Area di figure diverse. Qual è l'area di una figura? Protezione delle informazioni personali

Area di una figura geometrica- una caratteristica numerica di una figura geometrica che mostra la dimensione di questa figura (parte della superficie limitata dal contorno chiuso di questa figura). La dimensione dell'area è espressa dal numero di unità quadrate in essa contenute.

Formule dell'area del triangolo

Formula per l'area di un triangolo per lato e altezza
Area di un triangolo pari alla metà del prodotto della lunghezza di un lato di un triangolo e della lunghezza dell'altezza tracciata su questo lato
Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio della circonferenza circoscritta
Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio del cerchio inscritto
Area di un triangoloè uguale al prodotto del semiperimetro del triangolo per il raggio del cerchio inscritto.

Formule per l'area quadrata

Formula per l'area di un quadrato per lato
Zona quadrata uguale al quadrato della lunghezza del suo lato.
Formula per l'area di un quadrato lungo la diagonale
Zona quadrata pari alla metà del quadrato della lunghezza della sua diagonale.
S= 1 2
2

Formula dell'area del rettangolo

Area di un rettangolo

Formule per l'area del parallelogramma

Formula per l'area di un parallelogramma in base alla lunghezza del lato e all'altezza
Area di un parallelogramma
Formula per l'area di un parallelogramma basata su due lati e l'angolo compreso tra loro
Area di un parallelogrammaè uguale al prodotto delle lunghezze dei suoi lati moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra loro.
a b peccato α

Formule per l'area di un rombo

Formula per l'area di un rombo in base alla lunghezza del lato e all'altezza
Area di un rombo uguale al prodotto della lunghezza del suo lato e della lunghezza dell'altezza abbassata su questo lato.
Formula per l'area di un rombo in base alla lunghezza del lato e all'angolo
Area di un romboè uguale al prodotto del quadrato della lunghezza del suo lato e del seno dell'angolo formato dai lati del rombo.
Formula per l'area di un rombo in base alle lunghezze delle sue diagonali
Area di un rombo pari alla metà del prodotto delle lunghezze delle sue diagonali.

Formule dell'area del trapezio

Formula di Erone per il trapezio
Dove S è l'area del trapezio,
- lunghezze delle basi del trapezio,
- lunghezze dei lati del trapezio,

Come trovare l'area di una figura?

Conoscere e saper calcolare le aree delle varie figure è necessario non solo per risolvere semplici problemi geometrici. Non è possibile fare a meno di questa conoscenza quando si elaborano o si controllano i preventivi per la riparazione dei locali, calcolando la quantità dei materiali di consumo necessari. Quindi scopriamo come trovare aree di forme diverse.

La parte del piano contenuta in un contorno chiuso è chiamata area di questo piano. L'area è espressa dal numero di unità quadrate in essa contenute.

Per calcolare l'area delle forme geometriche di base, è necessario utilizzare la formula corretta.

Area di un triangolo

Designazioni:

Se h, a sono noti, l'area del triangolo richiesto viene determinata come il prodotto delle lunghezze del lato e dell'altezza del triangolo abbassato su questo lato, diviso a metà: S=(a h)/2
Se a, b, c sono noti, l'area richiesta viene calcolata utilizzando la formula di Erone: la radice quadrata presa dal prodotto di metà perimetro del triangolo e tre differenze di metà perimetro e ciascun lato del triangolo: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
Se a, b, γ sono noti, l'area del triangolo è determinata come la metà del prodotto di 2 lati, moltiplicato per il valore del seno dell'angolo compreso tra questi lati: S=(a b sin γ)/2
Se a, b, c, R sono noti, l'area richiesta viene determinata dividendo il prodotto delle lunghezze di tutti i lati del triangolo per quattro raggi del cerchio circoscritto: S=(a b c)/4R
Se p, r sono noti, allora l'area richiesta del triangolo si determina moltiplicando metà del perimetro per il raggio del cerchio in esso inscritto: S=p·r

Zona quadrata

Designazioni:

Se si conosce il lato, allora l'area di una data figura è determinata come il quadrato della lunghezza del suo lato: S=a 2
Se d è noto, l'area del quadrato è determinata come metà del quadrato della lunghezza della sua diagonale: S=d 2 /2

Area di un rettangolo

Designazioni:

S - area determinata,
a, b - lunghezze dei lati del rettangolo.

