Equazioni delle onde piane e sferiche. Equazione di un'onda piana viaggiante Estratto che caratterizza un'onda piana

Un processo oscillatorio che si propaga in un mezzo sotto forma di un'onda, il cui fronte è aereo, chiamato onda sonora piana. In pratica un'onda piana può essere formata da una sorgente le cui dimensioni lineari sono grandi rispetto alla grande lunghezza d'onda che emette e se la zona del campo d'onda è situata ad una distanza sufficientemente grande da essa. Ma questo è il caso in un ambiente non vincolato. Se la fonte recintato qualsiasi ostacolo, allora un classico esempio di onda piana sono le oscillazioni eccitate da un pistone rigido e inflessibile in un lungo tubo (guida d'onda) con pareti rigide, se il diametro del pistone è significativamente inferiore alla lunghezza delle onde emesse. Grazie alle pareti rigide, la superficie frontale del tubo non cambia mentre l'onda si propaga lungo la guida d'onda (vedi Fig. 3.3). Trascuriamo le perdite di energia sonora dovute all'assorbimento e alla dissipazione nell'aria.

Se l'emettitore (pistone) oscilla secondo la legge armonica con una frequenza
, e le dimensioni del pistone (diametro della guida d'onda) sono significativamente inferiori alla lunghezza d'onda del suono, quindi alla pressione creata vicino alla sua superficie
. Ovviamente a distanza X la pressione sarà
, Dove
– tempo di percorrenza dell'onda dall'emettitore al puntox. È più conveniente scrivere questa espressione come:
, Dove
- numero d'onda della propagazione delle onde. Lavoro
- determinato spostamento di fase del processo oscillatorio in un punto lontano da una distanza X dall'emettitore.

Sostituendo l'espressione risultante nell'equazione del moto (3.1), integriamo quest'ultima rispetto alla velocità oscillatoria:

(3.8)

In generale, per un momento arbitrario nel tempo risulta che:

. (3.9)

Il lato destro dell'espressione (3.9) è la resistenza acustica caratteristica, ondulatoria o specifica del mezzo (impedenza). La stessa equazione (3.) è talvolta chiamata la “legge di Ohm” acustica. Come segue dalla soluzione, l'equazione risultante è valida nel campo di un'onda piana. Pressione e velocità vibrazionale in fase, che è una conseguenza della resistenza puramente attiva del mezzo.

Esempio: pressione massima in un'onda piana
Papà. Determinare l'ampiezza dello spostamento delle particelle d'aria in base alla frequenza?

Soluzione: Da allora:

Dall'espressione (3.10) segue che l'ampiezza delle onde sonore è molto piccola, almeno in confronto alla dimensione delle sorgenti sonore stesse.

Oltre al potenziale scalare, alla pressione e alla velocità vibrazionale, il campo sonoro è caratterizzato anche da caratteristiche energetiche, la più importante delle quali è l'intensità, il vettore della densità del flusso di energia trasferito dall'onda per unità di tempo. A-prior
- è il risultato del prodotto della pressione sonora e della velocità di vibrazione.

In assenza di perdite nel mezzo, un’onda piana, teoricamente, può propagarsi senza attenuazione su distanze arbitrariamente grandi, perché la conservazione della forma del fronte piatto indica l'assenza di “divergenza” dell'onda e, quindi, l'assenza di attenuazione. La situazione è diversa se l’onda ha il fronte curvo. Tali onde includono, innanzitutto, onde sferiche e cilindriche.

3.1.3. Modelli di onde con fronte non piano

Per un'onda sferica, la superficie delle fasi uguali è una sfera. La sorgente di tale onda è anche una sfera, i cui punti oscillano con le stesse ampiezze e fasi, e il centro rimane immobile (vedi Fig. 3.4, a).

