Semplificare le espressioni trigonometriche online. Trasformazioni identitarie di espressioni trigonometriche

A identiche trasformazioni espressioni trigonometriche si possono utilizzare i seguenti trucchi algebrici: addizione e sottrazione di termini identici; togliendo tra parentesi il fattore comune; moltiplicazione e divisione per lo stesso valore; applicazione di formule di moltiplicazione abbreviate; selezione di un quadrato completo; fattorizzazione di un trinomio quadrato; introduzione di nuove variabili per semplificare le trasformazioni.

Quando si convertono espressioni trigonometriche contenenti frazioni, è possibile utilizzare le proprietà di proporzione, riduzione di frazioni o riduzione di frazioni a un denominatore comune. Inoltre, puoi utilizzare la selezione della parte intera della frazione, moltiplicando il numeratore e il denominatore della frazione per lo stesso valore, e anche, se possibile, tenere conto dell'uniformità del numeratore o del denominatore. Se necessario, puoi rappresentare una frazione come somma o differenza di più frazioni più semplici.

Inoltre, quando si applicano tutti i metodi necessari per convertire le espressioni trigonometriche, è necessario tenere costantemente conto dell'intervallo di valori consentiti delle espressioni convertite.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 1

Calcola A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ peccato (3π/2 - x) peccato (2x -5π/2)) 2

Decisione.

Dalle formule di riduzione risulta:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -peccato x;

cos (x - π / 2) \u003d peccato x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Di qui, in virtù delle formule per l'addizione degli argomenti e dell'identità trigonometrica di base, si ottiene

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= peccato 2 3x + cos 2 3x = 1

Risposta 1.

Esempio 2

Converti l'espressione M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ in un prodotto.

Decisione.

Dalle formule per l'addizione degli argomenti e dalle formule per convertire la somma delle funzioni trigonometriche in un prodotto, dopo l'opportuno raggruppamento, si ha

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Risposta: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

Esempio 3.

Mostra che l'espressione A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) prende tutto x da R uno e lo stesso valore. Trova questo valore.

Decisione.

Presentiamo due metodi per risolvere questo problema. Applicando il primo metodo, isolando il quadrato pieno e utilizzando le corrispondenti formule trigonometriche di base, otteniamo

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Risolvendo il problema nel secondo modo, considera A come funzione di x da R e calcola la sua derivata. Dopo le trasformazioni, otteniamo

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (peccato (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (peccato (2x + π/3) + peccato (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Quindi, in virtù del criterio di costanza di una funzione derivabile su un intervallo, concludiamo che

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Risposta: A = 3/4 per x € R.

I principali metodi per dimostrare le identità trigonometriche sono:

un) riduzione del lato sinistro dell'identità al lato destro mediante opportune trasformazioni;
b) riduzione del lato destro dell'identità a sinistra;
in) riduzione della parte destra e sinistra dell'identità alla stessa forma;
G) riduzione a zero della differenza tra la parte sinistra e quella destra dell'identità dimostrata.

Esempio 4

Verificare che cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Decisione.

Trasformando il lato destro di questa identità secondo le corrispondenti formule trigonometriche, abbiamo

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Il lato destro dell'identità è ridotto al lato sinistro.

Esempio 5

Dimostra che sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 se α, β, γ sono angoli interni di un triangolo.

Decisione.

Tenendo conto che α, β, γ sono angoli interni di un triangolo, otteniamo quello

α + β + γ = π e quindi γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (peccato 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

L'uguaglianza originaria è dimostrata.

Esempio 6

Dimostrare che affinché uno degli angoli α, β, γ del triangolo sia uguale a 60°, è necessario e sufficiente che sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Decisione.

La condizione di questo problema presuppone la prova sia della necessità che della sufficienza.

Per prima cosa dimostriamo Bisogno.

Si può dimostrare che

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Quindi, tenendo conto che cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, otteniamo che se uno degli angoli α, β o γ è uguale a 60°, allora

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 e quindi sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Dimostriamo ora adeguatezza la condizione specificata.

