Derivazione della legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio. Verifica della legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido Legge fondamentale del moto rotatorio di un corpo rigido

Momento di forza rispetto ad un punto fissoO è una quantità fisica vettoriale definita dal prodotto vettoriale del raggio vettore tratto dal puntoO esattamenteUN applicazione della forza, forza (Fig.1.4.1):

(1.4.1)

Qui – pseudovettore, la sua direzione coincide con la direzione del movimento dell'elica destra quando ruota A .

Modulo del momento della forza

Dove
– angolo tra E ,
– la distanza più breve tra la linea di azione della forza e il punto DI–forza delle spalle.

Momento di forza attorno ad un asse fisso z
, uguale alla proiezione su questo asse del vettore momento di forza definito rispetto ad un punto arbitrarioO dato assez (Fig. 1.4.1).

Il lavoro compiuto quando un corpo ruota è uguale al prodotto del momento della forza agente e dell'angolo di rotazione:

.

D'altra parte, questo lavoro va ad aumentare la sua energia cinetica:

, Ma

, Ecco perché

, O
.

Considerando che
, noi abbiamo

. (1.4.2)

Avuto l'equazione di base per la dinamica del movimento rotatorio di un corpo rigido rispetto ad un asse fisso: il momento delle forze esterne che agiscono sul corpo è uguale al prodotto del momento di inerzia del corpo e dell'accelerazione angolare.

Si può dimostrare che se l'asse di rotazione coincide con l'asse di inerzia principale passante per il centro di massa, allora vale l'uguaglianza vettoriale:

,

Dove IO– momento di inerzia principale del corpo (momento di inerzia rispetto all'asse principale).

1.5 Momento angolare e legge della sua conservazione

momento d'impulso punto materialeUN rispetto ad un punto fisso DI è una quantità fisica vettoriale definita dal prodotto vettoriale:

(1.5.1)

Dove – raggio vettore tracciato dal punto DI esattamente UN;
– quantità di moto di un punto materiale (Fig. 1.5.1).
– pseudovettore, la sua direzione coincide con la direzione del moto traslatorio dell'elica destra quando ruota A .

,

Dove
– angolo tra i vettori E ,– braccio vettoriale rispetto al punto DI.

Momento dell'impulso rispetto ad un asse fisso z chiamata grandezza scalare
, pari alla proiezione su questo asse del vettore momento angolare definito rispetto ad un punto arbitrarioDI questo asse. Valore della quantità di moto
non dipende dalla posizione del punto DI sull'asse z.

Quando un corpo assolutamente rigido ruota attorno ad un asse fisso z ogni singolo punto del corpo si muove in un cerchio di raggio costante ad una certa velocità . Velocità e slancio
perpendicolare a questo raggio, cioè il raggio è il braccio del vettore
. Pertanto, possiamo scrivere che il momento angolare di una singola particella

ed è diretto lungo l'asse nella direzione determinata dalla regola della vite giusta.

Momento di un corpo rigido rispetto all'asse è la somma del momento angolare delle singole particelle:

.

Utilizzando la formula
, noi abbiamo

, cioè.
. (1.5.2)

Pertanto, il momento angolare di un corpo rigido rispetto ad un asse è uguale al prodotto del momento di inerzia del corpo rispetto allo stesso asse e della velocità angolare.

Differenziamo l'equazione (1.5.2) rispetto al tempo:

, cioè.
. (1.5.3)

Questa espressione è un'altra forma l'equazione di base (legge) della dinamica del movimento rotatorio di un corpo rigido rispetto ad un asse fisso: la derivata temporale del momento della quantità di moto di un sistema meccanico (corpo solido) rispetto all'asse è uguale al momento principale di tutte le forze esterne agenti su questo sistema rispetto allo stesso asse.

Si può dimostrare che esiste un'uguaglianza vettoriale
.

In un sistema chiuso, il momento delle forze esterne
E
, Dove

. (1.5.4)

L'espressione (1.5.4) è legge di conservazione del momento angolare : Il momento angolare del sistema ad anello chiuso si conserva.

Confrontiamo le quantità e le equazioni di base che determinano la rotazione di un corpo attorno a un asse fisso e il suo movimento di traslazione (Tabella 1.5.1).

Tabella 1.5.1

Concetti basilari.

Momento di potere rispetto all'asse di rotazione: questo è il prodotto vettoriale del raggio vettore e della forza.

Il momento della forza è un vettore , la cui direzione è determinata dalla regola del succhiello (vite destra) in funzione della direzione della forza agente sul corpo. Il momento della forza è diretto lungo l'asse di rotazione e non ha un punto di applicazione specifico.

Il valore numerico di questo vettore è determinato dalla formula:

M=r×F× sina(1.15),

dove un - l'angolo tra il raggio vettore e la direzione della forza.

Se a=0 O P, momento di potere M=0, cioè. una forza passante per l'asse di rotazione o coincidente con esso non provoca la rotazione.

Il modulo di coppia più grande si ottiene se la forza agisce ad angolo a=p/2 (M > 0) O a=3p/2 (M< 0).

Utilizzando il concetto di leva finanziaria D- si tratta di una perpendicolare abbassata dal centro di rotazione alla linea di azione della forza), la formula per il momento della forza assume la forma:

Dove (1.16)

Regola dei momenti delle forze(condizione di equilibrio di un corpo avente un asse di rotazione fisso):

Affinché un corpo con asse di rotazione fisso sia in equilibrio, è necessario che la somma algebrica dei momenti delle forze agenti su tale corpo sia pari a zero.

