Condizioni per l'equazione di equilibrio di un sistema spaziale di forze. Equazioni di equilibrio per sistemi di forze piani e spaziali

Un sistema spaziale arbitrario di forze, come quello piatto, può essere portato in un centro DI e sostituire con una forza risultante e una coppia con un momento. Ragionando in modo tale che per l'equilibrio di questo sistema di forze è necessario e sufficiente che allo stesso tempo ci sia R= 0 e M o = 0. Ma i vettori e possono svanire solo quando tutte le loro proiezioni sugli assi coordinati sono pari a zero, cioè quando R x = R y = R z = 0 e M x = M y = M z = 0 oppure, quando le forze agenti soddisfano le condizioni

Σ X i = 0; Σ Mx(P i) = 0;

Σ Sì, io = 0; Σ Mio(P i) = 0;

Σ Z i = 0; Σ M z(P i) = 0.

Pertanto, per l'equilibrio di un sistema spaziale di forze, è necessario e sufficiente che la somma delle proiezioni di tutte le forze del sistema su ciascuno degli assi coordinati, nonché la somma dei momenti di tutte le forze del sistema rispetto a ciascuno di questi assi, è uguale a zero.

In casi particolari di un sistema di forze convergenti o parallele, queste equazioni saranno linearmente dipendenti e solo tre delle sei equazioni saranno linearmente indipendenti.

Ad esempio, le equazioni di equilibrio per un sistema di forze parallele all'asse Oz, hanno la forma:

Σ Z i = 0;

Σ Mx(P i) = 0;

Σ Mio(P i) = 0.

Problemi sull'equilibrio del corpo sotto l'influenza di un sistema spaziale di forze.

Il principio per risolvere i problemi in questa sezione rimane lo stesso di un sistema di forze piano. Stabilito l'equilibrio di quale corpo verrà considerato, sostituiscono le connessioni imposte al corpo con le sue reazioni e creano le condizioni per l'equilibrio di questo corpo, considerandolo libero. Dalle equazioni risultanti vengono determinate le quantità richieste.

Per ottenere sistemi di equazioni più semplici, si consiglia di disegnare gli assi in modo che intersechino più forze sconosciute o siano perpendicolari ad esse (a meno che ciò non complichi inutilmente i calcoli delle proiezioni e dei momenti di altre forze).

Un nuovo elemento nella composizione delle equazioni è il calcolo dei momenti delle forze attorno agli assi delle coordinate.

Nei casi in cui è difficile vedere dal disegno generale quale sia il momento di una determinata forza rispetto a qualsiasi asse, si consiglia di rappresentare in un disegno ausiliario la proiezione del corpo in questione (insieme alla forza) su un piano perpendicolare a questo asse.

Nei casi in cui, nel calcolo del momento, sorgono difficoltà nel determinare la proiezione della forza sul piano corrispondente o sul braccio di questa proiezione, si consiglia di scomporre la forza in due componenti reciprocamente perpendicolari (di cui una parallela ad alcune coordinate asse), quindi utilizzare il teorema di Varignon.

Esempio 5. Telaio AB(Fig. 45) è mantenuto in equilibrio da una cerniera UN e l'asta Sole. Sul bordo del telaio è presente un carico che pesa R. Determiniamo le reazioni della cerniera e la forza nell'asta.

Fig.45

Consideriamo l'equilibrio del telaio insieme al carico.

Costruiamo uno schema di calcolo, raffigurando il telaio come un corpo libero e mostrando tutte le forze che agiscono su di esso: la reazione dei collegamenti e il peso del carico R. Queste forze formano un sistema di forze collocate arbitrariamente sul piano.

È consigliabile creare equazioni tali che ciascuna contenga una forza sconosciuta.

Nel nostro problema questo è il punto UN, dove le incognite e sono attaccate; punto CON, dove le linee d'azione di forze sconosciute si intersecano; punto D– il punto di intersezione delle linee di azione delle forze e. Creiamo un'equazione per la proiezione delle forze sull'asse A(per asse Xè impossibile progettare, perché è perpendicolare alla linea AC).

E, prima di comporre le equazioni, facciamo un'altra utile osservazione. Se nel diagramma di progettazione è presente una forza posizionata in modo tale che il suo braccio non sia facile da individuare, quando si determina il momento, si consiglia di scomporre prima il vettore di questa forza in due, più opportunamente diretti. In questo problema scomporremo la forza in due: e (Fig. 37) in modo tale che i loro moduli

Compiliamo le equazioni:

Dalla seconda equazione troviamo

Dal terzo

E dal primo

Allora come è successo? S<0, то стержень Sole verrà compresso.