Se sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, allora cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, e quindi

o cos (3α/2) = 0, oppure cos (3β/2) = 0, oppure cos (3γ/2) = 0.

Quindi,

oppure 3α/2 = π/2 + πk, cioè α = π/3 + 2πk/3,

oppure 3β/2 = π/2 + πk, cioè β = π/3 + 2πk/3,

o 3γ/2 = π/2 + πk,

quelli. γ = π/3 + 2πk/3, dove k ϵ Z.

Dal fatto che α, β, γ sono gli angoli di un triangolo, abbiamo

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Pertanto, per α = π/3 + 2πk/3 o β = π/3 + 2πk/3 o

γ = π/3 + 2πk/3 di tutti kϵZ solo k = 0 si adatta.

Di qui ne segue che o α = π/3 = 60°, oppure β = π/3 = 60°, oppure γ = π/3 = 60°.

L'affermazione è stata provata.

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Sezioni: Matematica

Classe: 11

Lezione 1

Soggetto: Grado 11 (preparazione all'esame)

Semplificazione delle espressioni trigonometriche.

Soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici. (2 ore)

Obiettivi:

• Sistematizzare, generalizzare, ampliare le conoscenze e le abilità degli studenti relative all'uso delle formule trigonometriche e alla soluzione delle più semplici equazioni trigonometriche.

Attrezzatura per la lezione:

Struttura della lezione:

1. Orgmomento
2. Test su laptop. La discussione dei risultati.
3. Semplificazione delle espressioni trigonometriche
4. Soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici
5. Lavoro indipendente.
6. Riassunto della lezione. Spiegazione dei compiti.

1. Momento organizzativo. (2 minuti.)

L'insegnante saluta il pubblico, annuncia l'argomento della lezione, ricorda che in precedenza era stato assegnato il compito di ripetere le formule trigonometriche e prepara gli studenti per il test.

2. Test. (15min + 3min di discussione)

L'obiettivo è testare la conoscenza delle formule trigonometriche e la capacità di applicarle. Ogni studente ha un laptop sulla sua scrivania in cui è presente un'opzione di test.

Ci può essere un numero qualsiasi di opzioni, ne fornirò un esempio:

io opzione.

Semplifica le espressioni:

a) identità trigonometriche di base

1. sin 2 3 anni + cos 2 3 anni + 1;

b) formule di addizione

3. sin5x - sin3x;

c) convertire un prodotto in una somma

6. 2sin8y cos3y;

d) formule del doppio angolo

7.2 sin5x cos5x;

e) formule del mezzo angolo

f) formule del triplo angolo

g) sostituzione universale

h) abbassamento del titolo

16. cos 2 (3x/7);

Gli studenti su un laptop davanti a ciascuna formula vedono le loro risposte.

Il lavoro viene immediatamente controllato dal computer. I risultati vengono visualizzati su un grande schermo affinché tutti possano vederli.

Inoltre, dopo la fine del lavoro, le risposte corrette vengono mostrate sui laptop degli studenti. Ogni studente vede dove è stato commesso l'errore e quali formule deve ripetere.

3. Semplificazione delle espressioni trigonometriche. (25 min.)

L'obiettivo è ripetere, elaborare e consolidare l'applicazione delle formule di base della trigonometria. Risoluzione dei problemi B7 dell'esame.

In questa fase è opportuno dividere la classe in gruppi di studenti forti (lavorano in autonomia con successiva verifica) e studenti deboli che lavorano con il docente.

Compito per studenti forti (preparato in anticipo su base cartacea). L'enfasi principale è sulle formule di riduzione e doppio angolo, secondo l'USE 2011.

Semplifica le espressioni (per studenti forti):

Parallelamente, l'insegnante lavora con studenti deboli, discutendo e risolvendo compiti sullo schermo sotto la dettatura degli studenti.

Calcolare:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Semplificare:

È stata la volta di discutere i risultati del lavoro del gruppo forte.