S M io = 0(1.17)

L'unità SI per il momento della forza è [N×m]

Durante il moto rotatorio l'inerzia di un corpo dipende non solo dalla sua massa, ma anche dalla sua distribuzione nello spazio rispetto all'asse di rotazione.

L'inerzia durante la rotazione è caratterizzata dal momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione J.

Momento d'inerzia punto materiale rispetto all'asse di rotazione è un valore pari al prodotto della massa del punto per il quadrato della sua distanza dall'asse di rotazione:

J io = m io × r io 2(1.18)

Il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse è la somma dei momenti di inerzia dei punti materiali che compongono il corpo:

J=S m io × r io 2(1.19)

Il momento d'inerzia di un corpo dipende dalla sua massa e dalla sua forma, nonché dalla scelta dell'asse di rotazione. Per determinare il momento di inerzia di un corpo rispetto a un determinato asse, viene utilizzato il teorema di Steiner-Huygens:

J=J0+m×d2(1.20),

Dove J0– momento d'inerzia attorno ad un asse parallelo passante per il centro di massa del corpo, D– distanza tra due assi paralleli . Il momento d'inerzia nel SI è misurato in [kg × m 2 ]

Il momento di inerzia durante il movimento rotatorio del corpo umano viene determinato sperimentalmente e calcolato approssimativamente utilizzando le formule per un cilindro, un'asta tonda o una sfera.

Il momento d'inerzia di una persona rispetto all'asse di rotazione verticale, che passa per il centro di massa (il centro di massa del corpo umano si trova nel piano sagittale leggermente davanti alla seconda vertebra sacrale), a seconda del la posizione della persona, ha i seguenti valori: in piedi sull'attenti - 1,2 kg × m 2; con la posa “arabesca” – 8 kg × m 2; in posizione orizzontale – 17 kg × m2.

Lavorare con movimento rotatorio si verifica quando un corpo ruota sotto l'influenza di forze esterne.

Il lavoro elementare della forza nel movimento rotatorio è uguale al prodotto del momento della forza e dell'angolo elementare di rotazione del corpo:

dA i =M i × dj(1.21)

Se su un corpo agiscono più forze, il lavoro elementare della risultante di tutte le forze applicate è determinato dalla formula:

dA=M×dj(1.22),

Dove M– il momento totale di tutte le forze esterne che agiscono sul corpo.

Energia cinetica di un corpo rotanteW a dipende dal momento di inerzia del corpo e dalla velocità angolare della sua rotazione:

Angolo dell’impulso (momento angolare) – una quantità numericamente uguale al prodotto della quantità di moto del corpo per il raggio di rotazione.

L=p× r=m× V× r(1.24).

Dopo le opportune trasformazioni, puoi scrivere la formula per determinare il momento angolare nella forma:

(1.25).

Il momento angolare è un vettore la cui direzione è determinata dalla regola della vite destrorsa. L'unità SI del momento angolare è [kg×m 2 /s]

Leggi fondamentali della dinamica del moto rotatorio.

L'equazione di base per la dinamica del movimento rotatorio:

L'accelerazione angolare di un corpo sottoposto a movimento rotatorio è direttamente proporzionale al momento totale di tutte le forze esterne e inversamente proporzionale al momento di inerzia del corpo.

(1.26).

Questa equazione svolge lo stesso ruolo nel descrivere il movimento rotatorio che svolge la seconda legge di Newton per il movimento traslatorio. Dall'equazione è chiaro che sotto l'azione delle forze esterne, maggiore è l'accelerazione angolare, minore è il momento di inerzia del corpo.

La seconda legge di Newton per la dinamica del moto rotatorio può essere scritta in un'altra forma:

(1.27),

quelli. la derivata prima del momento angolare di un corpo rispetto al tempo è uguale al momento totale di tutte le forze esterne che agiscono su un dato corpo.

Legge di conservazione del momento angolare di un corpo:

Se il momento totale di tutte le forze esterne che agiscono sul corpo è uguale a zero, cioè

S M io = 0, Poi dL/dt=0 (1.28).

Ciò implica (1.29).

Questa affermazione costituisce l'essenza della legge di conservazione del momento angolare di un corpo, che è formulata come segue:

Il momento angolare di un corpo rimane costante se il momento totale delle forze esterne che agiscono su un corpo rotante è zero.

Questa legge è valida non solo per un corpo assolutamente rigido. Un esempio è un pattinatore artistico che esegue una rotazione attorno ad un asse verticale. Premendo le mani, il pattinatore riduce il momento d'inerzia e aumenta la velocità angolare. Per rallentare la rotazione, invece, allarga le braccia; Di conseguenza, il momento di inerzia aumenta e la velocità angolare di rotazione diminuisce.

In conclusione, presentiamo una tabella comparativa delle principali quantità e leggi che caratterizzano la dinamica dei movimenti traslatori e rotatori.

Tabella 1.4.

Movimento in avanti	Movimento rotatorio
Quantità fisica	Formula	Quantità fisica	Formula
Peso	M	Momento d'inerzia	J=m×r 2
Forza	F	Momento di potere	M=F×r, se
Impulso del corpo (quantità di movimento)	p=m×V	Quantità di moto di un corpo	L=m×V×r; L=J×l
Energia cinetica		Energia cinetica
Lavoro meccanico	dA=FdS	Lavoro meccanico	dA=Mdj
Equazione base della dinamica del moto traslatorio		Equazione di base per la dinamica del moto rotatorio	,
Legge di conservazione della quantità di moto	O Se	Legge di conservazione del momento angolare di un corpo	O SJ i w i =cost, Se

Centrifugazione.

