そのうちの 1 つの二乗が他の 2 つの積と等しい場合、つまり数値の 1 つが他の 2 つの幾何平均である場合に限り、ある等比数列の連続した項になります。
例えば、
数式で与えられる順序が次のとおりであることを証明しましょう。 bn= -3 2 n 、等比数列です。 上記の文を使ってみましょう。 我々は持っています：
bn= -3 2 n,
bn -1 = -3 2 n -1 ,
bn +1 = -3 2 n +1 .
したがって、
bn 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 )・(-3・2 n +1 ) = bn -1 · bn +1 ,
これは望ましいステートメントを証明します。 ◄
ご了承ください n 等比数列の第 3 項は、 b 1 、ただし以前のメンバーも同様 bk 、これには次の式を使用するだけで十分です。
bn = bk · qn - k.
例えば、
のために b 5 書き留めることができます
b5 = b1 · q 4 ,
b5 = b2 · 第3問,
b5 = b3 · q2,
b5 = b4 · q. ◄
bn = bk · qn - k,
bn = bn - k · qk,
それから明らかに
bn 2 = bn - k· bn + k
2 番目から始まる等比数列の項の 2 乗は、その数列から等距離にある項の積に等しくなります。
さらに、どの等比数列でも等式が成り立ちます。
bm· bn= bk· ｂｌ,
メートル+ n= k+ 私.
例えば、
等比数列で
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , なぜなら
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
Sn= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn
初め n 分母を持つ等比数列のメンバー q ≠ 0 次の式で計算されます。
そしていつ q = 1 - 式によると
Sn= 注意 1
項を合計する必要がある場合は、
bk, bk +1 , . . . , bn,
次に、次の式が使用されます。
| Sn- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk · | 1 - qn -
k +1
| . |
| 1 - q
|
例えば、
等比数列で 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
等比数列が与えられると、量は b 1 , bn, q, nそして Sn 2 つの式で結び付けられます。
したがって、これらの量のいずれか 3 つの値が与えられると、他の 2 つの量の対応する値がこれらの式から決定され、2 つの未知数を含む 2 つの方程式系に結合されます。
第一項との等比数列の場合 b 1 と分母 q 次のことが起こります 単調性の性質 :
- 次の条件のいずれかが満たされると、進行度が増加します。
b 1 > 0 そして q> 1;
b 1 < 0 そして 0 < q< 1;
- 次の条件のいずれかが満たされると、進行度は減少します。
b 1 > 0 そして 0 < q< 1;
b 1 < 0 そして q> 1.
もし q< 0 の場合、等比数列は交互になります。奇数の項は最初の項と同じ符号を持ち、偶数の項は反対の符号を持ちます。 交互等比数列が単調ではないことは明らかです。
最初の製品 n 等比数列の項は、次の式を使用して計算できます。
Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n / 2 .
例えば、
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
無限減少等比数列
無限減少等比数列 分母の係数が小さい無限等比数列と呼ばれます 1 、 あれは
|q| < 1 .
無限に減少する等比数列は減少数列ではない可能性があることに注意してください。 シーンにぴったりです
1 < q< 0 .
このような分母を使用すると、シーケンスは交互になります。 例えば、
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
無限に減少する等比数列の合計 最初の値の合計が無制限に近づく数に名前を付けます n 無制限に数が増加する進行のメンバー n 。 この数は常に有限であり、次の式で表されます。
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
例えば、
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
等差数列と等比数列の関係
等差数列と等比数列は密接に関連しています。 2 つだけ例を見てみましょう。
ある 1 , ある 2 , ある 3 , . . . d 、 それ
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . bd .
例えば、
1, 3, 5, . . . - 差のある等差数列 2 そして
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - 分母付き等比数列 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - 分母付き等比数列 q 、 それ
ログ a b 1, ログ a b 2, ログ a b 3, . . . - 差のある等差数列 ログを記録するq .
