Penyederhanaan persamaan trigonometri. Transformasi identitas ekspresi trigonometri

Pelajaran video "Penyederhanaan ekspresi trigonometri" dirancang untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam memecahkan masalah trigonometri menggunakan identitas trigonometri dasar. Selama pelajaran video, jenis identitas trigonometri dipertimbangkan, contoh penyelesaian masalah dengan menggunakannya. Dengan menggunakan alat bantu visual, lebih mudah bagi guru untuk mencapai tujuan pelajaran. Presentasi materi yang jelas berkontribusi pada menghafal poin-poin penting. Penggunaan efek animasi dan akting suara memungkinkan Anda untuk sepenuhnya menggantikan guru pada tahap penjelasan materi. Dengan demikian, dengan menggunakan alat bantu visual ini dalam pembelajaran matematika, guru dapat meningkatkan keefektifan pengajaran.

Di awal pelajaran video, topiknya diumumkan. Kemudian identitas trigonometri yang dipelajari sebelumnya diingat. Layar menampilkan persamaan sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, di mana t≠π/2+πk untuk kϵZ, ctg t=cos t/sin t, true untuk t≠πk, di mana kϵZ, tg ctg t=1, di t≠πk/2, di mana kϵZ, disebut identitas metrik trine utama. Perlu dicatat bahwa identitas ini sering digunakan dalam memecahkan masalah yang diperlukan untuk membuktikan kesetaraan atau menyederhanakan ekspresi.

Selanjutnya, contoh penerapan identitas ini dalam memecahkan masalah dipertimbangkan. Pertama, diusulkan untuk mempertimbangkan pemecahan masalah penyederhanaan ekspresi. Dalam contoh 1, pernyataan cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t perlu disederhanakan. Untuk menyelesaikan contoh, faktor persekutuan cos 2 t dikurung terlebih dahulu. Sebagai hasil dari transformasi dalam tanda kurung, ekspresi 1-cos 2 t diperoleh, yang nilainya dari identitas dasar trigonometri sama dengan sin 2 t. Setelah mengubah ekspresi, jelas bahwa satu faktor umum lagi sin 2 t dapat dikeluarkan dari tanda kurung, setelah itu ekspresi mengambil bentuk sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Dari identitas dasar yang sama, kita menyimpulkan nilai ekspresi dalam tanda kurung sama dengan 1. Sebagai hasil penyederhanaan, kita memperoleh cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Dalam contoh 2, ekspresi cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) juga perlu disederhanakan. Karena biaya ekspresi ada di pembilang kedua pecahan, biaya tersebut dapat dikurung sebagai faktor persekutuan. Kemudian pecahan dalam tanda kurung direduksi menjadi penyebut yang sama dengan mengalikan (1- sint)(1+ sint). Setelah dikurangi suku-suku yang serupa, 2 tetap menjadi pembilangnya, dan 1 - sin 2 t menjadi penyebutnya. Di sisi kanan layar, identitas trigonometri dasar sin 2 t+cos 2 t=1 dipanggil kembali. Dengan menggunakannya, kami menemukan penyebut pecahan cos 2 t. Setelah mengurangi pecahan, kami mendapatkan bentuk ekspresi biaya / (1- sint) + biaya / (1 + sint) \u003d 2 / biaya yang disederhanakan.

Selanjutnya, kami mempertimbangkan contoh pembuktian identitas di mana pengetahuan yang diperoleh tentang identitas dasar trigonometri diterapkan. Dalam Contoh 3, perlu dibuktikan identitasnya (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Sisi kanan layar menampilkan tiga identitas yang akan diperlukan untuk pembuktian - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t dan tg t=sin t/cos t dengan batasan. Untuk membuktikan identitasnya, tanda kurung dibuka terlebih dahulu, setelah itu hasil perkalian yang mencerminkan ekspresi identitas trigonometri utama tg t·ctg t=1. Kemudian, sesuai dengan identitas dari definisi kotangen, ctg 2 t ditransformasikan. Sebagai hasil transformasi, ekspresi 1-cos 2 t diperoleh. Menggunakan identitas dasar, kami menemukan nilai ekspresi. Jadi, terbukti bahwa (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Dalam contoh 4, Anda perlu menemukan nilai ekspresi tg 2 t+ctg 2 t jika tg t+ctg t=6. Untuk mengevaluasi ekspresi, ruas kanan dan kiri persamaan (tg t+ctg t) 2 =6 2 dikuadratkan terlebih dahulu. Rumus perkalian singkat ditampilkan di sisi kanan layar. Setelah membuka tanda kurung di sisi kiri ekspresi, penjumlahan tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t dibentuk, untuk transformasi yang salah satu identitas trigonometri tg t ctg t=1 dapat diterapkan, bentuk yang dipanggil kembali di sisi kanan layar. Setelah transformasi, persamaan tg 2 t+ctg 2 t=34 diperoleh. Ruas kiri persamaan bertepatan dengan kondisi soal, jadi jawabannya adalah 34. Soal selesai.

Pelajaran video "Menyederhanakan ekspresi trigonometri" direkomendasikan untuk digunakan dalam pelajaran matematika sekolah tradisional. Selain itu, materi tersebut akan bermanfaat bagi seorang guru yang memberikan pembelajaran jarak jauh. Untuk membentuk keterampilan dalam memecahkan masalah trigonometri.

INTERPRETASI TEKS:

"Penyederhanaan ekspresi trigonometri".

Persamaan

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kuadrat te ditambah cosinus kuadrat te sama dengan satu)

2) tgt =, pada t ≠ + πk, kϵZ (garis singgung te sama dengan rasio sinus te terhadap kosinus te ketika te tidak sama dengan pi dengan dua ditambah pi ka, ka milik zet)

3) ctgt = , pada t ≠ πk, kϵZ (kotangen te sama dengan rasio kosinus te terhadap sinus te ketika te tidak sama dengan puncak ka, yang dimiliki oleh z).

4) tgt ∙ ctgt = 1 untuk t ≠ , kϵZ

disebut identitas trigonometri dasar.

Seringkali mereka digunakan dalam menyederhanakan dan membuktikan ekspresi trigonometri.

Pertimbangkan contoh penggunaan rumus ini saat menyederhanakan ekspresi trigonometri.

CONTOH 1. Sederhanakan ungkapan: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (ekspresi cosinus kuadrat te dikurangi cosinus derajat keempat te ditambah sinus derajat keempat te).

Larutan. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(kita keluarkan faktor persekutuan cosinus kuadrat te, dalam tanda kurung kita mendapatkan selisih antara satuan dan kuadrat cosinus te, yang sama dengan kuadrat sinus te dengan identitas pertama. Kita mendapatkan jumlah sinus derajat keempat te dari produk cosinus kuadrat te dan sinus kuadrat te. Kita keluarkan faktor persekutuan sinus kuadrat te dari tanda kurung, dalam tanda kurung kita mendapatkan jumlah kuadrat cosinus dan sinus, yang sama dengan satuan sesuai dengan trigo dasar identitas nometrik e. Hasilnya, kita mendapatkan kuadrat dari sinus te).

