Come calcolare la formula di progressione aritmetica. Progressione aritmetica: cos'è? Differenza di progressione: definizione

Oppure l'aritmetica è un tipo di sequenza numerica ordinata, le cui proprietà vengono studiate in un corso di algebra scolastica. Questo articolo discute in dettaglio la questione di come trovare la somma di una progressione aritmetica.

Che tipo di progressione è questa?

Prima di passare alla questione (come trovare la somma di una progressione aritmetica), è bene capire di cosa stiamo parlando.

Qualsiasi sequenza di numeri reali ottenuta aggiungendo (sottraendo) un valore da ciascun numero precedente è chiamata progressione algebrica (aritmetica). Questa definizione, tradotta in linguaggio matematico, assume la forma:

Qui i è il numero seriale dell'elemento della riga a i. Pertanto, conoscendo un solo numero iniziale, puoi facilmente ripristinare l'intera serie. Il parametro d nella formula è chiamato differenza di progressione.

Si può facilmente dimostrare che per la serie di numeri in esame vale la seguente uguaglianza:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Cioè, per trovare il valore dell'ennesimo elemento in ordine, dovresti aggiungere la differenza d al primo elemento a 1 n-1 volte.

Qual è la somma di una progressione aritmetica: formula

Prima di fornire la formula per l'importo indicato, vale la pena considerare un semplice caso speciale. Data una progressione di numeri naturali da 1 a 10, devi calcolarne la somma. Dato che nella progressione (10) ci sono pochi termini, è possibile risolvere il problema frontalmente, cioè sommare tutti gli elementi in ordine.

S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vale la pena considerare una cosa interessante: poiché ogni termine differisce dal successivo dello stesso valore d = 1, la somma a coppie del primo con il decimo, del secondo con il nono e così via darà lo stesso risultato. Veramente:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Come puoi vedere, queste somme sono solo 5, cioè esattamente due volte inferiori al numero degli elementi della serie. Moltiplicando poi il numero di somme (5) per il risultato di ciascuna somma (11), si arriverà al risultato ottenuto nel primo esempio.

Se generalizziamo questi argomenti, possiamo scrivere la seguente espressione:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Questa espressione mostra che non è affatto necessario sommare tutti gli elementi di una riga; è sufficiente conoscere il valore del primo a 1 e dell'ultimo a n, nonché il numero totale dei termini n.

Si ritiene che Gauss abbia pensato per la prima volta a questa uguaglianza mentre cercava una soluzione a un problema posto dal suo insegnante di scuola: sommare i primi 100 numeri interi.

Somma degli elementi da m a n: formula

La formula riportata nel paragrafo precedente risponde alla domanda su come trovare la somma di una progressione aritmetica (i primi elementi), ma spesso nei problemi è necessario sommare una serie di numeri a metà della progressione. Come farlo?

Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è considerare il seguente esempio: sia necessario trovare la somma dei termini dall'm-esimo all'n-esimo. Per risolvere il problema, dovresti presentare il segmento dato da m a n della progressione sotto forma di una nuova serie numerica. In questa rappresentazione, l'm-esimo termine a m sarà il primo e a n sarà numerato n-(m-1). In questo caso, applicando la formula standard per la somma, si otterrà la seguente espressione:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Esempio di utilizzo delle formule

Sapendo come trovare la somma di una progressione aritmetica, vale la pena considerare un semplice esempio di utilizzo delle formule di cui sopra.

Di seguito una sequenza numerica, dovresti trovare la somma dei suoi termini, partendo dal 5 e terminando con il 12:

I numeri indicati indicano che la differenza d è uguale a 3. Utilizzando l'espressione per l'ennesimo elemento, puoi trovare i valori del 5° e 12° termine della progressione. Si scopre:

a5 = a1 + d*4 = -4+3*4 = 8;
a12 = a1 + d*11 = -4+3*11 = 29.

