Tutto sulle disuguaglianze logaritmiche. Analisi di esempi

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Al posto della casella “∨”, puoi inserire qualsiasi segno di disuguaglianza: più o meno. La cosa principale è che in entrambe le disuguaglianze i segni sono gli stessi.

In questo modo eliminiamo i logaritmi e riduciamo il problema a una disuguaglianza razionale. Quest'ultimo è molto più semplice da risolvere, ma quando si scartano i logaritmi potrebbero apparire radici extra. Per eliminarli è sufficiente trovare l'intervallo di valori accettabili. Se hai dimenticato l'ODZ di un logaritmo, ti consiglio vivamente di ripeterlo - vedi "Cos'è un logaritmo".

Tutto ciò che riguarda l'intervallo di valori accettabili deve essere scritto e risolto separatamente:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Queste quattro disuguaglianze costituiscono un sistema e devono essere soddisfatte simultaneamente. Una volta trovato l'intervallo di valori accettabili, non resta che intersecarlo con la soluzione della disuguaglianza razionale - e la risposta è pronta.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

Innanzitutto, scriviamo l'ODZ del logaritmo:

Le prime due disuguaglianze vengono soddisfatte automaticamente, ma l'ultima dovrà essere scritta. Poiché il quadrato di un numero è zero se e solo se il numero stesso è zero, abbiamo:

x2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Risulta che l'ODZ del logaritmo è composto da tutti numeri tranne zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ora risolviamo la disuguaglianza principale:

Passiamo dalla disuguaglianza logaritmica a quella razionale. La disuguaglianza originaria ha un segno “minore di”, il che significa che anche la disuguaglianza risultante deve avere un segno “minore di”. Abbiamo:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Gli zeri di questa espressione sono: x = 3; x = −3; x = 0. Inoltre, x = 0 è una radice della seconda molteplicità, il che significa che quando la attraversa, il segno della funzione non cambia. Abbiamo:

Otteniamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Questo insieme è completamente contenuto nell'ODZ del logaritmo, il che significa che questa è la risposta.

Conversione di disuguaglianze logaritmiche

Spesso la disuguaglianza originaria è diversa da quella sopra. Questo può essere facilmente corretto utilizzando le regole standard per lavorare con i logaritmi - vedere "Proprietà di base dei logaritmi". Vale a dire:

Qualsiasi numero può essere rappresentato come un logaritmo con una data base;
La somma e la differenza dei logaritmi con le stesse basi possono essere sostituite da un logaritmo.

Separatamente, vorrei ricordarvi l'intervallo di valori accettabili. Poiché nella disuguaglianza originaria possono esserci più logaritmi, è necessario trovare il VA di ciascuno di essi. Pertanto, lo schema generale per risolvere le disuguaglianze logaritmiche è il seguente:

Trova il VA di ciascun logaritmo incluso nella disuguaglianza;
Riduci la disuguaglianza a quella standard utilizzando le formule per aggiungere e sottrarre i logaritmi;
Risolvi la disuguaglianza risultante utilizzando lo schema sopra indicato.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

Troviamo il dominio di definizione (DO) del primo logaritmo:

Risolviamo utilizzando il metodo degli intervalli. Trovare gli zeri del numeratore:

3x−2 = 0;
x = 2/3.

Quindi - gli zeri del denominatore:

x−1 = 0;
x = 1.

Contrassegniamo zeri e segni sulla freccia delle coordinate:

Otteniamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Il secondo logaritmo avrà lo stesso VA. Se non ci credi, puoi verificarlo. Ora trasformiamo il secondo logaritmo in modo che la base sia due:

Come puoi vedere, i tre alla base e davanti al logaritmo sono stati ridotti. Abbiamo due logaritmi con la stessa base. Sommiamoli:

logaritmo 2 (x − 1) 2< 2;
logaritmo 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Abbiamo ottenuto la disuguaglianza logaritmica standard. Ci liberiamo dei logaritmi usando la formula. Poiché la disuguaglianza originale contiene un segno “minore di”, anche l’espressione razionale risultante deve essere minore di zero. Abbiamo:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x2 − 2x + 1 − 4< 0;
x2-2x-3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Abbiamo due set:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Risposta del candidato: x ∈ (−1; 3).

