§13. Teorema di Steiner sul momento d'inerzia attorno ad un asse arbitrario
Corpi M per quadrato di distanza D tra gli assi:
J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)Dove M- peso corporeo totale.
Ad esempio, il momento di inerzia di un'asta rispetto ad un asse passante per la sua estremità è pari a:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\sinistra((\frac (l)(2))\destra)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Momenti assiali di inerzia di alcuni corpi
| Corpo | Descrizione | Posizione dell'asse UN | Momento d'inerzia J a |
|---|---|---|---|
| Massa puntiforme materiale M | A distanza R da un punto, stazionario | ||
| Cilindro cavo a pareti sottili o anello radiale R e masse M | Asse del cilindro | mr 2 (\displaystyle mr^(2)) | |
| Cilindro solido o disco radiale R e masse M | Asse del cilindro | 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2)) | |
| Cilindro di massa cavo a pareti spesse M con raggio esterno R 2 e raggio interno R 1 | Asse del cilindro | m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2))) | |
| Lunghezza cilindro solido l, raggio R e masse M | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | ||
| Lunghezza del cilindro (anello) cavo a pareti sottili l, raggio R e masse M | L'asse è perpendicolare al cilindro e passa per il suo centro di massa | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | |
| Asta dritta di lunghezza sottile l e masse M | L'asse è perpendicolare all'asta e passa per il suo centro di massa | 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2)) | |
| Asta dritta di lunghezza sottile l e masse M | L'asse è perpendicolare all'asta e passa per la sua estremità | 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2)) | |
| Sfera dal raggio a pareti sottili R e masse M | L'asse passa per il centro della sfera | 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2)) | |
| Sfera del raggio R e masse M | L'asse passa per il centro della palla | 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2)) | |
| Cono del raggio R e masse M | Asse del cono | 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2)) | |
| Triangolo isoscele con altezza H, base UN e massa M | L'asse è perpendicolare al piano del triangolo e passa per il vertice | 1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2))) | |
| Triangolo regolare con lato UN e massa M | L'asse è perpendicolare al piano del triangolo e passa per il centro di massa | 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2)) | |
| Quadrato con lato UN e massa M | L'asse è perpendicolare al piano del quadrato e passa per il centro di massa | 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2)) | |
| Rettangolo con lati UN E B e massa M | L'asse è perpendicolare al piano del rettangolo e passa per il centro di massa | 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2))) | |
| N-gon regolari di raggio R e massa M | L'asse è perpendicolare al piano e passa per il centro di massa | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left) | |
| Toro (cavo) con raggio del cerchio guida R, raggio del cerchio generatore R e massa M | L'asse è perpendicolare al piano del cerchio guida del toro e passa per il centro di massa | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\sinistra((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\destra)) |
Derivazione di formule
Cilindro a pareti sottili (anello, cerchio)
Derivazione della formula
Il momento d'inerzia di un corpo è uguale alla somma dei momenti d'inerzia delle sue parti costituenti. Dividiamo un cilindro a pareti sottili in elementi con massa dm e momenti di inerzia DJ io. Poi
J = ∑ d J io = ∑ R io 2 d m . (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)Poiché tutti gli elementi di un cilindro a pareti sottili si trovano alla stessa distanza dall'asse di rotazione, la formula (1) viene trasformata nella forma
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\somma R^(2)dm=R^(2)\somma dm=mR^(2).)Cilindro a pareti spesse (anello, cerchio)
Derivazione della formula
Sia un anello omogeneo con raggio esterno R, raggio interno R 1, spesso H e densità ρ. Spezziamolo in anelli sottili e spessi dottor. Massa e momento d'inerzia di un anello a raggio sottile R sarà
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)Troviamo il momento d'inerzia dell'anello spesso come integrale
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\sinistra.(\frac (r^(4))(4))\destra|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\sinistra(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\sinistra(R^(2 )-R_(1)^(2)\destra)\sinistra(R^(2)+R_(1)^(2)\destra).)Poiché il volume e la massa dell'anello sono uguali
V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \sinistra(R^(2)-R_(1)^(2)\destra)h,)otteniamo la formula finale per il momento di inerzia dell'anello
J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\sinistra(R^(2)+R_(1)^(2)\destra).)Disco omogeneo (cilindro solido)
Derivazione della formula
Considerando un cilindro (disco) come un anello con raggio interno nullo ( R 1 = 0 ), otteniamo la formula per il momento di inerzia del cilindro (disco):
J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)Cono solido
Derivazione della formula
Spezziamo il cono in dischetti sottili e dotati di uno spessore mah, perpendicolare all'asse del cono. Il raggio di tale disco è uguale a