La separazione di sistemi disomogenei costituiti da particelle di diversa densità può essere effettuata sotto l'influenza della gravità e della forza di Archimede (forza di galleggiamento). Se c'è una sospensione acquosa di particelle di diversa densità, su di esse agisce una forza netta

F r =F t – F A =r 1 ×V×g - r×V×g, cioè.

Fr =(r1 - r)× V × g(1.30)

dove V è il volume della particella, r1 E R– rispettivamente, la densità della sostanza della particella e dell'acqua. Se le densità differiscono leggermente l'una dall'altra, la forza risultante è piccola e la separazione (deposizione) avviene piuttosto lentamente. Pertanto, viene utilizzata la separazione forzata delle particelle a causa della rotazione del mezzo separato.

Centrifugazioneè il processo di separazione (separazione) di sistemi eterogenei, miscele o sospensioni costituite da particelle di masse diverse, che si verificano sotto l'influenza della forza d'inerzia centrifuga.

La base della centrifuga è un rotore con alloggiamenti per provette, situato in un alloggiamento chiuso, azionato da un motore elettrico. Quando il rotore della centrifuga ruota ad una velocità sufficientemente elevata, le particelle sospese di diversa massa, sotto l'influenza della forza di inerzia centrifuga, si distribuiscono in strati a diverse profondità e le più pesanti si depositano sul fondo della provetta.

Si può dimostrare che la forza sotto l'influenza della quale avviene la separazione è determinata dalla formula:

(1.31)

Dove w- velocità angolare di rotazione della centrifuga, R– distanza dall'asse di rotazione. Maggiore è la differenza nella densità delle particelle separate e del liquido, maggiore è l'effetto della centrifugazione e dipende anche in modo significativo dalla velocità angolare di rotazione.

Le ultracentrifughe che funzionano a una velocità del rotore di circa 10 5 –10 6 giri al minuto sono in grado di separare particelle di dimensioni inferiori a 100 nm, sospese o disciolte in un liquido. Hanno trovato ampia applicazione nella ricerca biomedica.

L'ultracentrifugazione può essere utilizzata per separare le cellule in organelli e macromolecole. Innanzitutto, le parti più grandi (nuclei, citoscheletro) si depositano (sedimenti). Con un ulteriore aumento della velocità di centrifugazione, le particelle più piccole si depositano in sequenza: prima i mitocondri, i lisosomi, poi i microsomi e, infine, i ribosomi e le grandi macromolecole. Durante la centrifugazione, frazioni diverse si depositano a velocità diverse, formando bande separate nella provetta che possono essere isolate ed esaminate. Gli estratti cellulari frazionati (sistemi privi di cellule) sono ampiamente utilizzati per studiare i processi intracellulari, ad esempio per studiare la biosintesi delle proteine ​​e decifrare il codice genetico.

Per sterilizzare i manipoli in odontoiatria si utilizza uno sterilizzatore per olio con centrifuga per rimuovere l'olio in eccesso.

La centrifugazione può essere utilizzata per sedimentare le particelle sospese nell'urina; separazione degli elementi formati dal plasma sanguigno; separazione di biopolimeri, virus e strutture subcellulari; controllo sulla purezza del farmaco.

Compiti per l'autocontrollo della conoscenza.

Esercizio 1 . Domande per l'autocontrollo.

Qual è la differenza tra moto circolare uniforme e moto lineare uniforme? In quali condizioni un corpo si muoverà uniformemente su una circonferenza?

Spiegare il motivo per cui il moto circolare uniforme avviene con accelerazione.

Il movimento curvilineo può avvenire senza accelerazione?

In quali condizioni il momento della forza è pari a zero? assume il valore maggiore?

Indicare i limiti di applicabilità della legge di conservazione della quantità di moto e del momento angolare.

Indicare le caratteristiche della separazione sotto l'influenza della gravità.

Perché la separazione delle proteine ​​con pesi molecolari diversi può essere effettuata mediante centrifugazione, ma il metodo della distillazione frazionata è inaccettabile?

Compito 2 . Prove di autocontrollo.

Inserisci la parola mancante:

Un cambiamento nel segno della velocità angolare indica un cambiamento nel_ _ _ _ _ movimento rotatorio.

Un cambiamento nel segno dell'accelerazione angolare indica un cambiamento nel_ _ _ movimento rotatorio

La velocità angolare è uguale alla _ _ _ _ _derivata dell'angolo di rotazione del raggio vettore rispetto al tempo.

L'accelerazione angolare è uguale alla _ _ _ _ _ _derivata dell'angolo di rotazione del raggio vettore rispetto al tempo.

Il momento della forza è uguale a_ _ _ _ _ se la direzione della forza che agisce sul corpo coincide con l'asse di rotazione.

Trova la risposta corretta:

Il momento della forza dipende solo dal punto di applicazione della forza.

Il momento d'inerzia di un corpo dipende solo dalla massa del corpo.

Il moto circolare uniforme avviene senza accelerazione.

R. Esatto. B. Errato.

Tutte le quantità sopra indicate sono scalari, ad eccezione di

A. momento di forza;

B. lavori meccanici;

C. energia potenziale;

D. momento di inerzia.

Le quantità vettoriali sono

A. velocità angolare;

B. accelerazione angolare;

C. momento di forza;

D. momento angolare.

Risposte: 1 – direzioni; 2 – carattere; 3 – primo; 4 – secondo; 5 – zero; 6 – B; 7 – B; 8 – B; 9 – A; 10 – A, B, C, D.

Compito 3. Ottieni la relazione tra le unità di misura :

velocità lineare cm/min e m/s;

accelerazione angolare rad/min 2 e rad/s 2 ;

momento di forza kN×cm e N×m;

impulso corporeo g×cm/s e kg×m/s;

momento d'inerzia g×cm 2 e kg×m 2.

