Penurunan hukum dasar dinamika gerak rotasi. Verifikasi hukum dasar dinamika gerak rotasi benda tegar Hukum dasar gerak rotasi benda tegar

Momen gaya relatif terhadap suatu titik tetapHAI adalah besaran fisis vektor yang ditentukan oleh hasil kali vektor dari vektor jari-jari diambil dari titik tersebutHAI tepatA penerapan kekuatan, kekuatan (Gbr.1.4.1):

(1.4.1)

Di Sini – vektor semu, arahnya bertepatan dengan arah gerak baling-baling kanan saat berputar Ke .

Modulus momen gaya

Di mana
– sudut antara Dan ,
– jarak terpendek antara garis kerja gaya dan titik TENTANG–kekuatan bahu.

Momen gaya terhadap sumbu tetap z
, sama dengan proyeksi ke sumbu vektor ini momen gaya yang ditentukan relatif terhadap suatu titik sembarangHAI sumbu yang diberikanz (Gbr. 1.4.1).

Usaha yang dilakukan ketika suatu benda berputar sama dengan hasil kali momen gaya kerja dan sudut rotasi:

.

Di sisi lain, usaha ini digunakan untuk meningkatkan energi kinetiknya:

, Tetapi

, Itu sebabnya

, atau
.

Mengingat bahwa
, kita mendapatkan

. (1.4.2)

Telah mendapatkan persamaan dasar dinamika gerak rotasi suatu benda tegar relatif terhadap sumbu tetap: momen gaya luar yang bekerja pada benda sama dengan hasil kali momen inersia benda dan percepatan sudut.

Dapat ditunjukkan bahwa jika sumbu rotasi berimpit dengan sumbu utama inersia yang melalui pusat massa, maka persamaan vektor berlaku:

,

Di mana SAYA– momen inersia utama benda (momen inersia terhadap sumbu utama).

1.5 Momentum sudut dan hukum kekekalannya

momen impuls poin materiA relatif terhadap suatu titik tetap TENTANG adalah besaran fisis vektor yang ditentukan oleh hasil kali vektor:

(1.5.1)

Di mana – vektor radius yang ditarik dari titik TENTANG tepat A;
– momentum suatu titik material (Gbr. 1.5.1).
– vektor semu, arahnya bertepatan dengan arah gerak translasi baling-baling kanan ketika berputar Ke .

,

Di mana
– sudut antar vektor Dan ,– lengan vektor relatif terhadap intinya TENTANG.

Momentum impuls relatif terhadap sumbu tetap z disebut besaran skalar
, sama dengan proyeksi ke sumbu ini dari vektor momentum sudut yang ditentukan relatif terhadap suatu titik sembarangTENTANG sumbu ini. Nilai momentum
tidak bergantung pada posisi titik tersebut TENTANG pada sumbu z.

Ketika benda tegar mutlak berputar pada sumbu tetap z setiap titik tubuh bergerak dalam lingkaran dengan jari-jari konstan dengan kecepatan tertentu . Kecepatan dan momentumnya
tegak lurus terhadap jari-jari ini, mis. radius adalah lengan vektor
. Oleh karena itu, kita dapat menulis momentum sudut suatu partikel

dan diarahkan sepanjang sumbu ke arah yang ditentukan oleh aturan sekrup kanan.

Momentum benda tegar relatif terhadap sumbu adalah jumlah momentum sudut masing-masing partikel:

.

Menggunakan rumus
, kita mendapatkan

, yaitu
. (1.5.2)

Jadi, momentum sudut benda tegar terhadap suatu sumbu sama dengan hasil kali momen inersia benda terhadap sumbu yang sama dan kecepatan sudut.

Mari kita bedakan persamaan (1.5.2) terhadap waktu:

, yaitu
. (1.5.3)

Ungkapan ini adalah bentuk lain persamaan dasar (hukum) dinamika gerak rotasi benda tegar relatif terhadap sumbu tetap: turunan waktu dari momen momentum suatu sistem mekanik (benda padat) terhadap sumbu sama dengan momen utama semua gaya luar yang bekerja pada sistem ini relatif terhadap sumbu yang sama.

Dapat ditunjukkan adanya persamaan vektor
.

Dalam sistem tertutup, momen gaya luar
Dan
, Di mana

. (1.5.4)

Ekspresi (1.5.4) adalah hukum kekekalan momentum sudut : Momentum sudut sistem tertutup kekal.

Mari kita bandingkan besaran dasar dan persamaan yang menentukan rotasi suatu benda pada sumbu tetap dan gerak translasinya (Tabel 1.5.1).

Tabel 1.5.1

Konsep dasar.

Momen kekuasaan relatif terhadap sumbu rotasi - ini adalah produk vektor dari vektor jari-jari dan gaya.

Momen gaya adalah sebuah vektor , yang arahnya ditentukan oleh aturan gimlet (sekrup kanan) tergantung pada arah gaya yang bekerja pada benda. Momen gaya diarahkan sepanjang sumbu rotasi dan tidak mempunyai titik penerapan tertentu.

Nilai numerik dari vektor ini ditentukan dengan rumus:

M=r×F× sina(1.15),

dimana - sudut antara vektor jari-jari dan arah gaya.

Jika a=0 atau P, momen kekuasaan M = 0, yaitu gaya yang melewati sumbu rotasi atau berimpit dengannya tidak menyebabkan rotasi.

Modulus torsi terbesar tercipta jika gaya bekerja membentuk sudut a=p/2 (M > 0) atau a=3p/2 (M< 0).

Menggunakan konsep leverage D- ini adalah garis tegak lurus yang diturunkan dari pusat rotasi ke garis kerja gaya), rumus momen gaya berbentuk:

Di mana (1.16)

Aturan momen kekuatan(kondisi keseimbangan benda yang mempunyai sumbu rotasi tetap):

Agar suatu benda dengan sumbu rotasi tetap berada dalam kesetimbangan, jumlah aljabar momen gaya yang bekerja pada benda tersebut harus sama dengan nol.