Se a, b sono noti, l'area di un dato rettangolo è determinata dal prodotto delle lunghezze dei suoi due lati: S=a b
Se le lunghezze dei lati non sono note, l'area del rettangolo deve essere divisa in triangoli. In questo caso, l'area di un rettangolo è determinata come la somma delle aree dei suoi triangoli costituenti.

Area di un parallelogramma

Designazioni:

S è l'area richiesta,
a, b - lunghezze dei lati,
h è la lunghezza dell'altezza di un dato parallelogramma,
d1, d2 - lunghezze di due diagonali,
α è l'angolo tra i lati,
γ è l'angolo tra le diagonali.

Se a, h sono noti, l'area richiesta viene determinata moltiplicando le lunghezze del lato e l'altezza abbassata su questo lato: S=a h
Se a, b, α sono noti, l'area del parallelogramma viene determinata moltiplicando le lunghezze dei lati del parallelogramma e il seno dell'angolo compreso tra questi lati: S=a b sin α
Se d 1 , d 2 , γ sono noti, l'area del parallelogramma è determinata come metà del prodotto delle lunghezze delle diagonali e del seno dell'angolo compreso tra queste diagonali: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Area di un rombo

Designazioni:

S è l'area richiesta,
a - lunghezza del lato,
h - lunghezza altezza,
α è l'angolo più piccolo tra i due lati,
d1, d2 - lunghezze di due diagonali.

Se a, h sono noti, l'area del rombo viene determinata moltiplicando la lunghezza del lato per la lunghezza dell'altezza che si abbassa su questo lato: S=a h
Se a, α sono noti, l'area del rombo viene determinata moltiplicando il quadrato della lunghezza del lato per il seno dell'angolo formato dai lati: S=a 2 sin α
Se d 1 e d 2 sono noti, l'area richiesta è determinata come metà del prodotto delle lunghezze delle diagonali del rombo: S=(d 1 d 2)/2

Area del trapezio

Designazioni:

Se a, b, c, d sono noti, l'area richiesta è determinata dalla formula: S= (a+b) /2 *√.
Noti a, b, h, l'area richiesta è determinata come il prodotto della metà della somma delle basi e dell'altezza del trapezio: S=(a+b)/2 h

Area di un quadrilatero convesso

Designazioni:

Se d 1 , d 2 , α sono noti, l'area di un quadrilatero convesso è determinata come la metà del prodotto delle diagonali del quadrilatero, moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra queste diagonali: S=(d 1 · d 2 · peccato α)/2
Per noti p, r, l'area di un quadrilatero convesso è determinata come il prodotto del semiperimetro del quadrilatero e del raggio del cerchio inscritto in tale quadrilatero: S=p r
Se si conoscono a, b, c, d, θ, l'area di un quadrilatero convesso è determinata come la radice quadrata del prodotto della differenza del semiperimetro e della lunghezza di ciascun lato meno il prodotto del lunghezze di tutti i lati e il quadrato del coseno della metà della somma di due angoli opposti: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+ β)/2)

Area di un cerchio

Designazioni:

Se r è noto, l'area richiesta viene determinata come il prodotto del numero π e del raggio quadrato: S=π r 2

Se d è noto, l'area del cerchio è determinata come il prodotto del numero π per il quadrato del diametro diviso per quattro: S=(π d 2)/4

Area di una figura complessa

Quelli complessi possono essere scomposti in forme geometriche semplici. L'area di una figura complessa è definita come la somma o la differenza delle aree che la compongono. Consideriamo, ad esempio, un anello.

Designazione:

Zona dell'anello S,
R, r - raggi del cerchio esterno e del cerchio interno, rispettivamente,
D, d sono rispettivamente i diametri dei cerchi esterno e interno.

Per trovare l'area dell'anello, devi sottrarre l'area dall'area del cerchio più grande cerchio più piccolo. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Pertanto, se R e r sono noti, l'area dell'anello è determinata come la differenza nei quadrati dei raggi dei cerchi esterno ed interno, moltiplicata per pi greco: S=π(R 2 -r 2).

Se D e d sono noti, l'area dell'anello viene determinata come un quarto della differenza tra i quadrati dei diametri dei cerchi esterno ed interno, moltiplicata per pi greco: S= (1/4)(D 2 -d2) π.

