Data la distribuzione di una variabile casuale discreta, trovare. Legge di distribuzione delle variabili aleatorie

X; Senso F(5); la probabilità che la variabile casuale X prenderà valori dal segmento . Costruisci un poligono di distribuzione.

1. La funzione di distribuzione F(x) di una variabile casuale discreta è nota X:

Stabilire la legge di distribuzione di una variabile casuale X sotto forma di tabella.

1. Viene data la legge di distribuzione di una variabile casuale X:

1. La probabilità che il negozio disponga di certificati di qualità per l'intera gamma di prodotti è 0,7. La commissione ha verificato la disponibilità dei certificati in quattro negozi della zona. Elaborare una legge di distribuzione, calcolare l'aspettativa matematica e la dispersione del numero di negozi in cui non sono stati trovati certificati di qualità durante l'ispezione.

1. Per determinare la durata media di combustione delle lampade elettriche in un lotto di 350 scatole identiche, è stata prelevata per il test una lampada elettrica da ciascuna scatola. Stimare dal basso la probabilità che la durata di combustione media delle lampade elettriche selezionate differisca dalla durata di combustione media dell'intero lotto in valore assoluto di meno di 7 ore, se è noto che la deviazione standard della durata di combustione delle lampade elettriche in ogni scatola dura meno di 9 ore.

1. In una centrale telefonica si verifica una connessione errata con una probabilità di 0,002. Trovare la probabilità che su 500 connessioni si verifichi quanto segue:

Trova la funzione di distribuzione di una variabile casuale X. Costruire grafici di funzioni e . Calcolare l'aspettativa matematica, la varianza, la moda e la mediana di una variabile casuale X.

1. Una macchina automatica produce rulli. Si ritiene che il loro diametro sia una variabile casuale normalmente distribuita con un valore medio di 10 mm. Qual è la deviazione standard se, con una probabilità di 0,99, il diametro è compreso tra 9,7 mm e 10,3 mm.

Campione A: 6 9 7 6 4 4

Campione B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opzione 17.

1. Delle 35 parti, 7 non sono standard. Trova la probabilità che due parti prese a caso risultino standard.

1. Si lanciano tre dadi. Trova la probabilità che la somma dei punti sui lati eliminati sia un multiplo di 9.

1. La parola “AVVENTURA” è composta da carte, ciascuna con una lettera scritta sopra. Le carte vengono mescolate ed estratte una alla volta senza restituirle. Determinare la probabilità che le lettere tolte nell'ordine di apparizione formino la parola: a) AVVENTURA; b) PRIGIONIERO.

1. Un'urna contiene 6 palline nere e 5 bianche. Si estraggono a caso 5 palline. Trova la probabilità che tra questi ci siano:
1. 2 palline bianche;
2. meno di 2 palline bianche;
3. almeno una pallina nera.

1. UN in un test è pari a 0,4. Trova le probabilità dei seguenti eventi:
1. evento UN appare 3 volte in una serie di 7 studi indipendenti;
2. evento UN apparirà non meno di 220 e non più di 235 volte in una serie di 400 prove.

1. Lo stabilimento ha inviato alla base 5.000 prodotti di buona qualità. La probabilità di danno a ciascun prodotto durante il trasporto è 0,002. Trova la probabilità che non più di 3 prodotti vengano danneggiati durante il viaggio.

1. La prima urna contiene 4 palline bianche e 9 nere, mentre la seconda urna contiene 7 palline bianche e 3 nere. Si estraggono casualmente 3 palline dalla prima urna e 4 dalla seconda urna. Trovare la probabilità che tutte le palline estratte siano dello stesso colore.

1. Viene data la legge di distribuzione di una variabile casuale X:

Calcolare la sua aspettativa matematica e la sua varianza.

1. Nella scatola ci sono 10 matite. Si estraggono 4 matite a caso. Valore casuale X– il numero di matite blu tra quelle selezionate. Trova la legge della sua distribuzione, i momenti iniziali e centrali del 2° e 3° ordine.

1. Il reparto di controllo tecnico verifica la presenza di difetti su 475 prodotti. La probabilità che il prodotto sia difettoso è 0,05. Trovare, con probabilità 0,95, i confini entro i quali sarà contenuto il numero di prodotti difettosi tra quelli testati.

1. In una centrale telefonica si verifica una connessione errata con una probabilità di 0,003. Trovare la probabilità che su 1000 connessioni si verifichi quanto segue:
1. almeno 4 connessioni errate;
2. più di due connessioni errate.

1. La variabile casuale è specificata dalla funzione di densità di distribuzione:

Trova la funzione di distribuzione di una variabile casuale X. Costruire grafici di funzioni e . Calcolare l'aspettativa matematica, la varianza, la moda e la mediana della variabile casuale X.

1. La variabile casuale è specificata dalla funzione di distribuzione:

1. Per campione UN risolvere i seguenti problemi:
1. creare una serie di varianti;

· media campionaria;

· varianza di campionamento;

Moda e mediana;

Esempio A: 0 0 2 2 1 4

1. calcolare le caratteristiche numeriche della serie di variazioni:

· media campionaria;

· varianza di campionamento;

deviazione standard del campione;

· moda e mediana;

Campione B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opzione 18.

1. Su 10 biglietti della lotteria, 2 sono vincenti. Trova la probabilità che su cinque biglietti presi a caso, uno sia vincente.

1. Si lanciano tre dadi. Trova la probabilità che la somma dei punti lanciati sia maggiore di 15.

1. La parola “PERIMETRO” è composta da carte, su ognuna delle quali è scritta una lettera. Le carte vengono mescolate ed estratte una alla volta senza restituirle. Determinare la probabilità che le lettere tolte formino la parola: a) PERIMETRO; b) CONTATORE.

1. Un'urna contiene 5 palline nere e 7 bianche. Si estraggono a caso 5 palline. Trova la probabilità che tra questi ci siano:
1. 4 palline bianche;
2. meno di 2 palline bianche;
3. almeno una pallina nera.

1. Probabilità che si verifichi un evento UN in una prova è pari a 0,55. Trova le probabilità dei seguenti eventi:
1. evento UN apparirà 3 volte in una serie di 5 sfide;
2. evento UN apparirà non meno di 130 e non più di 200 volte in una serie di 300 prove.

1. La probabilità che un barattolo di cibo in scatola si rompa è 0,0005. Trovare la probabilità che su 2000 lattine, due abbiano una perdita.

1. La prima urna contiene 4 palline bianche e 8 nere, mentre la seconda urna contiene 7 palline bianche e 4 nere. Si estraggono casualmente due palline dalla prima urna e tre palline dalla seconda urna. Trova la probabilità che tutte le palline estratte siano dello stesso colore.

1. Tra i pezzi arrivati ​​al montaggio, lo 0,1% è difettoso dalla prima macchina, lo 0,2% dalla seconda, lo 0,25% dalla terza e lo 0,5% dalla quarta. I rapporti di produttività della macchina sono rispettivamente 4:3:2:1. La parte presa a caso si è rivelata standard. Trova la probabilità che il pezzo sia stato realizzato sulla prima macchina.

1. Viene data la legge di distribuzione di una variabile casuale X:

Calcolare la sua aspettativa matematica e la sua varianza.

1. Un elettricista ha tre lampadine, ciascuna delle quali ha un difetto con una probabilità di 0,1. Le lampadine vengono avvitate nella presa e viene accesa la corrente. Quando si accende la corrente, la lampadina difettosa si brucia immediatamente e viene sostituita con un'altra. Trova la legge di distribuzione, l'aspettativa matematica e la dispersione del numero di lampadine testate.

1. La probabilità di colpire un bersaglio è 0,3 per ciascuno dei 900 colpi indipendenti. Utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev, stima la probabilità che il bersaglio venga colpito almeno 240 volte e al massimo 300 volte.

1. In una centrale telefonica si verifica una connessione errata con una probabilità di 0,002. Trovare la probabilità che su 800 connessioni si verifichi quanto segue:
1. almeno tre collegamenti errati;
2. più di quattro connessioni errate.

1. La variabile casuale è specificata dalla funzione di densità di distribuzione:

Trova la funzione di distribuzione della variabile casuale X. Disegna i grafici delle funzioni e . Calcolare l'aspettativa matematica, la varianza, la moda e la mediana di una variabile casuale X.

1. La variabile casuale è specificata dalla funzione di distribuzione:

1. Per campione UN risolvere i seguenti problemi:
1. creare una serie di varianti;
2. calcolare le frequenze relative e cumulative;
3. compilare una funzione di distribuzione empirica e tracciarla;
4. calcolare le caratteristiche numeriche della serie di variazioni:

· media campionaria;

· varianza di campionamento;

deviazione standard del campione;

· moda e mediana;

Campione A: 4 7 6 3 3 4

1. Utilizzando l'esempio B, risolvi i seguenti problemi:
1. creare una serie di varianti raggruppate;
2. costruire un istogramma e un poligono di frequenza;
3. calcolare le caratteristiche numeriche della serie di variazioni:

· media campionaria;

· varianza di campionamento;

deviazione standard del campione;

· moda e mediana;

Campione B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opzione 19.

1. Nel cantiere lavorano 16 donne e 5 uomini. 3 persone sono state selezionate a caso utilizzando i loro numeri di personale. Trova la probabilità che tutte le persone selezionate siano uomini.

2. Vengono lanciate quattro monete. Trova la probabilità che solo due monete abbiano uno “stemma”.

3. La parola “PSICOLOGIA” è composta da carte, su ciascuna delle quali è scritta una lettera. Le carte vengono mescolate ed estratte una alla volta senza restituirle. Determinare la probabilità che le lettere tolte formino una parola: a) PSICOLOGIA; b) PERSONALE.

4. L'urna contiene 6 palline nere e 7 bianche. Si estraggono a caso 5 palline. Trova la probabilità che tra questi ci siano:

UN. 3 palline bianche;

B. meno di 3 palline bianche;

C. almeno una pallina bianca.

5. Probabilità che si verifichi un evento UN in una prova è pari a 0,5. Trova le probabilità dei seguenti eventi:

UN. evento UN appare 3 volte in una serie di 5 prove indipendenti;

B. evento UN apparirà almeno 30 e non più di 40 volte in una serie di 50 prove.

6. Esistono 100 macchine della stessa potenza, che funzionano indipendentemente l'una dall'altra nella stessa modalità, in cui la loro azionamento è accesa per 0,8 ore lavorative. Qual è la probabilità che in un dato momento vengano accese da 70 a 86 macchine?

7. La prima urna contiene 4 palline bianche e 7 nere, mentre la seconda urna contiene 8 palline bianche e 3 nere. Si estraggono casualmente 4 palline dalla prima urna e 1 pallina dalla seconda. Trova la probabilità che tra le palline estratte ci siano solo 4 palline nere.

8. Lo showroom di vendita di automobili riceve quotidianamente in volume automobili di tre marchi: “Moskvich” – 40%; "Va bene" - 20%; "Volga" - il 40% di tutte le auto importate. Tra le auto Moskvich, lo 0,5% ha un dispositivo antifurto, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Trovare la probabilità che l'auto presa per l'ispezione sia dotata di antifurto.

9. I numeri e sono scelti a caso sul segmento. Trova la probabilità che questi numeri soddisfino le disuguaglianze.

10. Viene fornita la legge della distribuzione di una variabile casuale X:

Trova la funzione di distribuzione di una variabile casuale X; Senso F(2); la probabilità che la variabile casuale X prenderà valori dall'intervallo . Costruisci un poligono di distribuzione.

Come è noto, variabile casuale si chiama grandezza variabile che può assumere determinati valori a seconda dei casi. Le variabili casuali sono indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino (X, Y, Z) e i loro valori sono indicati con lettere minuscole corrispondenti (x, y, z). Le variabili casuali si dividono in discontinue (discrete) e continue.

Variabile casuale discreta è una variabile casuale che accetta solo un insieme di valori finito o infinito (numerabile) con determinate probabilità diverse da zero.

Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è una funzione che collega i valori di una variabile casuale con le probabilità corrispondenti. La legge di distribuzione può essere specificata in uno dei seguenti modi.

1 . La legge di distribuzione può essere data dalla tabella:

dove λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) usando funzione di distribuzione F(x) , che determina per ogni valore x la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore inferiore a x, cioè F(x) = P(X< x).

Proprietà della funzione F(x)

3 . La legge di distribuzione può essere specificata graficamente – poligono di distribuzione (poligono) (vedi problema 3).

Si noti che per risolvere alcuni problemi non è necessario conoscere la legge di distribuzione. In alcuni casi è sufficiente conoscere uno o più numeri che riflettono le caratteristiche più importanti della legge di distribuzione. Può trattarsi di un numero che ha il significato di "valore medio" di una variabile casuale o di un numero che mostra la dimensione media della deviazione di una variabile casuale dal suo valore medio. Numeri di questo tipo sono chiamati caratteristiche numeriche di una variabile casuale.

Caratteristiche numeriche fondamentali di una variabile casuale discreta :

• Aspettativa matematica (valore medio) di una variabile casuale discreta M(X)=Σ x i p i.
  Per distribuzione binomiale M(X)=np, per distribuzione di Poisson M(X)=λ
• Dispersione variabile casuale discreta D(X)=M2 O D(X) = M(X2)−2. La differenza X–M(X) è chiamata deviazione di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica.
  Per la distribuzione binomiale D(X)=npq, per la distribuzione di Poisson D(X)=λ
• Deviazione standard (deviazione standard) σ(X)=√D(X).

Esempi di risoluzione di problemi sull'argomento "La legge della distribuzione di una variabile casuale discreta"

Compito 1.

Sono stati emessi 1000 biglietti della lotteria: 5 vinceranno 500 rubli, 10 vinceranno 100 rubli, 20 vinceranno 50 rubli, 50 vinceranno 10 rubli. Determina la legge della distribuzione di probabilità della variabile casuale X - vincite per biglietto.

Soluzione. A seconda delle condizioni del problema, sono possibili i seguenti valori della variabile casuale X: 0, 10, 50, 100 e 500.

Il numero di biglietti senza vincite è 1000 – (5+10+20+50) = 915, quindi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Allo stesso modo, troviamo tutte le altre probabilità: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Presentiamo la legge risultante sotto forma di tabella:

Troviamo l'aspettativa matematica del valore X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Compito 3.

Il dispositivo è composto da tre elementi funzionanti in modo indipendente. La probabilità di fallimento di ciascun elemento in un esperimento è 0,1. Elabora una legge di distribuzione per il numero di elementi falliti in un esperimento, costruisci un poligono di distribuzione. Trova la funzione di distribuzione F(x) e tracciala. Trova l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard di una variabile casuale discreta.

Soluzione. 1. La variabile casuale discreta X = (il numero di elementi falliti in un esperimento) ha i seguenti valori possibili: x 1 = 0 (nessuno degli elementi del dispositivo ha fallito), x 2 = 1 (un elemento ha fallito), x 3 = 2 ( due elementi falliti) e x 4 =3 (tre elementi falliti).

I guasti degli elementi sono indipendenti l'uno dall'altro, le probabilità di guasto di ciascun elemento sono uguali, quindi è applicabile La formula di Bernoulli . Considerando che, secondo la condizione n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determiniamo le probabilità dei valori:
P3(0) = C30 p0 q3-0 = q3 = 0,93 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Verificare: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Pertanto, la legge di distribuzione binomiale desiderata di X ha la forma:

Tracciamo i possibili valori di x i lungo l'asse delle ascisse e le corrispondenti probabilità pi lungo l'asse delle ordinate. Costruiamo i punti M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Collegando questi punti con segmenti di retta, otteniamo il poligono di distribuzione desiderato.

3. Troviamo la funzione di distribuzione F(x) = Р(Х

Grafico della funzione F(x)

4. Per la distribuzione binomiale X:
- aspettativa matematica M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varianza D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- deviazione standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

LEGGE DI DISTRIBUZIONE E CARATTERISTICHE

VARIABILI CASUALI

Variabili casuali, loro classificazione e metodi di descrizione.

Una quantità casuale è una quantità che, a seguito di un esperimento, può assumere un valore o un altro, ma di cui non è noto in anticipo. Per una variabile casuale, quindi, è possibile specificare solo valori, uno dei quali verrà preso sicuramente come risultato dell'esperimento. Nel seguito chiameremo questi valori valori possibili della variabile casuale. Poiché una variabile casuale caratterizza quantitativamente il risultato casuale di un esperimento, può essere considerata una caratteristica quantitativa di un evento casuale.

Le variabili casuali sono solitamente indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino, ad esempio X..Y..Z, e i loro possibili valori con lettere minuscole corrispondenti.

Esistono tre tipi di variabili casuali:

Discreto; Continuo; Misto.

Discretoè una variabile casuale il cui numero di possibili valori forma un insieme numerabile. A sua volta un insieme i cui elementi possono essere numerati è detto numerabile. La parola "discreto" deriva dal latino discretus, che significa "discontinuo, costituito da parti separate".

Esempio 1. Una variabile casuale discreta è il numero di parti difettose X in un lotto di nprodotti. Infatti, i possibili valori di questa variabile casuale sono una serie di numeri interi da 0 a n.

Esempio 2. Una variabile casuale discreta è il numero di colpi prima del primo colpo sul bersaglio. Qui, come nell'Esempio 1, i valori possibili possono essere numerati, anche se nel caso limite il valore possibile è un numero infinitamente grande.

Continuoè una variabile casuale i cui possibili valori riempiono continuamente un certo intervallo dell'asse numerico, a volte chiamato intervallo di esistenza di questa variabile casuale. Pertanto, su qualsiasi intervallo finito di esistenza, il numero di possibili valori di una variabile casuale continua è infinitamente grande.

Esempio 3. Una variabile casuale continua è il consumo mensile di elettricità di un'impresa.

Esempio 4. Una variabile casuale continua è l'errore nella misurazione dell'altezza utilizzando un altimetro. Si sappia dal principio di funzionamento dell'altimetro che l'errore è compreso tra 0 e 2 m, pertanto l'intervallo di esistenza di questa variabile casuale è l'intervallo tra 0 e 2 m.

Legge di distribuzione delle variabili aleatorie.

Una variabile casuale è considerata completamente specificata se i suoi possibili valori sono indicati sull'asse numerico e viene stabilita la legge di distribuzione.

Legge di distribuzione di una variabile casuale è una relazione che stabilisce una connessione tra i possibili valori di una variabile casuale e le probabilità corrispondenti.

Si dice che una variabile casuale è distribuita secondo una data legge, o soggetta a una data legge di distribuzione. Come leggi di distribuzione vengono utilizzate una serie di probabilità, funzioni di distribuzione, densità di probabilità e funzioni caratteristiche.

La legge della distribuzione fornisce una descrizione probabile completa di una variabile casuale. Secondo la legge della distribuzione, prima dell'esperimento si può giudicare quali possibili valori di una variabile casuale appariranno più spesso e quali meno spesso.

Per una variabile casuale discreta, la legge di distribuzione può essere specificata sotto forma di tabella, analiticamente (sotto forma di formula) e graficamente.

La forma più semplice per specificare la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è una tabella (matrice), che elenca in ordine crescente tutti i possibili valori della variabile casuale e le loro probabilità corrispondenti, ad es.

Tale tabella è chiamata serie di distribuzione di una variabile casuale discreta. 1

Gli eventi X 1, X 2,..., X n, consistenti nel fatto che a seguito del test la variabile casuale X assumerà rispettivamente i valori x 1, x 2,... x n incoerenti e gli unici possibili (poiché la tabella elenca tutti i possibili valori di una variabile casuale), cioè formare un gruppo completo. Pertanto, la somma delle loro probabilità è uguale a 1. Pertanto, per qualsiasi variabile casuale discreta

(Questa unità è in qualche modo distribuita tra i valori della variabile casuale, da qui il termine "distribuzione").

La serie di distribuzione può essere rappresentata graficamente se i valori della variabile casuale sono tracciati lungo l'asse delle ascisse e le loro probabilità corrispondenti sono tracciate lungo l'asse delle ordinate. La connessione dei punti ottenuti forma una linea spezzata chiamata poligono o poligono della distribuzione di probabilità (Fig. 1).

Esempio La lotteria comprende: un'auto del valore di 5.000 den. unità, 4 televisori che costano 250 den. unità, 5 videoregistratori del valore di 200 den. unità Vengono venduti un totale di 1000 biglietti per 7 giorni. unità Elaborare una legge di distribuzione per le vincite nette ricevute da un partecipante alla lotteria che ha acquistato un biglietto.

Soluzione. I possibili valori della variabile casuale X - la vincita netta per biglietto - sono pari a 0-7 = -7 soldi. unità (se il biglietto non è stato vinto), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unità (se il biglietto contiene rispettivamente la vincita di un videoregistratore, di una TV o di un'auto). Considerando che su 1000 schedine il numero dei non vincitori è 990, e le vincite indicate sono rispettivamente 5, 4 e 1, e utilizzando la definizione classica di probabilità, otteniamo.

Viene fornita una serie di distribuzioni di una variabile casuale discreta. Trova la probabilità mancante e traccia la funzione di distribuzione. Calcolare l'aspettativa matematica e la varianza di questa quantità.

La variabile casuale X assume solo quattro valori: -4, -3, 1 e 2. Assume ciascuno di questi valori con una certa probabilità. Poiché la somma di tutte le probabilità deve essere uguale a 1, la probabilità mancante è uguale a:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Componiamo la funzione di distribuzione della variabile casuale X. È noto che la funzione di distribuzione , quindi:

Quindi,

Tracciamo la funzione F(X) .

L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è uguale alla somma dei prodotti del valore della variabile casuale e della probabilità corrispondente, cioè

Troviamo la varianza di una variabile casuale discreta utilizzando la formula:

APPLICAZIONE

Elementi di combinatoria Qui: - fattoriale di un numero

Azioni sugli eventi Un evento è qualsiasi fatto che può accadere o meno come risultato di un'esperienza. Unione di eventi UN E IN- quest'evento CON che consiste in un'apparizione o un evento UN o eventi IN o entrambi gli eventi contemporaneamente. Designazione: ; Eventi incrociati UN E IN- quest'evento CON, che consiste nel verificarsi contemporaneo di entrambi gli eventi. Designazione: ;

Definizione classica di probabilità Probabilità dell'evento UNè il rapporto tra il numero di esperimenti , favorevole al verificarsi di un evento UN, al numero totale di esperimenti :

Formula di moltiplicazione delle probabilità Probabilità dell'evento può essere trovato utilizzando la formula: - probabilità dell'evento UN, - probabilità dell'evento IN, - probabilità dell'evento IN a condizione che l'evento UNè già successo. Se gli eventi A e B sono indipendenti (il verificarsi dell’uno non influenza il verificarsi dell’altro), allora la probabilità dell’evento è pari a:

Formula per aggiungere probabilità La probabilità di un evento può essere trovata utilizzando la formula: Probabilità dell'evento UN, Probabilità dell'evento IN, - probabilità di co-occorrenza degli eventi UN E IN. Se gli eventi A e B sono incompatibili (non possono verificarsi contemporaneamente), allora la probabilità dell'evento è pari a:

Formula della probabilità totale Lasciamo che l'evento UN può accadere contemporaneamente ad uno degli eventi , , …, - chiamiamole ipotesi. Anche conosciuto - probabilità di esecuzione io-esima ipotesi e - probabilità che si verifichi l'evento A durante l'esecuzione io-esima ipotesi. Poi la probabilità dell'evento UN può essere trovato dalla formula:

Schema Bernoulliano Supponiamo che ci siano n test indipendenti. Probabilità di accadimento (successo) di un evento UN in ciascuno di essi è costante e uguale P, la probabilità di fallimento (ovvero che l’evento non si verifichi UN) Q = 1 - P. Quindi la probabilità che si verifichi K successo in N i test possono essere trovati utilizzando la formula di Bernoulli: Numero molto probabile di successi nello schema Bernoulli è il numero di occorrenze di un certo evento che ha la massima probabilità. Può essere trovato utilizzando la formula:

Variabili casuali discreto continuo (ad esempio, il numero di ragazze in una famiglia con 5 figli) (ad esempio, il tempo in cui il bollitore funziona correttamente) Caratteristiche numeriche di variabili casuali discrete Sia data una quantità discreta da una serie di distribuzioni: X R , , …, - valori di una variabile casuale X; , , …, sono i corrispondenti valori di probabilità. Funzione di distribuzione Funzione di distribuzione di una variabile casuale Xè una funzione definita sull'intera linea numerica e uguale alla probabilità che X ce ne saranno di meno X:

Domande per l'esame

Evento. Operazioni su eventi casuali.

Il concetto di probabilità di un evento.

Regole per sommare e moltiplicare le probabilità. Probabilità condizionali.

Formula della probabilità totale. La formula di Bayes.

Schema Bernoulliano.

Variabile casuale, sua funzione di distribuzione e serie di distribuzione.

Proprietà fondamentali della funzione di distribuzione.

Valore atteso. Proprietà dell'aspettativa matematica.

Dispersione. Proprietà di dispersione.

Densità di distribuzione di probabilità di una variabile casuale unidimensionale.

Tipi di distribuzioni: uniforme, esponenziale, normale, binomiale e di Poisson.

Teoremi locali e integrali di Moivre-Laplace.

Legge e funzione di distribuzione di un sistema di due variabili aleatorie.

Densità di distribuzione di un sistema di due variabili aleatorie.

Leggi condizionali della distribuzione, aspettativa matematica condizionale.

Variabili casuali dipendenti e indipendenti. Coefficiente di correlazione.

Campione. Elaborazione del campione. Poligono e istogramma di frequenza. Funzione di distribuzione empirica.

Il concetto di stima dei parametri distributivi. Requisiti per la valutazione. Intervallo di confidenza. Costruzione di intervalli per la stima dell'aspettativa matematica e della deviazione standard.

Ipotesi statistiche. Criteri di consenso.

Nelle applicazioni della teoria della probabilità, le caratteristiche quantitative dell'esperimento sono di primaria importanza. Una quantità che può essere determinata quantitativamente e che, a seguito di un esperimento, può assumere valori diversi a seconda dei casi si chiama variabile casuale.

Esempi di variabili casuali:

1. Il numero di volte in cui appare un numero pari di punti in dieci lanci di un dado.

2. Il numero di colpi sul bersaglio da parte di un tiratore che spara una serie di colpi.

3. Il numero di frammenti di un proiettile che esplode.

In ciascuno degli esempi riportati, la variabile casuale può assumere solo valori isolati, cioè valori che possono essere numerati utilizzando una serie naturale di numeri.

Viene chiamata una tale variabile casuale, i cui possibili valori sono singoli numeri isolati, che questa variabile assume con determinate probabilità discreto.

Il numero di possibili valori di una variabile casuale discreta può essere finito o infinito (numerabile).

Legge della distribuzione Una variabile casuale discreta è un elenco dei suoi possibili valori e delle probabilità corrispondenti. La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta può essere specificata sotto forma di tabella (serie di distribuzione di probabilità), analiticamente e graficamente (poligono di distribuzione di probabilità).

Quando si esegue un esperimento, diventa necessario valutare “in media” il valore studiato. Il ruolo del valore medio di una variabile casuale è svolto da una caratteristica numerica chiamata aspettativa matematica, che è determinato dalla formula

Dove X 1 , X 2 ,.. , X N– valori delle variabili casuali X, UN P 1 ,P 2 , ... , P N– le probabilità di questi valori (notare che P 1 + P 2 +…+ P N = 1).

Esempio. Il tiro viene effettuato sul bersaglio (Fig. 11).

Un colpo in I dà tre punti, in II – due punti, in III – un punto. Il numero di punti segnati in un tiro da un tiratore ha una legge di distribuzione della forma

Per confrontare l'abilità dei tiratori è sufficiente confrontare i valori medi dei punti segnati, ovvero aspettative matematiche M(X) E M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Il secondo tiratore assegna in media un numero di punti leggermente più alto, vale a dire darà risultati migliori se sparato ripetutamente.

Notiamo le proprietà dell'aspettativa matematica:

1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa:

M(C) =C.

2. L'aspettativa matematica della somma delle variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini:

M =(X 1 + X 2 +…+ X N)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X N).

3. L'aspettativa matematica del prodotto di variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale al prodotto delle aspettative matematiche dei fattori

M(X 1 X 2 … X N) = M(X 1)M(X 2)… M(X N).

4. La negazione matematica della distribuzione binomiale è uguale al prodotto del numero di prove e della probabilità che un evento si verifichi in una prova (compito 4.6).

M(X) =pr.

Valutare come una variabile casuale “in media” si discosta dalla sua aspettativa matematica, ad es. Per caratterizzare la diffusione dei valori di una variabile casuale nella teoria della probabilità, viene utilizzato il concetto di dispersione.

Varianza variabile casuale Xè chiamata aspettativa matematica della deviazione quadrata:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

La dispersione è una caratteristica numerica della dispersione di una variabile casuale. Dalla definizione è chiaro che quanto minore è la dispersione di una variabile casuale, tanto più strettamente si collocano i suoi possibili valori attorno all'aspettativa matematica, cioè tanto meglio i valori della variabile casuale sono caratterizzati dalla sua aspettativa matematica .

Dalla definizione segue che la varianza può essere calcolata utilizzando la formula

.

È conveniente calcolare la varianza utilizzando un'altra formula:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

La dispersione ha le seguenti proprietà:

1. La varianza della costante è zero:

D(C) = 0.

2. Il fattore costante può essere eliminato dal segno di dispersione elevandolo al quadrato:

D(CX) = C 2 D(X).

3. La varianza della somma delle variabili casuali indipendenti è uguale alla somma della varianza dei termini:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X N)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X N)

4. La varianza della distribuzione binomiale è uguale al prodotto del numero di prove e della probabilità del verificarsi e del non verificarsi di un evento in una prova:

D(X) = npq.

Nella teoria della probabilità viene spesso utilizzata una caratteristica numerica pari alla radice quadrata della varianza di una variabile casuale. Questa caratteristica numerica è chiamata deviazione quadratica media ed è indicata dal simbolo

.

Caratterizza la dimensione approssimativa della deviazione di una variabile casuale dal suo valore medio e ha la stessa dimensione della variabile casuale.

4.1. Il tiratore spara tre colpi al bersaglio. La probabilità di colpire il bersaglio con ogni tiro è 0,3.

Costruisci una serie di distribuzione per il numero di risultati.

Soluzione. Il numero di colpi è una variabile casuale discreta X. Ogni valore X N variabile casuale X corrisponde ad una certa probabilità P N .

In questo caso è possibile specificare la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta vicino alla distribuzione.

In questo problema X assume valori 0, 1, 2, 3. Secondo la formula di Bernoulli

,

Troviamo le probabilità dei possibili valori della variabile casuale:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Organizzando i valori della variabile casuale X in ordine crescente si ottiene la serie di distribuzione:

Si noti che l'importo

indica la probabilità che la variabile casuale X assumerà almeno un valore tra quelli possibili, e questo evento è quindi attendibile

.

4.2 .Nell'urna ci sono quattro palline con i numeri da 1 a 4. Si estraggono due palline. Valore casuale X– la somma dei numeri delle palline. Costruire una serie di distribuzioni di una variabile casuale X.

Soluzione. Valori delle variabili casuali X sono 3, 4, 5, 6, 7. Troviamo le probabilità corrispondenti. Valore della variabile casuale 3 X può essere accettato nell'unico caso in cui una delle palline selezionate ha il numero 1 e l'altra 2. Il numero di possibili risultati del test è pari al numero di combinazioni di quattro (il numero di possibili coppie di palline) di due.

Usando la formula classica della probabilità otteniamo

Allo stesso modo,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

La somma 5 può comparire in due casi: 1+4 e 2+3, quindi

.

X ha la forma:

Trova la funzione di distribuzione F(X) variabile casuale X e tracciarlo. Calcola per X la sua aspettativa matematica e la sua varianza.

Soluzione. La legge di distribuzione di una variabile casuale può essere specificata dalla funzione di distribuzione

F(X) =P(X X).

