Costruisci un cerchio circoscritto utilizzando un compasso. Costruzioni con compasso e righello

Obiettivi:

consolidare i concetti di “cerchio” e “cerchio” tra gli studenti; derivare il concetto di “raggio di un cerchio”; imparare a costruire cerchi di un dato raggio; sviluppare la capacità di ragionare e analizzare.

UUD personale:
sviluppare un atteggiamento positivo nei confronti delle lezioni di matematica;
interesse per le attività di ricerca in materia;

Compiti di metasoggetto

UUD regolamentare:
accettare e salvare il compito di apprendimento;
in collaborazione con l'insegnante e la classe, trovare diverse soluzioni;

UUD cognitivo:
formulazione e soluzione dei problemi:
identificare e formulare autonomamente il problema;
educazione generale:
trovare le informazioni necessarie nel libro di testo;
costruire un cerchio di un dato raggio utilizzando un compasso;
rompicapo:
formare il concetto di “raggio”;
effettuare la classificazione, il confronto;
formulare conclusioni in modo indipendente;

UUD di comunicazione:
partecipare attivamente al lavoro di squadra, utilizzando mezzi verbali;
argomenta il tuo punto di vista;

Competenze della materia:
identificare le caratteristiche essenziali dei concetti “raggio di un cerchio”;
costruire cerchi con raggi diversi;
riconoscere i raggi in un disegno.

Durante le lezioni

Motivazione per le attività di apprendimento

- Controlliamo se tutti sono pronti per la lezione?

“Entrata emotiva nella lezione”:

Sorridi come il sole.

Aggrottarsi come nuvole

Piangi come la pioggia

Sorprenditi come se vedessi un arcobaleno

Ora ripeti dopo di me

Gioco "Eco amichevole"

2.Aggiornamento delle conoscenze

Conteggio verbale

a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Svela lo schema. Continua la riga.

Risposta: 20, 48,30,46,40,44 50,42

b) Risolvere il problema:

1. Il primo giorno il negozio ha venduto 42 kg di frutta, il secondo giorno altri 2 kg. Quanti chilogrammi sono stati venduti il ​​secondo giorno?

Cosa deve essere cambiato affinché il problema possa essere risolto in 2 passaggi.

Palline - 16 pz.

Corde per saltare – 28 pz.

Trova una soluzione a questo problema.

28-16 28+16

Cambia la domanda in modo che il problema venga risolto per sottrazione.

3. Impostazione di un compito di apprendimento

1. Dai un nome alle forme geometriche

Sfera ovale con circonferenza del cerchio

Quale figura è quella strana?

Cosa hanno in comune le cifre? (Cerchio, cerchio, palla hanno la stessa forma)

Qual è la differenza?

2. B

Quali punti appartengono al cerchio? Quali punti sono esterni al cerchio?

Cosa significa il punto O? (centro del cerchio)

Qual è il nome del segmento OB?

Quanti raggi si possono tracciare in un cerchio?

Quale segmento non è un raggio? Perché?

Cosa si può concludere?

Conclusione: tutti i raggi hanno la stessa lunghezza .

3. Quanti cerchi ci sono nell'immagine?

In cosa differiscono i cerchi? (misurare)

Cosa determina la dimensione di un cerchio?

Cosa si può concludere?

Conclusione: più grande è il cerchio, maggiore è il suo raggio.

Determina l'argomento della lezione.

Soggetto: Costruire un cerchio di un dato raggio utilizzando un compasso.

Quali compiti possiamo prefiggerci per questa lezione?

4. Lavora sull'argomento

a) Costruire un cerchio.

Cosa devi sapere per disegnare un cerchio di una determinata dimensione?

Disegna un cerchio con un raggio di 3 cm.

b) Preparazione per le attività del progetto

1) Guarda l'immagine

Di quali forme è composta una farfalla? Cerchi con lo stesso raggio?

2) Lavorare in coppia.