Esempio 6. Pesatura a scaffale rettangolare R tenuto orizzontalmente da due aste SE E CD, attaccato al muro in un punto E. Aste di uguale lunghezza, AB=2 UN,EO= UN. Determiniamo le forze nelle aste e le reazioni delle spire UN E IN.

Fig.46

Consideriamo l'equilibrio del piatto. Costruiamo un diagramma di progettazione (Fig. 46). Le reazioni del circuito sono solitamente rappresentate da due forze perpendicolari all'asse del circuito: .

Le forze formano un sistema di forze collocate arbitrariamente nello spazio. Possiamo creare 6 equazioni. Ci sono anche sei persone sconosciute.

Devi pensare a quali equazioni creare. È auspicabile che siano più semplici e contengano meno incognite.

Facciamo le seguenti equazioni:

Dall'equazione (1) otteniamo: S 1 =S 2. Quindi da (4): .

Dalla (3): Y A =Y B e, secondo la (5), . Ciò significa Dall'equazione (6), perché S 1 =S 2, segue Z A =Z B. Allora secondo (2) Z A =Z B =P/4.

Dal triangolo dove , segue ,

Pertanto Y A = Y B = 0,25P, Z A =Z B 0,25P.

Per verificare la soluzione, puoi creare un'altra equazione e vedere se è soddisfatta dei valori di reazione trovati:

Il problema è stato risolto correttamente.

Domande di autotest

Quale struttura è chiamata travatura reticolare?

Nomina i componenti principali di un'azienda agricola.

Quale truss rod si chiama zero?

Enunciare i lemmi che determinano la barra zero della travatura reticolare.

Qual è l'essenza del metodo per tagliare i nodi?

In base a quali considerazioni, senza calcoli, si possono determinare le aste delle capriate spaziali in cui, a un dato carico, le forze sono pari a zero?

Qual è l'essenza del metodo Ritter?

Qual è la relazione tra la normale reazione superficiale e la normale forza di pressione?

Cos'è la forza di attrito?

Scrivi la legge di Amonton-Coulomb.

Formulare la legge fondamentale dell'attrito. Qual è il coefficiente di attrito, l'angolo di attrito e da cosa dipende il loro valore?

La trave è in equilibrio, appoggiata su una parete verticale liscia e un pavimento orizzontale scabro; il centro di gravità della trave è al centro. È possibile determinare la direzione della risposta sessuale complessiva?

Assegna un nome alla dimensione del coefficiente di attrito radente.

Qual è la forza di attrito radente ultima?

Cosa caratterizza un cono di attrito?

Dai un nome al motivo della comparsa del momento di attrito volvente.

Qual è la dimensione del coefficiente di attrito volvente?

Fornisci esempi di dispositivi in ​​cui si verifica l'attrito rotante.

Qual è la differenza tra forza di adesione e forza di attrito?

Come si chiama il cono della frizione?

Quali sono le possibili direzioni di reazione di una superficie ruvida?

Qual è la regione di equilibrio e quali sono le condizioni di equilibrio delle forze applicate ad un blocco appoggiato su due superfici ruvide?

Qual è il momento di una forza rispetto ad un punto? Qual è la dimensione di questa quantità?

Come calcolare il modulo del momento di una forza rispetto a un punto?

Formulare un teorema sul momento del sistema risultante di forze convergenti.

Qual è il momento della forza attorno ad un asse?

Scrivi una formula che collega il momento di una forza attorno a un punto con il momento della stessa forza attorno a un asse passante per questo punto.

Come si determina il momento di una forza attorno ad un asse?

Perché, per determinare il momento di una forza attorno ad un asse, è necessario proiettare la forza su un piano perpendicolare all'asse?

Come dovrebbe essere posizionato l'asse in modo che il momento di una data forza rispetto a questo asse sia uguale a zero?

Fornire formule per calcolare i momenti di forza rispetto agli assi coordinati.

Qual è la direzione del vettore forza momento rispetto al punto?

Come si determina il momento di una forza rispetto ad un punto su un piano?

Quale area può determinare il valore numerico del momento di forza relativo ad un dato punto?

Il momento di una forza rispetto ad un dato punto cambia quando una forza viene trasferita lungo la linea della sua azione?

In quale caso il momento di una forza attorno ad un dato punto è pari a zero?