Conoscendo i valori dei numeri agli estremi della progressione algebrica in esame, nonché sapendo quali numeri della serie occupano, è possibile utilizzare la formula per la somma ottenuta nel paragrafo precedente. Risulterà:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Vale la pena notare che questo valore potrebbe essere ottenuto in modo diverso: prima trovare la somma dei primi 12 elementi utilizzando la formula standard, quindi calcolare la somma dei primi 4 elementi utilizzando la stessa formula, quindi sottrarre il secondo dalla prima somma.

Quindi sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:
Puoi scrivere qualsiasi numero e possono essercene quanti vuoi (nel nostro caso ce ne sono). Non importa quanti numeri scriviamo, possiamo sempre dire quale è il primo, quale è il secondo e così via fino all'ultimo, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica:

Sequenza numerica
Ad esempio, per la nostra sequenza:

Il numero assegnato è specifico per un solo numero nella sequenza. In altre parole, non ci sono numeri di tre secondi nella sequenza. Il secondo numero (come il numero 10) è sempre lo stesso.
Il numero con numero è chiamato l'esimo termine della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza con una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza è la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

Nel nostro caso:

Diciamo di avere una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.
Per esempio:

eccetera.
Questa sequenza numerica è chiamata progressione aritmetica.
Il termine "progressione" fu introdotto dall'autore romano Boezio già nel VI secolo e fu inteso in un senso più ampio come una sequenza numerica infinita. Il nome "aritmetica" è stato trasferito dalla teoria delle proporzioni continue, studiata dagli antichi greci.

Questa è una sequenza numerica, ciascun membro della quale è uguale al precedente sommato allo stesso numero. Questo numero è chiamato differenza di una progressione aritmetica ed è designato.

Prova a determinare quali sequenze numeriche sono una progressione aritmetica e quali no:

UN)
B)
C)
D)

Fatto? Confrontiamo le nostre risposte:
È progressione aritmetica - b, c.
Non è progressione aritmetica - a, d.

Torniamo alla progressione data () e proviamo a trovare il valore del suo-esimo termine. Esiste due modo per trovarlo.

1. Metodo

Possiamo aggiungere il numero di progressione al valore precedente fino a raggiungere il trentesimo termine della progressione. È positivo che non abbiamo molto da riassumere: solo tre valori:

Quindi, l'esimo termine della progressione aritmetica descritta è uguale a.

2. Metodo

E se volessimo trovare il valore dell'esimo termine della progressione? La somma richiederebbe più di un'ora e non è un dato di fatto che non commetteremo errori nell'addizione dei numeri.
Naturalmente i matematici hanno escogitato un modo in cui non è necessario aggiungere la differenza di una progressione aritmetica al valore precedente. Dai un'occhiata più da vicino all'immagine disegnata... Sicuramente hai già notato un certo schema, vale a dire:

Vediamo ad esempio in cosa consiste il valore dell’esimo termine di questa progressione aritmetica:

In altre parole:

Prova a trovare tu stesso il valore di un membro di una determinata progressione aritmetica in questo modo.

Hai calcolato? Confronta i tuoi appunti con la risposta:

Tieni presente che hai ottenuto esattamente lo stesso numero del metodo precedente, quando abbiamo aggiunto in sequenza i termini della progressione aritmetica al valore precedente.
Proviamo a “spersonalizzare” questa formula: mettiamola in forma generale e otteniamo:

Equazione di progressione aritmetica.

Le progressioni aritmetiche possono essere crescenti o decrescenti.

Crescente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è maggiore del precedente.
Per esempio:

Discendente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è inferiore al precedente.
Per esempio:

La formula derivata viene utilizzata nel calcolo dei termini sia in termini crescenti che decrescenti di una progressione aritmetica.
Controlliamolo in pratica.
Ci viene data una progressione aritmetica composta dai seguenti numeri: Controlliamo quale sarà l'esimo numero di questa progressione aritmetica se utilizziamo la nostra formula per calcolarla:

Da allora:

Pertanto, siamo convinti che la formula operi sia in progressione aritmetica decrescente che crescente.
Prova a trovare tu stesso l'esimo e l'esimo termine di questa progressione aritmetica.