Ripristinare l'ordine delle fasi del progetto.

Presentazione o dimostrazione del progetto

Concept (fare uno schizzo)

Costruisci figure per attuare il piano

Considera quale raggio dovrebbero avere le forme

c) Lavorare al progetto.

Lavora in gruppi secondo l'algoritmo compilato

Questa lezione è dedicata allo studio della circonferenza e del cerchio. L'insegnante ti insegnerà anche a distinguere tra linee chiuse e aperte. Acquisirai familiarità con le proprietà di base di un cerchio: centro, raggio e diametro. Impara le loro definizioni. Impara a determinare il raggio se il diametro è noto e viceversa.

Se riempite lo spazio all'interno del cerchio, ad esempio, disegnate un cerchio con un compasso su carta o cartoncino e ritagliatelo, otterrete un cerchio (Fig. 10).

Riso. 10. Cerchio

Cerchio- questa è la parte dell'aereo delimitata da un cerchio.

Condizione: Vitya Verkhoglyadkin ha disegnato 11 diametri nel suo cerchio (Fig. 11). E quando ha ricalcolato i raggi, ha ottenuto 21. Ha contato correttamente?

Riso. 11. Illustrazione del problema

Soluzione: I raggi dovrebbero essere il doppio dei diametri, quindi:

Vitya ha contato in modo errato.

Bibliografia

1. Matematica. 3a elementare. Manuale per l'istruzione generale istituzioni con agg. per elettrone vettore. A 2 ore Parte 1 / [M.I. Moreau, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova e altri] - 2a ed. - M.: Educazione, 2012. - 112 p.: ill. - (Scuola russa).
2. Rudnitskaya V.N., Yudacheva T.V. Matematica, terza elementare. - M.: VENTANA-CONTE.
3. Peterson L.G. Matematica, terza elementare. - M.: Yuventa.

1. Miapresentazione.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. School-assistant.ru ().

Compiti a casa

1. Matematica. 3a elementare. Manuale per l'istruzione generale istituzioni con agg. per elettrone vettore. A 2 ore Parte 1 / [M.I. Moreau, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova e altri] - 2a ed. - M.: Educazione, 2012., art. 94 n. 1, art. 95 n. 3.

2. Risolvi l'enigma.

Io e mio fratello viviamo insieme,

Ci divertiamo così tanto insieme

Posizioneremo una tazza sul foglio (Fig. 12),

Tracciamolo con una matita.

Abbiamo ottenuto ciò di cui avevamo bisogno -

È chiamato...

3. È necessario determinare il diametro del cerchio se è noto che il raggio è 5 m.

4. * Usando un compasso, disegna due cerchi con raggi: a) 2 cm e 5 cm; b) 10 mm e 15 mm.

Nei problemi di costruzione, un compasso e un righello sono considerati strumenti ideali, in particolare un righello non ha divisioni e ha solo un lato di lunghezza infinita, e un compasso può avere un'apertura arbitrariamente grande o arbitrariamente piccola.

Costruzioni accettabili. Nelle attività di costruzione sono consentite le seguenti operazioni:

1. Segna un punto:

• punto arbitrario del piano;
• un punto arbitrario su una determinata linea;
• un punto arbitrario su un dato cerchio;
• il punto di intersezione di due linee date;
• punti di intersezione/tangenza di una data retta e di un dato cerchio;
• punti di intersezione/tangenza di due circonferenze date.

2. Usando un righello puoi disegnare una linea retta:

• una linea retta arbitraria su un piano;
• una linea retta arbitraria passante per un dato punto;
• una retta passante per due punti dati.

3. Usando un compasso puoi costruire un cerchio:

• un cerchio arbitrario su un piano;
• un cerchio arbitrario con un centro in un dato punto;
• un cerchio arbitrario con un raggio uguale alla distanza tra due punti dati;
• una circonferenza con centro in un dato punto e raggio pari alla distanza tra due punti dati.

