§13. 任意の軸の周りの慣性モーメントに関するシュタイナーの定理
ボディ メートル距離の平方当たり d軸間:
J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)どこ メートル- 総体重。
たとえば、ロッドの端を通る軸の周りの慣性モーメントは次のようになります。
J = J c + m d 2 = 1 12 ml 2 + m (l 2) 2 = 1 3 ml 2。 (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\right)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2)。一部の物体の軸方向慣性モーメント
| 体 | 説明 | 軸位置 ある | 慣性モーメント ジャ |
|---|---|---|---|
| 材料点質量 メートル | 距離について r静止した点から | ||
| 中空の薄肉円筒または半径のリング rそして大衆 メートル | シリンダー軸 | m r 2 (\displaystyle mr^(2)) | |
| ソリッドシリンダーまたはディスクの半径 rそして大衆 メートル | シリンダー軸 | 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2)) | |
| 中空厚肉マスシリンダー メートル外半径あり r 2と内半径 r 1 | シリンダー軸 | m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)) | |
| 中実シリンダーの長さ 私、半径 rそして大衆 メートル | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | ||
| 中空薄肉シリンダー（リング）の長さ 私、半径 rそして大衆 メートル | 軸は円柱に対して垂直であり、その質量中心を通過します。 | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | |
| ストレート細長ロッド 私そして大衆 メートル | 軸はロッドに対して垂直であり、その質量中心を通過します。 | 1 12 ml 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2)) | |
| ストレート細長ロッド 私そして大衆 メートル | 軸はロッドに垂直で、ロッドの端を通過します。 | 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2)) | |
| 薄肉半径球 rそして大衆 メートル | 軸は球の中心を通過します | 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2)) | |
| ラジアスボール rそして大衆 メートル | 軸はボールの中心を通過します | 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2)) | |
| ラジアスコーン rそして大衆 メートル | 円錐軸 | 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2)) | |
| 高度のある二等辺三角形 h、 基礎 あるそして質量 メートル | 軸は三角形の平面に垂直で、頂点を通過します。 | 1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2))) | |
| 辺のある正三角形 あるそして質量 メートル | 軸は三角形の平面に垂直で、重心を通過します。 | 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2)) | |
| 辺のある正方形 あるそして質量 メートル | 軸は正方形の平面に垂直で、質量の中心を通過します。 | 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2)) | |
| 辺のある長方形 あるそして bそして質量 メートル | 軸は長方形の平面に垂直で、重心を通過します。 | 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2))) | |
| 半径の正n角形 rそして質量 メートル | 軸は平面に垂直で、重心を通過します。 | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left) | |
| ガイド円半径付きトーラス（中空） R、生成円の半径 rそして質量 メートル | 軸はトーラス ガイド円の平面に垂直で、質量の中心を通過します。 | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\right)) |
数式の導出
薄肉シリンダー（リング、フープ）
式の導出
物体の慣性モーメントは、その構成部品の慣性モーメントの合計に等しくなります。 薄肉の円柱を質量のある要素に分割してみましょう DMでと慣性モーメント DJ i。 それから
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m 。 (1) 。 (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)薄肉円柱のすべての要素は回転軸から同じ距離にあるため、式 (1) は次の形式に変換されます。
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 。 (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2)。)厚肉シリンダー（リング、フープ）
式の導出
外半径を持つ均質なリングがあるとします。 R、内半径 R 1、厚い hと密度ρ。 細くて太い輪に割ってみよう 博士。 薄いラジアスリングの質量と慣性モーメント rになるだろう
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r 。 (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)厚いリングの慣性モーメントを積分として求めます。
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) 。 (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2) ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\right)\left(R^(2)+R_(1)^(2)\right)。指輪の体積と質量は等しいので
V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)リングの慣性モーメントの最終式が得られます。
J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) 。 (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\right)。均質ディスク（中実円筒）
式の導出
円柱（ディスク）を内半径ゼロのリングとみなします（ R 1 = 0 )、シリンダー (ディスク) の慣性モーメントの公式が得られます。
