Arcsin グラフとプロパティ。 逆三角関数とそのグラフと公式

逆三角関数(円関数、円弧関数) - 三角関数の逆関数。

逆正弦(と表記 逆正弦×; 逆正弦×- これが角度です 罪彼の同等者 バツ).

逆正弦 (y = 逆正弦 x) - 逆三角関数 罪 (x = 罪 y)、ドメインと値のセットを持ちます。 。 つまり、角度をその値で返します。 罪.

関数 y=罪x数直線全体に沿って連続的で有界です。 関数 y=アークサインx-厳密に増加します。

arcsin 関数のプロパティ。

逆正弦プロット。

arcsin関数を取得します。

機能があります y = 罪x。 定義領域全体を通じて区分的に単調であるため、逆対応 y = 逆正弦 xは関数ではありません。 したがって、値が増加するだけのセグメントを検討し、値の範囲の各値を取る - 。 なぜなら 機能のため y = 罪x区間では、関数のすべての値は引数の 1 つの値のみで取得されます。これは、この区間では逆関数が存在することを意味します。 y = 逆正弦 x、そのグラフは関数のグラフと対称です。 y = 罪x比較的直線的なセグメント上にある y = x.

逆三角関数に関する問題は、学校の期末試験や一部の大学の入学試験でよく出題されます。 このテーマを詳しく学ぶには、選択授業または選択科目を使用する必要があります。 提案されたコースは、各生徒の能力を可能な限り完全に開発し、数学的準備を改善するように設計されています。

コースは 10 時間続きます。

1.関数 arcsin x、arccos x、arctg x、arcctg x (4 時間)。

2.逆三角関数の演算（4時間）。

3. 三角関数の逆三角演算 (2 時間)。

レッスン 1 (2 時間) トピック: 関数 y = arcsin x、y = arccos x、y = arctan x、y = arcctg x。

目標: この問題を完全にカバーする。

1.関数 y = arcsin x。

a) セグメント上の関数 y = sin x には、逆 (単一値) 関数があり、これを arcsine と呼び、次のように表すことに同意しました: y = arcsin x。 逆関数のグラフは、I - III 座標角の二等分線に関して主関数のグラフと対称になります。

関数 y = arcsin x のプロパティ。

1) 定義範囲: セグメント [-1; 1];

2）変更範囲：セグメント。

3)関数 y = arcsin x 奇数: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) 関数 y = arcsin x は単調増加です。

5) グラフは原点で Ox、Oy 軸と交差します。

例 1. a = arcsin を求めます。 この例は、次のように詳細に定式化できます。 から の範囲内にあり、サインが に等しい引数 a を見つけます。

解決。 サインが に等しい引数は無数にあります。次に例を示します。 等 しかし、私たちが関心があるのはセグメント上の議論だけです。 これが議論だろう。 それで、 。

例 2. 検索 .解決。例 1 と同じように議論すると、次のようになります。 .

b) 口頭練習。 検索: arcsin 1、arcsin (-1)、arcsin、arcsin()、arcsin、arcsin()、arcsin、arcsin()、arcsin 0。解答例: 、 なぜなら 。 式は意味を成しますか: ; 逆正弦 1.5; ?

c) arcsin、arcsin (-0.3)、arcsin 0.9 の順に並べます。

II. 関数 y = arccos x、y = arctg x、y = arcctg x (同様)。

レッスン 2 (2 時間) トピック: 逆三角関数とそのグラフ。

目的: このレッスンでは、三角関数の値を決定し、D (y)、E (y) および必要な変換を使用して逆三角関数のグラフを作成するスキルを開発する必要があります。

このレッスンでは、y = arcsin、y = arccos (x-2)、y = arctg (tg x)、y = arccos というタイプの関数の定義域、値の定義域を見つけることを含む演習を完了します。

次の関数のグラフを作成する必要があります。 a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = 逆正弦;

d) y = 逆正弦; e) y = 逆正弦; e) y = 逆正弦; g) y = | アークシン | 。

例。 y = arccos をプロットしてみましょう

次の演習を宿題に含めることができます。 関数のグラフを作成します。 y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | × | 。

逆関数のグラフ

目標: 逆三角関数の基本的な関係を紹介することにより、数学的知識を拡大すること (これは、数学的訓練の必要性が増大する専門分野に進む人にとって重要です)。

レッスン用の教材です。

逆三角関数に対する簡単な三角関数演算をいくつか示します。 sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x、i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

演習。

a) tg (1.5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6)。 arcsin 0.6 = a、sin a = 0.6 とします。

cos (アークサイン x) = ; sin (arccos x) = .