CONTOH 2. Sederhanakan ekspresi: + .

(ekspresi menjadi jumlah dari dua pecahan dalam pembilang cosinus te pertama dalam penyebut satu dikurangi sinus te, dalam pembilang cosinus te kedua dalam penyebut yang kedua ditambah sinus te).

(Kami mengeluarkan faktor persekutuan cosinus te dari tanda kurung, dan dalam tanda kurung kami membawanya ke penyebut yang sama, yang merupakan hasil kali satu dikurangi sinus te dengan satu ditambah sinus te.

Di pembilang kita mendapatkan: satu ditambah sinus te ditambah satu dikurangi sinus te, kita berikan yang serupa, pembilangnya sama dengan dua setelah membawa yang serupa.

Dalam penyebut, Anda dapat menerapkan rumus perkalian singkat (selisih kuadrat) dan mendapatkan selisih antara satuan dan kuadrat dari sinus te, yang menurut identitas trigonometri dasar

sama dengan kuadrat dari kosinus te. Setelah direduksi dengan cosinus te, kita mendapatkan jawaban akhir: dua dibagi dengan cosinus te).

Perhatikan contoh penggunaan rumus ini dalam pembuktian ekspresi trigonometri.

CONTOH 3. Buktikan identitasnya (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (hasil kali selisih antara kuadrat garis singgung te dan sinus te dan kuadrat kotangen te sama dengan kuadrat sinus te).

Bukti.

Mari ubah sisi kiri persamaan:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Mari kita buka tanda kurung, dari relasi yang diperoleh sebelumnya diketahui bahwa perkalian kuadrat garis singgung te dengan kotangen te sama dengan satu. Ingat kotangen te sama dengan perbandingan cosinus te dengan sinus te, artinya kuadrat kotangen adalah perbandingan kuadrat cosinus te dengan kuadrat sinus te.

Setelah direduksi dengan sinus kuadrat te, kita memperoleh selisih antara satu dan kosinus kuadrat te, yang sama dengan sinus kuadrat te). Q.E.D.

CONTOH 4. Temukan nilai ekspresi tg 2 t + ctg 2 t jika tgt + ctgt = 6.

(jumlah kuadrat garis singgung te dan kotangen te, jika jumlah garis singgung dan kotangen adalah enam).

Larutan. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Mari kuadratkan kedua bagian persamaan awal:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kuadrat dari jumlah garis singgung te dan kotangen te adalah enam kuadrat). Ingat rumus perkalian yang disingkat: Kuadrat dari jumlah dua kuantitas sama dengan kuadrat dari yang pertama ditambah dua kali hasil kali dari yang pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari yang kedua. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Kita mendapatkan tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (garis singgung kuadrat te ditambah dua kali perkalian tangen te dan kotangen te ditambah kotangen kuadrat te sama dengan tiga puluh enam).

Karena hasil kali garis singgung te dan kotangen te sama dengan satu, maka tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (jumlah kuadrat garis singgung te dan kotangen te dan dua adalah tiga puluh enam),

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "Sekolah menengah

No.18"

Engels, wilayah Saratov.

guru matematika.

"Ekspresi trigonometri dan transformasinya"

Pendahuluan …………………………………………………………………………………....3

Bab 1 Klasifikasi tugas untuk penggunaan transformasi ekspresi trigonometri ………………………….……………………...5

1.1. Tugas perhitungan nilai-nilai ekspresi trigonometri……….5

1.2.Tugas untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri .... 7

1.3. Tugas untuk konversi ekspresi trigonometri numerik ... ..7

1.4 Tugas campuran……………………………………………………………….....9

Bab 2

2.1 Pengulangan tematik di kelas 10………………………………………………...11

Tes 1………………………………………………………………………………………..12

Tes 2………………………………………………………………………………………..13

Tes 3………………………………………………………………………………………..14

2.2 Ulangan akhir di kelas 11………………………………………………...15

Tes 1………………………………………………………………………………………..17

Tes 2………………………………………………………………………………………..17

Tes 3………………………………………………………………………………………..18

Kesimpulan.………………………………………………………………………………......19

Daftar literatur yang digunakan………………………………………………..…….20

Perkenalan.

Dalam kondisi saat ini, pertanyaan terpenting adalah: "Bagaimana kami dapat membantu menghilangkan beberapa celah dalam pengetahuan siswa dan memperingatkan mereka terhadap kemungkinan kesalahan dalam ujian?" Untuk mengatasi masalah ini, perlu dicapai dari siswa bukan asimilasi formal materi program, tetapi pemahamannya yang dalam dan sadar, pengembangan kecepatan perhitungan dan transformasi lisan, serta pengembangan keterampilan untuk memecahkan masalah paling sederhana "dalam pikiran". Penting untuk meyakinkan siswa bahwa hanya dengan adanya posisi aktif, dalam studi matematika, tunduk pada perolehan keterampilan praktis dan penggunaannya, seseorang dapat mengandalkan kesuksesan nyata. Penting untuk menggunakan setiap kesempatan untuk mempersiapkan ujian, termasuk mata pelajaran pilihan di kelas 10-11, untuk secara teratur menganalisis tugas-tugas kompleks dengan siswa, memilih cara paling rasional untuk menyelesaikannya di kelas dan kelas tambahan.hasil positif dibidang pemecahan masalah khas dapat dicapai jika guru matematika, dengan menciptakanpelatihan dasar siswa yang baik, untuk mencari cara baru dalam memecahkan masalah yang telah terbuka di hadapan kita, untuk secara aktif bereksperimen, untuk menerapkan teknologi, metode, teknik pedagogis modern yang menciptakan kondisi yang menguntungkan untuk realisasi diri yang efektif dan penentuan nasib sendiri siswa dalam kondisi sosial baru.

Trigonometri merupakan bagian integral dari kursus matematika sekolah. Pengetahuan yang baik dan keterampilan yang kuat dalam trigonometri adalah bukti tingkat budaya matematika yang memadai, syarat yang sangat diperlukan untuk keberhasilan studi matematika, fisika, dan sejumlah teknik. disiplin ilmu.