Risolvere problemi di costruzione. La soluzione al problema della costruzione contiene tre parti essenziali:

1. Descrizione del metodo per costruire l'oggetto richiesto.
2. Prova che l'oggetto costruito nel modo descritto è effettivamente quello desiderato.
3. Analisi del metodo di costruzione descritto per la sua applicabilità a diverse versioni delle condizioni iniziali, nonché per l'unicità o non unicità della soluzione ottenuta con il metodo descritto.

Costruire un segmento uguale a quello dato. Sia data una semiretta con inizio nel punto $O$ e segmento $AB$. Per costruire un segmento $OP = AB$ su una semiretta, devi costruire una circonferenza con centro nel punto $O$ del raggio $AB$. Il punto di intersezione del raggio con il cerchio sarà il punto richiesto $P$.

Costruire un angolo uguale ad uno dato. Sia data una semiretta con origine nel punto $O$ e angolo $ABC$. Con il centro nel punto $B$ costruiamo una circonferenza di raggio arbitrario $r$. Indichiamo i punti di intersezione del cerchio con i raggi $BA$ e $BC$ rispettivamente come $A"$ e $C"$.

Costruiamo una circonferenza con centro nel punto $O$ di raggio $r$. Indichiamo il punto di intersezione del cerchio con il raggio come $P$. Costruiamo una circonferenza con centro nel punto $P$ di raggio $A"B"$. Indichiamo il punto di intersezione dei cerchi come $Q$. Disegniamo il raggio $OQ$.

Otteniamo l'angolo $POQ$ uguale all'angolo $ABC$, poiché i triangoli $POQ$ e $ABC$ sono uguali su tre lati.

Costruzione della bisettrice perpendicolare ad un segmento. Costruiamo due cerchi intersecanti di raggio arbitrario con centri alle estremità del segmento. Collegando due punti della loro intersezione, otteniamo una bisettrice perpendicolare.

Costruzione della bisettrice di un angolo. Disegniamo un cerchio di raggio arbitrario con il centro nel vertice dell'angolo. Costruiamo due cerchi che si intersecano di raggio arbitrario con centri nei punti di intersezione del primo cerchio con i lati dell'angolo. Congiungendo il vertice di un angolo con uno qualsiasi dei punti di intersezione di queste due circonferenze, otteniamo la bisettrice dell'angolo.

Costruire la somma di due segmenti. Per costruire su una semiretta un segmento uguale alla somma di due segmenti dati occorre applicare due volte il metodo di costruzione di un segmento uguale a quello dato.

Costruire la somma di due angoli. Per tracciare un angolo da un dato raggio uguale alla somma di due angoli dati, è necessario applicare due volte il metodo di costruzione di un angolo uguale a quello dato.

Trovare il punto medio di un segmento. Per segnare il centro di un dato segmento è necessario costruire una bisettrice perpendicolare al segmento e segnare il punto di intersezione della perpendicolare con il segmento stesso.

Costruzione di una retta perpendicolare passante per un punto dato. Sia richiesto di costruire una retta perpendicolare a un punto dato e passante per un punto dato. Disegniamo un cerchio di raggio arbitrario con centro in un dato punto (indipendentemente dal fatto che si trovi o meno su una linea), che interseca la linea in due punti. Costruiamo una bisettrice perpendicolare a un segmento con gli estremi nei punti di intersezione del cerchio e della linea. Questa sarà la linea perpendicolare desiderata.

Costruzione di una retta parallela passante per un punto dato. Sia richiesto di costruire una retta parallela ad un dato punto e passante per un dato punto esterno alla retta. Costruiamo una retta passante per un punto dato e perpendicolare ad una retta data. Quindi costruiamo una linea retta passante per questo punto, perpendicolare alla perpendicolare costruita. La linea retta risultante sarà quella richiesta.