Compito 4. Compiti di contenuto medico e biologico.

Compito n. 1. Perché durante la fase di volo di un salto un atleta non può utilizzare alcun movimento per modificare la traiettoria del baricentro del corpo? I muscoli dell’atleta eseguono lavoro quando cambia la posizione delle parti del corpo nello spazio?

Risposta: Muovendosi in volo libero lungo una parabola, un atleta può solo cambiare la posizione del corpo e delle sue singole parti rispetto al suo centro di gravità, che in questo caso è il centro di rotazione. L'atleta esegue un lavoro per modificare l'energia cinetica di rotazione del corpo.

Compito n. 2. Quale potenza media sviluppa una persona quando cammina se la durata del passo è di 0,5 s? Considera che il lavoro viene speso per accelerare e decelerare gli arti inferiori. Il movimento angolare delle gambe è di circa Dj=30o. Il momento d'inerzia dell'arto inferiore è 1,7 kg × m2. Il movimento delle gambe deve essere considerato come una rotazione uniformemente alternata.

Soluzione:

1) Scriviamo una breve condizione del problema: Dt= 0,5 secondi; DJ=30 0 =P/ 6; IO=1,7kg × m2

2) Definire il lavoro in un unico passaggio (gamba destra e sinistra): A= 2×Iw 2 / 2=Iw2.

Utilizzando la formula della velocità angolare media w av =Dj/Dt, noi abbiamo: w= 2w av = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3

3) Sostituire i valori numerici: N=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36)=14,9(L)

Risposta: 14,9 W.

Compito n.3. Qual è il ruolo del movimento delle braccia quando si cammina?

Risposta: Il movimento delle gambe, muovendosi su due piani paralleli posti ad una certa distanza l'uno dall'altro, crea un momento di forza che tende a far ruotare il corpo umano attorno ad un asse verticale. Una persona fa oscillare le braccia “verso” il movimento delle gambe, creando così un momento di forza di segno opposto.

Compito n. 4. Una delle aree di miglioramento delle frese utilizzate in odontoiatria è quella di aumentare la velocità di rotazione della fresa. La velocità di rotazione della punta del boro nei trapani a pedale è di 1500 giri al minuto, nei trapani elettrici stazionari - 4000 giri al minuto, nei trapani a turbina raggiunge già i 300.000 giri al minuto. Perché vengono sviluppate nuove modifiche di trapani con un gran numero di giri per unità di tempo?

Risposta: La dentina è diverse migliaia di volte più suscettibile al dolore rispetto alla pelle: ci sono 1-2 punti dolorosi per 1 mm di pelle e fino a 30.000 punti dolorosi per 1 mm di dentina incisiva. Aumentare il numero di giri, secondo i fisiologi, riduce il dolore durante il trattamento di una cavità cariata.

Z compito 5 . Compila le tabelle:

Tabella n. 1. Disegna un'analogia tra le caratteristiche lineari e angolari del movimento rotatorio e indica la relazione tra loro.

Tabella n. 2.

Compito 6. Compila la scheda azione indicativa:

Capitolo 2. Fondamenti di biomeccanica.

Domande.

Leve e articolazioni nel sistema muscolo-scheletrico umano. Il concetto di gradi di libertà.

Tipi di contrazione muscolare. Grandezze fisiche di base che descrivono le contrazioni muscolari.

Principi di regolazione motoria nell'uomo.

Metodi e strumenti per la misurazione delle caratteristiche biomeccaniche.

2.1. Leve e articolazioni nel sistema muscolo-scheletrico umano.

L'anatomia e la fisiologia del sistema muscolo-scheletrico umano presentano le seguenti caratteristiche che devono essere prese in considerazione nei calcoli biomeccanici: i movimenti del corpo sono determinati non solo dalle forze muscolari, ma anche dalle forze di reazione esterne, dalla gravità, dalle forze inerziali e dalle forze elastiche e attrito; la struttura dell'apparato locomotore consente esclusivamente movimenti rotatori. Utilizzando l'analisi delle catene cinematiche, i movimenti traslatori possono essere ridotti a movimenti rotazionali nelle articolazioni; i movimenti sono controllati da un meccanismo cibernetico molto complesso, in modo che vi sia un costante cambiamento di accelerazione.

Il sistema muscolo-scheletrico umano è costituito da ossa scheletriche articolate tra loro, alle quali sono attaccati i muscoli in determinati punti. Le ossa dello scheletro agiscono come leve che hanno un fulcro in corrispondenza delle articolazioni e sono azionate dalla forza di trazione generata dalla contrazione muscolare. Distinguere tre tipi di leva:

1) Leva a cui agisce la forza F e forza di resistenza R applicati sui lati opposti del fulcro. Un esempio di tale leva è il cranio visto sul piano sagittale.

2) Una leva che ha una forza attiva F e forza di resistenza R applicato su un lato del fulcro e la forza F applicato all'estremità della leva e la forza R- più vicino al fulcro. Questa leva dà un aumento di forza e una perdita di distanza, cioè. È leva del potere. Un esempio è l'azione dell'arco plantare quando si solleva sulle mezze dita, le leve della regione maxillo-facciale (Fig. 2.1). I movimenti dell'apparato masticatorio sono molto complessi. Quando si chiude la bocca, il sollevamento della mascella inferiore dalla posizione di massimo abbassamento alla posizione di completa chiusura dei denti con i denti della mascella superiore viene effettuato dal movimento dei muscoli che sollevano la mascella inferiore. Questi muscoli agiscono sulla mascella inferiore come una leva del secondo tipo con un fulcro nell'articolazione (contribuendo ad un aumento della forza masticatoria).