Relevansi pekerjaan. Sebagian besar lulusan sekolah menunjukkan dari tahun ke tahun persiapan yang sangat buruk di bagian matematika yang penting ini, sebagaimana dibuktikan oleh hasil beberapa tahun terakhir (persentase penyelesaian tahun 2011 - 48,41%, 2012 - 51,05%), karena analisis kelulusan ujian negara bersatu menunjukkan bahwa siswa membuat banyak kesalahan saat menyelesaikan tugas di bagian khusus ini atau tidak mengambil tugas tersebut sama sekali. Jadi satu Soal ujian negara dalam trigonometri terdapat pada hampir tiga jenis soal. Ini adalah solusi dari persamaan trigonometri paling sederhana di tugas B5, dan bekerja dengan ekspresi trigonometri di tugas B7, dan mempelajari fungsi trigonometri di tugas B14, serta tugas B12, di mana terdapat rumus yang menjelaskan fenomena fisik dan berisi fungsi trigonometri. Dan ini hanya sebagian dari tugas B! Tetapi ada juga persamaan trigonometri favorit dengan pemilihan akar C1, dan tugas geometris C2 dan C4 yang “tidak terlalu disukai”.

Tujuan pekerjaan. Menganalisis materi tugas USE B7, dikhususkan untuk transformasi ekspresi trigonometri dan mengklasifikasikan tugas sesuai dengan bentuk penyajiannya dalam tes.

Pekerjaan terdiri dari dua bab, pendahuluan dan kesimpulan. Pendahuluan menekankan relevansi pekerjaan. Bab pertama memberikan klasifikasi tugas untuk penggunaan transformasi ekspresi trigonometri dalam tugas ujian Unified State Examination (2012).

Di bab kedua, pengorganisasian pengulangan topik "Transformasi ekspresi trigonometri" di kelas 10, 11 dipertimbangkan dan tes tentang topik ini dikembangkan.

Daftar referensi mencakup 17 sumber.

Bab 1. Klasifikasi tugas untuk penggunaan transformasi ekspresi trigonometri.

Sesuai dengan standar pendidikan menengah (lengkap) dan persyaratan tingkat pelatihan siswa, tugas untuk mengetahui dasar-dasar trigonometri dimasukkan dalam pengkodean persyaratan.

Mempelajari dasar-dasar trigonometri akan paling efektif jika:

siswa akan termotivasi secara positif untuk mengulang materi yang telah dipelajari sebelumnya;

pendekatan yang berpusat pada siswa akan diterapkan dalam proses pendidikan;

sistem tugas akan diterapkan yang berkontribusi pada perluasan, pendalaman, sistematisasi pengetahuan siswa;

teknologi pedagogis canggih akan digunakan.

Setelah menganalisis literatur dan sumber daya Internet untuk mempersiapkan ujian, kami telah mengusulkan salah satu kemungkinan klasifikasi tugas B7 (KIM USE 2012-trigonometri): tugas untuk menghitungnilai ekspresi trigonometri; tugas untukkonversi ekspresi trigonometri numerik; penugasan untuk transformasi ekspresi trigonometri literal; tugas campuran.

1.1. Tugas perhitungan nilai ekspresi trigonometri.

Salah satu jenis soal trigonometri sederhana yang paling umum adalah menghitung nilai fungsi trigonometri dengan nilai salah satunya:

a) Penggunaan identitas trigonometri dasar dan akibatnya.

Contoh 1 . Temukan jika
Dan
.

Larutan.
,
,

Karena , Itu
.

Menjawab.

Contoh 2 . Menemukan
, Jika
Dan .

Larutan.
,
,
.

Karena , Itu
.

Menjawab. .

b) Penggunaan rumus sudut rangkap.

Contoh 3 . Menemukan
, Jika
.

Larutan. , .

Menjawab.
.

Contoh 4 . Temukan nilai ekspresi
.

Larutan. .

Menjawab.
.

, Jika
Dan
. Menjawab. -0,2

2. Menemukan , Jika
Dan
. Menjawab. 0,4

, Jika . Menjawab. -12.88

Menemukan

, Jika
. Menjawab. -0,84

. Menjawab. 6

1.2.Tugas untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri. Rumus reduksi harus dikuasai dengan baik oleh siswa, karena selanjutnya akan digunakan dalam pelajaran geometri, fisika dan disiplin ilmu terkait lainnya.

Contoh 5 . Sederhanakan Ekspresi
.

Larutan. .

Menjawab.
.

Tugas untuk solusi independen:

Sederhanakan ekspresi
.

Menemukan
, Jika
Dan

Temukan nilai ekspresi
, Jika
.

1.3. Tugas untuk transformasi ekspresi trigonometri numerik.

Saat mengembangkan keterampilan dan kemampuan tugas untuk mengubah ekspresi trigonometri numerik, perhatian harus diberikan pada pengetahuan tentang tabel nilai fungsi trigonometri, sifat paritas, dan periodisitas fungsi trigonometri.

a) Menggunakan nilai eksak fungsi trigonometri untuk beberapa sudut.

Contoh 6 . Menghitung
.

Larutan.
.

Menjawab.
.

b) Menggunakan sifat paritas fungsi trigonometri.

Contoh 7 . Menghitung
.

Larutan. .

Menjawab.

V) Menggunakan Properti Periodisitasfungsi trigonometri.

Contoh 8 . Temukan nilai ekspresi
.

Larutan. .

Menjawab.
.

Tugas untuk solusi independen:

Temukan nilai ekspresi
.

2. Temukan nilai ekspresi
.

3. Temukan nilai ekspresi
. Menjawab. 6

.

1.4 Tugas campuran.

Formulir tes sertifikasi memiliki fitur yang sangat signifikan, jadi penting untuk memperhatikan tugas yang terkait dengan penggunaan beberapa rumus trigonometri secara bersamaan.

Contoh 9 Menemukan
, Jika
.

Larutan.
.

Menjawab.
.

Contoh 10 . Menemukan
, Jika
Dan
.

Larutan. .

Karena , Itu
.

Menjawab.
.

Contoh 11. Menemukan
, Jika .

Larutan. , ,
,
,
,
,
.

Menjawab.

Contoh 12. Menghitung
.

Larutan. .

Menjawab.
.

Contoh 13 Temukan nilai ekspresi
, Jika
.

Larutan. .

Menjawab.
.

Tugas untuk solusi independen:

Menemukan
, Jika
.

Menemukan
, Jika
.

3. Temukan
, Jika .

4. Temukan nilai ekspresi
, Jika
.

5. Temukan nilai ekspresi
, Jika
.

Bab 2. Aspek metodologi organisasi pengulangan terakhir dari topik "Transformasi ekspresi trigonometri."

Salah satu masalah terpenting yang berkontribusi pada peningkatan prestasi akademik lebih lanjut, pencapaian pengetahuan yang dalam dan kokoh di kalangan siswa adalah masalah pengulangan materi yang dipelajari sebelumnya. Latihan menunjukkan bahwa di kelas 10 lebih baik mengatur pengulangan tematik; di kelas 11 - pengulangan terakhir.

2.1. Pengulangan tematik di kelas 10.

Dalam proses mengerjakan materi matematika, pengulangan setiap topik yang diselesaikan atau seluruh bagian kursus menjadi sangat penting.

Dengan pengulangan tematik, pengetahuan siswa tentang topik tersebut disistematisasikan pada tahap akhir dari bagiannya atau setelah istirahat.

