Teorema akar rasional suatu polinomial. Bilangan rasional, definisi, contoh

Dll. bersifat pendidikan umum dan sangat penting untuk mempelajari SELURUH mata kuliah matematika yang lebih tinggi. Hari ini kita akan mengulangi persamaan “sekolah”, tetapi tidak hanya persamaan “sekolah” - tetapi persamaan yang ditemukan di mana-mana dalam berbagai masalah vyshmat. Seperti biasa, cerita akan diceritakan secara terapan, yaitu. Saya tidak akan fokus pada definisi dan klasifikasi, tetapi saya akan berbagi dengan Anda pengalaman pribadi saya dalam menyelesaikannya. Informasi ini ditujukan terutama untuk pemula, tetapi pembaca yang lebih mahir juga akan menemukan banyak poin menarik untuk diri mereka sendiri. Dan tentunya akan ada materi baru yang melampaui masa SMA.

Jadi persamaannya…. Banyak orang mengingat kata ini dengan bergidik. Apa persamaan “canggih” yang bernilai akar... ...lupakan saja! Karena dengan begitu Anda akan bertemu dengan “perwakilan” yang paling tidak berbahaya dari spesies ini. Atau persamaan trigonometri yang membosankan dengan puluhan metode penyelesaian. Sejujurnya, saya sendiri tidak terlalu menyukainya... Jangan panik! – maka sebagian besar “dandelion” menanti Anda dengan solusi yang jelas dalam 1-2 langkah. Meskipun “burdock” pasti menempel, Anda harus objektif di sini.

Anehnya, dalam matematika tingkat tinggi, persamaan yang sangat primitif lebih umum digunakan linier persamaan

Apa maksudnya menyelesaikan persamaan ini? Artinya menemukan nilai “x” (akar) TERSEBUT yang mengubahnya menjadi persamaan sejati. Mari kita lempar “tiga” ke kanan dengan perubahan tanda:

dan jatuhkan "dua" ke sisi kanan (atau, hal yang sama - kalikan kedua sisi dengan) :

Untuk memeriksanya, mari kita substitusikan piala yang dimenangkan ke persamaan aslinya:

Persamaan yang benar diperoleh, artinya nilai yang ditemukan memang merupakan akar persamaan tersebut. Atau, seperti yang juga mereka katakan, memenuhi persamaan ini.

Harap dicatat bahwa akarnya juga dapat ditulis sebagai pecahan desimal:
Dan cobalah untuk tidak mengikuti gaya buruk ini! Saya mengulangi alasannya lebih dari sekali, khususnya pada pelajaran pertama aljabar yang lebih tinggi.

Omong-omong, persamaan tersebut juga dapat diselesaikan “dalam bahasa Arab”:

Dan yang paling menarik adalah rekaman ini sepenuhnya legal! Tetapi jika Anda bukan seorang guru, lebih baik tidak melakukan ini, karena orisinalitas dapat dihukum di sini =)

Dan sekarang sedikit tentang

metode solusi grafis

Persamaannya mempunyai bentuk dan akarnya adalah koordinat "X". titik persimpangan grafik fungsi linier dengan grafik fungsi linier (sumbu x):

Tampaknya contoh ini sangat mendasar sehingga tidak ada lagi yang perlu dianalisis di sini, tetapi satu lagi nuansa tak terduga dapat “diperas” darinya: mari kita sajikan persamaan yang sama dalam bentuk dan buat grafik fungsi:

Di mana, tolong jangan membingungkan kedua konsep tersebut: persamaan adalah persamaan, dan fungsi– ini adalah sebuah fungsi! Fungsi hanya bantuan temukan akar persamaannya. Jumlahnya mungkin dua, tiga, empat, atau bahkan tak terhingga jumlahnya. Contoh terdekat dalam pengertian ini adalah yang terkenal persamaan kuadrat, algoritma solusi yang menerima paragraf terpisah formula sekolah yang "panas".. Dan ini bukan suatu kebetulan! Jika Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dan mengetahuinya teori Pitagoras, maka, orang mungkin berkata, “setengah dari matematika tingkat tinggi sudah ada di saku Anda” =) Tentu saja dilebih-lebihkan, tetapi tidak jauh dari kebenaran!

Oleh karena itu, jangan bermalas-malasan dan selesaikan beberapa persamaan kuadrat menggunakan algoritma standar:

, yang berarti persamaan tersebut memiliki dua persamaan yang berbeda sah akar:

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa kedua nilai yang ditemukan benar-benar memenuhi persamaan ini:

Apa yang harus dilakukan jika Anda tiba-tiba lupa algoritma solusinya, dan tidak ada sarana/bantuan yang tersedia? Situasi ini mungkin muncul, misalnya saat ujian atau ujian. Kami menggunakan metode grafis! Dan ada dua cara: Anda bisa membangun poin demi poin parabola , sehingga mencari tahu di mana ia memotong sumbu (jika melintasi sama sekali). Namun lebih baik melakukan sesuatu yang lebih rumit: bayangkan persamaan dalam bentuk, gambar grafik fungsi yang lebih sederhana - dan Koordinat "X". titik persimpangannya terlihat jelas!


Jika ternyata garis lurus tersebut menyentuh parabola, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar yang serasi (ganda). Jika ternyata garis lurus tidak memotong parabola, maka tidak ada akar real.

Untuk melakukan hal ini tentunya Anda harus mampu membangun grafik fungsi dasar, namun di sisi lain, bahkan seorang anak sekolah pun dapat melakukan keterampilan tersebut.

Dan lagi - persamaan adalah persamaan, dan fungsi adalah fungsi itu hanya membantu selesaikan persamaannya!

Dan di sini, omong-omong, ada baiknya untuk mengingat satu hal lagi: jika semua koefisien suatu persamaan dikalikan dengan bilangan bukan nol, maka akar-akar persamaan tersebut tidak akan berubah.

Jadi, misalnya persamaannya mempunyai akar yang sama. Sebagai “bukti” sederhana, saya akan mengeluarkan konstanta dari tanda kurung:
dan saya akan menghapusnya tanpa rasa sakit (Saya akan membagi kedua bagian dengan “minus dua”):

TETAPI! Jika kita mempertimbangkan fungsinya, maka di sini kita tidak dapat menghilangkan konstanta! Yang diperbolehkan hanya mengeluarkan pengali dari tanda kurung: .

Banyak orang yang meremehkan metode solusi grafis, menganggapnya sebagai sesuatu yang “tidak bermartabat”, bahkan ada yang sama sekali melupakan kemungkinan ini. Dan ini pada dasarnya salah, karena membuat grafik terkadang hanya menyelamatkan situasi!