Resta da intersecare questi insiemi: otteniamo la vera risposta:

Siamo interessati all'intersezione degli insiemi, quindi selezioniamo gli intervalli ombreggiati su entrambe le frecce. Otteniamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - tutti i punti sono perforati.

Tra l'intera varietà di disuguaglianze logaritmiche, le disuguaglianze con base variabile vengono studiate separatamente. Vengono risolti utilizzando una formula speciale, che per qualche motivo viene insegnata raramente a scuola. La presentazione presenta le soluzioni ai compiti C3 dell'Esame di Stato Unificato - 2014 in matematica.

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Risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche contenenti una variabile nella base del logaritmo: metodi, tecniche, transizioni equivalenti, insegnante di matematica, scuola secondaria n. 143 Knyazkina T. V.

Tra l'intera varietà di disuguaglianze logaritmiche, le disuguaglianze con base variabile vengono studiate separatamente. Vengono risolti utilizzando una formula speciale, che per qualche motivo viene insegnata raramente a scuola: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Invece della casella “∨”, puoi inserire qualsiasi segno di disuguaglianza: più o meno. La cosa principale è che in entrambe le disuguaglianze i segni sono gli stessi. In questo modo eliminiamo i logaritmi e riduciamo il problema a una disuguaglianza razionale. Quest'ultimo è molto più semplice da risolvere, ma quando si scartano i logaritmi potrebbero apparire radici extra. Per eliminarli è sufficiente trovare l'intervallo di valori accettabili. Non dimenticare l'ODZ del logaritmo! Tutto ciò che riguarda l'intervallo di valori accettabili deve essere scritto e risolto separatamente: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Queste quattro disuguaglianze costituiscono un sistema e devono essere soddisfatte simultaneamente. Una volta trovato l'intervallo di valori accettabili, non resta che intersecarlo con la soluzione della disuguaglianza razionale - e la risposta è pronta.

Risolvere la disuguaglianza: Soluzione Per prima cosa scriviamo la OD del logaritmo: le prime due disuguaglianze vengono soddisfatte automaticamente, ma l'ultima dovrà essere scritta. Poiché il quadrato di un numero è uguale a zero se e solo se il numero stesso è uguale a zero, abbiamo: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Risulta che l'ODZ di un logaritmo è composto da tutti i numeri tranne lo zero: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Ora risolviamo la disuguaglianza principale: effettuiamo la transizione dalla disuguaglianza logaritmica a quella razionale. La disuguaglianza originaria ha un segno “minore di”, il che significa che anche la disuguaglianza risultante deve avere un segno “minore di”.

Abbiamo: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Trasformare le disuguaglianze logaritmiche Spesso la disuguaglianza originale è diversa da quella sopra. Questo può essere facilmente corretto utilizzando le regole standard per lavorare con i logaritmi. Vale a dire: qualsiasi numero può essere rappresentato come un logaritmo con una data base; La somma e la differenza dei logaritmi con le stesse basi possono essere sostituite da un logaritmo. Separatamente, vorrei ricordarvi l'intervallo di valori accettabili. Poiché nella disuguaglianza originaria possono esserci più logaritmi, è necessario trovare il VA di ciascuno di essi. Pertanto, lo schema generale per risolvere le disuguaglianze logaritmiche è il seguente: trovare il VA di ciascun logaritmo incluso nella disuguaglianza; Riduci la disuguaglianza a quella standard utilizzando le formule per aggiungere e sottrarre i logaritmi; Risolvi la disuguaglianza risultante utilizzando lo schema sopra indicato.

Risolvere la disuguaglianza: Soluzione Troviamo il dominio di definizione (DO) del primo logaritmo: Risolvi con il metodo degli intervalli. Trova gli zeri del numeratore: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Quindi - gli zeri del denominatore: x − 1 = 0; x = 1. Segna zeri e segni sulla linea delle coordinate:

Otteniamo x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Il secondo logaritmo avrà lo stesso VA. Se non ci credi, puoi verificarlo. Ora trasformiamo il secondo logaritmo in modo che ci sia un due alla base: come puoi vedere, i tre alla base e davanti al logaritmo sono stati cancellati. Abbiamo due logaritmi con la stessa base. Sommateli: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Siamo interessati all'intersezione degli insiemi, quindi selezioniamo gli intervalli ombreggiati su entrambe le frecce. Otteniamo: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - tutti i punti sono perforati. Risposta: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Risoluzione dei compiti USE-2014 di tipo C3