Confrontiamo i risultati:

Proprietà di progressione aritmetica

Complichiamo il problema: ricaveremo la proprietà della progressione aritmetica.
Diciamo che ci viene data la seguente condizione:
- progressione aritmetica, trova il valore.
Facile, dici e inizi a contare secondo la formula che già conosci:

Lasciamo, ah, allora:

Assolutamente giusto. Si scopre che prima troviamo, quindi lo aggiungiamo al primo numero e otteniamo ciò che stiamo cercando. Se la progressione è rappresentata da piccoli valori, non c'è nulla di complicato in questo, ma cosa succede se nella condizione ci vengono forniti dei numeri? D'accordo, c'è la possibilità di commettere un errore nei calcoli.
Ora pensa se è possibile risolvere questo problema in un solo passaggio utilizzando qualsiasi formula? Naturalmente sì, ed è quello che cercheremo di far emergere adesso.

Indichiamo il termine richiesto della progressione aritmetica come, la formula per trovarlo ci è nota - questa è la stessa formula che abbiamo derivato all'inizio:
, Poi:

il termine precedente della progressione è:
il termine successivo della progressione è:

Riassumiamo i termini precedenti e successivi della progressione:

Risulta che la somma dei termini precedente e successivo della progressione è il doppio valore del termine di progressione situato tra di loro. In altre parole, per trovare il valore di un termine di progressione con valori precedenti e successivi noti, è necessario sommarli e dividere per.

Esatto, abbiamo lo stesso numero. Mettiamo al sicuro il materiale. Calcola tu stesso il valore della progressione, non è affatto difficile.

Ben fatto! Sai quasi tutto sulla progressione! Resta da scoprire solo una formula che, secondo la leggenda, fu facilmente dedotta da uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, il "re dei matematici" - Karl Gauss...

Quando Carl Gauss aveva 9 anni, un insegnante, impegnato a controllare il lavoro degli studenti di altre classi, assegnò in classe il seguente compito: "Calcola la somma di tutti i numeri naturali da a (secondo altre fonti a) compreso". Immaginate la sorpresa dell'insegnante quando uno dei suoi studenti (era Karl Gauss) un minuto dopo diede la risposta corretta al compito, mentre la maggior parte dei compagni di classe del temerario, dopo lunghi calcoli, ricevettero il risultato sbagliato...

Il giovane Carl Gauss notò un certo schema che puoi facilmente notare anche tu.
Diciamo di avere una progressione aritmetica composta da -esimi termini: dobbiamo trovare la somma di questi termini della progressione aritmetica. Naturalmente possiamo sommare manualmente tutti i valori, ma cosa succede se il compito richiede di trovare la somma dei suoi termini, come cercava Gauss?

Descriviamo la progressione che ci è stata data. Dai un'occhiata più da vicino ai numeri evidenziati e prova a eseguire varie operazioni matematiche con essi.

L'hai provato? Cosa hai notato? Giusto! Le loro somme sono uguali

Ora dimmi, quante coppie di questo tipo ci sono in totale nella progressione che ci è stata data? Naturalmente, esattamente la metà di tutti i numeri.
Basandosi sul fatto che la somma di due termini di una progressione aritmetica è uguale, e le coppie simili sono uguali, otteniamo che la somma totale è pari a:
.
Pertanto, la formula per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

In alcuni problemi non conosciamo l'esimo termine, ma conosciamo la differenza della progressione. Prova a sostituire la formula dell'esimo termine nella formula della somma.
Cosa hai preso?

Ben fatto! Ora torniamo al problema posto a Carl Gauss: calcola tu stesso a cosa è uguale la somma dei numeri che iniziano dal th e la somma dei numeri che iniziano dal th.

Quanto hai ottenuto?
Gauss scoprì che la somma dei termini è uguale e la somma dei termini. È questo che hai deciso?

