Presentazione sul tema "equazioni logaritmiche". Presentazione per una lezione di matematica "Risoluzione di equazioni logaritmiche" radici dell'equazione originale

"Equazioni logaritmiche".

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Perché sono stati inventati i logaritmi? Per accelerare i calcoli. Per semplificarli. Per risolvere problemi astronomici.

In una scuola moderna la forma principale di insegnamento della matematica, l'anello principale nell'integrazione delle varie forme organizzative dell'insegnamento, è ancora la lezione. Durante il processo di apprendimento, il materiale matematico viene realizzato e assimilato principalmente nel processo di risoluzione dei problemi, pertanto, nelle lezioni di matematica, la teoria non viene studiata separatamente dalla pratica. Per risolvere con successo le equazioni logaritmiche, per le quali nel curriculum sono assegnate solo 3 ore, è necessario avere una conoscenza approfondita delle formule per i logaritmi e delle proprietà della funzione logaritmica. L'argomento "Equazioni logaritmiche" nel curriculum segue le funzioni logaritmiche e le proprietà dei logaritmi. La situazione è alquanto complicata rispetto alle equazioni esponenziali per la presenza di restrizioni sul dominio di definizione delle funzioni logaritmiche. L'uso delle formule per il logaritmo di un prodotto, quoziente e altre senza ulteriori riserve può portare sia all'acquisizione di radici estranee che alla perdita di radici. Pertanto, è necessario monitorare attentamente l'equivalenza delle trasformazioni in corso.

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“L’invenzione dei logaritmi, pur riducendo il lavoro dell’astronomo, ne allungò la vita”.

Argomento: "Equazioni logaritmiche". Obiettivi: Formativi: 1. Familiarizzare e consolidare i metodi di base per la risoluzione delle equazioni logaritmiche, per prevenire il verificarsi di errori tipici. 2. Fornire a ogni insegnante l'opportunità di testare le proprie conoscenze e migliorare il proprio livello. 3. Attivare il lavoro della classe attraverso diverse forme di lavoro. Sviluppo: 1.Sviluppare capacità di autocontrollo. Educativo: 1. Promuovere un atteggiamento responsabile nei confronti del lavoro. 2. Coltivare la volontà e la perseveranza per raggiungere i risultati finali.

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Lezione n. 1. Argomento della lezione: “Metodi per la risoluzione di equazioni logaritmiche” Tipo di lezione: Lezione sull'introduzione di nuovo materiale Attrezzatura: Multimedia.

Durante le lezioni. 1Punto organizzativo: 2.Aggiornamento delle conoscenze di base; Semplificare:

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Definizione: Un'equazione contenente una variabile sotto il segno logaritmico è chiamata logaritmica. L'esempio più semplice di equazione logaritmica è l'equazione logax = b (a > 0, a≠ 1, b>0) Metodi di soluzione Risoluzione di equazioni in base alla definizione del logaritmo, ad esempio l'equazione logax = b (a > 0, a≠ 1, b>0) ha soluzione x = ab. Metodo di potenziamento. Per potenziamento si intende il passaggio da un'uguaglianza contenente logaritmi a un'uguaglianza che non li contiene: se logaf(x) = logag(x), allora f(x) = g(x), f(x)>0, g (x )>0, a>0, a≠ 1. Metodo per introdurre una nuova variabile. Metodo per calcolare i logaritmi di entrambi i membri di un'equazione. Un metodo per ridurre i logaritmi alla stessa base. Metodo funzionale - grafico.

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1 metodo:

In base alla definizione del logaritmo, vengono risolte equazioni in cui il logaritmo è determinato dalle basi e dal numero dati, il numero è determinato dal logaritmo e dalla base dati e la base è determinata dal numero e dal logaritmo dati. Log2 4√2= x, log3√3 x = - 2, logx 64= 3, 2x= 4√2, x =3√3 – 2, x3 =64, 2x = 25/2, x =3- 3, x3 = 43, x =5/2. x = 1/27. x=4.