Un'onda sferica è descritta da una funzione che è la soluzione dell'equazione dell'onda in un sistema di coordinate sferiche per il potenziale dell'onda che si propaga dalla sorgente:

. (3.11)

Operando per analogia con un’onda piana, si può dimostrare che a distanze dalla sorgente sonora la lunghezza delle onde studiate è significativamente maggiore:
. Ciò significa che anche in questo caso vale la “legge di Ohm” acustica. In condizioni pratiche, le onde sferiche vengono eccitate principalmente da sorgenti compatte di forma arbitraria, le cui dimensioni sono significativamente inferiori alla lunghezza delle onde sonore o ultrasoniche eccitate. In altre parole, una sorgente “puntuale” emette prevalentemente onde sferiche. A grandi distanze dalla sorgente, o, come si dice, nella zona “lontana”, un’onda sferica, in relazione a sezioni di limitate dimensioni del fronte d’onda, si comporta come un’onda piana, o, come si dice: “degenera in un'onda piana. I requisiti per una piccola area sono determinati non solo dalla frequenza, ma
- la differenza delle distanze tra i punti confrontati. Tieni presente che questa funzione
ha una caratteristica:
A
. Ciò causa alcune difficoltà nella soluzione rigorosa dei problemi di diffrazione associati alla radiazione e alla diffusione del suono.

A loro volta, le onde cilindriche (la superficie del fronte d'onda è un cilindro) vengono emesse da un cilindro pulsante infinitamente lungo (vedi Fig. 3.4).

Nella zona lontana, l'espressione per la funzione potenziale di tale sorgente tende asintoticamente all'espressione:


. (3.12)

Si può dimostrare che anche in questo caso la relazione vale
. Onde cilindriche, come quelle sferiche, nella zona lontana degenerare in onde piane.

L’indebolimento delle onde elastiche durante la propagazione è associato non solo ad una variazione della curvatura del fronte d’onda (“divergenza” dell’onda), ma anche alla presenza di “attenuazione”, cioè di indebolimento del suono. Formalmente, la presenza di attenuazione in un mezzo può essere descritta rappresentando il numero d'onda come complesso
. Allora, ad esempio, per un'onda di pressione piana si può ottenere: R(X, T) = P Massimo
=
.

Si può vedere che la parte reale del numero d'onda complessa descrive l'onda viaggiante nello spazio e la parte immaginaria caratterizza l'attenuazione dell'onda in ampiezza. Pertanto, il valore  è chiamato coefficiente di attenuazione (attenuazione),  è un valore dimensionale (Neper/m). Un “Naper” corrisponde a una variazione dell’ampiezza dell’onda di “e” volte quando il fronte d’onda si muove per unità di lunghezza. Nel caso generale, l'attenuazione è determinata dall'assorbimento e dalla diffusione nel mezzo:  =  assorbi +  diss. Questi effetti sono determinati da ragioni diverse e possono essere considerati separatamente.

In generale, l'assorbimento è associato a perdite irreversibili di energia sonora quando questa viene convertita in calore.

La diffusione è associata al riorientamento di parte dell'energia dell'onda incidente verso altre direzioni che non coincidono con l'onda incidente.

Questa funzione deve essere periodica sia rispetto al tempo che rispetto alle coordinate (un'onda è un'oscillazione che si propaga, quindi un movimento che si ripete periodicamente). Inoltre, i punti situati a distanza l l'uno dall'altro vibrano allo stesso modo.

Equazione delle onde piane

Troviamo la forma della funzione x nel caso di un'onda piana, assumendo che le oscillazioni siano di natura armonica.

Dirigiamo gli assi delle coordinate in modo che l'asse X coincideva con la direzione di propagazione delle onde. Quindi la superficie dell'onda sarà perpendicolare all'asse X. Poiché tutti i punti della superficie dell'onda oscillano allo stesso modo, lo spostamento x dipenderà solo da X E T: . Sia l'oscillazione dei punti giacenti nel piano la forma (nella fase iniziale)

Troviamo il tipo di vibrazione delle particelle su un piano corrispondente a un valore arbitrario X. Andare per la strada X, richiede tempo.

Quindi, vibrazioni delle particelle su un pianoXsarà indietro nel tempoTdalle vibrazioni delle particelle nel piano, cioè.