注: a = arcsin x が満たされるため、ルートの前に「+」記号を付けます。

c) sin (1.5 + arcsin) 答え: ;

d) ctg ( + arctg 3) 答え: ;

e) tg ( – arcctg 4) 。

e) cos (0.5 + arccos)。 答え： 。

計算します:

a) 罪 (2 arctan 5) 。

arctan 5 = a とすると、sin 2 a = または罪 (2 arctan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0.8) 答え: 0.28。

c) arctg + arctg。

a = arctan、b = arctan とします。

tg(a + b) = .

d) sin(arcsin + arcsin)。

e) すべての x I [-1; 1] 真の arcsin x + arccos x = 。

証拠：

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

自分で解決するには: sin (arccos)、cos (arcsin)、cos (arcsin ())、sin (arctg (- 3))、tg (arccos)、ctg (arccos)。

ホーム ソリューションの場合: 1) sin (arcsin 0.6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg (-arccos 0.6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1.5 – arcsin 0.8); 6) arctg 0.5 – arctg 3.

目標: このレッスンでは、より複雑な式を変換する際の比率の使用方法を示します。

レッスン用の教材です。

口頭で:

a) sin (arccos 0.6)、cos (arcsin 0.8);

b) tg (arcctg 5)、ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3)、cos (arcсtg());

d) tg (arccos)、ctg (arccos())。

書面で:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin)。

2) cos (arctg 5 – arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg (-arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) =

4)

独立した作業は、教材の習熟レベルを特定するのに役立ちます。

宿題については、次のことを提案できます。

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + Tan ( arcsin )); 4) sin(2 arctan); 5) tg ((アークシン))

目標: 研究対象の理論の理解を高めることに重点を置き、三角関数の逆三角演算について生徒の理解を深めます。

このトピックを研究する場合、暗記すべき理論資料の量は限られていると想定されます。

レッスン教材:

関数 y = arcsin (sin x) を学習し、そのグラフをプロットすることで、新しい内容の学習を開始できます。

3. 各 x I R は y I に関連付けられます。つまり、<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. 関数は奇数です: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x)。

6. グラフ y = arcsin (sin x):

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

それで、

で y = arcsin (sin x) を構築したら、[- ; で原点を中心に対称的に作業を続けます。 0]、この関数の奇数を考慮すると。 周期性を利用して、数直線全体に沿って続けます。

次に、いくつかの関係を書き留めます。 arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos ある ) = 0 の場合<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

そして、次の演習を行ってください:a) arccos(sin 2)。答え: 2 - ; b) 逆正弦 (cos 0.6) 答え: - 0.1; c) arctg (tg 2) 答え: 2 - ;

d) arcctg(tg 0.6)。答え: 0.9; e) arccos (cos ( - 2)) 答え: 2 - ; e) arcsin (sin ( - 0.6))。 答え: - 0.6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - ))。 答え: 2 - ; h) arcctg (tg 0.6)。 答え: - 0.6; - アークタンX; e) アークコス + アークコス

定義と表記法

逆正弦は次のように表されることもあります。
.

逆正弦関数のグラフ

関数 y = のグラフ 逆正弦×

逆正弦グラフは、正弦グラフの横軸と縦軸を入れ替えると得られます。 曖昧さを排除するために、値の範囲は関数が単調である区間に制限されます。 この定義は逆正弦の主値と呼ばれます。

逆余弦、アークコス

定義と表記法

逆余弦は次のように表されることもあります。
.

逆余弦関数のグラフ

関数 y = のグラフ アーコスX

逆コサイングラフは、コサイングラフの横軸と縦軸を入れ替えると得られます。 曖昧さを排除するために、値の範囲は関数が単調である区間に制限されます。 この定義は逆余弦の主値と呼ばれます。

パリティ

逆正弦関数は奇数です。
arcsin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = -アークシン×

逆余弦関数は偶数でも奇数でもありません。
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

プロパティ - 極値、増加、減少

関数 arcsine と arccosine は、その定義領域では連続です (連続性の証明を参照)。 逆正弦と逆余弦の主な特性を表に示します。

逆正弦と逆余弦の表

この表は、引数の特定の値に対する逆正弦と逆余弦の値を度およびラジアンで示します。

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

数式

和と差の公式

または

と

と

または

と

と

で

で

で

で

対数、複素数による表現

双曲線関数による式

デリバティブ

;
.
逆正弦および逆余弦導関数の導出を参照してください。 > > >

高次導関数:
,
ここで、 は次数の多項式です。 それは次の式で決定されます。
;
;
.

arcsine と arccosine の高次導関数の導出を参照してください。 > > >

積分

x = という置換を行います。 罪です。 -π/ を考慮して、部分ごとに積分します。 2 ≤ t ≤ π/2, コスト ≥ 0:
.

逆余弦を逆正弦で表現しましょう。
.

シリーズ展開

|x| のとき< 1 次の分解が行われます。
;
.

逆関数

逆正弦と逆余弦の逆数は、それぞれ正弦と余弦です。

次の式は、定義範囲全体にわたって有効です。
sin(アークサイン x) = x
cos(arccos x) = x .

次の式は、逆正弦値と逆余弦値のセットに対してのみ有効です。
arcsin(sin x) = xで
arccos(cos x) = xで 。

参考文献:
で。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。