J = 1 2 m R 2 。 (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2)。)ソリッドコーン
式の導出
円錐を厚みのある薄い円盤状に割ってみましょう ああ、円錐の軸に垂直です。 このような円盤の半径は次のようになります。
r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)どこ R– コーンベースの半径、 H– 円錐の高さ、 h– コーンの頂点からディスクまでの距離。 このようなディスクの質量と慣性モーメントは次のようになります。
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)統合すると、
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 。 (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\right)^(4)\left.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(aligned)))均一な固体ボール
式の導出
ボールを厚みのある薄い円盤に砕いてみましょう ああ、回転軸に垂直です。 高さにあるこのような円盤の半径 h球の中心から、次の式を使用して求めます。
r = R 2 − h 2 。 (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2)))。このようなディスクの質量と慣性モーメントは次のようになります。
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h 。 (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh.)積分によりボールの慣性モーメントを求めます。
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 時間 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 。 (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\right) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(aligned)))薄壁の球体
式の導出
導出には、均一な半径のボールの慣性モーメントの公式を使用します。 R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 です。 (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)。密度ρが一定で、ボールの半径が微量増加した場合に、ボールの慣性モーメントがどのくらい変化するかを計算してみます。 dr .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 ｍＲ２． (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\right)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(aligned)))細い棒（軸が中心を通る）
式の導出
ロッドを長さの小さな断片に分割しましょう 博士。 このような破片の質量と慣性モーメントは次のようになります。
d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l 。 (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l))。統合すると、
J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 ml l 3 24 = 1 12 ml 2 。 (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\left.(\frac (r^(3))(3))\right|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)細い棒（軸が先端を貫通）
式の導出
回転軸がロッドの中央から先端に移動すると、ロッドの重心は軸に対して一定距離移動します。 l ⁄ 2。 シュタイナーの定理によれば、新しい慣性モーメントは次のようになります。
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 。 (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\right)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)惑星と衛星の無次元慣性モーメント
惑星の無次元慣性モーメントは、惑星とその衛星の内部構造の研究にとって非常に重要です。 半径のある体の無次元慣性モーメント rそして大衆 メートル回転軸に対する慣性モーメントと、離れた位置にある固定回転軸に対する同じ質量の質点の慣性モーメントの比に等しい r（に等しい 氏 2)。 この値は、深さにわたる質量の分布を反映しています。 惑星や衛星の近くでそれを測定する方法の 1 つは、特定の惑星や衛星の近くを飛行する AMS によって送信される無線信号のドップラー シフトを測定することです。 薄壁の球の場合、無次元慣性モーメントは 2/3 (~0.67)、均質な球の場合は 0.4 で、一般に、小さいほど、物体の中心に集中する質量が大きくなります。 たとえば、月の無次元慣性モーメントは 0.4 (0.391 に等しい) に近いため、比較的均一であり、その密度は深さによってほとんど変化しないと想定されます。 地球の無次元慣性モーメントは均質な球の慣性モーメント (0.335 に等しい) より小さく、これは高密度の核の存在を支持する議論です。
遠心慣性モーメント
直交デカルト座標系の軸に対する物体の遠心慣性モーメントは次の量です。
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ロー dV、) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ロー dV、) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ロー dV、)どこ バツ , yそして z- ボリュームのある小さなボディ要素の座標 dV、密度 ρ および質量 DMで .
OX軸はと呼ばれます 車体の慣性主軸、遠心慣性モーメントの場合 ジクシーそして ジクズ同時にゼロに等しくなります。 3 つの主慣性軸をボディの各点を通って描くことができます。 これらの軸は互いに直交しています。 物体の慣性モーメント任意の点に描かれた 3 つの主慣性軸に対する相対値 ○身体が呼ばれる 主な慣性モーメントこの体の。
物体の質量中心を通過する慣性主軸は次のように呼ばれます。 ボディの主慣性中心軸、これらの軸の周りの慣性モーメントは、 主な中心慣性モーメント。 均質な物体の対称軸は、常にその主要な慣性中心軸の 1 つです。
幾何学的慣性モーメント
体積の幾何学的二次モーメント
J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)ここで、前と同じように r- 要素からの距離 dV軸に ある .