Funzione di distribuzione F(X) è una funzione non decrescente, continua a sinistra, definita sull'intera linea numerica, mentre

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Per una variabile casuale discreta, questa funzione è espressa dalla formula

.

Pertanto in questo caso

Grafico della funzione di distribuzione F(X) è una linea a gradini (Fig. 12)

Valore attesoM(X) è la media aritmetica ponderata dei valori X 1 , X 2 ,……X N variabile casuale X con scale ρ 1, ρ 2, …… , ρ N ed è chiamato valore medio della variabile casuale X. Secondo la formula

M(X)=x 1 ρ 1 +X 2 ρ 2 +……+x N ρ N

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dispersione caratterizza il grado di dispersione dei valori di una variabile casuale dal suo valore medio ed è denotato D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]=M(X 2) –[M(X)] 2 .

Per una variabile casuale discreta, la varianza ha la forma

oppure può essere calcolato utilizzando la formula

Sostituendo i dati numerici del problema nella formula, otteniamo:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Due dadi vengono lanciati due volte contemporaneamente. Scrivere la legge binomiale della distribuzione di una variabile casuale discreta X- il numero di occorrenze di un numero totale pari di punti su due dadi.

Soluzione. Introduciamo un evento casuale

UN= (due dadi con un lancio hanno dato come risultato un totale di un numero pari di punti).

Usando la definizione classica di probabilità troviamo

R(UN)= ,

Dove N - il numero dei possibili esiti del test viene trovato secondo la regola

moltiplicazione:

N = 6∙6 =36,

M - numero di persone favorevoli all'evento UN risultati - uguali

M= 3∙6=18.

Pertanto, la probabilità di successo in una prova è

ρ = p(UN)= 1/2.

Il problema viene risolto utilizzando uno schema di test di Bernoulli. Una sfida qui sarebbe lanciare due dadi una volta. Numero di tali test N = 2. Variabile casuale X assume valori 0, 1, 2 con probabilità

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

La distribuzione binomiale richiesta di una variabile casuale X può essere rappresentato come una serie di distribuzione:

4.5 . In un lotto di sei parti ci sono quattro parti standard. Tre parti sono state selezionate a caso. Costruire una distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta X– il numero di parti standard tra quelle selezionate e trovarne l'aspettativa matematica.

Soluzione. Valori delle variabili casuali X sono i numeri 0,1,2,3. E' chiaro R(X=0)=0, poiché ci sono solo due parti non standard.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Legge di distribuzione di una variabile casuale X Presentiamolo sotto forma di una serie di distribuzione:

Valore atteso

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Dimostrare che l'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta X- numero di occorrenze dell'evento UN V N prove indipendenti, in ciascuna delle quali la probabilità che un evento si verifichi è pari a ρ – uguale al prodotto del numero di prove per la probabilità del verificarsi di un evento in una prova, cioè per dimostrare che l'aspettativa matematica della distribuzione binomiale

M(X) =N . ρ ,

e dispersione

D(X) =n.p. .

Soluzione. Valore casuale X può assumere valori 0, 1, 2..., N. Probabilità R(X= k) si trova utilizzando la formula di Bernoulli:

R(X=k)= R N(k)= ρ A (1-ρ ) N- A

Serie di distribuzione di una variabile casuale X ha la forma:

Dove Q= 1- ρ .

Per l'aspettativa matematica abbiamo l'espressione:

M(X)=ρq N - 1 +2 ρ 2 Q N - 2 +…+.N ρ N

Nel caso di un test, cioè con n= 1 per variabile casuale X 1 – numero di occorrenze dell'evento UN- la serie della distribuzione ha la forma:

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ P = P

D(X 1) = P – P 2 = P(1- P) = pq.

Se X k – numero di occorrenze dell'evento UN in quale prova, allora R(X A)= ρ E

X=X 1 +X 2 +….+X N .

Da qui otteniamo

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X N)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X N)=npq.

4.7. Il reparto di controllo qualità verifica la standardizzazione dei prodotti. La probabilità che il prodotto sia standard è 0,9. Ogni lotto contiene 5 prodotti. Trovare l'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta X- il numero di lotti, ciascuno dei quali conterrà 4 prodotti standard - se 50 lotti sono soggetti a ispezione.

Soluzione. La probabilità che ci siano 4 prodotti standard in ciascun lotto selezionato casualmente è costante; indichiamolo con ρ .Quindi l'aspettativa matematica della variabile casuale X equivale M(X)= 50∙ρ.

Troviamo la probabilità ρ secondo la formula di Bernoulli:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Si lanciano tre dadi. Trova l'aspettativa matematica della somma dei punti eliminati.

Soluzione. Puoi trovare la distribuzione di una variabile casuale X- la somma dei punti eliminati e quindi la sua aspettativa matematica. Tuttavia questo percorso è troppo macchinoso. È più semplice utilizzare un'altra tecnica, rappresentando una variabile casuale X, la cui aspettativa matematica deve essere calcolata, sotto forma di somma di diverse variabili casuali più semplici, la cui aspettativa matematica è più facile da calcolare. Se la variabile casuale X ioè il numero di punti lanciati io– le ossa ( io= 1, 2, 3), quindi la somma dei punti X sarà espresso nel modulo

X = X 1 +X 2 +X 3 .

Per calcolare l'aspettativa matematica della variabile casuale originale, non resta che utilizzare la proprietà dell'aspettativa matematica

M(X 1 +X 2 +X 3 )=M(X 1 )+M(X 2)+M(X 3 ).

