Иррациональные числа. Иррациональные числа — Гипермаркет знаний

Тема: Иррациональные числа

На координатной оси с единичным отрезком ОЕ отмечена точка D . Является ли длина отрезка OD рациональным числом?
Измерим длину OD при помощи единичного отрезка.
Получим остаток – отрезок FD , длина которого меньше единичного отрезка. Можно сказать, округлив до целых, что длина отрезка OD приблизительно равна 3, OD ≈ 3.
Чтобы измерить длину OD возьмем за единицу измерения десятую часть единичного отрезка – длину отрезка OE 1 .

От точки F отложим OE 1 дважды при этом получится остаток F 1 D , длина которого меньше длины отрезка OE 1 , выбранного единичным отрезком. Можно сказать, округлив до десятых, что длина отрезка OD приблизительно равна 3,2, OD ≈ 3,2.
Чтобы измерить длину отрезка OD ещё точнее, будем выбирать меньшие единицы измерения – сотую, тысячную, десятитысячную, стотысячную части единичного отрезка и так далее. В результате измерения возможны два варианта.

Построим квадрат со стороной, равной длине единичного отрезка OE . Проведем диагональ ОВ . Теперь построим новый квадрат, стороной которого будет диагональ ОВ . Обратим внимание, что новый квадрат в два раза больше старого. Значит площадь его S в два раза больше, S = 2. Выходит, что длина стороны нового квадрата ОВ равна числу, квадрат которого равен двум.
Измерим длину стороны нового квадрата ОВ при помощи единичного отрезка, как мы делали вначале. Длина единичного отрезка OE" укладывается в отрезок OB один раз, при этом получается остаток – E"B . Округлив до целых, получим, что длина стороны OB приблизительно равна одному. OB ≈1.
Чтобы измерить длину отрезка ОВ точнее будем выбирать меньшие единичные отрезки – десятую, сотую, тысячную части единичного отрезка ОЕ и так далее. На одном из шагов получим число: OB ≈1,41421356… – иррациональное число.
Эта десятичная дробь не является периодической. Если бы на каком-то шаге измерения был определен период дроби, то данное число было бы рациональным, то есть его можно было бы представить в виде дроби m /n , где m – целое число, а n – натуральное. Однако не существует такого рационального числа, квадрат которого равен двум.
Таким образом, длина отрезка OB выражена бесконечной десятичной непериодической дробью, или иррациональным числом.
Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество иррациональных чисел обозначается буквой – I .

I – множество иррациональных чисел.

|OD | = 3,2300980107...
Точке D соответствует число 3,2300980107...
|OG | = 1,72 = 1,72000… = 1,72(0)
Точке G соответствует число −1,72(0) или −1,72
Знак дроби зависит от расположения точки – справа от начальной точки О – положительные числа, слева – отрицательные.
Обратное утверждение также верно: взяв произвольную десятичную бесконечную дробь, мы всегда найдем на координатной оси справа или слева от точки О такую точку А , что длина отрезка ОА выражается модулем этой дроби. Знак дроби соответствует расположению точки А .
|OA | = 2,2(0)
Точке A соответствует число 2,2(0) или 2,2.
Любой точке координатной оси ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь: если дробь периодическая, то данной точке соответствует рациональное число, если дробь непериодическая, то – иррациональное число.

Множество рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел (R ).

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Числа 1, 2, 3 … - натуральные числа Натуральные числа – числа, возникающие естественным образом при счёте. Существуют два подхода к определению натуральных чисел числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). 2

3

4

,

9 Математики Древней Греции более двадцати веков тому назад пришли к выводу, что нет ни целого, ни дробного числа, выражающего диагональ квадрата со стороной 1. Это вызвало кризис в математической науке: диагональ у квадрата есть, а длины у неё нет! Математики нашли выход из этой ситуации: раз имеющегося запаса чисел – целых и дробных – не хватает для выражения длин отрезков, значит, нужны какие-то новые числа. Так появились иррациональные числа.

