Perché non riescono a dimostrare il teorema di Fermat? Esponiamo! L'Ultimo Teorema di Fermat è stato dimostrato? Opera di Shimura e Taniyama

Poiché poche persone hanno un pensiero matematico, parlerò della più grande scoperta scientifica - la prova elementare dell'Ultimo Teorema di Fermat - nel linguaggio scolastico più comprensibile.

La dimostrazione è stata trovata per un caso speciale (per un grado semplice n>2), al quale (e al caso n=4) tutti i casi con n composto possono essere facilmente ridotti.

Dobbiamo quindi dimostrare che l'equazione A^n=C^n-B^n non ha soluzioni in numeri interi. (Qui il segno ^ significa grado.)

La dimostrazione viene effettuata in un sistema numerico a base semplice n. In questo caso, le ultime cifre di ciascuna tabella di moltiplicazione non vengono ripetute. Nel consueto sistema decimale, la situazione è diversa. Ad esempio, quando si moltiplica il numero 2 sia per 1 che per 6, entrambi i prodotti - 2 e 12 - terminano con le stesse cifre (2). E, ad esempio, nel sistema settenario per il numero 2, tutte le ultime cifre sono diverse: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, con una serie di ultime cifre 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Grazie a questa proprietà, per ogni numero A che non termina con zero (e nell'uguaglianza di Fermat, l'ultima cifra dei numeri A, o B, dopo aver diviso l'uguaglianza per il divisore comune dei numeri A, B, C non è uguale a zero), è possibile selezionare un fattore g tale che il numero Ag abbia un finale arbitrariamente lungo della forma 000...001. È per questo numero g che moltiplichiamo tutti i numeri di base A, B, C nell’uguaglianza di Fermat. In questo caso, renderemo la fine unitaria piuttosto lunga, cioè due cifre più lunghe del numero (k) di zeri alla fine del numero U=A+B-C.

Il numero U non è uguale a zero, altrimenti C=A+B e A^n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

Questa, infatti, è tutta la preparazione dell’uguaglianza di Fermat per uno studio breve e finale. L’unica cosa che faremo è riscrivere il lato destro dell’uguaglianza di Fermat – C^n-B^n – utilizzando la formula di scomposizione scolastica: C^n-B^n=(C-B)P, o aP. E poiché inoltre opereremo (moltiplicaremo e sommeremo) solo con le cifre finali (k+2) dei numeri A, B, C, allora non possiamo tenere conto delle loro parti iniziali e semplicemente scartarle (lasciandole un solo fatto in memoria: il membro sinistro dell'uguaglianza di Fermat è un POTERE).

L’unica cosa degna di nota sono le ultime cifre dei numeri a e P. Nell’uguaglianza originale di Fermat, il numero P termina con il numero 1. Ciò deriva dalla formula del piccolo teorema di Fermat, che può essere trovata nei libri di consultazione. E dopo aver moltiplicato l'uguaglianza di Fermat per il numero g^n, il numero P viene moltiplicato per il numero g elevato alla potenza n-1, che, secondo il piccolo teorema di Fermat, termina anch'esso con il numero 1. Quindi nella nuova uguaglianza equivalente di Fermat , il numero P termina con 1. E se A termina con 1, allora anche A^n termina con 1 e, quindi, anche il numero a termina con 1.

Quindi, abbiamo una situazione di partenza: le ultime cifre A, a, P dei numeri A, a, P terminano con il numero 1.

Bene, allora inizia un'operazione carina e affascinante, chiamata di preferenza “mulino”: introducendo in considerazione i numeri successivi a"", a""" e così via, numeri a, calcoliamo con estrema “facilità” che sono tutti anche uguale a zero! Parola che metto "facile" tra virgolette, perché l'umanità non è riuscita a trovare la chiave di questo "facile" per 350 anni! ^(k+2). Non vale la pena prestare attenzione al secondo termine in questa somma - dopo tutto, nella dimostrazione successiva abbiamo scartato tutte le cifre dopo la (k+2)esima nei numeri (e questo semplifica radicalmente l'analisi)! Quindi, dopo aver scartato i numeri delle parti della testa, l'uguaglianza di Fermat assume la forma: ...1 =aq^(n-1), dove a e q non sono numeri, ma solo le parti finali dei numeri a e q! (Non introduco nuove notazioni, poiché ciò rende difficile la lettura.)

Resta l'ultima domanda filosofica: perché il numero P può essere rappresentato come P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? La risposta è semplice: perché qualsiasi intero P che abbia 1 alla fine può essere rappresentato in questa forma, e IDENTICO. (Può essere rappresentato in molti altri modi, ma non ne abbiamo bisogno.) In effetti, per P=1 la risposta è ovvia: P=1^(n-1). Per Р=hn+1, il numero q=(n-h)n+1, che è facile da verificare risolvendo l'equazione [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 utilizzando due cifre finali. E così via (ma non abbiamo bisogno di ulteriori calcoli, poiché dobbiamo rappresentare solo numeri della forma P=1+Qn^t).

Uff! Bene, la filosofia è finita, puoi passare ai calcoli a livello di seconda elementare, magari ricordando ancora una volta la formula binomiale di Newton.

Quindi, introduciamo il numero a"" (nel numero a=a""n+1) e usiamolo per calcolare il numero q"" (nel numero q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), oppure...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], da cui q""=a"".

E ora il lato destro dell’uguaglianza di Fermat può essere riscritto come:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), dove il valore del numero D non ci interessa.

Ora arriviamo alla conclusione decisiva. Il numero a""n+1 è la fine di due cifre del numero A e, QUINDI, secondo un semplice lemma, determina UNICAMENTE la TERZA cifra del grado A^n. E inoltre dall'espansione del binomio di Newton
(a""n+1)^n, tenendo conto che ad ogni termine dello sviluppo (tranne il primo, che non può cambiare il tempo!) si aggiunge un fattore SEMPLICE n (la base numerica!), è chiaro che questa terza cifra è uguale a a"" . Ma moltiplicando l’uguaglianza di Fermat per g^n, abbiamo trasformato k+1 cifre prima dell’ultimo 1 del numero A in 0. E, quindi, a""=0!!!