断面二次モーメント軸に対する相対値 - 体の幾何学的特性。次の式で表されます。
J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)表面上で統合が実行される場合 S、A ds- このサーフェスの要素。
寸法 J・サ- 長さの 4 乗 ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) ))、それぞれ、SI 測定単位は 4 です。 構造計算、文献、圧延金属の品揃えでは、多くの場合 cm 4 で示されます。
断面の抵抗モーメントは、その領域の幾何学的二次モーメントによって表されます。
W = J S a r max 。 (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max)))。ここ rmax- 表面から軸までの最大距離。
| いくつかの図形の領域の幾何学的慣性モーメント | |
|---|---|
| 長方形の高さ h (\表示スタイル h)と幅 b (\表示スタイル b): | J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))
J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12))) |
| 外部輪郭に沿った高さと幅を持つ長方形のボックスセクション H (\表示スタイル H)そして B (\表示スタイル B)、内部用 h (\表示スタイル h)そして b (\表示スタイル b)それぞれ | J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))
J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)) |
| 円の直径 d (\displaystyle d) | J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)) |
平面に対する慣性モーメント
特定の平面に対する剛体の慣性モーメントは、物体の各点の質量と、この点から問題の平面までの距離の 2 乗の積の合計に等しいスカラー量です。
任意の点を通過した場合 O (\displaystyle O)座標軸を描く x 、 y 、 z (\displaystyle x,y,z)、次に座標面に対する慣性モーメント x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)そして zO x (\displaystyle zOx)は次の式で表されます。
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 。 (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ 。)固体の場合、和は積分に置き換えられます。
中心慣性モーメント
中心慣性モーメント (点 O 周りの慣性モーメント、極周りの慣性モーメント、極慣性モーメント) J O (\displaystyle J_(O))は次の式で求められる量です。
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)中心慣性モーメントは、主軸方向慣性モーメントおよび平面周りの慣性モーメントによって表すことができます。
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \右）、） J O = J x O y + J y O z + J x O z 。 (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz)。)慣性テンソルと慣性楕円体
重心を通り単位ベクトルで指定される方向を持つ任意の軸に対する物体の慣性モーメント s → = ‖ s x 、 y 、 s z ‖ T 、 | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\right\vert =1)、二次 (双一次) 形式で表すことができます。
I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)慣性テンソルはどこにありますか。 慣性テンソル行列は対称であり、次の次元を持ちます。 3 × 3 (\displaystyle 3\times 3)遠心モーメントの成分で構成されます。
適切な座標系を選択することにより、慣性テンソル行列を対角形式に縮小できます。 これを行うには、テンソル行列の固有値問題を解く必要があります。 J ^ (\displaystyle (\hat(J))):
どこ Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- 慣性テンソルの独自の基底への遷移の直交行列。 適切な基底では、座標軸は慣性テンソルの主軸に沿った方向を向いており、慣性テンソル楕円体の主半軸とも一致します。 量 J X 、 J Y 、 J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- 主な慣性モーメント。 式 (1) は、独自の座標系で次の形式になります。
そこから、楕円体自身の座標における方程式が得られます。 方程式の両辺を次で割ります。 I s (\displaystyle I_(s))
そして置換を行う:
ξ = s x I s 、η = s y I s 、ζ = s z I s 、(\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)座標で楕円体方程式の正準形式を取得します。 ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)楕円体の中心から特定の点までの距離は、楕円体の中心とこの点を通過する直線に沿った本体の慣性モーメントの値に関係します。
しっかりとした体を作りましょう。 直線 OO (図 6.1) を選択しましょう。これを軸と呼びます (直線 OO は体の外側にあっても構いません)。 身体を質量のある基本セクション（質点）に分割しましょう 
軸から離れたところに位置する 
それぞれ。
軸に対する質点の慣性モーメント (OO) は、質点の質量とこの軸までの距離の 2 乗の積です。
. (6.1)
軸 (OO) に対する物体の慣性モーメント (MI) は、物体の基本セクションの質量と軸までの距離の 2 乗の積の合計です。
. (6.2)
ご覧のとおり、ボディの慣性モーメントは加算的な量です。特定の軸に対するボディ全体の慣性モーメントは、同じ軸に対する個々の部分の慣性モーメントの合計に等しくなります。
この場合
.
