2 trova l'area del parallelogramma. Come trovare l'area di un parallelogramma? Formule per trovare l'area di un parallelogramma

La derivazione della formula per l'area di un parallelogramma si riduce alla costruzione di un rettangolo uguale in area al parallelogramma dato. Prendiamo come base un lato del parallelogramma, e la perpendicolare tracciata da un punto qualsiasi del lato opposto alla retta contenente la base si chiamerà altezza del parallelogramma. Quindi l'area del parallelogramma sarà uguale al prodotto della sua base e della sua altezza.

Teorema.L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della sua base per la sua altezza.

Prova. Considera un parallelogramma con area. Prendiamo il lato come base e disegniamo le altezze (Figura 2.3.1). È necessario dimostrarlo.

Figura 2.3.1

Dimostriamo prima che anche l'area del rettangolo è uguale. Un trapezio è formato da un parallelogramma e un triangolo. D'altra parte, è composto da un rettangolo NVSC e un triangolo. Ma i triangoli rettangoli sono uguali nell'ipotenusa e nell'angolo acuto (le loro ipotenuse sono uguali come lati opposti di un parallelogramma, e gli angoli 1 e 2 sono uguali come gli angoli corrispondenti all'intersezione di rette parallele e una trasversale), quindi le loro aree sono uguali. Pertanto anche le aree del parallelogramma e del rettangolo sono uguali, cioè l'area del rettangolo è uguale. Secondo il teorema sull'area di un rettangolo, ma da allora.

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio 2.3.1.

In un rombo con un lato e un angolo acuto è inscritta una circonferenza. Determina l'area di un quadrilatero i cui vertici sono i punti di contatto del cerchio con i lati del rombo.

Soluzione:

Il raggio di un cerchio inscritto in un rombo (Figura 2.3.2), poiché il Quadrilatero è un rettangolo, poiché i suoi angoli poggiano sul diametro del cerchio. La sua area è dove (lato opposto all'angolo),.

Figura 2.3.2

COSÌ,

Risposta:

Esempio 2.3.2.

Dato un rombo le cui diagonali misurano 3 cm e 4 cm, dal vertice di un angolo ottuso si tracciano le altezze e si calcola l'area del quadrilatero

Soluzione:

Area di un rombo (Figura 2.3.3).

COSÌ,

Risposta:

Esempio 2.3.3.

L'area di un quadrilatero è Trova l'area di un parallelogramma i cui lati sono uguali e paralleli alle diagonali del quadrilatero.

Soluzione:

Poiché e (Figura 2.3.4), allora è un parallelogramma e, quindi,.

Figura 2.3.4

Allo stesso modo, otteniamo da ciò ne consegue che.

Risposta:.

2.4 Area di un triangolo

Esistono diverse formule per calcolare l'area di un triangolo. Diamo un'occhiata a quelli che si studiano a scuola.

La prima formula deriva dalla formula dell'area di un parallelogramma e viene offerta agli studenti sotto forma di teorema.

Teorema.L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto della sua base e dell'altezza.

Prova. Sia l'area del triangolo. Prendi il lato alla base del triangolo e disegna l'altezza. Dimostriamo che:

Figura 2.4.1

Costruiamo il triangolo in un parallelogramma come mostrato nella figura. I triangoli sono uguali su tre lati (il lato comune e i lati opposti di un parallelogramma), quindi le loro aree sono uguali. Di conseguenza, l'area S del triangolo ABC è uguale alla metà dell'area del parallelogramma, cioè

Il teorema è stato dimostrato.

È importante attirare l'attenzione degli studenti su due corollari che seguono da questo teorema. Vale a dire:

L'area di un triangolo rettangolo è pari alla metà del prodotto dei suoi cateti.

Se le altezze di due triangoli sono uguali, le loro aree sono correlate come basi.

Queste due conseguenze svolgono un ruolo importante nella risoluzione di vari tipi di problemi. Sulla base di ciò, viene dimostrato un altro teorema, che ha ampia applicazione nella risoluzione dei problemi.