Abbiamo così completato il ciclo: avendo inserito a"", abbiamo trovato che q""=a"", e infine a""=0!

Ebbene, resta da dire che dopo aver effettuato calcoli del tutto simili e le successive k cifre, otteniamo l'uguaglianza finale: la terminazione di (k + 2) cifre del numero a, o C-B, proprio come il numero A, è uguale a 1. Ma allora la (k+2)esima cifra del numero C-A-B è UGUALE a zero, mentre NON è UGUALE a zero!!!

Questa, in effetti, è tutta la prova. Per capirlo non è affatto necessario avere un'istruzione superiore e, soprattutto, essere un matematico professionista. Ma i professionisti tacciono...

Il testo leggibile della prova completa si trova qui:

Recensioni

Ciao, Vittorio. Mi è piaciuto il tuo curriculum. “Non lasciare morire prima della morte” suona alla grande, ovviamente. Ad essere sincero, sono rimasto sbalordito dal mio incontro con il teorema di Fermat in prosa! Il suo posto è qui? Ci sono siti scientifici, divulgativi e di teiere. Altrimenti, grazie per il tuo lavoro letterario.
I migliori saluti, Anya.

Cara Anya, nonostante la censura piuttosto severa, la prosa ti permette di scrivere DI TUTTO. La situazione con il teorema di Fermat è la seguente: i grandi forum matematici trattano i fermatisti con maleducazione, e in generale li trattano come meglio possono. Tuttavia, ho presentato l'ultima versione della dimostrazione in piccoli forum russi, inglesi e francesi. Nessuno ha ancora avanzato controargomentazioni e, ne sono sicuro, nessuno ne avanzerà (le prove sono state controllate con molta attenzione). Sabato pubblicherò una nota filosofica sul teorema.
Non ci sono quasi maleducati in prosa, e se non stai con loro, molto presto cadranno.
Quasi tutti i miei lavori sono presentati in prosa, quindi ho incluso qui anche la prova.
Arrivederci,

Non sono molte le persone al mondo che non hanno mai sentito parlare dell'Ultimo Teorema di Fermat: forse questo è l'unico problema matematico che è diventato così ampiamente conosciuto ed è diventato una vera leggenda. Viene menzionato in molti libri e film e il contesto principale di quasi tutte le menzioni è l'impossibilità di dimostrare il teorema.

Sì, questo teorema è molto noto e, in un certo senso, è diventato un "idolo" adorato dai matematici dilettanti e professionisti, ma pochi sanno che la sua dimostrazione è stata trovata, e questo è accaduto nel 1995. Ma prima le cose principali.

Quindi, l'Ultimo Teorema di Fermat (spesso chiamato l'ultimo teorema di Fermat), formulato nel 1637 dal brillante matematico francese Pierre Fermat, è in sostanza molto semplice e comprensibile a chiunque abbia un'istruzione secondaria. Dice che la formula a elevato a n + b elevato a n = c elevato a n non ha soluzioni naturali (cioè non frazionarie) per n > 2. Tutto sembra semplice e chiaro, ma il i migliori matematici e i comuni dilettanti hanno lottato per cercare una soluzione per più di tre secoli e mezzo.

Perché è così famosa? Ora lo scopriremo...

Esistono molti teoremi provati, non dimostrati e non ancora dimostrati? Il punto qui è che l'Ultimo Teorema di Fermat rappresenta il più grande contrasto tra la semplicità della formulazione e la complessità della dimostrazione. L'Ultimo Teorema di Fermat è un problema incredibilmente difficile, eppure la sua formulazione può essere compresa da chiunque abbia la quinta elementare, ma nemmeno tutti i matematici professionisti possono comprenderne la dimostrazione. Né in fisica, né in chimica, né in biologia, né in matematica esiste un solo problema che possa essere formulato in modo così semplice, ma che sia rimasto irrisolto per così tanto tempo. 2. In cosa consiste?

Cominciamo con i pantaloni pitagorici. La formulazione è davvero semplice, a prima vista. Come sappiamo fin dall'infanzia, "i pantaloni pitagorici sono uguali su tutti i lati". Il problema sembra così semplice perché si basa su un'affermazione matematica che tutti conoscono: il teorema di Pitagora: in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Nel V secolo a.C. Pitagora fondò la confraternita pitagorica. I Pitagorici, tra le altre cose, studiarono le triplette intere che soddisfacevano l'uguaglianza x²+y²=z². Hanno dimostrato che esistono infinite terne pitagoriche e hanno ottenuto formule generali per trovarle. Probabilmente hanno provato a cercare C e gradi superiori. Convinti che ciò non funzionasse, i Pitagorici abbandonarono i loro inutili tentativi. I membri della confraternita erano più filosofi ed esteti che matematici.

Cioè è facile selezionare un insieme di numeri che soddisfano perfettamente l'uguaglianza x²+y²=z²

A partire da 3, 4, 5 - infatti uno studente junior capisce che 9 + 16 = 25.

Oppure 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Ottimo.

Quindi, risulta che NON lo sono. È qui che inizia il trucco. La semplicità è evidente, perché è difficile dimostrare non la presenza di qualcosa, ma, al contrario, la sua assenza. Quando devi dimostrare che esiste una soluzione, puoi e dovresti semplicemente presentare questa soluzione.

Dimostrare l'assenza è più difficile: per esempio qualcuno dice: tale equazione non ha soluzioni. Metterlo in una pozzanghera? facile: bam - ed eccola qui, la soluzione! (dare la soluzione). E basta, l’avversario è sconfitto. Come dimostrare l'assenza?

Dire: "Non ho trovato tali soluzioni"? O forse non avevi un bell'aspetto? E se esistessero, solo molto grandi, molto grandi, tanto che anche un computer super potente non ha ancora abbastanza forza? Questo è ciò che è difficile.