Quando si producono o si lavorano parti in legno, in alcuni casi è necessario determinare dove si trova il loro centro geometrico. Se la parte ha una forma quadrata o rettangolare, non è difficile da fare. È sufficiente collegare gli angoli opposti con le diagonali, che si intersecheranno esattamente al centro della nostra figura.
Per i prodotti che hanno la forma di un cerchio, questa soluzione non funzionerà, poiché non hanno angoli e quindi non hanno diagonali. In questo caso è necessario un altro approccio, basato su principi diversi.

Ed esistono, e in numerose varianti. Alcuni di essi sono piuttosto complessi e richiedono diversi strumenti, altri sono facili da implementare e non richiedono un intero set di dispositivi.
Ora esamineremo uno dei modi più semplici per trovare il centro di un cerchio utilizzando solo un normale righello e una matita.

La sequenza per trovare il centro del cerchio:

Viene chiamata una frase che spiega il significato di una particolare espressione o nome definizione. Abbiamo già incontrato definizioni, ad esempio la definizione di angolo, angoli adiacenti, triangolo isoscele, ecc. Diamo una definizione di un'altra figura geometrica: un cerchio.

Definizione

Questo punto si chiama centro del cerchio, e il segmento che collega il centro con un punto qualsiasi della circonferenza è raggio del cerchio(Fig. 77). Dalla definizione di cerchio segue che tutti i raggi hanno la stessa lunghezza.

Riso. 77

Il segmento che collega due punti di una circonferenza si chiama corda. Una corda passante per il centro di una circonferenza si chiama sua diametro.

Nella Figura 78, i segmenti AB ed EF sono corde del cerchio, il segmento CD è il diametro del cerchio. Ovviamente il diametro di un cerchio è il doppio del suo raggio. Il centro di un cerchio è il punto medio di qualsiasi diametro.

Riso. 78

Due punti qualsiasi su un cerchio lo dividono in due parti. Ognuna di queste parti è chiamata arco di cerchio. Nella Figura 79, ALB e AMB sono archi delimitati dai punti A e B.

Riso. 79

Per rappresentare un cerchio in un disegno, utilizzare bussola(Fig. 80).

Riso. 80

Per disegnare un cerchio sul terreno, puoi utilizzare una corda (Fig. 81).

Riso. 81

La parte del piano delimitata da un cerchio è chiamata cerchio (Fig. 82).

Riso. 82

Costruzioni con compasso e righello

Ci siamo già occupati di costruzioni geometriche: abbiamo disegnato linee rette, tracciato segmenti uguali a dati, disegnato angoli, triangoli e altre figure. Allo stesso tempo, abbiamo utilizzato un righello, un compasso, un goniometro e una squadra da disegno.

Si scopre che molte costruzioni possono essere eseguite utilizzando solo un compasso e un righello senza divisioni in scala. Pertanto, in geometria, si distinguono in particolare quei compiti di costruzione che possono essere risolti utilizzando solo questi due strumenti.

Cosa puoi fare con loro? È chiaro che il righello consente di tracciare una linea retta arbitraria, nonché di costruire una linea retta passante per due punti dati. Usando un compasso, puoi disegnare un cerchio di raggio arbitrario, così come un cerchio con un centro in un dato punto e un raggio uguale a un dato segmento. Eseguendo queste semplici operazioni possiamo risolvere molti interessanti problemi costruttivi:

costruire un angolo uguale a quello dato;
per un punto dato tracciare una linea perpendicolare alla linea data;
dividere questo segmento a metà e altri compiti.

Cominciamo con un compito semplice.

Compito

Su un dato raggio, dal suo inizio, traccia un segmento uguale a quello dato.

Soluzione

Descriviamo le figure fornite nella dichiarazione del problema: raggio OS e segmento AB (Fig. 83, a). Quindi, utilizzando un compasso, costruiamo un cerchio di raggio AB con centro O (Fig. 83, b). Questo cerchio intersecherà il raggio OS ad un certo punto D. Il segmento OD è quello richiesto.