10 Измерение длин отрезков на координатной прямой Работа с учебником стр.63 – 64 п. 11. Устно ответить на вопросы: 1. Как можно измерить длину любого отрезка? 2. Как можно получить более точный результат (с точностью до 0,1; 0,01 и 0,001? 3. Какие числа окажутся в результате измерений?

11

12

13

16

Сравним числа 2,36366… и 2,37011… совпадают в разряде сотых у первой дроби число единиц меньше, чем у второй, поэтому 2,36366…

20

Иррациональные числа Натуральные числа Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Рациональные числа –6(3) 7, … 345 π π 1,24(53) 21

1. 276, 277, 281 (а, в, д) ,

1.Алгебpа. 8 класс. Учебник. ФГОС. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Под ред. С.А.Теляковского г. 2.Алгебра, 8 класс, Поурочные планы, Дюмина Т.Ю., Махонина А.А., 2012: CD; 3. html 4. gifhttp://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/4/80/35/ _ _skola1. gif 5. jp jpghttp:// jpg 7. Литература и Интернет–ресурсы: 27

Определение иррационального числа

Иррациональными называют такие числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Так, например, числа, полученные путем извлечения квадратного корня из натуральных чисел, являются иррациональными и не являются квадратами натуральных чисел. Но не все иррациональные числа получают путем извлечения квадратных корней, ведь полученное методом деления, число «пи», также является иррациональным, и его вы вряд ли получите, пытаясь извлечь квадратный корень из натурального числа.

Свойства иррациональных чисел

В отличие от чисел, записанных бесконечной десятичной дробью, только иррациональные числа записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Сумма двух неотрицательных иррациональных чисел в итоге может быть рациональным числом.
Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
Любое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
Все иррациональные числа являются либо алгебраическими, либо трансцендентными.
Множество иррациональных чисел на прямой располагаются плотно, и между его любыми двумя числами обязательно найдется иррациональное число.
Множество иррациональных чисел бесконечно, несчетно и является множеством 2-й категории.
При выполнении любой арифметической операции с рациональными числами, кроме деления на 0, его результатом будет рациональное число.
При сложении рационального числа с иррациональным, в результате всегда получается иррациональное число.
При сложении иррациональных чисел в результате мы можем получить рациональное число.
Множество иррациональных чисел не есть четным.

Числа, не являются иррациональными

Иногда достаточно сложно ответить на вопрос, является ли число иррациональным, особенно в случаях, когда число имеет вид десятичной дроби или в виде числового выражения, корня или логарифма.

Поэтому не лишним будет знать, какие числа не относятся к иррациональным. Если следовать определения иррациональных чисел, то нам уже известно, что рациональные числа не могут быть иррациональными.

Иррациональными числами не являются:

Во-первых, все натуральные числа;
Во-вторых, целые числа;
В-третьих, обыкновенные дроби;
В-четвертых, разные смешанные числа;
В-пятых, это бесконечные периодические десятичные дроби.

Кроме всего перечисленного, иррациональным числом не может быть любая комбинация рациональных чисел, которая выполняется знаками арифметических операций, как +, -, , :, так как при этом итогом двух рациональных чисел будет также рациональное число.

А теперь посмотрим, какие же из чисел являются иррациональными:

А известно ли вам о существовании фан-клуба, где поклонники этого загадочного математического феномена ищут все новые сведения о Пи, пытаясь разгадать его тайну. Членом этого клуба может сталь любой человек, который знает наизусть определенное количество чисел Пи после запятой;

А знаете ли вы, что в Германии под охраной ЮНЕСКО находится дворец Кастадель Монте, благодаря пропорциям которого можно вычислить Пи. Целый дворец посвятил этому числу король Фридрих II.

Оказывается, число Пи пытались использовать при строительстве Вавилонской башни. Но к превеликому сожалению, это привело к краху проекта, так как на тот момент было недостаточно изучено точное исчисление значения Пи.

