Funzione y=sinx, sue principali proprietà e grafico. Funzioni y = sin x, y = cos x, loro proprietà e grafici - Ipermercato della Conoscenza Il grafico della funzione y è uguale a seno x

"Collegio Yoshkar-Ola delle tecnologie dei servizi"

Costruzione e studio del grafico della funzione trigonometrica y=sinx in un foglio di calcoloSM Eccellere

/sviluppo metodologico/

Yoškar – Ola

Soggetto. Costruzione e studio del grafico di una funzione trigonometricasì = sinx nel foglio di calcolo di MS Excel

Tipo di lezione– integrato (acquisire nuove conoscenze)

Obiettivi:

Scopo didattico - esplorare il comportamento dei grafici di funzioni trigonometrichesì= sinxa seconda delle probabilità utilizzando un computer

Educativo:

1. Scopri la variazione nel grafico di una funzione trigonometrica sì= peccato X a seconda delle probabilità

2. Mostrare l'introduzione della tecnologia informatica nell'insegnamento della matematica, l'integrazione di due materie: algebra e informatica.

3. Sviluppare competenze nell'uso della tecnologia informatica nelle lezioni di matematica

4. Rafforzare le capacità di studio delle funzioni e di costruzione dei loro grafici

Educativo:

1. Sviluppare l'interesse cognitivo degli studenti per le discipline accademiche e la capacità di applicare le loro conoscenze in situazioni pratiche

2. Sviluppare la capacità di analizzare, confrontare, evidenziare la cosa principale

3. Contribuire a migliorare il livello generale di sviluppo degli studenti

Educare :

1. Promuovi l’indipendenza, l’accuratezza e il duro lavoro

2. Promuovere una cultura del dialogo

Forme di lavoro nella lezione - combinato

Strutture e attrezzature didattiche:

1. Computer

2. Proiettore multimediale

4. Dispense

5. Diapositive della presentazione

Durante le lezioni

IO. Organizzazione dell'inizio della lezione

· Saluto agli studenti e agli ospiti

· Atmosfera per la lezione

II. Definizione degli obiettivi e aggiornamento degli argomenti

Ci vuole molto tempo per studiare una funzione e costruire il suo grafico, devi fare un sacco di calcoli macchinosi, non è conveniente, la tecnologia informatica viene in soccorso.

Oggi impareremo come costruire grafici di funzioni trigonometriche nell'ambiente dei fogli di calcolo di MS Excel 2007.

L'argomento della nostra lezione è “Costruzione e studio del grafico di una funzione trigonometrica sì= sinx in un processore da tavolo"

Dal corso di algebra conosciamo lo schema per studiare una funzione e costruire il suo grafico. Ricordiamo come farlo.

Diapositiva 2

Schema di studio delle funzioni

1. Dominio della funzione (D(f))

2. Gamma della funzione E(f)

3. Determinazione della parità

4. Frequenza

5. Zeri della funzione (y=0)

6. Intervalli di segno costante (y>0, y<0)

7. Periodi di monotonia

8. Estremi della funzione

III. Assimilazione primaria di nuovo materiale educativo

Apri Microsoft Excel 2007.

Tracciamo la funzione y=sin X

Costruire grafici in un processore di fogli di calcoloSM Eccellere 2007

Tracceremo il grafico di questa funzione sul segmento XÄ [-2π; 2π]

Prenderemo i valori dell'argomento passo dopo passo , per rendere il grafico più accurato.

Dato che l'editor lavora con i numeri, convertiamo i radianti in numeri, sapendolo P ≈ 3,14 . (tabella di traduzione nella dispensa).

1. Trova il valore della funzione nel punto x=-2P. Per il resto l'editor calcola automaticamente i valori della funzione corrispondente.

2. Ora abbiamo una tabella con i valori dell'argomento e della funzione. Con questi dati, dobbiamo tracciare questa funzione utilizzando la Creazione guidata grafico.