3) Una leva in cui la forza agente è applicata più vicino al fulcro rispetto alla forza resistente. Questa leva è leva della velocità, Perché dà una perdita di forza, ma un guadagno di movimento. Un esempio sono le ossa dell'avambraccio.

Riso. 2.1. Leve della regione maxillo-facciale e arco del piede.

La maggior parte delle ossa dello scheletro è sotto l'azione di diversi muscoli, che sviluppano forze in diverse direzioni. La loro risultante si trova mediante addizione geometrica secondo la regola del parallelogramma.

Le ossa del sistema muscolo-scheletrico sono collegate tra loro tramite articolazioni o articolazioni. Le estremità delle ossa che formano l'articolazione sono tenute insieme dalla capsula articolare che le racchiude strettamente, così come dai legamenti attaccati alle ossa. Per ridurre l'attrito, le superfici di contatto delle ossa sono ricoperte da cartilagine liscia e tra di loro è presente un sottile strato di liquido appiccicoso.

La prima fase dell'analisi biomeccanica dei processi motori è la determinazione della loro cinematica. Sulla base di tale analisi vengono costruite catene cinematiche astratte, la cui mobilità o stabilità può essere verificata sulla base di considerazioni geometriche. Esistono catene cinematiche chiuse e aperte formate da giunti e collegamenti rigidi posti tra di loro.

Lo stato di un punto materiale libero nello spazio tridimensionale è dato da tre coordinate indipendenti: x, y, z. Si chiamano variabili indipendenti che caratterizzano lo stato di un sistema meccanico gradi di libertà. Per sistemi più complessi, il numero di gradi di libertà può essere maggiore. In generale, il numero di gradi di libertà determina non solo il numero di variabili indipendenti (che caratterizza lo stato di un sistema meccanico), ma anche il numero di movimenti indipendenti del sistema.

Numero di gradi la libertà è la principale caratteristica meccanica del giunto, ovvero definisce numero di assi, attorno al quale è possibile la rotazione reciproca delle ossa articolate. È causata principalmente dalla forma geometrica della superficie delle ossa a contatto nell'articolazione.

Il numero massimo di gradi di libertà nelle articolazioni è 3.

Esempi di articolazioni uniassiali (piatte) nel corpo umano sono le articolazioni omeroulnare, sopracalcaneare e falangea. Consentono solo la flessione e l'estensione con un grado di libertà. Pertanto, l'ulna, con l'aiuto di una tacca semicircolare, copre una sporgenza cilindrica sull'omero, che funge da asse dell'articolazione. I movimenti dell'articolazione sono la flessione e l'estensione su un piano perpendicolare all'asse dell'articolazione.

L'articolazione del polso, in cui si verificano la flessione e l'estensione, nonché l'adduzione e l'abduzione, può essere classificata come articolazioni con due gradi di libertà.

Le articolazioni con tre gradi di libertà (articolazione spaziale) comprendono l'anca e l'articolazione scapolo-omerale. Ad esempio, a livello dell'articolazione scapolo-omerale, la testa sferica dell'omero si inserisce nella cavità sferica della sporgenza della scapola. I movimenti dell'articolazione sono la flessione e l'estensione (sul piano sagittale), l'adduzione e l'abduzione (sul piano frontale) e la rotazione dell'arto attorno all'asse longitudinale.

Le catene cinematiche piane chiuse hanno diversi gradi di libertà fF, che viene calcolato dal numero di collegamenti N nel seguente modo:

La situazione per le catene cinematiche nello spazio è più complessa. Qui vale la relazione

(2.2)

Dove f io- numero di gradi di libertà limitati io- esimo collegamento.

In qualsiasi corpo è possibile selezionare assi la cui direzione durante la rotazione verrà mantenuta senza dispositivi speciali. Hanno un nome assi di rotazione libera

In questo capitolo, un corpo rigido è considerato come un insieme di punti materiali che non si muovono l'uno rispetto all'altro. Un corpo che non può deformarsi si dice assolutamente solido.

Lascia che un corpo solido di forma arbitraria ruoti sotto l'azione di una forza attorno a un asse fisso 00 (Fig. 30). Allora tutti i suoi punti descrivono cerchi con centri su questo asse. È chiaro che tutti i punti del corpo hanno la stessa velocità angolare e la stessa accelerazione angolare (in un dato istante).

Scomponiamo la forza agente in tre componenti tra loro perpendicolari: (parallela all'asse), (perpendicolare all'asse e giacente su una retta passante per l'asse) e (perpendicolare. Ovviamente la rotazione del corpo è causata solo dalla componente tangente al cerchio descritto dal punto di applicazione della forza. Le componenti della rotazione non sono causa. Chiamiamola forza rotante. Come noto da un corso di fisica scolastica, l'azione di una forza dipende non solo da dalla sua grandezza, ma anche dalla distanza del punto di applicazione A dall'asse di rotazione, cioè dipende dal momento della forza Momento della forza di rotazione (coppia) Il prodotto della forza di rotazione per il raggio della circonferenza descritta dal punto di applicazione della forza si chiama:

Scomponiamo mentalmente l'intero corpo in particelle molto piccole: masse elementari. Sebbene la forza sia applicata ad un punto A del corpo, il suo effetto rotante si trasmette a tutte le particelle: ad ogni massa elementare verrà applicata una forza rotante elementare (vedi Fig. 30). Secondo la seconda legge di Newton,

dove è l'accelerazione lineare impressa alla massa elementare. Moltiplicando entrambi i lati di questa uguaglianza per il raggio del cerchio descritto dalla massa elementare, e introducendo l'accelerazione angolare anziché lineare (vedi § 7), otteniamo

Considerando che il momento torcente applicato alla massa elementare, e denotando

dove è il momento d'inerzia della massa elementare (punto materiale). Di conseguenza, il momento di inerzia di un punto materiale rispetto a un determinato asse di rotazione è il prodotto della massa del punto materiale per il quadrato della sua distanza da questo asse.