S M saya =0(1.17)

Satuan SI untuk momen gaya adalah [N×m]

Selama gerak rotasi, inersia suatu benda tidak hanya bergantung pada massanya, tetapi juga pada distribusinya dalam ruang relatif terhadap sumbu rotasi.

Inersia selama rotasi ditandai dengan momen inersia benda terhadap sumbu rotasi J.

Momen inersia suatu titik material terhadap sumbu rotasi adalah nilai yang sama dengan hasil kali massa suatu titik dengan kuadrat jaraknya dari sumbu rotasi:

J saya =m saya × r saya 2(1.18)

Momen inersia suatu benda terhadap suatu sumbu adalah jumlah momen inersia titik-titik material yang menyusun benda tersebut:

J=S m saya × r saya 2(1.19)

Momen inersia suatu benda bergantung pada massa dan bentuknya, serta pilihan sumbu rotasinya. Untuk menentukan momen inersia suatu benda terhadap sumbu tertentu digunakan teorema Steiner-Huygens:

J=J 0 +m× d 2(1.20),

Di mana J 0– momen inersia terhadap sumbu sejajar yang melalui pusat massa benda, D– jarak antara dua sumbu sejajar . Momen inersia dalam SI diukur dalam [kg × m 2 ]

Momen inersia selama gerak rotasi benda manusia ditentukan secara eksperimental dan dihitung kira-kira dengan menggunakan rumus silinder, batang bundar, atau bola.

Momen inersia seseorang terhadap sumbu rotasi vertikal yang melewati pusat massa (pusat massa tubuh manusia terletak pada bidang sagital sedikit di depan vertebra sakral kedua), tergantung pada posisi seseorang, memiliki nilai sebagai berikut: saat berdiri tegak - 1,2 kg × m 2; dengan pose “arabesque” – 8 kg × m 2; dalam posisi horizontal – 17 kg × m 2.

Bekerja dalam gerakan rotasi terjadi ketika suatu benda berputar di bawah pengaruh gaya luar.

Kerja dasar gaya dalam gerak rotasi sama dengan hasil kali momen gaya dan sudut dasar rotasi benda:

dA saya =M saya × dj(1.21)

Jika beberapa gaya bekerja pada suatu benda, maka kerja dasar dari resultan semua gaya yang diterapkan ditentukan oleh rumus:

dA=M×dj(1.22),

Di mana M– momen total semua gaya luar yang bekerja pada benda.

Energi kinetik benda yang berputarke bergantung pada momen inersia benda dan kecepatan sudut rotasinya:

Sudut impuls (momentum sudut) – besaran yang secara numerik sama dengan hasil kali momentum benda dan jari-jari rotasi.

L=p× r=m× V× r(1.24).

Setelah transformasi yang sesuai, Anda dapat menulis rumus untuk menentukan momentum sudut dalam bentuk:

(1.25).

Momentum sudut adalah vektor yang arahnya ditentukan oleh aturan sekrup tangan kanan. Satuan SI untuk momentum sudut adalah [kg×m 2 /s]

Hukum dasar dinamika gerak rotasi.

Persamaan dasar dinamika gerak rotasi:

Percepatan sudut suatu benda yang mengalami gerak rotasi berbanding lurus dengan momen total semua gaya luar dan berbanding terbalik dengan momen inersia benda tersebut.

(1.26).

Persamaan ini memainkan peran yang sama dalam menggambarkan gerak rotasi seperti hukum kedua Newton untuk gerak translasi. Jelas dari persamaan tersebut bahwa di bawah pengaruh gaya luar, semakin besar percepatan sudut, semakin kecil momen inersia benda.

Hukum kedua Newton tentang dinamika gerak rotasi dapat ditulis dalam bentuk lain:

(1.27),

itu. turunan pertama momentum sudut suatu benda terhadap waktu sama dengan momen total semua gaya luar yang bekerja pada benda tertentu.

Hukum kekekalan momentum sudut suatu benda:

Jika momen total semua gaya luar yang bekerja pada benda sama dengan nol, mis.

S M saya =0, Kemudian dL/dt=0 (1.28).

Ini berarti (1.29).

Pernyataan tersebut merupakan inti dari hukum kekekalan momentum sudut suatu benda, yang dirumuskan sebagai berikut:

Momentum sudut suatu benda tetap konstan jika momen total gaya luar yang bekerja pada benda yang berputar adalah nol.

Hukum ini berlaku tidak hanya untuk benda tegar mutlak. Contohnya adalah seorang figure skater yang melakukan rotasi pada sumbu vertikal. Dengan menekan tangannya, skater mengurangi momen inersia dan meningkatkan kecepatan sudut. Untuk memperlambat putarannya, dia sebaliknya merentangkan tangannya lebar-lebar; Akibatnya momen inersia bertambah dan kecepatan sudut rotasi berkurang.

Sebagai penutup, kami sajikan tabel perbandingan besaran pokok dan hukum-hukum yang mencirikan dinamika gerak translasi dan rotasi.

Tabel 1.4.

Gerakan ke depan	Gerakan rotasi
Kuantitas fisik	Rumus	Kuantitas fisik	Rumus
Berat	M	Momen inersia	J=m×r 2
Memaksa	F	Momen kekuasaan	M=F×r, jika
Impuls tubuh (jumlah gerakan)	p=m×V	Momentum suatu benda	L=m×V×r; L=J×w
Energi kinetik		Energi kinetik
Pekerjaan mekanis	dA=FdS	Pekerjaan mekanis	dA=Mdj
Persamaan dasar dinamika gerak translasi		Persamaan dasar dinamika gerak rotasi	,
Hukum kekekalan momentum benda	atau Jika	Hukum kekekalan momentum sudut suatu benda	atau SJ i w i =konstanta, Jika

Sentrifugasi.