Determinare il luogo geometrico dei punti nello spazio rispetto ai quali i momenti di una data forza sono:

a) geometricamente uguali;

b) uguali in modulo.

Come vengono determinati il ​​valore numerico e il segno del momento della forza rispetto all'asse?

In quali condizioni il momento della forza attorno all'asse è pari a zero?

In quale direzione di una forza applicata ad un dato punto è maggiore il suo momento rispetto a un dato asse?

Che relazione esiste tra il momento di una forza attorno ad un punto e il momento della stessa forza attorno ad un asse passante per questo punto?

In quali condizioni il modulo del momento di una forza rispetto a un punto è uguale al momento della stessa forza rispetto a un asse passante per questo punto?

Quali sono le espressioni analitiche dei momenti di forza rispetto agli assi coordinati?

Quali sono i momenti principali di un sistema di forze situato arbitrariamente nello spazio rispetto a un punto e rispetto a un asse passante per questo punto? Qual è il rapporto tra loro?

Qual è il momento principale di un sistema di forze giacente su un piano rispetto a un punto qualsiasi di questo piano?

Qual è il momento principale delle forze che compongono la coppia rispetto a qualsiasi punto dello spazio?

Qual è il momento principale di un sistema di forze rispetto ad un dato polo?

Come è formulato il lemma sul trasferimento di forza parallelo?

Formulare un teorema su come portare un sistema arbitrario di forze al vettore principale e al momento principale.

Annotare le formule per calcolare le proiezioni del momento principale sugli assi delle coordinate.

Fornire una rappresentazione vettoriale delle condizioni di equilibrio per un sistema di forze arbitrario.

Annotare le condizioni di equilibrio per un sistema arbitrario di forze in proiezioni su assi di coordinate rettangolari.

Quante equazioni di equilibrio scalare indipendente possono essere scritte per un sistema spaziale di forze parallele?

Scrivere le equazioni di equilibrio per un sistema di forze piano arbitrario.

In quali condizioni tre forze non parallele applicate ad un corpo rigido sono in equilibrio?

Qual è la condizione di equilibrio per tre forze parallele applicate ad un corpo rigido?

Quali sono i possibili casi in cui si portano nello spazio forze parallele e posizionate arbitrariamente?

A quale forma più semplice si può ridurre un sistema di forze se si sa che il momento principale di queste forze relativo a vari punti nello spazio:

a) ha lo stesso valore diverso da zero;

b) uguale a zero;

c) ha valori diversi ed è perpendicolare al vettore principale;

d) ha valori diversi e non è perpendicolare al vettore principale.

Quali sono le condizioni e le equazioni di equilibrio di un sistema spaziale di forze convergenti, parallele e posizionate arbitrariamente e in cosa differiscono dalle condizioni ed equazioni di equilibrio dello stesso tipo di forze su un piano?

Quali equazioni e quante di esse possono essere composte per un sistema spaziale equilibrato di forze convergenti?

Scrivere il sistema di equazioni di equilibrio per un sistema spaziale di forze?

Quali sono le condizioni geometriche e analitiche per ridurre un sistema spaziale di forze a una risultante?

Formulare un teorema sul momento del sistema spaziale di forze risultante rispetto ad un punto e ad un asse.

Scrivi le equazioni per la retta d'azione della risultante.

Quale linea retta nello spazio è chiamata asse centrale di un sistema di forze?

Derivare le equazioni per l'asse centrale del sistema di forze?

Mostrare che due forze incrociate possono essere trasmesse ad una vite di forza.

Quale formula viene utilizzata per calcolare il momento principale più piccolo di un dato sistema di forze?

Annotare le formule per il calcolo del vettore principale di un sistema spaziale di forze convergenti?

Annotare le formule per il calcolo del vettore principale di un sistema spaziale di forze posizionate arbitrariamente?

Annotare la formula per calcolare il momento principale di un sistema spaziale di forze?

Qual è la dipendenza del momento principale di un sistema di forze nello spazio dalla distanza del centro di riduzione dall'asse centrale di questo sistema di forze?

Rispetto a quali punti dello spazio i momenti principali di un dato sistema di forze hanno la stessa grandezza e formano lo stesso angolo con il vettore principale?

Rispetto a quali punti dello spazio i momenti principali del sistema di forze sono geometricamente uguali tra loro?

Quali sono gli invarianti del sistema di forze?

Quali condizioni sono soddisfatte dalle forze specificate applicate ad un corpo rigido con uno o due punti fissi che è a riposo?