慣性モーメントは kg×m 2 で測定されます。 なぜなら
, (6.3)
ここで
– 物質の密度、 
- 音量 私- 番目のセクション、その後
,
または、無限小要素に移動すると、
. (6.4)
式 (6.4) は、物体の質量中心を通過する対称軸に対する規則的な形状の均質な物体の MI を計算するのに使用すると便利です。 たとえば、母線に平行な質量中心を通過する軸に対する円柱の MI の場合、次の式は次のようになります。
,
どこ T- 重さ; R- シリンダーの半径。
シュタイナーの定理は、特定の軸に対する物体の MI を計算する際に非常に役立ちます。 物体の MI 私任意の軸に対する相対値は、このボディの MI の合計に等しい 私 c体の質量の中心を通り、指定された軸に平行な軸に対する相対値、および体重と距離の二乗の積 d指定された軸間:
. (6.5)
軸を中心とした力のモーメント
力を体に作用させます F。 簡単にするために、次の力があると仮定しましょう。 Fある直線 OO に垂直な平面内にあります (図 6.2、 あ)、これを軸と呼びます (たとえば、これは体の回転軸です)。 図では、 6.2、 あ
あ- 力の適用点 F,
- 軸と力が存在する平面との交点。 r- 点の位置を定義する半径ベクトル あ点に対して について";
○"B
= b
-
力の肩。 軸に対するフォース アームは、軸から力ベクトルが存在する直線までの最小距離です。 F(点から引いた垂線の長さ 
この行まで）。
軸に対する力のモーメントは、次の式で定義されるベクトル量です。
. (6.6)
このベクトルの係数は です。 したがって、軸の周りの力のモーメントは力とその腕の積であると言われることがあります。
強さなら Fを任意に指定すると、2 つのコンポーネントに分解できます。 
そして 
(図6.2、 b)、つまり 
+
、 どこ 
OO 軸に平行な方向の成分であり、 
軸に垂直な平面内にあります。 この場合、力のモーメントがかかると、 F OO 軸を基準としたベクトルを理解する
. (6.7)
式 (6.6) および (6.7) に従って、ベクトルは M軸に沿って方向付けられます (図 6.2 を参照) あ,b).
回転軸を中心とした物体の角運動量
P 
物体を特定の軸 OO を中心に角速度で回転させます 
。 この体を精神的に塊のある基本的なセクションに分解しましょう 
、それぞれ軸から離れた位置にあります。 
線形速度で円を描くように回転します 
値が等しいことが知られています 
- 衝動がある 私-プロット。 衝動の瞬間 私・回転軸を基準とした断面（質点）をベクトル（正確には擬似ベクトル）といいます。
, (6.8)
どこ r 私– 位置を定義する半径ベクトル 私- 軸に対する相対的な面積。
回転軸に対する物体全体の角運動量をベクトルといいます。
(6.9)
誰のモジュール 
.
式 (6.8) および (6.9) に従って、ベクトルは
そして 
回転軸に沿って方向付けられます (図 6.3)。 物体の角運動量を示すのは簡単です L回転軸および慣性モーメントに対して 私同じ軸に対するこのボディの関係は次の関係によって関連付けられます。
. (6.10)
特定の軸 Oz に対する物体 (システム) の慣性モーメント (または軸方向の慣性モーメント) は、物体 (システム) のすべての点の質量の積の合計とは異なるスカラー量です。この軸からの距離の二乗:
この定義から、任意の軸に対する物体 (またはシステム) の慣性モーメントは正の量であり、ゼロには等しくないことがわかります。
将来的には、軸方向の慣性モーメントが、物体の回転運動中に、並進運動中の質量と同じ役割を果たすこと、つまり、軸方向の慣性モーメントが、回転中の物体の慣性の尺度であることが示されるでしょう。モーション。
式(2)によれば、物体の慣性モーメントは、同じ軸に対するすべての部分の慣性モーメントの合計に等しくなります。 軸から距離 h に位置する 1 つの物質点の場合、 です。 SI における慣性モーメントの測定単位は 1kg (MKGSS システムでは -) となります。
軸方向の慣性モーメントを計算するには、軸からの点の距離をこれらの点の座標を通じて表現できます (たとえば、Ox 軸からの距離の 2 乗など)。
次に、軸周りの慣性モーメントは次の式で求められます。
多くの場合、計算中に回転半径の概念が使用されます。 軸に対する物体の慣性半径は、次の式によって決定される線形量です。