Questo può essere mostrato visivamente in questo modo: se prendi due quadrati di dimensioni adeguate e li smonti in quadrati unitari, da questo gruppo di quadrati unitari otterrai un terzo quadrato (Fig. 2):


Ma facciamo lo stesso con la terza dimensione (Fig. 3): non funziona. Non ci sono abbastanza cubi o ne sono rimasti di extra:

Ma il matematico francese del XVII secolo Pierre de Fermat studiò con entusiasmo l'equazione generale x n + y n = z n. E infine ho concluso: per n>2 non esistono soluzioni intere. La dimostrazione di Fermat è irrimediabilmente perduta. I manoscritti stanno bruciando! Tutto ciò che rimane è la sua osservazione nell’Aritmetica di Diofanto: “Ho trovato una prova davvero sorprendente di questa proposizione, ma i margini qui sono troppo stretti per contenerla”.

In realtà, un teorema senza dimostrazione si chiama ipotesi. Ma Fermat ha la reputazione di non commettere mai errori. Anche se non ha lasciato prove di dichiarazioni, queste sono state successivamente confermate. Inoltre Fermat dimostrò la sua tesi per n=4. Pertanto, l’ipotesi del matematico francese passò alla storia come l’Ultimo Teorema di Fermat.

Dopo Fermat, grandi menti come Leonhard Euler lavorarono alla ricerca di una dimostrazione (nel 1770 propose una soluzione per n = 3),

Adrien Legendre e Johann Dirichlet (questi scienziati trovarono insieme la prova per n = 5 nel 1825), Gabriel Lamé (che trovò la prova per n = 7) e molti altri. Verso la metà degli anni '80 del secolo scorso, divenne chiaro che il mondo scientifico era sulla strada verso la soluzione finale dell'Ultimo Teorema di Fermat, ma solo nel 1993 i matematici videro e credettero che l'epopea durata tre secoli della ricerca di una dimostrazione di L'ultimo teorema di Fermat era praticamente finito.

Si dimostra facilmente che basta dimostrare il teorema di Fermat solo per n semplici: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Per n composto la dimostrazione resta valida. Ma i numeri primi sono infiniti...

Nel 1825, utilizzando il metodo di Sophie Germain, le matematiche Dirichlet e Legendre dimostrarono indipendentemente il teorema per n=5. Nel 1839, utilizzando lo stesso metodo, il francese Gabriel Lame dimostrò la verità del teorema per n=7. A poco a poco il teorema fu dimostrato per quasi tutti gli n meno di cento.

Infine, il matematico tedesco Ernst Kummer, in un brillante studio, dimostrò che il teorema in generale non può essere dimostrato utilizzando i metodi della matematica del XIX secolo. Il Premio dell'Accademia francese delle Scienze, istituito nel 1847 per la dimostrazione del teorema di Fermat, rimase senza assegnazione.

Nel 1907, il ricco industriale tedesco Paul Wolfskehl decise di togliersi la vita a causa di un amore non corrisposto. Da vero tedesco, fissò la data e l'ora del suicidio: esattamente a mezzanotte. L'ultimo giorno fece testamento e scrisse lettere ad amici e parenti. Le cose finirono prima di mezzanotte. Va detto che Paolo era interessato alla matematica. Non avendo altro da fare, andò in biblioteca e cominciò a leggere il famoso articolo di Kummer. All'improvviso gli sembrò che Kummer avesse commesso un errore nel suo ragionamento. Wolfskel iniziò ad analizzare questa parte dell'articolo con una matita tra le mani. La mezzanotte è passata, è arrivata la mattina. La lacuna nella dimostrazione è stata colmata. E la ragione stessa del suicidio ora sembrava completamente ridicola. Paul stracciò le sue lettere d'addio e riscrisse il suo testamento.

Morì presto per cause naturali. Gli eredi rimasero piuttosto sorpresi: 100.000 marchi (più di 1.000.000 di sterline attuali) furono trasferiti sul conto della Royal Scientific Society di Göttingen, che nello stesso anno annunciò un concorso per il Premio Wolfskehl. Alla persona che dimostrò il teorema di Fermat furono assegnati 100.000 punti. Non venne assegnato un centesimo per aver confutato il teorema...

La maggior parte dei matematici professionisti considerava la ricerca di una dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat un compito senza speranza e si rifiutava risolutamente di perdere tempo in un esercizio così inutile. Ma i dilettanti si sono divertiti tantissimo. Poche settimane dopo l’annuncio, una valanga di “prove” colpì l’Università di Gottinga. Il professor E.M. Landau, incaricato di analizzare le prove inviate, ha distribuito ai suoi studenti delle cartoline:

Caro. . . . . . . .

Grazie per avermi inviato il manoscritto con la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat. Il primo errore è a pagina... in linea... . Per questo motivo l’intera dimostrazione perde la sua validità.
Professor E. M. Landau

Nel 1963 Paul Cohen, basandosi sulle scoperte di Gödel, dimostrò l'irrisolvibilità di uno dei ventitré problemi di Hilbert: l'ipotesi del continuo. E se anche l'Ultimo Teorema di Fermat fosse indecidibile?! Ma i veri fanatici del Grande Teorema non rimasero affatto delusi. L'avvento dei computer diede improvvisamente ai matematici un nuovo metodo di dimostrazione. Dopo la seconda guerra mondiale, squadre di programmatori e matematici dimostrarono l'ultimo teorema di Fermat per tutti i valori di n fino a 500, poi fino a 1.000 e successivamente fino a 10.000.

Negli anni '80 Samuel Wagstaff innalzò il limite a 25.000 e negli anni '90 i matematici dichiararono che l'ultimo teorema di Fermat era vero per tutti i valori fino a 4 milioni. Ma se sottrai anche un trilione di trilioni dall’infinito, non diventerà più piccolo. I matematici non sono convinti dalle statistiche. Dimostrare il Grande Teorema significava dimostrarlo per TUTTI n andando all'infinito.

Nel 1954, due giovani amici matematici giapponesi iniziarono la ricerca sulle forme modulari. Queste forme generano serie di numeri, ciascuna con la propria serie. Per caso, Taniyama confrontò queste serie con serie generate da equazioni ellittiche. Si abbinavano! Ma le forme modulari sono oggetti geometrici e le equazioni ellittiche sono algebriche. Nessuna connessione è mai stata trovata tra oggetti così diversi.

Tuttavia, dopo attenti test, gli amici hanno avanzato un'ipotesi: ogni equazione ellittica ha un gemello: una forma modulare e viceversa. Fu questa ipotesi a diventare il fondamento di un'intera direzione matematica, ma fino a quando l'ipotesi Taniyama-Shimura non fosse stata dimostrata, l'intero edificio avrebbe potuto crollare in qualsiasi momento.

Nel 1984, Gerhard Frey dimostrò che una soluzione dell'equazione di Fermat, se esiste, può essere inclusa in qualche equazione ellittica. Due anni dopo, il professor Ken Ribet dimostrò che questa ipotetica equazione non poteva avere una controparte nel mondo modulare. D'ora in poi, l'Ultimo Teorema di Fermat fu indissolubilmente legato alla congettura di Taniyama-Shimura. Avendo dimostrato che qualsiasi curva ellittica è modulare, concludiamo che non esiste un'equazione ellittica con una soluzione dell'equazione di Fermat, e l'Ultimo Teorema di Fermat sarebbe immediatamente dimostrato. Ma per trent'anni non è stato possibile dimostrare l'ipotesi Taniyama-Shimura e c'erano sempre meno speranze di successo.

Nel 1963, quando aveva appena dieci anni, Andrew Wiles era già affascinato dalla matematica. Quando venne a conoscenza del Grande Teorema, si rese conto che non poteva rinunciarci. Da scolaro, studente e laureato, si è preparato per questo compito.

Dopo aver appreso delle scoperte di Ken Ribet, Wiles si lanciò a capofitto nel dimostrare l'ipotesi di Taniyama-Shimura. Ha deciso di lavorare in completo isolamento e segretezza. “Mi sono reso conto che tutto ciò che ha a che fare con l’Ultimo Teorema di Fermat suscita troppo interesse… Troppi spettatori evidentemente interferiscono con il raggiungimento dell’obiettivo.” Sette anni di duro lavoro furono ripagati e Wiles completò finalmente la dimostrazione della congettura di Taniyama-Shimura.

Nel 1993, il matematico inglese Andrew Wiles presentò al mondo la sua dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat (Wiles lesse il suo sensazionale articolo in una conferenza al Sir Isaac Newton Institute di Cambridge), il cui lavoro durò più di sette anni.

Mentre la stampa continuava a pubblicizzarlo, iniziò un lavoro serio per verificare le prove. Ogni elemento di prova deve essere attentamente esaminato prima che la prova possa essere considerata rigorosa e accurata. Wiles ha trascorso un'estate inquieta aspettando il feedback dei revisori, sperando di riuscire a ottenere la loro approvazione. Alla fine di agosto gli esperti hanno ritenuto che la sentenza non fosse sufficientemente comprovata.

Si è scoperto che questa decisione contiene un errore grossolano, sebbene in generale sia corretto. Wiles non si arrese, chiese l'aiuto del famoso specialista in teoria dei numeri Richard Taylor, e già nel 1994 pubblicarono una dimostrazione corretta ed ampliata del teorema. La cosa più sorprendente è che questo lavoro occupa ben 130 (!) pagine nella rivista matematica “Annals of Mathematics”. Ma la storia non finì nemmeno qui: il punto finale fu raggiunto solo l'anno successivo, 1995, quando fu pubblicata la versione finale e “ideale”, da un punto di vista matematico, della dimostrazione.

"...mezzo minuto dopo l'inizio della cena festiva in occasione del suo compleanno, ho regalato a Nadya il manoscritto della prova completa" (Andrew Wales). Non ho ancora detto che i matematici sono gente strana?

Questa volta non c'erano dubbi sulle prove. Due articoli furono sottoposti alla più attenta analisi e furono pubblicati nel maggio 1995 negli Annals of Mathematics.

È passato molto tempo da quel momento, ma nella società c'è ancora l'opinione secondo cui l'Ultimo Teorema di Fermat è irrisolvibile. Ma anche chi conosce la dimostrazione trovata continua a lavorare in questa direzione: pochi sono soddisfatti del fatto che il Grande Teorema richieda una soluzione di 130 pagine!

Pertanto, ora gli sforzi di molti matematici (per lo più dilettanti, non scienziati professionisti) sono rivolti alla ricerca di una dimostrazione semplice e concisa, ma questa strada, molto probabilmente, non porterà da nessuna parte...

fonte

Quindi, l'Ultimo Teorema di Fermat (spesso chiamato l'ultimo teorema di Fermat), formulato nel 1637 dal brillante matematico francese Pierre Fermat, è di natura molto semplice e comprensibile a chiunque abbia un'istruzione secondaria. Dice che la formula a elevato a n + b elevato a n = c elevato a n non ha soluzioni naturali (cioè non frazionarie) per n > 2. Tutto sembra semplice e chiaro, ma il i migliori matematici e i comuni dilettanti hanno lottato per cercare una soluzione per più di tre secoli e mezzo.

NOTIZIE DI SCIENZA E TECNOLOGIA

UDC 51:37;517.958

AV. Konovko, Ph.D.

Accademia dei vigili del fuoco statali del Ministero delle situazioni di emergenza della Russia IL GRANDE TEOREMA DI FERMA È STATO DIMOSTRATO. O NO?

Per diversi secoli non è stato possibile dimostrare che l'equazione xn+yn=zn per n>2 sia irrisolvibile in numeri razionali, e quindi in numeri interi. Questo problema è nato sotto la paternità dell'avvocato francese Pierre Fermat, che allo stesso tempo era impegnato professionalmente in matematica. La sua decisione è attribuita all'insegnante di matematica americano Andrew Wiles. Questo riconoscimento durò dal 1993 al 1995.

IL GRANDE TEOREMA DI FERMA È DIMOSTRATO. O NO?

Viene presa in considerazione la drammatica storia dell'ultima dimostrazione del teorema di Fermat. Ci sono voluti quasi quattrocento anni. Pierre Fermat ha scritto poco. Ha scritto in uno stile compresso. Inoltre non ha pubblicato le sue ricerche. L'affermazione che l'equazione xn+yn=zn è irrisolvibile sugli insiemi di numeri razionali e interi se n>2 è stato seguito dal commento di Fermat che ha trovato una dimostrazione davvero notevole di questa affermazione. I discendenti non furono raggiunti da questa prova. Più tardi questa affermazione fu chiamata l'ultimo teorema di Fermat. I migliori matematici del mondo si lanciarono su questo teorema senza risultato. Negli anni settanta il matematico francese membro dell'Accademia delle Scienze di Parigi Andre Veil stabilì nuovi approcci alla soluzione. Il 23 giugno, nel 1993, alla conferenza sulla teoria dei numeri a Cambridge, il matematico dell'Università di Princeton Andrew Whiles annunciò che l'ultima dimostrazione del teorema di Fermat era stata completata. Tuttavia era presto per trionfare.

Nel 1621, lo scrittore francese e amante della matematica Claude Gaspard Bachet de Meziriak pubblicò il trattato greco "Aritmetica" di Diofanto con traduzione latina e commento. La lussuosa "Aritmetica", con margini insolitamente ampi, cadde nelle mani del ventenne Fermat e divenne il suo libro di consultazione per molti anni. A margine lasciò 48 note contenenti i fatti da lui scoperti sulle proprietà dei numeri. Qui, a margine di “Aritmetica”, fu formulato il grande teorema di Fermat: “È impossibile scomporre un cubo in due cubi o un biquadrato in due biquadrati, o in generale una potenza maggiore di due in due potenze con lo stesso esponente; Ne ho trovato una prova davvero meravigliosa, che per mancanza di spazio non può entrare in questi campi." A proposito, in latino assomiglia a questo: “Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”

Il grande matematico francese Pierre Fermat (1601-1665) sviluppò un metodo per determinare aree e volumi e creò un nuovo metodo per tangenti ed estremi. Insieme a Cartesio divenne il creatore della geometria analitica, insieme a Pascal fu all'origine della teoria della probabilità, nel campo del metodo infinitesimale diede la regola generale di differenziazione e dimostrò in forma generale la regola di integrazione di un funzione di potenza... Ma, soprattutto, una delle storie misteriose e drammatiche più importanti che abbiano mai scioccato la matematica: la storia della dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat. Ora questo teorema si esprime sotto forma di una semplice affermazione: l'equazione xn + yn = zn per n>2 è irrisolvibile in numeri razionali, e quindi in numeri interi. A proposito, per il caso n = 3, il matematico dell'Asia centrale Al-Khojandi tentò di dimostrare questo teorema nel X secolo, ma la sua dimostrazione non è sopravvissuta.

Originario del sud della Francia, Pierre Fermat ricevette un'educazione giuridica e dal 1631 prestò servizio come consigliere del parlamento della città di Tolosa (cioè la più alta corte). Dopo una giornata di lavoro tra le mura del parlamento, ha iniziato a studiare matematica e si è subito tuffato in un mondo completamente diverso. Denaro, prestigio, riconoscimento pubblico: niente di tutto questo gli importava. La scienza non è mai diventata per lui un mezzo di sostentamento, non si è trasformata in un mestiere, rimanendo sempre solo un entusiasmante gioco della mente, comprensibile solo a pochi. Con loro continuò la sua corrispondenza.

Fermat non ha mai scritto articoli scientifici nel nostro senso comune. E nella sua corrispondenza con gli amici c'è sempre qualche sfida, anche una sorta di provocazione, e per niente una presentazione accademica del problema e della sua soluzione. Ecco perché molte delle sue lettere vennero successivamente definite una sfida.

Forse è proprio per questo che non si è mai reso conto della sua intenzione di scrivere un saggio speciale sulla teoria dei numeri. Nel frattempo, questa era la sua area matematica preferita. Fu a lei che Fermat dedicò i versi più ispirati delle sue lettere. "L'aritmetica", scrive, "ha un suo campo, la teoria dei numeri interi. Questa teoria fu solo leggermente sfiorata da Euclide e non fu sufficientemente sviluppata dai suoi seguaci (a meno che non fosse contenuta in quelle opere di Diofanto, che le devastazioni di il tempo ce ne ha privato). Gli aritmetici, pertanto, devono svilupparlo e rinnovarlo."

Perché lo stesso Fermat non aveva paura degli effetti distruttivi del tempo? Scriveva poco e sempre in modo molto conciso. Ma, soprattutto, non ha pubblicato il suo lavoro. Durante la sua vita circolavano solo sotto forma di manoscritti. Non sorprende, quindi, che i risultati di Fermat sulla teoria dei numeri siano pervenuti a noi in forma diffusa. Ma Bulgakov probabilmente aveva ragione: i grandi manoscritti non bruciano! L'opera di Fermat rimane. Sono rimasti nelle sue lettere agli amici: il professore di matematica lionese Jacques de Billy, il funzionario della zecca Bernard Freniquel de Bessy, Marcenny, Descartes, Blaise Pascal... Ciò che è rimasto è l'"Aritmetica" di Diofanto con i suoi commenti a margine, che dopo La morte di Fermat fu inclusa insieme ai commenti di Bachet nella nuova edizione di Diofanto, pubblicata dal figlio maggiore Samuel nel 1670. Solo le prove stesse non sono sopravvissute.

Due anni prima della sua morte, Fermat inviò all'amico Carcavi una lettera testamentaria, che passò alla storia della matematica con il titolo “Sintesi dei nuovi risultati nella scienza dei numeri”. In questa lettera, Fermat dimostrò la sua famosa affermazione per il caso n = 4. Ma molto probabilmente non era interessato all'affermazione in sé, ma al metodo di dimostrazione da lui scoperto, che Fermat stesso chiamava discesa infinita o indefinita.