Esisterà un sistema piano di forze in equilibrio per il quale le somme algebriche dei momenti attorno a tre punti posti sulla stessa retta siano uguali a zero?

Supponiamo che per un sistema piano di forze le somme dei momenti attorno a due punti siano uguali a zero. In quali ulteriori condizioni il sistema sarà in equilibrio?

Formulare le condizioni necessarie e sufficienti per l'equilibrio di un sistema piano di forze parallele.

Cos'è un punto del momento?

Quali equazioni (e quante) possono essere composte per un sistema di forze piano arbitrario bilanciato?

Quali equazioni e quante di esse possono essere composte per un sistema spaziale equilibrato di forze parallele?

Quali equazioni e quante di esse possono essere compilate per un sistema spaziale arbitrario ed equilibrato di forze?

Come viene formulato un piano per risolvere i problemi statici sull'equilibrio delle forze?

Condizioni di equilibrio vettoriale per un sistema di forze arbitrario: per l'equilibrio di un sistema di forze applicate ad un corpo rigido è necessario e sufficiente che il vettore principale del sistema di forze sia uguale a zero e anche il momento principale del sistema di forze relativo ad un qualsiasi centro di riduzione sia uguale a zero. Altrimenti: affinché ~0 siano necessarie e sufficienti le seguenti condizioni:

,
O
,
. (19)

Condizioni di equilibrio per un sistema spaziale di forze in forma analitica

Per l'equilibrio di un sistema spaziale di forze applicate ad un corpo solido è necessario e sufficiente che le tre somme delle proiezioni di tutte le forze sugli assi delle coordinate cartesiane siano pari a zero e le tre somme dei momenti di tutte le forze relative anche i tre assi coordinati sono uguali a zero.

. (20)

Condizioni di equilibrio per un sistema spaziale di forze convergenti

Per l'equilibrio di un sistema spaziale di forze convergenti applicate ad un corpo solido, è necessario e sufficiente che le somme delle proiezioni delle forze su ciascuno dei tre assi coordinati rettangolari siano pari a zero:

;
;
, (21)

Nel caso di un sistema piano di forze convergenti, solitamente uno degli assi coordinati
, viene scelto perpendicolare alle forze, e gli altri due assi vengono scelti, rispettivamente, nel piano delle forze. D Per l'equilibrio di un sistema piano di forze convergenti agenti su un corpo solido, è necessario e sufficiente che le somme delle proiezioni di tali forze su ciascuno dei due assi rettangolari giacenti nel piano delle forze siano pari a zero:

;
, (22)

Condizioni di equilibrio per un sistema spaziale di forze parallele

Dirigiamo l'asse
parallelo alle forze: per l'equilibrio di un sistema spaziale di forze parallele applicate ad un corpo solido, è necessario e sufficiente che la somma algebrica di tali forze sia pari a zero e la somma dei momenti delle forze relativi a due assi coordinati perpendicolari alle forze sia anch'esso uguale a zero:

Condizioni di equilibrio per un sistema piano di forze

Posizioniamo gli assi
E
nel piano d'azione delle forze.

Condizioni di equilibrio per un sistema piano di forze nella prima forma: per l'equilibrio di un sistema piano di forze agenti su un corpo solido, è necessario e sufficiente che le somme delle proiezioni di tali forze su ciascuno dei due assi coordinati rettangolari posti nel piano di azione delle forze siano pari a zero e anche la somma dei momenti algebrici delle forze relativi a qualsiasi punto situato nel piano di azione delle forze era zero:

(24)

Per l'equilibrio di un sistema piano di forze parallele applicate ad un corpo solido, è necessario e sufficiente che la somma algebrica delle forze sia pari a zero e la somma dei momenti algebrici delle forze relativi ad un qualsiasi punto situato nel piano anche delle forze è uguale a zero:

(25)

Teorema dei tre momenti (seconda forma delle condizioni di equilibrio): per l'equilibrio di un sistema piano di forze applicate ad un corpo rigido, è necessario e sufficiente che le somme dei momenti algebrici delle forze del sistema relative a tre punti qualsiasi situati nel piano di azione delle forze e non giacenti sulla stessa retta sono uguali a zero:

Terza forma di condizioni di equilibrio: per l'equilibrio di un sistema piano di forze applicate ad un corpo solido, è necessario e sufficiente che le somme dei momenti algebrici delle forze relativi a due punti qualsiasi giacenti nel piano di azione delle forze siano uguali a zero e le somme algebriche anche la somma delle proiezioni di queste forze su qualsiasi asse del piano che non sia perpendicolare alla retta, passante per due punti momento, era uguale a zero, cioè.