Contoh lain: misalkan Anda tidak ingat akar-akar persamaan trigonometri paling sederhana: . Rumus umumnya ada di buku pelajaran sekolah, di semua buku referensi matematika dasar, tetapi tidak tersedia untuk Anda. Namun, menyelesaikan persamaan tersebut sangatlah penting (alias “dua”). Ada jalan keluar! – membuat grafik fungsi:


setelah itu kita dengan tenang menuliskan koordinat “X” dari titik potongnya:

Ada banyak akar yang tak terhingga banyaknya, dan dalam aljabar notasi ringkasnya diterima:
, Di mana ( – himpunan bilangan bulat) .

Dan, tanpa “pergi”, beberapa kata tentang metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan satu variabel. Prinsipnya sama. Jadi, misalnya, penyelesaian pertidaksamaan adalah sembarang “x”, karena Sinusoida terletak hampir seluruhnya di bawah garis lurus. Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah himpunan interval di mana potongan-potongan sinusoidal terletak tepat di atas garis lurus (sumbu x):

atau, singkatnya:

Namun berikut adalah beberapa solusi untuk mengatasi kesenjangan tersebut: kosong, karena tidak ada titik sinusoida yang terletak di atas garis lurus.

Apakah ada sesuatu yang tidak kamu mengerti? Segera pelajari pelajaran tentang set Dan grafik fungsi!

Mari pemanasan:

Latihan 1

Selesaikan persamaan trigonometri berikut secara grafis:

Jawaban di akhir pelajaran

Seperti yang Anda lihat, untuk mempelajari ilmu eksakta sama sekali tidak perlu menjejali rumus dan buku referensi! Terlebih lagi, ini adalah pendekatan yang mempunyai kelemahan mendasar.

Seperti yang telah saya yakinkan kepada Anda di awal pelajaran, persamaan trigonometri kompleks dalam mata kuliah standar matematika tingkat tinggi sangat jarang harus diselesaikan. Semua kerumitan, biasanya, diakhiri dengan persamaan seperti , yang penyelesaiannya adalah dua kelompok akar yang berasal dari persamaan paling sederhana dan . Jangan terlalu khawatir tentang penyelesaian yang terakhir – lihat di buku atau temukan di Internet =)

Metode solusi grafis juga dapat membantu dalam kasus-kasus yang tidak terlalu sepele. Misalnya persamaan “ragtag” berikut ini:

Prospek solusinya terlihat... tidak terlihat seperti apa pun, tetapi Anda hanya perlu membayangkan persamaannya dalam bentuk , build grafik fungsi dan semuanya akan menjadi sangat sederhana. Ada gambar di tengah artikel tentang fungsi yang sangat kecil (akan terbuka di tab berikutnya).

Dengan menggunakan metode grafis yang sama, Anda dapat mengetahui bahwa persamaan tersebut sudah memiliki dua akar, dan salah satunya sama dengan nol, dan yang lainnya, tampaknya, irasional dan termasuk dalam segmen tersebut. Akar ini dapat dihitung kira-kira, misalnya, metode tangen. Ngomong-ngomong, dalam beberapa masalah, Anda tidak perlu mencari akarnya, tetapi mencari tahu apakah mereka ada sama sekali?. Dan di sini juga, gambar dapat membantu - jika grafiknya tidak berpotongan, maka tidak ada akar.

Akar rasional polinomial dengan koefisien bilangan bulat.
Skema Horner

Dan sekarang saya mengajak Anda untuk mengalihkan pandangan Anda ke Abad Pertengahan dan merasakan suasana unik aljabar klasik. Untuk pemahaman materi yang lebih baik, saya sarankan Anda membaca setidaknya sedikit bilangan kompleks.

Mereka yang terbaik. Polinomial.

Objek yang kita minati adalah polinomial paling umum dalam bentuk c utuh koefisien Bilangan asli disebut derajat polinomial, angka – koefisien derajat tertinggi (atau hanya koefisien tertinggi), dan koefisiennya adalah anggota bebas.

Saya akan menyatakan secara singkat polinomial ini dengan .

Akar polinomial sebut akar persamaannya

Saya suka logika besi =)

Misalnya, lihat bagian paling awal artikel:

Tidak ada masalah dalam mencari akar polinomial derajat 1 dan 2, tetapi seiring bertambahnya usia, tugas ini menjadi semakin sulit. Meski di sisi lain, semuanya lebih menarik! Dan inilah tepatnya bagian kedua dari pelajaran ini yang akan dikhususkan.

Pertama, secara harfiah separuh layar teori:

1) Menurut akibat wajarnya teorema dasar aljabar, polinomial derajatnya tepat kompleks akar. Beberapa akar (atau bahkan semua) mungkin khususnya sah. Selain itu, di antara akar-akar sejati mungkin terdapat akar-akar yang identik (ganda). (minimal dua, maksimal potongan).

Jika suatu bilangan kompleks merupakan akar suatu polinomial, maka mengkonjugasikan nomornya juga merupakan akar dari polinomial ini (akar kompleks konjugasi memiliki bentuk ).

Contoh paling sederhana adalah persamaan kuadrat, yang pertama kali ditemukan pada tahun 8 (menyukai) kelas, dan yang akhirnya kami “selesai” dalam topik tersebut bilangan kompleks. Izinkan saya mengingatkan Anda: persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda, atau akar ganda, atau akar kompleks konjugasi.

2) Dari teorema Bezout Oleh karena itu, jika suatu bilangan adalah akar suatu persamaan, maka polinomial yang bersesuaian dapat difaktorkan:
, di mana adalah polinomial derajat.

Dan sekali lagi, contoh lama kita: karena adalah akar persamaan, maka . Setelah itu tidak sulit untuk mendapatkan perluasan “sekolah” yang terkenal.

Akibat wajar dari teorema Bezout memiliki nilai praktis yang besar: jika kita mengetahui akar persamaan derajat ke-3, maka kita dapat merepresentasikannya dalam bentuk dan dari persamaan kuadrat mudah untuk mengetahui akar-akar yang tersisa. Jika kita mengetahui akar persamaan derajat ke-4, maka ruas kiri dapat diekspansi menjadi suatu hasil kali, dan seterusnya.

Dan ada dua pertanyaan di sini:

Pertanyaan pertama. Bagaimana cara menemukan root ini? Pertama-tama, mari kita definisikan sifatnya: dalam banyak masalah matematika tingkat tinggi, hal itu perlu ditemukan rasional, secara khusus utuh akar polinomial, dan dalam hal ini, selanjutnya kita akan tertarik pada mereka.... ...mereka sangat bagus, sangat lembut, sehingga Anda hanya ingin menemukannya! =)

Hal pertama yang terlintas dalam pikiran adalah metode pemilihan. Misalnya saja persamaannya. Tangkapannya di sini adalah dalam istilah bebas - jika sama dengan nol, maka semuanya akan baik-baik saja - kita keluarkan "x" dari tanda kurung dan akarnya sendiri "jatuh" ke permukaan:

Namun suku bebas kita sama dengan “tiga”, dan oleh karena itu kita mulai mensubstitusi berbagai bilangan ke dalam persamaan yang diklaim sebagai “akar”. Pertama-tama, substitusi nilai-nilai tunggal menunjukkan dirinya sendiri. Mari kita gantikan:

Diterima salah kesetaraan, dengan demikian, unit tersebut “tidak cocok.” Baiklah, mari kita gantikan:

Diterima BENAR persamaan! Artinya, nilai adalah akar persamaan ini.