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2metodo:

Risolvi le equazioni: lg(x2-6x+9) - 2lg(x - 7) = log9. La condizione per la verifica viene sempre posta utilizzando l'equazione originale. (x2-6x+9) >0, x≠ 3, X-7 >0; x >7; x >7. Innanzitutto, devi trasformare l'equazione nella forma log ((x-3)/(x-7))2 = log9 utilizzando il logaritmo della formula del quoziente. ((x-3)/(x-7))2 = 9, (x-3)/(x-7) = 3, (x-3)/(x-7)= - 3, x- 3 = 3x -21, x -3 = - 3x +21, x =9. x=6. radice estranea. Il controllo mostra la nona radice dell'equazione. Risposta: 9

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Metodo 3:

Risolvi le equazioni: log62 x + log6 x +14 = (√16 – x2)2 + x2, 16 – x2 ≥0 ; - 4 ≤ x ≤ 4; x >0, x >0, O.D.Z. [0,4). log62 x + log6 x +14 = 16 – x2 + x2, log62 x + log6 x -2 = 0 sostituisci log6 x = t t 2 + t -2 =0 ; D = 9; t1 =1, t2 = -2. log6 x = 1, x = 6 radice estranea. log6 x = -2, x = 1/36, il controllo mostra che 1/36 è la radice. Risposta: 1/36.

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4metodo:

Risolvi l'equazione = ZX, prendi il logaritmo in base 3 da entrambi i lati dell'equazione Domanda: 1. È una trasformazione equivalente? 2.Se sì, perché? Otteniamo log3=log3(3x) . Tenendo conto del Teorema 3, otteniamo: log3 x2 log3x = log3 3x, 2log3x log3x = log3 3+ log3x, 2 log32x = log3x +1, 2 log32x - log3x -1=0, sostituire log3x = t, x >0 2 t2 + t - 2 = 0 ; D = 9; t1 =1, t2 = -1/2 log3х = 1, x=3, log3х = -1/2, x= 1/√3. Risposta: (3; 1/√3. ).

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Metodo 5:

Risolvi le equazioni: log9(37-12x) log7-2x 3 = 1, 37-12x >0, x0, x

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6 metodo

Risolvi le equazioni: log3 x = 12's. Poiché la funzione y = log3 x è crescente e la funzione y = 12 è decrescente su (0; + ∞), l'equazione data su questo intervallo ha una radice. Che può essere facilmente trovato. Quando x=10, l'equazione data si trasforma nell'uguaglianza numerica corretta 1=1. La risposta è x=10.

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Riepilogo della lezione. Quali metodi per risolvere le equazioni logaritmiche abbiamo imparato in classe? Compiti a casa: Determinare il metodo risolutivo e risolvere il punto 1547 (a, b), il punto 1549 (a, b), il punto 1554 (a, b), esaminare tutto il materiale teorico e analizzare gli esempi §52.

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Lezione 2. Argomento della lezione: "Applicazione di vari metodi nella risoluzione di equazioni logaritmiche". Tipologia di lezione: Lezione per consolidare quanto appreso Avanzamento della lezione. 1. Punto organizzativo: 2. “Mettiti alla prova” 1)log-3 ((x-1)/5)=? 2) log5 (121 – x2), (121 – x2) ≥ 0, x

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3. Esecuzione degli esercizi: N. 1563 (b)

Come puoi risolvere questa equazione? (metodo per introdurre una nuova variabile) log3 2x +3 log3x +9 = 37/ log3 (x/27); x>0 Indichiamo log3x = t ; t2 -3 t+9 =37/(t-3) ; t ≠ 3, (t-3) (t 2 -3 t +9) = 37, t3-27 = 37; t3=64; t=4. log3x = 4; x = 81. Controllando siamo convinti che x = 81 è la radice dell'equazione.

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N. 1564 (a); (metodo logaritmico)

log3 x X = 81, prendi il logaritmo in base 3 da entrambi i lati dell'equazione; log3 x log3 X = log3 81; log3x log3x = log381; log3 2x =4; log3x =2, x=9 ; log3 x = -2, x = 1/9. Controllando siamo convinti che x=9 e x=1/9 sono le radici dell'equazione.