20. Condizione per l'equilibrio di un sistema spaziale di forze:

21. Teorema sulle 3 forze non parallele: Le linee d'azione di tre forze non parallele che si bilanciano reciprocamente che giacciono sullo stesso piano si intersecano in un punto.

22. Problemi staticamente definibili- si tratta di problemi che possono essere risolti utilizzando metodi di statica del corpo rigido, ad es. problemi in cui il numero di incognite non supera il numero di equazioni di equilibrio delle forze.

I sistemi staticamente indeterminati sono sistemi in cui il numero di quantità incognite supera il numero di equazioni di equilibrio indipendenti per un dato sistema di forze

23. Equazioni di equilibrio per un sistema piano di forze parallele:

AB non è parallelo a F i

24. Cono e angolo di attrito: Descrive la posizione limite delle forze attive sotto l'influenza delle quali può verificarsi l'uguaglianza cono di attrito con angolo (φ).

Se la forza attiva passa all'esterno di questo cono l'equilibrio è impossibile.

L'angolo φ è chiamato angolo di attrito.

25. Indicare la dimensione dei coefficienti di attrito: i coefficienti di attrito statico e di attrito radente sono quantità adimensionali, i coefficienti di attrito volvente e di attrito rotante hanno la dimensione della lunghezza (mm, cm, m).m.

26. Presupposti di base utilizzati per il calcolo delle capriate piane staticamente definite:-i truss rod sono considerati senza peso; - fissaggio delle aste nei nodi del traliccio incernierato; -il carico esterno è applicato solo ai nodi della travatura reticolare; - l'asta cade sotto la connessione.

27. Qual è il rapporto tra le aste e i nodi di una travatura reticolare staticamente determinata?

S=2n-3 – travatura reticolare semplice definibile staticamente, numero S di aste, numero n di nodi,

se S<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если внешние силы будут одинаково соотноситься

S>2n-3 – traliccio staticamente indeterminato, ha connessioni extra, + calcolo della deformazione

28. Una capriata staticamente determinata deve soddisfare la condizione: S=2n-3; S è il numero di aste, n è il numero di nodi.

29. Metodo di taglio del nodo: Questo metodo consiste nel ritagliare mentalmente i nodi della travatura reticolare, applicare ad essi le corrispondenti forze esterne e le reazioni delle aste e creare equazioni di equilibrio per le forze applicate a ciascun nodo. Si presuppone convenzionalmente che tutte le aste siano allungate (le reazioni delle aste sono dirette lontano dai nodi).

30. Metodo Ritter: Disegniamo un piano secante che taglia la capriata in 2 parti. La sezione deve iniziare e terminare all'esterno della capriata. Puoi scegliere qualsiasi parte come oggetto di equilibrio. La sezione passa lungo le aste e non attraverso i nodi. Le forze applicate ad un oggetto di equilibrio formano un sistema di forze arbitrario, per il quale si possono elaborare 3 equazioni di equilibrio. Pertanto, eseguiamo la sezione in modo che non siano incluse più di 3 aste, le cui forze sono sconosciute.

Una caratteristica del metodo di Ritter è la scelta della forma dell'equazione in modo tale che ciascuna equazione di equilibrio contenga una quantità incognita. Per fare ciò, determiniamo le posizioni dei punti di Ritter come punti di intersezione delle linee di azione di due forze sconosciute e scriviamo le equazioni dei momenti rel. questi punti.

Se il punto di Ritter si trova all'infinito, allora come equazione di equilibrio costruiamo equazioni di proiezioni sull'asse perpendicolare a queste aste.

31. Punto Ritter- il punto di intersezione delle linee d'azione di due forze sconosciute. Se il punto di Ritter si trova all'infinito, allora come equazione di equilibrio costruiamo equazioni di proiezioni sull'asse perpendicolare a queste aste.

32. Centro di gravità di una figura volumetrica:

33. Centro di gravità di una figura piatta:

34. Centro di gravità della struttura in tondino:

35. Baricentro dell'arco:

36. Baricentro di un settore circolare:

37. Baricentro del cono:

38. Centro di gravità dell'emisfero:

39. Metodo dei valori negativi: Se un solido ha cavità, ad es. cavità da cui viene estratta la loro massa, quindi riempiamo mentalmente queste cavità fino a formare un corpo solido e determiniamo il centro di gravità della figura prendendo il peso, il volume, l'area delle cavità con il segno "-".