Певица Кейт Буш в своем новом диске записала песню под названием «Пи», в которой прозвучало сто двадцать четыре числа из знаменитого числового ряда 3, 141…..

Урок и презентация на тему: "Множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначения, свойства и примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Никольского Н.С.    Пособие к учебнику Алимова Ш.А.

Натуральные числа

Ребята, вы хорошо знаете, что такое натуральные числа. Это числа, которые мы используем при счете: 1, 2, 3 ,… Обозначают множество натуральных чисел символом: N. Множество натуральных чисел бесконечно. Причем для любого натурального числа всегда найдется число, которое больше данного.

Действительные числа

Если к натуральным числам прибавить 0 и все отрицательные числа -1,-2,-3…, то получится множество действительных целых чисел, которое принято обозначать Z. Урок:
"Множество действительных чисел". Ввод отрицательных чисел был необходим для того, чтобы из меньших чисел можно было вычитать большие. Сумма, разность, произведение – снова дают целые числа.

Рациональные числа

$\frac{2}{3}$, $-\frac{1}{2}$, …?

Любое рациональное число может быть представлено в виде:

Если любое целое число мы разделим на натуральное число, то получим рациональное число. Деление на натуральное число в такой записи удобно, в том смысле, что мы исключили операцию деления на ноль. Рациональных чисел бесконечно много, но зато все эти числа можно перенумеровать.
Рассмотрев множества выше, мы видим, что каждое последующее содержит в себе предыдущие:
.
Знак ⊂ обозначает подмножество, то есть множество натуральных чисел содержится в множестве целых чисел и так далее. Подробнее с понятием множества мы с вами познакомимся в девятом классе. "Множества и подмножества рациональных чисел"

Давайте рассмотрим три рациональных числа:

$5$; $0,385$; $\frac{2}{3}$

$5=5.00000…$
$0,385=0,38500…$

$\frac{2}{3}=0.6666…$

Таким образом, любое рациональное число мы можем представить в виде бесконечной дроби. Для теоретической математики это имеет большое значение. Для практики и нам с вами при решении задач большого смысла нет представлять обычную пятерку в виде бесконечной десятичной дроби.

Если в десятичной записи числа повторяются одни и те же числа, то это называется "периодом". В нашем случае для числа

$\frac{2}{3}=0,6666…$

периодом будет число $6$. Обычно период числа принято обозначать в скобках $\frac{2}{3}=0,(6)$. Сама дробь в таком случае называется бесконечной десятичной периодической дробью.
Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Обратная операция также верна.

Пример.
Представить в виде обыкновенной дроби:
а) $2,(24)$.
б) $1,(147)$.

Решение.
а) Пусть $x=2,(24)$. Помножим наше число так, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на период. $100х=224,(24)$.
Выполним следующую операцию:

$100х-х=224,(24)-2,(24)$.

$х=\frac{222}{99}$ – рациональное число.

Б) Поступим также.

$х=1,(147)$, тогда $1000х=1147,(147)$.
$1000х-х=1147,(147)-1,(147)$.

$х=\frac{1146}{999}$.

К сожалению, описать все числа с помощью множества рациональных чисел не удалось. На прошлом уроке "Корень квадратный" мы с вами познакомились с операцией вычисления корня квадратного. Так, длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами равными 1 и 2 равна $\sqrt{5}$. Это число не может быть представлено в виде несократимой дроби, а значит, не является рациональным. Таким образом, нам необходимо расширить наше понимание о множествах чисел.

Иррациональные числа

Иррациональным числом называют бесконечную непериодическую дробь.
Если $n≠k^2$, где $n,kϵN$, то есть $n$ не является точным квадратом другого натурально числа, то $\sqrt{n}$ - иррациональное число.
Иррациональные числа встречаются довольно таки часто. Одним из самых ярких примеров является знаменитое и важное число π. Если рассмотреть совершенно любую окружность и разделить ее длину на диаметр то всегда, получается π. Было доказано, что это число иррациональное.
Операции над иррациональными числами проводить довольно таки сложно. Даже в современной математике остались вопросы о роде многих чисел. Многие математики, занимающиеся теорией чисел, бьются над известными проблемами иррациональных в течение сотен лет.