Untuk pengulangan tematik, pelajaran khusus dialokasikan, di mana materi dari satu topik tertentu dikonsentrasikan dan digeneralisasikan.

Pengulangan dalam pelajaran dilakukan melalui percakapan dengan melibatkan siswa secara luas dalam percakapan tersebut. Setelah itu, siswa diberi tugas untuk mengulang topik tertentu dan diperingatkan bahwa akan ada tugas kredit pada ulangan.

Tes pada suatu topik harus mencakup semua pertanyaan utamanya. Setelah pekerjaan selesai, kesalahan karakteristik dianalisis dan pengulangan diatur untuk menghilangkannya.

Untuk pelajaran pengulangan tematik, kami menawarkan pengembangan kertas ujian pada topik "Konversi ekspresi trigonometri".

Tes #1

Tes #2

Tes #3

Tabel jawaban

Tes

2.2. Ulangan terakhir di kelas 11.

Pengulangan akhir dilakukan pada tahap akhir pembelajaran pokok-pokok mata kuliah matematika dan dilakukan dalam hubungan logis dengan penelaahan materi pendidikan untuk bagian ini atau mata kuliah secara keseluruhan.

Pengulangan terakhir dari materi pendidikan memiliki tujuan sebagai berikut:

1. Pengaktifan materi seluruh kursus pelatihan untuk memperjelas struktur logisnya dan membangun sistem dalam hubungan mata pelajaran dan antar mata pelajaran.

2. Memperdalam dan jika memungkinkan memperluas pengetahuan mahasiswa tentang pokok-pokok mata kuliah dalam proses ulangan.

Dalam kondisi wajib bagi semua lulusan yang lulus ujian matematika, pengenalan Ujian Negara Bersatu secara bertahap membuat guru mengambil pendekatan baru untuk mempersiapkan dan melaksanakan pelajaran, dengan mempertimbangkan kebutuhan untuk memastikan bahwa semua siswa menguasai materi pendidikan di tingkat dasar, serta peluang bagi siswa yang termotivasi yang tertarik untuk mendapatkan nilai tinggi untuk memasuki universitas, kemajuan dinamis dalam penguasaan materi di tingkat yang meningkat dan tinggi.

Dalam pelajaran pengulangan terakhir, Anda dapat mempertimbangkan tugas-tugas berikut:

Larutan. =
= =
=
=
=
=0,5.

Tentukan nilai bilangan bulat terbesar yang dapat diambil oleh ekspresi
.

Larutan. Karena
dapat mengambil nilai apa pun yang termasuk dalam segmen [–1; 1], lalu
mengambil nilai segmen apa pun [–0,4; 0,4], oleh karena itu . Nilai bilangan bulat dari ekspresi adalah satu - angka 4.

Sederhanakan ekspresi
.

Solusi: Mari gunakan rumus untuk memfaktorkan jumlah kubus: . Kita punya

Kita punya:
.

Jawaban 1

Contoh 4 Menghitung
.

Larutan. .

Jawaban: 0,28

Untuk pelajaran pengulangan terakhir, kami menawarkan tes yang dikembangkan pada topik "Konversi ekspresi trigonometri".

Tentukan bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi 1

Kesimpulan.

Setelah mempelajari literatur metodologis yang relevan tentang topik ini, kita dapat menyimpulkan bahwa kemampuan dan keterampilan untuk menyelesaikan tugas yang berkaitan dengan transformasi trigonometri dalam mata pelajaran matematika sekolah sangatlah penting.

Selama pekerjaan dilakukan, klasifikasi tugas B7 dilakukan. Rumus trigonometri yang paling sering digunakan dalam CMMS tahun 2012 dipertimbangkan. Contoh tugas dengan solusi diberikan. Tes yang dapat dibedakan telah dikembangkan untuk mengatur pengulangan dan sistematisasi pengetahuan dalam persiapan ujian.

Dianjurkan untuk melanjutkan pekerjaan yang telah dimulai, mengingat penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana pada tugas B5, kajian fungsi trigonometri pada tugas B14, tugas B12 yang didalamnya terdapat rumus-rumus yang menjelaskan fenomena fisika dan mengandung fungsi trigonometri.

Sebagai penutup, saya ingin mencatat bahwa efektivitas kelulusan ujian sangat ditentukan oleh seberapa efektif proses persiapan diselenggarakan di semua jenjang pendidikan, dengan semua kategori siswa. Dan jika kita berhasil membentuk kemandirian, tanggung jawab dan kesiapan siswa untuk terus belajar sepanjang kehidupan selanjutnya, maka kita tidak hanya akan memenuhi tatanan negara dan masyarakat, tetapi juga meningkatkan harga diri kita sendiri.

Pengulangan materi pendidikan membutuhkan kerja kreatif dari guru. Dia harus memberikan hubungan yang jelas antara jenis pengulangan, menerapkan sistem pengulangan yang dipikirkan secara mendalam. Menguasai seni mengatur ulangan adalah tugas guru. Kekuatan pengetahuan siswa sangat tergantung pada solusinya.

Literatur.

Vygodsky Ya.Ya., Handbook matematika dasar. -M.: Nauka, 1970.

Tugas dengan tingkat kesulitan yang meningkat dalam aljabar dan awal analisis: Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwarzburd. – M.: Pencerahan, 1990.

Penerapan rumus trigonometri dasar untuk transformasi ekspresi (kelas 10) // Festival Ide Pedagogis. 2012-2013.

Koryanov A.G. , Prokofiev A.A. Kami mempersiapkan siswa yang baik dan siswa yang luar biasa untuk ujian. - M.: Universitas Pedagogis "Pertama September", 2012.- 103 hal.

Kuznetsova E.N. Penyederhanaan ekspresi trigonometri. Memecahkan persamaan trigonometri dengan berbagai metode (persiapan untuk ujian). kelas 11. 2012-2013.

Kulanin ED 3000 masalah kompetitif dalam matematika. id ke-4, benar. dan tambahan – M.: Rolf, 2000.

Mordkovich A.G. Masalah metodis mempelajari trigonometri di sekolah pendidikan umum // Matematika di sekolah. 2002. No.6.

Pichurin L.F. Tentang trigonometri dan bukan hanya tentang itu: -M. Pencerahan, 1985

Reshetnikov N.N. Trigonometri di sekolah: -M. : Universitas Pedagogis "Pertama September", 2006, lk 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. Matematika. Aljabar. Awal analisis matematika Level profil: buku teks untuk kelas 10 - M .: BINOM. Lab Pengetahuan, 2007.

Portal pendidikan untuk mempersiapkan ujian.

Mempersiapkan ujian matematika "Oh, trigonometri ini! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Proyek "Matematika? Mudah!!!" http://www.resolventa.ru/

Bagian: Matematika

Kelas: 11

Pelajaran 1

Subjek: Kelas 11 (persiapan ujian)

Penyederhanaan ekspresi trigonometri.