Zona di toppa

Supponiamo che all'interno di un quadrato (A) ce ne sia un altro (B) (di dimensioni più piccole), e dobbiamo trovare la cavità ombreggiata tra le figure "A" e "B". Diciamo la "cornice" di un quadratino. Per questo:

Trova l'area della figura "A" (calcolata utilizzando la formula per trovare l'area di un quadrato).
Allo stesso modo, troviamo l'area della figura "B".
Sottrai l'area "B" dall'area "A". E così otteniamo l'area della figura ombreggiata.

Ora sai come trovare aree di forme diverse.

Classe: 5

Secondo me, il compito dell’insegnante non è solo insegnare, ma sviluppare l’interesse cognitivo nello studente. Pertanto, quando possibile, collego gli argomenti della lezione con compiti pratici.

Durante la lezione, gli studenti, sotto la guida dell'insegnante, elaborano un piano di risoluzione dei problemi per trovare l'area di una “figura complessa” (per il calcolo delle stime di riparazione), consolidano le competenze nella risoluzione dei problemi per trovare l'area; si verifica lo sviluppo dell'attenzione, della capacità di attività di ricerca, dell'educazione all'attività e dell'indipendenza.

Lavorare in coppia crea una situazione di comunicazione tra chi possiede la conoscenza e chi la acquisisce; Questo lavoro si basa sul miglioramento della qualità della formazione in materia. Promuove lo sviluppo dell'interesse per il processo di apprendimento e una più profonda assimilazione del materiale educativo.

La lezione non solo sistematizza le conoscenze degli studenti, ma contribuisce anche allo sviluppo di capacità creative e analitiche. L'uso di problemi con contenuti pratici in classe ci consente di mostrare l'importanza delle conoscenze matematiche nella vita di tutti i giorni.

Obiettivi della lezione:

Educativo:

consolidamento della conoscenza delle formule per l'area di un rettangolo, triangolo rettangolo;
analisi dei compiti per il calcolo dell'area di una figura “complessa” e metodi per eseguirli;
completamento indipendente di compiti per testare conoscenze, abilità e abilità.

Educativo:

sviluppo di metodi di attività mentale e di ricerca;
sviluppare la capacità di ascoltare e spiegare il corso di una decisione.

Educativo:

sviluppare le capacità accademiche degli studenti;
coltivare una cultura del discorso matematico orale e scritto;
sviluppare un atteggiamento amichevole in classe e la capacità di lavorare in gruppo.

Tipo di lezione: combinato.

Attrezzatura:

Matematica: libro di testo per la 5a elementare. educazione generale istituzioni/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov et al., M.: “Mnemosyne”, 2010.
Schede per gruppi di studenti con forme per calcolare l'area di una forma complessa.
Strumenti di disegno.

Piano della lezione:

Organizzare il tempo.
Aggiornamento della conoscenza.
a) Domande teoriche (test).
b) Dichiarazione del problema.
Ho imparato nuovo materiale.
a) trovare una soluzione al problema;
b) soluzione del problema.
Fissare il materiale.
a) risoluzione collettiva dei problemi;
Minuto di educazione fisica.
b) lavoro autonomo.
Compiti a casa.
Riepilogo della lezione. Riflessione.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

Inizieremo la lezione con queste parole di commiato:

Matematica, amici,
Ne hanno assolutamente bisogno tutti.
Lavora diligentemente in classe
E il successo ti aspetterà sicuramente!

II. Aggiornamento della conoscenza.

UN) Lavoro frontale con carte segnaletiche (ogni studente ha delle carte con i numeri 1, 2, 3, 4; quando risponde a una domanda del test, lo studente alza una carta con il numero della risposta corretta).

1. Un centimetro quadrato è:

area di un quadrato con lato di 1 cm;
quadrato con lato 1 cm;
quadrato con perimetro di 1 cm.

2. L'area della figura mostrata in figura è pari a:

8 dm;
8 dm2;
15 dm2.

3. È vero che figure uguali hanno perimetro uguale e area uguale?

4. L'area di un rettangolo è determinata dalla formula:

S = a2;
S = 2 (a+b);
S = un b.

5. L'area della figura mostrata in figura è pari a:

12 centimetri;
8 cm;
16cm.

B) (Formulazione del problema). Compito. Quanta vernice è necessaria per dipingere un pavimento che ha la seguente forma (vedi figura), se si consumano 200 g di vernice per 1 m2?