Le risposte appaiono sullo schermo e, con l'aiuto di una videocamera, viene visualizzato il lavoro di 5 diversi studenti (un compito per ciascuno).

Il gruppo debole vede la condizione e il metodo di soluzione. C'è discussione e analisi. Con l'uso di mezzi tecnici, questo accade rapidamente.

4. Soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici. (30 minuti.)

L'obiettivo è ripetere, sistematizzare e generalizzare la soluzione delle più semplici equazioni trigonometriche, registrandone le radici. Soluzione del problema B3.

Qualsiasi equazione trigonometrica, non importa come la risolviamo, porta alla più semplice.

Al termine del compito, gli studenti dovrebbero prestare attenzione alla scrittura delle radici delle equazioni di casi particolari e della forma generale e alla selezione delle radici nell'ultima equazione.

Risolvi equazioni:

Scrivi la più piccola radice positiva della risposta.

5. Lavoro autonomo (10 min.)

L'obiettivo è testare le competenze acquisite, identificare problemi, errori e modi per eliminarli.

Viene offerta una varietà di lavori a scelta dello studente.

Opzione per "3"

1) Trova il valore dell'espressione

2) Semplificare l'espressione 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Risolvi l'equazione

Opzione per "4"

1) Trova il valore dell'espressione

2) Risolvi l'equazione Scrivi la più piccola radice positiva della tua risposta.

Opzione per "5"

1) Trova tgα se

2) Trova la radice dell'equazione Scrivi la più piccola radice positiva della tua risposta.

6. Riepilogo della lezione (5 min.)

L'insegnante riassume il fatto che la lezione ha ripetuto e consolidato formule trigonometriche, la soluzione delle più semplici equazioni trigonometriche.

I compiti vengono assegnati (preparati su base cartacea in anticipo) con un controllo a campione nella lezione successiva.

Risolvi equazioni:

9)

10) Dai la tua risposta come la più piccola radice positiva.

Lezione 2

Soggetto: Grado 11 (preparazione all'esame)

Metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche. Selezione della radice. (2 ore)

Obiettivi:

• Generalizzare e sistematizzare le conoscenze sulla risoluzione di equazioni trigonometriche di vario tipo.
• Promuovere lo sviluppo del pensiero matematico degli studenti, la capacità di osservare, confrontare, generalizzare, classificare.
• Incoraggiare gli studenti a superare le difficoltà nel processo di attività mentale, all'autocontrollo, all'introspezione delle loro attività.

Attrezzatura per la lezione: KRMu, laptop per ogni studente.

Struttura della lezione:

1. Orgmomento
2. Discussione d / se samot. il lavoro dell'ultima lezione
3. Ripetizione di metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche.
4. Risoluzione di equazioni trigonometriche
5. Selezione delle radici nelle equazioni trigonometriche.
6. Lavoro indipendente.
7. Riassunto della lezione. Compiti a casa.

1. Momento organizzativo (2 min.)

L'insegnante saluta il pubblico, annuncia l'argomento della lezione e il piano di lavoro.

2. a) Analisi dei compiti (5 min.)

L'obiettivo è controllare le prestazioni. Un'opera con l'ausilio di una videocamera viene visualizzata sullo schermo, le altre vengono raccolte selettivamente per essere controllate dall'insegnante.

b) Analisi del lavoro indipendente (3 min.)

L'obiettivo è risolvere gli errori, indicare i modi per superarli.

Sullo schermo ci sono le risposte e le soluzioni, gli studenti hanno pre-pubblicato il loro lavoro. L'analisi va veloce.

3. Ripetizione di metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche (5 min.)

L'obiettivo è ricordare i metodi per risolvere le equazioni trigonometriche.

Chiedi agli studenti quali metodi conoscono per risolvere le equazioni trigonometriche. Sottolinea che esistono i cosiddetti metodi di base (usati frequentemente):

• sostituzione variabile,
• fattorizzazione,
• equazioni omogenee,

e ci sono metodi applicati:

• secondo le formule per convertire una somma in un prodotto e un prodotto in una somma,
• dalle formule di riduzione,
• sostituzione trigonometrica universale
• introduzione di un angolo ausiliario,
• moltiplicazione per qualche funzione trigonometrica.