,

(5.2.3)

- Questo Equazione delle onde piane.

Quindi x C'è pregiudizio uno qualsiasi dei punti con coordinateXin un determinato momentoT. Nella derivazione abbiamo assunto che l'ampiezza dell'oscillazione sia . Ciò accadrà se l'energia delle onde non viene assorbita dal mezzo.

L'equazione (5.2.3) avrà la stessa forma se le vibrazioni si propagano lungo l'asse sì O z.

Generalmente Equazione delle onde pianeè scritto così:

Le espressioni (5.2.3) e (5.2.4) sono equazioni delle onde viaggianti .

L'equazione (5.2.3) descrive un'onda che si propaga nella direzione crescente X. Un’onda che si propaga nella direzione opposta ha la forma:

.

L'equazione delle onde può essere scritta in un'altra forma.

Presentiamoci numero d'onda , o in forma vettoriale:

dove è il vettore d'onda e è la normale alla superficie dell'onda.

Da allora . Da qui. Poi Equazione delle onde piane verrà scritto così:

.

(5.2.6)

Equazione delle onde sferiche

Onde dipendenti da una coordinata spaziale

Animazione

Descrizione

In un'onda piana, tutti i punti del mezzo che giacciono su un qualsiasi piano perpendicolare alla direzione di propagazione dell'onda corrispondono in ogni istante di tempo agli stessi spostamenti e velocità delle particelle del mezzo. Pertanto, tutte le quantità che caratterizzano un'onda piana sono funzioni del tempo e di una sola coordinata, ad esempio x, se l'asse Ox coincide con la direzione di propagazione dell'onda.

L’equazione d’onda per un’onda piana longitudinale ha la forma:

d 2 j /dx 2 = (1/c 2 )d 2 j /dt 2 . (1)

La sua soluzione generale è espressa come segue:

j = f 1 (ct - x)+f 2 (ct + x), (2)

dove j è potenziale o altra grandezza caratterizzante il moto ondoso del mezzo (spostamento, velocità di spostamento, ecc.);

c è la velocità di propagazione delle onde;

f 1 e f 2 sono funzioni arbitrarie, con il primo termine (2) che descrive un'onda piana che si propaga nella direzione positiva dell'asse Ox e il secondo nella direzione opposta.

Superfici d'onda o posizioni geometriche di punti nel mezzo dove in un dato momento la fase dell'onda ha lo stesso valore, per PV rappresentano un sistema di piani paralleli (Fig. 1).

Superfici ondulate di un'onda piana

Riso. 1

In un mezzo isotropo omogeneo, le superfici d'onda di un'onda piana sono perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda (direzione di trasferimento di energia), chiamata raggio.

Caratteristiche temporali

Tempo di avvio (registra da -10 a 1);

Durata (log tc da -10 a 3);

Tempo di degradazione (log td da -10 a 1);

Tempo di sviluppo ottimale (log tk da -3 a 1).

Diagramma:

Implementazioni tecniche dell'effetto

Implementazione tecnica dell'effetto

A rigor di termini, nessuna onda reale è un'onda piana, perché Un'onda piana che si propaga lungo l'asse x deve coprire l'intera regione dello spazio lungo le coordinate y e z da -̐ a +̐. Tuttavia in molti casi è possibile indicare un tratto dell'onda limitato in y, z, dove praticamente coincide con un'onda piana. Innanzitutto ciò è possibile in un mezzo isotropo omogeneo a distanze R sufficientemente grandi dalla sorgente. Pertanto, per un'onda piana armonica, la fase in tutti i punti del piano perpendicolare alla direzione della sua propagazione è la stessa. Si può dimostrare che qualsiasi onda armonica può essere considerata un'onda piana su una sezione di larghezza r<< (2R l )1/2 .