Solusi persamaan trigonometri paling sederhana. (2 jam)

Sasaran:

• Mensistematisasi, menggeneralisasi, memperluas pengetahuan dan keterampilan siswa terkait penggunaan rumus trigonometri dan penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana.

Perlengkapan untuk pelajaran:

Struktur pelajaran:

1. Momen org
2. Pengujian pada laptop. Pembahasan hasil.
3. Menyederhanakan ekspresi trigonometri
4. Solusi persamaan trigonometri paling sederhana
5. Pekerjaan mandiri.
6. Ringkasan pelajaran. Penjelasan pekerjaan rumah.

1. Momen pengorganisasian. (2 menit.)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran, mengingatkan bahwa tugas sebelumnya diberikan untuk mengulang rumus trigonometri dan menyiapkan siswa untuk ujian.

2. Pengujian. (15 menit + 3 menit diskusi)

Tujuannya untuk menguji pengetahuan tentang rumus trigonometri dan kemampuan mengaplikasikannya. Setiap siswa memiliki laptop di mejanya yang berisi pilihan tes.

Ada sejumlah opsi, saya akan memberikan contoh salah satunya:

saya pilihan.

Sederhanakan ekspresi:

a) identitas trigonometri dasar

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) rumus penjumlahan

3. sin5x - sin3x;

c) mengubah produk menjadi jumlah

6.2sin8y cos3y;

d) rumus sudut rangkap

7.2sin5x cos5x;

e) rumus setengah sudut

f) rumus sudut rangkap tiga

g) substitusi universal

h) menurunkan derajat

16. cos 2 (3x/7);

Siswa di laptop di depan setiap rumus melihat jawaban mereka.

Pekerjaan langsung diperiksa oleh komputer. Hasilnya ditampilkan di layar besar untuk dilihat semua orang.

Selain itu, setelah pekerjaan selesai, jawaban yang benar ditampilkan di laptop siswa. Setiap siswa melihat di mana kesalahan itu dibuat dan rumus apa yang perlu dia ulangi.

3. Penyederhanaan ekspresi trigonometri. (25 mnt.)

Tujuannya adalah untuk mengulang, mengerjakan dan memantapkan penerapan rumus dasar trigonometri. Memecahkan masalah B7 dari ujian.

Pada tahap ini, disarankan untuk membagi kelas menjadi kelompok siswa yang kuat (bekerja secara mandiri dengan verifikasi selanjutnya) dan siswa yang lemah yang bekerja dengan guru.

Tugas untuk siswa yang kuat (dipersiapkan sebelumnya berdasarkan cetakan). Penekanan utamanya adalah pada rumus reduksi dan sudut ganda, menurut USE 2011.

Menyederhanakan ekspresi (untuk pembelajar yang kuat):

Secara paralel, guru bekerja dengan siswa yang lemah, mendiskusikan dan menyelesaikan tugas di layar di bawah perintah siswa.

Menghitung:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Menyederhanakan:

Tibalah giliran untuk membahas hasil kerja kelompok yang kuat.

Jawaban muncul di layar, dan juga, dengan bantuan kamera video, karya 5 siswa yang berbeda ditampilkan (masing-masing satu tugas).

Kelompok lemah melihat kondisi dan cara penyelesaiannya. Ada pembahasan dan analisis. Dengan penggunaan sarana teknis, ini terjadi dengan cepat.

4. Solusi persamaan trigonometri paling sederhana. (30 menit.)

Tujuannya adalah mengulang, mensistematisasikan, dan menggeneralisasi solusi dari persamaan trigonometri paling sederhana, mencatat akarnya. Solusi dari masalah B3.

Persamaan trigonometri apa pun, tidak peduli bagaimana kita menyelesaikannya, mengarah ke yang paling sederhana.

Saat menyelesaikan tugas, siswa harus memperhatikan penulisan akar persamaan kasus tertentu dan bentuk umum serta pemilihan akar pada persamaan terakhir.

Selesaikan Persamaan:

Tuliskan akar positif terkecil dari jawabannya.

5. Pekerjaan mandiri (10 mnt.)

Tujuannya adalah untuk menguji keterampilan yang diperoleh, mengidentifikasi masalah, kesalahan, dan cara untuk menghilangkannya.

Berbagai pekerjaan ditawarkan pada pilihan siswa.

Opsi untuk "3"

1) Temukan nilai ekspresi

2) Sederhanakan pernyataan 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Selesaikan persamaan

Opsi untuk "4"

1) Temukan nilai ekspresi

2) Selesaikan persamaan Tuliskan akar positif terkecil dari jawaban Anda.

Opsi untuk "5"

1) Temukan tgα jika

2) Temukan akar persamaan Tuliskan akar positif terkecil dari jawaban Anda.

6. Ringkasan pelajaran (5 menit)

Guru merangkum fakta bahwa pelajaran mengulang dan mengkonsolidasikan rumus trigonometri, solusi dari persamaan trigonometri paling sederhana.

Pekerjaan rumah ditugaskan (dipersiapkan secara cetak sebelumnya) dengan pemeriksaan mendadak di pelajaran berikutnya.

Selesaikan Persamaan:

9)

10) Berikan jawaban Anda sebagai akar positif terkecil.

Pelajaran 2

Subjek: Kelas 11 (persiapan ujian)

Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri. Pemilihan akar. (2 jam)

Sasaran:

• Menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan tentang penyelesaian persamaan trigonometri dari berbagai jenis.
• Untuk mempromosikan pengembangan pemikiran matematis siswa, kemampuan untuk mengamati, membandingkan, menggeneralisasi, mengklasifikasikan.
• Mendorong siswa untuk mengatasi kesulitan dalam proses aktivitas mental, pengendalian diri, introspeksi aktivitasnya.

Perlengkapan untuk pelajaran: KRMu, laptop untuk setiap siswa.

Struktur pelajaran:

1. Momen org
2. Pembahasan d/s dan samot. pekerjaan pelajaran terakhir
3. Pengulangan metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.
4. Memecahkan persamaan trigonometri
5. Pemilihan akar dalam persamaan trigonometri.
6. Pekerjaan mandiri.
7. Ringkasan pelajaran. Pekerjaan rumah.

1. Momen pengorganisasian (2 menit)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran dan rencana kerja.

2. a) Analisis pekerjaan rumah (5 mnt.)

Tujuannya adalah untuk memeriksa kinerja. Satu karya dengan bantuan kamera video ditampilkan di layar, sisanya dikumpulkan secara selektif untuk diperiksa oleh guru.

b) Analisis pekerjaan mandiri (3 mnt.)

Tujuannya adalah untuk memilah kesalahan, menunjukkan cara untuk mengatasinya.

Di layar adalah jawaban dan solusi, siswa telah menerbitkan pekerjaan mereka sebelumnya. Analisis berjalan cepat.