III. Imparare nuovo materiale.

Cosa dobbiamo sapere per risolvere l’ultimo problema? (Trova l'area del pavimento che assomiglia a una "figura complessa".)

Gli studenti formulano l'argomento e gli obiettivi della lezione (se necessario, l'insegnante aiuta).

Considera un rettangolo ABCD. Tracciamo una linea al suo interno KPMN, rompendo il rettangolo ABCD in due parti: ABNMPK E KPMNCD.

Qual è la zona? ABCD? (15 cm²)

Qual è l'area della figura? ABMNPK? (7 cm²)

Qual è l'area della figura? KPMNCD? (8 cm²)

Analizza i tuoi risultati. (15= = 7 + 8)

Conclusione? (L'area dell'intera figura è uguale alla somma delle aree delle sue parti.)

S = S1 + S2

Come possiamo applicare questa proprietà per risolvere il nostro problema? (Dividiamo una figura complessa in parti, troviamo le aree delle parti, quindi l'area dell'intera figura.)

S1 = 72 = 14 (m2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S3 = 73 = 21 (m2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

Facciamo pace piano di risoluzione dei problemi per trovare l'area di una “figura complessa”:

Suddividiamo la figura in cifre semplici.
Trovare le aree di figure semplici.

a) Compito 1. Quante tessere saranno necessarie per realizzare un sito delle seguenti dimensioni:

S = S1 + S2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (dm 2)
S2 = 30 50 = 1500 (dm2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm2)

C'è un altro modo per risolvere? (Stiamo considerando le opzioni proposte.)

Risposta: 2100 dm 2.

Compito 2. (decisione collettiva sul consiglio e sui quaderni.) Quanti m2 di linoleum sono necessari per ristrutturare una stanza che ha la seguente forma:

S = S1 + S2
S1 = 3 2 = 6 (m2)
S2 = ((5 – 3)2) : 2 = 2 (m2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Risposta: 8 m2.

Minuto di educazione fisica.

E ora, ragazzi, alzatevi.
Alzarono rapidamente le mani.
Ai lati, avanti, indietro.
Girato a destra, a sinistra.
Si sedettero in silenzio e tornarono al lavoro.

b) Lavoro indipendente (educativo) .

Gli studenti sono divisi in gruppi (i numeri 5–8 sono più forti). Ogni gruppo è una squadra di riparazione.

Compito per le squadre: determinare quanta vernice è necessaria per dipingere un pavimento che ha la forma della figura mostrata sulla carta, se sono necessari 200 g di vernice per 1 m2.

Costruisci questa figura sul tuo taccuino, scrivi tutti i dati e inizi l'attività. Puoi discutere la soluzione (ma solo nel tuo gruppo!). Se un gruppo affronta rapidamente l'attività, gli viene assegnato un compito aggiuntivo (dopo aver controllato il lavoro indipendente).

Compiti per gruppi:

V. Compiti a casa.

paragrafo 18, n. 718, n. 749.

Compito aggiuntivo. Schema in pianta del Giardino Estivo (San Pietroburgo). Calcola la sua area.

VI. Riepilogo della lezione.

Riflessione. Continua la frase:

Oggi ho scoperto...
Era interessante…
Era difficile…
Ora posso…
Mi ha dato una lezione di vita...

Nella sezione precedente, dedicata all'analisi del significato geometrico di un integrale definito, abbiamo ricevuto una serie di formule per il calcolo dell'area di un trapezio curvilineo:

S (G) = ∫ a b f (x) d x per una funzione continua e non negativa y = f (x) sull'intervallo [ a ; B ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x per una funzione continua e non positiva y = f (x) sull'intervallo [ a ; B ] .

Queste formule sono applicabili alla risoluzione di problemi relativamente semplici. In realtà spesso dovremo lavorare con figure più complesse. A questo proposito dedicheremo questa sezione all'analisi degli algoritmi per il calcolo dell'area delle cifre limitate da funzioni in forma esplicita, ovvero come y = f(x) o x = g(y).

Teorema

Siano definite e continue le funzioni y = f 1 (x) e y = f 2 (x) sull'intervallo [ a ; b ] e f 1 (x) ≤ f 2 (x) per qualsiasi valore x da [ a ; B ] . Quindi la formula per calcolare l'area della figura G, delimitata dalle linee x = a, x = b, y = f 1 (x) e y = f 2 (x) sarà simile a S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Una formula simile sarà applicabile per l'area di una figura delimitata dalle linee y = c, y = d, x = g 1 (y) e x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Prova

Consideriamo tre casi per i quali la formula sarà valida.