40. 1° invariante: Il primo invariante del sistema di forze è chiamato vettore principale del sistema di forze. Il vettore principale del sistema di forze non dipende dal centro di riduzione R=∑ F i

41. 2° invariante: Il prodotto scalare del vettore principale e del momento principale del sistema di forze per qualsiasi centro di riduzione è un valore costante.

42. In quale caso un sistema di forze viene guidato da una vite elettrica? Nel caso in cui il vettore principale del sistema di forze e il suo momento principale rispetto al centro di riduzione non siano uguali a zero e non siano perpendicolari tra loro, dato. il sistema di forze può essere ridotto a una vite elettrica.

43. Equazione dell'asse elicoidale centrale:

44. M x - yR z + zR y = pR x ,
M y - zR x + xR z = pR y ,
M z - xR y + yR x = pR z

45. Momento di una coppia di forze come vettore- questo vettore è perpendicolare al piano d'azione della coppia ed è diretto nella direzione da cui è visibile la rotazione della coppia in senso antiorario. In modulo, il momento vettoriale è uguale al prodotto di una delle forze della coppia per la spalla della coppia. Momento vettoriale di una coppia di fenomeni. un vettore libero e può essere applicato a qualsiasi punto di un corpo rigido.

46. ​​Il principio della liberazione dal vincolo: Se i legami vengono scartati, devono essere sostituiti dalle forze di reazione del legame.

47. Poligono di corda- Questa è una costruzione di grafostatica, che può essere utilizzata per determinare la linea di azione del sistema piano di forze risultante per trovare le reazioni dei supporti.

48. Qual è la relazione tra la corda e il poligono di potenza: Per trovare graficamente le forze sconosciute nel poligono delle forze utilizziamo un punto aggiuntivo O (polo), nel poligono corda troviamo la risultante, spostandola nel poligono delle forze troviamo le forze sconosciute

49. Condizione per l'equilibrio di sistemi di coppie di forze: Per l'equilibrio delle coppie di forze agenti su un corpo solido è necessario e sufficiente che il momento delle coppie di forze equivalenti sia uguale a zero. Corollario: Per bilanciare una coppia di forze, è necessario applicare una coppia di bilanciamento, cioè una coppia di forze può essere bilanciata da un'altra coppia di forze con moduli uguali e momenti diretti in modo opposto.

Cinematica

1. Tutti i metodi per specificare il movimento di un punto:

modo naturale

coordinata

vettore del raggio.

2. Come trovare l'equazione per la traiettoria del movimento di un punto utilizzando il metodo delle coordinate per specificarne il movimento? Per ottenere l'equazione della traiettoria per il moto di un punto materiale, utilizzando il metodo della specificazione delle coordinate, è necessario escludere il parametro t dalle leggi del moto.

3. Accelerazione di un punto in coordinate. metodo per specificare il movimento:

2 punti sopra la X

sopra y 2 punti

4. Accelerazione di un punto utilizzando il metodo vettoriale per specificare il movimento:

5. Accelerazione di un punto utilizzando il metodo naturale per specificare il movimento:

= = * +v* ; un= + ; * ; v* .

6. A quanto ammonta l'accelerazione normale e come è diretta?– diretto radialmente verso il centro,

Quello., per l'equilibrio di un sistema spaziale arbitrario di forze, è necessario e sufficiente che la somma algebrica delle proiezioni di tutte queste forze su ciascuno dei tre assi coordinati scelti arbitrariamente sia uguale a zero e che la somma algebrica dei loro momenti relativi a anche ciascuno di questi assi è uguale a zero.

Vengono invocate le condizioni (1.33). condizioni di equilibrio di un sistema spaziale arbitrario di forze in forma analitica.

Condizioni di equilibrio per un sistema spaziale di forze parallele. Se le linee di azione di tutte le forze di un dato sistema di forze si trovano su piani diversi e sono parallele tra loro, allora viene chiamato tale sistema di forze sistema spaziale di forze parallele.

Utilizzando le condizioni di equilibrio (1.33) di un sistema spaziale di forze arbitrario, si possono trovare le condizioni di equilibrio di un sistema spaziale di forze parallele. (Le condizioni di equilibrio che abbiamo precedentemente derivato per sistemi piani e spaziali di forze convergenti, un sistema piano arbitrario di forze e un sistema piano di forze parallele potrebbero anche essere ottenute utilizzando le condizioni di equilibrio (1.33) di un sistema spaziale arbitrario di forze).