Pemisahan sistem heterogen yang terdiri dari partikel-partikel dengan kepadatan berbeda dapat dilakukan di bawah pengaruh gravitasi dan gaya Archimedes (gaya apung). Jika terdapat suspensi berair dari partikel-partikel dengan kepadatan berbeda, maka gaya total bekerja pada partikel tersebut

F r =F t – FA =r 1 ×V×g - r×V×g, yaitu

F r =(r 1 - r)× V ×g(1.30)

di mana V adalah volume partikel, r 1 Dan R– masing-masing, kepadatan zat partikel dan air. Jika massa jenisnya sedikit berbeda satu sama lain, maka gaya yang dihasilkan kecil dan pemisahan (pengendapan) terjadi cukup lambat. Oleh karena itu, pemisahan partikel secara paksa digunakan karena rotasi media yang dipisahkan.

Dengan sentrifugasi adalah proses pemisahan (pemisahan) sistem heterogen, campuran atau suspensi yang terdiri dari partikel-partikel dengan massa berbeda, yang terjadi di bawah pengaruh gaya inersia sentrifugal.

Dasar dari centrifuge adalah rotor dengan sarang untuk tabung reaksi, terletak di rumah tertutup, yang digerakkan oleh motor listrik. Ketika rotor sentrifugasi berputar dengan kecepatan yang cukup tinggi, partikel tersuspensi dengan massa berbeda, di bawah pengaruh gaya inersia sentrifugal, didistribusikan dalam lapisan pada kedalaman berbeda, dan yang terberat disimpan di bagian bawah tabung reaksi.

Dapat ditunjukkan bahwa gaya di bawah pengaruh terjadinya pemisahan ditentukan oleh rumus:

(1.31)

Di mana w- kecepatan sudut putaran centrifuge, R– jarak dari sumbu rotasi. Semakin besar perbedaan kepadatan partikel dan cairan yang dipisahkan, semakin besar efek sentrifugasi, dan juga sangat bergantung pada kecepatan sudut rotasi.

Ultrasentrifugasi yang beroperasi pada kecepatan rotor sekitar 10 5 –10 6 putaran per menit mampu memisahkan partikel berukuran kurang dari 100 nm, tersuspensi atau terlarut dalam cairan. Mereka telah menemukan penerapan luas dalam penelitian biomedis.

Ultrasentrifugasi dapat digunakan untuk memisahkan sel menjadi organel dan makromolekul. Pertama, bagian yang lebih besar (inti, sitoskeleton) mengendap (sedimen). Dengan peningkatan lebih lanjut dalam kecepatan sentrifugasi, partikel-partikel yang lebih kecil secara berurutan mengendap - pertama mitokondria, lisosom, kemudian mikrosom dan, akhirnya, ribosom dan makromolekul besar. Selama sentrifugasi, fraksi-fraksi yang berbeda mengendap dengan kecepatan yang berbeda-beda, membentuk pita-pita terpisah dalam tabung reaksi yang dapat diisolasi dan diperiksa. Ekstrak sel terfraksionasi (sistem bebas sel) banyak digunakan untuk mempelajari proses intraseluler, misalnya untuk mempelajari biosintesis protein dan menguraikan kode genetik.

Untuk mensterilkan handpiece dalam kedokteran gigi, alat sterilisasi minyak dengan centrifuge digunakan untuk menghilangkan kelebihan minyak.

Sentrifugasi dapat digunakan untuk mengendapkan partikel yang tersuspensi dalam urin; pemisahan unsur-unsur yang terbentuk dari plasma darah; pemisahan biopolimer, virus dan struktur subseluler; kontrol atas kemurnian obat.

Tugas untuk pengendalian diri atas pengetahuan.

Latihan 1 . Pertanyaan untuk pengendalian diri.

Apa perbedaan gerak melingkar beraturan dan gerak linier beraturan? Dalam kondisi apa suatu benda dapat bergerak beraturan dalam lingkaran?

Jelaskan alasan mengapa gerak beraturan dalam lingkaran terjadi dengan percepatan.

Apakah gerak lengkung dapat terjadi tanpa percepatan?

Dalam kondisi apa momen gaya sama dengan nol? mengambil nilai terbesar?

Tunjukkan batas penerapan hukum kekekalan momentum dan momentum sudut.

Tunjukkan ciri-ciri pemisahan di bawah pengaruh gravitasi.

Mengapa pemisahan protein dengan berat molekul berbeda dapat dilakukan dengan menggunakan sentrifugasi, tetapi metode distilasi fraksional tidak dapat diterima?

Tugas 2 . Tes untuk pengendalian diri.

Isi kata yang hilang:

Perubahan tanda kecepatan sudut menunjukkan adanya perubahan_ _ _ _ _ gerak rotasi.

Perubahan tanda percepatan sudut menunjukkan adanya perubahan_ _ _ gerak rotasi

Kecepatan sudut sama dengan _ _ _ _ _turunan sudut rotasi vektor jari-jari terhadap waktu.

Percepatan sudut sama dengan _ _ _ _ _ _turunan sudut rotasi vektor jari-jari terhadap waktu.

Momen gaya sama dengan_ _ _ _ _ jika arah gaya yang bekerja pada benda berimpit dengan sumbu rotasi.

Temukan jawaban yang benar:

Momen gaya hanya bergantung pada titik penerapan gaya.

Momen inersia suatu benda hanya bergantung pada massa benda tersebut.

Gerak melingkar beraturan terjadi tanpa percepatan.

A.Benar. B.Salah.

Semua besaran di atas termasuk skalar, kecuali

A. momen kekuatan;

B.pekerjaan mekanis;

C.energi potensial;

D.momen inersia.

Besaran vektornya adalah

A.kecepatan sudut;

B.percepatan sudut;

C. momen kekuatan;

D.momentum sudut.

Jawaban: 1 – petunjuk arah; 2 – karakter; 3 – pertama; 4 – kedua; 5 – nol; 6 – B; 7 – B; 8 – B; 9 – SEBUAH; 10 – A, B, C, D.