Untuk mencari akar-akar polinomial derajat ke-3, ada metode analisis (yang disebut rumus Cardano), tapi sekarang kami tertarik pada tugas yang sedikit berbeda.

Karena - adalah akar dari polinomial kita, polinomial tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk dan muncul Pertanyaan kedua: bagaimana cara menemukan “adik laki-laki”?

Pertimbangan aljabar paling sederhana menunjukkan bahwa untuk melakukan hal ini kita perlu membaginya dengan . Bagaimana cara membagi polinomial dengan polinomial? Metode sekolah yang sama yang membagi bilangan biasa - “kolom”! Saya membahas metode ini secara rinci pada contoh pertama pelajaran. Batas Kompleks, dan sekarang kita akan melihat metode lain yang disebut Skema Horner.

Pertama kita menulis polinomial “tertinggi”. dengan semua orang , termasuk koefisien nol:
, setelah itu kita memasukkan koefisien-koefisien ini (secara berurutan) ke baris atas tabel:

Kami menulis root di sebelah kiri:

Saya akan segera membuat reservasi bahwa skema Horner juga berfungsi jika nomornya "merah". Bukan adalah akar polinomial. Namun, jangan terburu-buru.

Kami menghapus koefisien utama dari atas:

Proses pengisian sel bagian bawah agak mirip dengan sulaman, di mana “minus satu” adalah semacam “jarum” yang menembus langkah selanjutnya. Kita mengalikan bilangan “yang dibawa” dengan (–1) dan menambahkan bilangan dari sel atas ke hasil perkaliannya:

Kami mengalikan nilai yang ditemukan dengan "jarum merah" dan menambahkan koefisien persamaan berikut ke produk:

Dan terakhir, nilai yang dihasilkan kembali “diproses” dengan “jarum” dan koefisien atas:

Angka nol di sel terakhir menunjukkan bahwa polinomial tersebut habis dibagi tanpa jejak (seperti seharusnya), sedangkan koefisien muai “dihapus” langsung dari baris terbawah tabel:

Jadi, kita berpindah dari persamaan ke persamaan ekuivalen dan semuanya menjadi jelas dengan dua akar yang tersisa (dalam hal ini kita mendapatkan akar kompleks konjugasi).

Omong-omong, persamaannya juga dapat diselesaikan secara grafis: plot "petir" dan lihat bahwa grafik tersebut memotong sumbu x () pada titik. Atau trik "licik" yang sama - kita menulis ulang persamaan dalam bentuk , menggambar grafik dasar dan mendeteksi koordinat "X" dari titik perpotongannya.

Omong-omong, grafik polinomial fungsi apa pun derajat ke-3 memotong sumbu setidaknya satu kali, yang berarti persamaan yang sesuai memiliki setidaknya satu sah akar. Fakta ini berlaku untuk semua fungsi polinomial berderajat ganjil.

Dan di sini saya juga ingin memikirkan lebih jauh poin penting yang menyangkut terminologi: polinomial Dan fungsi polinomial – itu bukan hal yang sama! Namun dalam praktiknya mereka sering berbicara, misalnya tentang “grafik polinomial”, yang tentu saja merupakan kelalaian.

Namun, mari kita kembali ke skema Horner. Seperti yang saya sebutkan baru-baru ini, skema ini berfungsi untuk nomor lain, tetapi jika nomor tersebut Bukan adalah akar persamaan, maka penjumlahan bukan nol (sisa) muncul dalam rumus kita:

Mari kita “menjalankan” nilai “tidak berhasil” menurut skema Horner. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel yang sama - tulis "jarum" baru di sebelah kiri, pindahkan koefisien terdepan dari atas (panah hijau kiri), dan kita berangkat:

Untuk memeriksanya, mari kita buka tanda kurung dan berikan istilah serupa:
, OKE.

Sangat mudah untuk melihat bahwa sisanya (“enam”) sama persis dengan nilai polinomial di . Dan faktanya - seperti apa:
, dan bahkan lebih bagus lagi - seperti ini:

Dari perhitungan di atas mudah untuk dipahami bahwa skema Horner memungkinkan tidak hanya memfaktorkan polinomial, tetapi juga melakukan pemilihan akar secara “beradab”. Saya sarankan Anda menggabungkan sendiri algoritma perhitungan dengan tugas kecil:

Tugas 2

Dengan menggunakan skema Horner, carilah akar bilangan bulat dari persamaan tersebut dan faktorkan polinomial yang bersesuaian

Dengan kata lain, di sini Anda perlu memeriksa angka 1, –1, 2, –2,… – secara berurutan hingga “diambil” sisa nol di kolom terakhir. Artinya “jarum” garis ini adalah akar polinomial

Lebih mudah untuk mengatur perhitungan dalam satu tabel. Solusi dan jawaban terperinci di akhir pelajaran.

Metode pemilihan akar bagus untuk kasus-kasus yang relatif sederhana, namun jika koefisien dan/atau derajat polinomialnya besar, prosesnya mungkin memakan waktu lama. Atau mungkin ada beberapa nilai dari daftar yang sama 1, –1, 2, –2 dan tidak ada gunanya mempertimbangkannya? Selain itu, akarnya mungkin berbentuk pecahan, yang akan menyebabkan penusukan yang sama sekali tidak ilmiah.

Untungnya, ada dua teorema kuat yang dapat secara signifikan mengurangi pencarian nilai “kandidat” untuk akar rasional:

Teorema 1 Mari kita pertimbangkan tidak dapat direduksi pecahan, dimana. Jika bilangan tersebut merupakan akar persamaan, maka suku bebasnya dibagi dan koefisien utamanya dibagi.

Secara khusus, jika koefisien utamanya adalah , maka akar rasionalnya adalah bilangan bulat:

Dan kita mulai mengeksploitasi teorema hanya dengan detail menarik ini:

Mari kita kembali ke persamaan. Karena koefisien utamanya adalah , maka akar-akar rasional hipotetis hanya dapat berupa bilangan bulat, dan suku bebasnya harus habis dibagi ke dalam akar-akar ini tanpa sisa. Dan “tiga” hanya dapat dibagi menjadi 1, –1, 3 dan –3. Artinya, kita hanya mempunyai 4 “kandidat akar”. Dan menurut Teorema 1, bilangan rasional lainnya tidak dapat menjadi akar persamaan ini DALAM PRINSIP.

Ada lebih banyak “pesaing” dalam persamaan: suku bebas dibagi menjadi 1, –1, 2, – 2, 4 dan –4.

Harap dicatat bahwa angka 1, –1 adalah “tetap” dari daftar kemungkinan akar (konsekuensi nyata dari teorema) dan pilihan terbaik untuk pengujian prioritas.