Supponiamo che su un corpo solido agisca un sistema spaziale di forze parallele (Figura 1.26). Poiché la scelta degli assi delle coordinate è arbitraria, è possibile scegliere gli assi delle coordinate in modo che l'asse z era parallelo alle forze. Con questa scelta di assi coordinati, le proiezioni di ciascuna delle forze sull'asse X E A e i loro momenti rispetto all'asse z sarà uguale a zero, e, quindi, le uguaglianze , e sono soddisfatte indipendentemente dal fatto che un dato sistema di forze sia in equilibrio o meno, e quindi cessano di essere condizioni di equilibrio. Pertanto, il sistema (1.33) darà solo tre condizioni di equilibrio:

Quindi, per l'equilibrio di un sistema spaziale di forze parallele è necessario e sufficiente che la somma algebrica delle proiezioni di tutte le forze sull'asse parallelo a tali forze sia pari a zero e che la somma algebrica dei loro momenti relativi a ciascuna delle due coordinate anche gli assi perpendicolari a queste forze sono uguali a zero.

1. Seleziona un corpo (o punto) il cui equilibrio dovrebbe essere considerato in questo problema.

2. Liberare il corpo selezionato dai legami e rappresentare (organizzare) tutte le forze attive e le forze di reazione dei legami scartati che agiscono su questo corpo (e solo su questo corpo). Un corpo libero da connessioni, a cui è attaccato un sistema di forze attive e di reazione, dovrebbe essere rappresentato separatamente.

3. Scrivere equazioni di equilibrio. Per elaborare equazioni di equilibrio, è necessario prima selezionare gli assi delle coordinate. Questa scelta può essere fatta arbitrariamente, ma le equazioni di equilibrio risultanti saranno risolte più facilmente se uno degli assi è diretto perpendicolare alla linea di azione di una forza di reazione sconosciuta. La soluzione delle equazioni di equilibrio risultanti dovrebbe, di regola, essere eseguita fino alla fine in forma generale (algebricamente). Successivamente, per le quantità richieste, si otterranno formule che consentiranno di analizzare i risultati trovati; i valori numerici delle quantità trovate vengono sostituiti solo nelle formule finali. Le equazioni di equilibrio vengono compilate utilizzando il metodo analitico per risolvere problemi sull'equilibrio di un sistema di forze convergenti. Tuttavia, se il numero di forze convergenti di cui si considera l'equilibrio è tre, allora è conveniente applicare il metodo geometrico per risolvere questi problemi. La soluzione in questo caso sta nel fatto che invece delle equazioni di equilibrio di tutte le forze agenti (legami attivi e di reazione), viene costruito un triangolo di forze che, in base alla condizione geometrica di equilibrio, deve essere chiuso (la costruzione di questo triangolo dovrebbe iniziare con una data forza). Risolvendo il triangolo delle forze, troviamo le quantità richieste.

Dinamica

Per comprendere la sezione dinamica, è necessario conoscere le seguenti informazioni. Dalla matematica: il prodotto scalare di due vettori, equazioni differenziali. Dalla fisica: le leggi di conservazione dell'energia e della quantità di moto. Teoria delle oscillazioni. Si consiglia di rivedere questi argomenti.

Esistono tre tipi di equazioni di equilibrio per un sistema piano di forze. Il primo tipo principale deriva direttamente dalle condizioni di equilibrio:

;

ed è scritto così:

;
;
.

Dalle condizioni di equilibrio si possono ottenere anche altri due tipi di equazioni di equilibrio:

;
;
,

dov'è la linea AB non perpendicolare all'asse X;

;
;
.

Punti UN, B E C non giacere sulla stessa linea retta.

A differenza di un sistema di forze piatto, le condizioni di equilibrio per un sistema spaziale di forze arbitrario sono due uguaglianze vettoriali:

.