Но мы можем подвести некоторый итог:
1. Если складывать, вычитать, умножать, делить (кроме деления на 0) рациональные числа, то в ответе получится рациональное число.
2. Арифметические операции над иррациональными числами могут привести как к иррациональному числу, так и рациональному.
3. Если в арифметической операции участвуют как рациональные, так и иррациональные числа, то в результате получится иррациональное число.

? Ю.Н.Макарычев Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений-М.: Просвещение, 2014 г.

? Н.Г. Миндюк Дидактические материалы. Алгебра. 8 класс-М.: Просвещение, 2014г.

? Н.Г. Миндюк Рабочая тетрадь. Часть 1 Алгебра. 8 класс-М.: Просвещение, 2014г.

• Проектор
• Компьютер

Ход урока

1. Организационный момент
2. Устная работа
   1. m / n , где m-целое число, n-натуральное. Пример 3/5 можно представить разными способами: 3/5=6/10=9/15=…….)
   2. Какие множества вы уже знаете? (натуральные -N, целые-Z, рациональные - Q,
   3. Задание на доске: Определите к какому множеству принадлежит каждое из чисел? Заполните таблицу. ; 0,2020020002…; -p.

Натуральные -N

Рациональные - Q

7; 19; 235; -90

7; 19; 3/8; -5,7; 235; -90; -1(4/11)

А эти числа 0,2020020002…; -p куда следует отнести?

«НЕ» заменим приставкой «ИР».

Иррациональное число - десятичная бесконечная периодическая дробь.

где т - целое число, п - натуральное.

Вернемся к нашей таблице. (Допишем в 4-ю колонку иррациональные числа и 0,2020020002…; -p

Закрепление

1-я - задания на определение принадлежности к различным числовым множествам.

2-я - задания на сравнение действительных чисел.

Тест с последующей проверкой

13) Число p является действительным.

14) Число 3,1(4) меньше числа p.

15 правильных ответов - оценка «5»

12-14 правильных ответов - оценка «4»

Рефлексия

Домашнее задание

№278; 281; 282

Оценки за урок.

Спасибо за урок!

«План»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Тургеневская СОШ»

Учитель: Лойко Галина Алексеевна

План урока по теме

«Иррациональные числа»

«Числа не управляют миром,

ЦЕЛИ УРОКА:

Цели обучения:

развитие познавательного интереса через применение занимательных задач и примеров.

2. Цель воспитания:

воспитание осознанных мотивов учения и положительного отношения к знаниям.

Учебно-методическое обеспечение

● Ю.Н.Макарычев Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений-М.: Просвещение, 2014 г.

●Н.Г. Миндюк Дидактические материалы. Алгебра. 8 класс-М.: Просвещение, 2014г.

● Н.Г. Миндюк Рабочая тетрадь. Часть 1 Алгебра. 8 класс-М.: Просвещение, 2014г.

Необходимое оборудование и материалы для занятий :

Проектор

Компьютер

Ход урока

Организационный момент

Устная работа

1. Какую тему мы изучили на прошлом уроке? (Рациональные числа)

   Какие числа называются рациональными? (Числа, которые можно представить в виде дроби m / n , где m -целое число, n -натуральное. Пример 3/5 можно представить разными способами: 3/5=6/10=9/15=……..)

   Какие множества вы уже знаете? (натуральные –N , целые-Z , рациональные – Q ,

   Задание на доске: Определите к какому множеству принадлежит каждое из чисел? Заполните таблицу. -7; 19; 3/8; -5,7; 235; -90; -1(4/11); 0,2020020002…; -.

А эти числа 0,2020020002…; - куда следует отнести?

Наших знаний не хватает, чтобы что-то сказать о них. И вот сейчас мы переходим к изучению нового материала, а тема урока «Иррациональные числа», узнаете какие числа называются иррациональными и приведем примеры.