Sommando i momenti torcenti applicati a tutte le masse elementari che compongono il corpo, otteniamo

dove è la coppia applicata al corpo, cioè il momento della forza rotante è il momento di inerzia del corpo. Di conseguenza, il momento d'inerzia di un corpo è la somma dei momenti d'inerzia di tutti i punti materiali che compongono il corpo.

Ora possiamo riscrivere la formula (3) nella forma

La formula (4) esprime la legge fondamentale della dinamica di rotazione (la seconda legge di Newton per il movimento rotatorio):

il momento della forza rotante applicata al corpo è pari al prodotto del momento di inerzia del corpo e dell'accelerazione angolare.

Dalla formula (4) risulta chiaro che l'accelerazione angolare impressa al corpo dalla coppia dipende dal momento di inerzia del corpo; Maggiore è il momento d'inerzia, minore è l'accelerazione angolare. Di conseguenza, il momento d'inerzia caratterizza le proprietà inerziali di un corpo durante il movimento rotatorio, così come la massa caratterizza le proprietà inerziali di un corpo durante il movimento traslatorio. Tuttavia, a differenza della massa, il momento d'inerzia di un dato corpo può assumere molti valori secondo molti possibili assi di rotazione. Pertanto, quando si parla di momento d'inerzia di un corpo rigido, è necessario indicare rispetto a quale asse viene calcolato. In pratica si ha di solito a che fare con momenti di inerzia relativi agli assi di simmetria del corpo.

Dalla formula (2) segue che l'unità di misura del momento d'inerzia è il chilogrammo-metro quadrato

Se la coppia e il momento di inerzia del corpo, la formula (4) può essere rappresentata come

Questo articolo descrive un'importante sezione della fisica: "Cinematica e dinamica del movimento rotatorio".

Concetti di base della cinematica del moto rotatorio

Il movimento di rotazione di un punto materiale attorno ad un asse fisso è chiamato tale movimento, la cui traiettoria è un cerchio situato su un piano perpendicolare all'asse e il suo centro si trova sull'asse di rotazione.

Il movimento di rotazione di un corpo rigido è un movimento in cui tutti i punti del corpo si muovono lungo cerchi concentrici (i cui centri giacciono sullo stesso asse) secondo la regola del movimento di rotazione di un punto materiale.

Lasciamo che un corpo rigido arbitrario T ruoti attorno all'asse O, che è perpendicolare al piano del disegno. Selezioniamo su questo corpo il punto M. Quando ruotato, questo punto descriverà un cerchio di raggio attorno all'asse O R.

Dopo un po' di tempo, il raggio ruoterà rispetto alla sua posizione originale di un angolo Δφ.

La direzione della vite destra (in senso orario) viene considerata come direzione di rotazione positiva. La variazione dell'angolo di rotazione nel tempo è chiamata equazione del moto rotatorio di un corpo rigido:

φ = φ(t).

Se φ è misurato in radianti (1 rad è l'angolo corrispondente a un arco di lunghezza pari al suo raggio), allora la lunghezza dell'arco circolare ΔS, che il punto materiale M percorrerà nel tempo Δt, è pari a:

ΔS = Δφr.

Elementi di base della cinematica del moto rotatorio uniforme

Misura del movimento di un punto materiale in un breve periodo di tempo dt funge da vettore di rotazione elementare dφ.

La velocità angolare di un punto o corpo materiale è una quantità fisica determinata dal rapporto tra il vettore di una rotazione elementare e la durata di questa rotazione. La direzione del vettore può essere determinata dalla regola della vite destra lungo l'asse O. In forma scalare:

ω = dφ/dt.

Se ω = dφ/dt = cost, allora tale moto si chiama moto rotatorio uniforme. Con esso, la velocità angolare è determinata dalla formula

ω = φ/t.

Secondo la formula preliminare, la dimensione della velocità angolare

[ω] = 1 rad/s.

Il moto rotatorio uniforme di un corpo può essere descritto dal periodo di rotazione. Il periodo di rotazione T è una grandezza fisica che determina il tempo durante il quale un corpo compie un giro completo attorno all'asse di rotazione ([T] = 1 s). Se nella formula per la velocità angolare prendiamo t = T, φ = 2 π (un giro completo di raggio r), allora

ω = 2π/T,

Pertanto, definiamo il periodo di rotazione come segue:

T = 2π/ω.

Il numero di rivoluzioni che un corpo compie nell'unità di tempo è chiamato frequenza di rotazione ν, che è pari a:

ν = 1/T.

Unità di frequenza: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Confrontando le formule per la velocità angolare e la frequenza di rotazione, otteniamo un'espressione che collega queste quantità:

ω = 2πν.

Elementi di base della cinematica del moto rotatorio irregolare

Il movimento rotatorio irregolare di un corpo rigido o di un punto materiale attorno a un asse fisso è caratterizzato dalla sua velocità angolare, che cambia nel tempo.

Vettore ε , che caratterizza la velocità di variazione della velocità angolare, è chiamato vettore accelerazione angolare:

ε = dω/dt.

Se un corpo ruota, accelerando, ovviamente dω/dt > 0, il vettore ha una direzione lungo l'asse nella stessa direzione di ω.