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4. Minuto di educazione fisica (ai banchi, seduti).

1 Il dominio di definizione della funzione logaritmica y = log3 X è l'insieme dei numeri positivi. 2La funzione y = log3 X cresce monotonicamente. 3. L'intervallo di valori della funzione logaritmica va da 0 a infinito. 4 logас/в = logа с - logа в. 5 È vero che log8 8-3 =1.

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N. 1704.(a)

1-√x =In x Poiché la funzione y=In x è crescente e la funzione y =1-√x è decrescente su (0; + ∞), allora l'equazione data su questo intervallo ha una radice. Che può essere facilmente trovato. Quando x=1, l'equazione data si trasforma nell'uguaglianza numerica corretta 1=1. Risposta: x=1.

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N. 1574(b)

log3 (x + 2y) -2log3 4 =1- log3 (x - 2y), log3 (x 2 - 4y 2) = log3 48, log1/4 (x -2y) = -1; log1/4 (x -2y) = -1; x 2 - 4y 2 – 48 =0, x =4 +2y, x =8, x -2y = 4; 16y = 32; y =2. Controllando ci assicuriamo che i valori trovati siano soluzioni del sistema.

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5. Che delizia “commedia logaritmica 2 > 3”

1/4 > 1/8 è senza dubbio corretto. (1/2)2 > (1/2)3, anche questo non suscita dubbi. Un numero maggiore corrisponde a un logaritmo maggiore, il che significa log(1/2)2 > log(1/2)3; 2lg(1/2) > 3lg(1/2). Dopo la riduzione di lg(1/2) abbiamo 2 > 3. - Dov'è l'errore?

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6.Esegui il test:

1Trova il dominio della definizione: y = log0.3 (6x –x2). 1(-∞ ;0) Ư(6 ; + ∞); 2. (-∞ ; -6) Ư(0 ; + ∞); 3.(-6; 0). 4.(0; 6). 2. Trova l'intervallo di valori: y = 2,5 + log1,7 x. 1(2,5; + ∞); 2. (-∞; 2,5); 3 (- ∞ ; + ∞); 4. (0; + ∞). 3.Confronta: log0.5 7 e log0.5 5. 1.>. 2.<. :="" log5x="х" .="" log4="">

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Risposta: 4; 3;2;1;2.

Riepilogo della lezione: Per risolvere bene le equazioni logaritmiche, è necessario migliorare le proprie capacità di risolvere problemi pratici, poiché sono il contenuto principale dell'esame e della vita. Compiti a casa: N. 1563 (a, b), N. 1464 (b, c), N. 1567 (b).

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Lezione 3. Argomento della lezione: "Risoluzione di equazioni logaritmiche" Tipo di lezione: lezione di generalizzazione, sistematizzazione della conoscenza Avanzamento della lezione 1. Aggiornamento delle conoscenze di base:

N. 1 Quale dei numeri è -1; 0; 1; 2; 4; 8 sono le radici dell'equazione log2 x=x-2? N. 2 Risolvi le equazioni: a) log16x= 2; c) log2 (2x-x2) -=0; d) log3 (x-1)=log3 (2x+1) N. 3 Risolvi le disuguaglianze: a) log3x> log3 5; b) log0.4x0. N. 4 Trovare il dominio di definizione della funzione: y = log2 (x + 4) N. 5 Confrontare i numeri: log3 6/5 e log3 5/6; log0.2 5 e. Log0.2 17. N. 6 Determina il numero di radici dell'equazione: log3 X= =-2x+4.

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Didascalie delle diapositive:

Logaritmi Risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche

Il concetto di logaritmo Per qualsiasi grado con un esponente reale arbitrario è definito ed uguale a un numero reale positivo: L'esponente 𝑝 del grado è chiamato logaritmo di questo grado con la base.

Il logaritmo di un numero positivo in base positiva e disuguale: è l'esponente che, elevato a cui si ottiene il numero. o, allora

PROPRIETÀ DEI LOGARITMI 1) Se allora. Se poi. 2) Se allora. Se poi.