Se queste relazioni vengono proiettate su un sistema di coordinate rettangolare, otteniamo le equazioni di equilibrio del sistema spaziale di forze:

Compito 1. Determinazione delle reazioni dei supporti di una struttura composita (sistema a due corpi)

Il design è costituito da due aste rotte ABC E CDE, collegato in un punto C cerniera cilindrica fissa e fissata ad un piano fisso xOy oppure utilizzando cerniere cilindriche fisse (NSh ), oppure una cerniera cilindrica mobile (PSh) e una guarnizione rigida (ZhZ). Il piano di rotolamento della cerniera cilindrica mobile forma un angolo  con asse Bue. Coordinate del punto UN,B,C,D E E, così come il metodo di fissaggio della struttura sono riportati nella tabella. 1. La struttura è caricata con un carico di intensità uniformemente distribuito Q, perpendicolare all'area della sua applicazione, da una coppia di forze dotate di un momento M e due forze concentrate E . Un carico uniformemente distribuito viene applicato in modo tale che la sua risultante tenda a ruotare la struttura attorno ad un punto O Antiorario. Aree di applicazione Q E M, così come i punti di applicazione E , i loro moduli e indicazioni sono indicati in tabella. 2. Unità di valori specificati: Q– kilonewton per metro (kN/m); M– kilonewtonmetro (kNm); E – kilonewton (kN);e sono presentati in gradi e le coordinate dei punti sono in metri. Gli angoli,edevono essere esclusi dalla direzione positiva dell'asse Bue in senso antiorario se sono positivi, in senso orario se sono negativi.

Determinare le reazioni delle connessioni esterne ed interne della struttura.

Istruzioni per completare l'attività

Sul piano delle coordinate xOy in conformità con le condizioni dell'opzione attività (Tabella 1), è necessario costruire punti UN,AVANTI CRISTO,D,E; disegnare aste rotte ABC,CDE; indicare metodi per collegare questi corpi tra loro e ad un piano fisso xOy. Quindi, prendendo i dati dalla tabella. 2, caricare la struttura con due forze concentrate E , intensità di carico uniformemente distribuita Q e una coppia di forze con momento algebrico M. Poiché l'attività esamina l'equilibrio di un corpo composito, è necessario costruire un altro disegno, raffigurante su di esso corpi separati ABC E CDE. Esterno (punti UN,E) e interni (punto CON) le connessioni in entrambe le figure dovrebbero essere sostituite dalle reazioni corrispondenti, e il carico uniformemente distribuito dovrebbe essere sostituito dalla risultante
(l– lunghezza del tratto di applicazione del carico), rivolto verso il carico ed applicato al centro del tratto. Poiché la struttura in esame è composta da due corpi, per trovare le reazioni dei legami è necessario comporre sei equazioni di equilibrio. Esistono tre opzioni per risolvere questo problema:

a) comporre tre equazioni di equilibrio per un corpo composto e tre per un corpo ABC;

b) comporre tre equazioni di equilibrio per un corpo composto e tre per un corpo CDE;

c) comporre tre equazioni di equilibrio per i corpi ABC E CDE.

Esempio

Dato:UN (0;0,2);IN (0,3:0,2);CON (0,3:0,3);D (0,7:0,4);E (0,7:0);
kN/m,
kN, β = - 45˚, e
kN, γ = - 60˚,
kNm.

Definire reazioni delle connessioni esterne ed interne della struttura.

Soluzione. Analizziamo la struttura (Fig. 7, UN) al punto CON in parti componenti ABC E CDE(Fig.7, B,V). Sostituiamo le cerniere UN E B reazioni corrispondenti, i cui componenti sono indicati in Fig. 7. Giusto C descriviamo i componenti
- forze di interazione tra parti della struttura, e .

Tabella 1

Opzioni attività 1

Tavolo 2

Dati per l'attività 1

Carico di intensità uniformemente distribuito Q sostituire la risultante , kN:

Vettore si forma con la direzione positiva dell'asse sì angolo φ, che è facile da trovare dalle coordinate dei punti C E D (vedi Fig. 7, UN):

Per risolvere il problema utilizzeremo il primo tipo di equazioni di equilibrio, scrivendole separatamente per le parti sinistra e destra della struttura. Quando elaboriamo le equazioni del momento, scegliamo i punti come punti del momento UN– per sinistra e E– per il lato destro della struttura, che consentirà di risolvere insieme queste due equazioni e di determinare le incognite
E .

Equazioni di equilibrio per un corpo ABC:

Immaginiamo la forza come somma dei componenti:
, Dove. Poi le equazioni di equilibrio per il corpo CDE può essere scritto nella forma

.

Risolviamo insieme le equazioni dei momenti, sostituendo prima i valori noti in esse.

Considerando che secondo l'assioma sull'uguaglianza delle forze di azione e reazione
, dal sistema risultante troviamo, kN:

Quindi dalle restanti equazioni di equilibrio dei corpi ABC E CDEè facile determinare le reazioni delle connessioni interne ed esterne, kN:

Presentiamo i risultati del calcolo in una tabella: