C'è una soluzione al teorema della fattoria. L'ultimo teorema di Fermat è stato dimostrato? Atti del matematico Farmer

Nel 17° secolo, un avvocato e matematico part-time Pierre Fermat viveva in Francia, che dedicava al suo hobby lunghe ore di svago. Una sera d'inverno, seduto accanto al camino, avanzò un'affermazione molto curiosa dal campo della teoria dei numeri: fu questa che in seguito fu chiamata Grande o Grande Teorema di Fermat. Forse l'eccitazione non sarebbe stata così significativa nei circoli matematici se un evento non fosse accaduto. Il matematico trascorreva spesso le serate a studiare il libro preferito di Diofanto di Alessandria "Aritmetica" (3 ° secolo), mentre scriveva pensieri importanti ai suoi margini: questa rarità è stata accuratamente preservata per i posteri da suo figlio. Quindi, negli ampi margini di questo libro, la mano di Fermat aveva lasciato questa iscrizione: "Ho una prova piuttosto sorprendente, ma è troppo grande per essere messa ai margini". È stata questa voce che ha causato la travolgente eccitazione attorno al teorema. Non c'era dubbio tra i matematici che il grande scienziato dichiarasse di aver dimostrato il proprio teorema. Probabilmente ti starai chiedendo: “Lo ha dimostrato davvero, o era una banale bugia, o forse esistono altre versioni, perché questa voce, che non permetteva ai matematici delle generazioni successive di dormire sonni tranquilli, è finita ai margini del prenotare?".

L'essenza del Grande Teorema

Il teorema di Fermat piuttosto noto è semplice nella sua essenza e consiste nel fatto che, a condizione che n sia maggiore di due, un numero positivo, l'equazione X n + Y n \u003d Z n non avrà soluzioni di tipo zero all'interno il quadro dei numeri naturali. In questa formula apparentemente semplice è stata mascherata un'incredibile complessità e ci sono voluti tre secoli per dimostrarlo. C'è una stranezza - il teorema è stato ritardato con la nascita del mondo, poiché il suo caso speciale per n = 2 è apparso 2200 anni fa - questo è il teorema di Pitagora non meno famoso.

Va notato che la storia riguardante il noto teorema di Fermat è molto istruttiva e divertente, e non solo per i matematici. La cosa più interessante è che la scienza non era un lavoro per lo scienziato, ma un semplice hobby, che, a sua volta, dava al Contadino un grande piacere. Si teneva anche costantemente in contatto con un matematico e, part-time, anche un amico, condivideva idee, ma stranamente non cercava di pubblicare il proprio lavoro.

Atti del matematico Farmer

Per quanto riguarda le stesse opere di Farmer, sono state trovate proprio sotto forma di lettere ordinarie. In alcuni luoghi non c'erano pagine intere e si sono conservati solo frammenti di corrispondenza. Più interessante è il fatto che per tre secoli gli scienziati hanno cercato il teorema che è stato scoperto negli scritti di Fermer.

Ma chi non ha osato dimostrarlo, i tentativi sono stati ridotti a "zero". Il famoso matematico Descartes ha persino accusato lo scienziato di vantarsi, ma tutto si è ridotto alla più ordinaria invidia. Oltre a creare, Farmer ha anche dimostrato il proprio teorema. Vero, la soluzione è stata trovata per il caso in cui n=4. Quanto al caso di n=3, il matematico Eulero lo identificò.

Come hanno provato a dimostrare il teorema di Fermer

All'inizio del 19° secolo, questo teorema continuò ad esistere. I matematici hanno trovato molte dimostrazioni di teoremi che erano limitati a numeri naturali entro duecento.

E nel 1909 ne fu messa in gioco una cifra piuttosto grande, pari a centomila marchi di origine tedesca - e tutto questo proprio per risolvere il problema legato a questo teorema. Il fondo della stessa categoria a premio è stato lasciato da un ricco amante della matematica Paul Wolfskell, originario della Germania, tra l'altro, era lui che voleva "imporre le mani su se stesso", ma grazie a tale coinvolgimento nel teorema di Fermer, ha voluto abitare. L'eccitazione che ne derivò diede origine a tonnellate di "prove" che inondarono le università tedesche, e nella cerchia dei matematici nacque il soprannome di "fermista", usato in modo semi-sprezzante per chiamare qualsiasi parvenu ambizioso che non fornisse prove chiare.

Ipotesi del matematico giapponese Yutaka Taniyama

Non ci sono stati cambiamenti nella storia del Grande Teorema fino alla metà del 20° secolo, ma si è verificato un evento interessante. Nel 1955, il matematico giapponese Yutaka Taniyama, che aveva 28 anni, rivelò al mondo un'affermazione proveniente da un campo matematico completamente diverso: la sua ipotesi, a differenza di Fermat, era in anticipo sui tempi. Dice: "Per ogni curva ellittica esiste una corrispondente forma modulare". Sembra un'assurdità per ogni matematico, come che un albero sia costituito da un certo metallo! L'ipotesi paradossale, come la maggior parte delle altre scoperte sbalorditive e geniali, non è stata accettata, perché semplicemente non erano ancora cresciute fino ad essa. E Yutaka Taniyama si suicidò tre anni dopo - un atto inspiegabile, ma, probabilmente, l'onore per un vero genio dei samurai era soprattutto.

Per un intero decennio l'ipotesi non fu ricordata, ma negli anni Settanta raggiunse l'apice della popolarità - fu confermata da tutti coloro che potevano capirla, ma, come il teorema di Fermat, rimase non dimostrata.

Come sono correlati la congettura di Taniyama e il teorema di Fermat

Quindici anni dopo si verificò un evento chiave in matematica, che combinò la famosa congettura giapponese e il teorema di Fermat. Gerhard Gray ha affermato che quando la congettura di Taniyama sarà dimostrata, si troveranno le dimostrazioni del teorema di Fermat. Cioè, quest'ultima è una conseguenza dell'ipotesi di Taniyama, e un anno e mezzo dopo, il teorema di Fermat è stato dimostrato da un professore dell'Università della California, Kenneth Ribet.

Il tempo passò, la regressione fu sostituita dal progresso e la scienza avanzava rapidamente, specialmente nel campo della tecnologia informatica. Pertanto, il valore di n ha cominciato ad aumentare sempre di più.

Alla fine del 20° secolo, i computer più potenti erano nei laboratori militari, la programmazione veniva eseguita per ricavare una soluzione al noto problema di Fermat. Come conseguenza di tutti i tentativi, è stato rivelato che questo teorema è corretto per molti valori di n, x, y. Ma, sfortunatamente, questa non è diventata la prova finale, poiché non c'erano specifiche in quanto tali.

John Wiles dimostrò il grande teorema di Fermat

E infine, solo alla fine del 1994, un matematico inglese, John Wiles, trovò e dimostrò una dimostrazione esatta del controverso teorema di Fermer. Poi, dopo molti miglioramenti, le discussioni su questo argomento giunsero alla loro logica conclusione.

La confutazione è stata pubblicata su più di cento pagine di una rivista! Inoltre, il teorema è stato dimostrato su un apparato più moderno di matematica superiore. E sorprendentemente, nel momento in cui il Contadino scrisse la sua opera, un tale apparato non esisteva in natura. In una parola, l'uomo era riconosciuto come un genio in questo campo, con cui nessuno poteva discutere. Nonostante tutto quello che è successo, oggi puoi essere certo che il teorema presentato del grande scienziato Fermer è giustificato e dimostrato, e nessun matematico con buon senso avvierà controversie su questo argomento, con cui anche gli scettici più inveterati di tutta l'umanità sono d'accordo.

Il nome completo della persona da cui prende il nome il teorema presentato era Pierre de Fermer. Ha contribuito a un'ampia varietà di aree della matematica. Ma, sfortunatamente, la maggior parte delle sue opere furono pubblicate solo dopo la sua morte.

GRANDE TEOREMA DI FERMAT - l'affermazione di Pierre Fermat (avvocato francese e matematico part-time) che l'equazione diofantea X n + Y n \u003d Z n, con un esponente n>2, dove n = un intero, non ha soluzioni in positivo numeri interi. Testo dell'autore: "È impossibile scomporre un cubo in due cubi, o un biquadrato in due biquadrati, o in generale una potenza maggiore di due in due potenze con lo stesso esponente."

"Fermat e il suo teorema", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre elaborò questo teorema il 29 marzo 1636. E dopo circa 29 anni, morì. Ma è lì che è iniziato tutto. Dopotutto, un ricco matematico tedesco di nome Wolfskel ha lasciato in eredità centomila marchi a colui che presenta la dimostrazione completa del teorema di Fermat! Ma l'eccitazione attorno al teorema era collegata non solo a questo, ma anche all'eccitazione matematica professionale. Lo stesso Fermat ha fatto capire alla comunità matematica di conoscere la dimostrazione - poco prima della sua morte, nel 1665, ha lasciato la seguente voce a margine del libro Diofanto di Alessandria "Aritmetica": "Ho una dimostrazione molto sorprendente, ma è troppo grande per essere collocato nei campi".

È stato questo suggerimento (più, ovviamente, un premio in denaro) che ha fatto sì che i matematici trascorressero senza successo i loro anni migliori alla ricerca di prove (secondo gli scienziati americani, i matematici professionisti da soli hanno trascorso in totale 543 anni su questo).

Ad un certo punto (nel 1901), il lavoro sul teorema di Fermat acquisì la dubbia fama di "lavoro simile alla ricerca di una macchina a moto perpetuo" (c'era anche un termine dispregiativo - "fermatisti"). E improvvisamente, il 23 giugno 1993, in una conferenza di matematica sulla teoria dei numeri a Cambridge, un professore inglese di matematica dell'Università di Princeton (New Jersey, USA) Andrew Wiles annunciò di aver finalmente dimostrato Fermat!

La dimostrazione, tuttavia, non era solo complicata, ma anche ovviamente erronea, come Wiles è stato sottolineato dai suoi colleghi. Ma il professor Wiles ha sognato per tutta la vita di dimostrare il teorema, quindi non sorprende che nel maggio 1994 abbia presentato alla comunità scientifica una nuova versione migliorata della dimostrazione. Non aveva armonia, bellezza ed era comunque molto complicato - il fatto che i matematici abbiano analizzato questa dimostrazione per un anno intero (!) Per capire se non è erronea, parla da sé!

Ma alla fine, la dimostrazione di Wiles si è rivelata corretta. Ma i matematici non perdonarono Pierre Fermat per il suo stesso accenno all'aritmetica, e, infatti, iniziarono a considerarlo un bugiardo. In effetti, la prima persona a mettere in dubbio l'integrità morale di Fermat fu lo stesso Andrew Wiles, il quale osservò che "Fermat non avrebbe potuto avere una tale prova. Questa è una prova del ventesimo secolo". Poi, tra gli altri scienziati, l'opinione è diventata più forte che Fermat "non poteva dimostrare il suo teorema in un altro modo, e Fermat non poteva dimostrarlo nel modo in cui è andato Wiles, per ragioni oggettive".

In effetti, Fermat, ovviamente, potrebbe dimostrarlo, e poco dopo questa prova verrà ricreata dagli analisti della New Analytical Encyclopedia. Ma - quali sono queste "ragioni oggettive"?
In realtà, c'è solo un motivo: in quegli anni in cui visse Fermat, non poteva comparire la congettura di Taniyama, su cui Andrew Wiles costruì la sua dimostrazione, perché le funzioni modulari su cui opera la congettura di Taniyama furono scoperte solo alla fine del XIX secolo .

In che modo Wiles stesso ha dimostrato il teorema? La domanda non è oziosa: questo è importante per capire come lo stesso Fermat potrebbe dimostrare il suo teorema. Wiles ha costruito la sua dimostrazione sulla dimostrazione della congettura di Taniyama avanzata nel 1955 dal matematico giapponese di 28 anni Yutaka Taniyama.

La congettura suona così: "ogni curva ellittica corrisponde a una certa forma modulare". Le curve ellittiche, note da tempo, hanno una forma bidimensionale (posizionata su un piano), mentre le funzioni modulari hanno una forma quadridimensionale. Cioè, l'ipotesi di Taniyama combinava concetti completamente diversi: semplici curve piatte e forme quadridimensionali inimmaginabili. Il fatto stesso di collegare nell'ipotesi figure di diverse dimensioni sembrava assurdo agli scienziati, motivo per cui nel 1955 non gli fu data alcuna importanza.

Tuttavia, nell'autunno del 1984, l'"ipotesi di Taniyama" fu improvvisamente ricordata di nuovo, e non solo ricordata, ma la sua possibile dimostrazione era collegata alla dimostrazione del teorema di Fermat! Ciò è stato fatto dal matematico di Saarbrücken Gerhard Frey, che ha detto alla comunità scientifica che "se qualcuno potesse provare la congettura di Taniyama, allora l'ultimo teorema di Fermat sarebbe stato dimostrato".

Cosa ha fatto Frey? Ha convertito l'equazione di Fermat in una cubica, quindi ha richiamato l'attenzione sul fatto che una curva ellittica ottenuta convertendo l'equazione di Fermat in una cubica non può essere modulare. Tuttavia, la congettura di Taniyama affermava che qualsiasi curva ellittica potrebbe essere modulare! Di conseguenza, una curva ellittica costruita dall'equazione di Fermat non può esistere, il che significa che non possono esserci soluzioni intere e il teorema di Fermat, il che significa che è vero. Ebbene, nel 1993 Andrew Wiles ha semplicemente dimostrato la congettura di Taniyama, e quindi il teorema di Fermat.

Tuttavia, il teorema di Fermat può essere dimostrato molto più semplicemente, sulla base della stessa multidimensionalità su cui operarono sia Taniyama che Frey.

Per cominciare, prestiamo attenzione alla condizione stabilita dallo stesso Pierre Fermat - n>2. Perché era necessaria questa condizione? Sì, solo per il fatto che per n=2 il teorema di Pitagora ordinario X 2 +Y 2 =Z 2 diventa un caso speciale del teorema di Fermat, che ha un numero infinito di soluzioni intere - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 e così via. Pertanto, il teorema di Pitagora è un'eccezione al teorema di Fermat.

Ma perché esattamente nel caso di n=2 si verifica tale eccezione? Tutto va a posto se si vede il rapporto tra il grado (n=2) e la dimensione della figura stessa. Il triangolo pitagorico è una figura bidimensionale. Non sorprende che Z (cioè l'ipotenusa) possa essere espresso in termini di gambe (X e Y), che possono essere interi. La dimensione dell'angolo (90) consente di considerare l'ipotenusa come un vettore e le gambe sono vettori situati sugli assi e provenienti dall'origine. Di conseguenza, è possibile esprimere un vettore bidimensionale che non giace su nessuno degli assi in termini di vettori che giacciono su di essi.

Ora, se andiamo alla terza dimensione, e quindi a n=3, per esprimere un vettore tridimensionale, non ci saranno sufficienti informazioni su due vettori, e quindi sarà possibile esprimere Z nell'equazione di Fermat tramite almeno tre termini (tre vettori giacenti, rispettivamente, sui tre assi del sistema di coordinate).

Se n=4, allora dovrebbero esserci 4 termini, se n=5, allora dovrebbero esserci 5 termini e così via. In questo caso, ci saranno soluzioni complete più che sufficienti. Ad esempio, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 e così via (puoi scegliere altri esempi per n=3, n=4 e così via).

Cosa segue da tutto questo? Ne consegue che il teorema di Fermat in effetti non ha soluzioni intere per n>2 - ma solo perché l'equazione stessa non è corretta! Con lo stesso successo si potrebbe tentare di esprimere il volume di un parallelepipedo in termini di lunghezza dei suoi due spigoli - certo, questo è impossibile (non si troveranno mai soluzioni complete), ma solo perché trovare il volume di un parallelepipedo , è necessario conoscere le lunghezze di tutti e tre i suoi bordi.

Quando è stato chiesto al famoso matematico David Gilbert quale fosse il compito più importante per la scienza ora, ha risposto "prendere una mosca dall'altra parte della luna". Alla domanda ragionevole "Chi ne ha bisogno?" ha risposto così: "Nessuno ne ha bisogno. Ma pensa a quanti compiti importanti e complessi devi risolvere per portarlo a termine".

In altre parole, Fermat (un avvocato in primis!) ha fatto uno spiritoso scherzo legale all'intero mondo matematico, basandosi su una formulazione errata del problema. Egli, infatti, suggerì che i matematici trovassero una risposta perché una mosca non può vivere dall'altra parte della Luna, ea margine di Aritmetica voleva solo scrivere che semplicemente non c'è aria sulla Luna, ad es. non ci possono essere soluzioni intere del suo teorema per n>2 solo perché ogni valore di n deve corrispondere a un certo numero di termini sul lato sinistro della sua equazione.

Ma era solo uno scherzo? Affatto. La genialità di Fermat sta proprio nel fatto che fu proprio lui il primo a vedere il rapporto tra il grado e la dimensione di una figura matematica, cioè, che è assolutamente equivalente, il numero di termini sul lato sinistro dell'equazione. Il significato del suo famoso teorema era proprio non solo di spingere il mondo matematico sull'idea di questa relazione, ma anche di avviare una prova dell'esistenza di tale relazione - intuitivamente comprensibile, ma non ancora matematicamente sostanziata.

Fermat, come nessun altro, ha capito che stabilire una relazione tra oggetti apparentemente diversi è estremamente fruttuoso non solo in matematica, ma anche in qualsiasi scienza. Tale relazione indica un principio profondo alla base di entrambi gli oggetti e che consente una comprensione più profonda di essi.

Ad esempio, inizialmente i fisici consideravano l'elettricità e il magnetismo come fenomeni completamente indipendenti e nel 19° secolo teorici e sperimentatori si resero conto che elettricità e magnetismo erano strettamente correlati. Il risultato è stata una comprensione più profonda sia dell'elettricità che del magnetismo. Le correnti elettriche generano campi magnetici e i magneti possono indurre elettricità nei conduttori vicini ai magneti. Ciò ha portato all'invenzione di dinamo e motori elettrici. Alla fine si è scoperto che la luce è il risultato di oscillazioni armoniche coordinate di campi magnetici ed elettrici.

La matematica del tempo di Fermat consisteva in isole di conoscenza in un mare di ignoranza. I geometri hanno studiato le forme su un'isola e i matematici hanno studiato la probabilità e il caso sull'altra isola. Il linguaggio della geometria era molto diverso dal linguaggio della teoria della probabilità e la terminologia algebrica era estranea a coloro che parlavano solo di statistica. Sfortunatamente, la matematica del nostro tempo è costituita all'incirca dalle stesse isole.

Farm è stata la prima a rendersi conto che tutte queste isole sono interconnesse. E il suo famoso teorema - IL GRANDE TEOREMA di Fermat - ne è un'eccellente conferma.

È improbabile che sia trascorso almeno un anno nella vita della nostra redazione senza che questa ricevesse una buona dozzina di dimostrazioni del teorema di Fermat. Ora, dopo la “vittoria” su di esso, il flusso si è placato, ma non si è prosciugato.

Naturalmente, per non asciugarlo completamente, pubblichiamo questo articolo. E non a mia difesa - che, dicono, per questo abbiamo taciuto, noi stessi non siamo ancora maturati per discutere di problemi così complessi.

Ma se l'articolo sembra davvero complicato, guarda subito la fine. Dovrai sentire che le passioni si sono temporaneamente calmate, la scienza non è finita e presto nuove dimostrazioni di nuovi teoremi saranno inviate ai redattori.

Sembra che il XX secolo non sia stato vano. In primo luogo, le persone hanno creato un secondo Sole per un momento facendo esplodere una bomba all'idrogeno. Quindi camminarono sulla luna e alla fine dimostrarono il famigerato teorema di Fermat. Di questi tre miracoli, i primi due sono sulla bocca di tutti, perché hanno avuto enormi conseguenze sociali. Al contrario, il terzo miracolo sembra un altro giocattolo scientifico, al pari della teoria della relatività, della meccanica quantistica e del teorema di Gödel sull'incompletezza dell'aritmetica. Tuttavia, la relatività e i quanti hanno portato i fisici alla bomba all'idrogeno e la ricerca dei matematici ha riempito il nostro mondo di computer. Questa serie di miracoli continuerà nel 21° secolo? È possibile tracciare la connessione tra i prossimi giocattoli scientifici e le rivoluzioni nella nostra vita quotidiana? Questa connessione ci permette di fare previsioni di successo? Proviamo a capirlo usando l'esempio del teorema di Fermat.

Per cominciare, notiamo che è nata molto più tardi del suo termine naturale. Dopotutto, il primo caso speciale del teorema di Fermat è l'equazione di Pitagora X 2 + Y 2 = Z 2 , che mette in relazione le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo. Dopo aver dimostrato questa formula venticinque secoli fa, Pitagora si pose subito la domanda: ci sono molti triangoli in natura in cui sia le gambe che l'ipotenusa hanno una lunghezza intera? Sembra che gli egiziani conoscessero solo uno di questi triangoli - con i lati (3, 4, 5). Ma non è difficile trovare altre opzioni: ad esempio (5, 12, 13) , (7, 24, 25) o (8, 15, 17) . In tutti questi casi la lunghezza dell'ipotenusa ha la forma (A 2 + B 2), dove A e B sono numeri coprimi di diversa parità. In questo caso, le lunghezze delle gambe sono pari a (A 2 - B 2) e 2AB.

Notando queste relazioni, Pitagora dimostrò facilmente che qualsiasi tripla di numeri (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) è una soluzione dell'equazione X 2 + Y 2 \u003d Z 2 e imposta un rettangolo con lunghezze laterali reciprocamente semplici. Si vede anche che il numero di diverse triple di questo tipo è infinito. Ma tutte le soluzioni dell'equazione pitagorica hanno questa forma? Pitagora non fu in grado di provare o smentire tale ipotesi e lasciò questo problema ai posteri senza attirare l'attenzione su di esso. Chi vuole evidenziare i propri fallimenti? Sembra che dopo questo il problema dei triangoli rettangoli integrali sia rimasto nell'oblio per sette secoli, fino a quando un nuovo genio matematico di nome Diofanto è apparso ad Alessandria.

Sappiamo poco di lui, ma è chiaro che non assomigliava per niente a Pitagora. Si sentiva un re in geometria e anche oltre, nella musica, nell'astronomia o nella politica. Il primo collegamento aritmetico tra le lunghezze dei lati di un'armoniosa arpa, il primo modello dell'Universo da sfere concentriche che trasportano pianeti e stelle, con la Terra al centro, ed infine, la prima repubblica degli scienziati nella città italiana di Crotone - queste sono le conquiste personali di Pitagora. Cosa potrebbe opporsi a tali successi Diofanto - un modesto ricercatore del grande Museo, che ha cessato da tempo di essere l'orgoglio della folla cittadina?

Solo una cosa: una migliore comprensione dell'antico mondo dei numeri, le leggi di cui Pitagora, Euclide e Archimede ebbero appena il tempo di sentire. Si noti che Diofanto non padroneggiava ancora la notazione posizionale dei grandi numeri, ma sapeva cosa fossero i numeri negativi e probabilmente trascorse molte ore a pensare al motivo per cui il prodotto di due numeri negativi è positivo. Il mondo degli interi fu rivelato per la prima volta a Diofanto come un universo speciale, diverso dal mondo delle stelle, dei segmenti o dei poliedri. L'occupazione principale degli scienziati in questo mondo è risolvere le equazioni, un vero maestro trova tutte le soluzioni possibili e dimostra che non ci sono altre soluzioni. Questo è ciò che fece Diofanto con l'equazione quadratica pitagorica, e poi pensò: almeno una soluzione ha un'equazione cubica simile X 3 + Y 3 = Z 3 ?

Diofanto non è riuscito a trovare una tale soluzione; anche il suo tentativo di dimostrare che non ci sono soluzioni è andato a buon fine. Pertanto, redigendo i risultati del suo lavoro nel libro "Aritmetica" (fu il primo libro di testo al mondo sulla teoria dei numeri), Diofanto analizzò in dettaglio l'equazione pitagorica, ma non accennò una parola sulle possibili generalizzazioni di questa equazione. Ma poteva: dopotutto, fu Diofanto a proporre per primo la notazione per le potenze degli interi! Ma ahimè: il concetto di "libro dei compiti" era estraneo alla scienza e alla pedagogia elleniche e pubblicare elenchi di problemi irrisolti era considerata un'occupazione indecente (solo Socrate si comportava diversamente). Se non riesci a risolvere il problema, stai zitto! Diofanto tacque e questo silenzio si trascinò per quattordici secoli, fino all'inizio della Nuova Era, quando l'interesse per il processo del pensiero umano fu ripreso.

Chi non fantasticava su nulla a cavallo tra il XVI e il XVII secolo! L'instancabile calcolatore Keplero ha cercato di indovinare la connessione tra le distanze dal Sole ai pianeti. Pitagora fallì. Il successo di Keplero arrivò dopo aver imparato a integrare i polinomi e altre semplici funzioni. Al contrario, il sognatore Cartesio non amava i calcoli lunghi, ma fu lui a presentare per primo tutti i punti del piano o dello spazio come insiemi di numeri. Questo modello audace riduce qualsiasi problema geometrico sulle figure a qualche problema algebrico sulle equazioni - e viceversa. Ad esempio, le soluzioni intere dell'equazione pitagorica corrispondono a punti interi sulla superficie di un cono. La superficie corrispondente all'equazione cubica X 3 + Y 3 = Z 3 sembra più complicata, le sue proprietà geometriche non suggerivano nulla a Pierre Fermat e dovette aprire nuove strade attraverso le terre selvagge degli interi.

Nel 1636 un libro di Diofanto, appena tradotto in latino da un originale greco, cadde nelle mani di un giovane avvocato di Tolosa, sopravvissuto per caso in qualche archivio bizantino e portato in Italia da uno dei latitanti romani all'epoca dei Turchi rovina. Leggendo un'elegante discussione sull'equazione pitagorica, Fermat pensò: è possibile trovare una soluzione del genere, che consiste in tre numeri quadrati? Non ci sono piccoli numeri di questo tipo: è facile verificarlo per enumerazione. E le grandi decisioni? Senza un computer, Fermat non potrebbe condurre un esperimento numerico. Ma notò che per ogni soluzione "grande" dell'equazione X 4 + Y 4 = Z 4, si può costruire una soluzione più piccola. Quindi la somma delle quarte potenze di due interi non è mai uguale alla stessa potenza del terzo numero! E la somma di due cubi?

Ispirato dal successo per il grado 4, Fermat ha cercato di modificare il "metodo di discesa" per il grado 3 - e ci è riuscito. Si è scoperto che era impossibile comporre due piccoli cubi da quei cubi singoli in cui un grande cubo con una lunghezza intera di un bordo è caduto in pezzi. Il trionfante Fermat fece una breve nota a margine del libro di Diofanto e inviò una lettera a Parigi con un resoconto dettagliato della sua scoperta. Ma non ha ricevuto risposta, anche se di solito i matematici della capitale hanno reagito rapidamente al successo successivo del loro unico collega rivale a Tolosa. Qual è il problema qui?

Molto semplicemente: a metà del 17° secolo, l'aritmetica era passata di moda. I grandi successi degli algebristi italiani del XVI secolo (quando furono risolte le equazioni polinomiali di grado 3 e 4) non divennero l'inizio di una rivoluzione scientifica generale, perché non consentirono di risolvere nuovi brillanti problemi in campi scientifici adiacenti. Ora, se Keplero potesse indovinare le orbite dei pianeti usando pura aritmetica ... Ma ahimè, questo richiedeva un'analisi matematica. Ciò significa che deve essere sviluppato - fino al completo trionfo dei metodi matematici nelle scienze naturali! Ma l'analisi nasce dalla geometria, mentre l'aritmetica rimane un campo di gioco per avvocati oziosi e altri amanti dell'eterna scienza dei numeri e delle figure.

Quindi, i successi aritmetici di Fermat si sono rivelati prematuri e sono rimasti non apprezzati. Non ne fu turbato: per fama di matematico, gli furono rivelati per la prima volta i fatti del calcolo differenziale, della geometria analitica e della teoria della probabilità. Tutte queste scoperte di Fermat entrarono immediatamente nel fondo d'oro della nuova scienza europea, mentre la teoria dei numeri svanì in secondo piano per altri cento anni, finché non fu ripresa da Eulero.

Questo "re dei matematici" del XVIII secolo fu un campione in tutte le applicazioni dell'analisi, ma non trascurò nemmeno l'aritmetica, poiché i nuovi metodi di analisi portavano a fatti inaspettati sui numeri. Chi avrebbe mai pensato che la somma infinita dei quadrati inversi (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) fosse uguale a π 2 /6? Chi tra gli Elleni avrebbe potuto prevedere che serie simili avrebbero permesso di provare l'irrazionalità del numero π?

Tali successi costrinsero Eulero a rileggere attentamente i manoscritti superstiti di Fermat (fortunatamente il figlio del grande francese riuscì a pubblicarli). È vero, la dimostrazione del "grande teorema" per il grado 3 non è stata conservata, ma Eulero l'ha facilmente ripristinata semplicemente indicando il "metodo della discesa" e ha immediatamente cercato di trasferire questo metodo al primo grado successivo - 5.

Non c'era! Nel ragionamento di Eulero apparivano numeri complessi che Fermat riuscì a non notare (questo è il solito destino degli scopritori). Ma la fattorizzazione di interi complessi è una questione delicata. Persino Eulero non lo capì completamente e mise da parte il "problema Fermat", affrettandosi a completare il suo lavoro principale: il libro di testo "Principi di analisi", che avrebbe dovuto aiutare ogni giovane di talento a stare alla pari con Leibniz e Eulero. La pubblicazione del libro di testo fu completata a San Pietroburgo nel 1770. Ma Eulero non tornò al teorema di Fermat, sicuro che tutto ciò che le sue mani e la sua mente toccavano non sarebbe stato dimenticato dalla nuova giovinezza scientifica.

E così accadde: il francese Adrien Legendre divenne il successore di Eulero nella teoria dei numeri. Alla fine del 18° secolo completò la dimostrazione del teorema di Fermat per il grado 5 - e sebbene fallisse per le grandi potenze prime, compilò un altro libro di testo sulla teoria dei numeri. Possano i suoi giovani lettori superare l'autore allo stesso modo in cui i lettori dei Principi matematici della filosofia naturale hanno superato il grande Newton! Legendre non poteva competere con Newton o Euler, ma c'erano due geni tra i suoi lettori: Carl Gauss ed Evariste Galois.

Una così alta concentrazione di geni fu facilitata dalla Rivoluzione francese, che proclamò il culto statale della Ragione. Dopodiché, ogni scienziato di talento si sentiva come Colombo o Alessandro Magno, in grado di scoprire o conquistare un nuovo mondo. Molti ci riuscirono, ecco perché nel 19° secolo il progresso scientifico e tecnologico divenne il principale motore dell'evoluzione dell'umanità, e tutti i governanti ragionevoli (a cominciare da Napoleone) ne erano consapevoli.

Gauss aveva un carattere vicino a Colombo. Ma lui (come Newton) non sapeva come affascinare l'immaginazione di governanti o studenti con bei discorsi, e quindi limitava le sue ambizioni alla sfera dei concetti scientifici. Qui poteva fare quello che voleva. Ad esempio, l'antico problema della trisezione di un angolo per qualche motivo non può essere risolto con un compasso e un righello. Con l'aiuto di numeri complessi raffiguranti punti del piano, Gauss traduce questo problema nel linguaggio dell'algebra e ottiene una teoria generale della fattibilità di alcune costruzioni geometriche. Così, allo stesso tempo, apparve una prova rigorosa dell'impossibilità di costruire un 7 o 9 gon regolare con un compasso e un righello, e un tale modo di costruire un 17 gon regolare, che fecero i geometri più saggi dell'Hellas non sognare.

Certo, un tale successo non è vano: bisogna inventare nuovi concetti che riflettano l'essenza della materia. Newton ha introdotto tre di questi concetti: flusso (derivato), fluente (integrale) e serie di potenze. Sono stati sufficienti per creare l'analisi matematica e il primo modello scientifico del mondo fisico, compresa la meccanica e l'astronomia. Gauss ha anche introdotto tre nuovi concetti: spazio vettoriale, campo e anello. Ne nacque una nuova algebra, subordinando l'aritmetica greca e la teoria delle funzioni numeriche creata da Newton. Rimaneva da subordinare la logica creata da Aristotele all'algebra: allora sarebbe possibile provare la deducibilità o non derivabilità di eventuali affermazioni scientifiche da questo insieme di assiomi con l'ausilio di calcoli! Ad esempio, il teorema di Fermat deriva dagli assiomi dell'aritmetica o il postulato di Euclide delle rette parallele deriva da altri assiomi della planimetria?

Gauss non ha avuto il tempo di realizzare questo sogno audace, sebbene sia avanzato molto e abbia intuito la possibilità dell'esistenza di algebre esotiche (non commutative). Solo l'audace russo Nikolai Lobachevsky riuscì a costruire la prima geometria non euclidea, e la prima algebra non commutativa (Teoria dei gruppi) fu gestita dal francese Evariste Galois. E solo molto più tardi della morte di Gauss - nel 1872 - il giovane tedesco Felix Klein intuì che la varietà delle possibili geometrie può essere ricondotta in corrispondenza biunivoca con la varietà delle possibili algebre. In poche parole, ogni geometria è definita dal suo gruppo di simmetria, mentre l'algebra generale studia tutti i possibili gruppi e le loro proprietà.

Ma una tale comprensione della geometria e dell'algebra arrivò molto più tardi, e l'assalto al teorema di Fermat riprese durante la vita di Gauss. Egli stesso ha trascurato il teorema di Fermat per principio: non è compito del re risolvere problemi individuali che non rientrano in una brillante teoria scientifica! Ma gli studenti di Gauss, armati della sua nuova algebra e dell'analisi classica di Newton ed Eulero, ragionavano diversamente. In primo luogo, Peter Dirichlet ha dimostrato il teorema di Fermat per il grado 7 utilizzando l'anello di interi complessi generati dalle radici di questo grado di unità. Quindi Ernst Kummer ha esteso il metodo Dirichlet a TUTTI i primi gradi (!) - gli sembrava di fretta e ha trionfato. Ma presto è arrivata la sbornia: la prova passa in modo impeccabile solo se ogni elemento dell'anello viene scomposto in modo univoco in fattori primi! Per gli interi ordinari, questo fatto era già noto a Euclide, ma solo Gauss ne diede una dimostrazione rigorosa. Ma che dire dei numeri complessi interi?

Secondo il “principio del più grande danno”, può e DEVE verificarsi una fattorizzazione ambigua! Non appena Kummer ha imparato a calcolare il grado di ambiguità con metodi di analisi matematica, ha scoperto questo sporco trucco sul ring per il grado 23. Gauss non ha avuto il tempo di conoscere questa versione esotica dell'algebra commutativa, ma gli studenti di Gauss sono cresciuti un nuova bella Teoria degli ideali al posto di un altro sporco trucco. È vero, questo non ha aiutato molto a risolvere il problema di Fermat: solo la sua complessità naturale è diventata più chiara.

Per tutto il XIX secolo, questo antico idolo ha richiesto sempre più sacrifici ai suoi ammiratori sotto forma di nuove complesse teorie. Non sorprende che all'inizio del 20° secolo i credenti si scoraggiassero e si ribellassero, rifiutando il loro ex idolo. La parola "fermatista" è diventata un termine peggiorativo tra i matematici professionisti. E sebbene fosse stato assegnato un premio considerevole per la dimostrazione completa del teorema di Fermat, i suoi ricorrenti erano per lo più ignoranti sicuri di sé. I più forti matematici di quel tempo - Poincaré e Hilbert - evitarono con aria di sfida questo argomento.

Nel 1900 Hilbert non includeva il teorema di Fermat nell'elenco dei ventitré grandi problemi che la matematica del ventesimo secolo doveva affrontare. Vero, ha incluso nelle loro serie il problema generale della risolvibilità delle equazioni diofantee. Il suggerimento era chiaro: segui l'esempio di Gauss e Galois, crea teorie generali su nuovi oggetti matematici! Poi un bel giorno (ma non prevedibile in anticipo), la vecchia scheggia cadrà da sola.

Così si è comportato il grande romantico Henri Poincaré. Trascurando molti problemi "eterni", per tutta la vita studiò le SIMMETRIE di alcuni oggetti della matematica o della fisica: o funzioni di una variabile complessa, o traiettorie di moto di corpi celesti, o curve algebriche o varietà lisce (si tratta di generalizzazioni multidimensionali di curve Linee). Il motivo delle sue azioni era semplice: se due oggetti diversi hanno simmetrie simili, significa che c'è una relazione interna tra loro, che non siamo ancora in grado di comprendere! Ad esempio, ciascuna delle geometrie bidimensionali (Euclide, Lobachevsky o Riemann) ha un proprio gruppo di simmetria, che agisce sul piano. Ma i punti del piano sono numeri complessi: in questo modo l'azione di qualsiasi gruppo geometrico viene trasferita nel vasto mondo delle funzioni complesse. È possibile e necessario studiare la più simmetrica di queste funzioni: AUTOMORFA (che sono soggette al gruppo di Euclide) e MODULARE (che sono soggette al gruppo di Lobachevsky)!

Ci sono anche curve ellittiche nel piano. Non hanno nulla a che vedere con l'ellisse, ma sono dati da equazioni della forma Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX e quindi si intersecano con una qualsiasi retta in tre punti. Questo fatto ci permette di introdurre la moltiplicazione tra i punti di una curva ellittica - per trasformarla in un gruppo. La struttura algebrica di questo gruppo riflette le proprietà geometriche della curva; forse è determinata unicamente dal suo gruppo? Vale la pena studiare questa domanda, poiché per alcune curve il gruppo di nostro interesse risulta essere modulare, cioè è correlato alla geometria di Lobachevsky ...

Così ragionava Poincaré, seducendo la gioventù matematica d'Europa, ma all'inizio del XX secolo queste tentazioni non portavano a teoremi o ipotesi brillanti. Diverso è risultato con l'appello di Hilbert: studiare le soluzioni generali delle equazioni diofantee con coefficienti interi! Nel 1922, il giovane americano Lewis Mordell collegò l'insieme delle soluzioni di tale equazione (questo è uno spazio vettoriale di una certa dimensione) con il genere geometrico della curva complessa che è data da questa equazione. Mordell è giunto alla conclusione che se il grado dell'equazione è sufficientemente grande (più di due), allora la dimensione dello spazio della soluzione è espressa in termini di genere della curva, e quindi questa dimensione è FINITA. Al contrario - alla potenza di 2, l'equazione pitagorica ha una famiglia di soluzioni DIMENSIONALI INFINITE!

Naturalmente Mordell vedeva la connessione della sua ipotesi con il teorema di Fermat. Se si scopre che per ogni grado n > 2 lo spazio di intere soluzioni dell'equazione di Fermat è a dimensione finita, ciò aiuterà a dimostrare che tali soluzioni non esistono affatto! Ma Mordell non vedeva alcun modo per dimostrare la sua ipotesi - e sebbene visse una lunga vita, non aspettò la trasformazione di questa ipotesi nel teorema di Faltings. Ciò avvenne nel 1983, in un'epoca completamente diversa, dopo i grandi successi della topologia algebrica delle varietà.

Poincaré ha creato questa scienza come per caso: voleva sapere cosa sono le varietà tridimensionali. Dopotutto, Riemann ha scoperto la struttura di tutte le superfici chiuse e ha ottenuto una risposta molto semplice! Se non esiste una risposta del genere in un caso tridimensionale o multidimensionale, allora è necessario elaborare un sistema di invarianti algebriche della varietà che ne determini la struttura geometrica. È meglio se tali invarianti sono elementi di alcuni gruppi: commutativi o non commutativi.

Per quanto strano possa sembrare, questo progetto audace di Poincaré riuscì: fu realizzato dal 1950 al 1970 grazie all'impegno di moltissimi geometri e algebristi. Fino al 1950 c'era un tranquillo accumulo di vari metodi per classificare le varietà, e dopo questa data sembrava essersi accumulata una massa critica di persone e idee e si era verificata un'esplosione, paragonabile all'invenzione dell'analisi matematica nel XVII secolo. Ma la rivoluzione analitica è durata un secolo e mezzo, coprendo le biografie creative di quattro generazioni di matematici - da Newton e Leibniz a Fourier e Cauchy. Al contrario, la rivoluzione topologica del XX secolo è avvenuta nel giro di vent'anni, grazie al gran numero dei suoi partecipanti. Allo stesso tempo, è emersa una grande generazione di giovani matematici sicuri di sé, rimasti improvvisamente senza lavoro nella loro patria storica.

Negli anni Settanta si precipitarono nei campi adiacenti della matematica e della fisica teorica. Molti hanno creato le proprie scuole scientifiche in dozzine di università in Europa e in America. Molti studenti di diverse età e nazionalità, con diverse capacità e inclinazioni, circolano ancora tra questi centri, e tutti vogliono essere famosi per qualche scoperta. Fu in questo pandemonio che la congettura di Mordell e il teorema di Fermat furono finalmente dimostrati.

Tuttavia, la prima rondine, ignara del suo destino, è cresciuta in Giappone negli anni del dopoguerra affamata e disoccupata. Il nome della rondine era Yutaka Taniyama. Nel 1955, questo eroe compì 28 anni e decise (insieme agli amici Goro Shimura e Takauji Tamagawa) di rilanciare la ricerca matematica in Giappone. Da dove cominciare? Certo, con il superamento dell'isolamento dai colleghi stranieri! Così nel 1955 tre giovani giapponesi ospitarono a Tokyo la prima conferenza internazionale sull'algebra e la teoria dei numeri. Apparentemente era più facile farlo in Giappone rieducato dagli americani che in Russia congelata da Stalin...

Tra gli ospiti d'onore c'erano due eroi francesi: Andre Weil e Jean-Pierre Serre. Qui i giapponesi furono molto fortunati: Weil era il capo riconosciuto degli algebristi francesi e un membro del gruppo Bourbaki, e il giovane Serre svolgeva un ruolo simile tra i topologi. In accese discussioni con loro, le teste dei giovani giapponesi si incrinarono, i loro cervelli si sciolsero, ma alla fine si cristallizzarono idee e piani che difficilmente avrebbero potuto nascere in un ambiente diverso.

Un giorno, Taniyama si rivolse a Weil con una domanda sulle curve ellittiche e le funzioni modulari. All'inizio il francese non capiva niente: Taniyama non era un maestro di lingua inglese. Poi l'essenza della questione divenne chiara, ma Taniyama non riuscì a dare alle sue speranze una formulazione esatta. Tutto ciò che Weil poteva rispondere al giovane giapponese era che se fosse stato molto fortunato in termini di ispirazione, allora dalle sue vaghe ipotesi sarebbe nato qualcosa di sensato. Ma mentre la speranza è debole!

Ovviamente, Weil non notò il fuoco celeste nello sguardo di Taniyama. E c'è stato il fuoco: sembra che per un attimo l'indomito pensiero del compianto Poincaré si sia spostato nei giapponesi! Taniyama è arrivato a credere che ogni curva ellittica sia generata da funzioni modulari - più precisamente, è "uniformizzata da una forma modulare". Purtroppo, questa esatta formulazione è nata molto più tardi, nelle conversazioni di Taniyama con il suo amico Shimura. E poi Taniyama si è suicidato in un impeto di depressione... La sua ipotesi è rimasta senza un proprietario: non era chiaro come provarlo o dove testarlo, e quindi nessuno l'ha presa sul serio per molto tempo. La prima risposta arrivò solo trent'anni dopo, quasi come ai tempi di Fermat!

Il ghiaccio si ruppe nel 1983, quando il ventisettenne tedesco Gerd Faltings annunciò al mondo intero: la congettura di Mordell era stata dimostrata! I matematici stavano in guardia, ma Faltings era un vero tedesco: non c'erano lacune nella sua lunga e complicata dimostrazione. È solo che è giunto il momento, fatti e concetti si sono accumulati - e ora un algebrista di talento, basandosi sui risultati di altri dieci algebristi, è riuscito a risolvere un problema che ha aspettato il maestro per sessant'anni. Questo non è raro nella matematica del 20° secolo. Vale la pena ricordare il problema del continuo secolare nella teoria degli insiemi, le due congetture di Burnside nella teoria dei gruppi o la congettura di Poincaré nella topologia. Infine, nella teoria dei numeri, è giunto il momento di raccogliere i vecchi raccolti ... Quale sarà il prossimo top di una serie di matematici conquistati? Il problema di Eulero, l'ipotesi di Riemann o il teorema di Fermat crolleranno? È bene!

E ora, due anni dopo la rivelazione di Faltings, un altro ispirato matematico è apparso in Germania. Si chiamava Gerhard Frey e affermava qualcosa di strano: che il teorema di Fermat DERIVA dalla congettura di Taniyama! Sfortunatamente, lo stile di Frey nell'esprimere i suoi pensieri ricordava più lo sfortunato Taniyama che il suo chiaro connazionale Faltings. In Germania, nessuno capiva Frey e andò all'estero, nella gloriosa città di Princeton, dove, dopo Einstein, si abituarono a non tali visitatori. Non c'è da stupirsi che Barry Mazur, un topologo versatile, uno degli eroi del recente assalto alle varietà lisce, abbia fatto il suo nido lì. E uno studente è cresciuto accanto a Mazur - Ken Ribet, ugualmente esperto nelle complessità della topologia e dell'algebra, ma ancora senza glorificarsi in alcun modo.

Quando ha ascoltato per la prima volta i discorsi di Frey, Ribet ha deciso che si trattava di una sciocchezza e quasi fantascienza (probabilmente, Weil ha reagito alle rivelazioni di Taniyama allo stesso modo). Ma Ribet non poteva dimenticare questa "fantasia" ea volte ci tornava mentalmente. Sei mesi dopo, Ribet credette che ci fosse qualcosa di sensato nelle fantasie di Frey, e un anno dopo decise che lui stesso avrebbe potuto quasi provare la strana ipotesi di Frey. Ma alcuni "buchi" sono rimasti e Ribet ha deciso di confessare al suo capo Mazur. Ascoltò attentamente lo studente e rispose con calma: “Sì, hai fatto tutto! Qui devi applicare la trasformazione Ф, qui - usa i Lemmi B e K e tutto assumerà una forma impeccabile! Così Ribet fece un salto dall'oscurità all'immortalità, usando una catapulta nella persona di Frey e Mazur. In tutta onestà, tutti loro - insieme al compianto Taniyama - dovrebbero essere considerati dimostrazioni dell'ultimo teorema di Fermat.

Ma ecco il problema: hanno derivato la loro affermazione dall'ipotesi di Taniyama, che di per sé non è stata dimostrata! E se fosse infedele? I matematici sanno da tempo che "tutto segue da una bugia", se l'ipotesi di Taniyama è sbagliata, allora l'impeccabile ragionamento di Ribet è inutile! Abbiamo urgente bisogno di dimostrare (o smentire) la congettura di Taniyama, altrimenti qualcuno come Faltings dimostrerà il teorema di Fermat in un modo diverso. Diventerà un eroe!

È improbabile che sapremo mai quanti algebristi giovani o esperti si siano lanciati sul teorema di Fermat dopo il successo di Faltings o dopo la vittoria di Ribet nel 1986. Tutti loro cercavano di lavorare in segreto, in modo che in caso di fallimento non venissero inseriti nella comunità dei “manichini”-fermatisti. È noto che il più vincente di tutti - Andrew Wiles di Cambridge - ha sentito il sapore della vittoria solo all'inizio del 1993. Questo non tanto piacque quanto spaventò Wiles: e se la sua dimostrazione della congettura di Taniyama mostrasse un errore o una lacuna? Poi la sua reputazione scientifica perì! Devi annotare con cura la bozza (ma saranno molte decine di pagine!) e metterla da parte per sei mesi o un anno, così da poterla poi rileggere a sangue freddo e meticolosamente... E se qualcuno pubblica la sua prova durante questo periodo? Oh guai...

Eppure Wiles ha escogitato un doppio modo per testare rapidamente la sua prova. Innanzitutto, devi fidarti di uno dei tuoi amici e colleghi affidabili e raccontargli l'intero corso del ragionamento. Dall'esterno, tutti gli errori sono più visibili! In secondo luogo, è necessario leggere un corso speciale su questo argomento per studenti intelligenti e dottorandi: a queste persone intelligenti non mancherà un solo errore del docente! Basta non dire loro l'obiettivo finale del corso fino all'ultimo momento, altrimenti il ​​mondo intero lo saprà! E, naturalmente, devi cercare un tale pubblico lontano da Cambridge: è meglio non nemmeno in Inghilterra, ma in America ... Cosa potrebbe esserci di meglio della lontana Princeton?

Wiles vi si recò nella primavera del 1993. Il suo amico paziente Niklas Katz, dopo aver ascoltato il lungo rapporto di Wiles, vi trovò una serie di lacune, ma tutte facilmente correggibili. Ma gli studenti laureati di Princeton scapparono presto dal corso speciale di Wiles, non volendo seguire il pensiero stravagante del docente, che li porta non si sa dove. Dopo una tale revisione (non particolarmente approfondita) del suo lavoro, Wiles decise che era giunto il momento di rivelare al mondo un grande miracolo.

Nel giugno 1993 si tenne a Cambridge un'altra conferenza, dedicata alla "teoria di Iwasawa", una sezione popolare della teoria dei numeri. Wiles ha deciso di raccontare la sua dimostrazione della congettura di Taniyama su di essa, senza annunciare il risultato principale fino alla fine. Il rapporto è andato avanti per molto tempo, ma con successo, i giornalisti hanno gradualmente iniziato ad affollarsi, che hanno percepito qualcosa. Infine, il tuono ha colpito: il teorema di Fermat è dimostrato! La gioia generale non è stata offuscata da alcun dubbio: tutto sembra essere chiaro ... Ma due mesi dopo, Katz, dopo aver letto il testo finale di Wiles, ha notato un'altra lacuna in esso. Una certa transizione nel ragionamento si basava sul "sistema Eulero" - ma quello che Wiles ha costruito non era un tale sistema!

Wiles ha controllato il collo di bottiglia e si è reso conto di essersi sbagliato qui. Peggio ancora: non è chiaro come sostituire il ragionamento errato! Questo è stato seguito dai mesi più bui della vita di Wiles. In precedenza, ha sintetizzato liberamente una prova senza precedenti dal materiale a disposizione. Ora è legato a un compito ristretto e chiaro, senza la certezza che abbia una soluzione e che sarà in grado di trovarla nel prossimo futuro. Di recente, Frey non ha potuto resistere alla stessa lotta - e ora il suo nome è stato oscurato dal nome del fortunato Ribet, anche se l'ipotesi di Frey si è rivelata corretta. E cosa accadrà alla MIA supposizione e al MIO nome?

Questo duro lavoro è durato esattamente un anno. Nel settembre 1994 Wiles era pronto ad ammettere la sconfitta e a lasciare l'ipotesi Taniyama a successori più fortunati. Dopo aver preso una tale decisione, iniziò a rileggere lentamente la sua prova - dall'inizio alla fine, ascoltando il ritmo del ragionamento, rivivendo il piacere di scoperte riuscite. Raggiunto il luogo "maledetto", Wiles, tuttavia, non sentì mentalmente una nota falsa. Il corso del suo ragionamento era ancora impeccabile e l'errore sorgeva solo nella descrizione VERBALE dell'immagine mentale? Se non c'è un "sistema Eulero" qui, allora cosa è nascosto qui?

Improvvisamente, mi è venuto in mente un semplice pensiero: il "sistema Eulero" non funziona dove è applicabile la teoria di Iwasawa. Perché non applicare direttamente questa teoria, fortunatamente vicina e familiare allo stesso Wiles? E perché non ha provato questo approccio fin dall'inizio, ma si è lasciato trasportare dalla visione di qualcun altro del problema? Wiles non riusciva più a ricordare questi dettagli - e divenne inutile. Ha svolto il ragionamento necessario nell'ambito della teoria di Iwasawa e tutto si è rivelato in mezz'ora! Così - con un ritardo di un anno - l'ultima lacuna nella dimostrazione della congettura di Taniyama è stata colmata. Il testo finale è stato affidato alla mercé di un gruppo di revisori della più famosa rivista di matematica, che un anno dopo hanno dichiarato che ora non ci sono più errori. Così, nel 1995, l'ultima congettura di Fermat è morta all'età di 360 anni, trasformandosi in un teorema provato, che entrerà inevitabilmente nei libri di teoria dei numeri.

Riassumendo il clamore di tre secoli attorno al teorema di Fermat, dobbiamo trarre una strana conclusione: questa eroica epopea non sarebbe potuta accadere! In effetti, il teorema di Pitagora esprime una connessione semplice e importante tra oggetti naturali visivi: le lunghezze dei segmenti. Ma lo stesso non si può dire del teorema di Fermat. Sembra più una sovrastruttura culturale su un substrato scientifico, come raggiungere il Polo Nord della Terra o volare sulla luna. Ricordiamo che entrambe queste imprese furono cantate dagli scrittori molto prima che fossero compiute - nell'era antica, dopo la comparsa degli Elementi di Euclide, ma prima della comparsa dell'Aritmetica di Diofanto. Quindi, allora c'era un bisogno pubblico di exploit intellettuali di questo tipo - almeno immaginari! In precedenza, gli elleni ne avevano avuto abbastanza delle poesie di Omero, proprio come cento anni prima di Fermat, i francesi ne avevano abbastanza delle passioni religiose. Ma poi le passioni religiose si placarono e la scienza si fermò accanto a loro.

In Russia, tali processi sono iniziati centocinquanta anni fa, quando Turgenev ha messo Yevgeny Bazarov alla pari con Yevgeny Onegin. È vero, lo scrittore Turgenev comprendeva male i motivi delle azioni dello scienziato Bazarov e non osò cantarli, ma ciò fu presto fatto dallo scienziato Ivan Sechenov e dal giornalista illuminato Jules Verne. La rivoluzione scientifica e tecnologica spontanea ha bisogno di un guscio culturale per penetrare nelle menti della maggior parte delle persone, e qui arriva prima la fantascienza, e poi la letteratura scientifica popolare (compresa la rivista "Knowledge is Power").

Allo stesso tempo, un argomento scientifico specifico non è affatto importante per il grande pubblico e non è molto importante nemmeno per gli eroi-interpreti. Quindi, dopo aver saputo del raggiungimento del Polo Nord da parte di Peary e Cook, Amundsen cambiò immediatamente l'obiettivo della sua spedizione già preparata e presto raggiunse il Polo Sud, davanti a Scott di un mese. Più tardi, la riuscita circumnavigazione della Terra da parte di Yuri Gagarin costrinse il presidente Kennedy a cambiare il precedente obiettivo del programma spaziale americano con uno più costoso ma molto più impressionante: sbarcare uomini sulla luna.

Anche prima, il perspicace Hilbert ha risposto all'ingenua domanda degli studenti: "La soluzione di quale problema scientifico sarebbe più utile ora"? - ha risposto con una battuta: "Prendi una mosca dall'altra parte della luna!" Alla domanda perplessa: "Perché è necessario?" - seguito da una risposta chiara: “Nessuno ha bisogno di QUESTO! Ma pensa ai metodi scientifici e ai mezzi tecnici che dovremo sviluppare per risolvere un problema del genere - e quanti altri bei problemi risolveremo lungo la strada!

Questo è esattamente ciò che è successo con il teorema di Fermat. Eulero avrebbe potuto benissimo trascurarlo.

In questo caso, qualche altro problema diventerebbe l'idolo dei matematici, forse anche dalla teoria dei numeri. Ad esempio, il problema di Eratostene: esiste un insieme finito o infinito di numeri primi gemelli (come 11 e 13, 17 e 19 e così via)? Oppure il problema di Eulero: ogni numero pari è la somma di due numeri primi? Oppure: esiste una relazione algebrica tra i numeri π ed e? Questi tre problemi non sono stati ancora risolti, anche se nel XX secolo i matematici si sono avvicinati alla comprensione della loro essenza. Ma questo secolo ha anche dato origine a molti problemi nuovi, non meno interessanti, soprattutto all'intersezione della matematica con la fisica e altre branche delle scienze naturali.

Già nel 1900 Hilbert ne individuò uno: creare un sistema completo di assiomi della fisica matematica! Cento anni dopo, questo problema è lungi dall'essere risolto, se non altro perché l'arsenale dei mezzi matematici della fisica è in costante crescita e non tutti hanno una giustificazione rigorosa. Ma dopo il 1970, la fisica teorica si è divisa in due rami. Uno (classico) dai tempi di Newton modella e prevede processi STABILI, l'altro (neonato) sta cercando di formalizzare l'interazione dei processi INSTABILI e le modalità per controllarli. È chiaro che queste due branche della fisica devono essere assiomatizzate separatamente.

Il primo di essi sarà probabilmente affrontato tra venti o cinquant'anni...

E cosa manca alla seconda branca della fisica - quella che è responsabile di tutti i tipi di evoluzione (compresi i frattali stravaganti e gli strani attrattori, l'ecologia delle biocenosi e la teoria della passione di Gumilyov)? Questo difficilmente lo capiremo presto. Ma il culto degli scienziati al nuovo idolo è già diventato un fenomeno di massa. Probabilmente qui si svolgerà un'epopea, paragonabile alla biografia di tre secoli del teorema di Fermat. Così, all'intersezione di diverse scienze, nascono nuovi idoli, simili a quelli religiosi, ma più complessi e dinamici...

Apparentemente, una persona non può rimanere tale senza rovesciare di tanto in tanto i vecchi idoli e senza crearne di nuovi - con dolore e con gioia! Pierre Fermat ha avuto la fortuna di trovarsi in un momento fatidico vicino al punto caldo della nascita di un nuovo idolo - ed è riuscito a lasciare un'impronta della sua personalità sul neonato. Si può invidiare un tale destino, e non è un peccato imitarlo.

Sergej Smirnov
"Sapere è potere"

Una volta nel numero di Capodanno della mailing list su come fare i toast, ho menzionato casualmente che alla fine del 20° secolo c'è stato un evento grandioso che molti non hanno notato: il cosiddetto ultimo teorema di Fermat è stato finalmente dimostrato. In questa occasione, tra le lettere che ho ricevuto, ho trovato due risposte di ragazze (una di loro, per quanto mi ricordo, è una Vika della nona elementare di Zelenograd), che sono rimaste sorprese da questo fatto.

E sono rimasto sorpreso da quanto intensamente le ragazze siano interessate ai problemi della matematica moderna. Pertanto, penso che non solo le ragazze, ma anche i ragazzi di tutte le età, dagli studenti delle scuole superiori ai pensionati, saranno interessati ad apprendere la storia del Grande Teorema.

La dimostrazione del teorema di Fermat è un grande evento. E da allora non è consuetudine scherzare con la parola "grande", quindi mi sembra che ogni oratore che si rispetti (e tutti noi, quando diciamo oratori) sia semplicemente obbligato a conoscere la storia del teorema.

Se è capitato che non ti piaccia la matematica quanto la amo io, allora guarda alcuni approfondimenti in dettaglio con uno sguardo superficiale. Comprendendo che non tutti i lettori della nostra mailing list sono interessati a vagare nelle terre selvagge della matematica, ho cercato di non fornire alcuna formula (tranne l'equazione del teorema di Fermat e un paio di ipotesi) e di semplificare la copertura di alcune questioni specifiche come per quanto possibile.

Come Fermat ha preparato il porridge

L'avvocato francese e grande matematico part-time del XVII secolo, Pierre Fermat (1601-1665), avanzò una curiosa affermazione dal campo della teoria dei numeri, che in seguito divenne noto come il Grande (o Grande) Teorema di Fermat. Questo è uno dei teoremi matematici più famosi e fenomenali. Probabilmente, l'eccitazione intorno ad esso non sarebbe stata così forte se nel libro di Diofanto di Alessandria (III secolo d.C.) "Aritmetica", che Fermat studiò spesso, annotando sui suoi ampi margini, e che suo figlio Samuele conservò gentilmente per i posteri , approssimativamente non è stata trovata la seguente voce del grande matematico:

"Ho una prova davvero sorprendente, ma è troppo grande per stare ai margini".

Fu questa voce che causò il successivo grandioso tumulto attorno al teorema.

Quindi, il famoso scienziato disse di aver dimostrato il suo teorema. Poniamoci la domanda: l'ha davvero dimostrato o ha mentito in modo banale? O ci sono altre versioni che spiegano l'apparizione di quella voce marginale che non permetteva a molti matematici delle generazioni successive di dormire sonni tranquilli?

La storia del Grande Teorema è affascinante quanto un'avventura nel tempo. Fermat affermò nel 1636 che un'equazione della forma x n + y n = z n non ha soluzioni in interi con esponente n>2. Questo è in realtà l'ultimo teorema di Fermat. In questa formula matematica apparentemente semplice, l'Universo ha mascherato un'incredibile complessità. Il matematico americano di origine scozzese Eric Temple Bell, nel suo libro The Final Problem (1961), suggerì persino che forse l'umanità avrebbe cessato di esistere prima di poter dimostrare l'ultimo teorema di Fermat.

È alquanto strano che per qualche ragione il teorema sia stato ritardato con la sua nascita, poiché la situazione era attesa da tempo, perché il suo caso speciale per n = 2 - un'altra famosa formula matematica - il teorema di Pitagora, è sorto ventidue secoli prima. A differenza del teorema di Fermat, il teorema di Pitagora ha un numero infinito di soluzioni intere, ad esempio triangoli di Pitagora: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15 ,17 ) … (27,36,45) … (112.384.400) … (4232, 7935, 8993) …

Sindrome del Grande Teorema

Chi semplicemente non ha provato a dimostrare il teorema di Fermat. Qualsiasi studente alle prime armi considerava suo dovere applicare il Grande Teorema, ma nessuno era in grado di dimostrarlo. All'inizio non ha funzionato per cento anni. Poi altri cento. E inoltre. Tra i matematici iniziò a svilupparsi una sindrome di massa: "Com'è? Fermat l'ha dimostrato, ma se non ci riuscissi, o cosa?" - e alcuni di loro sono impazziti su questa base nel pieno senso della parola.

Non importa quanto il teorema sia stato testato, si è sempre rivelato vero. Conoscevo un energico programmatore ossessionato dall'idea di smentire il Grande Teorema cercando di trovare almeno una soluzione (controesempio) iterando su interi usando un computer veloce (a quel tempo più comunemente chiamato computer). Credeva nel successo della sua impresa e amava dire: "Ancora un po' - e scoppierà una sensazione!" Penso che in diverse parti del nostro pianeta ci fosse un numero considerevole di questo tipo di audaci ricercatori. Ovviamente non ha trovato alcuna soluzione. E nessun computer, anche con una velocità favolosa, potrebbe mai testare il teorema, perché tutte le variabili di questa equazione (inclusi gli esponenti) possono aumentare all'infinito.

Il teorema richiede una dimostrazione

I matematici sanno che se un teorema non è dimostrato, da esso può derivare qualsiasi cosa (vero o falso), come è successo con alcune altre ipotesi. Per esempio, in una delle sue lettere, Pierre Fermat ha suggerito che i numeri della forma 2 n +1 (i cosiddetti numeri di Fermat) sono necessariamente primi (cioè non hanno divisori interi e sono divisibili solo per se stessi e per uno senza resto), se n è una potenza di due (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ecc.). L'ipotesi di Fermat visse per più di cento anni, fino a quando Leonhard Euler lo dimostrò nel 1732

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

Quindi, quasi 150 anni dopo (1880), Fortune Landry fattorizzò il seguente numero di Fermat:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Come hanno potuto trovare i divisori di questi grandi numeri senza l'aiuto dei computer - Dio solo lo sa. A sua volta, Eulero avanza l'ipotesi che l'equazione x 4 + y 4 + z 4 =u 4 non abbia soluzioni in numeri interi. Tuttavia, circa 250 anni dopo, nel 1988, Naum Elkis di Harvard riuscì a scoprire (già utilizzando un programma per computer) che

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Pertanto, l'Ultimo Teorema di Fermat richiedeva una dimostrazione, altrimenti era solo un'ipotesi, e poteva benissimo essere che da qualche parte negli infiniti campi numerici la soluzione dell'equazione del Grande Teorema fosse andata perduta.

Il matematico più virtuoso e prolifico del 18° secolo, Leonard Euler, il cui archivio di documenti l'umanità ha messo in ordine per quasi un secolo, ha dimostrato il teorema di Fermat per le potenze 3 e 4 (o meglio, ha ripetuto le prove perdute dello stesso Pierre Fermat) ; il suo seguace in teoria dei numeri, Legendre (e indipendentemente Dirichlet) - per il grado 5; Lame - per il grado 7. Ma in termini generali, il teorema è rimasto non dimostrato.

Il 1 marzo 1847, in una riunione dell'Accademia delle scienze di Parigi, due eminenti matematici contemporaneamente - Gabriel Lame e Augustin Cauchy - annunciarono di essere giunti alla fine della dimostrazione del Grande Teorema e organizzarono una gara, pubblicando il loro prove in parti. Tuttavia, il duello tra di loro fu interrotto perché lo stesso errore fu scoperto nelle loro dimostrazioni, come segnalato dal matematico tedesco Ernst Kummer.

All'inizio del XX secolo (1908), un ricco imprenditore, filantropo e scienziato tedesco Paul Wolfskel lasciò in eredità centomila marchi a chiunque volesse presentare una dimostrazione completa del teorema di Fermat. Già il primo anno dopo la pubblicazione del testamento di Wolfskell da parte dell'Accademia delle scienze di Göttingen, fu inondato di migliaia di dimostrazioni di appassionati di matematica, e questo flusso non si fermò per decenni, ma, come puoi immaginare, contenevano tutti errori . Dicono che l'accademia abbia preparato moduli con il seguente contenuto:

Cara __________________________!
Nella tua dimostrazione del teorema di Fermat a ____ pagina ____ riga dall'alto
Nella formula è stato trovato il seguente errore:__________________________:,

Che sono stati inviati a sfortunati candidati al premio.

A quel tempo, nella cerchia dei matematici apparve un soprannome semi-sprezzante: fermista. Questo era il nome dato a qualsiasi parvenu sicuro di sé privo di conoscenza, ma più che ambizioso di provare frettolosamente la sua mano a dimostrare il Grande Teorema, e poi, non accorgendosi dei propri errori, schiaffeggiandosi con orgoglio sul petto, dichiarò ad alta voce: "Io dimostrato il primo teorema di Fermat! Ogni contadino, anche se era diecimillesimo di numero, si considerava il primo: era ridicolo. La semplice apparenza del Grande Teorema ricordava così tanto ai Fermisti le prede facili che non erano affatto imbarazzati dal fatto che nemmeno Eulero e Gauss potessero farcela.

(I fermisti, stranamente, esistono ancora oggi. Anche se uno di loro non credeva di aver dimostrato il teorema come un fermista classico, ma fino a poco tempo fa ha fatto dei tentativi - si è rifiutato di credermi quando gli ho detto che il teorema di Fermat era già stato dimostrato).

Anche i matematici più potenti, forse nella quiete dei loro uffici, tentarono di avvicinarsi cautamente a questa insopportabile verga, ma non ne parlarono ad alta voce, per non essere bollati come Fermisti e, quindi, per non nuocere alla loro alta autorità.

A quel punto apparve la dimostrazione del teorema per l'esponente n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Strana ipotesi

Fino alla metà del ventesimo secolo non sono stati osservati grandi progressi nella storia del Grande Teorema. Ma presto si verificò un evento interessante nella vita matematica. Nel 1955, il 28enne matematico giapponese Yutaka Taniyama avanzò un'affermazione da un'area completamente diversa della matematica, chiamata Ipotesi di Taniyama (alias Ipotesi di Taniyama-Shimura-Weil), che, a differenza del tardivo Teorema di Fermat, era in anticipo rispetto a è tempo.

La congettura di Taniyama afferma: "ad ogni curva ellittica corrisponde una certa forma modulare". Questa affermazione per i matematici di quel tempo suonava tanto assurda quanto l'affermazione suona per noi: "un certo metallo corrisponde a ogni albero". È facile intuire come una persona normale possa relazionarsi con una tale affermazione: semplicemente non la prenderà sul serio, cosa che è accaduta: i matematici hanno ignorato all'unanimità l'ipotesi.

Una piccola spiegazione. Le curve ellittiche, note da molto tempo, hanno una forma bidimensionale (situata su un piano). Le funzioni modulari, scoperte nel XIX secolo, hanno una forma quadridimensionale, quindi non possiamo nemmeno immaginarle con i nostri cervelli tridimensionali, ma possiamo descriverle matematicamente; inoltre, le forme modulari sono sorprendenti in quanto hanno la massima simmetria possibile - possono essere traslate (spostate) in qualsiasi direzione, specchiate, frammenti possono essere scambiati, ruotati in infiniti modi - e il loro aspetto non cambia. Come puoi vedere, le curve ellittiche e le forme modulari hanno poco in comune. L'ipotesi di Taniyama afferma che le equazioni descrittive di questi due oggetti matematici assolutamente diversi corrispondenti tra loro possono essere espanse nella stessa serie matematica.

L'ipotesi di Taniyama era troppo paradossale: combinava concetti completamente diversi: curve piatte piuttosto semplici e forme quadridimensionali inimmaginabili. Questo non è mai successo a nessuno. Quando, in un simposio internazionale di matematica a Tokyo nel settembre 1955, Taniyama dimostrò diverse corrispondenze tra curve ellittiche e forme modulari, tutti videro questo come nient'altro che una divertente coincidenza. Alla modesta domanda di Taniyama: è possibile trovare la corrispondente funzione modulare per ciascuna curva ellittica, il venerabile francese Andre Weil, che a quel tempo era uno dei migliori specialisti mondiali di teoria dei numeri, diede una risposta abbastanza diplomatica, che cosa, dicono , se il curioso Taniyama non lascia entusiasmo, allora forse sarà fortunato e la sua incredibile ipotesi verrà confermata, ma questo non deve avvenire a breve. In generale, come molte altre scoperte eccezionali, all'inizio l'ipotesi di Taniyama è stata ignorata, perché non ci erano ancora cresciuti - quasi nessuno l'ha capito. Solo un collega di Taniyama, Goro Shimura, conoscendo bene il suo amico molto dotato, sentì intuitivamente che la sua ipotesi era corretta.

Tre anni dopo (1958), Yutaka Taniyama si suicidò (tuttavia, le tradizioni dei samurai sono forti in Giappone). Dal punto di vista del buon senso - un atto incomprensibile, soprattutto se si considera che molto presto si sarebbe sposato. Il leader dei giovani matematici giapponesi ha iniziato il suo biglietto d'addio così: "Ieri non ho pensato al suicidio. Recentemente ho sentito spesso da altri che ero stanco mentalmente e fisicamente. In realtà, ancora non capisco perché lo sto facendo questo...” e così via su tre fogli. È un peccato, ovviamente, che questo fosse il destino di una persona interessante, ma tutti i geni sono un po' strani - ecco perché sono geni (per qualche motivo, mi sono venute in mente le parole di Arthur Schopenhauer: "nella vita ordinaria, un il genio serve tanto quanto un cannocchiale in un teatro”) . L'ipotesi è stata abbandonata. Nessuno sapeva come dimostrarlo.

Per dieci anni, l'ipotesi di Taniyama è stata appena menzionata. Ma all'inizio degli anni '70 divenne popolare - veniva regolarmente controllato da tutti coloro che potevano capirlo - ed era sempre confermato (come, appunto, il teorema di Fermat), ma, come prima, nessuno poteva dimostrarlo.

La sorprendente connessione tra le due ipotesi

Sono passati altri 15 anni. Nel 1984 ci fu un evento chiave nella vita della matematica che combinava la stravagante congettura giapponese con l'ultimo teorema di Fermat. Il tedesco Gerhard Frey ha avanzato una curiosa affermazione, simile a un teorema: "Se la congettura di Taniyama è dimostrata, allora, di conseguenza, sarà dimostrato l'ultimo teorema di Fermat". In altre parole, il teorema di Fermat è una conseguenza della congettura di Taniyama. (Frey, utilizzando ingegnose trasformazioni matematiche, ridusse l'equazione di Fermat alla forma di un'equazione di curva ellittica (la stessa che appare nell'ipotesi di Taniyama), più o meno sostanziava la sua ipotesi, ma non poteva dimostrarla). E solo un anno e mezzo dopo (1986), un professore dell'Università della California, Kenneth Ribet, dimostrò chiaramente il teorema di Frey.

Cos'è successo ora? Ora si è scoperto che, poiché il teorema di Fermat è già esattamente una conseguenza della congettura di Taniyama, basta dimostrare quest'ultima per spezzare gli allori del vincitore del leggendario teorema di Fermat. Ma l'ipotesi si è rivelata difficile. Inoltre, nel corso dei secoli, i matematici divennero allergici al teorema di Fermat e molti di loro decisero che sarebbe stato anche quasi impossibile far fronte alla congettura di Taniyama.

La morte dell'ipotesi di Fermat. La nascita di un teorema

Sono passati altri 8 anni. Un progressista professore di matematica inglese dell'Università di Princeton (New Jersey, USA), Andrew Wiles, pensava di aver trovato una dimostrazione della congettura di Taniyama. Se il genio non è calvo, di regola arruffato. Wiles è spettinato, quindi, sembra un genio. Entrare nella Storia, ovviamente, è allettante e molto desiderabile, ma Wiles, come un vero scienziato, non si lusingò, rendendosi conto che anche migliaia di Fermisti prima di lui avevano visto prove spettrali. Pertanto, prima di presentare la sua dimostrazione al mondo, la verificò lui stesso con cura, ma rendendosi conto che poteva avere un pregiudizio soggettivo, coinvolse anche altri nelle verifiche, ad esempio, con il pretesto di normali compiti matematici, a volte lanciava vari frammenti della sua prova a studenti laureati intelligenti. Wiles in seguito ammise che nessuno tranne sua moglie sapeva che stava lavorando per dimostrare il Grande Teorema.

E così, dopo lunghe verifiche e dolorose riflessioni, Wiles finalmente si fece coraggio, e forse, come lui stesso pensava, arroganza, e il 23 giugno 1993, in un convegno di matematica sulla teoria dei numeri a Cambridge, annunciò il suo grande traguardo.

Era, ovviamente, una sensazione. Nessuno si aspettava una tale agilità da un matematico poco conosciuto. Poi è arrivata la stampa. Tutti erano tormentati da un ardente interesse. Formule snelle, come i tratti di una bella immagine, sono apparse davanti agli occhi curiosi del pubblico. I veri matematici, dopotutto, sono così: guardano tutti i tipi di equazioni e non vedono in esse numeri, costanti e variabili, ma sentono musica, come Mozart che guarda un pentagramma. Proprio come quando leggiamo un libro, guardiamo le lettere, ma sembra che non le notiamo, ma percepiamo subito il significato del testo.

La presentazione della dimostrazione sembrava aver avuto successo - non sono stati trovati errori - nessuno ha sentito una sola nota falsa (sebbene la maggior parte dei matematici semplicemente lo fissasse come i bambini di prima elementare a un integrale e non capisse nulla). Tutti decisero che era accaduto un evento di grande portata: l'ipotesi di Taniyama fu dimostrata, e di conseguenza l'Ultimo Teorema di Fermat. Ma circa due mesi dopo, pochi giorni prima della messa in circolazione del manoscritto della prova di Wiles, esso si rivelò incoerente (Katz, un collega di Wiles, notò che un ragionamento si basava sul "sistema di Eulero", ma ciò che costruito da Wiles, non era un tale sistema), sebbene, in generale, le tecniche di Wiles fossero considerate interessanti, eleganti e innovative.

Wiles analizzò la situazione e decise che aveva perso. Si può immaginare come si sia sentito con tutto il suo essere cosa significa "dal grande al ridicolo un passo". "Volevo entrare nella Storia, ma invece mi sono unito a una squadra di clown e comici - contadini arroganti" - all'incirca tali pensieri lo hanno esaurito durante quel periodo doloroso della sua vita. Per lui, un matematico serio, è stata una tragedia, e ha gettato la sua dimostrazione nel dimenticatoio.

Ma poco più di un anno dopo, nel settembre 1994, pensando a quel collo di bottiglia della dimostrazione, quest'ultimo, insieme al collega Taylor di Oxford, ebbe improvvisamente l'idea che il "sistema di Eulero" potesse essere modificato nella teoria di Iwasawa (sezione della teoria dei numeri). Poi hanno cercato di utilizzare la teoria di Iwasawa, facendo a meno del "sistema Eulero", e si sono riuniti tutti. La versione corretta della prova è stata sottoposta a verifica e un anno dopo è stato annunciato che tutto era assolutamente chiaro, senza un solo errore. Nell'estate del 1995, in una delle principali riviste matematiche - "Annals of Mathematics" - è stata pubblicata una dimostrazione completa della congettura di Taniyama (da cui il grande (grande) teorema di Fermat), che ha occupato l'intero numero - oltre cento pagine. La prova è così complessa che solo poche decine di persone in tutto il mondo potrebbero capirla nella sua interezza.

Così, alla fine del 20° secolo, il mondo intero ha riconosciuto che nel 360° anno della sua vita, l'Ultimo Teorema di Fermat, che in realtà era stato un'ipotesi per tutto questo tempo, era diventato un teorema provato. Andrew Wiles dimostrò il grande (grande) teorema di Fermat ed entrò nella storia.

Credi di aver dimostrato un teorema...

La felicità dello scopritore va sempre a qualcuno solo: è lui che, con l'ultimo colpo di martello, rompe il duro dado della conoscenza. Ma non si possono ignorare i tanti colpi precedenti che per secoli hanno formato una crepa nel Grande Teorema: Eulero e Gauss (i re della matematica del loro tempo), Evariste Galois (che riuscì a stabilire la teoria dei gruppi e dei campi nel suo breve 21 -anno di vita, le cui opere furono riconosciute brillanti solo dopo la sua morte), Henri Poincaré (il fondatore non solo delle bizzarre forme modulari, ma anche del convenzionalismo - una tendenza filosofica), David Gilbert (uno dei più forti matematici del XX secolo) , Yutaku Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbet, Richard Taylor e altri veri scienziati(Non ho paura di queste parole).

La dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat può essere paragonata a conquiste del ventesimo secolo come l'invenzione del computer, della bomba nucleare e del volo spaziale. Anche se poco conosciuto al riguardo, perché non invade la zona dei nostri momentanei interessi, come un televisore o una lampadina elettrica, è stato il lampo di una supernova, che, come tutte le verità immutabili, brillerà sempre umanità.

Puoi dire: "Pensa, hai dimostrato una specie di teorema, chi ne ha bisogno?". Una domanda giusta. La risposta di David Gilbert si adatterà esattamente qui. Quando, alla domanda: "qual è il compito più importante per la scienza ora?", Ha risposto: "prendere una mosca dall'altra parte della luna", gli è stato ragionevolmente chiesto: "ma chi ne ha bisogno?", ha risposto così:" Nessuno ne ha bisogno. Ma pensa a quanti problemi importanti e difficili devono essere risolti per raggiungere questo obiettivo. "Pensa a quanti problemi l'umanità è stata in grado di risolvere in 360 anni prima di dimostrare il teorema di Fermat. Alla ricerca della sua dimostrazione, quasi la metà della matematica moderna è stato scoperto. Dobbiamo anche tenere conto del fatto che la matematica è l'avanguardia della scienza (e, tra l'altro, l'unica delle scienze che viene costruita senza un solo errore), e qualsiasi risultato scientifico e invenzione inizia qui. " .