ここで、M は体重です。 この定義から、慣性半径は、物体全体の質量が集中する必要がある点の軸からの距離に幾何学的に等しいため、この 1 点の慣性モーメントは慣性モーメントに等しいことがわかります。体全体の。
慣性半径がわかれば、式(4)を使って本体の慣性モーメントを求めることができ、またその逆も可能です。
式 (2) と (3) は、剛体と任意の質点系の両方に有効です。 固体の場合、それを基本的な部分に分解すると、極限では式 (2) の和が整数になることがわかります。 その結果、ここで密度、V が体積であることを考慮すると、次のようになります。
ここでの積分は物体の体積 V 全体に広がり、密度と距離 h は物体の点の座標に依存します。 同様に、固体の式 (3) は次の形式になります。
式(5)および(5)は、規則的な形状の均質体の慣性モーメントを計算する場合に使用すると便利です。 この場合、密度は一定となり、積分符号の範囲外になります。
いくつかの均質体の慣性モーメントを求めてみましょう。
1. 長さ l、質量 M の薄い均一なロッド。ロッドに垂直で端 A を通過する軸に対する慣性モーメントを計算してみます (図 275)。 座標軸を AB に沿って向けると、長さ d の基本セグメントの値は となり、質量は になります ( はロッドの単位長さの質量です)。 その結果、式 (5) は次のようになります。
ここをその値に置き換えると、最終的に次のようになります。
2. 半径 R、質量 M の薄い丸い均質リング。リングの平面に垂直でその中心 C を通る軸に対する慣性モーメントを求めてみましょう (図 276)。
リングのすべての点は軸から離れた位置にあるため、式 (2) は次のようになります。
そこで、リングに関しては、
明らかに、質量 M、半径 R の薄い円筒形シェルの軸に対する慣性モーメントについても同じ結果が得られます。
3. 半径 R、質量 M の円形の均質なプレートまたは円柱。プレートに垂直でその中心を通る軸に対する円形プレートの慣性モーメントを計算してみます (図 276 を参照)。 これを行うには、半径と幅を持つ基本リングを選択します (図 277、a)。 このリングの面積は 、質量は です。 ここで、 はプレートの単位面積あたりの質量です。 次に、選択された基本リングの式 (7) に従って、プレート全体に対して と が存在します。
上で述べたように、単純な平面図形には、長方形、三角形、円の 3 つの図形が含まれます。 これらの図形は、重心の位置が事前にわかっているため、単純であると考えられます。 他のすべての図形はこれらの単純な図形で構成されており、複雑であると見なされます。 単純な図形の中心軸に対する軸方向の慣性モーメントを計算してみましょう。
1. 矩形。寸法を含む長方形のプロファイルの断面を考えてみましょう (図 4.6)。 無限に近い距離にある 2 つのセクションを持つセクション要素を選択してみましょう 
中心軸から 
.
軸に対する長方形断面の慣性モーメントを計算してみましょう。
.
(4.10)
軸を中心とした長方形断面の慣性モーメント 
同様に見つけます。 結論はここでは述べません。
.
(4.11)
そして 
軸はゼロであるため、 
そして 
は対称軸、つまり主軸です。
2. 二等辺三角形。寸法のある三角形のプロファイルのセクションを考えてみましょう 
(図4.7)。 無限に近い距離にある 2 つのセクションを持つセクション要素を選択してみましょう 
中心軸から 
。 三角形の重心は離れたところにあります 
ベースから。 三角形は二等辺であると仮定されているため、軸は 
断面は対称軸です。
軸に対する断面の慣性モーメントを計算してみます。 
:
.
(4.12)
サイズ 
三角形の類似性から決定します。
; どこ 
.
式の置換 
(4.12) を統合すると、次が得られます。
.
(4.13)
軸を中心とした二等辺三角形の慣性モーメント 
は同様の方法で見つかり、次と等しくなります。
(4.14)
軸周りの遠心慣性モーメント 
そして 
軸はゼロなので、 
は断面の対称軸です。
3. 丸。 直径のある円形プロファイルの断面を考えます。 
(図4.8)。 遠く離れた 2 つの無限に近い同心円を持つ断面要素を強調表示してみましょう 
円の重心から 
.
式 (4.5) を使用して円の極慣性モーメントを計算してみましょう。
.
(4.15)
2 つの相互に垂直な軸 (4.6) の周りの慣性軸モーメントの合計に不変条件を使用し、対称性により円の場合の慣性モーメントを考慮します。 
、軸方向慣性モーメントの値を決定します。
.
(4.16)
.