Riso. 83

Esempi di problemi di costruzione

Costruire un angolo uguale ad uno dato

Compito

Sottrarre da un raggio dato un angolo uguale a quello dato.

Soluzione

Quest'angolo con vertice A e raggio OM è mostrato nella Figura 84. È necessario costruire un angolo uguale all'angolo A, in modo che uno dei suoi lati coincida con il raggio OM.

Riso. 84

Disegniamo una circonferenza di raggio arbitrario con centro nel vertice A dell'angolo dato. Questo cerchio interseca i lati dell'angolo nei punti B e C (Fig. 85, a). Quindi disegniamo un cerchio dello stesso raggio con il centro nell'origine di questo raggio OM. Interseca la trave nel punto D (Fig. 85, b). Successivamente costruiremo una circonferenza di centro D, il cui raggio è uguale a BC. Cerchi di centri O e D si intersecano in due punti. Indichiamo uno di questi punti con la lettera E. Dimostriamo che l'angolo MOE è quello desiderato.

Riso. 85

Consideriamo i triangoli ABC e ODE. I segmenti AB e AC sono i raggi di un cerchio con centro A, mentre i segmenti OD e OE sono i raggi di un cerchio con centro O (vedi Fig. 85, b). Poiché per costruzione questi cerchi hanno raggi uguali, allora AB = OD, AC = OE. Anche per costruzione BC = DE.

Pertanto, Δ ABC = Δ ODE su tre lati. Pertanto, ∠DOE = ∠BAC, cioè l'angolo costruito MOE è uguale all'angolo A dato.

La stessa costruzione può essere fatta a terra se si utilizza una corda al posto della bussola.

Costruzione di una bisettrice di un angolo

Compito

Costruisci la bisettrice dell'angolo dato.

Soluzione

Questo angolo BAC è mostrato nella Figura 86. Disegniamo un cerchio di raggio arbitrario con il centro nel vertice A. Intersecherà i lati dell'angolo nei punti B e C.

Riso. 86

Quindi disegniamo due cerchi dello stesso raggio BC con centri nei punti B e C (nella figura sono mostrate solo parti di questi cerchi). Si intersecheranno in due punti, almeno uno dei quali si trova all'interno dell'angolo. Indichiamolo con la lettera E. Dimostriamo che il raggio AE è bisettrice dell'angolo dato BAC.

Consideriamo i triangoli ACE e ABE. Sono uguali su tre lati. In effetti, AE è il lato generale; AC e AB sono uguali come i raggi dello stesso cerchio; CE = BE per costruzione.

Dall'uguaglianza dei triangoli ACE e ABE segue che ∠CAE = ∠BAE, cioè il raggio AE è la bisettrice dell'angolo dato BAC.

Commento

È possibile dividere un dato angolo in due angoli uguali usando compasso e righello? È chiaro che è possibile: per fare ciò è necessario disegnare la bisettrice di questo angolo.

Questo angolo può anche essere diviso in quattro angoli uguali. Per fare ciò, devi dividerlo a metà, quindi dividere nuovamente ciascuna metà a metà.

È possibile dividere un dato angolo in tre angoli uguali usando compasso e righello? Questo compito, chiamato problemi di trisezione dell'angolo, ha attirato l'attenzione dei matematici per molti secoli. Solo nel XIX secolo fu dimostrato che una tale costruzione è impossibile per un angolo arbitrario.

Costruzione di linee perpendicolari

Compito

Data una retta e un punto su di essa. Costruisci una retta passante per un punto dato e perpendicolare ad una retta data.

Soluzione

Una data retta a e un dato punto M appartenente a questa retta sono mostrati nella Figura 87.

Riso. 87

Sui raggi della retta a, provenienti dal punto M, tracciamo i segmenti uguali MA e MB. Costruiamo quindi due circonferenze di centri A e B di raggio AB. Si intersecano in due punti: P e Q.