3. Per costruire un grafico, è necessario selezionare l'intervallo di dati richiesto, le linee con argomenti e valori di funzione

4..jpg" larghezza="667" altezza="236 src=">

Annotiamo le conclusioni su un quaderno (Diapositiva 5)

Conclusione. Il grafico di una funzione della forma y=sinx+k si ottiene dal grafico della funzione y=sinx utilizzando la traslazione parallela lungo l'asse dell'amplificatore operazionale di k unità

Se k > 0, il grafico si sposta verso l'alto di k unità

Se k<0, то график смещается вниз на k единиц

Costruzione e studio di una funzione della formay=K*sinx,K- cost

Compito 2. Al lavoro Foglio2 disegnare grafici di funzioni in un sistema di coordinate sì= sinx sì=2* sinx, sì= * sinx, sull'intervallo (-2π; 2π) e osserva come cambia l'aspetto del grafico.

(Per non reimpostare il valore dell'argomento, copiamo i valori esistenti. Ora devi impostare la formula e costruire un grafico utilizzando la tabella risultante.)

Confrontiamo i grafici risultanti. Insieme agli studenti analizziamo il comportamento del grafico di una funzione trigonometrica in funzione dei coefficienti. (Diapositiva 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" larghezza="16" altezza="41 src=">x , sull'intervallo (-2π; 2π) e osserva come cambia l'aspetto del grafico.

Confrontiamo i grafici risultanti. Insieme agli studenti analizziamo il comportamento del grafico di una funzione trigonometrica in funzione dei coefficienti. (Diapositiva 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" larghezza="649" altezza="281 src=">

Annotiamo le conclusioni su un quaderno (Diapositiva 11)

Conclusione. Il grafico di una funzione della forma y=sin(x+k) si ottiene dal grafico della funzione y=sinx utilizzando la traslazione parallela lungo l'asse OX di k unità

Se k > 1, il grafico si sposta a destra lungo l'asse OX

Se 0

IV. Consolidamento primario delle conoscenze acquisite

Schede differenziate con il compito di costruire e studiare una funzione utilizzando un grafico

V. Organizzazione dei compiti

Traccia un grafico della funzione y=-2*sinх+1, esamina e verifica la correttezza della costruzione in un ambiente di foglio di calcolo Microsoft Excel. (Diapositiva 12)

VI. Riflessione

In questa lezione daremo uno sguardo dettagliato alla funzione y = sin x, alle sue proprietà di base e al grafico. All'inizio della lezione daremo la definizione della funzione trigonometrica y = sin t sul cerchio coordinato e considereremo il grafico della funzione sul cerchio e sulla retta. Mostriamo la periodicità di questa funzione sul grafico e consideriamo le principali proprietà della funzione. Alla fine della lezione risolveremo alcuni semplici problemi utilizzando il grafico di una funzione e le sue proprietà.

Argomento: funzioni trigonometriche

Lezione: Funzione y=sinx, sue proprietà di base e grafico

Quando si considera una funzione, è importante associare ciascun valore di argomento a un singolo valore di funzione. Questo legge della corrispondenza e si chiama funzione.

Definiamo la legge di corrispondenza per .

Qualsiasi numero reale corrisponde a un singolo punto sulla circonferenza unitaria. Un punto ha un'unica ordinata, che è chiamata seno del numero (Fig. 1).

Ogni valore di argomento è associato a un singolo valore di funzione.

Proprietà ovvie seguono dalla definizione di seno.

La figura lo mostra Perché è l'ordinata di un punto sulla circonferenza unitaria.

Consideriamo il grafico della funzione. Ricordiamo l'interpretazione geometrica dell'argomento. L'argomento è l'angolo al centro, misurato in radianti. Lungo l'asse tracceremo i numeri reali o gli angoli in radianti, lungo l'asse i valori corrispondenti della funzione.

Ad esempio, un angolo sulla circonferenza unitaria corrisponde a un punto sul grafico (Fig. 2)

Abbiamo ottenuto un grafico della funzione nell'area Ma conoscendo il periodo del seno, possiamo rappresentare il grafico della funzione sull'intero dominio di definizione (Fig. 3).

Il periodo principale della funzione è Ciò significa che il grafico può essere ottenuto su un segmento e poi continuato per tutto il dominio di definizione.