(4.17)
軸周りの遠心慣性モーメント 
そして 
軸はゼロであるため、 
そして 
は断面の対称軸です。
4.4. 平行軸に対する慣性モーメント間の依存関係
複雑な図形の慣性モーメントを計算するときは、慣性モーメントの値を加算することができるという 1 つのルールを覚えておく必要があります。 同じ軸に関して計算される場合。 複雑な図形の場合、ほとんどの場合、個々の単純な図形の重心と図形全体の重心は一致しません。 したがって、個々の単純図形の中心軸と図形全体の中心軸は一致しない。 この点で、慣性モーメントを 1 つの軸、たとえば図形全体の中心軸に集中させる手法があります。 これは、慣性軸の平行移動と追加の計算が原因である可能性があります。
図 4.9 に示す平行慣性軸に対する慣性モーメントの決定を考えてみましょう。
軸方向および遠心慣性モーメントを図 4.9 に示します。 任意に選択した軸に関する数値 
そして 
原点を点に持つ 
知られています。 任意の平行軸に対する図形の軸方向および遠心慣性モーメントを計算する必要があります。 
そして 
原点を点に持つ 
。 車軸 
そして 
離れた場所で行われる 
そして 
それぞれ軸から 
そして 
.
軸方向慣性モーメント (4.4) と遠心慣性モーメント (4.7) の式を使用してみましょう。 現在の座標の代わりにこれらの式を代入します。 
そして 
無限に小さい座標領域を持つ要素 
そして 
新しい座標系で。 我々が得る：
得られた式を分析すると、平行軸に対する慣性モーメントを計算する場合、元の慣性軸に対して計算された慣性モーメントに追加項の形で加算を加える必要があるという結論に達しました。これははるかに大きくなる可能性があります。元の軸に対する慣性モーメントの値よりも大きくなります。 したがって、これらの追加条件はいかなる場合でも無視すべきではありません。
考慮されたケースは、任意の慣性軸が初期軸として取られた、軸の平行移動の最も一般的なケースです。 ほとんどの計算では、慣性モーメントを決定する特殊なケースがあります。
最初の特別なケース。 基準軸は図の慣性中心軸です。 次に、静的断面モーメントの主特性を使用して、式 (4.18) ～ (4.20) から、図形の静的断面モーメントを含む方程式の項を除外できます。 結果として、次のことが得られます。
.
(4.21)
.
(4.22)
.
(4.23)
ここに軸があります 
そして 
-慣性中心軸。
2番目の特別なケース。 基準軸は慣性主軸です。 次に、主慣性軸に対して遠心慣性モーメントがゼロに等しいことを考慮すると、次のようになります。
.
(4.24)
.
(4.25)
.
(4.26)
ここに軸があります 
そして 
-主慣性軸。
得られた式を使用して、平面図形の慣性モーメントを計算するいくつかの例を考えてみましょう。
例4.2。図に示す図の軸方向慣性モーメントを求めます。 4.10、中心軸に対して 
そして 
.
先の例 4.1 では、図 4.10 の図形に対して重心 C の位置を求め、その軸から重心の座標をプロットしました。 
そしてコンパイルされた 
。 距離を計算してみましょう 
そして 
軸間 
そして 
と軸 
そして 
。 これらの距離はそれぞれ 
そして 
。 元々の軸なので 
そして 
は長方形の単純な図形の中心軸であり、軸に対する図形の慣性モーメントを決定します。 
最初の特定のケース、特に式 (4.21) の導出を使用します。
軸周りの慣性モーメント 
同じ軸に対する単純な図形の慣性モーメントを加算することで得られます。 
は、単純な図形と図形全体に共通の中心軸です。
センチメートル4。
軸周りの遠心慣性モーメント 
そして 
慣性軸はゼロなので、 
は主軸（図の対称軸）です。
例4.3。サイズは何ですか？ b(cm単位)
図に示す図。 4.11、軸に対する図形の慣性モーメントの場合 
1000 cm 4 に等しい?
軸回りの慣性モーメントを表してみましょう 
未知のセクションサイズを通じて 
、式 (4.21) を使用し、軸間の距離が 
そして 
7cmに等しい：
センチメートル4。 (A)
セクションサイズを基準にして式(a)を解く 
、 我々が得る：
cm。
例4.4。図 4.12 の軸に対する慣性モーメントが大きいのはどれですか。 
両方の図形の面積が同じ場合 
センチメートル?