* * *

E ora torniamo all'inizio della nostra storia, ricordiamo l'ingresso di Pierre Fermat a margine del libro di Diofanto e ci chiediamo ancora una volta: Fermat ha davvero dimostrato il suo teorema? Naturalmente, non possiamo saperlo con certezza e, come in ogni caso, qui emergono versioni diverse:

Versione 1: Fermat ha dimostrato il suo teorema. (Alla domanda: "Fermat aveva esattamente la stessa dimostrazione del suo teorema?", Andrew Wiles ha osservato: "Fermat non avrebbe potuto Così prova. Questa è la prova del 20° secolo. "Comprendiamo che nel 17° secolo la matematica, ovviamente, non era la stessa della fine del 20° secolo - in quell'epoca, d, Artagnan, la regina delle scienze, non eppure possiedono quelle scoperte (forme modulari, teoremi di Taniyama, Frey, ecc.), che hanno permesso solo di dimostrare l'ultimo teorema di Fermat. Naturalmente, si può presumere: che diavolo non sta scherzando - e se Fermat indovinasse in un modo diverso ?Questa versione, sebbene probabile, è praticamente impossibile secondo la maggior parte dei matematici);
Versione 2: A Pierre de Fermat sembrava di aver dimostrato il suo teorema, ma c'erano degli errori nella sua dimostrazione. (Cioè, lo stesso Fermat fu anche il primo fermatista);
Versione 3: Fermat non ha dimostrato il suo teorema, ma ha semplicemente mentito ai margini.

Se una delle ultime due versioni è corretta, il che è molto probabile, si può trarre una semplice conclusione: persone fantastiche, anche se sono grandi, possono anche commettere errori o talvolta non si preoccupano di mentire(fondamentalmente, questa conclusione sarà utile per coloro che sono inclini a fidarsi completamente dei propri idoli e di altri governanti del pensiero). Pertanto, quando leggi le opere di autorevoli figli dell'umanità o ascolti i loro patetici discorsi, hai tutto il diritto di dubitare delle loro affermazioni. (Si prega di notare che dubitare è non rifiutare).

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NOTIZIE DI SCIENZA E TECNOLOGIA

UDC 51:37;517.958

AV Konovko, dottorato di ricerca

Accademia dei vigili del fuoco statali EMERCOM della Russia LA GRANDE FATTORIA DEL TEOREMA È DIMOSTRATA. O NO?

Per diversi secoli non è stato possibile dimostrare che l'equazione xn+yn=zn per n>2 sia irrisolvibile in numeri razionali, e quindi interi. Questo problema è nato sotto la paternità dell'avvocato francese Pierre Fermat, che allo stesso tempo era professionalmente impegnato in matematica. La sua soluzione è attribuita all'insegnante di matematica americano Andrew Wiles. Questo riconoscimento è durato dal 1993 al 1995.

IL GRANDE TEOREMA DI FERMA "S È DIMOSTRATO. O NO?

Viene considerata la drammatica storia dell'ultima dimostrazione del teorema di Fermat. Ci sono voluti quasi quattrocento anni. Pierre Fermat ha scritto poco. Ha scritto in stile compresso. Inoltre non ha pubblicato le sue ricerche. L'affermazione che l'equazione xn+yn=zn è irrisolvibile sugli insiemi di numeri razionali e interi se n>2 è stato accompagnato dal commento di Fermat che ha trovato davvero notevoli prove a questa affermazione. I discendenti non furono raggiunti da questa prova. Più tardi questa affermazione è stata chiamata l'ultimo teorema di Fermat. I migliori matematici del mondo hanno rotto la lancia su questo teorema senza risultato. Negli anni settanta il matematico francese membro dell'Accademia delle scienze di Parigi Andre Veil ha stabilito nuovi approcci alla soluzione. Il 23 giugno, nel 1993 , alla conferenza di teoria dei numeri a Cambridge, il matematico dell'Università di Princeton Andrew Whiles ha annunciato che l'ultima dimostrazione del teorema di Fermat è stata ottenuta. Tuttavia, era presto per trionfare.

Nel 1621, lo scrittore e matematico francese Claude Gaspard Bache de Meziriac pubblicò il trattato greco Aritmetica di Diofanto con una traduzione latina e commenti. Lussuoso, dai margini insolitamente ampi, "Aritmetica", cadde nelle mani del ventenne Fermat e divenne per molti anni il suo libro di riferimento. Ai suoi margini ha lasciato 48 commenti contenenti fatti da lui scoperti sulle proprietà dei numeri. Qui, a margine dell'Aritmetica, fu formulato il grande teorema di Fermat: «È impossibile scomporre un cubo in due cubi, o un biquadrato in due biquadrature, o in generale una potenza maggiore di due, in due potenze con lo stesso esponente; Ho trovato questa una prova davvero meravigliosa, che per mancanza di spazio non può rientrare in questi campi. A proposito, in latino sembra così: “Cubum autem in duos cubos, autato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei dimostrazioneem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Il grande matematico francese Pierre Fermat (1601-1665) sviluppò un metodo per determinare aree e volumi, creò un nuovo metodo di tangenti ed estremi. Insieme a Cartesio, divenne il creatore della geometria analitica, insieme a Pascal fu alle origini della teoria della probabilità, nel campo del metodo infinitesimale diede una regola generale per la differenziazione e dimostrò in termini generali la regola per integrare una funzione di potenza ... Ma, soprattutto, una delle storie misteriose e drammatiche più importanti che abbia mai sconvolto la matematica: la storia della dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat. Ora questo teorema è espresso sotto forma di una semplice affermazione: l'equazione xn + yn = zn per n>2 è irrisolvibile in razionale, e quindi in interi. A proposito, per il caso n = 3, il matematico dell'Asia centrale Al-Khojandi ha cercato di dimostrare questo teorema nel X secolo, ma la sua dimostrazione non è stata conservata.

Originario del sud della Francia, Pierre Fermat si laureò in giurisprudenza e dal 1631 fu consigliere del parlamento della città di Tolosa (cioè la più alta corte). Dopo una giornata di lavoro tra le mura del Parlamento, ha iniziato a studiare matematica e si è subito tuffato in un mondo completamente diverso. Denaro, prestigio, riconoscimento pubblico: tutto questo non gli importava. La scienza non è mai diventata per lui una rendita, non si è trasformata in un mestiere, rimanendo sempre solo un entusiasmante gioco della mente, comprensibile solo a pochi. Con loro ha continuato la sua corrispondenza.

Fermat non ha mai scritto articoli scientifici nel nostro solito senso. E nella corrispondenza con gli amici c'è sempre qualche sfida, anche una specie di provocazione, e non una presentazione accademica del problema e della sua soluzione. Pertanto, molte delle sue lettere divennero successivamente note come: una sfida.

Forse è per questo che non ha mai realizzato la sua intenzione di scrivere un saggio speciale sulla teoria dei numeri. E intanto era la sua area preferita della matematica. Fu a lei che Fermat dedicò i versi più ispirati delle sue lettere. "L'aritmetica", scrisse, "ha un suo campo, la teoria dei numeri interi. Questa teoria fu solo leggermente sfiorata da Euclide e non fu sufficientemente sviluppata dai suoi seguaci (a meno che non fosse contenuta in quelle opere di Diofanto, che abbiamo stato privato dalle ingiurie del tempo). L'aritmetica, quindi, deve svilupparla e rinnovarla".

Perché lo stesso Fermat non aveva paura delle ingiurie del tempo? Scriveva poco e sempre in modo molto conciso. Ma, soprattutto, non ha pubblicato il suo lavoro. Durante la sua vita circolarono solo in forma manoscritta. Non sorprende, quindi, che i risultati di Fermat sulla teoria dei numeri siano pervenuti a noi in forma frammentaria. Ma probabilmente Bulgakov aveva ragione: i grandi manoscritti non bruciano! Il lavoro di Fermat è rimasto. Rimasero nelle sue lettere ai suoi amici: l'insegnante di matematica di Lione Jacques de Billy, l'impiegato della zecca Bernard Frenickel de Bessy, Marsennis, Descartes, Blaise Pascal ... L'"aritmetica" di Diofanto rimase con le sue osservazioni a margine, che, dopo la morte di Fermat , inserito insieme ai commenti di Basche in una nuova edizione di Diophantus, pubblicata dal figlio maggiore Samuele nel 1670. Solo la prova stessa non è stata conservata.

Due anni prima della sua morte, Fermat inviò al suo amico Karkavy una lettera testamentaria, che entrò nella storia della matematica con il titolo "Riepilogo dei nuovi risultati nella scienza dei numeri". In questa lettera Fermat dimostrò la sua famosa affermazione per il caso n = 4. Ma allora molto probabilmente non era interessato all'affermazione in sé, ma al metodo di prova da lui scoperto, chiamato dallo stesso Fermat discendenza infinita o indefinita.

I manoscritti non bruciano. Ma, se non fosse stato per la dedica di Samuele, che raccolse tutti i suoi schizzi matematici e piccoli trattati dopo la morte del padre, e poi li pubblicò nel 1679 con il titolo "Miscellaneous Mathematical Works", i dotti matematici avrebbero dovuto scoprire e riscoprire molto. Ma anche dopo la loro pubblicazione, i problemi posti dal grande matematico rimasero dormienti per più di settant'anni. E questo non è sorprendente. Nella forma in cui sono apparsi sulla stampa, i risultati della teoria dei numeri di P. Fermat sono apparsi davanti agli specialisti sotto forma di problemi seri, tutt'altro che chiari ai contemporanei, quasi privi di prove e di indicazioni di connessioni logiche interne tra loro. Forse, in assenza di una teoria coerente e ben congegnata, sta la risposta alla domanda sul perché lo stesso Fermat non intendesse pubblicare un libro sulla teoria dei numeri. Settant'anni dopo, L. Euler si interessò a queste opere, e questa fu davvero la loro seconda nascita...

La matematica ha pagato a caro prezzo il modo peculiare di Fermat di presentare i suoi risultati, come se omettesse deliberatamente le loro dimostrazioni. Ma, se Fermat già affermava di aver dimostrato questo o quel teorema, in seguito questo teorema fu necessariamente dimostrato. Tuttavia, c'era un intoppo con il grande teorema.

Il mistero eccita sempre l'immaginazione. Interi continenti furono conquistati dal sorriso misterioso della Gioconda; La teoria della relatività, come chiave per l'enigma delle connessioni spazio-temporali, è diventata la teoria fisica più popolare del secolo. E possiamo tranquillamente affermare che non c'era nessun altro problema matematico così popolare come lo erano __93

Problemi scientifici ed educativi della protezione civile

quale teorema di Fermat. I tentativi di dimostrarlo portarono alla creazione di una vasta branca della matematica: la teoria dei numeri algebrici, ma (ahimè!) Il teorema stesso rimase non dimostrato. Nel 1908, il matematico tedesco Wolfskel lasciò in eredità 100.000 marchi a chiunque potesse dimostrare il teorema di Fermat. Era una somma enorme per quei tempi! In un momento è stato possibile diventare non solo famosi, ma anche favolosamente ricchi! Non sorprende, quindi, che gli scolari anche della Russia, lontana dalla Germania, in competizione tra loro si siano precipitati a dimostrare il grande teorema. Che dire dei matematici professionisti! Ma invano! Dopo la prima guerra mondiale, il denaro si deprezzò e il flusso di lettere con pseudo-prove iniziò a prosciugarsi, anche se, ovviamente, non si fermò mai del tutto. Si dice che il famoso matematico tedesco Edmund Landau abbia preparato moduli stampati da distribuire agli autori delle dimostrazioni del teorema di Fermat: "C'è un errore sulla pagina..., nella riga... c'è un errore". (La ricerca dell'errore fu affidata all'assistente professore.) C'erano così tante curiosità e aneddoti legati alla dimostrazione di questo teorema che se ne poteva ricavare un libro. L'ultimo aneddoto ricorda la "Coincidenza" del detective A. Marinina, filmata e trasmessa sugli schermi televisivi del Paese nel gennaio 2000. In esso, il nostro connazionale dimostra un teorema non dimostrato da tutti i suoi grandi predecessori e per questo rivendica il premio Nobel. Come sapete, l'inventore della dinamite ha ignorato i matematici nel suo testamento, quindi l'autore della dimostrazione ha potuto rivendicare solo la Medaglia d'Oro Fields, il più alto riconoscimento internazionale approvato dagli stessi matematici nel 1936.

Nell'opera classica dell'eccezionale matematico russo A.Ya. Khinchin, dedicato al grande teorema di Fermat, fornisce informazioni sulla storia di questo problema e presta attenzione al metodo che Fermat potrebbe utilizzare per dimostrare il suo teorema. Viene fornita una dimostrazione per il caso n = 4 e una breve rassegna di altri risultati importanti.