r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)Dove R– raggio della base del cono, H– altezza del cono, H– distanza dalla sommità del cono al disco. La massa e il momento di inerzia di tale disco saranno
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)Integrando, otteniamo
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\destra)^(4)\sinistra.(\frac (h^(5))(5))\destra|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\sinistra(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\destra)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(allineato)))Palla solida ed omogenea
Derivazione della formula
Spezziamo la pallina in dischetti sottili di spessore mah, perpendicolare all'asse di rotazione. Il raggio di tale disco situato ad un'altezza H dal centro della sfera, lo troviamo utilizzando la formula
r = R2 - h2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)La massa e il momento di inerzia di tale disco saranno
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\destra)dh.)Troviamo il momento di inerzia della palla mediante l'integrazione:
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\sinistra(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\destra)dh=\\&=\pi \rho \sinistra.\sinistra(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \sinistra(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\destra) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(aligned)))Sfera a pareti sottili
Derivazione della formula
Per ricavarlo usiamo la formula del momento d'inerzia di una sfera omogenea di raggio R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)Calcoliamo quanto cambierà il momento d'inerzia della palla se, a densità costante ρ, il suo raggio aumenta di una quantità infinitesimale dottorR .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 mR2. (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\destra)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(allineato)))Asta sottile (l'asse passa per il centro)
Derivazione della formula
Spezziamo l'asta in piccoli frammenti di lunghezza dottor. La massa e il momento di inerzia di tale frammento sono uguali a
d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)Integrando, otteniamo
J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 ml l 3 24 = 1 12 ml l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\sinistra.(\frac (r^(3))(3))\destra|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)Asta sottile (l'asse passa attraverso l'estremità)
Derivazione della formula
Quando l'asse di rotazione si sposta dal centro dell'asta alla sua estremità, il centro di gravità dell'asta si sposta rispetto all'asse di una distanza l/2. Secondo il teorema di Steiner il nuovo momento d'inerzia sarà pari a
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\sinistra((\frac (l)(2))\destra)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)Momenti di inerzia adimensionali di pianeti e satelliti
I loro momenti di inerzia adimensionali sono di grande importanza per gli studi sulla struttura interna dei pianeti e dei loro satelliti. Momento d'inerzia adimensionale di un corpo di raggio R e masse Mè uguale al rapporto tra il suo momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione e il momento di inerzia di un punto materiale della stessa massa rispetto ad un asse di rotazione fisso situato a distanza R(uguale a Sig 2). Questo valore riflette la distribuzione della massa sulla profondità. Uno dei metodi per misurarlo vicino a pianeti e satelliti è determinare lo spostamento Doppler del segnale radio trasmesso da un AMS che vola vicino a un determinato pianeta o satellite. Per una sfera a pareti sottili, il momento di inerzia adimensionale è pari a 2/3 (~0,67), per una palla omogenea - 0,4, e in generale, minore è, maggiore è la massa del corpo concentrata al suo centro. Ad esempio, la Luna ha un momento d'inerzia adimensionale vicino a 0,4 (pari a 0,391), quindi si presume che sia relativamente omogenea, la sua densità cambia poco con la profondità. Il momento d'inerzia adimensionale della Terra è inferiore a quello di una palla omogenea (pari a 0,335), il che è un argomento a favore dell'esistenza di un nucleo denso.
Momento d'inerzia centrifugo
I momenti centrifughi di inerzia di un corpo rispetto agli assi di un sistema di coordinate cartesiane rettangolari sono le seguenti quantità:
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ Rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ Rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ Rho dV,)Dove X , sì E z- coordinate di un piccolo elemento corporeo con volume dV, densità ρ e massa dm .
Si chiama l'asse OX asse principale di inerzia del corpo, se i momenti d'inerzia centrifughi Jxy E Jxz sono contemporaneamente uguali a zero. Attraverso ciascun punto del corpo possono essere tracciati tre assi principali di inerzia. Questi assi sono reciprocamente perpendicolari tra loro. Momenti di inerzia del corpo rispetto ai tre assi principali di inerzia tracciati in un punto arbitrario O vengono chiamati i corpi principali momenti di inerzia di questo corpo.
Vengono chiamati i principali assi di inerzia passanti per il centro di massa del corpo principali assi centrali di inerzia del corpo, e i momenti di inerzia attorno a questi assi sono i suoi principali momenti centrali di inerzia. L'asse di simmetria di un corpo omogeneo è sempre uno dei suoi principali assi centrali di inerzia.