In tutte le uguaglianze. 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; ;

10), ; undici) , ; 12) se; 13), se è un numero pari, se è un numero dispari.

Logaritmo decimale e logaritmo naturale Un logaritmo decimale è un logaritmo se la sua base è 10. Notazione logaritmica decimale: . Un logaritmo si dice logaritmo naturale se la sua base è uguale a un numero. Notazione per il logaritmo naturale: .

Esempi con logaritmi Trova il significato dell'espressione: N. 1. ; N. 2. ; Numero 3. ; N. 4. ; N. 5. ; N. 6. ; N. 7. ; N. 8. ; N. 9. ;

№ 10. ; № 11. ; № 12. ; № 13. ; № 14. ; № 15. ; № 16. ; № 17. ; № 18. ; № 19. ; № 20. ; № 21. ;

N. 22. ; N. 23. ; N. 24. ; N. 25. ; No. 26. Trova il valore dell'espressione se; No. 27. Trova il valore dell'espressione se; No. 28. Trova il valore dell'espressione se.

Risoluzione di esempi con i logaritmi n. 1. . Risposta. . N. 2. . Risposta. . Numero 3. . Risposta. . N. 4. . Risposta. . N. 5. . Risposta. .

N. 6. . Risposta. . N. 7. . Risposta. . N. 8. . Risposta. . N. 9. . Risposta. . N. 10. . Risposta. .

No. 11. Risposta. . N. 12. . Risposta. . N. 13. . Risposta. N. 14. . Risposta. .

N. 15. . Risposta. N. 16. . Risposta. N. 17. . Risposta. . N. 18. . Risposta. . N. 19. . Risposta. .

N. 20. . Risposta. . N. 21. . Risposta. . N. 22. . Risposta. . N. 23. . N. 24. . Risposta. . N. 25. . Risposta. .

N. 26. . E se, allora. Risposta. . N. 27. . E se, allora. Risposta. . N. 28. . Se. Risposta. .

Le equazioni logaritmiche più semplici L'equazione logaritmica più semplice è un'equazione della forma: ; , dove e sono numeri reali, sono espressioni contenenti.

Metodi per risolvere le equazioni logaritmiche più semplici 1. Per definizione di logaritmo. A) Se, allora l'equazione è equivalente all'Eq. B) L'equazione è equivalente al sistema

2. Metodo di potenziamento. A) Se l'equazione è equivalente al sistema B) L'equazione è equivalente al sistema

Risoluzione delle equazioni logaritmiche più semplici n. 1. Risolvi l'equazione. Soluzione. ; ; ; ; . Risposta. . #2: Risolvi l'equazione. Soluzione. ; ; ; . Risposta. .

#3: Risolvi l'equazione. Soluzione. . Risposta. .

#4: Risolvi l'equazione. Soluzione. . Risposta. .

Metodi per risolvere equazioni logaritmiche 1. Metodo di potenziamento. 2. Metodo grafico-funzionale. 3. Metodo di fattorizzazione. 4. Metodo di sostituzione delle variabili. 5. Metodo dei logaritmi.

Caratteristiche della risoluzione di equazioni logaritmiche Applicare le proprietà più semplici dei logaritmi. Distribuire i termini contenenti incognite, utilizzando le proprietà più semplici dei logaritmi, in modo tale che non si formino logaritmi dei rapporti. Applicare catene di logaritmi: la catena viene espansa in base alla definizione di logaritmo. Applicazione delle proprietà della funzione logaritmica.

N. 1. Risolvi l'equazione. Soluzione. Trasformiamo questa equazione utilizzando le proprietà del logaritmo. Questa equazione è equivalente al sistema:

Risolviamo la prima equazione del sistema: . Considerando questo e, otteniamo. Risposta. .

#2: Risolvi l'equazione. Soluzione. . Usando la definizione di logaritmo, otteniamo: Controlliamo sostituendo i valori trovati della variabile nel trinomio quadratico, otteniamo, quindi, i valori sono le radici di questa equazione. Risposta. .