Nel primo caso, tenendo conto della proprietà di additività dell'area, la somma delle aree della figura originaria G e del trapezio curvilineo G 1 è uguale all'area della figura G 2. Significa che

Pertanto, S (Sol) = S (Sol 2) - S (Sol 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Possiamo eseguire l'ultima transizione utilizzando la terza proprietà dell'integrale definito.

Nel secondo caso l’uguaglianza è vera: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

L'illustrazione grafica sarà simile a:

Se entrambe le funzioni sono non positive, otteniamo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . L'illustrazione grafica sarà simile a:

Passiamo a considerare il caso generale in cui y = f 1 (x) e y = f 2 (x) intersecano l'asse O x.

Indichiamo i punti di intersezione come x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Questi punti dividono il segmento [a; b] in n parti x i - 1; x io, io = 1, 2, . . . , n, dove α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Quindi,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Possiamo effettuare l'ultima transizione utilizzando la quinta proprietà dell'integrale definito.

Illustriamo il caso generale sul grafico.

La formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x può essere considerata provata.

Passiamo ora all'analisi degli esempi di calcolo dell'area delle figure limitate dalle linee y = f (x) e x = g (y).

Inizieremo la nostra considerazione di uno qualsiasi degli esempi costruendo un grafico. L'immagine ci permetterà di rappresentare forme complesse come unioni di forme più semplici. Se costruire grafici e figure su di essi è difficile per te, puoi studiare la sezione sulle funzioni elementari di base, la trasformazione geometrica dei grafici delle funzioni, nonché la costruzione di grafici mentre studi una funzione.

Esempio 1

È necessario determinare l'area della figura, che è limitata dalla parabola y = - x 2 + 6 x - 5 e dalle linee rette y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Soluzione

Disegniamo le linee sul grafico nel sistema di coordinate cartesiane.

Sul segmento [ 1 ; 4] il grafico della parabola y = - x 2 + 6 x - 5 si trova sopra la retta y = - 1 3 x - 1 2. A questo proposito, per ottenere la risposta utilizziamo la formula ottenuta in precedenza, nonché il metodo di calcolo dell'integrale definito utilizzando la formula di Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Risposta: S(G) = 13

Consideriamo un esempio più complesso.

Esempio 2

È necessario calcolare l'area della figura, che è limitata dalle linee y = x + 2, y = x, x = 7.

Soluzione

In questo caso abbiamo solo una retta parallela all'asse x. Questo è x = 7. Ciò richiede che noi stessi troviamo il secondo limite dell’integrazione.

Costruiamo un grafico e tracciamo su di esso le linee fornite nella formulazione del problema.

Avendo il grafico davanti agli occhi, possiamo facilmente determinare che il limite inferiore di integrazione sarà l'ascissa del punto di intersezione del grafico della retta y = x e della semiparabola y = x + 2. Per trovare l'ascissa usiamo le uguaglianze:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Risulta che l'ascissa del punto di intersezione è x = 2.

Attiriamo la vostra attenzione sul fatto che nell'esempio generale del disegno, le linee y = x + 2, y = x si intersecano nel punto (2; 2), quindi calcoli così dettagliati potrebbero sembrare non necessari. Abbiamo fornito qui una soluzione così dettagliata solo perché nei casi più complessi la soluzione potrebbe non essere così ovvia. Ciò significa che è sempre meglio calcolare analiticamente le coordinate dell'intersezione delle linee.

Nell'intervallo [ 2 ; 7] il grafico della funzione y = x si trova sopra il grafico della funzione y = x + 2. Applichiamo la formula per calcolare l'area:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Risposta: S (Sol) = 59 6

Esempio 3

È necessario calcolare l'area della figura, che è limitata dai grafici delle funzioni y = 1 x e y = - x 2 + 4 x - 2.

Soluzione

Tracciamo le linee sul grafico.