Momenti d'inerzia geometrici
Momento d'inerzia geometrico del volume
J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)dove, come prima R- distanza dall'elemento dV all'asse UN .
Momento d'inerzia geometrico dell'area rispetto all'asse - una caratteristica geometrica del corpo, espressa dalla formula:
J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)dove l'integrazione viene eseguita sulla superficie S, UN dS- elemento di questa superficie.
Dimensione JSa- lunghezza alla quarta potenza ( d io m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), rispettivamente, l'unità di misura SI è 4. Nei calcoli costruttivi, nella letteratura e negli assortimenti di laminati, è spesso indicato in cm 4.
Il momento resistente della sezione si esprime attraverso il momento d'inerzia geometrico della zona:
W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)Qui rmax- distanza massima dalla superficie all'asse.
| Momenti d'inerzia geometrici dell'area di alcune figure | |
|---|---|
| Altezza del rettangolo h (\displaystyle h) e larghezza b (\displaystyle b): | J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))
J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12))) |
| Sezione scatolare rettangolare con altezza e larghezza lungo i contorni esterni H (\displaystyle H) E B (\displaystyle B) e per interni h (\displaystyle h) E b (\displaystyle b) rispettivamente | J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (BH 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))
J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3))) |
| Diametro del cerchio d (\displaystyle d) | J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64))) |
Momento d'inerzia rispetto al piano
Il momento d'inerzia di un corpo rigido rispetto ad un certo piano è una quantità scalare pari alla somma dei prodotti della massa di ciascun punto del corpo per il quadrato della distanza da questo punto al piano in questione.
Se attraverso un punto arbitrario O (\displaystyle O) disegnare gli assi delle coordinate x , y , z (\displaystyle x,y,z), quindi i momenti di inerzia relativi ai piani coordinati x O y (\displaystyle xOy), yOz (\displaystyle yOz) E zOx (\displaystyle zOx) sarà espresso dalle formule:
J x O y = ∑ io = 1 n m io z io 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m io x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O X = ∑ io = 1 n m io y io 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)Nel caso di un corpo solido la somma è sostituita dall’integrazione.
Momento d'inerzia centrale
Momento d'inerzia centrale (momento d'inerzia rispetto al punto O, momento d'inerzia rispetto al polo, momento d'inerzia polare) J O (\displaystyle J_(O))è la quantità determinata dall'espressione:
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)Il momento d'inerzia centrale può essere espresso in termini dei principali momenti d'inerzia assiali, nonché in termini di momenti d'inerzia rispetto ai piani:
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \Giusto),) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)Tensore d'inerzia ed ellissoide d'inerzia
Il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse arbitrario passante per il centro di massa e avente una direzione specificata dal versore unitario s → = ‖ S X , s y , S z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\sinistra\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\destra\Vert ^(T),\sinistra\vert (\vec (s) )\destra\vert =1), può essere rappresentato sotto forma di forma quadratica (bilineare):
Io s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)dove è il tensore d'inerzia. La matrice del tensore d'inerzia è simmetrica e ha dimensioni 3 × 3 (\displaystyle 3\times 3) ed è costituito dalle componenti dei momenti centrifughi:
Scegliendo il sistema di coordinate appropriato, la matrice del tensore d'inerzia può essere ridotta alla forma diagonale. Per fare ciò, è necessario risolvere il problema degli autovalori per la matrice tensoriale J ^ (\displaystyle (\hat (J))):
Dove Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- matrice ortogonale di transizione alla base propria del tensore d'inerzia. Nella base corretta, gli assi delle coordinate sono diretti lungo gli assi principali del tensore d'inerzia e coincidono anche con i semiassi principali dell'ellissoide del tensore d'inerzia. Le quantità J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- principali momenti di inerzia. L'espressione (1) nel proprio sistema di coordinate ha la forma:
da cui si ottiene l'equazione dell'ellissoide nelle proprie coordinate. Dividendo entrambi i membri dell'equazione per Io s (\displaystyle I_(s))
e facendo sostituzioni:
ξ = s x io s , η = s y io s , ζ = s z io s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)otteniamo la forma canonica dell'equazione dell'ellissoide in coordinate ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cpunto J_(Z)=1.)La distanza dal centro dell'ellissoide ad un certo punto è correlata al valore del momento d'inerzia del corpo lungo una linea retta passante per il centro dell'ellissoide e questo punto.
Lascia che ci sia un corpo solido. Scegliamo una linea retta OO (Fig. 6.1), che chiameremo asse (la linea retta OO può essere esterna al corpo). Dividiamo il corpo in sezioni elementari (punti materiali) con masse 
situato a una certa distanza dall'asse 
rispettivamente.
Il momento d'inerzia di un punto materiale rispetto a un asse (OO) è il prodotto della massa di un punto materiale per il quadrato della sua distanza da questo asse:
. (6.1)
Il momento d'inerzia (MI) di un corpo rispetto a un asse (OO) è la somma dei prodotti delle masse delle sezioni elementari del corpo per il quadrato della loro distanza dall'asse:
. (6.2)
Come puoi vedere, il momento di inerzia del corpo è una quantità additiva: il momento di inerzia dell'intero corpo rispetto a un determinato asse è uguale alla somma dei momenti di inerzia delle sue singole parti rispetto allo stesso asse.
In questo caso
.
Il momento d'inerzia si misura in kgm2. Perché
, (6.3)
dove
– densità della sostanza, 
- volume io- la quarta sezione, allora
,
oppure, passando agli elementi infinitesimi,
. (6.4)
La formula (6.4) è conveniente da utilizzare per calcolare l'IM di corpi omogenei di forma regolare rispetto all'asse di simmetria passante per il centro di massa del corpo. Ad esempio, per l'MI di un cilindro rispetto ad un asse passante per il centro di massa parallelo alla generatrice, questa formula dà
,
Dove T- peso; R- raggio del cilindro.
Il teorema di Steiner fornisce un grande aiuto nel calcolo dell'IM dei corpi rispetto a determinati assi: MI dei corpi IO rispetto a qualsiasi asse è uguale alla somma degli MI di questo corpo IO C relativo ad un asse passante per il centro di massa del corpo e parallelo a quello dato, e il prodotto della massa corporea per il quadrato della distanza D tra gli assi indicati:
. (6.5)
Momento di forza attorno all'asse
Lascia che la forza agisca sul corpo F. Assumiamo per semplicità che la forza F giace su un piano perpendicolare a una linea retta OO (Fig. 6.2, UN), che chiameremo asse (ad esempio, questo è l'asse di rotazione del corpo). Nella fig. 6.2, UN
UN- punto di applicazione della forza F,
- il punto di intersezione dell'asse con il piano in cui giace la forza; R- raggio vettore che definisce la posizione del punto UN rispetto al punto DI";
O"B
= B
-
spalla di forza. Il braccio di forza rispetto all'asse è la distanza più piccola dall'asse alla linea retta su cui giace il vettore di forza F(la lunghezza della perpendicolare tracciata dal punto 
a questa riga).
Il momento della forza rispetto all'asse è una quantità vettoriale definita dall'uguaglianza
. (6.6)
Il modulo di questo vettore è . Talvolta perciò si dice che il momento di una forza attorno ad un asse è il prodotto della forza per il suo braccio.
Se la forza Fè diretto arbitrariamente, allora può essere scomposto in due componenti; 
E 
(Fig.6.2, B), cioè. 
+
, Dove 
- componente diretto parallelamente all'asse OO, e 
giace su un piano perpendicolare all'asse. In questo caso, sotto il momento di forza F rispetto all'asse OO comprendere il vettore
. (6.7)
In accordo con le espressioni (6.6) e (6.7), il vettore M diretto lungo l'asse (vedi Fig. 6.2, UN,B).
Momento di un corpo rispetto all'asse di rotazione
P 
Lasciamo che il corpo ruoti attorno ad un certo asse OO con velocità angolare 
. Suddividiamo mentalmente questo corpo in sezioni elementari con masse 
, che si trovano rispettivamente dall'asse a distanze 
e ruotare in circolo, avendo velocità lineari 
È noto che il valore è uguale 
- c'è un impulso io-complotto. momento d'impulso io-la sezione (punto materiale) relativa all'asse di rotazione è chiamata vettore (più precisamente pseudovettore)
, (6.8)
Dove R io– raggio vettore che definisce la posizione io- area relativa all'asse.
Il momento angolare dell'intero corpo rispetto all'asse di rotazione è chiamato vettore
(6.9)
il cui modulo 
.
In accordo con le espressioni (6.8) e (6.9), i vettori
E 
diretto lungo l'asse di rotazione (Fig. 6.3). È facile dimostrare che il momento angolare di un corpo l rispetto all'asse di rotazione e al momento d'inerzia IO di questo corpo rispetto allo stesso asse sono legati dalla relazione
. (6.10)
Il momento d'inerzia di un corpo (sistema) rispetto ad un dato asse Oz (o momento d'inerzia assiale) è una quantità scalare che è diversa dalla somma dei prodotti delle masse di tutti i punti del corpo (sistema) per il quadrati delle loro distanze da questo asse:
Dalla definizione segue che il momento d'inerzia di un corpo (o sistema) rispetto a un qualsiasi asse è una quantità positiva e non uguale a zero.
In futuro verrà dimostrato che il momento d'inerzia assiale durante il movimento rotatorio di un corpo svolge lo stesso ruolo della massa durante il movimento traslatorio, cioè che il momento d'inerzia assiale è una misura dell'inerzia di un corpo durante il movimento rotazionale. movimento.
Secondo la formula (2), il momento d'inerzia di un corpo è uguale alla somma dei momenti d'inerzia di tutte le sue parti rispetto allo stesso asse. Per un punto materiale situato a una distanza h dall'asse, . L'unità di misura del momento d'inerzia nel SI sarà 1 kg (nel sistema MKGSS -).
Per calcolare i momenti d'inerzia assiali, le distanze dei punti dagli assi possono essere espresse attraverso le coordinate di tali punti (ad esempio, sarà il quadrato della distanza dall'asse del Bue, ecc.).
Quindi i momenti di inerzia rispetto agli assi saranno determinati dalle formule:
Spesso durante i calcoli viene utilizzato il concetto di raggio di rotazione. Il raggio d'inerzia di un corpo rispetto a un asse è una quantità lineare determinata dall'uguaglianza
dove M è la massa corporea. Dalla definizione segue che il raggio d'inerzia è geometricamente uguale alla distanza dall'asse del punto in cui deve concentrarsi la massa dell'intero corpo per cui il momento d'inerzia di questo punto è uguale al momento d'inerzia dell'intero corpo.
Conoscendo il raggio d'inerzia, è possibile utilizzare la formula (4) per trovare il momento d'inerzia del corpo e viceversa.
Le formule (2) e (3) valgono sia per un corpo rigido che per qualsiasi sistema di punti materiali. Nel caso di un corpo solido, scomponendolo in parti elementari, troviamo che al limite la somma in uguaglianza (2) si trasformerà in un integrale. Di conseguenza, tenendo conto che dove è la densità e V è il volume, otteniamo
L'integrale qui si estende all'intero volume V del corpo e la densità e la distanza h dipendono dalle coordinate dei punti del corpo. Allo stesso modo, le formule (3) per i corpi solidi assumono la forma
Le formule (5) e (5) sono convenienti da utilizzare quando si calcolano i momenti di inerzia di corpi omogenei di forma regolare. In questo caso la densità sarà costante e cadrà al di fuori del segno integrale.
Troviamo i momenti di inerzia di alcuni corpi omogenei.
1. Un'asta sottile omogenea di lunghezza l e massa M. Calcoliamo il suo momento d'inerzia rispetto all'asse perpendicolare all'asta e passante per la sua estremità A (Fig. 275). Dirigiamo l'asse delle coordinate lungo AB. Quindi per qualsiasi segmento elementare di lunghezza d il valore è , e la massa è , dove è la massa di un'unità di lunghezza dell'asta. Di conseguenza, la formula (5) dà
Sostituendo qui con il suo valore, finalmente troviamo
2. Un anello sottile rotondo omogeneo di raggio R e massa M. Troviamo il suo momento d'inerzia rispetto all'asse perpendicolare al piano dell'anello e passante per il suo centro C (Fig. 276).
Poiché tutti i punti dell'anello si trovano a una distanza dall'asse, si ottiene la formula (2).
Pertanto, per l'anello
Ovviamente lo stesso risultato si otterrà per il momento di inerzia di un sottile guscio cilindrico di massa M e raggio R rispetto al proprio asse.
3. Una piastra o cilindro rotondo omogeneo di raggio R e massa M. Calcoliamo il momento di inerzia della piastra rotonda rispetto all'asse perpendicolare alla piastra e passante per il suo centro (vedi Fig. 276). Per fare ciò, selezioniamo un anello elementare con raggio e larghezza (Fig. 277, a). L'area di questo anello è , e la massa è dove si trova la massa per unità di area della piastra. Quindi, secondo la formula (7) per l'anello elementare selezionato ci sarà e per l'intera piastra
Come notato sopra, le figure piane semplici includono tre figure: un rettangolo, un triangolo e un cerchio. Queste figure sono considerate semplici perché la posizione del baricentro di queste figure è nota in anticipo. Tutte le altre figure possono essere composte da queste figure semplici e sono considerate complesse. Calcoliamo i momenti d'inerzia assiali di figure semplici rispetto ai loro assi centrali.
1. Rettangolo. Consideriamo la sezione trasversale di un profilo rettangolare con dimensioni (Fig. 4.6). Selezioniamo un elemento sezione con due sezioni infinitamente vicine a distanza 
dall'asse centrale 
.
Calcoliamo il momento d'inerzia di una sezione trasversale rettangolare rispetto all'asse:
.
(4.10)
Momento d'inerzia di una sezione rettangolare attorno all'asse 
troveremo qualcosa di simile. La conclusione non è data qui.
.
(4.11)
E 
è uguale a zero, poiché gli assi 
E 
sono assi di simmetria e, quindi, assi principali.
2. Triangolo isoscele. Consideriamo una sezione di un profilo triangolare con dimensioni 
(Fig.4.7). Selezioniamo un elemento sezione con due sezioni infinitamente vicine a distanza 
dall'asse centrale 
. Il baricentro del triangolo è distante 
dalla base. Si presuppone che il triangolo sia isoscele, quindi l'asse 
la sezione è l'asse di simmetria.
Calcoliamo il momento di inerzia della sezione rispetto all'asse 
:
.
(4.12)
Misurare 
determiniamo dalla somiglianza dei triangoli:
; Dove 
.
Sostituzione delle espressioni per 
nella (4.12) e integrando si ottiene:
.
(4.13)
Momento d'inerzia di un triangolo isoscele attorno all'asse 
si trova in modo simile ed è uguale a:
(4.14)
Momento d'inerzia centrifuga rispetto agli assi 
E 
è uguale a zero, poiché l'asse 
è l'asse di simmetria della sezione.
3. Cerchio. Considera la sezione trasversale di un profilo circolare con un diametro 
(Fig.4.8). Evidenziamo l'elemento di sezione con due cerchi concentrici infinitamente vicini posti a distanza 
dal baricentro del cerchio 
.
Calcoliamo il momento polare d'inerzia del cerchio usando l'espressione (4.5):
.
(4.15)
Utilizzando la condizione di invarianza per la somma dei momenti d'inerzia assiali attorno a due assi reciprocamente perpendicolari (4.6) e tenendo conto di quella di un cerchio, dovuta alla simmetria 
, determiniamo il valore dei momenti d'inerzia assiali:
.
(4.16)
.
(4.17)
Momento d'inerzia centrifuga rispetto agli assi 
E 
è uguale a zero, poiché gli assi 
E 
sono gli assi di simmetria della sezione.
4.4. Dipendenze tra momenti d'inerzia relativi ad assi paralleli
Quando si calcolano i momenti di inerzia per figure complesse, è necessario ricordare una regola: i valori dei momenti di inerzia possono essere sommati, se sono calcolati rispetto allo stesso asse. Per le figure complesse, molto spesso i centri di gravità delle singole figure semplici e dell'intera figura non coincidono. Di conseguenza, gli assi centrali delle singole figure semplici e dell'intera figura non coincidono. A questo proposito, esistono tecniche per portare i momenti di inerzia su un asse, ad esempio l'asse centrale dell'intera figura. Ciò potrebbe essere dovuto alla traslazione parallela degli assi di inerzia e a calcoli aggiuntivi.
Consideriamo la determinazione dei momenti di inerzia rispetto agli assi di inerzia paralleli mostrati in Fig. 4.9.
Consideriamo i momenti d'inerzia assiale e centrifugo mostrati in Fig. 4.9. figure relative ad assi scelti arbitrariamente 
E 
con l'origine nel punto 
conosciuto. È necessario calcolare i momenti di inerzia assiale e centrifugo di una figura rispetto ad assi paralleli arbitrari 
E 
con l'origine nel punto 
. Assi 
E 
effettuate a distanza 
E 
rispettivamente dagli assi 
E 
.
Usiamo le espressioni per i momenti d'inerzia assiali (4.4) e per il momento d'inerzia centrifugo (4.7). Sostituiamo in queste espressioni invece delle coordinate attuali 
E 
elemento con area di coordinate infinitesima 
E 
nel nuovo sistema di coordinate. Noi abbiamo:
Analizzando le espressioni ottenute, arriviamo alla conclusione che quando si calcolano i momenti di inerzia relativi agli assi paralleli, ai momenti di inerzia calcolati rispetto agli assi di inerzia originali dovrebbero essere aggiunti additivi sotto forma di termini aggiuntivi, che possono essere molto maggiori rispetto ai valori dei momenti di inerzia rispetto agli assi originari. Pertanto, questi termini aggiuntivi non dovrebbero in nessun caso essere trascurati.