Consideriamo le proprietà della funzione:

1) Ambito della definizione:

2) Intervallo di valori:

3) Funzione strana:

4) Periodo positivo più piccolo:

5) Coordinate dei punti di intersezione del grafico con l'asse delle ascisse:

6) Coordinate del punto di intersezione del grafico con l'asse delle ordinate:

7) Intervalli in cui la funzione assume valori positivi:

8) Intervalli in cui la funzione assume valori negativi:

9) Intervalli crescenti:

10) Intervalli decrescenti:

11) Punteggio minimo:

12) Funzioni minime:

13) Punteggio massimo:

14) Funzioni massime:

Abbiamo esaminato le proprietà della funzione e il suo grafico. Le proprietà verranno utilizzate ripetutamente durante la risoluzione dei problemi.

Bibliografia

1. Algebra e inizio dell'analisi, grado 10 (in due parti). Libro di testo per istituti di istruzione generale (livello di profilo), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2009.

2. Algebra e inizio dell'analisi, grado 10 (in due parti). Libro dei problemi per le istituzioni educative (a livello di profilo), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra e analisi matematica per il decimo anno (libro di testo per studenti di scuole e classi con studio approfondito della matematica - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studio approfondito dell'algebra e dell'analisi matematica.-M.: Education, 1997.

5. Raccolta di problemi di matematica per i candidati agli istituti di istruzione superiore (a cura di M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulatore algebrico.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi di algebra e principi di analisi (un manuale per gli studenti delle classi 10-11 degli istituti di istruzione generale - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Raccolta di problemi di algebra e principi di analisi: libro di testo. indennità per 10-11 gradi. con profondità studiato Matematica.-M.: Educazione, 2006.

Compiti a casa

Algebra e inizio dell'analisi, grado 10 (in due parti). Libro dei problemi per le istituzioni educative (a livello di profilo), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Risorse web aggiuntive

3. Portale didattico per la preparazione agli esami ().

Come rappresentare graficamente la funzione y=sen x? Innanzitutto, diamo un'occhiata al grafico sinusoidale sull'intervallo.

Prendiamo un singolo segmento lungo 2 celle nel notebook. Sull'asse Oy ne segniamo uno.

Per comodità, arrotondiamo il numero π/2 a 1,5 (e non a 1,6, come richiesto dalle regole di arrotondamento). In questo caso, un segmento di lunghezza π/2 corrisponde a 3 celle.

Sull'asse del Bue non segniamo singoli segmenti, ma segmenti di lunghezza π/2 (ogni 3 celle). Di conseguenza, un segmento di lunghezza π corrisponde a 6 celle e un segmento di lunghezza π/6 corrisponde a 1 cella.

Con questa scelta di segmento unitario, il grafico raffigurato su un foglio di quaderno in una scatola corrisponde il più possibile al grafico della funzione y=sen x.

Creiamo una tabella dei valori del seno sull'intervallo:

Contrassegniamo i punti risultanti sul piano delle coordinate:

Poiché y=sen x è una funzione dispari, il grafico seno è simmetrico rispetto al punto origine O(0;0). Tenendo conto di questo fatto, continuiamo a tracciare il grafico a sinistra, poi i punti -π:

La funzione y=sen x è periodica con periodo T=2π. Pertanto il grafico di una funzione presa sull'intervallo [-π;π] si ripete un numero infinito di volte a destra e a sinistra.

In questa lezione daremo uno sguardo dettagliato alla funzione y = sin x, alle sue proprietà di base e al grafico. All'inizio della lezione daremo la definizione della funzione trigonometrica y = sin t sul cerchio coordinato e considereremo il grafico della funzione sul cerchio e sulla retta. Mostriamo la periodicità di questa funzione sul grafico e consideriamo le principali proprietà della funzione. Alla fine della lezione risolveremo alcuni semplici problemi utilizzando il grafico di una funzione e le sue proprietà.

Argomento: funzioni trigonometriche

Lezione: Funzione y=sinx, sue proprietà di base e grafico

Quando si considera una funzione, è importante associare ciascun valore di argomento a un singolo valore di funzione. Questo legge della corrispondenza e si chiama funzione.

Definiamo la legge di corrispondenza per .

Qualsiasi numero reale corrisponde a un singolo punto sulla circonferenza unitaria. Un punto ha un'unica ordinata, che è chiamata seno del numero (Fig. 1).

Ogni valore di argomento è associato a un singolo valore di funzione.

Proprietà ovvie seguono dalla definizione di seno.