Se il movimento rotatorio è lento - dω/dt< 0 , allora i vettori ε e ω hanno direzioni opposte.

Commento. Quando si verifica un movimento rotatorio irregolare, il vettore ω può cambiare non solo in grandezza, ma anche in direzione (quando l'asse di rotazione viene ruotato).

Relazione tra grandezze che caratterizzano il moto traslatorio e rotatorio

È noto che la lunghezza dell'arco con l'angolo di rotazione del raggio e il suo valore sono legati dalla relazione

ΔS = Δφr.

Quindi la velocità lineare di un punto materiale che esegue un movimento rotatorio

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

L'accelerazione normale di un punto materiale che esegue un movimento rotatorio traslatorio è definita come segue:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Quindi, in forma scalare

a = ω2r.

Punto materiale accelerato tangenziale che esegue un movimento rotatorio

un = εr.

Momento di un punto materiale

Il prodotto vettoriale del raggio vettore della traiettoria di un punto materiale di massa mi e della sua quantità di moto è chiamato momento angolare di questo punto attorno all'asse di rotazione. La direzione del vettore può essere determinata utilizzando la regola della vite giusta.

Momento di un punto materiale ( L i) è diretto perpendicolarmente al piano tracciato attraverso r i e υ i, e forma con essi una terna destra di vettori (cioè, quando ci si sposta dall'estremità del vettore io A υ la vite destra mostrerà la direzione del vettore l io).

In forma scalare

L = m io υ io r io sin(υ io , r i).

Considerando che quando ci si muove in un cerchio, il vettore del raggio e il vettore della velocità lineare per il punto materiale i-esimo sono reciprocamente perpendicolari,

sin(υ io , r i) = 1.

Quindi il momento angolare di un punto materiale per il movimento rotatorio assumerà la forma

L = m io υ io r io .

Il momento di forza che agisce sull'i-esimo punto materiale

Il prodotto vettoriale del raggio vettore, che viene tracciato fino al punto di applicazione della forza, e questa forza è chiamato momento della forza che agisce sull'i-esimo punto materiale rispetto all'asse di rotazione.

In forma scalare

M i = r i F i sin(r i , F i).

Considerando che r io sinα = l io ,M io = l io F io .

Grandezza l i, pari alla lunghezza della perpendicolare abbassata dal punto di rotazione alla direzione di azione della forza, è chiamato braccio della forza F i.

Dinamica del moto rotatorio

L'equazione per la dinamica del moto rotatorio è scritta come segue:

M = dL/dt.

La formulazione della legge è la seguente: la velocità di variazione del momento angolare di un corpo che ruota attorno ad un asse fisso è uguale al momento risultante rispetto a questo asse di tutte le forze esterne applicate al corpo.

Momento d'impulso e momento d'inerzia

È noto che per l'i-esimo punto materiale il momento angolare in forma scalare è dato dalla formula

L io = m io υ io r io .

Se al posto della velocità lineare sostituiamo la sua espressione mediante la velocità angolare:

υ io = ωr io ,

allora assumerà la forma l'espressione del momento angolare

L io = m io r io 2 ω.

Grandezza io io = m io r io 2è chiamato momento di inerzia rispetto all'asse dell'i-esimo punto materiale di un corpo assolutamente rigido passante per il suo centro di massa. Quindi scriviamo il momento angolare del punto materiale:

L io = io io ω.

Scriviamo il momento angolare di un corpo assolutamente rigido come la somma del momento angolare dei punti materiali che compongono questo corpo:

L = Iω.

Momento di forza e momento di inerzia

La legge del moto rotatorio afferma:

M = dL/dt.

È noto che il momento angolare di un corpo può essere rappresentato attraverso il momento d'inerzia:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Considerando che l'accelerazione angolare è determinata dall'espressione

ε = dω/dt,

otteniamo una formula per il momento di forza, rappresentato attraverso il momento di inerzia:

M = Iε.

Commento. Un momento di forza è considerato positivo se l'accelerazione angolare che lo provoca è maggiore di zero, e viceversa.

Il teorema di Steiner. Legge di addizione dei momenti di inerzia

Se l’asse di rotazione di un corpo non passa per il suo centro di massa, rispetto a questo asse si può trovare il suo momento d’inerzia utilizzando il teorema di Steiner:
io = io 0 + ma 2,

Dove io 0- momento d'inerzia iniziale del corpo; M- massa corporea; UN- distanza tra gli assi.

Se un sistema che ruota attorno ad un asse fisso è costituito da N corpi, allora il momento di inerzia totale di questo tipo di sistema sarà uguale alla somma dei momenti dei suoi componenti (legge di addizione dei momenti di inerzia).

Momento di potere

L'effetto rotatorio di una forza è determinato dal suo momento. Il momento di una forza attorno ad un punto si chiama prodotto vettoriale

Vettore del raggio tracciato da punto a punto di applicazione della forza (Fig. 2.12). Unità di misura del momento di forza.

Figura 2.12

Entità del momento di forza

oppure puoi scrivere

dove è il braccio della forza (la distanza più breve dal punto alla linea di azione della forza).

La direzione del vettore è determinata dalla regola del prodotto vettoriale o dalla regola della “vite destra” (i vettori e la traslazione parallela sono combinati nel punto O, la direzione del vettore è determinata in modo che dalla sua estremità sia visibile la rotazione dal vettore k in senso antiorario - in Fig. 2.12 il vettore è diretto perpendicolarmente al piano che disegna “da noi” (simile alla regola del succhiello - il movimento traslatorio corrisponde alla direzione del vettore, il movimento rotatorio corrisponde alla rotazione da a)).