Teorema. Se l'angolo di un triangolo è uguale all'angolo di un altro triangolo, le loro aree sono correlate come il prodotto dei lati che racchiudono angoli uguali.

Prova. Sia e l'area dei triangoli i cui angoli sono uguali.

Figura 2.4.2

Proviamo che: .

Applichiamo un triangolo. sul triangolo in modo che il vertice sia allineato con il vertice e i lati si sovrappongano rispettivamente ai raggi.

Figura 2.4.3

I triangoli hanno un'altezza comune, quindi... Anche i triangoli hanno un'altezza comune, quindi. Moltiplicando le uguaglianze risultanti, otteniamo .

Il teorema è stato dimostrato.

Seconda formula.L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto dei suoi due lati per il seno dell'angolo compreso tra essi. Esistono diversi modi per dimostrare questa formula e ne userò uno.

Prova. Dalla geometria esiste un noto teorema secondo cui l'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto della base e dell'altezza abbassata da questa base:

Nel caso di un triangolo acuto. In caso di angolo ottuso. Oh, e quindi . Quindi, in entrambi i casi. Sostituendo nella formula geometrica l'area di un triangolo, otteniamo la formula trigonometrica per l'area di un triangolo:

Il teorema è stato dimostrato.

Terza formula per l'area di un triangolo - la formula di Erone, dal nome dell'antico scienziato greco Erone di Alessandria, vissuto nel I secolo d.C. Questa formula ti permette di trovare l'area di un triangolo, conoscendone i lati. È conveniente perché ti consente di non realizzare costruzioni aggiuntive o misurare angoli. La sua conclusione si basa sulla seconda delle formule dell'area del triangolo che abbiamo considerato e sul teorema del coseno: e .

Prima di procedere con l'attuazione di questo piano, tienilo presente

Esattamente nello stesso modo abbiamo:

Ora esprimiamo il coseno in termini di e:

Poiché ogni angolo in un triangolo è maggiore e minore, allora Significa, .

Ora trasformiamo separatamente ciascuno dei fattori nell'espressione radicale. Abbiamo:

Sostituendo questa espressione nella formula dell'area, otteniamo:

L'argomento "Area di un triangolo" è di grande importanza nel corso di matematica scolastica. Il triangolo è la più semplice delle forme geometriche. È un “elemento strutturale” della geometria scolastica. La stragrande maggioranza dei problemi geometrici si riduce alla risoluzione dei triangoli. Il problema di trovare l'area di un n-gon regolare e arbitrario non fa eccezione.

Esempio 2.4.1.

Qual è l'area di un triangolo isoscele se la sua base è , e il suo lato è ?

Soluzione:

-isoscele,

Figura 2.4.4

Usiamo le proprietà di un triangolo isoscele: mediana e altezza. Poi

Secondo il teorema di Pitagora:

Trovare l'area del triangolo:

Risposta:

Esempio 2.4.2.

In un triangolo rettangolo, la bisettrice di un angolo acuto divide la gamba opposta in segmenti lunghi 4 e 5 cm. Determina l'area del triangolo.

Soluzione:

Sia (Figura 2.4.5). Quindi (poiché BD è una bisettrice). Da qui abbiamo , questo è. Significa,

Figura 2.4.5

Risposta:

Esempio 2.4.3.

Trova l'area di un triangolo isoscele se la sua base è uguale a , e la lunghezza dell'altezza tracciata verso la base è uguale alla lunghezza del segmento che collega i punti medi della base e del lato.

Soluzione:

A seconda della condizione, – la linea mediana (Figura 2.4.6). Poiché abbiamo:

O , da qui,

Quando si risolvono problemi su questo argomento, eccetto proprietà di base parallelogramma e le formule corrispondenti, puoi ricordare e applicare quanto segue:

La bisettrice dell'angolo interno di un parallelogramma taglia da esso un triangolo isoscele
Le bisettrici degli angoli interni adiacenti ad uno dei lati di un parallelogramma sono mutuamente perpendicolari
Le bisettrici provenienti da angoli interni opposti di un parallelogramma sono parallele tra loro o giacciono sulla stessa retta
La somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma è uguale alla somma dei quadrati dei suoi lati
L'area di un parallelogramma è uguale alla metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro

Consideriamo i problemi in cui vengono utilizzate queste proprietà.

Compito 1.

La bisettrice dell'angolo C del parallelogramma ABCD interseca il lato AD nel punto M e la continuazione del lato AB oltre il punto A nel punto E. Trova il perimetro del parallelogramma se AE = 4, DM = 3.

Soluzione.

1. Il triangolo CMD è isoscele. (Proprietà 1). Pertanto CD = MD = 3 cm.

2. Il triangolo EAM è isoscele.
Pertanto AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Perimetro ABCD = 20 cm.

Risposta. 20cm.

Compito 2.

Le diagonali sono disegnate in un quadrilatero convesso ABCD. È noto che le aree dei triangoli ABD, ACD, BCD sono uguali. Dimostrare che questo quadrilatero è un parallelogramma.

Soluzione.

1. Sia BE l'altezza del triangolo ABD, CF l'altezza del triangolo ACD. Poiché, secondo le condizioni del problema, le aree dei triangoli sono uguali e hanno una base comune AD, allora le altezze di questi triangoli sono uguali. ESSERE = CF.

2. BE, CF sono perpendicolari ad AD. I punti B e C si trovano dalla stessa parte rispetto alla retta AD. ESSERE = CF. Pertanto la retta BC || ANNO DOMINI. (*)

3. Sia AL l'altezza del triangolo ACD, BK l'altezza del triangolo BCD. Poiché, secondo le condizioni del problema, le aree dei triangoli sono uguali e hanno una base comune CD, allora le altezze di questi triangoli sono uguali. AL = BK.

4. AL e BK sono perpendicolari a CD. I punti B e A si trovano dalla stessa parte rispetto alla retta CD. AL = BK. Pertanto la retta AB || CD (**)

5. Dalle condizioni (*), (**) segue che ABCD è un parallelogramma.

Risposta. Comprovato. ABCD è un parallelogramma.

Compito 3.

Sui lati BC e CD del parallelogramma ABCD sono segnati rispettivamente i punti M e H, in modo che i segmenti BM e HD si intersecano nel punto O;<ВМD = 95 о,

Soluzione.

1. Nel triangolo DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. In un triangolo rettangolo DHC
(
Poi<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Poiché in un triangolo rettangolo il cateto opposto all'angolo di 30° è pari alla metà dell'ipotenusa).

Ma CD = AB. Quindi AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,
4. <А = <С = 30 о, <В =
Risposta: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Compito 4.

Di un parallelogramma lungo 4√6 una delle diagonali forma un angolo di 60° con la base, e la seconda diagonale forma un angolo di 45° con la stessa base. Trova la seconda diagonale.

Soluzione.

1. AO = 2√6.

2. Applichiamo il teorema del seno al triangolo AOD.

AO/sen D = OD/sen A.

2√6/sen 45 o = DE/sen 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Risposta: 12.

Compito 5.

Per un parallelogramma con i lati 5√2 e 7√2, l'angolo minore tra le diagonali è uguale all'angolo minore del parallelogramma. Trova la somma delle lunghezze delle diagonali.

Soluzione.

Siano d 1, d 2 le diagonali del parallelogramma e l'angolo tra le diagonali e l'angolo minore del parallelogramma è uguale a φ.

1. Contiamo due diversi
modi la sua area.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Otteniamo l'uguaglianza 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Usando la relazione tra i lati e le diagonali del parallelogramma, scriviamo l'uguaglianza

(AB2 + AD2) 2 = AC2 + BD2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d12 + d22 = 296.

3. Creiamo un sistema:

(d12 + d22 = 296,
(d1 + d2 = 140.

Moltiplichiamo la seconda equazione del sistema per 2 e aggiungiamola alla prima.

Otteniamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Quindi Id 1 + d 2 I = 24.

Poiché d 1, d 2 sono le lunghezze delle diagonali del parallelogramma, allora d 1 + d 2 = 24.

Risposta: 24.

Compito 6.

I lati del parallelogramma sono 4 e 6. L'angolo acuto tra le diagonali è di 45 gradi. Trova l'area del parallelogramma.

Soluzione.

1. Dal triangolo AOB, utilizzando il teorema del coseno, scriviamo la relazione tra il lato del parallelogramma e le diagonali.

AB2 = AO2 + VO22 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Allo stesso modo, scriviamo la relazione per il triangolo AOD.

Teniamone conto<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Otteniamo l'equazione d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Abbiamo un sistema
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Sottraendo la prima dalla seconda equazione otteniamo 2d 1 · d 2 √2 = 80 ovvero

d1d2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Nota: In questo e nel problema precedente non è necessario risolvere completamente il sistema, anticipando che in questo problema abbiamo bisogno del prodotto delle diagonali per calcolare l'area.

Risposta: 10.

Compito 7.

L'area del parallelogramma è 96 e i suoi lati sono 8 e 15. Trova il quadrato della diagonale minore.

Soluzione.

1. S ABCD = AB · AD · peccato ВAD. Facciamo una sostituzione nella formula.

Otteniamo 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Quindi peccato ВAD = 4/5.

2. Troviamo cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

A seconda delle condizioni del problema, troviamo la lunghezza della diagonale minore. La diagonale ВАD sarà più piccola se l'angolo ВАD è acuto. Quindi cos VAD = 3/5.

3. Dal triangolo ABD, utilizzando il teorema del coseno, troviamo il quadrato della diagonale BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ÂD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Risposta: 145.

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Prima di imparare come trovare l'area di un parallelogramma, dobbiamo ricordare cos'è un parallelogramma e come viene chiamata la sua altezza. Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a due a due (si trovano su rette parallele). Una perpendicolare tracciata da un punto arbitrario sul lato opposto a una linea contenente questo lato è chiamata altezza di un parallelogramma.

Quadrato, rettangolo e rombo sono casi particolari di parallelogramma.

L'area di un parallelogramma è indicata come (S).

Formule per trovare l'area di un parallelogramma

S=a*h, dove a è la base, h è l'altezza che arriva alla base.

S=a*b*sinα, dove a e b sono le basi e α è l'angolo tra le basi a e b.

S =p*r, dove p è il semiperimetro, r è il raggio del cerchio inscritto nel parallelogramma.

L'area del parallelogramma, formato dai vettori a e b, è uguale al modulo del prodotto dei vettori dati, vale a dire:

Consideriamo l'esempio numero 1: dato un parallelogramma, il cui lato è 7 cm e l'altezza è 3 cm, come trovare l'area di un parallelogramma, abbiamo bisogno di una formula per la soluzione.

Quindi S= 7x3. S=21. Risposta: 21 cm2.

Considera l'esempio n. 2: le basi date sono 6 e 7 cm e viene anche dato un angolo tra le basi di 60 gradi. Come trovare l'area di un parallelogramma? Formula utilizzata per risolvere:

Quindi, prima troviamo il seno dell'angolo. Seno 60 = 0,5, rispettivamente S = 6*7*0,5=21 Risposta: 21 cm 2.

Spero che questi esempi ti aiuteranno a risolvere i problemi. E ricorda, la cosa principale è la conoscenza delle formule e dell'attenzione

Cos'è un parallelogramma? Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a coppie.

1. L'area di un parallelogramma è calcolata dalla formula:

\[ \GRANDE S = a \cdot h_(a)\]

Dove:
a è il lato del parallelogramma,
h a – altezza tracciata da questo lato.