Рассмотрим бесконечную десятичную дробь

Данная бесконечная десятичная дробь по определению не является рациональным.

Значит эта дробь «не рациональное» число.

«НЕ» заменим приставкой «ИР».

Получим «иррациональное» число.

Иррациональное число

Рассмотрим примеры иррациональных чисел.

Иррациональное нельзя представить в виде дроби

где т – целое число, п – натуральное.

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, сравнивать.

Вернемся к нашей таблице. (Допишем в 4-ю колонку иррациональные числа и 0,2020020002…; -

Обобщим знания о всех множествах чисел

Закрепление

Все задания из учебника можно разбить на 2 группы.

1-я – задания на определение принадлежности к различным числовым множествам.

2-я – задания на сравнение действительных чисел.

Выполним номера: №276, 277, 279, 287.(устно)

Выполним номера: № 280, 283, 288 (у доски)

Тест с последующей проверкой

«+» - согласен с утверждением; «-» - не согласен с утверждением.

1) Всякое целое число является натуральным.

2) Всякое натуральное число является рациональным.

3) Число -7 является рациональным.

4) Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.

5) Разность двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.

6) Произведение двух целых чисел всегда является целым числом.

7) Частное двух целых чисел всегда является целым числом.

8) Сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

9) Частное двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

10) Всякое иррациональное число является действительным.

11) Действительное число не может быть натуральным.

12) Число 2,7(5) является иррациональным.

15) Число - 10 принадлежит одновременно множеству целых, рациональных и действительных чисел.

8-11 правильных ответов - оценка «3»

менее 8 следует подучить теорию.

Рефлексия

Какие числа называются рациональными, иррациональными?

Из каких чисел состоит множество действительных чисел?

Домашнее задание

№278; 281; 282

Оценки за урок.

Спасибо за урок!

Просмотр содержимого документа
«Тест с последующей проверкой»

Тест с последующей проверкой

«+» - согласен с утверждением;

«-» - не согласен с утверждением.

1) Всякое целое число является натуральным.

2) Всякое натуральное число является рациональным.

3) Число -7 является рациональным.

4) Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.

5) Разность двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.

6) Произведение двух целых чисел всегда является целым числом.

7) Частное двух целых чисел всегда является целым числом.

8) Сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

9) Частное двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

10) Всякое иррациональное число является действительным.

11) Действительное число не может быть натуральным.

12) Число 2,7(5) является иррациональным.

13) Число  является действительным.

14) Число 3,1(4) меньше числа .

15) Число - 10 принадлежит одновременно множеству целых, рациональных и действительных чисел.

Ответы

«Иррациональные числа» «Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им» ЦЕЛИ УРОКА 1 Цели обучения: расширить представления учащихся о числе, сформировать понятие «иррациональное число»; формировать умения различать эти множества чисел и выполнять все арифметические действия; систематизировать знания о числовых множествах; развитие познавательного интереса через применение занимательных задач и примеров 2. Цель воспитания: воспитание осознанных мотивов учения и положительного отношения к знаниям. Рассмотрим бесконечную десятичную дробь Данная бесконечная десятичная дробь по определению не является рациональным. Значит эта дробь «не рациональное» число. «НЕ» заменим приставкой «ИР» . Получим «иррациональное» число. Иррациональное число – десятичная бесконечная периодическая дробь. Рассмотрим примеры иррациональных чисел. Иррациональное нельзя представить в виде дроби где т – целое число, п – натуральное. Действительные числа Рациональные числа Иррациональные числа Дробные числа Бесконечные непериодические дроби Целые числа Отрицательные числа Обыкновенные дроби Нуль Десятичные дроби Положительные числа Конечные Бесконечные периодические Ключ к тесту Оценка 15 правильных ответов – оценка «5» 12-14 правильных ответов – оценка «4» 8-11 правильных ответов - оценка «3» менее 8 следует подучить теорию. Домашнее задание. № 278 № 281 № 282