La figura lo mostra Perché è l'ordinata di un punto sulla circonferenza unitaria.

Consideriamo il grafico della funzione. Ricordiamo l'interpretazione geometrica dell'argomento. L'argomento è l'angolo al centro, misurato in radianti. Lungo l'asse tracceremo i numeri reali o gli angoli in radianti, lungo l'asse i valori corrispondenti della funzione.

Ad esempio, un angolo sulla circonferenza unitaria corrisponde a un punto sul grafico (Fig. 2)

Abbiamo ottenuto un grafico della funzione nell'area Ma conoscendo il periodo del seno, possiamo rappresentare il grafico della funzione sull'intero dominio di definizione (Fig. 3).

Il periodo principale della funzione è Ciò significa che il grafico può essere ottenuto su un segmento e poi continuato per tutto il dominio di definizione.

Consideriamo le proprietà della funzione:

1) Ambito della definizione:

2) Intervallo di valori:

3) Funzione strana:

4) Periodo positivo più piccolo:

5) Coordinate dei punti di intersezione del grafico con l'asse delle ascisse:

6) Coordinate del punto di intersezione del grafico con l'asse delle ordinate:

7) Intervalli in cui la funzione assume valori positivi:

8) Intervalli in cui la funzione assume valori negativi:

9) Intervalli crescenti:

10) Intervalli decrescenti:

11) Punteggio minimo:

12) Funzioni minime:

13) Punteggio massimo:

14) Funzioni massime:

Abbiamo esaminato le proprietà della funzione e il suo grafico. Le proprietà verranno utilizzate ripetutamente durante la risoluzione dei problemi.

Bibliografia

1. Algebra e inizio dell'analisi, grado 10 (in due parti). Libro di testo per istituti di istruzione generale (livello di profilo), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2009.

2. Algebra e inizio dell'analisi, grado 10 (in due parti). Libro dei problemi per le istituzioni educative (a livello di profilo), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra e analisi matematica per il decimo anno (libro di testo per studenti di scuole e classi con studio approfondito della matematica - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studio approfondito dell'algebra e dell'analisi matematica.-M.: Education, 1997.

5. Raccolta di problemi di matematica per i candidati agli istituti di istruzione superiore (a cura di M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulatore algebrico.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi di algebra e principi di analisi (un manuale per gli studenti delle classi 10-11 degli istituti di istruzione generale - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Raccolta di problemi di algebra e principi di analisi: libro di testo. indennità per 10-11 gradi. con profondità studiato Matematica.-M.: Educazione, 2006.

Compiti a casa

Algebra e inizio dell'analisi, grado 10 (in due parti). Libro dei problemi per le istituzioni educative (a livello di profilo), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Risorse web aggiuntive

3. Portale didattico per la preparazione agli esami ().

Abbiamo scoperto che il comportamento delle funzioni trigonometriche e le funzioni y = peccato x in particolare, sull'intera linea numerica (o per tutti i valori dell'argomento X) è completamente determinato dal suo comportamento nell'intervallo 0 < X < π / 2 .

Pertanto, prima di tutto, tracceremo la funzione y = peccato x esattamente in questo intervallo.

Realizziamo la seguente tabella dei valori della nostra funzione;

Segnando i punti corrispondenti sul piano delle coordinate e collegandoli con una linea morbida, otteniamo la curva mostrata in figura

La curva risultante potrebbe anche essere costruita geometricamente, senza compilare una tabella dei valori delle funzioni y = peccato x .

1. Dividi il primo quarto di un cerchio di raggio 1 in 8 parti uguali. Le ordinate dei punti di divisione del cerchio sono i seni degli angoli corrispondenti.

2.Il primo quarto del cerchio corrisponde agli angoli da 0 a π / 2 . Pertanto, sull'asse X Prendiamo un segmento e dividiamolo in 8 parti uguali.

3. Disegniamo linee rette parallele agli assi X, e dai punti di divisione costruiamo le perpendicolari finché non si intersecano con le linee orizzontali.

4. Collega i punti di intersezione con una linea morbida.

Ora diamo un'occhiata all'intervallo π / 2 < X < π .
Ogni valore dell'argomento X da questo intervallo può essere rappresentato come

X = π / 2 + φ

Dove 0 < φ < π / 2 . Secondo formule di riduzione

peccato( π / 2 + φ ) = cos φ = peccato ( π / 2 - φ ).