Mari beralih ke contoh yang lebih bermakna:

Masalah 3

Larutan: karena koefisien utamanya adalah , maka akar-akar rasional hipotetis hanya dapat berupa bilangan bulat, dan akar-akar tersebut harus berupa pembagi suku bebas. “Minus empat puluh” dibagi menjadi beberapa pasangan angka berikut:
– total 16 “kandidat”.

Dan di sini sebuah pemikiran yang menggoda segera muncul: mungkinkah menyingkirkan semua akar negatif atau positif? Dalam beberapa kasus, hal ini mungkin terjadi! Saya akan merumuskan dua tanda:

1) Jika Semua Jika koefisien polinomialnya non-negatif atau semuanya non-positif, maka polinomial tersebut tidak dapat mempunyai akar-akar positif. Sayangnya, ini bukan kasus kita (Sekarang, jika kita diberi persamaan - maka ya, ketika mensubstitusi nilai polinomial apa pun, nilai polinomial tersebut benar-benar positif, yang berarti semua bilangan positif (dan yang tidak rasional juga) tidak bisa menjadi akar persamaan.

2) Jika koefisien pangkat ganjil adalah non-negatif, dan untuk semua pangkat genap (termasuk anggota gratis) negatif, maka polinomial tersebut tidak boleh memiliki akar negatif. Atau “cermin”: koefisien pangkat ganjil adalah non-positif, dan untuk semua pangkat genap adalah positif.

Ini adalah kasus kami! Melihat lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa ketika memasukkan “X” negatif apa pun ke dalam persamaan, ruas kiri akan menjadi sangat negatif, yang berarti akar-akar negatifnya hilang.

Jadi, tersisa 8 angka untuk diteliti:

Kami “menagih” mereka secara berurutan sesuai dengan skema Horner. Saya harap Anda sudah menguasai perhitungan mental:

Keberuntungan menanti kami saat menguji “dua”. Jadi, adalah akar persamaan yang sedang dipertimbangkan, dan

Masih mempelajari persamaannya . Hal ini mudah dilakukan melalui diskriminan, tetapi saya akan melakukan tes indikatif menggunakan skema yang sama. Pertama, mari kita perhatikan bahwa suku bebasnya sama dengan 20, yang artinya Teorema 1 angka 8 dan 40 keluar dari daftar kemungkinan akar, meninggalkan nilai untuk penelitian (satu dieliminasi menurut skema Horner).

Kami menulis koefisien trinomial di baris atas tabel baru dan Kami mulai memeriksa dengan "dua" yang sama. Mengapa? Dan karena akar-akarnya bisa kelipatan, mohon: - Persamaan ini mempunyai 10 akar-akar identik. Tapi jangan sampai kita teralihkan:

Dan di sini, tentu saja, saya sedikit berbohong, mengetahui bahwa akarnya rasional. Lagi pula, jika angka-angka itu tidak rasional atau rumit, maka saya akan dihadapkan pada kegagalan memeriksa semua angka yang tersisa. Oleh karena itu, dalam praktiknya dibimbing oleh pihak yang diskriminan.

Menjawab: akar rasional: 2, 4, 5

Dalam soal yang kami analisis, kami beruntung, karena: a) nilai negatif langsung hilang, dan b) kami menemukan akarnya dengan sangat cepat (dan secara teoritis kami dapat memeriksa seluruh daftar).

Namun kenyataannya situasinya jauh lebih buruk. Saya mengundang Anda untuk menonton pertandingan seru berjudul “Pahlawan Terakhir”:

Masalah 4

Temukan akar rasional persamaan tersebut

Larutan: Oleh Teorema 1 pembilang akar rasional hipotetis harus memenuhi kondisi tersebut (kita membaca “dua belas dibagi el”), dan penyebutnya sesuai dengan kondisi . Berdasarkan ini, kami mendapatkan dua daftar:

"daftar item":
dan "daftar um": (untungnya, angka di sini alami).

Sekarang mari kita buat daftar semua kemungkinan akar. Pertama, kita membagi “daftar el” dengan . Jelas sekali bahwa angka yang sama akan diperoleh. Untuk kenyamanan, mari kita masukkan ke dalam tabel:

Banyak pecahan yang dikurangi sehingga menghasilkan nilai yang sudah ada di “daftar pahlawan”. Kami hanya menambahkan "pemula":

Demikian pula, kami membagi “daftar” yang sama dengan:

dan akhirnya aktif

Dengan demikian, tim peserta dalam permainan kami selesai:


Sayangnya, polinomial dalam soal ini tidak memenuhi kriteria "positif" atau "negatif", dan oleh karena itu kita tidak dapat membuang baris atas atau bawah. Anda harus bekerja dengan semua angka.

Bagaimana perasaanmu? Ayo, angkat kepala - ada teorema lain yang secara kiasan bisa disebut “teorema pembunuh”…. ..."kandidat", tentu saja =)

Namun pertama-tama Anda perlu menelusuri diagram Horner setidaknya untuk satu hal keseluruhan angka. Secara tradisional, mari kita ambil satu. Di baris paling atas kita menulis koefisien polinomial dan semuanya seperti biasa:

Karena empat jelas bukan nol, maka nilainya bukanlah akar polinomial yang dimaksud. Tapi dia akan banyak membantu kami.

Teorema 2 Jika untuk beberapa orang secara umum nilai polinomialnya bukan nol: , maka akar rasionalnya (jika mereka adalah) memenuhi syaratnya

Dalam kasus kita, semua akar yang mungkin harus memenuhi kondisi tersebut (sebut saja Kondisi No. 1). Keempatnya akan menjadi “pembunuh” banyak “kandidat”. Sebagai demonstrasi, saya akan melihat beberapa pemeriksaan:

Mari kita periksa "kandidat". Untuk melakukan ini, mari kita nyatakan secara artifisial dalam bentuk pecahan, yang darinya terlihat jelas bahwa . Mari kita hitung selisih pengujiannya: . Empat dibagi dengan “minus dua”: , yang berarti akar yang mungkin telah lulus ujian.

Mari kita periksa nilainya. Di sini perbedaan tesnya adalah: . Tentu saja, dan oleh karena itu “subjek” kedua juga tetap ada dalam daftar.

Polinomial ini memiliki koefisien bilangan bulat. Jika suatu bilangan bulat adalah akar dari polinomial ini, maka ia adalah pembagi dari bilangan 16. Jadi, jika suatu polinomial tertentu mempunyai akar bilangan bulat, maka bilangan tersebut hanya dapat berupa bilangan ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Dengan verifikasi langsung kita yakin bahwa bilangan 2 adalah akar dari polinomial tersebut, yaitu x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), dimana Q (x) adalah polinomial dari derajat kedua. Akibatnya polinomial tersebut didekomposisi menjadi faktor-faktor, salah satunya adalah (x – 2). Untuk mencari jenis polinomial Q (x) kita menggunakan skema Horner. Keuntungan utama metode ini adalah notasi yang kompak dan kemampuan membagi polinomial menjadi binomial dengan cepat. Faktanya, skema Horner adalah bentuk lain dari pencatatan metode pengelompokan, meskipun, tidak seperti yang terakhir, skema ini sepenuhnya non-visual. Jawabannya (faktorisasi) di sini diperoleh dengan sendirinya, dan kita tidak melihat proses memperolehnya. Kami tidak akan membahas secara mendalam skema Horner, namun hanya akan menunjukkan cara kerjanya.

Nomor dari sel di atasnya “dipindahkan” ke sel kedua dari baris terbawah, yaitu 1. Kemudian mereka melakukan ini. Akar persamaan (angka 2) dikalikan dengan angka yang terakhir ditulis (1) dan hasilnya dijumlahkan dengan angka yang ada di baris atas di atas sel bebas berikutnya, dalam contoh kita mempunyai:

Bilangan irasional- Ini bilangan real, yang tidak rasional, yaitu tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, dimana bilangan bulat, . Bilangan irasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal non-periodik tak terhingga.

Himpunan bilangan irasional biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital yang dicetak tebal tanpa arsiran. Jadi: , yaitu. ada banyak bilangan irasional perbedaan antara himpunan bilangan real dan rasional.

Tentang keberadaan bilangan irasional lebih tepatnya segmen yang tidak dapat dibandingkan dengan segmen dengan satuan panjang telah diketahui oleh para ahli matematika kuno: mereka mengetahui, misalnya, ketidakterbandingan diagonal dan sisi persegi, yang setara dengan irasionalitas suatu bilangan.

Properti

• Bilangan real apa pun dapat ditulis sebagai pecahan desimal tak hingga, sedangkan bilangan irasional dan hanya bilangan tersebut dapat ditulis sebagai pecahan desimal tak hingga non-periodik.
• Bilangan irasional mendefinisikan pemotongan Dedekind pada himpunan bilangan rasional yang tidak mempunyai bilangan terbesar di golongan bawah dan tidak mempunyai bilangan terkecil di golongan atas.
• Setiap bilangan transendental real adalah irasional.
• Setiap bilangan irasional bersifat aljabar atau transendental.
• Himpunan bilangan irasional padat di mana-mana pada garis bilangan: di antara dua bilangan ada bilangan irasional.
• Urutan himpunan bilangan irasional isomorfik terhadap urutan himpunan bilangan transendental real.
• Himpunan bilangan irasional tidak terhitung dan merupakan himpunan kategori kedua.

Contoh

Yang tidak rasional adalah:

Contoh bukti irasionalitas

Akar dari 2

Mari kita asumsikan sebaliknya: rasional, yaitu direpresentasikan sebagai pecahan tak tereduksi, yang merupakan bilangan bulat dan merupakan bilangan asli. Mari kita hitung persamaan yang seharusnya:

Oleh karena itu genap adalah genap dan . Biarkan itu menjadi tempat keseluruhannya. Kemudian

Oleh karena itu, genap berarti genap dan . Kami menemukan bahwa dan genap, yang bertentangan dengan pecahan yang tidak dapat direduksi. Artinya asumsi awal salah dan merupakan bilangan irasional.

Logaritma biner dari angka 3

Mari kita asumsikan sebaliknya: rasional, yaitu direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat. Sejak , dan dapat dipilih menjadi positif. Kemudian

Tapi genap dan ganjil. Kami mendapatkan kontradiksi.

e

Cerita

Konsep bilangan irasional secara implisit diadopsi oleh matematikawan India pada abad ke-7 SM, ketika Manava (c. 750 SM - c. 690 SM) menemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa bilangan asli, seperti 2 dan 61 tidak dapat dinyatakan secara eksplisit. .

Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemukan bukti ini dengan mempelajari panjang sisi pentagram. Pada zaman Pythagoras, diyakini bahwa ada satu satuan panjang, cukup kecil dan tidak dapat dibagi-bagi, yang memasuki segmen mana pun beberapa kali bilangan bulat. Namun Hippasus berpendapat bahwa tidak ada satuan panjang yang tunggal, karena anggapan keberadaannya menimbulkan kontradiksi. Dia menunjukkan bahwa jika sisi miring segitiga siku-siku sama kaki berisi bilangan bulat dari satuan segmen, maka bilangan tersebut harus genap dan ganjil. Buktinya terlihat seperti ini:

• Perbandingan panjang sisi miring dengan panjang kaki segitiga siku-siku sama kaki dapat dinyatakan sebagai A:B, Di mana A Dan B dipilih sekecil mungkin.
• Menurut teorema Pythagoras: A² = 2 B².
• Karena A- bahkan, A harus genap (karena kuadrat suatu bilangan ganjil adalah ganjil).
• Karena A:B tidak dapat direduksi B pasti ganjil.
• Karena A bahkan, kami menyatakannya A = 2kamu.
• Kemudian A² = 4 kamu² = 2 B².
• B² = 2 kamu², oleh karena itu B- bahkan kemudian B bahkan.
• Namun, hal itu telah terbukti B aneh. Kontradiksi.

Matematikawan Yunani menyebut rasio kuantitas yang tidak dapat dibandingkan ini alogos(tak terkatakan), tetapi menurut legenda mereka tidak menghormati Hippasus. Ada legenda bahwa Hippasus membuat penemuan ini saat dalam perjalanan laut dan dibuang ke laut oleh pengikut Pythagoras lainnya “karena menciptakan elemen alam semesta yang menyangkal doktrin bahwa semua entitas di alam semesta dapat direduksi menjadi bilangan bulat dan rasionya.” Penemuan Hippasus menimbulkan masalah serius bagi matematika Pythagoras, menghancurkan asumsi mendasar bahwa bilangan dan objek geometris adalah satu dan tidak dapat dipisahkan.

Seperti yang telah kita ketahui, salah satu masalah terpenting dalam teori polinomial adalah masalah menemukan akar-akarnya. Untuk mengatasi masalah ini, Anda dapat menggunakan metode seleksi, yaitu. ambil suatu bilangan secara acak dan periksa apakah bilangan tersebut merupakan akar dari suatu polinomial tertentu.

Dalam hal ini, Anda dapat dengan cepat “menabrak” akarnya, atau Anda mungkin tidak akan pernah menemukannya. Lagi pula, tidak mungkin untuk memeriksa semua angka, karena jumlahnya tak terhingga banyaknya.

Lain halnya jika kita bisa mempersempit area pencarian, misalnya mengetahui bahwa akar yang kita cari, katakanlah, berada di antara tiga puluh angka yang ditentukan. Dan untuk tiga puluh nomor Anda dapat melakukan pengecekan. Sehubungan dengan semua yang telah dikemukakan di atas, pernyataan ini nampaknya penting dan menarik.