3. Pengulangan metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri (5 menit)

Tujuannya adalah untuk mengingat metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.

Tanyakan kepada siswa metode penyelesaian persamaan trigonometri apa yang mereka ketahui. Tekankan bahwa ada yang disebut metode dasar (sering digunakan):

• substitusi variabel,
• faktorisasi,
• persamaan homogen,

dan ada metode yang diterapkan:

• menurut rumus untuk mengubah jumlah menjadi produk dan produk menjadi jumlah,
• dengan rumus reduksi,
• substitusi trigonometri universal
• pengenalan sudut bantu,
• perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri.

Juga harus diingat bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan cara yang berbeda.

4. Memecahkan persamaan trigonometri (30 mnt.)

Tujuannya adalah untuk menggeneralisasi dan mengkonsolidasikan pengetahuan dan keterampilan tentang topik ini, untuk mempersiapkan penyelesaian C1 dari USE.

Saya menganggap perlu untuk memecahkan persamaan untuk setiap metode bersama dengan siswa.

Siswa mendiktekan solusinya, guru menuliskannya di tablet, seluruh proses ditampilkan di layar. Ini akan memungkinkan Anda dengan cepat dan efisien memulihkan materi yang sebelumnya tercakup dalam memori Anda.

Selesaikan Persamaan:

1) perubahan variabel 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorisasi 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) persamaan homogen sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) mengubah hasil penjumlahan menjadi cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) ubah hasilnya menjadi jumlah 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) menurunkan derajat sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) substitusi trigonometri universal sinx + 5cosx + 5 = 0.

Saat menyelesaikan persamaan ini, perlu dicatat bahwa penggunaan metode ini mengarah pada penyempitan domain definisi, karena sinus dan cosinus diganti dengan tg(x/2). Oleh karena itu, sebelum menuliskan jawabannya, perlu diperiksa apakah bilangan dari himpunan π + 2πn, n Z adalah kuda dari persamaan ini.

8) pengenalan sudut bantu √3sinx + cosx - √2 = 0

9) perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Pemilihan akar persamaan trigonometri (20 mnt.)

Karena dalam kondisi persaingan yang ketat saat masuk perguruan tinggi, solusi ujian bagian pertama saja tidak cukup, sebagian besar siswa harus memperhatikan tugas bagian kedua (C1, C2, C3).

Oleh karena itu, tujuan dari tahapan pembelajaran ini adalah untuk mengingat kembali materi yang telah dipelajari sebelumnya, untuk mempersiapkan penyelesaian soal C1 dari USE tahun 2011.

Ada persamaan trigonometri di mana Anda harus memilih akar saat menuliskan jawabannya. Hal ini disebabkan oleh beberapa batasan, misalnya: penyebut pecahan tidak sama dengan nol, ekspresi di bawah akar derajat genap adalah non-negatif, ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif, dll.

Persamaan semacam itu dianggap sebagai persamaan dengan kompleksitas yang meningkat dan dalam versi USE ada di bagian kedua, yaitu C1.

Selesaikan persamaan:

Pecahan adalah nol jika maka menggunakan unit circle, kita akan memilih akar (lihat Gambar 1)

Gambar 1.

kita mendapatkan x = π + 2πn, n Z

Jawab: π + 2πn, n Z

Di layar, pemilihan akar ditampilkan pada lingkaran dalam gambar berwarna.

Produk sama dengan nol ketika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol, dan busur, pada saat yang sama, tidak kehilangan artinya. Kemudian

Menggunakan lingkaran unit, pilih akar (lihat Gambar 2)

Bagian: Matematika

Kelas: 11

Pelajaran 1

Subjek: Kelas 11 (persiapan ujian)

Penyederhanaan ekspresi trigonometri.

Solusi persamaan trigonometri paling sederhana. (2 jam)

Sasaran:

• Mensistematisasi, menggeneralisasi, memperluas pengetahuan dan keterampilan siswa terkait penggunaan rumus trigonometri dan penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana.

Perlengkapan untuk pelajaran:

Struktur pelajaran:

1. Momen org
2. Pengujian pada laptop. Pembahasan hasil.
3. Menyederhanakan ekspresi trigonometri
4. Solusi persamaan trigonometri paling sederhana
5. Pekerjaan mandiri.
6. Ringkasan pelajaran. Penjelasan pekerjaan rumah.

1. Momen pengorganisasian. (2 menit.)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran, mengingatkan bahwa tugas sebelumnya diberikan untuk mengulang rumus trigonometri dan menyiapkan siswa untuk ujian.

2. Pengujian. (15 menit + 3 menit diskusi)

Tujuannya untuk menguji pengetahuan tentang rumus trigonometri dan kemampuan mengaplikasikannya. Setiap siswa memiliki laptop di mejanya yang berisi pilihan tes.

Ada sejumlah opsi, saya akan memberikan contoh salah satunya:

saya pilihan.

Sederhanakan ekspresi:

a) identitas trigonometri dasar

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) rumus penjumlahan

3. sin5x - sin3x;

c) mengubah produk menjadi jumlah

6.2sin8y cos3y;

d) rumus sudut rangkap

7.2sin5x cos5x;

e) rumus setengah sudut

f) rumus sudut rangkap tiga

g) substitusi universal

h) menurunkan derajat

16. cos 2 (3x/7);

Siswa di laptop di depan setiap rumus melihat jawaban mereka.

Pekerjaan langsung diperiksa oleh komputer. Hasilnya ditampilkan di layar besar untuk dilihat semua orang.

Selain itu, setelah pekerjaan selesai, jawaban yang benar ditampilkan di laptop siswa. Setiap siswa melihat di mana kesalahan itu dibuat dan rumus apa yang perlu dia ulangi.

3. Penyederhanaan ekspresi trigonometri. (25 mnt.)

Tujuannya adalah untuk mengulang, mengerjakan dan memantapkan penerapan rumus dasar trigonometri. Memecahkan masalah B7 dari ujian.

Pada tahap ini, disarankan untuk membagi kelas menjadi kelompok siswa yang kuat (bekerja secara mandiri dengan verifikasi selanjutnya) dan siswa yang lemah yang bekerja dengan guru.

Tugas untuk siswa yang kuat (dipersiapkan sebelumnya berdasarkan cetakan). Penekanan utamanya adalah pada rumus reduksi dan sudut ganda, menurut USE 2011.

Menyederhanakan ekspresi (untuk pembelajar yang kuat):

Secara paralel, guru bekerja dengan siswa yang lemah, mendiskusikan dan menyelesaikan tugas di layar di bawah perintah siswa.

Menghitung:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Menyederhanakan:

Tibalah giliran untuk membahas hasil kerja kelompok yang kuat.

Jawaban muncul di layar, dan juga, dengan bantuan kamera video, karya 5 siswa yang berbeda ditampilkan (masing-masing satu tugas).