Definiamo i limiti dell'integrazione. Per fare ciò, determiniamo le coordinate dei punti di intersezione delle linee uguagliando le espressioni 1 x e - x 2 + 4 x - 2. A condizione che x non sia zero, l'uguaglianza 1 x = - x 2 + 4 x - 2 diventa equivalente all'equazione di terzo grado - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 a coefficienti interi. Per rinfrescare la memoria sull'algoritmo per risolvere tali equazioni, possiamo fare riferimento alla sezione "Risoluzione di equazioni cubiche".

La radice di questa equazione è x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dividendo l'espressione - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 per il binomio x - 1, otteniamo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x -1) = 0

Possiamo trovare le radici rimanenti dall'equazione x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Abbiamo trovato l'intervallo x ∈ 1; 3 + 13 2, in cui la figura G è contenuta sopra la linea blu e sotto la linea rossa. Questo ci aiuta a determinare l'area della figura:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Risposta: S (Sol) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Esempio 4

È necessario calcolare l'area della figura, che è limitata dalle curve y = x 3, y = - log 2 x + 1 e dall'asse delle ascisse.

Soluzione

Tracciamo tutte le linee sul grafico. Possiamo ottenere il grafico della funzione y = - log 2 x + 1 dal grafico y = log 2 x se lo posizioniamo simmetricamente rispetto all'asse x e lo spostiamo di un'unità. L'equazione dell'asse x è y = 0.

Segniamo i punti di intersezione delle linee.

Come si vede dalla figura, i grafici delle funzioni y = x 3 e y = 0 si intersecano nel punto (0; 0). Ciò accade perché x = 0 è l'unica radice reale dell'equazione x 3 = 0.

x = 2 è l'unica radice dell'equazione - log 2 x + 1 = 0, quindi i grafici delle funzioni y = - log 2 x + 1 e y = 0 si intersecano nel punto (2; 0).

x = 1 è l'unica radice dell'equazione x 3 = - log 2 x + 1 . A questo proposito i grafici delle funzioni y = x 3 e y = - log 2 x + 1 si intersecano nel punto (1; 1). L'ultima affermazione potrebbe non essere ovvia, ma l'equazione x 3 = - log 2 x + 1 non può avere più di una radice, poiché la funzione y = x 3 è strettamente crescente e la funzione y = - log 2 x + 1 è strettamente decrescente.

L'ulteriore soluzione prevede diverse opzioni.

Opzione 1

Possiamo immaginare la figura G come la somma di due trapezi curvilinei posti sopra l'asse x, il primo dei quali si trova sotto la linea mediana sul segmento x ∈ 0; 1, e il secondo è sotto la linea rossa sul segmento x ∈ 1; 2. Ciò significa che l'area sarà pari a S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opzione n. 2

La figura G può essere rappresentata come la differenza di due figure, la prima delle quali si trova sopra l'asse x e sotto la linea blu sul segmento x ∈ 0; 2, e la seconda tra le linee rossa e blu sul segmento x ∈ 1; 2. Questo ci permette di trovare l'area come segue:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

In questo caso, per trovare l'area dovrai utilizzare una formula della forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Infatti le linee che delimitano la figura possono essere rappresentate come funzioni dell'argomento y.

Risolviamo le equazioni y = x 3 e - log 2 x + 1 rispetto a x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Otteniamo l'area richiesta:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Risposta: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Esempio 5

È necessario calcolare l'area della figura, che è limitata dalle linee y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Soluzione

Con una linea rossa tracciamo la linea definita dalla funzione y = x. Disegniamo la linea y = - 1 2 x + 4 in blu e la linea y = 2 3 x - 3 in nero.

Segniamo i punti di intersezione.

Troviamo i punti di intersezione dei grafici delle funzioni y = x e y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Verifica: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 not È la soluzione dell'equazione x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 è la soluzione dell'equazione ⇒ (4; 2) punto di intersezione i y = x e y = - 1 2 x +4

Troviamo il punto di intersezione dei grafici delle funzioni y = x e y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Controlla: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 è la soluzione dell'equazione ⇒ (9 ; 3) punto a s y = xey = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Non esiste soluzione all'equazione

Troviamo il punto di intersezione delle linee y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punto di intersezione y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3

Metodo n. 1

Immaginiamo l'area della figura desiderata come la somma delle aree delle singole figure.

Allora l'area della figura è:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metodo n. 2

L'area della figura originale può essere rappresentata come la somma di altre due figure.