#3: Risolvi l'equazione. Soluzione. Troviamo il dominio di definizione dell'equazione: . Trasformiamo questa equazione

Tenendo conto del dominio di definizione dell'equazione, otteniamo. Risposta. .

#4: Risolvi l'equazione. Soluzione. Dominio dell'equazione: . Trasformiamo questa equazione: . Risolvi utilizzando il metodo della sostituzione delle variabili. Supponiamo quindi che l'equazione assuma la forma:

Considerando ciò, otteniamo l'equazione Sostituzione inversa: Risposta.

# 5: risolvi l'equazione. Soluzione. Puoi indovinare la radice di questa equazione: . Controlliamo: ; ; . La vera uguaglianza è quindi la radice di questa equazione. E ora: LOGARFTH HARD! Prendiamo il logaritmo di entrambi i lati dell'equazione alla base. Otteniamo un'equazione equivalente: .

Abbiamo ottenuto un'equazione quadratica di cui è nota una radice. Usando il teorema di Vieta troviamo la somma delle radici: , quindi troviamo la seconda radice: . Risposta. .

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Didascalie delle diapositive:

Disuguaglianze logaritmiche Le disuguaglianze logaritmiche sono disuguaglianze della forma, dove sono espressioni contenenti. Se nelle disuguaglianze l'incognita è sotto il segno del logaritmo, allora le disuguaglianze sono classificate come disuguaglianze logaritmiche.

Proprietà dei logaritmi espressi dalle disuguaglianze 1. Confronto dei logaritmi: A) Se, allora; B) Se, allora. 2. Confronto di un logaritmo con un numero: A) Se, allora; B) Se, allora.

Proprietà di monotonicità dei logaritmi 1) Se, allora e. 2) Se, allora e 3) Se, allora. 4) Se, allora 5) Se, allora e

6) Se, allora e 7) Se la base del logaritmo è variabile, allora

Metodi per risolvere disuguaglianze logaritmiche 1. Metodo di potenziamento. 2. Applicazione delle proprietà più semplici dei logaritmi. 3. Metodo di fattorizzazione. 4. Metodo di sostituzione delle variabili. 5. Applicazione delle proprietà della funzione logaritmica.

Risolvere le disuguaglianze logaritmiche n. 1: risolvere la disuguaglianza. Soluzione. 1) Trovare il dominio di definizione di questa disuguaglianza. 2) Trasformiamo quindi questa disuguaglianza in .

3) Considerando ciò, otteniamo. Risposta. . #2: Risolvi la disuguaglianza. Soluzione. 1) Trovare il dominio di definizione di questa disuguaglianza

Dalle prime due disuguaglianze: . Stimiamo. Consideriamo la disuguaglianza. Deve essere soddisfatta la seguente condizione: . Se, allora, allora.

2) Trasformiamo questa disuguaglianza, quindi, risolviamo l'equazione. La somma dei coefficienti è quindi una delle radici. Dividiamo il quadrinomio per il binomio, otteniamo.

Quindi, risolvendo questa disuguaglianza con il metodo degli intervalli, determiniamo. Considerato ciò, troviamo i valori dell'incognita. Risposta. .

#3: Risolvi la disuguaglianza. Soluzione. 1) Trasformiamoci. 2) Questa disuguaglianza assume la forma: e

Risposta. . N. 4. Risolvi la disuguaglianza. Soluzione. 1) Trasforma questa equazione. 2) La disuguaglianza equivale a un sistema di disuguaglianze:

3) Risolvere la disuguaglianza. 4) Considera il sistema e risolvilo. 5) Risolvere la disuguaglianza. a) Se dunque, dunque,

Soluzione della disuguaglianza. b) Se, allora, dunque, . Tenendo conto di quanto considerato, otteniamo una soluzione alla disuguaglianza. 6) Abbiamo capito. Risposta. .