Applicazione di un effetto

Alcune tecnologie ondulatorie sono più efficaci nell'approssimare le onde piane. In particolare, è dimostrato che durante gli impatti sismoacustici (al fine di aumentare il recupero di petrolio e gas) su formazioni di petrolio e gas rappresentate da strutture geologiche stratificate, l'interazione di fronti d'onda diretti e piani riflessi dai confini degli strati porta alla comparsa di onde stazionarie, che danno inizio al movimento graduale e alla concentrazione dei fluidi idrocarburici agli antinodi di un'onda stazionaria (vedere la descrizione delle “Onde Stazionarie” FE).

ONDA A PIASTRA

ONDA A PIASTRA

Un'onda la cui direzione di propagazione è la stessa in tutti i punti dello spazio. L'esempio più semplice è un monocromatico omogeneo. P.v. non smorzato:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

dove A è l'ampiezza, j= wt±kz - , w=2p/T - frequenza circolare, T - periodo di oscillazione, k - . Superfici di fase costanti (fronti di fase) j=const P.v. sono aerei.

In assenza di dispersione, quando vph e ​​vgr sono identici e costanti (vgr = vph = v), si hanno movimenti lineari stazionari (cioè in movimento nel loro insieme), che consentono una rappresentazione generale della forma:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

dove f è una funzione arbitraria. Nei mezzi non lineari con dispersione sono possibili anche impianti fotovoltaici stazionari. tipo (2), ma la loro forma non è più arbitraria, ma dipende sia dai parametri del sistema che dalla natura del movimento. Nei mezzi assorbenti (dissipativi) P. v. diminuire la loro ampiezza man mano che si diffondono; nel caso dello smorzamento lineare si può tenerne conto sostituendo k nella (1) con il numero d'onda complesso kd ± ikì, dove km è il coefficiente. attenuazione di P. v.

Un PV omogeneo che occupa l'intero infinito è un'idealizzazione, ma qualsiasi onda concentrata in una regione finita (ad esempio, diretta da linee di trasmissione o guide d'onda) può essere rappresentata come una sovrapposizione di PV. con uno spazio o con l'altro. spettro k. In questo caso, l'onda può ancora avere un fronte di fase piatto, ma un'ampiezza non uniforme. Tale P. v. chiamato Onde piane e disomogenee. Alcune aree sono sferiche. e cilindrico le onde piccole rispetto al raggio di curvatura del fronte di fase si comportano approssimativamente come un'onda di fase.

Dizionario enciclopedico fisico. - M.: Enciclopedia sovietica. . 1983 .

ONDA A PIASTRA

- onda, la direzione di propagazione è la stessa in tutti i punti dello spazio.

Dove UN - ampiezza, - fase, - frequenza circolare, T - periodo di oscillazione K- numero d'onda. = cost P.v. sono aerei.
In assenza di dispersione, quando la velocità di fase v f e gruppo v gr sono identici e costanti ( v gr = v f = v) ci sono stazionari (cioè in movimento nel loro insieme) che corrono P. c., che può essere rappresentato in forma generale

Dove F- funzione arbitraria. Nei mezzi non lineari con dispersione sono possibili anche impianti fotovoltaici stazionari. tipo (2), ma la loro forma non è più arbitraria, ma dipende sia dai parametri del sistema che dalla natura del moto ondoso. Nei mezzi assorbenti (dissipativi), P. k sul numero d'onda complesso K D lo so m, dove K m - coefficiente attenuazione di P. v. Un campo d'onda omogeneo che occupa l'intero infinito è un'idealizzazione, ma qualsiasi campo d'onda concentrato in una regione finita (ad esempio, diretto linee di trasmissione O guide d'onda), può essere rappresentato come una sovrapposizione P. V. con l'uno o l'altro spettro spaziale K. In questo caso l’onda può avere ancora un fronte di fase piatto, con una distribuzione di ampiezza non uniforme. Tale P. v. chiamato Onde piane e disomogenee. Dipartimento. aree sferiche o cilindrico le onde piccole rispetto al raggio di curvatura del fronte di fase si comportano approssimativamente come PT.

Illuminato. vedere sotto l'art. Onde.