Quindi risolviamo l'equazione della linea relativa a x e solo dopo applichiamo la formula per calcolare l'area della figura.

y = x ⇒ x = y 2 linea rossa y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linea nera y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Quindi l'area è:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Come puoi vedere, i valori sono gli stessi.

Risposta: S (Sol) = 11 3

Risultati

Per trovare l'area di una figura limitata da determinate linee, dobbiamo costruire le linee su un piano, trovare i loro punti di intersezione e applicare la formula per trovare l'area. In questa sezione, abbiamo esaminato le varianti più comuni delle attività.

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Esistono un'infinità di figure piatte di varie forme, sia regolari che irregolari. La proprietà comune di tutte le figure è che ciascuna di esse ha un'area. Le aree delle figure sono le dimensioni della parte del piano occupata da queste figure, espresse in determinate unità. Questo valore è sempre espresso come un numero positivo. L'unità di misura è l'area di un quadrato il cui lato è uguale a un'unità di lunghezza (ad esempio un metro o un centimetro). L'area approssimativa di qualsiasi figura può essere calcolata moltiplicando il numero di quadrati unitari in cui è divisa per l'area di un quadrato.

Altre definizioni di questo concetto sono le seguenti:

1. Le aree di figure semplici sono quantità scalari positive che soddisfano le condizioni:

Figure uguali hanno aree uguali;

Se una figura è divisa in parti (figure semplici), allora la sua area è la somma delle aree di queste figure;

Un quadrato con un lato di un'unità di misura funge da unità di area.

2. Le aree delle figure di forma complessa (poligoni) sono quantità positive con le seguenti proprietà:

Poligoni uguali hanno le stesse dimensioni dell'area;

Se un poligono è formato da più poligoni, la sua area è uguale alla somma delle aree di questi ultimi. Questa regola è valida per i poligoni non sovrapposti.

È accettato come assioma che le aree delle figure (poligoni) siano quantità positive.

La definizione dell'area di un cerchio è data separatamente come il valore al quale tende l'area di un dato cerchio inscritto in un cerchio, nonostante il numero dei suoi lati tenda all'infinito.

Le aree delle figure di forma irregolare (figure arbitrarie) non hanno una definizione; vengono determinati solo i metodi per calcolarle.

Già nell'antichità il calcolo delle superfici costituiva un compito pratico importante per determinare la dimensione dei terreni. Le regole per il calcolo delle aree su diverse centinaia di anni furono formulate da scienziati greci e esposte come teoremi negli Elementi di Euclide. È interessante notare che le regole per determinare le aree delle figure semplici in esse contenute sono le stesse di oggi. Le zone con contorno curvo sono state calcolate utilizzando il passaggio al limite.

Calcolare le aree di un semplice rettangolo o quadrato), familiare a tutti a scuola, è abbastanza semplice. Non è nemmeno necessario memorizzare le formule per le aree delle figure contenenti simboli di lettere. Basta ricordare alcune semplici regole:

2. L'area di un rettangolo viene calcolata moltiplicando la sua lunghezza per la sua larghezza. È necessario che la lunghezza e la larghezza siano espresse nelle stesse unità di misura.

3. Calcoliamo l'area di una figura complessa dividendola in più semplici e sommando le aree risultanti.

4. La diagonale di un rettangolo lo divide in due triangoli le cui aree sono uguali e pari alla metà della sua area.

5. L'area di un triangolo è calcolata come metà del prodotto della sua altezza e base.

6. L'area di un cerchio è uguale al prodotto del quadrato del raggio e del noto numero "π".

7. Calcoliamo l'area di un parallelogramma come il prodotto dei lati adiacenti e il seno dell'angolo compreso tra loro.

8. L'area di un rombo è ½ il risultato della moltiplicazione delle diagonali per il seno dell'angolo interno.

9. Troviamo l'area di un trapezio moltiplicando la sua altezza per la lunghezza della linea mediana, che è uguale alla media aritmetica delle basi. Un'altra opzione per determinare l'area di un trapezio è moltiplicare le sue diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro.

Per chiarezza, ai bambini delle scuole elementari spesso vengono affidati dei compiti: trovare l'area di una figura disegnata su carta utilizzando una tavolozza o un foglio di carta trasparente diviso in quadrati. Tale foglio di carta viene posizionato sulla figura misurata, viene contato il numero di celle complete (unità di area) che rientrano nel suo contorno, quindi il numero di celle incomplete, che viene diviso a metà.