I manoscritti non bruciano. Ma, se non fosse stato per la dedizione di Samuel, che dopo la morte del padre raccolse tutti i suoi schizzi matematici e piccoli trattati, per poi pubblicarli nel 1679 con il titolo “Varie opere matematiche”, i dotti matematici avrebbero dovuto scoprire e riscoprire molto . Ma anche dopo la loro pubblicazione, i problemi posti dal grande matematico rimasero immobili per più di settant'anni. E questo non sorprende. Nella forma in cui apparvero sulla stampa, i risultati della teoria dei numeri di P. Fermat apparvero davanti agli specialisti sotto forma di problemi seri che non erano sempre chiari ai contemporanei, quasi senza prove, e indicazioni di connessioni logiche interne tra loro. Forse, nell'assenza di una teoria coerente e ben ponderata si trova la risposta alla domanda sul perché lo stesso Fermat non abbia mai deciso di pubblicare un libro sulla teoria dei numeri. Settant'anni dopo, L. Euler si interessò a queste opere, e questa fu davvero la loro seconda nascita...

La matematica pagò caro il modo peculiare di Fermat di presentare i suoi risultati, come se ne omettesse deliberatamente le dimostrazioni. Ma se Fermat affermava di aver dimostrato questo o quel teorema, allora questo teorema veniva successivamente dimostrato. Tuttavia, c'era un intoppo con il grande teorema.

Un mistero stimola sempre l'immaginazione. Interi continenti furono conquistati dal misterioso sorriso della Gioconda; La teoria della relatività, in quanto chiave del mistero delle connessioni spazio-temporali, è diventata la teoria fisica più popolare del secolo. E possiamo tranquillamente affermare che non esisteva nessun altro problema matematico tanto popolare quanto lo era ___93

Problemi scientifici e didattici della protezione civile

Cos'è il teorema di Fermat? I tentativi di dimostrarlo portarono alla creazione di una vasta branca della matematica: la teoria dei numeri algebrici, ma (ahimè!) il teorema stesso rimase non dimostrato. Nel 1908 il matematico tedesco Wolfskehl lasciò in eredità 100.000 marchi a chiunque fosse riuscito a dimostrare il teorema di Fermat. Era una cifra enorme per quei tempi! In un attimo potresti non solo diventare famoso, ma anche diventare favolosamente ricco! Non sorprende, quindi, che gli studenti delle scuole superiori anche in Russia, lontano dalla Germania, in competizione tra loro, si siano affrettati a dimostrare il grande teorema. Cosa possiamo dire dei matematici professionisti! Ma invano! Dopo la prima guerra mondiale il denaro divenne inutile e il flusso di lettere con pseudo-prove cominciò a prosciugarsi, anche se, ovviamente, non si fermò mai. Si dice che il famoso matematico tedesco Edmund Landau preparasse dei moduli stampati da inviare agli autori delle dimostrazioni del teorema di Fermat: “C'è un errore a pagina..., nella riga...”. (L'assistente professore aveva il compito di trovare l'errore.) C'erano così tante stranezze e aneddoti legati alla dimostrazione di questo teorema che si potrebbe compilarne un libro. L'ultimo aneddoto è il romanzo poliziesco di A. Marinina "Coincidence of Circumstances", girato e proiettato sugli schermi televisivi del paese nel gennaio 2000. In esso, il nostro connazionale dimostra un teorema non dimostrato da tutti i suoi grandi predecessori e rivendica per questo un premio Nobel. Come è noto, l'inventore della dinamite ignorò i matematici nel suo testamento, per cui l'autore della dimostrazione non poté che fregiarsi della Medaglia d'Oro Fields, il più alto riconoscimento internazionale approvato dagli stessi matematici nel 1936.

Nel lavoro classico dell'eccezionale matematico russo A.Ya. Khinchin, dedicato al grande teorema di Fermat, fornisce informazioni sulla storia di questo problema e presta attenzione al metodo che Fermat avrebbe potuto utilizzare per dimostrare il suo teorema. Viene fornita una dimostrazione per il caso n = 4 e una breve rassegna di altri risultati importanti.

Ma quando il romanzo poliziesco fu scritto, e ancor di più quando fu girato, la dimostrazione generale del teorema era già stata trovata. Il 23 giugno 1993, in una conferenza sulla teoria dei numeri a Cambridge, il matematico di Princeton Andrew Wiles annunciò che l'Ultimo Teorema di Fermat era stato dimostrato. Ma niente affatto come lo stesso Fermat aveva “promesso”. Il percorso intrapreso da Andrew Wiles non si basava sui metodi della matematica elementare. Studiò la cosiddetta teoria delle curve ellittiche.

Per avere un'idea delle curve ellittiche è necessario considerare una curva piana definita da un'equazione di terzo grado

Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)

Tutte queste curve sono divise in due classi. Della prima classe fanno parte quelle curve che hanno punti di acuminazione (come la parabola semicubica y2 = a2-X con il punto di acuminazione (0; 0)), punti di autointersezione (come il foglio cartesiano x3+y3-3axy = 0 , nel punto (0; 0)), nonché curve per le quali il polinomio Dx,y) è rappresentato nella forma

f(x^y)=:fl(x^y)***:f2(x,y),

dove ^(x,y) e ^(x,y) sono polinomi di grado inferiore. Le curve di questa classe sono chiamate curve degeneri di terzo grado. La seconda classe di curve è formata da curve non degeneri; li chiameremo ellittici. Questi possono includere, ad esempio, il Ricciolo Agnesi (x2 + a2)y - a3 = 0). Se i coefficienti del polinomio (1) sono numeri razionali, allora la curva ellittica può essere trasformata nella cosiddetta forma canonica

y2= x3 + ax + b. (2)

Nel 1955, il matematico giapponese Y. Taniyama (1927-1958), nell'ambito della teoria delle curve ellittiche, riuscì a formulare un'ipotesi che aprì la strada alla dimostrazione del teorema di Fermat. Ma né lo stesso Taniyama né i suoi colleghi lo sospettavano in quel momento. Per quasi vent'anni questa ipotesi non attirò seria attenzione e divenne popolare solo a metà degli anni '70. Secondo la congettura di Taniyama, ogni ellittica

una curva a coefficienti razionali è modulare. Tuttavia, finora la formulazione dell’ipotesi dice poco al lettore meticoloso. Pertanto sono necessarie alcune definizioni.