Kelompok lemah melihat kondisi dan cara penyelesaiannya. Ada pembahasan dan analisis. Dengan penggunaan sarana teknis, ini terjadi dengan cepat.

4. Solusi persamaan trigonometri paling sederhana. (30 menit.)

Tujuannya adalah mengulang, mensistematisasikan, dan menggeneralisasi solusi dari persamaan trigonometri paling sederhana, mencatat akarnya. Solusi dari masalah B3.

Persamaan trigonometri apa pun, tidak peduli bagaimana kita menyelesaikannya, mengarah ke yang paling sederhana.

Saat menyelesaikan tugas, siswa harus memperhatikan penulisan akar persamaan kasus tertentu dan bentuk umum serta pemilihan akar pada persamaan terakhir.

Selesaikan Persamaan:

Tuliskan akar positif terkecil dari jawabannya.

5. Pekerjaan mandiri (10 mnt.)

Tujuannya adalah untuk menguji keterampilan yang diperoleh, mengidentifikasi masalah, kesalahan, dan cara untuk menghilangkannya.

Berbagai pekerjaan ditawarkan pada pilihan siswa.

Opsi untuk "3"

1) Temukan nilai ekspresi

2) Sederhanakan pernyataan 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Selesaikan persamaan

Opsi untuk "4"

1) Temukan nilai ekspresi

2) Selesaikan persamaan Tuliskan akar positif terkecil dari jawaban Anda.

Opsi untuk "5"

1) Temukan tgα jika

2) Temukan akar persamaan Tuliskan akar positif terkecil dari jawaban Anda.

6. Ringkasan pelajaran (5 menit)

Guru merangkum fakta bahwa pelajaran mengulang dan mengkonsolidasikan rumus trigonometri, solusi dari persamaan trigonometri paling sederhana.

Pekerjaan rumah ditugaskan (dipersiapkan secara cetak sebelumnya) dengan pemeriksaan mendadak di pelajaran berikutnya.

Selesaikan Persamaan:

9)

10) Berikan jawaban Anda sebagai akar positif terkecil.

Pelajaran 2

Subjek: Kelas 11 (persiapan ujian)

Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri. Pemilihan akar. (2 jam)

Sasaran:

• Menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan tentang penyelesaian persamaan trigonometri dari berbagai jenis.
• Untuk mempromosikan pengembangan pemikiran matematis siswa, kemampuan untuk mengamati, membandingkan, menggeneralisasi, mengklasifikasikan.
• Mendorong siswa untuk mengatasi kesulitan dalam proses aktivitas mental, pengendalian diri, introspeksi aktivitasnya.

Perlengkapan untuk pelajaran: KRMu, laptop untuk setiap siswa.

Struktur pelajaran:

1. Momen org
2. Pembahasan d/s dan samot. pekerjaan pelajaran terakhir
3. Pengulangan metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.
4. Memecahkan persamaan trigonometri
5. Pemilihan akar dalam persamaan trigonometri.
6. Pekerjaan mandiri.
7. Ringkasan pelajaran. Pekerjaan rumah.

1. Momen pengorganisasian (2 menit)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran dan rencana kerja.

2. a) Analisis pekerjaan rumah (5 mnt.)

Tujuannya adalah untuk memeriksa kinerja. Satu karya dengan bantuan kamera video ditampilkan di layar, sisanya dikumpulkan secara selektif untuk diperiksa oleh guru.

b) Analisis pekerjaan mandiri (3 mnt.)

Tujuannya adalah untuk memilah kesalahan, menunjukkan cara untuk mengatasinya.

Di layar adalah jawaban dan solusi, siswa telah menerbitkan pekerjaan mereka sebelumnya. Analisis berjalan cepat.

3. Pengulangan metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri (5 menit)

Tujuannya adalah untuk mengingat metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.

Tanyakan kepada siswa metode penyelesaian persamaan trigonometri apa yang mereka ketahui. Tekankan bahwa ada yang disebut metode dasar (sering digunakan):

• substitusi variabel,
• faktorisasi,
• persamaan homogen,

dan ada metode yang diterapkan:

• menurut rumus untuk mengubah jumlah menjadi produk dan produk menjadi jumlah,
• dengan rumus reduksi,
• substitusi trigonometri universal
• pengenalan sudut bantu,
• perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri.

Juga harus diingat bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan cara yang berbeda.

4. Memecahkan persamaan trigonometri (30 mnt.)

Tujuannya adalah untuk menggeneralisasi dan mengkonsolidasikan pengetahuan dan keterampilan tentang topik ini, untuk mempersiapkan penyelesaian C1 dari USE.

Saya menganggap perlu untuk memecahkan persamaan untuk setiap metode bersama dengan siswa.

Siswa mendiktekan solusinya, guru menuliskannya di tablet, seluruh proses ditampilkan di layar. Ini akan memungkinkan Anda dengan cepat dan efisien memulihkan materi yang sebelumnya tercakup dalam memori Anda.

Selesaikan Persamaan:

1) perubahan variabel 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorisasi 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) persamaan homogen sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) mengubah hasil penjumlahan menjadi cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) ubah hasilnya menjadi jumlah 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) menurunkan derajat sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) substitusi trigonometri universal sinx + 5cosx + 5 = 0.

Saat menyelesaikan persamaan ini, perlu dicatat bahwa penggunaan metode ini mengarah pada penyempitan domain definisi, karena sinus dan cosinus diganti dengan tg(x/2). Oleh karena itu, sebelum menuliskan jawabannya, perlu diperiksa apakah bilangan dari himpunan π + 2πn, n Z adalah kuda dari persamaan ini.

8) pengenalan sudut bantu √3sinx + cosx - √2 = 0

9) perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Pemilihan akar persamaan trigonometri (20 mnt.)

Karena dalam kondisi persaingan yang ketat saat masuk perguruan tinggi, solusi ujian bagian pertama saja tidak cukup, sebagian besar siswa harus memperhatikan tugas bagian kedua (C1, C2, C3).

Oleh karena itu, tujuan dari tahapan pembelajaran ini adalah untuk mengingat kembali materi yang telah dipelajari sebelumnya, untuk mempersiapkan penyelesaian soal C1 dari USE tahun 2011.

Ada persamaan trigonometri di mana Anda harus memilih akar saat menuliskan jawabannya. Hal ini disebabkan oleh beberapa batasan, misalnya: penyebut pecahan tidak sama dengan nol, ekspresi di bawah akar derajat genap adalah non-negatif, ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif, dll.

Persamaan semacam itu dianggap sebagai persamaan dengan kompleksitas yang meningkat dan dalam versi USE ada di bagian kedua, yaitu C1.

Selesaikan persamaan:

Pecahan adalah nol jika maka menggunakan unit circle, kita akan memilih akar (lihat Gambar 1)

Gambar 1.

kita mendapatkan x = π + 2πn, n Z

Jawab: π + 2πn, n Z

Di layar, pemilihan akar ditampilkan pada lingkaran dalam gambar berwarna.

Produk sama dengan nol ketika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol, dan busur, pada saat yang sama, tidak kehilangan artinya. Kemudian

Menggunakan lingkaran unit, pilih akar (lihat Gambar 2)

Gambar 2.

5)

Mari kita pergi ke sistem:

Pada persamaan pertama sistem, kita mengubah log 2 (sinx) = y, kita memperoleh persamaan tersebut kemudian , kembali ke sistem

menggunakan lingkaran unit, kami memilih akar (lihat Gambar 5),

Gambar 5

6. Pekerjaan mandiri (15 mnt.)

Tujuannya adalah untuk mengkonsolidasikan dan memeriksa asimilasi materi, mengidentifikasi kesalahan, dan menguraikan cara untuk memperbaikinya.

Pekerjaan ditawarkan dalam tiga versi, disiapkan terlebih dahulu secara cetak, sesuai pilihan siswa.

Persamaan dapat diselesaikan dengan cara apa pun.

Opsi untuk "3"

Selesaikan Persamaan:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Opsi untuk "4"

Selesaikan Persamaan:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Opsi untuk "5"

Selesaikan Persamaan:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Ringkasan pelajaran, pekerjaan rumah (5 menit)

Guru meringkas pelajaran, sekali lagi memperhatikan fakta bahwa persamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Cara terbaik untuk mencapai hasil yang cepat adalah yang paling baik dipelajari oleh siswa tertentu.

Saat mempersiapkan ujian, Anda perlu mengulangi rumus dan metode penyelesaian persamaan secara sistematis.

Pekerjaan rumah (dipersiapkan sebelumnya berdasarkan cetakan) dibagikan dan cara-cara menyelesaikan beberapa persamaan dikomentari.

Selesaikan Persamaan:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

DI DALAM transformasi identik ekspresi trigonometri trik aljabar berikut dapat digunakan: menambah dan mengurangi suku yang identik; mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung; perkalian dan pembagian dengan nilai yang sama; penerapan rumus perkalian singkat; pemilihan kotak penuh; faktorisasi trinomial persegi; pengenalan variabel baru untuk menyederhanakan transformasi.

Saat mengonversi ekspresi trigonometri yang berisi pecahan, Anda dapat menggunakan sifat proporsi, pengurangan pecahan, atau pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama. Selain itu, Anda dapat menggunakan pemilihan bagian bilangan bulat dari pecahan, mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan nilai yang sama, dan juga, jika memungkinkan, memperhitungkan keseragaman pembilang atau penyebut. Jika perlu, Anda dapat menyatakan pecahan sebagai jumlah atau selisih dari beberapa pecahan sederhana.

Selain itu, ketika menerapkan semua metode yang diperlukan untuk mengonversi ekspresi trigonometri, Anda harus selalu memperhitungkan kisaran nilai yang diizinkan dari ekspresi yang dikonversi.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1

Hitung A \u003d (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos (2x - 7π / 2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

Larutan.

Ini mengikuti dari rumus pengurangan:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Dari mana, berdasarkan rumus untuk penambahan argumen dan identitas trigonometri dasar, kami memperoleh

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Jawaban 1.

Contoh 2

Ubah pernyataan M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ menjadi suatu hasil kali.

Larutan.

Dari rumus penambahan argumen dan rumus untuk mengubah jumlah fungsi trigonometri menjadi produk, setelah pengelompokan yang sesuai, kami memiliki

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + (β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Jawab: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

Contoh 3.

Tunjukkan bahwa ekspresi A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) mengambil nilai yang sama untuk semua x dari R. Temukan nilai ini.

Larutan.

Kami menyajikan dua metode untuk memecahkan masalah ini. Menerapkan metode pertama, dengan mengisolasi kuadrat penuh dan menggunakan rumus trigonometri dasar yang sesuai, kami memperolehnya

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Menyelesaikan soal dengan cara kedua, pertimbangkan A sebagai fungsi dari x dari R dan hitung turunannya. Setelah transformasi, kita dapatkan

A´ \u003d -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) sin (x - π / 6) \u003d

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Oleh karena itu, berdasarkan kriteria keteguhan suatu fungsi yang dapat dibedakan pada suatu interval, kami menyimpulkan bahwa

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Jawab: A = 3/4 untuk x € R.

Metode utama untuk membuktikan identitas trigonometri adalah:

A) pengurangan sisi kiri identitas ke sisi kanan dengan transformasi yang sesuai;
B) pengurangan sisi kanan identitas ke kiri;
V) pengurangan bagian kanan dan kiri identitas menjadi bentuk yang sama;
G) pengurangan menjadi nol perbedaan antara bagian kiri dan kanan dari identitas yang dibuktikan.

Contoh 4

Periksa bahwa cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Larutan.

Mengubah sisi kanan identitas ini sesuai dengan rumus trigonometri yang sesuai, kita punya

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Sisi kanan identitas direduksi menjadi sisi kiri.

Contoh 5

Buktikan bahwa sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 jika α, β, γ adalah sudut dalam suatu segitiga.

Larutan.

Mempertimbangkan bahwa α, β, γ adalah sudut dalam suatu segitiga, kita memperolehnya

α + β + γ = π dan karenanya γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Kesetaraan asli terbukti.

Contoh 6

Buktikan bahwa agar salah satu sudut α, β, γ segitiga sama dengan 60°, perlu dan cukup bahwa sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Larutan.

Kondisi masalah ini mengandaikan bukti kebutuhan dan kecukupan.

Pertama kita buktikan kebutuhan.

Dapat ditunjukkan bahwa

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan bahwa cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, kita memperoleh bahwa jika salah satu sudut α, β atau γ sama dengan 60°, maka

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 sehingga sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Ayo buktikan sekarang kecukupan kondisi yang ditentukan.

Jika sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, maka cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, dan karenanya

baik cos (3α/2) = 0, atau cos (3β/2) = 0, atau cos (3γ/2) = 0.

Karena itu,

atau 3α/2 = π/2 + πk, yaitu α = π/3 + 2πk/3,

atau 3β/2 = π/2 + πk, yaitu β = π/3 + 2πk/3,

atau 3γ/2 = π/2 + πk,

itu. γ = π/3 + 2πk/3, dengan k ϵ Z.

Dari fakta bahwa α, β, γ adalah sudut segitiga, kita dapatkan

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Oleh karena itu, untuk α = π/3 + 2πk/3 atau β = π/3 + 2πk/3 atau

γ = π/3 + 2πk/3 dari semua kϵZ hanya k = 0 yang cocok.

Oleh karena itu, α = π/3 = 60°, atau β = π/3 = 60°, atau γ = π/3 = 60°.

Ketegasan itu terbukti.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyederhanakan ekspresi trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.