Il caso considerato è il caso più generale di trasferimento parallelo di assi, quando si prendevano come iniziali assi di inerzia arbitrari. Nella maggior parte dei calcoli esistono casi particolari di determinazione dei momenti di inerzia.
Primo caso speciale. Gli assi di origine sono gli assi centrali di inerzia della figura. Quindi, utilizzando la proprietà principale del momento statico dell'area, possiamo escludere dalle equazioni (4.18)–(4.20) i termini delle equazioni che includono il momento statico dell'area della figura. Di conseguenza otteniamo:
.
(4.21)
.
(4.22)
.
(4.23)
Ecco gli assi 
E 
-assi centrali di inerzia.
Secondo caso speciale. Gli assi di riferimento sono gli assi principali di inerzia. Tenendo quindi conto che rispetto agli assi principali d'inerzia il momento d'inerzia centrifugo è pari a zero, si ottiene:
.
(4.24)
.
(4.25)
.
(4.26)
Ecco gli assi 
E 
assi principali di inerzia.
Usiamo le espressioni ottenute e consideriamo diversi esempi di calcolo dei momenti di inerzia per figure piane.
Esempio 4.2. Determinare i momenti di inerzia assiale della figura mostrata in Fig. 4.10, relativo agli assi centrali 
E 
.
Nel precedente esempio 4.1, per la figura mostrata in Fig. 4.10, è stata determinata la posizione del baricentro C. La coordinata del baricentro è stata tracciata dall'asse 
e compilato 
. Calcoliamo le distanze 
E 
tra gli assi 
E 
e assi 
E 
. Queste distanze erano rispettivamente 
E 
. A partire dagli assi originali 
E 
sono gli assi centrali per figure semplici sotto forma di rettangoli, per determinare il momento di inerzia della figura rispetto all'asse 
Utilizziamo le conclusioni per il primo caso particolare, in particolare la formula (4.21).
Momento d'inerzia attorno all'asse 
otteniamo sommando i momenti di inerzia di figure semplici rispetto allo stesso asse, poiché l'asse 
è l'asse centrale comune per le figure semplici e per l'intera figura.
cm4.
Momento d'inerzia centrifuga rispetto agli assi 
E 
è uguale a zero, poiché l'asse di inerzia 
è l'asse principale (asse di simmetria della figura).
Esempio 4.3. Qual è la misura? B(in centimetri)
la figura mostrata in Fig. 4.11, se il momento di inerzia della figura rispetto all'asse 
pari a 1000 cm 4?
Esprimiamo il momento di inerzia attorno all'asse 
attraverso una dimensione di sezione sconosciuta 
, utilizzando la formula (4.21), tenendo conto che la distanza tra gli assi 
E 
equivale a 7 cm:
cm4. (UN)
Risolvere l'espressione (a) relativa alla dimensione della sezione 
, noi abbiamo:
cm.
Esempio 4.4. Quale delle figure mostrate in Fig. 4.12 ha un momento di inerzia maggiore rispetto all'asse 
se entrambe le figure hanno la stessa area 
cm2?
1. Esprimiamo le aree delle figure in termini di dimensioni e determiniamo:
a) diametro della sezione per una sezione rotonda:
cm2; Dove 
cm.
b) dimensione del lato quadrato:
; Dove 
cm.
2. Calcola il momento d'inerzia per una sezione circolare:
cm4.
3. Calcola il momento d'inerzia per una sezione quadrata:
cm4.
Confrontando i risultati ottenuti arriviamo alla conclusione che una sezione quadrata avrà il momento d'inerzia maggiore rispetto ad una sezione circolare di pari area.
Esempio 4.5. Determinare il momento d'inerzia polare (in cm 4) di una sezione rettangolare rispetto al suo baricentro, se la larghezza della sezione 
cm, altezza sezione 
cm.
1. Trova i momenti di inerzia della sezione rispetto all'orizzontale 
e verticale 
assi centrali di inerzia:
cm 4; 
cm4.
2. Determiniamo il momento d'inerzia polare della sezione come somma dei momenti d'inerzia assiali:
cm4.