Risolvere il sistema di disequazioni Soluzione. ODZ:  1) 2)

Risolvere il sistema di disequazioni 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (continua)

Risolvere il sistema di disequazioni 4) Soluzione generale: e -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (continua)

Risolvi la disuguaglianza (continua) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Risolvere la soluzione della disuguaglianza. ODZ: 

Risolvere la disuguaglianza (continua)

Risolvere la soluzione della disuguaglianza. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

Con loro ci sono i logaritmi interni.

Esempi:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

Come risolvere le disuguaglianze logaritmiche:

Dovremmo sforzarci di ridurre qualsiasi disuguaglianza logaritmica alla forma $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ (il simbolo $˅$ significa uno qualsiasi di ). Questo tipo ti consente di eliminare i logaritmi e le loro basi, passando alla disuguaglianza delle espressioni sotto i logaritmi, cioè alla forma $f(x) ˅ g(x)$.

Ma quando si effettua questa transizione c'è una sottigliezza molto importante:
$-$ se è un numero ed è maggiore di 1, il segno di disuguaglianza rimane lo stesso durante la transizione,
$-$ se la base è un numero maggiore di 0 ma minore di 1 (è compreso tra zero e uno), il segno di disuguaglianza dovrebbe cambiare al contrario, cioè

Esempi:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ODZ: $8-x>0$
$-x>-8$
$X<8$

Soluzione:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
Risposta: $(6;8)$

$\log$$_(0.5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0.5)$ ⁡$((x+ 1))$
ODZ: $\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)$
$\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)$ $\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) $ $\Leftrightarrow$ $x\in(2;\infty)$

Soluzione:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Risposta: $(2;5]$

Molto importante! In qualsiasi disuguaglianza, la transizione dalla forma $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ al confronto di espressioni sotto logaritmi può essere eseguita solo se:

Esempio . Risolvi la disuguaglianza: $\log$$≤-1$

Soluzione:

$\tronco d'albero$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Scriviamo l'ODZ.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Apriamo le parentesi e portiamo .
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Moltiplichiamo la disuguaglianza per $-1$, senza dimenticare di invertire il segno di confronto.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Costruiamo una linea numerica e segniamo i punti $\frac(7)(3)$ e $\frac(3)(2)$ su di essa. Tieni presente che il punto viene rimosso dal denominatore, nonostante la disuguaglianza non sia stretta. Il fatto è che questo punto non sarà una soluzione, poiché, sostituito alla disuguaglianza, ci porterà alla divisione per zero.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Ora tracciamo l'ODZ sullo stesso asse numerico e scriviamo in risposta l'intervallo che rientra nell'ODZ.
	Scriviamo la risposta finale.

Risposta: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Esempio . Risolvi la disuguaglianza: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Soluzione:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Scriviamo l'ODZ.
ODZ: $x>0$	Arriviamo alla soluzione.
Soluzione: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Qui abbiamo una tipica disuguaglianza logaritmica quadrata. Facciamolo.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Espandiamo il lato sinistro della disuguaglianza in .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Ora dobbiamo tornare alla variabile originale - x. Per fare ciò, andiamo a , che ha la stessa soluzione, ed effettuiamo la sostituzione inversa.
$\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Trasforma $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Passiamo al confronto degli argomenti. Le basi dei logaritmi sono maggiori di $1$, quindi il segno delle disuguaglianze non cambia.
$\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Combiniamo la soluzione alla disuguaglianza e all'ODZ in un'unica figura.
	Scriviamo la risposta.

Risposta: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

Nell'ultima lezione abbiamo esaminato la risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche più semplici e delle disuguaglianze in cui la base del logaritmo è fissa.

Ma cosa succede se alla base del logaritmo c'è una variabile?

Allora verrà in nostro aiuto razionalizzazione delle disuguaglianze. Per capire come funziona, consideriamo, ad esempio, la disuguaglianza:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

Come previsto, iniziamo con ODZ.