In effetti, la formula per la somma dei termini di una progressione aritmetica fu dimostrata dall'antico scienziato greco Diofanto nel III secolo e durante tutto questo tempo le persone spiritose sfruttarono appieno le proprietà della progressione aritmetica.
Ad esempio, immagina l'Antico Egitto e il più grande progetto di costruzione di quel tempo: la costruzione di una piramide... L'immagine ne mostra un lato.

Dov'è la progressione qui, dici? Osserva attentamente e trova uno schema nel numero di blocchi di sabbia in ciascuna fila del muro della piramide.

Perché non una progressione aritmetica? Calcola quanti blocchi sono necessari per costruire un muro se i mattoni sono posizionati alla base. Spero che non conterai muovendo il dito sul monitor, ricordi l'ultima formula e tutto quello che abbiamo detto sulla progressione aritmetica?

In questo caso, la progressione è la seguente: .
Differenza di progressione aritmetica.
Il numero di termini di una progressione aritmetica.
Sostituiamo i nostri dati nelle ultime formule (calcola il numero di blocchi in 2 modi).

Metodo 1.

Metodo 2.

E ora puoi calcolare sul monitor: confronta i valori ottenuti con il numero di blocchi presenti nella nostra piramide. Fatto? Ben fatto, hai padroneggiato la somma degli n-esimi termini di una progressione aritmetica.
Ovviamente non puoi costruire una piramide con i blocchi alla base, ma da? Prova a calcolare quanti mattoni di sabbia sono necessari per costruire un muro con questa condizione.
Sei riuscito?
La risposta corretta è blocchi:

Formazione

Compiti:

Masha si sta rimettendo in forma per l'estate. Ogni giorno aumenta il numero di squat di. Quante volte Masha farà gli squat in una settimana se li ha fatti al primo allenamento?
Qual è la somma di tutti i numeri dispari contenuti in.
Quando archiviano i log, i logger li impilano in modo tale che ogni strato superiore contenga un log in meno rispetto al precedente. Quanti tronchi ci sono in una muratura, se la fondazione della muratura è costituita da tronchi?

Risposte:

Definiamo i parametri della progressione aritmetica. In questo caso
(settimane = giorni).
Risposta: Tra due settimane, Masha dovrebbe fare squat una volta al giorno.
Primo numero dispari, ultimo numero.
Differenza di progressione aritmetica.
Il numero di numeri dispari è la metà, tuttavia controlliamo questo fatto utilizzando la formula per trovare l'esimo termine di una progressione aritmetica:
I numeri contengono numeri dispari.
Sostituiamo i dati disponibili nella formula:
Risposta: La somma di tutti i numeri dispari contenuti è uguale.
Ricordiamo il problema delle piramidi. Nel nostro caso, a , poiché ogni strato superiore viene ridotto di un log, quindi in totale ci sono un mucchio di strati.
Sostituiamo i dati nella formula:
Risposta: Ci sono tronchi nella muratura.

Riassumiamo

- una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale. Può essere in aumento o in diminuzione.
Trovare la formula L'esimo termine di una progressione aritmetica è scritto dalla formula - , dove è il numero di numeri nella progressione.
Proprietà dei membri di una progressione aritmetica- - dove è il numero di numeri in progressione.
La somma dei termini di una progressione aritmetica può essere trovato in due modi:

, dove è il numero di valori.

PROGRESSIONE ARITMETICA. LIVELLO MEDIO

Sequenza numerica

Sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:

Puoi scrivere qualsiasi numero e possono essercene quanti vuoi. Ma possiamo sempre dire quale è il primo, quale il secondo e così via, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica.

Sequenza numericaè un insieme di numeri, a ciascuno dei quali può essere assegnato un numero univoco.

In altre parole, ogni numero può essere associato a un certo numero naturale e unico. E non assegneremo questo numero a nessun altro numero di questo set.