1. 図形の面積をサイズで表し、次のことを決定してみましょう。
a) 円形断面の断面直径:
センチメートル2; どこ 
cm。
b) 正方形の辺のサイズ:
; どこ 
cm。
2. 円形断面の慣性モーメントを計算します。
センチメートル4。
3. 正方形の断面の慣性モーメントを計算します。
センチメートル4。
得られた結果を比較すると、同じ面積の円形セクションと比較して、正方形セクションの方が慣性モーメントが最も大きくなるという結論に達します。
例4.5。セクションの幅が大きい場合、長方形セクションの重心に対する極慣性モーメント (cm 4 単位) を求めます。 
cm、セクションの高さ 
cm。
1. 水平方向に対する断面の慣性モーメントを求めます。 
そして垂直 
慣性中心軸:
センチメートル4; 
センチメートル4。
2. 断面の極慣性モーメントを軸方向慣性モーメントの合計として決定します。
センチメートル4。
例4.6。図4.13に示す三角形の中心軸に対する慣性モーメントを求めます。 
、軸に対する図形の慣性モーメントの場合 
2400 cm 4 に相当します。
慣性主軸に対する三角形断面の慣性モーメント 
軸周りの慣性モーメントと比較して小さくなります 
金額によって 
。 したがって、いつ 
cm 軸に対する断面の慣性モーメント 
次の方法で見つけます。
意味
回転体の慣性の尺度は次のとおりです。 慣性モーメント(J) 回転が発生する軸を基準としたもの。
これはスカラー (一般にテンソル) 物理量であり、問題の物体をそれらの点から回転軸までの距離 () の 2 乗に分割する物質点の質量 () の積に等しくなります。
ここで、r は空間内の物質点の位置の関数です。 - 体の密度; - ボディ要素のボリューム。
均質な物体の場合、式 (2) は次のように表すことができます。
国際単位系における慣性モーメントは次のように測定されます。
量 J は、剛体の回転を記述する基本法則に含まれています。
一般に、慣性モーメントの大きさは回転軸の方向に依存します。また、移動中、ベクトルは通常、本体に対してその方向を変えるため、慣性モーメントは時間の関数として考慮する必要があります。 例外は、固定軸の周りを回転する物体の慣性モーメントです。 この場合、慣性モーメントは一定のままです。
シュタイナーの定理
シュタイナーの定理により、物体の質量中心を通る軸に対する当該物体の慣性モーメントが既知であり、これらの軸が次のとおりである場合、任意の回転軸に対する物体の慣性モーメントを計算することが可能になります。平行。 数学的形式では、シュタイナーの定理は次のように表されます。
ここで、 は本体の質量中心を通過する回転軸に対する本体の慣性モーメントです。 m は問題の物体の質量です。 a は軸間の距離です。 軸は平行でなければならないことに注意してください。 式 (4) から次のことがわかります。
物体の慣性モーメントを計算するためのいくつかの式
軸の周りを回転すると、物質点の慣性モーメントは次のようになります。
ここで、m は点の質量です。 r は、点から回転軸までの距離です。
質量 m、長さ l の均質な細い棒の場合、質量中心を通過する軸 (軸は棒に垂直) に対する J は次と等しくなります。
リングの中心を通り、リングの平面に垂直な軸の周りを回転する質量を持つ薄いリングの場合、慣性モーメントは次のように計算されます。
ここで、R はリングの半径です。
半径 R、質量 m の均質な円盤の中心を通り、円盤の平面に垂直な軸に対する J は次のようになります。
均一なボールの場合
ここで、m はボールの質量です。 Rはボールの半径です。 ボールはその中心を通る軸を中心に回転します。
回転軸が直交デカルト座標系の軸である場合、連続体の慣性モーメントは次のように計算できます。
ここで、 は体の無限小要素の座標です。
問題解決の例
例 1
| エクササイズ | ポイントボールと考えられる 2 つのボールは、無重力の細いロッドによって一緒に保持されています。 ロッドの長さ l. 質量中心を通りロッドに垂直に通過する軸に対する、このシステムの慣性モーメントはいくらですか。 点の質量は同じで m に等しい。 |
| 解決 | 1 つのボール () から離れた位置にある軸に対する慣性モーメントを求めてみましょう。
2 番目のボールの慣性モーメントは次のようになります。 システムの合計慣性モーメントは、次の合計に等しくなります。
|
| 答え |
例 2
| エクササイズ | 点 O を通過する軸に対する物理的な振り子の慣性モーメントはいくらですか (図 1)。 軸は図面の平面に対して垂直です。 物理的な振り子が、質量 m を持つ長さ l の細い棒と質量 の円盤で構成されていると考えてください。 ディスクはロッドの下端に取り付けられており、半径は次のとおりです。 |
| 解決 | 振り子の慣性モーメント (J) は、点 O を通る軸の周りを回転するロッド () と同じ軸の周りを回転するディスク () の慣性モーメントの合計に等しくなります。 |