Va anche ricordato che un'equazione può essere risolta in diversi modi.

4. Risoluzione di equazioni trigonometriche (30 min.)

L'obiettivo è generalizzare e consolidare conoscenze e abilità su questo argomento, per prepararsi alla risoluzione di C1 dall'USE.

Ritengo opportuno risolvere le equazioni per ogni metodo insieme agli studenti.

Lo studente detta la soluzione, l'insegnante scrive sul tablet, l'intero processo viene visualizzato sullo schermo. Ciò ti consentirà di ripristinare in modo rapido ed efficiente il materiale precedentemente coperto nella tua memoria.

Risolvi equazioni:

1) variazione variabile 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) fattorizzazione 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) equazioni omogenee sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) convertire la somma nel prodotto cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertendo il prodotto nella somma 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) abbassando il grado di sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) sostituzione trigonometrica universale sinx + 5cosx + 5 = 0.

Quando si risolve questa equazione, va notato che l'uso di questo metodo porta ad un restringimento del dominio di definizione, poiché seno e coseno sono sostituiti da tg(x/2). Pertanto, prima di scrivere la risposta, è necessario verificare se i numeri dell'insieme π + 2πn, n Z sono cavalli di questa equazione.

8) introduzione di un angolo ausiliario √3sinx + cosx - √2 = 0

9) moltiplicazione per qualche funzione trigonometrica cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Selezione delle radici delle equazioni trigonometriche (20 min.)

Poiché nelle condizioni di forte concorrenza all'ingresso nelle università, la soluzione di una prima parte dell'esame non è sufficiente, la maggior parte degli studenti dovrebbe prestare attenzione ai compiti della seconda parte (C1, C2, C3).

Pertanto, lo scopo di questa fase della lezione è quello di richiamare il materiale studiato in precedenza, per prepararsi alla risoluzione del problema C1 dell'USE nel 2011.

Esistono equazioni trigonometriche in cui è necessario selezionare le radici quando si scrive la risposta. Ciò è dovuto ad alcune restrizioni, ad esempio: il denominatore di una frazione non è uguale a zero, l'espressione sotto la radice di un grado pari non è negativa, l'espressione sotto il segno del logaritmo è positiva, ecc.

Tali equazioni sono considerate equazioni di complessità aumentata e nella versione USE si trovano nella seconda parte, ovvero C1.

Risolvi l'equazione:

La frazione è zero se allora usando il cerchio unitario, selezioneremo le radici (vedi Figura 1)

Immagine 1.

otteniamo x = π + 2πn, n Z

Risposta: π + 2πn, n Z

Sullo schermo, la selezione delle radici viene mostrata su un cerchio in un'immagine a colori.

Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero e l'arco, allo stesso tempo, non perde significato. Quindi

Usando il cerchio unitario, seleziona le radici (vedi Figura 2)

La lezione video "Semplificazione delle espressioni trigonometriche" è progettata per formare le abilità degli studenti nella risoluzione di problemi trigonometrici utilizzando identità trigonometriche di base. Durante la lezione video vengono presi in considerazione tipi di identità trigonometriche, esempi di risoluzione dei problemi utilizzandole. Utilizzando ausili visivi, è più facile per l'insegnante raggiungere gli obiettivi della lezione. Una presentazione vivida del materiale contribuisce alla memorizzazione di punti importanti. L'uso di effetti di animazione e recitazione vocale consente di sostituire completamente l'insegnante nella fase di spiegazione del materiale. Pertanto, utilizzando questo ausilio visivo nelle lezioni di matematica, l'insegnante può aumentare l'efficacia dell'insegnamento.