M. A. Miller, L. A. Ostrovsky.

Enciclopedia fisica. In 5 volumi. - M.: Enciclopedia sovietica. Redattore capo A. M. Prokhorov. 1988 .

: un'onda del genere non esiste in natura, poiché il fronte di un'onda piana inizia da $-\backslash mathcal(1)$ e termina alle $+\backslash mathcal(1)$, cosa che ovviamente non può essere. Inoltre, un’onda piana porterebbe una potenza infinita e ci vorrebbe energia infinita per creare un’onda piana. Un'onda con un fronte complesso (reale) può essere rappresentata come uno spettro di onde piane utilizzando la trasformata di Fourier in variabili spaziali.

Onda quasi piana- un'onda il cui fronte è quasi piatto in un'area limitata. Se le dimensioni della regione sono sufficientemente grandi per il problema in esame, allora l’onda quasi piana può essere considerata approssimativamente piana. Un'onda con un fronte complesso può essere approssimata da un insieme di onde locali quasi piane, i cui vettori velocità di fase sono normali al fronte reale in ciascuno dei suoi punti. Esempi di sorgenti di onde elettromagnetiche quasi piane sono antenne laser, specchi e lenti: la distribuzione di fase del campo elettromagnetico in un piano parallelo all'apertura (foro di emissione) è quasi uniforme. Quando si allontana dall'apertura, il fronte d'onda assume una forma complessa.

Definizione

L'equazione di qualsiasi onda è una soluzione a un'equazione differenziale chiamata onda. Equazione d'onda per la funzione $UN$ scritto nel modulo

$\backslash Delta\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$ Dove

• $\backslash Delta$- Operatore di Laplace;
• $A(\backslash vec(r),t)$- la funzione richiesta;
• $R$- raggio vettore del punto desiderato;
• $v$- velocità dell'onda;
• $T$- tempo.

Caso unidimensionale

L'energia totale è

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash \; cfrac(\backslash partial\; A)(\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

La densità di energia è, di conseguenza, uguale a

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash Giusto)\; .$

Polarizzazione

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Letteratura

• Saveliev I.V.[Parte 2. Onde. Onde elastiche.] // Corso di fisica generale / A cura di Gladnev L.I., Mikhalin N.A., Mirtov D.A.. - 3a ed. - M.: Nauka, 1988. - T. 2. - P. 274-315. - 496 s. - 220.000 copie.