N. 5. Risolvi la disuguaglianza. Soluzione. 1) Trasforma questa disuguaglianza 2) La disuguaglianza è equivalente a un sistema di disuguaglianze:

Risposta. . N. 6. Risolvi la disuguaglianza. Soluzione. 1) Trasforma questa disuguaglianza. 2) Tenendo conto delle trasformazioni della disuguaglianza, questa disuguaglianza è equivalente al sistema delle disuguaglianze:

N. 7. Risolvi la disuguaglianza. Soluzione. 1) Trovare il dominio di definizione di questa disuguaglianza: .

2) Trasforma questa disuguaglianza. 3) Utilizziamo il metodo di sostituzione delle variabili. Sia, allora, che la disuguaglianza può essere rappresentata come: . 4) Eseguiamo la sostituzione inversa:

5) Risolvere la disuguaglianza.

6) Risolvere la disuguaglianza

7) Otteniamo un sistema di disuguaglianze. Risposta. .

Il tema del mio lavoro metodologico nell'anno accademico 2013-2014, e successivamente nell'anno accademico 2015-2016 “Logaritmi. Risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche. Questo lavoro è presentato sotto forma di una presentazione per le lezioni.

RISORSE E BIBLIOTECA UTILIZZATA 1. Algebra e principi di analisi matematica. 10 11 voti. In 2 ore Parte 1. Libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale (livello base) / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2012. 2. L'algebra e gli inizi dell'analisi. 10 11 voti. Corso triattivo modulare / A.R. Ryazanovsky, S.A. Shestakov, I.V. Yashchenko. M.: Casa editrice “Educazione Nazionale”, 2014. 3. Esame di Stato unificato. Matematica: opzioni esame standard: 36 opzioni / ed. IV Yashchenko. M.: Casa editrice “Educazione Nazionale”, 2015.

4. Esame di Stato Unificato 2015. Matematica. 30 varianti di compiti di test standard e 800 compiti della parte 2 / I.R. Vysotsky, P.I. Zakharov, V.S. Panferov, S.E. Positselsky, A.V. Semenov, M.A. Semyonova, I.N. Sergeev, V.A. Smirnov, SA Shestakov, D.E. Shnol, I.V. Yashchenko; a cura di IV. Yashchenko. M .: Casa editrice “Examination”, casa editrice MTsNMO, 2015. 5. Esame di stato unificato-2016: Matematica: 30 opzioni di prove d'esame per la preparazione all'esame di stato unificato: livello del profilo / ed. IV. Yashchenko. M.: AST: Astrel, 2016. 6. mathege.ru. Banca aperta di compiti in matematica.

Il conteggio e i calcoli sono la base dell'ordine nella testa

Johann Heinrich Pestalozzi

Trova errori:

logaritmo 3 24 – logaritmo 3 8 = 16
log 3 15 + log 3 3 = log 3 5
logaritmo 5 5 3 = 2
logaritmo 2 16 2 = 8
3log 2 4 = log 2 (4*3)
3log 2 3 = log 2 27
logaritmo 3 27 = 4
logaritmo 2 2 3 = 8

Calcolare:

ceppo 2 11 – ceppo 2 44
ceppo 1/6 4 + ceppo 1/6 9
2log5 25 +3log2 64

Trova x:

logaritmo 3 x = 4
logaritmo 3 (7x-9) = logaritmo 3 x

Revisione tra pari

Vere uguaglianze

Calcolare

-2

Trova x

Risultati del lavoro orale:

“5” - 12-13 risposte corrette

“4” - 10-11 risposte corrette

“3” - 8-9 risposte corrette

“2” - 7 o meno

Trova x:

logaritmo 3 x = 4
logaritmo 3 (7x-9) = logaritmo 3 x

Definizione

Si dice un'equazione contenente una variabile sotto il segno del logaritmo o nella base del logaritmo logaritmico

Ad esempio, o

Se un'equazione contiene una variabile che non è sotto il segno logaritmico, allora non sarà logaritmica.

Per esempio,

Non sono logaritmici

Sono logaritmici

1. Per definizione di logaritmo

La soluzione dell'equazione logaritmica più semplice si basa sull'applicazione della definizione di logaritmo e sulla risoluzione dell'equazione equivalente

Esempio 1