Tugas 3. Dapatkan hubungan antar satuan pengukuran :

kecepatan linier cm/menit dan m/s;

percepatan sudut rad/min 2 dan rad/s 2 ;

momen gaya kN×cm dan N×m;

impuls tubuh g×cm/s dan kg×m/s;

momen inersia g×cm 2 dan kg×m 2.

Tugas 4. Tugas konten medis dan biologis.

Tugas No.1. Mengapa pada fase lari lompat seorang atlet tidak dapat menggunakan gerakan apapun untuk mengubah lintasan pusat gravitasi tubuhnya? Apakah otot atlet melakukan kerja ketika posisi bagian tubuh dalam ruang berubah?

Menjawab: Dengan bergerak dalam penerbangan bebas sepanjang parabola, seorang atlet hanya dapat mengubah letak tubuh dan bagian-bagiannya relatif terhadap pusat gravitasinya, yang dalam hal ini adalah pusat rotasi. Atlet melakukan usaha untuk mengubah energi kinetik putaran benda.

Tugas No.2. Berapa daya rata-rata yang dikembangkan seseorang saat berjalan jika durasi langkahnya 0,5 s? Pertimbangkan bahwa pekerjaan dihabiskan untuk mempercepat dan memperlambat ekstremitas bawah. Gerakan sudut kaki sekitar Dj=30 o. Momen inersia anggota gerak bawah adalah 1,7 kg × m 2. Pergerakan kaki harus dianggap sebagai gerakan rotasi yang seragam dan bergantian.

Larutan:

1) Mari kita tuliskan kondisi singkat masalahnya: Dt= 0,5 detik; DJ=30 0 =P/ 6; SAYA=1,7kg × m 2

2) Tentukan pekerjaan dalam satu langkah (kaki kanan dan kiri): SEBUAH= 2×Iw 2 / 2=Saya 2 .

Menggunakan rumus kecepatan sudut rata-rata w av =Dj/Dt, kita mendapatkan: w= 2w av = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×Saya×(Dj) 2 /(Dt) 3

3) Gantikan nilai numerik: N=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36)=14,9(L)

Jawaban: 14,9W.

Tugas No.3. Apa peranan gerakan lengan saat berjalan?

Menjawab: Pergerakan kaki yang bergerak pada dua bidang sejajar yang terletak agak jauh satu sama lain, menimbulkan momen gaya yang cenderung memutar tubuh manusia pada sumbu vertikal. Seseorang mengayunkan tangannya “ke arah” gerakan kakinya, sehingga menciptakan momen kekuatan yang berlawanan tanda.

Tugas No.4. Salah satu cara untuk meningkatkan bor yang digunakan dalam kedokteran gigi adalah dengan meningkatkan kecepatan putaran bur. Kecepatan putaran ujung boron pada bor kaki adalah 1500 rpm, pada bor listrik stasioner - 4000 rpm, pada bor turbin - sudah mencapai 300.000 rpm. Mengapa modifikasi baru bor dengan jumlah putaran per satuan waktu yang besar dikembangkan?

Jawaban: Dentin beberapa ribu kali lebih rentan terhadap nyeri dibandingkan kulit: terdapat 1-2 titik nyeri per 1 mm kulit, dan hingga 30.000 titik nyeri per 1 mm dentin gigi seri. Meningkatkan jumlah putaran, menurut ahli fisiologi, mengurangi rasa sakit saat merawat rongga karies.

Z tugas 5 . Isi tabelnya:

Tabel No.1. Gambarkan analogi antara sifat linier dan sudut gerak rotasi dan tunjukkan hubungan di antara keduanya.

Tabel No.2.

Tugas 6. Isi kartu tindakan indikatif:

Bab 2. Dasar-dasar biomekanik.

Pertanyaan.

Pengungkit dan persendian pada sistem muskuloskeletal manusia. Konsep derajat kebebasan.

Jenis kontraksi otot. Besaran fisika dasar yang menggambarkan kontraksi otot.

Prinsip pengaturan motorik pada manusia.

Metode dan instrumen untuk mengukur karakteristik biomekanik.

2.1. Pengungkit dan persendian pada sistem muskuloskeletal manusia.

Anatomi dan fisiologi sistem muskuloskeletal manusia memiliki ciri-ciri berikut yang harus diperhatikan dalam perhitungan biomekanik: pergerakan tubuh tidak hanya ditentukan oleh gaya otot, tetapi juga oleh gaya reaksi eksternal, gravitasi, gaya inersia, serta gaya elastis. dan gesekan; struktur sistem lokomotor hanya memungkinkan gerakan rotasi. Dengan menggunakan analisis rantai kinematik, gerakan translasi dapat direduksi menjadi gerakan rotasi pada sambungan; pergerakannya dikendalikan oleh mekanisme cybernetic yang sangat kompleks, sehingga terjadi perubahan percepatan yang konstan.

Sistem muskuloskeletal manusia terdiri dari tulang rangka yang diartikulasikan satu sama lain, tempat otot menempel pada titik-titik tertentu. Tulang rangka berperan sebagai pengungkit yang mempunyai titik tumpu pada persendiannya dan digerakkan oleh gaya traksi yang dihasilkan oleh kontraksi otot. Membedakan tiga jenis tuas:

1) Tuas tempat gaya kerja bekerja F dan kekuatan perlawanan R diterapkan pada sisi berlawanan dari titik tumpu. Contoh tuas tersebut adalah tengkorak yang dilihat pada bidang sagital.

2) Tuas yang mempunyai gaya aktif F dan kekuatan perlawanan R diterapkan pada satu sisi titik tumpu, dan gaya F diterapkan pada ujung tuas, dan gaya R- lebih dekat ke titik tumpu. Tuas ini memberikan penambahan kekuatan dan pengurangan jarak, mis. adalah tuas kekuasaan. Contohnya adalah aksi lengkungan kaki saat mengangkat setengah jari kaki, tuas daerah maksilofasial (Gbr. 2.1). Pergerakan alat pengunyahan sangat kompleks. Pada saat menutup mulut, pengangkatan rahang bawah dari posisi penurunan maksimal ke posisi penutupan sempurna giginya dengan gigi rahang atas dilakukan dengan gerakan otot-otot yang mengangkat rahang bawah. Otot-otot ini bekerja pada rahang bawah sebagai pengungkit jenis kedua dengan titik tumpu pada persendian (memberikan peningkatan kekuatan mengunyah).

3) Tuas yang gaya kerjanya diterapkan lebih dekat ke titik tumpu daripada gaya hambatan. Tuas ini adalah tuas kecepatan, Karena memberikan kehilangan kekuatan, tetapi keuntungan dalam gerakan. Contohnya adalah tulang lengan bawah.

Beras. 2.1. Pengungkit daerah maksilofasial dan lengkungan kaki.

Sebagian besar tulang kerangka berada di bawah pengaruh beberapa otot, mengembangkan kekuatan ke arah yang berbeda. Resultannya ditemukan dengan penjumlahan geometri menurut aturan jajar genjang.

Tulang-tulang sistem muskuloskeletal saling berhubungan pada persendian atau persendian. Ujung-ujung tulang yang membentuk sendi disatukan oleh kapsul sendi yang membungkusnya erat-erat, serta ligamen yang menempel pada tulang. Untuk mengurangi gesekan, permukaan kontak tulang ditutupi dengan tulang rawan halus dan terdapat lapisan tipis cairan lengket di antara keduanya.

Tahap pertama analisis biomekanik proses motorik adalah penentuan kinematikanya. Berdasarkan analisis tersebut, rantai kinematik abstrak dibangun, mobilitas atau stabilitasnya dapat diperiksa berdasarkan pertimbangan geometris. Ada rantai kinematik tertutup dan terbuka yang dibentuk oleh sambungan dan sambungan kaku yang terletak di antara keduanya.

Keadaan titik material bebas dalam ruang tiga dimensi diberikan oleh tiga koordinat independen - x, kamu, z. Variabel bebas yang mencirikan keadaan suatu sistem mekanik disebut derajat kebebasan. Untuk sistem yang lebih kompleks, jumlah derajat kebebasannya mungkin lebih tinggi. Secara umum, jumlah derajat kebebasan menentukan tidak hanya jumlah variabel independen (yang mencirikan keadaan sistem mekanis), tetapi juga jumlah pergerakan independen sistem.

Jumlah derajat kebebasan adalah karakteristik mekanis utama sambungan, mis. mendefinisikan jumlah sumbu, di mana rotasi timbal balik dari tulang artikulasi dimungkinkan. Hal ini terutama disebabkan oleh bentuk geometris permukaan tulang yang bersentuhan pada sendi.

Derajat kebebasan maksimum pada sendi adalah 3.

Contoh sendi uniaksial (datar) pada tubuh manusia adalah sendi humeroulnar, supracalcaneal, dan phalangeal. Mereka hanya mengizinkan fleksi dan ekstensi dengan satu derajat kebebasan. Jadi, ulna, dengan bantuan takik setengah lingkaran, menutupi tonjolan silinder pada humerus, yang berfungsi sebagai sumbu sendi. Gerakan pada sendi adalah fleksi dan ekstensi pada bidang yang tegak lurus sumbu sendi.

Sendi pergelangan tangan, tempat terjadinya fleksi dan ekstensi, serta adduksi dan abduksi, dapat diklasifikasikan sebagai sendi dengan dua derajat kebebasan.

Sendi dengan tiga derajat kebebasan (artikulasi spasial) antara lain sendi panggul dan sendi scapulohumeral. Misalnya, pada sendi scapulohumeral, kepala humerus yang berbentuk bola masuk ke dalam rongga bulat dari tonjolan skapula. Gerakan pada sendi adalah fleksi dan ekstensi (pada bidang sagital), adduksi dan abduksi (pada bidang frontal) dan rotasi anggota badan mengelilingi sumbu longitudinal.

Rantai kinematik datar tertutup mempunyai sejumlah derajat kebebasan f F, yang dihitung dengan jumlah link N dengan cara berikut:

Situasi rantai kinematik di ruang angkasa lebih kompleks. Di sini hubungannya berlaku

(2.2)

Di mana jika saya - jumlah derajat pembatasan kebebasan Saya- tautan ke-.

Di benda mana pun, Anda dapat memilih sumbu yang arahnya selama rotasi akan dipertahankan tanpa perangkat khusus apa pun. Mereka punya nama sumbu rotasi bebas

Dalam bab ini, benda tegar dianggap sebagai kumpulan titik-titik material yang tidak bergerak relatif satu sama lain. Benda yang tidak dapat diubah bentuknya disebut padat mutlak.

Biarkan benda padat dengan bentuk sembarang berputar di bawah aksi gaya di sekitar sumbu tetap 00 (Gbr. 30). Kemudian semua titiknya menggambarkan lingkaran yang berpusat pada sumbu ini. Jelas bahwa semua titik pada benda mempunyai kecepatan sudut yang sama dan percepatan sudut yang sama (pada waktu tertentu).

Mari kita menguraikan gaya kerja menjadi tiga komponen yang saling tegak lurus: (sejajar dengan sumbu), (tegak lurus terhadap sumbu dan terletak pada garis yang melalui sumbu) dan (tegak lurus. Jelasnya, perputaran benda hanya disebabkan oleh komponen yang bersinggungan dengan lingkaran yang dijelaskan oleh titik penerapan gaya. Komponen rotasi tidak disebut gaya berputar. Seperti diketahui dari pelajaran fisika sekolah, aksi suatu gaya tidak hanya bergantung pada besarnya, tetapi juga pada jarak titik penerapannya A ke sumbu rotasi, yaitu bergantung pada momen gaya putar (torsi). titik penerapan gaya disebut:

Mari kita secara mental memecah seluruh tubuh menjadi partikel yang sangat kecil - massa dasar. Meskipun gaya diterapkan pada satu titik A pada benda, efek rotasinya diteruskan ke semua partikel: gaya rotasi elementer akan diterapkan pada setiap massa elementer (lihat Gambar 30). Menurut hukum kedua Newton,

di mana percepatan linier diberikan pada massa dasar. Mengalikan kedua ruas persamaan ini dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi oleh massa dasar, dan memasukkan percepatan sudut alih-alih percepatan linier (lihat § 7), kita memperoleh

Mengingat torsi diterapkan pada massa dasar, dan artinya

dimana adalah momen inersia massa dasar (titik material). Oleh karena itu, momen inersia suatu titik material terhadap sumbu rotasi tertentu adalah hasil kali massa titik material dengan kuadrat jaraknya ke sumbu tersebut.

Menjumlahkan torsi yang diterapkan pada semua massa dasar yang menyusun benda, kita peroleh

dimana torsi yang diterapkan pada benda, yaitu momen gaya putar adalah momen inersia benda. Oleh karena itu, momen inersia suatu benda adalah jumlah momen inersia seluruh titik material yang menyusun benda tersebut.

Sekarang kita dapat menulis ulang rumus (3) ke dalam bentuk

Rumus (4) menyatakan hukum dasar dinamika rotasi (hukum kedua Newton untuk gerak rotasi):

momen gaya putar yang diterapkan pada benda sama dengan hasil kali momen inersia benda dan percepatan sudut.

Dari rumus (4) jelas bahwa percepatan sudut yang diberikan kepada benda oleh torsi bergantung pada momen inersia benda; Semakin besar momen inersia maka semakin kecil percepatan sudutnya. Oleh karena itu, momen inersia mencirikan sifat inersia suatu benda selama gerak rotasi, seperti halnya massa mencirikan sifat inersia suatu benda selama gerak translasi. Namun, tidak seperti massa, momen inersia suatu benda dapat memiliki banyak nilai sesuai dengan banyak kemungkinan sumbu rotasi. Oleh karena itu, ketika berbicara tentang momen inersia suatu benda tegar, perlu ditunjukkan relatif terhadap sumbu mana momen tersebut dihitung. Dalam praktiknya, kita biasanya harus berurusan dengan momen inersia relatif terhadap sumbu simetri benda.

Dari rumus (2) maka satuan besaran momen inersia adalah kilogram-meter persegi

Jika torsi dan momen inersia benda, maka rumus (4) dapat direpresentasikan sebagai

Artikel ini menjelaskan bagian penting fisika - “Kinematika dan dinamika gerak rotasi”.

Konsep dasar kinematika gerak rotasi

Gerak rotasi suatu titik material terhadap sumbu tetap disebut gerak yang lintasannya berupa lingkaran yang terletak pada bidang tegak lurus sumbu, dan pusatnya terletak pada sumbu rotasi.

Gerak rotasi benda tegar adalah gerak yang semua titik pada benda bergerak sepanjang lingkaran konsentris (pusat-pusatnya terletak pada sumbu yang sama) sesuai dengan kaidah gerak rotasi suatu titik material.

Biarkan benda tegar T berputar mengelilingi sumbu O, yang tegak lurus terhadap bidang gambar. Mari kita pilih titik M pada benda ini. Jika diputar, titik ini akan membentuk lingkaran dengan jari-jari di sekitar sumbu O R.

Setelah beberapa waktu, jari-jari tersebut akan berputar relatif terhadap posisi semula dengan sudut Δφ.

Arah putaran sekrup kanan (searah jarum jam) diambil sebagai arah putaran positif. Perubahan sudut rotasi terhadap waktu disebut persamaan gerak rotasi benda tegar:

φ = φ(t).

Jika φ diukur dalam radian (1 rad adalah sudut busur yang panjangnya sama dengan jari-jarinya), maka panjang busur lingkaran ΔS, yang akan dilewati titik material M dalam waktu Δt, sama dengan:

ΔS = Δφr.

Unsur dasar kinematika gerak rotasi beraturan

Ukuran pergerakan suatu titik material dalam periode waktu singkat dt berfungsi sebagai vektor rotasi dasar dφ.

Kecepatan sudut suatu titik atau benda material adalah besaran fisis yang ditentukan oleh perbandingan vektor rotasi elementer dengan durasi rotasi tersebut. Arah vektor dapat ditentukan dengan aturan sekrup kanan sepanjang sumbu O dalam bentuk skalar:

ω = dφ/dt.

Jika ω = dφ/dt = konstanta, maka gerak seperti itu disebut gerak rotasi beraturan. Dengan itu, kecepatan sudut ditentukan oleh rumus

ω = φ/t.

Menurut rumus awal, dimensi kecepatan sudut

[ω] = 1 rad/s.

Gerak rotasi beraturan suatu benda dapat digambarkan dengan periode rotasi. Periode rotasi T adalah besaran fisis yang menentukan waktu yang dibutuhkan suatu benda untuk melakukan satu putaran penuh mengelilingi sumbu rotasi ([T] = 1 s). Jika dalam rumus kecepatan sudut kita ambil t = T, φ = 2 π (satu putaran penuh berjari-jari r), maka

ω = 2π/T,

Oleh karena itu, kami mendefinisikan periode rotasi sebagai berikut:

T = 2π/ω.

Banyaknya putaran yang dilakukan suatu benda per satuan waktu disebut frekuensi putaran , yaitu sama dengan:

= 1/T.

Satuan frekuensi: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Membandingkan rumus kecepatan sudut dan frekuensi rotasi, kita memperoleh ekspresi yang menghubungkan besaran-besaran ini:

ω = 2πν.

Unsur dasar kinematika gerak rotasi tidak beraturan

Gerakan rotasi yang tidak merata dari suatu benda tegar atau titik material di sekitar sumbu tetap dicirikan oleh kecepatan sudutnya, yang berubah seiring waktu.

Vektor ε , yang mencirikan laju perubahan kecepatan sudut, disebut vektor percepatan sudut:

ε = dω/dt.

Jika suatu benda berputar dan mengalami percepatan, maka itu adalah dω/dt > 0, vektor memiliki arah sepanjang sumbu searah dengan ω.

Jika gerakan rotasinya lambat - dω/dt< 0 , maka vektor ε dan ω berlawanan arah.

Komentar. Ketika terjadi gerak rotasi tidak beraturan, vektor ω dapat berubah tidak hanya besarnya, tetapi juga arahnya (ketika sumbu rotasi diputar).

Hubungan besaran yang menjadi ciri gerak translasi dan rotasi

Diketahui panjang busur dengan sudut putar jari-jari dan nilainya dihubungkan oleh relasi

ΔS = Δφr.

Kemudian kecepatan linier suatu titik material yang melakukan gerak rotasi

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Percepatan normal suatu titik material yang melakukan gerak translasi rotasi didefinisikan sebagai berikut:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Jadi, dalam bentuk skalar

a = ω 2 hal.

Titik material dipercepat tangensial yang melakukan gerak rotasi

a = εr.

Momentum suatu titik material

Produk vektor dari vektor jari-jari lintasan suatu titik material bermassa m i dan momentumnya disebut momentum sudut titik tersebut terhadap sumbu rotasi. Arah vektor dapat ditentukan dengan menggunakan aturan sekrup kanan.

Momentum suatu titik material ( aku) diarahkan tegak lurus terhadap bidang yang ditarik melalui r i dan υ i, dan membentuk tripel vektor siku-siku dengannya (yaitu, ketika berpindah dari ujung vektor r i Ke υ i sekrup kanan akan menunjukkan arah vektor L Saya).

Dalam bentuk skalar

L = m saya υ saya r saya dosa(υ saya , r saya).

Mengingat ketika bergerak melingkar, vektor jari-jari dan vektor kecepatan linier untuk titik material ke-i saling tegak lurus,

dosa(υ saya , r saya) = 1.

Jadi momentum sudut suatu titik material untuk gerak rotasi akan berbentuk

L = m saya υ saya r saya .

Momen gaya yang bekerja pada titik material ke-i

Produk vektor dari vektor jari-jari yang ditarik ke titik penerapan gaya, dan gaya ini disebut momen gaya yang bekerja pada titik material ke-i relatif terhadap sumbu rotasi.

Dalam bentuk skalar

M saya = r saya F saya dosa(r saya , F saya).

Mengingat bahwa r saya dosaα = aku ,M saya = aku saya F saya .

Besarnya aku i, sama dengan panjang garis tegak lurus yang diturunkan dari titik rotasi ke arah kerja gaya, disebut lengan gaya. F saya.

Dinamika gerak rotasi

Persamaan dinamika gerak rotasi ditulis sebagai berikut:

M = dL/dt.

Rumusan hukumnya adalah sebagai berikut: laju perubahan momentum sudut suatu benda yang berputar pada sumbu tetap sama dengan momen yang dihasilkan relatif terhadap sumbu tersebut dari semua gaya luar yang diterapkan pada benda tersebut.

Momen impuls dan momen inersia

Diketahui bahwa untuk titik material ke-i momentum sudut dalam bentuk skalar diberikan oleh rumus

Li = m saya υ saya r saya .

Jika alih-alih kecepatan linier kita mengganti ekspresinya melalui kecepatan sudut:

υ saya = ωr saya ,

maka persamaan momentum sudut akan berbentuk

Li = m saya r saya 2 ω.

Besarnya saya saya = m saya r saya 2 disebut momen inersia terhadap sumbu titik material ke-i suatu benda tegar mutlak yang melalui pusat massanya. Kemudian kita tuliskan momentum sudut titik material:

L saya = saya saya ω.

Kita tuliskan momentum sudut suatu benda tegar mutlak sebagai jumlah momentum sudut titik-titik material yang menyusun benda tersebut:

L = Sayaω.

Momen gaya dan momen inersia

Hukum gerak rotasi menyatakan:

M = dL/dt.

Diketahui bahwa momentum sudut suatu benda dapat dinyatakan melalui momen inersia:

L = Sayaω.

M = Idω/dt.

Mengingat percepatan sudut ditentukan oleh persamaan

ε = dω/dt,

kita memperoleh rumus momen gaya, yang dinyatakan melalui momen inersia:

M = Sayaε.

Komentar. Momen gaya dianggap positif jika percepatan sudut yang menyebabkannya lebih besar dari nol, dan sebaliknya.

teorema Steiner. Hukum penjumlahan momen inersia

Jika sumbu rotasi suatu benda tidak melalui pusat massanya, maka relatif terhadap sumbu tersebut kita dapat mencari momen inersianya menggunakan teorema Steiner:
saya = saya 0 + ibu 2 ,

Di mana saya 0- momen awal inersia benda; M- massa tubuh; A- jarak antar sumbu.

Jika suatu sistem yang berputar pada sumbu tetap terdiri dari N benda, maka momen inersia total sistem jenis ini akan sama dengan jumlah momen komponen-komponennya (hukum penjumlahan momen inersia).

Momen kekuasaan

Efek rotasi suatu gaya ditentukan oleh momennya. Momen suatu gaya terhadap suatu titik disebut hasil kali vektor

Vektor radius ditarik dari titik ke titik penerapan gaya (Gbr. 2.12). Satuan pengukuran momen gaya.

Gambar 2.12

Besaran momen gaya

atau Anda bisa menulis

dimana adalah lengan gaya (jarak terpendek dari titik ke garis kerja gaya).

Arah vektor ditentukan dengan aturan perkalian vektor atau dengan aturan “sekrup kanan” (vektor dan translasi paralel digabungkan di titik O, arah vektor ditentukan sehingga dari ujungnya terlihat rotasi dari vektor k berlawanan arah jarum jam - pada Gambar 2.12 vektor diarahkan tegak lurus terhadap bidang yang menggambar "dari kita" (mirip dengan aturan gimlet - gerakan translasi berhubungan dengan arah vektor, gerakan rotasi berhubungan dengan rotasi dari ke)).

Momen gaya terhadap suatu titik sama dengan nol jika garis kerja gaya melalui titik tersebut.

Proyeksi suatu vektor ke suatu sumbu, misalnya sumbu z, disebut momen gaya terhadap sumbu tersebut. Untuk menentukan momen gaya terhadap suatu sumbu, pertama-tama proyeksikan gaya tersebut ke bidang yang tegak lurus sumbu (Gbr. 2.13), lalu cari momen proyeksi tersebut relatif terhadap titik potong sumbu dengan bidang yang tegak lurus terhadap sumbu. dia. Jika garis kerja gaya sejajar dengan sumbu atau memotongnya, maka momen gaya terhadap sumbu tersebut sama dengan nol.

Gambar 2.13

momentum

momentum poin materi massa yang bergerak dengan kecepatan relatif terhadap suatu titik acuan disebut perkalian vektor

Vektor jari-jari suatu titik material (Gbr. 2.14) adalah momentumnya.

Gambar 2.14

Besarnya momentum sudut suatu titik material

dimana adalah jarak terpendek dari garis vektor ke titik.

Arah momen impuls ditentukan sama dengan arah momen gaya.

Jika kita mengalikan ekspresi L 0 dan membaginya dengan l kita mendapatkan:

Dimana momen inersia suatu titik material - analog dengan massa dalam gerak rotasi.

Kecepatan sudut.

Momen inersia suatu benda tegar

Dapat dilihat bahwa rumus yang dihasilkan sangat mirip dengan persamaan momentum dan hukum kedua Newton, hanya saja kecepatan sudut dan percepatan yang digunakan sebagai pengganti kecepatan dan percepatan linier, dan besaran yang digunakan sebagai pengganti massa. saya=mR 2, dipanggil momen inersia suatu titik material .

Jika suatu benda tidak dapat dianggap sebagai titik material, tetapi dapat dianggap benar-benar padat, maka momen inersianya dapat dianggap sebagai jumlah momen inersia bagian-bagiannya yang sangat kecil, karena kecepatan sudut rotasi bagian-bagian tersebut adalah sama. (Gbr. 2.16). Jumlah dari bilangan yang sangat kecil adalah integralnya:

Untuk benda apa pun, ada sumbu yang melewati pusat inersianya, yang memiliki sifat berikut: ketika benda berputar mengelilingi sumbu tersebut tanpa adanya pengaruh eksternal, sumbu rotasi tidak mengubah posisinya. Sumbu seperti itu disebut sumbu tubuh bebas . Dapat dibuktikan bahwa untuk benda yang bentuknya sembarang dan distribusi massa jenisnya berapa pun, terdapat tiga sumbu bebas yang saling tegak lurus, yang disebut sumbu utama inersia tubuh. Momen inersia suatu benda terhadap sumbu utama disebut momen inersia utama (intrinsik). tubuh.

Momen inersia utama beberapa benda diberikan dalam tabel:

Teorema Huygens-Steiner.

Ungkapan ini disebut Teorema Huygens-Steiner : momen inersia suatu benda terhadap suatu sumbu sembarang sama dengan jumlah momen inersia suatu benda terhadap suatu sumbu yang sejajar dengan sumbu tertentu dan melalui pusat massa benda tersebut, dan hasil kali dari massa benda dengan kuadrat jarak antar sumbu.

Persamaan dasar dinamika gerak rotasi

Hukum dasar dinamika gerak rotasi dapat diperoleh dari hukum kedua Newton untuk gerak translasi benda tegar

Di mana F– gaya yang diterapkan pada suatu benda berdasarkan massa M; A– percepatan linier benda.

Jika ke benda padat bermassa M di titik A (Gbr. 2.15) berikan gaya F, maka sebagai akibat dari hubungan kaku antara semua titik material pada benda, semuanya akan menerima percepatan sudut dan percepatan linier yang bersesuaian, seolah-olah gaya F 1 ...F n bekerja pada setiap titik. Untuk setiap poin materi kita dapat menulis:

Oleh karena itu dimana

Di mana saya- berat Saya- poin; ε – percepatan sudut; r i– jaraknya ke sumbu rotasi.

Mengalikan ruas kiri dan kanan persamaan dengan r i, kita mendapatkan

Dimana - momen gaya adalah hasil kali gaya dan bahunya.

Beras. 2.15. Benda tegar yang berputar karena pengaruh suatu gaya F tentang sumbu “OO”

- momen inersia Saya titik material (analog massa dalam gerak rotasi).

Ekspresinya dapat ditulis seperti ini:

Mari kita jumlahkan bagian kiri dan kanan pada semua titik tubuh:

Persamaan tersebut merupakan hukum dasar dinamika gerak rotasi suatu benda tegar. Besaran adalah jumlah geometri semua momen gaya, yaitu momen gaya F, memberikan percepatan ε ke semua titik tubuh. – jumlah aljabar momen inersia semua titik pada benda. Hukum tersebut dirumuskan sebagai berikut: “Momen gaya yang bekerja pada benda yang berputar sama dengan hasil kali momen inersia benda dan percepatan sudut.”

Di sisi lain

Pada gilirannya - perubahan momentum sudut benda.

Maka hukum dasar dinamika gerak rotasi dapat ditulis ulang menjadi:

Atau - momentum momen gaya yang bekerja pada benda yang berputar sama dengan perubahan momentum sudutnya.

Hukum kekekalan momentum sudut

Mirip dengan ZSI.

Menurut persamaan dasar dinamika gerak rotasi, momen gaya relatif terhadap sumbu Z: . Oleh karena itu, dalam sistem tertutup dan oleh karena itu, momentum sudut total relatif terhadap sumbu Z semua benda yang termasuk dalam sistem tertutup adalah besaran konstan. Ini mengungkapkan hukum kekekalan momentum sudut . Hukum ini hanya berlaku dalam kerangka acuan inersia.

Mari kita analogikan ciri-ciri gerak translasi dan gerak rotasi.