Appunti

Guarda anche

Un estratto che caratterizza un'onda piana

Sulla piazza dove si recava il sovrano, uno di fronte all'altro si trovava un battaglione di soldati Preobrazenskij e a sinistra un battaglione della guardia francese con cappelli di pelle d'orso.
Mentre il sovrano si avvicinava a un fianco dei battaglioni di guardia, un'altra folla di cavalieri saltò sul fianco opposto e davanti a loro Rostov riconobbe Napoleone. Non potrebbe essere nessun altro. Cavalcava al galoppo con un cappellino, con un nastro di Sant'Andrea sulla spalla, con un'uniforme blu aperta sopra una canotta bianca, su un cavallo grigio arabo insolitamente purosangue, su una sottosella cremisi ricamata in oro. Avvicinandosi ad Alessandro, si alzò il cappello e con questo movimento l'occhio della cavalleria di Rostov non poté fare a meno di notare che Napoleone era seduto male e non saldamente sul suo cavallo. I battaglioni gridarono: Evviva e Vive l'Empereur! [Lunga vita all'Imperatore!] Napoleone disse qualcosa ad Alessandro. Entrambi gli imperatori scesero da cavallo e si presero per mano. Sul volto di Napoleone apparve un sorriso spiacevolmente finto. Alessandro disse qualcosa a lui con un'espressione affettuosa.
Rostov, senza distogliere lo sguardo, nonostante il calpestio dei cavalli dei gendarmi francesi che assediavano la folla, seguì ogni mossa dell'imperatore Alessandro e Bonaparte. Fu sorpreso dal fatto che Alessandro si comportasse da pari a Bonaparte, e che Bonaparte fosse completamente libero, come se questa vicinanza con il sovrano gli fosse naturale e familiare, trattava lo zar russo da pari a pari.
Alessandro e Napoleone con una lunga coda del loro seguito si avvicinarono al fianco destro del battaglione Preobrazenskij, direttamente verso la folla che stava lì. La folla si trovò improvvisamente così vicina agli imperatori che Rostov, che era in prima fila, ebbe paura che lo riconoscessero.
“Sire, je vous demande la permise de donner la legion d'honneur au plus brave de vos soldats, [Sire, vi chiedo il permesso di conferire l'Ordine della Legion d'Onore al più valoroso dei vostri soldati,] disse con voce tagliente, voce precisa, finendo ogni lettera Fu il basso Bonaparte a parlare, guardando Alessandro dritto negli occhi dal basso, Alessandro ascoltò attentamente ciò che gli veniva detto e chinò la testa, sorridendo amabilmente.
“A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [A colui che si è mostrato più coraggioso durante la guerra]", aggiunse Napoleone, sottolineando ogni sillaba, con una calma e una sicurezza oltraggiose per Rostov, guardandosi intorno tra i ranghi. di russi sdraiati davanti a cui ci sono soldati, che tengono tutto in guardia e guardano immobili in faccia il loro imperatore.
"Votre majeste me permettra t elle de demander l"avis du colonnel? [Vostra Maestà mi permetterà di chiedere l'opinione del colonnello?] - disse Alexander e fece diversi passi affrettati verso il principe Kozlovsky, il comandante del battaglione. Nel frattempo, Bonaparte cominciò a prendere si tolse il guanto bianco, la piccola mano e, facendolo a pezzi, lo gettò dentro. L'aiutante, precipitandosi frettolosamente in avanti da dietro, lo raccolse.
- A chi devo darlo? – chiese l'imperatore Alessandro a Kozlovsky, non ad alta voce, in russo.
- A chi ordini, Maestà? “L’Imperatore sussultò di dispiacere e, guardandosi attorno, disse:
- Ma devi rispondergli.
Kozlovsky guardò nuovamente i ranghi con uno sguardo deciso e con questo sguardo catturò anche Rostov.
"Non sono io?" pensò Rostov.
- Lazarev! – comandò accigliato il colonnello; e il soldato di primo grado, Lazarev, si fece avanti astutamente.
-Dove stai andando? Si fermi qui! - sussurrarono voci a Lazarev, che non sapeva dove andare. Lazarev si fermò, guardò di traverso il colonnello con paura e il suo viso tremò, come accade ai soldati chiamati al fronte.
Napoleone voltò leggermente la testa all'indietro e tirò indietro la piccola mano paffuta, come se volesse prendere qualcosa. I volti del suo seguito, avendo intuito in quel preciso istante cosa stava succedendo, cominciarono ad agitarsi, a sussurrare, a scambiarsi qualcosa, e il paggio, lo stesso che Rostov aveva visto ieri da Boris, corse avanti e si chinò rispettosamente la mano tesa e senza farla aspettare neanche un secondo, vi inserì un ordine su un nastro rosso. Napoleone, senza guardare, strinse due dita. L'Ordine si trovò in mezzo a loro. Napoleone si avvicinò a Lazarev, il quale, alzando gli occhi al cielo, continuò ostinatamente a guardare solo il suo sovrano, e guardò di nuovo l'imperatore Alessandro, dimostrando così che ciò che stava facendo ora, lo stava facendo per il suo alleato. Una piccola mano bianca con un ordine toccò il pulsante del soldato Lazarev. Era come se Napoleone sapesse che affinché questo soldato fosse felice, ricompensato e distinto per sempre da tutti gli altri al mondo, era necessario solo che lui, la mano di Napoleone, fosse degno di toccare il petto del soldato. Napoleone mise semplicemente la croce sul petto di Lazarev e, lasciandogli la mano, si rivolse ad Alexander, come se sapesse che la croce dovrebbe attaccarsi al petto di Lazarev. La croce si è davvero bloccata.