ODZ

$$\sinistra[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$

Soluzione alla disuguaglianza

Ragioniamo come se stessimo risolvendo una disuguaglianza a base fissa. Se la base è maggiore di uno eliminiamo i logaritmi e il segno di disuguaglianza non cambia; se è minore di uno cambia.

Scriviamolo come un sistema:

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(array)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Per un ulteriore ragionamento, spostiamo tutti i lati di destra delle disuguaglianze a sinistra.

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \left\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Cosa abbiamo ottenuto? Risulta che abbiamo bisogno che le espressioni "2x-1" e "x^2 - x" siano positive o negative allo stesso tempo. Lo stesso risultato si otterrà se risolviamo la disuguaglianza:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Questa disuguaglianza, come il sistema originale, è vera se entrambi i fattori sono positivi o negativi. Si scopre che è possibile passare da una disuguaglianza logaritmica a una razionale (tenendo conto dell'ODZ).

Formuliamo Metodo per razionalizzare le disuguaglianze logaritmiche$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ dove `\vee` è un segno di disuguaglianza qualsiasi. (Per il segno `>` abbiamo appena verificato la validità della formula. Per il resto ti consiglio di verificarlo tu stesso: verrà ricordato meglio).

Torniamo a risolvere la nostra disuguaglianza. Espandendolo tra parentesi (per rendere più facile vedere gli zeri della funzione), otteniamo

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Il metodo dell'intervallo fornirà la seguente immagine:

(Poiché la disuguaglianza è stretta e non siamo interessati alle estremità degli intervalli, queste non sono ombreggiate.) Come si può vedere, gli intervalli risultanti soddisfano l'ODZ. Abbiamo ricevuto la risposta: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.

Esempio due. Risoluzione della disuguaglianza logaritmica a base variabile

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ODZ

$$\sinistra\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1,\\ x > 0. \end(array)\right.$$

$$\sinistra\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0.\end(array)\right.$$

Soluzione alla disuguaglianza

Secondo la regola che abbiamo appena ricevuto razionalizzazione delle disuguaglianze logaritmiche, troviamo che questa disuguaglianza è identica (tenendo conto dell'ODZ) alla seguente:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Combinando questa soluzione con l'ODZ, otteniamo la risposta: `(1,2)`.

Terzo esempio. Logaritmo di una frazione

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ODZ

$$\sinistra\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $

Poiché il sistema è relativamente complesso, tracciamo immediatamente la soluzione delle disuguaglianze sulla retta numerica:

Pertanto, ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.

Soluzione alla disuguaglianza

Rappresentiamo "-1" come un logaritmo in base "x".

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

Usando razionalizzazione della disuguaglianza logaritmica otteniamo una disuguaglianza razionale:

$$(x-1)\sinistra(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\destra)\leqslant0,$$

$$(x-1)\sinistra(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\destra)\leqslant0,$$

$$(x-1)\sinistra(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\destra)\leqslant0.$$

\(\tronco d'albero\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Scriviamo l'ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Apriamo le parentesi e portiamo .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Moltiplichiamo la disuguaglianza per \(-1\), senza dimenticare di invertire il segno di confronto.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Costruiamo una linea numerica e segniamo i punti \(\frac(7)(3)\) e \(\frac(3)(2)\) su di essa. Tieni presente che il punto viene rimosso dal denominatore, nonostante la disuguaglianza non sia stretta. Il fatto è che questo punto non sarà una soluzione, poiché, sostituito alla disuguaglianza, ci porterà alla divisione per zero.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Ora tracciamo l'ODZ sullo stesso asse numerico e scriviamo in risposta l'intervallo che rientra nell'ODZ.
	Scriviamo la risposta finale.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Scriviamo l'ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Arriviamo alla soluzione.
Soluzione: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Qui abbiamo una tipica disuguaglianza logaritmica quadrata. Facciamolo.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Espandiamo il lato sinistro della disuguaglianza in .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Ora dobbiamo tornare alla variabile originale - x. Per fare ciò, andiamo a , che ha la stessa soluzione, ed effettuiamo la sostituzione inversa.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Trasforma \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Passiamo al confronto degli argomenti. Le basi dei logaritmi sono maggiori di \(1\), quindi il segno delle disuguaglianze non cambia.
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Combiniamo la soluzione alla disuguaglianza e all'ODZ in un'unica figura.
	Scriviamo la risposta.