Il numero con numero è chiamato l'esimo membro della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza con una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza è la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

È molto conveniente se l'esimo termine della successione può essere specificato da qualche formula. Ad esempio, la formula

imposta la sequenza:

E la formula è la seguente sequenza:

Ad esempio, una progressione aritmetica è una sequenza (il primo termine qui è uguale e la differenza lo è). Oppure (, differenza).

formula dell'ennesimo termine

Chiamiamo ricorrente una formula in cui, per scoprire l'esimo termine, è necessario conoscere il precedente o più precedenti:

Per trovare, ad esempio, l'esimo termine della progressione utilizzando questa formula, dovremo calcolare i nove precedenti. Ad esempio, lascialo. Poi:

Bene, ora è chiaro qual è la formula?

In ogni riga aggiungiamo, moltiplicato per un numero. Quale? Molto semplice: questo è il numero del membro attuale meno:

Molto più conveniente adesso, vero? Controlliamo:

Decidi tu stesso:

In una progressione aritmetica, trova la formula per l'ennesimo termine e trova il centesimo termine.

Soluzione:

Il primo termine è uguale. Qual è la differenza? Ecco cosa:

(Per questo si chiama differenza perché è uguale alla differenza di termini successivi della progressione).

Quindi, la formula:

Allora il centesimo termine è uguale a:

Qual è la somma di tutti i numeri naturali da a?

Secondo la leggenda, il grande matematico Carl Gauss, da bambino di 9 anni, calcolò questo importo in pochi minuti. Notò che la somma del primo e dell'ultimo numero è uguale, la somma del secondo e del penultimo è uguale, la somma del terzo e del terzo dalla fine è uguale, e così via. Quante coppie di questo tipo ci sono in totale? Esatto, esattamente la metà di tutti i numeri, cioè. COSÌ,

La formula generale per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

Esempio:
Trova la somma di tutti i multipli a due cifre.

Soluzione:

Il primo di questi numeri è questo. Ogni numero successivo si ottiene aggiungendo al numero precedente. Pertanto, i numeri che ci interessano formano una progressione aritmetica con il primo termine e la differenza.

Formula dell'esimo termine per questa progressione:

Quanti termini ci sono nella progressione se devono essere tutti a due cifre?

Molto facile: .

L'ultimo termine della progressione sarà uguale. Quindi la somma:

Risposta: .

Ora decidi tu stesso:

Ogni giorno l'atleta percorre più metri rispetto al giorno precedente. Quanti chilometri totali correrà in una settimana se ha corso km m il primo giorno?
Ogni giorno un ciclista percorre più chilometri del giorno precedente. Il primo giorno ha percorso km. Quanti giorni ha bisogno di viaggiare per percorrere un chilometro? Quanti chilometri percorrerà durante l'ultimo giorno del suo viaggio?
Il prezzo di un frigorifero in un negozio diminuisce della stessa quantità ogni anno. Determina quanto è diminuito il prezzo di un frigorifero ogni anno se, messo in vendita per rubli, sei anni dopo è stato venduto per rubli.

Risposte:

La cosa più importante qui è riconoscere la progressione aritmetica e determinarne i parametri. In questo caso, (settimane = giorni). È necessario determinare la somma dei primi termini di questa progressione:
.
Risposta:
Qui è dato: , deve essere trovato.
Ovviamente, è necessario utilizzare la stessa formula di somma del problema precedente:
.
Sostituisci i valori:
La radice ovviamente non va bene, quindi la risposta è.
Calcoliamo il percorso percorso nell'ultimo giorno utilizzando la formula dell'esimo termine:
(km).
Risposta:
Dato: . Trovare: .
Non potrebbe essere più semplice:
(strofinare).
Risposta:

PROGRESSIONE ARITMETICA. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Questa è una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.

La progressione aritmetica può essere crescente () e decrescente ().

Per esempio:

Formula per trovare l'ennesimo termine di una progressione aritmetica

è scritto dalla formula, dove è il numero di numeri in progressione.

Proprietà dei membri di una progressione aritmetica

Ti consente di trovare facilmente un termine di una progressione se sono noti i termini vicini: dov'è il numero di numeri nella progressione.