Punti dell'asse X con ascisse π / 2 + φ E π / 2 - φ simmetrici tra loro rispetto al punto dell'asse X con ascissa π / 2 , e i seni in questi punti sono gli stessi. Questo ci permette di ottenere un grafico della funzione y = peccato x nell'intervallo [ π / 2 , π ] semplicemente visualizzando simmetricamente il grafico di questa funzione nell'intervallo relativo alla retta X = π / 2 .

Ora utilizzo la proprietà funzione di parità dispari y = peccato x,

peccato(- X) = - peccato X,

è facile tracciare questa funzione nell'intervallo [- π , 0].

La funzione y = sin x è periodica con periodo 2π ;. Pertanto, per costruire l'intero grafico di questa funzione, è sufficiente continuare periodicamente la curva mostrata in figura a sinistra e a destra con un periodo 2π .

La curva risultante viene chiamata sinusoide . Questo è il grafico della funzione y = peccato x.

La figura illustra bene tutte le proprietà della funzione y = peccato x , che abbiamo precedentemente dimostrato. Ricordiamo queste proprietà.

1) Funzione y = peccato x definito per tutti i valori X , quindi il suo dominio è l'insieme di tutti i numeri reali.

2) Funzione y = peccato x limitato. Tutti i valori accettati sono compresi tra -1 e 1, compresi questi due numeri. Di conseguenza, l'intervallo di variazione di questa funzione è determinato dalla disuguaglianza -1 < A < 1. Quando X = π / 2 +2k π la funzione assume i valori più grandi pari a 1, e per x = - π / 2 +2k π - i valori più piccoli pari a - 1.

3) Funzione y = peccato x è dispari (la sinusoide è simmetrica rispetto all'origine).

4) Funzione y = peccato x periodico con periodo 2 π .

5) A intervalli 2n π < X < π + 2n π (n è un numero intero qualsiasi) è positivo e a intervalli π +2k π < X < 2π +2k π (k è un numero intero qualsiasi) è negativo. A x = k π la funzione va a zero. Pertanto, questi valori dell'argomento x (0; ± π ; ±2 π ; ...) sono chiamati zeri di funzione y = peccato x

6) A intervalli - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funzione y = peccato X aumenta monotonicamente e ad intervalli π / 2 +2k π < X < 3π / 2 +2k π diminuisce monotonicamente.

Dovresti prestare particolare attenzione al comportamento della funzione y = peccato x vicino al punto X = 0 .

Ad esempio, sin 0,012 ≈ 0,012; peccato(-0,05) ≈ -0,05;

peccato 2° = peccato π 2 / 180 = peccato π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Allo stesso tempo, va notato che per qualsiasi valore di x

| peccato X| < | x| . (1)

Infatti, sia pari a 1 il raggio del cerchio rappresentato in figura,
UN / AOB = X.

Poi peccato X= CA. Ma AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. La lunghezza di questo arco è ovviamente pari a X, poiché il raggio del cerchio è 1. Quindi, a 0< X < π / 2

peccato x< х.

Quindi, a causa della stranezza della funzione y = peccato x è facile dimostrare che quando - π / 2 < X < 0

| peccato X| < | x| .

Infine, quando X = 0

| peccato x | = | x|.

Quindi, per | X | < π / 2 la disuguaglianza (1) è stata dimostrata. In realtà questa disuguaglianza vale anche per | X | > π / 2 dovuto al fatto che | peccato X | < 1, a π / 2 > 1

Esercizi

1.Secondo il grafico della funzione y = peccato x determinare: a) peccato 2; b) peccato 4; c) peccato (-3).

2.Secondo il grafico della funzione y = peccato x determinare quale numero dall'intervallo
[ - π / 2 , π / 2 ] ha un seno pari a: a) 0,6; b) -0,8.

3. Secondo il grafico della funzione y = peccato x determinare quali numeri hanno un seno,
pari a 1/2.

4. Trovare approssimativamente (senza usare tabelle): a) sin 1°; b) peccato 0,03;
c) peccato (-0,015); d) peccato (-2°30").