Il momento di una forza attorno ad un punto qualsiasi è uguale a zero se la linea di azione della forza passa per questo punto.

La proiezione di un vettore su un asse qualsiasi, ad esempio l'asse z, è chiamata momento di forza attorno a questo asse. Per determinare il momento di una forza attorno a un asse, proiettare prima la forza su un piano perpendicolare all'asse (Fig. 2.13), quindi trovare il momento di questa proiezione rispetto al punto di intersezione dell'asse con il piano perpendicolare a Esso. Se la linea d'azione della forza è parallela all'asse o lo interseca, il momento della forza attorno a questo asse è uguale a zero.

Figura 2.13

Quantità di moto

Impulso di slancio punto materiale una massa che si muove con una velocità relativa a un qualsiasi punto di riferimento è chiamata prodotto vettoriale

Il raggio vettore di un punto materiale (Fig. 2.14) è la sua quantità di moto.

Figura 2.14

L'entità del momento angolare di un punto materiale

dove è la distanza più breve dalla linea vettoriale al punto.

La direzione del momento dell'impulso è determinata in modo simile alla direzione del momento della forza.

Se moltiplichiamo l'espressione per L 0 e dividiamo per l otteniamo:

Dov'è il momento di inerzia di un punto materiale - un analogo della massa in movimento rotatorio.

Velocità angolare.

Momento d'inerzia di un corpo rigido

Si può vedere che le formule risultanti sono molto simili rispettivamente alle espressioni per la quantità di moto e alla seconda legge di Newton, solo che invece di velocità lineare e accelerazione vengono usate velocità angolare e accelerazione, e invece di massa, la quantità I=mR 2, chiamato momento d'inerzia di un punto materiale .

Se un corpo non può essere considerato un punto materiale, ma può essere considerato assolutamente solido, allora il suo momento d'inerzia può essere considerato la somma dei momenti d'inerzia delle sue parti infinitamente piccole, poiché le velocità angolari di rotazione di queste parti sono le stesse (Fig. 2.16). La somma degli infinitesimi è l'integrale:

Per qualsiasi corpo esistono assi passanti per il suo centro di inerzia che hanno la seguente proprietà: quando il corpo ruota attorno a tali assi in assenza di influenze esterne, gli assi di rotazione non cambiano la loro posizione. Tali assi sono chiamati assi del corpo libero . Si può dimostrare che per un corpo di qualsiasi forma e con qualsiasi distribuzione di densità esistono tre assi liberi tra loro perpendicolari, detti assi principali di inerzia corpi. Si chiamano momenti di inerzia di un corpo rispetto agli assi principali principali momenti di inerzia (intrinseci). corpi.

I principali momenti di inerzia di alcuni corpi sono riportati nella tabella:

Teorema di Huygens-Steiner.

Questa espressione si chiama Teorema di Huygens-Steiner : il momento d'inerzia di un corpo rispetto a un asse arbitrario è uguale alla somma del momento d'inerzia del corpo rispetto a un asse parallelo a quello dato e passante per il centro di massa del corpo, e il prodotto di la massa corporea per il quadrato della distanza tra gli assi.

Equazione di base per la dinamica del moto rotatorio

La legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio può essere ricavata dalla seconda legge di Newton per il moto traslatorio di un corpo rigido

Dove F– forza applicata ad un corpo mediante massa M; UN– accelerazione lineare del corpo.

Se ad un corpo solido di massa M nel punto A (Fig. 2.15) applicare la forza F, allora per effetto di una connessione rigida tra tutti i punti materiali del corpo, essi riceveranno tutti un'accelerazione angolare ε e corrispondenti accelerazioni lineari, come se su ciascun punto agisse una forza F 1 ...F n. Per ogni punto materiale possiamo scrivere:

Dove dunque

Dove io e io- peso io- punti; ε – accelerazione angolare; io– la sua distanza dall'asse di rotazione.

Moltiplicando i lati sinistro e destro dell'equazione per io, noi abbiamo

Dove - il momento della forza è il prodotto della forza per la sua spalla.

Riso. 2.15. Un corpo rigido che ruota sotto l'influenza di una forza F rispetto all’asse “OO”

- momento d'inerzia io punto materiale (analogo della massa in movimento rotatorio).

L'espressione può essere scritta così:

Sommiamo le parti sinistra e destra su tutti i punti del corpo:

L'equazione è la legge fondamentale della dinamica del movimento rotatorio di un corpo rigido. La grandezza è la somma geometrica di tutti i momenti di forza, cioè il momento della forza F, imprimendo l'accelerazione ε a tutti i punti del corpo. – somma algebrica dei momenti di inerzia di tutti i punti del corpo. La legge è formulata come segue: "Il momento della forza che agisce su un corpo rotante è uguale al prodotto del momento d'inerzia del corpo e dell'accelerazione angolare".

Dall'altro lato

A sua volta, un cambiamento nel momento angolare del corpo.

Quindi la legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio può essere riscritta come:

Oppure - l'impulso del momento della forza che agisce su un corpo rotante è uguale alla variazione del suo momento angolare.

Legge di conservazione del momento angolare

Simile a ZSI.

Secondo l'equazione di base della dinamica del movimento rotatorio, il momento della forza rispetto all'asse Z: . Quindi in un sistema chiuso e, quindi, il momento angolare totale relativo all'asse Z di tutti i corpi compresi nel sistema chiuso è una quantità costante. Questo esprime legge di conservazione del momento angolare . Questa legge opera solo in sistemi di riferimento inerziali.

Tracciamo un'analogia tra le caratteristiche del movimento traslatorio e rotatorio.