Somma dei termini di una progressione aritmetica

Esistono due modi per trovare l'importo:

Dov'è il numero di valori.

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In matematica, qualsiasi insieme di numeri che si susseguono, organizzati in qualche modo, è chiamato sequenza. Di tutte le sequenze di numeri esistenti, si distinguono due casi interessanti: progressioni algebriche e geometriche.

Cos'è una progressione aritmetica?

Va detto subito che la progressione algebrica è spesso chiamata aritmetica, poiché le sue proprietà sono studiate dal ramo della matematica: l'aritmetica.

Questa progressione è una sequenza di numeri in cui ciascun membro successivo differisce dal precedente per un certo numero costante. Si chiama differenza di una progressione algebrica. Per chiarezza lo denotiamo con la lettera latina d.

Un esempio di tale sequenza potrebbe essere il seguente: 3, 5, 7, 9, 11 ..., qui puoi vedere che il numero 5 è maggiore del numero 3 per 2, 7 è maggiore di 5 per 2, e Presto. Pertanto, nell'esempio presentato, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Quali sono i tipi di progressioni aritmetiche?

La natura di queste sequenze ordinate di numeri è in gran parte determinata dal segno del numero d. Si distinguono i seguenti tipi di progressioni algebriche:

crescente quando d è positivo (d>0);
costante quando d = 0;
decrescente quando d è negativo (d<0).

L'esempio riportato nel paragrafo precedente mostra una progressione crescente. Un esempio di sequenza decrescente è la seguente sequenza di numeri: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Una progressione costante, come segue dalla sua definizione, è una raccolta di numeri identici.

ennesimo termine di progressione

Poiché ogni numero successivo nella progressione in esame differisce di una costante d dal precedente, il suo ennesimo termine può essere facilmente determinato. Per fare ciò, devi conoscere non solo d, ma anche a 1, il primo termine della progressione. Utilizzando un approccio ricorsivo, è possibile ottenere una formula di progressione algebrica per trovare l'ennesimo termine. Sembra: a n = a 1 + (n-1)*d. Questa formula è abbastanza semplice e può essere compresa intuitivamente.

Inoltre non è difficile da usare. Ad esempio, nella progressione sopra riportata (d=2, a 1 =3), definiamo il suo 35° termine. Secondo la formula sarà uguale a: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

Formula per l'importo

Quando viene data una progressione aritmetica, la somma dei suoi primi n termini è un problema riscontrato frequentemente, insieme alla determinazione del valore dell'n-esimo termine. La formula per la somma di una progressione algebrica è scritta nella seguente forma: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, qui il simbolo ∑ n 1 indica che i termini dal 1° all'n-esimo sono sommati.

L'espressione di cui sopra può essere ottenuta ricorrendo alle proprietà della stessa ricorsione, ma esiste un modo più semplice per dimostrarne la validità. Scriviamo i primi 2 e gli ultimi 2 termini di questa somma, esprimendoli in numeri a 1, a n e d, e otteniamo: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Notiamo ora che se sommiamo il primo termine all'ultimo, sarà esattamente uguale alla somma del secondo e penultimo termine, cioè a 1 +a n. In modo analogo si può dimostrare che la stessa somma può essere ottenuta sommando il terzo e penultimo termine, e così via. Nel caso di una coppia di numeri nella sequenza, otteniamo n/2 somme, ciascuna delle quali è uguale a a 1 +a n. Otteniamo cioè la formula sopra riportata per la progressione algebrica della somma: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Per un numero spaiato di termini n si ottiene una formula simile se si segue il ragionamento descritto. Ricorda solo di aggiungere il termine rimanente, che si trova al centro della progressione.