Ma quando il romanzo poliziesco è stato scritto, e ancor di più, quando è stato girato, la dimostrazione generale del teorema era già stata trovata. Il 23 giugno 1993, in una conferenza sulla teoria dei numeri a Cambridge, il matematico di Princeton Andrew Wiles annunciò che era stata ottenuta la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat. Ma per niente come "promesso" dallo stesso Fermat. Il percorso intrapreso da Andrew Wiles non era affatto basato sui metodi della matematica elementare. Era impegnato nella cosiddetta teoria delle curve ellittiche.

Per avere un'idea delle curve ellittiche, è necessario considerare una curva piana data da un'equazione di terzo grado

Y(x, y) = a30X + a21x2y + ... + a1x + a2y + a0 = 0. (1)

Tutte queste curve sono divise in due classi. La prima classe comprende quelle curve che hanno cuspidi (come, ad esempio, la parabola semicubica y2 = a2-X con punto di cuspide (0; 0)), punti di autointersezione (come il foglio cartesiano x3 + y3-3axy = 0 , nel punto (0; 0)), nonché le curve per le quali il polinomio Ax, y) è rappresentato nella forma

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

dove ^(x, y) e ^(x, y) sono polinomi di grado minore. Le curve di questa classe sono dette curve degeneri di terzo grado. La seconda classe di curve è formata da curve non degenerate; li chiameremo ellittici. Questi includono, ad esempio, Curl Agnesi (x2 + a2)y - a3 = 0). Se i coefficienti del polinomio (1) sono numeri razionali, allora la curva ellittica può essere trasformata nella cosiddetta forma canonica

y2 = x3 + ax + b. (2)

Nel 1955, il matematico giapponese Y. Taniyama (1927-1958) riuscì a formulare una congettura nell'ambito della teoria delle curve ellittiche, che aprì la strada alla dimostrazione del teorema di Fermat. Ma né Taniyama né i suoi colleghi lo sospettavano. Per quasi vent'anni questa ipotesi non attirò seria attenzione e divenne popolare solo a metà degli anni '70. Secondo la congettura di Taniyama, qualsiasi ellittica

una curva a coefficienti razionali è modulare. Finora, tuttavia, la formulazione dell'ipotesi dice poco al lettore meticoloso. Pertanto, sono necessarie alcune definizioni.

Ogni curva ellittica può essere associata a un'importante caratteristica numerica: il suo discriminante. Per una curva data in forma canonica (2), il discriminante A è determinato dalla formula

A \u003d - (4a + 27b2).

Sia E una curva ellittica data dall'equazione (2), dove aeb sono interi.

Per un numero primo p, considera il confronto

y2 = x3 + ax + b(mod p), (3)

dove a e b sono i resti dopo aver diviso gli interi a e b per p, e denotano per np il numero di soluzioni di questa congruenza. I numeri pr sono molto utili per studiare la questione della risolvibilità di equazioni della forma (2) in interi: se qualche pr è uguale a zero, allora l'equazione (2) non ha soluzioni intere. Tuttavia, è possibile calcolare i numeri pr solo nei casi più rari. (Allo stesso tempo, è noto che p-n|< 2Vp (теоремаХассе)).

Si considerino quei numeri primi p che dividono il discriminante A della curva ellittica (2). Si può dimostrare che per tale p il polinomio x3 + ax + b può essere scritto in due modi:

x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)

x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p),

dove a, ß, y sono dei resti dopo la divisione per p. Se per tutti i primi p che dividono il discriminante della curva si realizza la prima delle due possibilità indicate, allora la curva ellittica si dice semistabile.

I numeri primi che dividono il discriminante possono essere combinati in un cosiddetto conduttore a curva ellittica. Se E è una curva semistabile, allora il suo conduttore N è dato dalla formula

dove per tutti i numeri primi p > 5 che dividono A, l'esponente eP è uguale a 1. Gli esponenti 82 e 83 sono calcolati usando un algoritmo speciale.

In sostanza, questo è tutto ciò che è necessario per comprendere l'essenza della dimostrazione. Tuttavia, la congettura di Taniyama contiene il concetto difficile e, nel nostro caso, chiave di modularità. Quindi dimentichiamoci per un po' delle curve ellittiche e consideriamo una funzione analitica f (cioè la funzione che può essere rappresentata da una serie di potenze) di un argomento complesso z dato nel semipiano superiore.

Indichiamo con H il semipiano complesso superiore. Sia N un numero naturale e k un intero. Una forma parabolica modulare di peso k di livello N è una funzione analitica f(z) definita nel semipiano superiore e che soddisfa la relazione

f = (cz + d)kf (z) (5)

per ogni intero a, b, c, d tale che ae - bc = 1 e c sia divisibile per N. Inoltre, si assume che

lim f (r + it) = 0,

dove r è un numero razionale, e quello

Lo spazio delle forme a cuspide modulari di peso k di livello N è indicato con Sk(N). Si può dimostrare che ha una dimensione finita.

In quanto segue, saremo particolarmente interessati alle forme modulari a cuspide di peso 2. Per N piccolo, la dimensione dello spazio S2(N) è presentata nella Tabella 1. 1. In particolare,

Dimensioni dello spazio S2(N)

Tabella 1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

Dalla condizione (5) segue che % + 1) = per ogni forma f ∈ S2(N). Pertanto, f è una funzione periodica. Tale funzione può essere rappresentata come

Chiamiamo una forma a cuspide modulare A^) in S2(N) propria se i suoi coefficienti sono interi che soddisfano le relazioni:

a r ■ a = a r+1 ■ p ■ c r_1 per un semplice p che non divide il numero N; (otto)

(ap) per un primo p che divide N;

atp = a un se (m, n) = 1.

Formuliamo ora una definizione che gioca un ruolo chiave nella dimostrazione del teorema di Fermat. Una curva ellittica a coefficienti razionali e conduttore N si dice modulare se esiste una tale autoforma

f(z) = ^anq" g S2(N),

che ap = p - pr per quasi tutti i numeri primi p. Qui np è il numero di soluzioni di confronto (3).

È difficile credere nell'esistenza di almeno una di queste curve. È abbastanza difficile immaginare che esista una funzione A(r) che soddisfi le restrizioni rigorose elencate (5) e (8), che si espanderebbe in una serie (7), i cui coefficienti sarebbero associati a numeri Pr praticamente non calcolabili, è abbastanza difficile. Ma l'audace ipotesi di Taniyama non metteva affatto in discussione il fatto della loro esistenza, e il materiale empirico accumulato dal tempo ne confermava brillantemente la validità. Dopo due decenni di quasi completo oblio, l'ipotesi di Taniyama ha ricevuto un secondo vento nelle opere del matematico francese, membro dell'Accademia delle scienze di Parigi, André Weil.

Nato nel 1906, A. Weyl divenne infine uno dei fondatori di un gruppo di matematici che agivano sotto lo pseudonimo di N. Bourbaki. Dal 1958, A. Weil è professore al Princeton Institute for Advanced Study. E allo stesso periodo appartiene l'emergere del suo interesse per la geometria algebrica astratta. Negli anni settanta si rivolse alle funzioni ellittiche e alla congettura di Taniyama. La monografia dedicata alle funzioni ellittiche è stata tradotta qui, in Russia. Non è solo nella sua passione. Nel 1985, il matematico tedesco Gerhard Frei suggerì che se il teorema di Fermat è falso, cioè se esiste una tale tripla di interi a, b, c che a "+ bn = c" (n > 3), allora la curva ellittica

y2 \u003d x (x - a") - (x - cn)

non può essere modulare, il che contraddice la congettura di Taniyama. Lo stesso Frey non riuscì a dimostrare questa affermazione, ma la prova fu presto ottenuta dal matematico americano Kenneth Ribet. In altre parole, Ribet ha mostrato che il teorema di Fermat è una conseguenza della congettura di Taniyama.

Ha formulato e dimostrato il seguente teorema:

Teorema 1 (Ribet). Sia E una curva ellittica a coefficienti razionali avente un discriminante

e conduttore

Supponiamo che E sia modulare e sia

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

è l'autoforma di livello corrispondente N. Fissiamo un numero primo £, e

p: eP \u003d 1; - "8 p

Poi c'è una forma parabolica

/(r) = 2 dnqn e N)

con coefficienti interi che le differenze e - dn sono divisibili per I per tutto 1< п<ад.

È chiaro che se questo teorema è dimostrato per qualche esponente, allora lo è per tutti gli esponenti che sono multipli di n. Poiché ogni intero n > 2 è divisibile o per 4 o per un primo dispari, possiamo quindi limitarci a caso in cui l'esponente è 4 o un numero primo dispari. Per n = 4, una dimostrazione elementare del teorema di Fermat è stata ottenuta prima dallo stesso Fermat e poi da Eulero. Pertanto, è sufficiente studiare l'equazione

a1 + b1 = c1, (12)

in cui l'esponente I è un numero primo dispari.

Ora il teorema di Fermat può essere ottenuto con semplici calcoli (2).

Teorema 2. La congettura di Taniyama per curve ellittiche semistabili implica l'ultimo teorema di Fermat.

Prova. Assumiamo che il teorema di Fermat sia falso e sia presente un controesempio corrispondente (come sopra, qui I è un numero primo dispari). Applichiamo il Teorema 1 alla curva ellittica

y2 = x (x - ae) (x - c1).

Semplici calcoli mostrano che il conduttore di questa curva è dato dalla formula

Confrontando le formule (11) e (13), vediamo che N = 2. Pertanto, per il Teorema 1, esiste una forma parabolica

giacente nello spazio 82(2). Ma a causa della relazione (6), questo spazio è zero. Pertanto, dn = 0 per tutti gli n. Allo stesso tempo, a^ = 1. Pertanto, la differenza ar - dl = 1 non è divisibile per I, e si arriva a una contraddizione. Così il teorema è dimostrato.

Questo teorema ha fornito la chiave per la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat. Eppure l'ipotesi stessa rimaneva ancora non dimostrata.

Dopo aver annunciato il 23 giugno 1993 la dimostrazione della congettura di Taniyama per le curve ellittiche semistabili, che includono curve della forma (8), Andrew Wiles si affrettò. Era troppo presto per i matematici celebrare la vittoria.

La calda estate finì rapidamente, l'autunno piovoso fu lasciato alle spalle, arrivò l'inverno. Wiles scrisse e riscrisse la versione finale della sua dimostrazione, ma colleghi meticolosi trovarono sempre più imprecisioni nel suo lavoro. E così, all'inizio di dicembre 1993, pochi giorni prima che il manoscritto di Wiles andasse in stampa, si riscontrarono nuovamente gravi lacune nella sua bozza. E poi Wiles si rese conto che in un giorno o due non avrebbe più potuto aggiustare nulla. Ciò ha richiesto una profonda revisione. La pubblicazione dell'opera doveva essere posticipata. Wiles si rivolse a Taylor per chiedere aiuto. "Lavoro sugli insetti" ha richiesto più di un anno. La versione finale della dimostrazione della congettura di Taniyama, scritta da Wiles in collaborazione con Taylor, non apparve fino all'estate del 1995.

A differenza dell'eroe A. Marinina, Wiles non ha rivendicato il premio Nobel, ma, tuttavia ... avrebbe dovuto essere notato con una sorta di premio. Questo è solo cosa? Wiles a quel tempo era già sulla cinquantina e le medaglie d'oro di Fields vengono assegnate rigorosamente fino all'età di quarant'anni, mentre il picco dell'attività creativa non è ancora stato superato. E poi hanno deciso di istituire un premio speciale per Wiles: il Silver Badge of the Fields Committee. Questo distintivo gli fu presentato al prossimo congresso di matematica a Berlino.

Di tutti i problemi che hanno più o meno probabilità di prendere il posto dell'ultimo teorema di Fermat, il problema dell'imballaggio di palline più vicino ha le maggiori possibilità. Il problema dell'imballaggio di palline più vicino può essere formulato come il problema di come impilare in modo più economico una piramide di arance. I giovani matematici hanno ereditato questo problema da Johannes Kepler. Il problema nacque nel 1611, quando Keplero scrisse un breve saggio "Sui fiocchi di neve esagonali". L'interesse di Keplero per la disposizione e l'autorganizzazione delle particelle di materia lo portò a discutere un'altra questione: l'imballaggio più denso di particelle, in cui occupano il volume più piccolo. Se assumiamo che le particelle abbiano la forma di sfere, allora è chiaro che, indipendentemente da come si trovino nello spazio, rimarranno inevitabilmente degli spazi vuoti tra di loro e la questione è ridurre al minimo il volume degli spazi vuoti. Nell'opera, ad esempio, si afferma (ma non si prova) che tale forma è un tetraedro, gli assi coordinati all'interno dei quali determinano l'angolo di ortogonalità di base di 109o28", e non di 90o. Questo problema è di grande importanza per la particella elementare fisica, cristallografia e altre sezioni di scienze naturali.

Letteratura

1. Weil A. Funzioni ellittiche secondo Eisenstein e Kronecker. - M., 1978.

2. Solovyov Yu.P. La congettura di Taniyama e l'ultimo teorema di Fermat // Soros Educational Journal. - N. 2. - 1998. - S. 78-95.

3. L'ultimo teorema di Singh S. Fermat. La storia del mistero che da 358 anni occupa le migliori menti del mondo / Per. dall'inglese. Yu.A. Danilova. Mosca: MTsNMO. 2000. - 260 pag.

4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. Algebra dei quaternioni e rotazioni tridimensionali // Present Journal No. 1(1), 2008. - P. 75-80.