Ad ogni curva ellittica può essere associata un'importante caratteristica numerica: il suo discriminante. Per una curva data nella forma canonica (2), il discriminante A è determinato dalla formula

A = -(4a + 27b2).

Sia E una curva ellittica data dall'equazione (2), dove a e b sono numeri interi.

Per un numero primo p, considera il confronto

y2 = x3 + ax + b(mod p), (3)

dove a e b sono i resti della divisione degli interi a e b per p, e indichiamo con np il numero di soluzioni di questo confronto. I numeri pr sono molto utili per studiare la questione della risolubilità delle equazioni della forma (2) in numeri interi: se qualche pr è uguale a zero, allora l'equazione (2) non ha soluzioni intere. Tuttavia, è possibile calcolare i numeri solo nei casi più rari. (Allo stesso tempo è noto che р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).

Consideriamo quei numeri primi p che dividono il discriminante A della curva ellittica (2). Si può dimostrare che per tale p il polinomio x3 + ax + b può essere scritto in due modi:

x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)

x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p),

dove a, ß, y sono alcuni resti della divisione per p. Se per tutti i primi p che dividono il discriminante della curva si realizza la prima delle due possibilità indicate, allora la curva ellittica si dice semistabile.

I numeri primi che dividono il discriminante possono essere combinati in quella che viene chiamata una maschera di curva ellittica. Se E è una curva semistabile, il suo conduttore N è dato dalla formula

dove per tutti i numeri primi p > 5 che dividono A, l'esponente eP è uguale a 1. Gli esponenti 82 e 83 vengono calcolati utilizzando uno speciale algoritmo.

In sostanza, questo è tutto ciò che occorre per comprendere l’essenza della dimostrazione. Tuttavia, l’ipotesi di Taniyama contiene un concetto complesso e, nel nostro caso, chiave di modularità. Dimentichiamo quindi per un momento le curve ellittiche e consideriamo la funzione analitica f (cioè la funzione che può essere rappresentata da una serie di potenze) dell'argomento complesso z, dato nel semipiano superiore.

Indichiamo con H il semipiano complesso superiore. Sia N un numero naturale e k un numero intero. Una forma parabolica modulare di peso k di livello N è una funzione analitica f(z) definita nel semipiano superiore e che soddisfa la relazione

f = (cz + d)kf (z) (5)

per qualsiasi numero intero a, b, c, d tale che ae - bc = 1 e c è divisibile per N. Inoltre, si assume che

lim f (r + it) = 0,

dove r è un numero razionale, e quello

Lo spazio delle forme paraboliche modulari di peso k di livello N è indicato con Sk(N). Si può dimostrare che ha dimensione finita.

In quanto segue, saremo particolarmente interessati alle forme paraboliche modulari di peso 2. Per N piccoli, la dimensione dello spazio S2(N) è presentata in Tabella. 1. In particolare,

Dimensioni dello spazio S2(N)

Tabella 1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

Dalla condizione (5) segue che % + 1) = per ogni forma f e S2(N). Pertanto f è una funzione periodica. Tale funzione può essere rappresentata come

Chiamiamo propriamente una forma parabolica modulare A^) in S2(N) se i suoi coefficienti sono interi che soddisfano le relazioni:

a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c Ã_1 per un semplice p che non divide il numero N; (8)

(ap) per un primo p che divide il numero N;

atn = ad an, se (t,n) = 1.

Formuliamo ora una definizione che gioca un ruolo chiave nella dimostrazione del teorema di Fermat. Una curva ellittica con coefficienti razionali e conduttore N è detta modulare se esiste tale autoforma

f(z) = ^anq"g S2(N),

che ap = p - pr per quasi tutti i numeri primi p. Qui n è il numero di soluzioni di confronto (3).

È difficile credere che esista anche solo una di queste curve. È abbastanza difficile immaginare che ci sarebbe una funzione A(r) che soddisfa le rigide restrizioni elencate (5) e (8), che verrebbe espansa in serie (7), i cui coefficienti sarebbero associati a praticamente incalcolabili numeri Pr. Ma l’ardita ipotesi di Taniyama non metteva affatto in dubbio la loro esistenza, e il materiale empirico accumulato nel tempo ne confermava brillantemente la validità. Dopo due decenni di oblio quasi completo, l'ipotesi di Taniyama ha ricevuto una sorta di seconda ventata nelle opere del matematico francese, membro dell'Accademia delle Scienze di Parigi Andre Weil.

Nato nel 1906, A. Weil divenne infine uno dei fondatori di un gruppo di matematici che agirono sotto lo pseudonimo di N. Bourbaki. Dal 1958, A. Weil divenne professore al Princeton Institute for Advanced Study. E risale a questo stesso periodo l’emergere del suo interesse per la geometria algebrica astratta. Negli anni settanta si dedicò alle funzioni ellittiche e alla congettura di Taniyama. La monografia sulle funzioni ellittiche è stata tradotta qui in Russia. Non è solo nel suo hobby. Nel 1985, il matematico tedesco Gerhard Frey propose che se il teorema di Fermat è falso, cioè se esiste una terna di interi a, b, c tale che a" + bn = c" (n > 3), allora la curva ellittica

y2 = x (x - a")-(x - cn)

non può essere modulare, il che contraddice la congettura di Taniyama. Lo stesso Frey non riuscì a dimostrare questa affermazione, ma presto la dimostrazione fu ottenuta dal matematico americano Kenneth Ribet. In altre parole, Ribet ha dimostrato che il teorema di Fermat è una conseguenza della congettura di Taniyama.