Esempio 4.6. Determinare il momento di inerzia della figura triangolare mostrata in Fig. 4.13, rispetto all'asse centrale 
, se il momento di inerzia della figura rispetto all'asse 
pari a 2400 cm 4.
Momento d'inerzia di una sezione triangolare rispetto all'asse d'inerzia principale 
sarà minore rispetto al momento di inerzia attorno all'asse 
per l'importo 
. Pertanto, quando 
cm momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse 
lo troviamo come segue.
DEFINIZIONE
La misura dell'inerzia di un corpo rotante è momento d'inerzia(J) rispetto all'asse attorno al quale avviene la rotazione.
Questa è una quantità fisica scalare (in generale tensore), che è uguale al prodotto delle masse dei punti materiali () in cui il corpo in questione dovrebbe essere diviso in quadrati di distanze () da essi all'asse di rotazione:
dove r è funzione della posizione di un punto materiale nello spazio; - densità corporea; - volume di un elemento del corpo.
Per un corpo omogeneo, l’espressione (2) può essere rappresentata come:
Il momento di inerzia nel sistema internazionale di unità si misura in:
La quantità J è compresa nelle leggi fondamentali con cui si descrive la rotazione di un corpo rigido.
Nel caso generale, l'entità del momento di inerzia dipende dalla direzione dell'asse di rotazione e poiché durante il movimento il vettore solitamente cambia direzione rispetto al corpo, il momento di inerzia dovrebbe essere considerato in funzione del tempo. Un'eccezione è il momento d'inerzia di un corpo che ruota attorno ad un asse fisso. In questo caso il momento di inerzia rimane costante.
Il teorema di Steiner
Il teorema di Steiner permette di calcolare il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse di rotazione arbitrario quando è noto il momento d'inerzia del corpo in questione rispetto all'asse passante per il centro di massa di questo corpo e questi assi sono parallelo. In forma matematica, il teorema di Steiner è rappresentato come:
dov'è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione passante per il centro di massa del corpo; m è la massa del corpo in questione; a è la distanza tra gli assi. Assicurati di ricordare che gli assi devono essere paralleli. Dall'espressione (4) segue che:
Alcune espressioni per calcolare i momenti di inerzia di un corpo
Quando ruota attorno ad un asse, un punto materiale ha un momento di inerzia pari a:
dove m è la massa del punto; r è la distanza dal punto all'asse di rotazione.
Per un'asta sottile omogenea di massa m e lunghezza l J rispetto all'asse passante per il suo centro di massa (l'asse è perpendicolare all'asta) è uguale a:
Un anello sottile con una massa rotante attorno ad un asse passante per il suo centro, perpendicolare al piano dell'anello, quindi il momento di inerzia si calcola come:
dove R è il raggio dell'anello.
Un disco omogeneo rotondo di raggio R e massa m ha J rispetto all'asse passante per il suo centro e perpendicolare al piano del disco, pari a:
Per una palla omogenea
dove m è la massa della palla; R è il raggio della palla. La palla ruota attorno ad un asse passante per il suo centro.
Se gli assi di rotazione sono gli assi di un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, allora per un corpo continuo i momenti di inerzia possono essere calcolati come:
dove sono le coordinate di un elemento infinitesimo del corpo.
Esempi di risoluzione dei problemi
ESEMPIO 1
| Esercizio | Due palline, che possono essere considerate palline a punti, sono tenute insieme da una sottile asta senza peso. Lunghezza asta l. Qual è il momento d'inerzia di questo sistema, rispetto all'asse che passa perpendicolare all'asta attraverso il centro di massa. Le masse dei punti sono uguali e pari a m. |
| Soluzione | Troviamo il momento di inerzia di una palla () rispetto a un asse situato a distanza da essa:
Il momento di inerzia della seconda palla sarà pari a: Il momento di inerzia totale del sistema è pari alla somma:
|
| Risposta |
ESEMPIO 2
| Esercizio | Qual è il momento d'inerzia di un pendolo fisico rispetto all'asse che passa per il punto O (Fig. 1)? L'asse è perpendicolare al piano del disegno. Considera che un pendolo fisico è costituito da un'asta sottile di lunghezza l avente massa m e da un disco di massa . Il disco è fissato all'estremità inferiore dell'asta e ha un raggio pari a |
| Soluzione | Il momento d'inerzia del nostro pendolo (J) sarà uguale alla somma del momento d'inerzia dell'asta () che ruota attorno all'asse passante per il punto O e del disco () che ruota attorno allo stesso asse: |