Jika pecahan tak tersederhanakan l/m (l,m adalah bilangan bulat) adalah akar dari suatu polinomial f (x) dengan koefisien bilangan bulat, maka koefisien terdepan dari polinomial tersebut dibagi dengan m, dan suku bebasnya dibagi dengan 1.

Jika f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, dimana an, an-1,...,a1, a0 adalah bilangan bulat, maka f (l/ m) =0, yaitu an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Mari kalikan kedua ruas persamaan ini dengan mn. Kita mendapatkan anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Ini menyiratkan:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Kita melihat bahwa bilangan bulat anln habis dibagi m. Tapi l/m adalah pecahan yang tidak dapat direduksi, yaitu. bilangan l dan m adalah koprima, dan kemudian, seperti diketahui dari teori pembagian bilangan bulat, bilangan ln dan m juga koprima. Jadi, anln habis dibagi m dan m koprima dengan ln, artinya an habis dibagi m.

Topik yang telah terbukti memungkinkan kita mempersempit area pencarian secara signifikan untuk akar rasional polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Mari kita tunjukkan ini dengan contoh spesifik. Mari kita cari akar rasional polinomial f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Menurut teorema, akar-akar rasional polinomial ini termasuk pecahan tak tereduksi berbentuk l/m, dengan l adalah pembagi suku bebas a0=8, dan m adalah pembagi koefisien utama a4=6. Selain itu, jika pecahan l/m negatif, maka pembilangnya diberi tanda “-”. Misalnya, - (1/3) = (-1) /3. Jadi kita dapat mengatakan bahwa l adalah pembagi dari angka 8, dan m adalah pembagi positif dari angka 6.

Karena pembagi bilangan 8 adalah ±1, ±2, ±4, ±8, dan pembagi positif bilangan 6 adalah 1, 2, 3, 6, maka akar-akar rasional polinomial yang dimaksud adalah di antara bilangan-bilangan tersebut ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Ingatlah bahwa kita hanya menuliskan pecahan tak tereduksi.

Jadi, kita memiliki dua puluh angka - "kandidat" untuk akar. Yang tersisa hanyalah memeriksa masing-masing dan memilih yang benar-benar berakar. Namun sekali lagi, Anda harus melakukan banyak pemeriksaan. Namun teorema berikut menyederhanakan pekerjaan ini.

Jika pecahan tak tersederhanakan l/m adalah akar polinomial f (x) dengan koefisien bilangan bulat, maka f (k) habis dibagi l-km untuk sembarang bilangan bulat k, asalkan l-km?0.

Untuk membuktikan teorema ini, bagilah f(x) dengan x-k dengan sisa. Kami mendapatkan f (X) = (xk) S (X) +f (k). Karena f (x) adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat, maka polinomial s (x) juga merupakan, dan f (k) adalah bilangan bulat. Misalkan s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Maka f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Mari kita masukkan x=l/m ke dalam persamaan ini. Mengingat f (l/m) =0, kita peroleh

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Mari kalikan kedua ruas persamaan terakhir dengan mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Oleh karena itu bilangan bulat mnf (k) habis dibagi l-km. Namun karena l dan m koprima, maka mn dan l-km juga koprima, artinya f(k) habis dibagi l-km. Teorema tersebut telah terbukti.

Sekarang mari kita kembali ke contoh kita dan, dengan menggunakan teorema yang telah terbukti, kita akan semakin mempersempit lingkaran pencarian akar rasional. Mari kita terapkan teorema ini untuk k=1 dan k=-1, yaitu. jika pecahan tak tereduksi l/m adalah akar polinomial f (x), maka f (1) / (l-m), dan f (-1) / (l+m). Kita dengan mudah menemukan bahwa dalam kasus kita f (1) = -5, dan f (-1) = -15. Perhatikan bahwa pada saat yang sama kami mengecualikan ±1 dari pertimbangan.

Jadi, akar rasional polinomial kita harus dicari di antara bilangan ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.

Misalkan l/m=1/2. Maka l-m=-1 dan f(1) =-5 dibagi dengan bilangan tersebut. Selanjutnya, l+m=3 dan f (1) =-15 juga habis dibagi 3. Artinya, pecahan 1/2 tetap berada di antara “calon” akar.

Misalkan sekarang lm=- (1/2) = (-1) /2. Dalam hal ini, l-m=-3 dan f (1) =-5 tidak habis dibagi - 3. Artinya pecahan - 1/2 tidak dapat menjadi akar dari polinomial ini, dan kita mengecualikannya dari pertimbangan lebih lanjut. Mari kita periksa setiap pecahan yang tertulis di atas dan temukan bahwa akar-akar yang diperlukan ada di antara bilangan 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Jadi, dengan menggunakan teknik yang cukup sederhana, kami telah secara signifikan mempersempit area pencarian akar rasional dari polinomial yang sedang dipertimbangkan. Nah, untuk mengecek sisa angkanya, kita akan menggunakan skema Horner:

Tabel 10

Kami menemukan bahwa sisa pembagian g (x) dengan x-2/3 sama dengan - 80/9, yaitu 2/3 bukan akar dari polinomial g (x), dan oleh karena itu juga bukan f (x).

Selanjutnya, kita dengan mudah menemukan bahwa - 2/3 adalah akar dari polinomial g (x) dan g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Maka f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Verifikasi lebih lanjut dapat dilakukan untuk polinomial x2+2x-4, yang tentu saja lebih sederhana daripada g (x) atau bahkan lebih untuk f (x). Hasilnya, kita menemukan bahwa bilangan 2 dan - 4 bukanlah akar.

Jadi, polinomial f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 memiliki dua akar rasional: 1/2 dan - 2/3.

Ingatlah bahwa metode yang dijelaskan di atas memungkinkan untuk menemukan hanya akar rasional dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Sementara itu, polinomial juga dapat memiliki akar-akar irasional. Jadi, misalnya, polinomial yang dibahas dalam contoh ini memiliki dua akar lagi: - 1±v5 (ini adalah akar-akar polinomial x2+2x-4). Dan, secara umum, polinomial mungkin tidak memiliki akar rasional sama sekali.

Sekarang mari kita berikan beberapa tips.

Saat menguji “kandidat” untuk akar polinomial f (x) menggunakan teorema kedua yang dibuktikan di atas, teorema kedua biasanya digunakan untuk kasus k=±1. Dengan kata lain, jika l/m adalah akar "kandidat", periksa apakah f (1) dan f (-1) masing-masing habis dibagi l-m dan l+m. Tetapi mungkin saja, misalnya, f (1) = 0, yaitu 1 adalah akar, dan kemudian f (1) habis dibagi bilangan apa pun, dan cek kita menjadi tidak ada artinya. Dalam hal ini, Anda harus membagi f(x) dengan x-1, mis. peroleh f(x) = (x-1)s(x), dan uji polinomial s(x). Pada saat yang sama, kita tidak boleh lupa bahwa kita telah menemukan satu akar polinomial f (x) - x1=1. Jika, ketika memeriksa “kandidat” akar-akar yang tersisa setelah menggunakan teorema kedua tentang akar-akar rasional, dengan menggunakan skema Horner kita menemukan bahwa, misalnya, l/m adalah sebuah akar, maka multiplisitasnya harus dicari. Jika sama dengan, katakanlah, k, maka f (x) = (x-l/m) ks (x), dan pengujian lebih lanjut dapat dilakukan untuk s (x), sehingga mengurangi perhitungan.

Jadi, kita telah belajar mencari akar rasional dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Ternyata dengan melakukan ini kita telah belajar mencari akar irasional dari suatu polinomial dengan koefisien rasional. Faktanya, jika kita mempunyai, misalnya, polinomial f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, maka, dengan membawa koefisien ke penyebut yang sama dan mengeluarkannya dari tanda kurung, kita dapatkan f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Jelas bahwa akar-akar polinomial f(x) bertepatan dengan akar-akar polinomial dalam tanda kurung, dan koefisiennya adalah bilangan bulat. Mari kita buktikan, misalnya, bahwa sin100 adalah bilangan irasional. Mari kita gunakan rumus terkenal sin3?=3sin?-4sin3?. Jadi sin300=3sin100-4sin3100. Mengingat sin300=0,5 dan melakukan transformasi sederhana, kita mendapatkan 8sin3100-6sin100+1=0. Oleh karena itu, sin100 adalah akar dari polinomial f (x) =8x3-6x+1. Jika kita mencari akar rasional dari polinomial ini, kita akan yakin bahwa akar tersebut tidak ada. Artinya akar sin100 bukanlah bilangan rasional, yaitu sin100 adalah bilangan irasional.

Polinomial dalam variabel x adalah ekspresi bentuk: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, di mana n adalah bilangan asli; dan, dan-1, . . . , a 1, a 0 - bilangan apa pun yang disebut koefisien polinomial ini. Ekspresi anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 disebut suku polinomial, dan 0 adalah suku bebas. an adalah koefisien xn, an-1 adalah koefisien xn-1, dan seterusnya. Polinomial yang semua koefisiennya sama dengan nol disebut nol. misalnya polinomial 0 x2+0 x+0 adalah nol. Dari notasi suatu polinomial terlihat jelas terdiri dari beberapa anggota. Dari sinilah istilah ‹‹polinomial›› (banyak istilah) berasal. Terkadang polinomial disebut polinomial. Istilah ini berasal dari kata Yunani πολι - banyak dan νομχ - anggota.

Polinomial dalam satu variabel x dilambangkan: . f (x), g (x), h (x), dst. Misalnya, jika polinomial pertama di atas dilambangkan dengan f (x), maka kita dapat menulis: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Polinomial h(x) disebut pembagi persekutuan terbesar dari polinomial f(x) dan g(x) jika polinomial tersebut membagi f(x), g (x) dan masing-masing pembagi persekutuannya. 2. Suatu polinomial f(x) dengan koefisien dari bidang P berderajat n dikatakan dapat direduksi pada bidang P jika terdapat polinomial h(x), g(x) О P[x] yang berderajat kurang dari n sedemikian bahwa f(x) = h( x)g(x).

Jika ada polinomial f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 dan an≠ 0, maka bilangan n disebut derajat polinomial f (x) (atau dikatakan: f (x) - derajat ke-n) dan tulis seni. f(x)=n. Dalam hal ini, an disebut koefisien terdepan, dan anxn adalah suku utama polinomial tersebut. Misalnya, jika f (x) =5 x 4 -2 x+3, maka seni. f (x) =4, koefisien terdepan - 5, suku utama - 5 x4. Derajat suatu polinomial adalah bilangan bukan nol terbesar dari koefisien-koefisiennya. Polinomial berderajat nol adalah bilangan selain nol. , polinomial nol tidak memiliki derajat; polinomial f (x) =a, dimana a adalah bilangan bukan nol dan berderajat 0; derajat polinomial lainnya sama dengan eksponen terbesar dari variabel x, yang koefisiennya sama dengan nol.

Kesetaraan polinomial. Dua polinomial f (x) dan g (x) dianggap sama jika koefisiennya untuk pangkat yang sama dari variabel x dan suku bebasnya sama (koefisien yang bersesuaian sama). f(x) =g(x). Misalnya polinomial f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 dan g(x) =2 x 23 x+1 tidak sama, polinomial pertama mempunyai koefisien x3 sama dengan 1, dan yang kedua memiliki nol ( menurut konvensi yang diterima, kita dapat menulis: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. Dalam hal ini: f (x) ≠g (x). Polinomial tidak sama: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, karena koefisiennya untuk x berbeda.

Tetapi polinomial f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 dan g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 adalah sama jika dan hanya jika a = 3, a b = -2. Misalkan polinomial f (x) =anxn+an-1 xn-1+ diberikan. . . +a 1 x+a 0 dan beberapa bilangan c. Bilangan f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 disebut nilai polinomial f (x) di x=c. Jadi, untuk mencari f(c), Anda perlu mensubstitusikan c ke dalam polinomial, bukan x, dan melakukan perhitungan yang diperlukan. Misalnya, jika f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, maka f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Sebuah polinomial dapat mengambil nilai berbeda untuk nilai variabel x yang berbeda. Bilangan c disebut akar polinomial f(x) jika f(c) =0.

Mari kita perhatikan perbedaan antara dua pernyataan: “polinomial f (x) sama dengan nol (atau, sama saja, polinomial f (x) adalah nol)” dan “nilai polinomial f (x) ) pada x = c sama dengan nol.” Misalnya, polinomial f (x) =x 2 -1 tidak sama dengan nol, memiliki koefisien bukan nol, dan nilainya di x=1 adalah nol. f(x) ≠ 0, dan f(1) =0. Ada hubungan erat antara konsep persamaan polinomial dan nilai polinomial. Jika diberikan dua polinomial yang sama besar f (x) dan g (x), maka koefisien-koefisien yang bersesuaian juga sama, artinya f (c) = g (c) untuk setiap bilangan c.

Operasi pada polinomial Polinomial dapat dijumlahkan, dikurangi, dan dikalikan dengan menggunakan aturan biasa untuk membuka tanda kurung dan memunculkan suku-suku serupa. Hasilnya lagi-lagi polinomial. Operasi ini mempunyai sifat yang diketahui: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

Misalkan dua polinomial f(x) =anxn+an-1 xn-1+ diberikan. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, dan g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Jelas bahwa Art. f(x)=n, dan st. g(x)=m. Jika kita mengalikan kedua polinomial ini, kita mendapatkan polinomial dengan bentuk f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Karena an≠ 0 dan bn≠ 0, maka anbm≠ 0 yang artinya st. (f(x)g(x))=m+n. Sebuah pernyataan penting mengikuti dari ini.