Formulò e dimostrò il seguente teorema:

Teorema 1 (Ribet). Sia E una curva ellittica a coefficienti razionali e dotata di discriminante

e conduttore

Supponiamo che E sia modulare e sia

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

è la forma propria corrispondente del livello N. Fissiamo un numero primo £, e

р:еР =1;- " 8 р

Poi c'è una forma così parabolica

/(g) = 2 dnqn e N)

con coefficienti interi tali che le differenze e - dn siano divisibili per I per tutti 1< п<ад.

È chiaro che se questo teorema è dimostrato per un certo esponente, allora è dimostrato anche per tutti gli esponenti divisibili per n. Poiché ogni intero n > 2 è divisibile o per 4 o per un numero primo dispari, possiamo quindi limitarci a nel caso in cui l'esponente sia 4 o un numero primo dispari. Per n = 4, una dimostrazione elementare del teorema di Fermat fu ottenuta prima dallo stesso Fermat e poi da Eulero. Quindi è sufficiente studiare l’equazione

a1 + b1 = c1, (12)

in cui l'esponente I è un numero primo dispari.

Ora il teorema di Fermat può essere ottenuto con semplici calcoli (2).

Teorema 2. L'ultimo teorema di Fermat segue dalla congettura di Taniyama per le curve ellittiche semistabili.

Prova. Supponiamo che il teorema di Fermat sia falso e supponiamo che ci sia un controesempio corrispondente (come sopra, qui I è un primo dispari). Applichiamo il Teorema 1 alla curva ellittica

y2 = x (x - ae) (x - c1).

Semplici calcoli mostrano che il conduttore di questa curva è dato dalla formula

Confrontando le formule (11) e (13), vediamo che N = 2. Pertanto per il Teorema 1 esiste una forma parabolica

giacente nello spazio 82(2). Ma in virtù della relazione (6), questo spazio è zero. Quindi dn = 0 per ogni n e allo stesso tempo a^ = 1. Pertanto la differenza ag - dl = 1 non è divisibile per I e arriviamo a una contraddizione. Quindi il teorema è dimostrato.

Questo teorema fornì la chiave per la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat. Eppure l’ipotesi stessa rimaneva ancora non dimostrata.

Dopo aver annunciato, il 23 giugno 1993, la dimostrazione della congettura di Taniyama per le curve ellittiche semistabili, che includono curve della forma (8), Andrew Wiles aveva fretta. Era troppo presto perché i matematici celebrassero la loro vittoria.

La calda estate finì rapidamente, l'autunno piovoso fu lasciato alle spalle e arrivò l'inverno. Wiles scrisse e riscrisse la versione finale della sua dimostrazione, ma colleghi meticolosi trovarono sempre più imprecisioni nel suo lavoro. E così, all'inizio di dicembre del 1993, pochi giorni prima che il manoscritto di Wiles andasse in stampa, furono nuovamente scoperte gravi lacune nelle sue prove. E poi Wiles si rese conto che non sarebbe riuscito a sistemare nulla in un giorno o due. Ciò richiedeva un serio miglioramento. La pubblicazione dell'opera dovette essere rinviata. Wiles si è rivolto a Taylor per chiedere aiuto. “Lavorare sugli errori” ha richiesto più di un anno. La versione finale della dimostrazione della congettura di Taniyama, scritta da Wiles in collaborazione con Taylor, fu pubblicata solo nell'estate del 1995.

A differenza dell'eroe A. Marinina, Wiles non ha presentato domanda per il Premio Nobel, ma comunque... avrebbe dovuto ricevere una sorta di premio. Ma quale? Wiles a quel tempo aveva già cinquant'anni e le medaglie d'oro di Fields vengono assegnate rigorosamente fino all'età di quarant'anni, quando il picco dell'attività creativa non è ancora passato. E poi hanno deciso di istituire un premio speciale per Wiles: il distintivo d'argento del Fields Committee. Questo distintivo gli fu consegnato al successivo congresso di matematica a Berlino.

Di tutti i problemi che possono, con maggiore o minore probabilità, prendere il posto dell'ultimo teorema di Fermat, il problema dell'imballaggio di palline più vicino ha la maggiore probabilità. Il problema dell'imballaggio più denso di palline può essere formulato come il problema di come piegare le arance in una piramide nel modo più economico. I giovani matematici ereditarono questo compito da Giovanni Keplero. Il problema sorse nel 1611, quando Keplero scrisse un breve saggio “Sui fiocchi di neve esagonali”. L'interesse di Keplero per la disposizione e l'auto-organizzazione delle particelle di materia lo ha portato a discutere un'altra questione: l'impacchettamento più denso delle particelle, in cui occupano il volume più piccolo. Se assumiamo che le particelle abbiano la forma di palline, allora è chiaro che, indipendentemente da come si trovano nello spazio, rimarranno inevitabilmente degli spazi tra loro e la questione è ridurre al minimo il volume degli spazi. Nel lavoro, ad esempio, si afferma (ma non è dimostrato) che tale forma è un tetraedro, i cui assi coordinati al suo interno determinano l'angolo di ortogonalità di base di 109°28", e non di 90°. Questo problema è di grande importanza per la fisica delle particelle, la cristallografia e altri rami delle scienze naturali.

Letteratura

1. Weil A. Funzioni ellittiche secondo Eisenstein e Kronecker. - M., 1978.

2. Soloviev Yu.P. La congettura di Taniyama e l'ultimo teorema di Fermat // Diario educativo di Soros. - N. 2. - 1998. - P. 78-95.

3. L'ultimo teorema di Singh S. Fermat. La storia di un mistero che occupa le migliori menti del mondo da 358 anni / Trans. dall'inglese Yu.A. Danilova. M.: MTsNMO. 2000. - 260 pag.

4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. Algebra dei quaternioni e rotazioni tridimensionali // Questo diario n. 1(1), 2008. - P. 75-80.