2. Se si conoscono le lunghezze di due lati adiacenti di un parallelogramma e l'angolo tra di essi, l'area del parallelogramma viene calcolata con la formula:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Se vengono fornite le diagonali di un parallelogramma e l'angolo tra di esse è noto, l'area del parallelogramma viene calcolata con la formula:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Proprietà di un parallelogramma

In un parallelogramma i lati opposti sono uguali: $AB = CD$, $BC = AD$

In un parallelogramma gli angoli opposti sono uguali: $\angolo A = \angolo C$, $\angolo B = \angolo D$

Le diagonali di un parallelogramma nel punto di intersezione sono divise a metà $AO = OC$ , $BO = OD$

La diagonale di un parallelogramma lo divide in due triangoli uguali.

La somma degli angoli di un parallelogramma adiacenti ad un lato è 180°:

$\angolo A + \angolo B = 180^(o)$, $\angolo B + \angolo C = 180^(o)$

$\angolo C + \angolo D = 180^(o)$, $\angolo D + \angolo A = 180^(o)$

Le diagonali e i lati di un parallelogramma sono legati dalla seguente relazione:

$d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) $

In un parallelogramma l'angolo formato dalle altezze è uguale al suo angolo acuto: $\angolo K B H =\angolo A$ .

Le bisettrici degli angoli adiacenti ad un lato di un parallelogramma sono mutuamente perpendicolari.

Le bisettrici di due angoli opposti di un parallelogramma sono parallele.

Segni di un parallelogramma

Un quadrilatero sarà un parallelogramma se:

$AB = CD$ e $AB || CD$

$AB = CD$ e $BC = AD$

$AO = OC$ e $BO = OD$

$\angolo A = \angolo C$ e $\angolo B = \angolo D$
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Formula per l'area di un parallelogramma

L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto del suo lato per l'altezza di quel lato.

Prova
Se il parallelogramma è un rettangolo, l'uguaglianza è soddisfatta dal teorema sull'area del rettangolo. Supponiamo quindi che gli angoli del parallelogramma non siano retti.

Sia $\angolo BAD$ un angolo acuto nel parallelogramma $ABCD$ e $AD > AB$. Altrimenti, rinomineremo i vertici. Allora l'altezza $BH$ dal vertice $B$ alla retta $AD$ cade sul lato $AD$, poiché il cateto $AH$ è più corto dell'ipotenusa $AB$, e $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Confrontiamo l'area del parallelogramma $ABCD$ e l'area del rettangolo $HBCK$. L'area di un parallelogramma è maggiore dell'area $\triangolo ABH$, ma minore dell'area $\triangolo DCK$. Poiché questi triangoli sono uguali, le loro aree sono uguali. Ciò significa che l'area di un parallelogramma è uguale all'area di un rettangolo con la lunghezza dei lati e l'altezza del parallelogramma.
Formula per l'area di un parallelogramma utilizzando lati e seno

L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei lati adiacenti per il seno dell'angolo compreso tra loro.

Prova
L'altezza del parallelogramma $ABCD$ caduto sul lato $AB$ è uguale al prodotto del segmento $BC$ per il seno dell'angolo $\angolo ABC$. Resta da applicare l'affermazione precedente.

Formula per l'area di un parallelogramma utilizzando le diagonali

L'area di un parallelogramma è uguale alla metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro.

Prova
Lascia che le diagonali del parallelogramma $ABCD$ si intersechino nel punto $O$ con un angolo $\alpha$. Quindi $AO=OC$ e $BO=OD$ per la proprietà del parallelogramma. I seni degli angoli la cui somma dà $180^\circ$ sono uguali, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Ciò significa che i seni degli angoli all'intersezione delle diagonali sono uguali a $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\triangolo AOB) + S_(\triangolo BOC) + S_(\triangolo COD) + S_(\triangolo AOD)$
secondo l’assioma della misurazione dell’area. Applichiamo la formula dell'area del triangolo $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ per questi triangoli e angoli quando le diagonali si intersecano. I lati di ciascuno sono uguali alla metà delle diagonali e anche i seni sono uguali. Pertanto, le aree di tutti e quattro i triangoli sono uguali a $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Riassumendo tutto quanto sopra, otteniamo

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$