Mostriamo come utilizzare la formula sopra utilizzando l'esempio di una semplice progressione introdotta sopra (3, 5, 7, 9, 11 ...). Ad esempio, è necessario determinare la somma dei suoi primi 15 termini. Per prima cosa definiamo un 15. Utilizzando la formula per l'n-esimo termine (vedi paragrafo precedente), otteniamo: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Ora possiamo applicare la formula per la somma di una progressione algebrica: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

È interessante citare un fatto storico interessante. La formula per la somma di una progressione aritmetica fu ottenuta per la prima volta da Carl Gauss (il famoso matematico tedesco del XVIII secolo). Quando aveva solo 10 anni, il suo insegnante gli chiese di trovare la somma dei numeri da 1 a 100. Si dice che il piccolo Gauss risolse questo problema in pochi secondi, notando che sommando i numeri dall'inizio e dalla fine della sequenza a coppie si può sempre ottenere 101, e poiché ci sono 50 somme di questo tipo, ha rapidamente dato la risposta: 50*101 = 5050.

Esempio di soluzione del problema

Per completare l'argomento della progressione algebrica, daremo un esempio di risoluzione di un altro problema interessante, rafforzando così la comprensione dell'argomento in esame. Sia data una certa progressione di cui sia nota la differenza d = -3, nonché il suo 35° termine a 35 = -114. È necessario trovare il 7° termine della progressione a 7 .

Come si vede dalle condizioni del problema, il valore di a 1 è sconosciuto, quindi non sarà possibile utilizzare direttamente la formula per l'ennesimo termine. Anche il metodo ricorsivo è scomodo, difficile da implementare manualmente e c'è un'alta probabilità di commettere un errore. Procediamo così: scriviamo le formule per a 7 e a 35, abbiamo: a 7 = a 1 + 6*d e a 35 = a 1 + 34*d. Sottraendo la seconda dalla prima espressione, otteniamo: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Ne consegue: a 7 = a 35 - 28*d. Resta da sostituire i dati noti della formulazione del problema e scrivere la risposta: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Progressione geometrica

Per rivelare più completamente l'argomento dell'articolo, forniamo una breve descrizione di un altro tipo di progressione: geometrica. In matematica, questo nome è inteso come una sequenza di numeri in cui ogni termine successivo differisce dal precedente di un certo fattore. Indichiamo questo fattore con la lettera r. Si chiama denominatore del tipo di progressione in esame. Un esempio di questa sequenza numerica sarebbe: 1, 5, 25, 125, ...

Come si può vedere dalla definizione di cui sopra, le progressioni algebriche e geometriche hanno un'idea simile. La differenza tra loro è che il primo cambia più lentamente del secondo.

La progressione geometrica può anche essere crescente, costante o decrescente. Il suo tipo dipende dal valore del denominatore r: se r>1 allora si ha una progressione crescente, se r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Formule di progressione geometrica

Come nel caso dell'algebrica, le formule di una progressione geometrica si riducono a determinare il suo n-esimo termine e la somma di n termini. Di seguito sono riportate queste espressioni:

a n = a 1 *r (n-1) - questa formula deriva dalla definizione di progressione geometrica.
∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). È importante notare che se r = 1, allora la formula sopra dà incertezza, quindi non può essere utilizzata. In questo caso la somma di n termini sarà uguale al prodotto semplice a 1 *n.

Ad esempio, troviamo la somma di soli 10 termini della sequenza 1, 5, 25, 125, ... Sapendo che a 1 = 1 e r = 5, otteniamo: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Il valore risultante è un chiaro esempio di quanto velocemente cresce la progressione geometrica.

Forse la prima menzione di questo progresso nella storia è la leggenda della scacchiera, quando un amico di un sultano, dopo avergli insegnato a giocare a scacchi, chiese del grano per il suo servizio. Inoltre la quantità di grani avrebbe dovuto essere la seguente: sulla prima casella della scacchiera bisogna mettere un granello, sulla seconda il doppio che sulla prima, sulla terza il doppio che sulla seconda, e così via . Il Sultano accettò di buon grado di esaudire questa richiesta, ma non sapeva che avrebbe dovuto svuotare tutti i bidoni del suo paese per mantenere la parola data.