All'inizio della videolezione, viene annunciato il suo argomento. Quindi vengono richiamate le identità trigonometriche studiate in precedenza. Lo schermo mostra le uguaglianze sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, dove t≠π/2+πk per kϵZ, ctg t=cos t/sin t, vero per t≠πk, dove kϵZ, tan t · ctg t=1, a t≠πk/2, dove kϵZ, dette identità trigonometriche di base. Si noti che queste identità sono spesso utilizzate per risolvere problemi in cui è necessario dimostrare l'uguaglianza o semplificare l'espressione.

Inoltre, vengono presi in considerazione esempi dell'applicazione di queste identità nella risoluzione di problemi. In primo luogo, si propone di considerare la soluzione di problemi di semplificazione delle espressioni. Nell'esempio 1 è necessario semplificare l'espressione cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Per risolvere l'esempio, si mette prima tra parentesi il fattore comune cos 2 t. Come risultato di tale trasformazione tra parentesi, si ottiene l'espressione 1- cos 2 t, il cui valore dall'identità di base della trigonometria è uguale a sin 2 t. Dopo la trasformazione dell'espressione, è ovvio che un altro fattore comune sin 2 t può essere tolto da parentesi, dopodiché l'espressione assume la forma sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Dalla stessa identità di base deduciamo il valore dell'espressione tra parentesi pari a 1. Per semplificazione, otteniamo cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Nell'esempio 2, anche l'espressione cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) deve essere semplificata. Poiché l'espressione costo è nei numeratori di entrambe le frazioni, può essere tra parentesi come fattore comune. Quindi le frazioni tra parentesi si riducono a un denominatore comune moltiplicando (1- sint)(1+ sint). Dopo la riduzione di termini simili, 2 rimane al numeratore e 1 - sin 2 t al denominatore. Sul lato destro dello schermo viene richiamata l'identità trigonometrica di base sin 2 t+cos 2 t=1. Usandolo, troviamo il denominatore della frazione cos 2 t. Dopo aver ridotto la frazione, otteniamo una forma semplificata dell'espressione cost / (1- sint) + cost / (1 + sint) \u003d 2 / cost.

Successivamente, consideriamo esempi di prove di identità in cui viene applicata la conoscenza acquisita sulle identità di base della trigonometria. Nell'Esempio 3 è necessario dimostrare l'identità (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Il lato destro dello schermo mostra tre identità che saranno necessarie per la dimostrazione: tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t e tg t=sin t/cost t con restrizioni. Per provare l'identità, si aprono prima le parentesi, dopodiché si forma un prodotto che riflette l'espressione dell'identità trigonometrica principale tg t·ctg t=1. Quindi, secondo l'identità dalla definizione di cotangente, si trasforma ctg 2 t. Come risultato delle trasformazioni si ottiene l'espressione 1-cos 2 t. Utilizzando l'identità di base, troviamo il valore dell'espressione. Si dimostra quindi che (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Nell'esempio 4, devi trovare il valore dell'espressione tg 2 t+ctg 2 t se tg t+ctg t=6. Per valutare l'espressione, i lati destro e sinistro dell'equazione (tg t+ctg t) 2 =6 2 vengono prima al quadrato. La formula di moltiplicazione abbreviata viene visualizzata sul lato destro dello schermo. Dopo aver aperto le parentesi sul lato sinistro dell'espressione, si forma la somma tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, per la cui trasformazione può essere applicata una delle identità trigonometriche tg t ctg t=1, la cui forma è richiamata sul lato destro dello schermo. Dopo la trasformazione si ottiene l'uguaglianza tg 2 t+ctg 2 t=34. Il lato sinistro dell'uguaglianza coincide con la condizione del problema, quindi la risposta è 34. Il problema è risolto.

La videolezione "Semplificare le espressioni trigonometriche" è consigliata per l'uso in una lezione di matematica scolastica tradizionale. Inoltre, il materiale sarà utile a un insegnante che fornisce formazione a distanza. Per formare un'abilità nella risoluzione di problemi trigonometrici.

INTERPRETAZIONE DEL TESTO:

"Semplificazione delle espressioni trigonometriche".