E' ovvio

R(X io =K)= 1/6, A= 1, 2, 3, 4, 5, 6, io= 1, 2, 3.

Pertanto, l'aspettativa matematica della variabile casuale X io sembra

M(X io) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Determinare l'aspettativa matematica del numero di dispositivi che hanno fallito durante il test se:

a) la probabilità di guasto per tutti i dispositivi è la stessa R e il numero di dispositivi in ​​prova è uguale a N;

b) probabilità di fallimento per io – del dispositivo è uguale a P io , io= 1, 2, … , N.

Soluzione. Consideriamo la variabile casuale Xè quindi il numero di dispositivi guasti

X = X 1 +X 2 +... +X N ,

X io =

E' chiaro

R(X io = 1)= R io , R(X io = 0)= 1– R io ,io= 1, 2, … ,N.

M(X io)= 1∙R io + 0∙(1-R io)=P io ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+…+M(X N)=P 1 +P 2 +…+P N .

Nel caso “a” la probabilità di guasto del dispositivo è la stessa

R io =p,io= 1, 2, … ,N.

M(X)= n.p..

Questa risposta potrebbe essere ottenuta immediatamente se notiamo che la variabile casuale X ha una distribuzione binomiale con parametri ( N, P).

4.10. Due dadi vengono lanciati contemporaneamente due volte. Scrivere la legge binomiale della distribuzione di una variabile casuale discreta X - il numero di lanci di un numero pari di punti su due dadi.

Soluzione. Permettere

UN=(lanciando un numero pari con il primo dado),

B =(lanciando un numero pari sul secondo dado).

Ottenere un numero pari su entrambi i dadi in un solo lancio è espresso dal prodotto AB. Poi

R (AB) = R(UN)∙R(IN) =
.

Il risultato del secondo lancio di due dadi non dipende dal primo, quindi si applica la formula di Bernoulli quando

N = 2,p = 1/4, Q = 1– p = 3/4.

Valore casuale X può assumere valori 0, 1, 2 , la cui probabilità può essere trovata utilizzando la formula di Bernoulli:

R(X= 0)= p 2 (0) = Q 2 = 9/16,

R(X= 1)= p 2 (1)=C ,R∙Q = 6/16,

R(X= 2)= p 2 (2)=C , R 2 = 1/16.

Serie di distribuzione di una variabile casuale X:

4.11. Il dispositivo è costituito da un gran numero di elementi funzionanti in modo indipendente con la stessa piccolissima probabilità di guasto di ciascun elemento nel tempo T. Trova il numero medio di rifiuti nel tempo T elementi, se la probabilità che almeno un elemento fallisca durante questo periodo è 0,98.

Soluzione. Numero di persone che hanno rifiutato nel tempo T elementi – variabile casuale X, che è distribuito secondo la legge di Poisson, poiché il numero di elementi è elevato, gli elementi funzionano in modo indipendente e la probabilità di guasto di ciascun elemento è piccola. Numero medio di occorrenze di un evento in N test è uguale

M(X) = n.p..

Poiché la probabilità di fallimento A elementi da N espresso dalla formula

R N (A)
,

dove  = n.p., quindi la probabilità che nessun singolo elemento fallisca nel tempo T arriviamo a K = 0:

R N (0)= e -  .

Pertanto la probabilità dell’evento opposto è nel tempo T almeno un elemento fallisce – pari a 1 - e -  . Secondo le condizioni del problema, questa probabilità è 0,98. Dall'Eq.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

da qui  = -ln 0,02  4.

Quindi, in tempo T funzionamento del dispositivo, in media 4 elementi falliranno.

4.12 . I dadi vengono lanciati finché non esce un “due”. Trova il numero medio di lanci.

Soluzione. Introduciamo una variabile casuale X– il numero di test che dovranno essere eseguiti finché non si verifica l’evento di nostro interesse. La probabilità che X= 1 è uguale alla probabilità che durante un lancio di dadi esca un “due”, cioè

R(X= 1) = 1/6.

Evento X= 2 significa che nella prima prova non è uscito il “due”, nella seconda sì. Probabilità dell'evento X= 2 si trova con la regola di moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Allo stesso modo,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

eccetera. Otteniamo una serie di distribuzioni di probabilità:

Il numero medio di lanci (prove) è l'aspettativa matematica

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + A (5/6) A -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + A (5/6) A -1 + …)

Troviamo la somma della serie:

AG A -1 = (G A) G 
.

Quindi,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Pertanto, è necessario effettuare una media di 6 lanci di dadi finché non esce il "due".

4.13. Vengono effettuati test indipendenti con la stessa probabilità di accadimento dell'evento UN in ogni prova. Trovare la probabilità che si verifichi un evento UN, se la varianza del numero di occorrenze di un evento in tre prove indipendenti è 0,63 .

Soluzione. Il numero di occorrenze di un evento in tre prove è una variabile casuale X, distribuiti secondo la legge binomiale. La varianza del numero di occorrenze di un evento in prove indipendenti (con la stessa probabilità di accadimento dell'evento in ciascuna prova) è pari al prodotto del numero di prove per le probabilità di accadimento e non accadimento dell'evento (problema 4.6)

D(X) = npq.

Per condizione N = 3, D(X) = 0,63, quindi puoi R trovare dall'equazione

0,63 = 3∙R(1-R),

che ha due soluzioni R 1 = 0,7 e R 2 = 0,3.