Tracciamo una retta passante per il punto M e per uno di questi punti, ad esempio la retta MR (vedi Fig. 87), e dimostriamo che questa retta è quella desiderata, cioè che è perpendicolare alla retta data a .

Infatti, poiché la mediana PM del triangolo isoscele RAB è anche l'altezza, allora PM ⊥ a.

Costruire il punto medio di un segmento

Compito

Costruisci il punto medio di questo segmento.

Soluzione

Sia AB il segmento dato. Costruiamo due circonferenze di centri A e B di raggio AB. Si intersecano nei punti P e Q. Disegniamo una linea retta PQ. Il punto O dell'intersezione di questa linea con il segmento AB è il punto medio desiderato del segmento AB.

Infatti i triangoli APQ e BPQ sono uguali su tre lati, quindi ∠1 =∠2 (Fig. 89).

Riso. 89

Di conseguenza, il segmento PO è la bisettrice del triangolo isoscele ARB, e quindi la mediana, cioè il punto O è il centro del segmento AB.

Compiti

143. Quali dei segmenti mostrati nella figura 90 sono: a) corde del cerchio; b) diametri di un cerchio; c) raggi del cerchio?

Riso. 90

144. I segmenti AB e CD sono i diametri di un cerchio. Dimostrare che: a) gli accordi BD e AC sono uguali; b) gli accordi AD e BC sono uguali; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. Il segmento MK è il diametro di un cerchio di centro O, e MR e RK sono corde uguali di questo cerchio. Trova ∠POM.

146. I segmenti AB e CD sono i diametri di un cerchio di centro O. Trova il perimetro del triangolo AOD se è noto che CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Su un cerchio di centro O si segnano i punti A e B in modo che l'angolo AOB sia retto. Il segmento BC è il diametro di un cerchio. Dimostrare che gli accordi AB e AC sono uguali.

148. Sulla retta sono dati due punti A e B. Sulla continuazione del raggio BA A tralasciare un segmento BC in modo che BC = 2AB.

149. Data una retta a, un punto B non giacente su di essa, e un segmento PQ. Costruisci il punto M sulla retta a in modo che BM = PQ. Un problema ha sempre una soluzione?

150. Dato un cerchio, un punto A non giacente su di esso, e un segmento PQ. Costruisci un punto M sulla circonferenza in modo che AM = PQ. Un problema ha sempre una soluzione?

151. Dato un angolo acuto BAC ed un raggio XY. Costruisci l'angolo YXZ in modo che ∠YXZ = 2∠BAC.

152. È dato l'angolo ottuso AOB. Costruisci il raggio OX in modo che gli angoli HOA e HOB siano ottusi uguali.

153. Data una retta a ed un punto M non giacente su di essa. Costruisci una retta passante per il punto M e perpendicolare alla retta a.

Soluzione

Costruiamo un cerchio con centro in un dato punto M, che interseca una data linea a in due punti, che denotiamo con le lettere A e B (Fig. 91). Costruiremo quindi due cerchi con centri A e B passanti per il punto M. Questi cerchi si intersecano nel punto M e in un altro punto, che indicheremo con la lettera N. Tracciamo una linea MN e dimostriamo che questa linea è la desiderata uno, cioè è perpendicolare alla retta a.

Riso. 91

Infatti i triangoli AMN e BMN sono uguali su tre lati, quindi ∠1 = ∠2. Ne consegue che il segmento MC (C è il punto di intersezione delle rette a e MN) è la bisettrice del triangolo isoscele AMB, e quindi la sua altezza. Quindi, MN ⊥ AB, cioè MN ⊥ a.

154. Dato un triangolo ABC. Costrutto: a) bisettrice AK; b) VM mediano; c) altezza CH del triangolo. 155. Utilizzando compasso e riga, costruire un angolo pari a: a) 45°; b) 22°30".

Risposte ai problemi

152. Istruzioni. Per prima cosa costruisci la bisettrice dell'angolo AOB.