Uguaglianza

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (seno al quadrato te più coseno al quadrato te è uguale a uno)

2) tgt =, a t ≠ + πk, kϵZ (la tangente di te è uguale al rapporto tra seno di te e coseno di te quando te non è uguale a pi per due più pi ka, ka appartiene a zet)

3) ctgt = , a t ≠ πk, kϵZ (la cotangente di te è uguale al rapporto tra coseno di te e seno di te quando te non è uguale al picco di ka, che appartiene a z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 per t ≠ , kϵZ

sono chiamate identità trigonometriche di base.

Spesso sono usati per semplificare e dimostrare espressioni trigonometriche.

Considera esempi di utilizzo di queste formule quando si semplificano le espressioni trigonometriche.

ESEMPIO 1. Semplificare l'espressione: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (espressione a coseno al quadrato te meno coseno del quarto grado di te più seno del quarto grado di te).

Decisione. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = peccato 2 t 1= peccato 2 t

(tigliamo il fattore comune coseno quadrato te, tra parentesi otteniamo la differenza tra unità e il quadrato del coseno te, che è uguale al quadrato del seno te per la prima identità. Otteniamo la somma del seno della quarta grado te del prodotto di coseno quadrato te e seno quadrato te Estrarre dalle parentesi il fattore comune seno quadrato te, tra parentesi otteniamo la somma dei quadrati del coseno e del seno, che secondo la trigonometria di base identità, è uguale a 1. Di conseguenza, otteniamo il quadrato del seno te).

ESEMPIO 2. Semplificare l'espressione: + .

(l'espressione è la somma di due frazioni al numeratore del primo coseno te al denominatore uno meno seno te, al numeratore del secondo coseno te al denominatore del secondo più seno te).

(Prendiamo tra parentesi il fattore comune coseno te e tra parentesi lo portiamo a un denominatore comune, che è il prodotto di uno meno sine te per uno più sine te.

Al numeratore otteniamo: uno più sine te più uno meno sine te, diamo quelli simili, il numeratore è uguale a due dopo aver portato quelli simili.

Al denominatore si può applicare la formula abbreviata di moltiplicazione (differenza di quadrati) e ottenere la differenza tra l'unità e il quadrato del seno te, che secondo l'identità trigonometrica di base

è uguale al quadrato del coseno te. Dopo aver ridotto di coseno te, otteniamo la risposta finale: due diviso per coseno te).

Considera esempi dell'uso di queste formule nella dimostrazione di espressioni trigonometriche.

ESEMPIO 3. Dimostrare l'identità (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (il prodotto della differenza tra i quadrati della tangente di te e il seno di te e il quadrato della cotangente di te è uguale al quadrato del seno di te).

Prova.

Trasformiamo il lato sinistro dell'uguaglianza:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = peccato 2 t

(Apriamo le parentesi, dalla relazione precedentemente ottenuta è noto che il prodotto dei quadrati della tangente di te per la cotangente di te è uguale a uno. Ricordiamo che la cotangente di te è uguale al rapporto del coseno di te al seno di te, il che significa che il quadrato della cotangente è il rapporto tra il quadrato del coseno di te e il quadrato del seno di te.

Dopo la riduzione del seno quadrato di te, otteniamo la differenza tra l'unità e il coseno del quadrato di te, che è uguale al seno del quadrato di te). QED

ESEMPIO 4. Trova il valore dell'espressione tg 2 t + ctg 2 t se tgt + ctgt = 6.

(la somma dei quadrati della tangente di te e della cotangente di te, se la somma della tangente e della cotangente è sei).

Decisione. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Mettiamo al quadrato entrambe le parti dell'uguaglianza originale:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (il quadrato della somma della tangente di te e della cotangente di te è sei al quadrato). Ricordiamo la formula abbreviata di moltiplicazione: Il quadrato della somma di due quantità è uguale al quadrato della prima più il doppio del prodotto della prima e della seconda più il quadrato della seconda. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Otteniamo tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Poiché il prodotto della tangente di te e della cotangente di te è uguale a uno, allora tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (la somma dei quadrati della tangente di te e della cotangente di te e due è trentasei),