例えば、
2, 12, 72, . . . - 分母付き等比数列 6 そして
LG 2, LG 12, LG 72, . . . - 差のある等差数列 LG 6 . ◄
絵画や詩と同じように、数学には独自の美しさがあります。
ロシアの科学者、メカニック N.E. ジュコフスキー
数学の入試問題でよく出題されるのは、等差数列の概念に関する問題です。 このような問題をうまく解決するには、等差数列の特性についての十分な知識と、その応用に関する特定のスキルが必要です。
まず等差数列の基本的な性質を思い出し、最も重要な公式を提示しましょう。, この概念に関連付けられています。
意味。 数列, 後続の各項は前の項と同じ数だけ異なります。, 等差数列と呼ばれます。 この場合の番号は進度差といいます。
等差数列の場合、次の式が有効です。
, (1)
どこ 。 式(1)は等差数列の一般項の式と呼ばれ、式(2)は等差数列の主な性質を表します。数列の各項は隣接する項の算術平均と一致します。
検討中の数列が「算術」と呼ばれるのはまさにこの特性のためであることに注意してください。
上記の式 (1) と (2) は次のように一般化されます。
(3)
金額を計算するには初め 等差数列の項という公式が通常使われます
(5) ここで、 と 。
式 (1) を考慮すると、), 式(5)から次のようになります。
と表すと、
どこ 。 であるため、式 (7) および (8) は、対応する式 (5) および (6) を一般化したものです。
特に 、 式(5)から次のようになります。、 何
ほとんどの学生には、次の定理によって定式化される等差数列の性質はほとんど知られていません。
定理。の場合、
証拠。の場合、
定理は証明されました。
例えば 、 定理を使って、それは示すことができます
「等差数列」というテーマの問題を解く典型的な例を考えてみましょう。
例1.なるがままに。 探す 。
解決。式(6)を適用すると、 が得られます。 and なので、 or 。
例2。それを 3 倍にし、商で割ると、結果は 2 になり、余りは 8 になります。 と を求めます。
解決。この例の条件から、連立方程式は次のようになります。
、 、および であるため、連立方程式 (10) から次のようになります。
この方程式系の解は と です。
例 3. if と を求めます。
解決。式 (5) によれば、 または になります。 ただし、プロパティ (9) を使用すると、 が得られます。
と なので、等式より 方程式は次のとおりですまたは 。
例4.かどうかを調べます。
解決。式(5)によれば、
ただし、定理を使用すると、次のように書くことができます。
ここと式 (11) から、 が得られます。
例5. 与えられた: 。 探す 。
解決。それ以来。 ただし、したがって。
例6。しましょう、そして 。 探す 。
解決。式 (9) を使用すると、 が得られます。 したがって、 の場合、 または 。
以来、そして ここに方程式系があります
これを解くと、 と が得られます。
方程式の自然根は 。
例7。 if と を求めます。
解決。式 (3) によれば、 となるため、問題条件から連立方程式は次のようになります。
という表現に置き換えるとシステムの 2 番目の方程式に代入する、そして、 または を取得します。
二次方程式の根は次のとおりです。そして 。
2 つのケースを考えてみましょう。
1. 、次に 。 と から、そして 。
この場合、式(6)によれば、
2. の場合、その後、および
答え：そして。
例8.そしてそれが知られています。 探す 。
解決。式(5)と例の条件を考慮して、 と と書きます。
これは方程式系を意味します
システムの最初の方程式を 2 で乗算し、それを 2 番目の方程式に加算すると、次のようになります。
式(9)によれば、。 この点に関しては、(12) から次のようになります。または 。
と から、そして 。
答え： 。
例9。 if と を求めます。
解決。 Because 、および条件により、 then or 。
式(5)から、次のことが分かります。、 何 。 それ以来。
したがって、 ここに連立一次方程式があります
ここから、 と が得られます。 式(8)を考慮すると、 となります。
例10。方程式を解きます。
解決。与えられた方程式から、次のことがわかります。 、 、および と仮定します。 この場合 。
式(1)によれば、 または と書くことができます。
であるため、式 (13) には唯一の適切な根 があります。
例11.と を条件として最大値を見つけます。
解決。以降、考慮中の等差数列は減少します。 この点において、式は数列の最小の正の項の数であるときに最大値をとります。
式(1)と事実を使ってみましょう、それと 。 次に、それまたは を取得します。
以来、その後、または 。 しかし、この不等式では最大の自然数、 それが理由です 。
、 、 の値を式(6)に代入すると、 が得られます。
答え： 。
例12。 6 で割ったときに 5 が残る 2 桁の自然数すべての合計を求めます。
解決。すべての 2 桁の自然数の集合で表しましょう。 。 次に、数値 6 で割ると余りが 5 となる集合の要素 (数値) で構成されるサブセットを構築します。
取り付けが簡単、 何 。 明らかに 、 セットの要素が等差数列を形成する、その中で と 。
セットのカーディナリティ (要素の数) を確立するには、次のように仮定します。 と なので、式 (1) または から成ります。 式(5)を考慮すると、 が得られます。
上記の問題解決の例は、決して網羅的なものであるとは言えません。 この記事は、特定のトピックに関する典型的な問題を解決するための最新の方法の分析に基づいて書かれています。 等差数列に関連する問題を解決する方法をさらに詳しく調べるには、推奨文献のリストを参照することをお勧めします。
1. 大学受験生のための数学問題集 / 編 M.I. スキャナビ。 – M.: 平和と教育、2013。 – 608 p。
2. スープルンVP 高校生のための数学: 学校カリキュラムの追加セクション。 – M.: レナンド / URSS、2014。 – 216 p。
3. メディンスキー M.M. 問題と演習による初等数学の完全コース。 ブック 2: 数列と数列。 – M.: エディタス、2015。 – 208 p。
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