Derajat hasil kali dua polinomial bukan nol sama dengan jumlah derajat faktornya, seni. (f (x) g (x)) =st. f (x) + st. g(x). Suku utama (koefisien) hasil kali dua polinomial bukan nol sama dengan hasil kali suku utama (koefisien) faktor-faktornya. Suku bebas hasil kali dua polinomial sama dengan hasil kali suku bebas faktor-faktornya. Pangkat polinomial f (x), g (x) dan f (x) ±g (x) dihubungkan dengan relasi berikut: art. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Superposisi polinomial f(x) dan g(x) disebut. polinomial dilambangkan dengan f (g (x)), yang diperoleh jika dalam polinomial f (x) kita substitusikan polinomial g (x) sebagai ganti x. Misalnya, jika f(x)=x 2+2 x-1 dan g(x) =2 x+3, maka f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2 x 2+4 x+1. Terlihat bahwa f (g (x)) ≠g (f (x)), yaitu superposisi polinomial f (x), g (x) dan superposisi polinomial g (x), f ( x) berbeda. Dengan demikian, operasi superposisi tidak mempunyai sifat komutabilitas.

, Algoritma pembagian dengan sisa Untuk sembarang f(x), g(x), terdapat q(x) (hasil bagi) dan r(x) (sisa) sehingga f(x)=g(x)q(x)+ r(x), dan derajat r(x)

Pembagi suatu polinomial Pembagi suatu polinomial f(x) adalah polinomial g(x), sehingga f(x)=g(x)q(x). Pembagi persekutuan terbesar dari dua polinomial Pembagi persekutuan terbesar dari polinomial f(x) dan g(x) adalah pembagi persekutuannya d(x) yang habis dibagi oleh salah satu pembagi persekutuannya yang lain.

Algoritma Euclidean (algoritma pembagian berurutan) untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari polinomial f(x) dan g(x) Maka merupakan pembagi persekutuan terbesar dari f(x) dan g(x).

Mengurangi pecahan Solusi: Carilah gcd dari polinomial tersebut dengan menggunakan algoritma Euclidean 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Oleh karena itu, polinomial (– x2 – 3 x – 2) adalah gcd dari pembilangnya dan penyebut suatu pecahan tertentu. Diketahui hasil pembagian penyebutnya dengan polinomial tersebut.

Mari kita cari hasil pembagian pembilangnya. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Jadi, Jawabannya:

Skema Horner Membagi polinomial f(x) dengan sisa dengan polinomial bukan nol g(x) berarti merepresentasikan f(x) dalam bentuk f(x)=g(x) s(x)+r(x), di mana s (x ) dan r(x) adalah polinomial dan r(x)=0 atau st. r(x)

Polinomial di sisi kiri dan kanan relasi ini adalah sama, artinya koefisien yang bersesuaian juga sama. Mari kita samakan keduanya dengan terlebih dahulu membuka tanda kurung dan menempatkan suku-suku serupa di sisi kanan persamaan ini. Didapatkan: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = bn 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Ingatlah bahwa kita perlu mencari hasil bagi tidak lengkap, yaitu koefisiennya, dan sisanya. Mari kita nyatakan dari persamaan yang diperoleh: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Kita telah menemukan rumus yang dapat digunakan untuk menghitung koefisien hasil bagi parsial s (x) dan sisanya r. Dalam hal ini perhitungannya disajikan dalam bentuk tabel berikut; itu disebut skema Horner.

Tabel 1. Koefisien f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Koefisien s (x) sisa Pada baris pertama tabel ini, tuliskan semua koefisien polinomial f (x) berturut-turut, biarkan sel pertama kosong. Pada baris kedua, pada sel pertama, tuliskan angka c. Sel-sel yang tersisa pada baris ini diisi dengan menghitung satu per satu koefisien hasil bagi tidak lengkap s (x) dan sisanya r. Di sel kedua, tulis koefisien bn-1, yang seperti telah kita tetapkan, sama dengan an.

Koefisien di setiap sel berikutnya dihitung berdasarkan aturan berikut: angka c dikalikan dengan angka di sel sebelumnya, dan angka di atas sel yang diisi ditambahkan ke hasilnya. Untuk mengingat, katakanlah, sel kelima, yaitu untuk mencari koefisien di dalamnya, Anda perlu mengalikan c dengan angka di sel keempat, dan menambahkan angka di atas sel kelima ke hasilnya. Mari kita bagi, misalnya, polinomial f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 dengan x-2 dengan sisa, menggunakan skema Horner. Saat mengisi baris pertama diagram ini, kita tidak boleh melupakan koefisien nol dari polinomial. Jadi, koefisien f(x) adalah bilangan 3, 0, - 5, 3, - 1. Dan perlu juga diingat bahwa derajat hasil bagi tidak lengkap adalah satu lebih kecil dari derajat polinomial f (x).

Jadi, kita lakukan pembagian menurut skema Horner: Tabel 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Kita peroleh hasil bagi parsial s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 dan sisanya r=33. Perhatikan bahwa pada saat yang sama kita menghitung nilai polinomial f (2) =33. Sekarang mari kita bagi polinomial yang sama f (x) dengan x+2 dengan sisa. Dalam hal ini c=-2. kita peroleh: Tabel 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Hasilnya, kita mendapatkan f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .

Akar-akar polinomial Misalkan c1, c2, …, cm adalah akar-akar polinomial yang berbeda f (x). Kemudian f(x) dibagi x-c1, yaitu f(x) = (x-c 1) s 1 (x). Mari kita masukkan x=c2 ke dalam persamaan ini. Kita peroleh f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) dan, jadi f (c 2) =0, maka (c2 -c1) s 1 (c 2) =0. Tapi с2≠с1, yaitu с2 -с1≠ 0, yang artinya s 1 (c 2) =0. Jadi, c2 adalah akar dari polinomial s 1 (x). Maka s 1 (x) habis dibagi x-c2, yaitu s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Mari kita substitusikan ekspresi yang dihasilkan untuk s 1 (x) ke dalam persamaan f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Kita mempunyai f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Menempatkan x=c3 pada persamaan terakhir, dengan mempertimbangkan fakta bahwa f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, kita memperoleh bahwa c3 adalah akar dari polinomial s 2 (x). Artinya s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), lalu f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), dst. sisa akar c4, c5, ..., cm, akhirnya kita peroleh f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), yaitu pernyataan yang dirumuskan di bawah ini terbukti.

Jika с1, с2, …, сm adalah akar-akar polinomial f (x) yang berbeda, maka f (x) dapat direpresentasikan sebagai f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x ). Akibat wajar yang penting muncul dari hal ini. Jika c1, c2, ..., cm adalah akar-akar polinomial f(x) yang berbeda, maka f(x) habis dibagi polinomial (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Banyaknya akar-akar berbeda dari polinomial bukan nol f (x) tidak lebih besar dari derajatnya. Memang benar, jika f(x) tidak mempunyai akar, maka teorema tersebut jelas benar, karena seni. f(x) ≥ 0. Misalkan f(x) mempunyai m akar с1, с2, …, сm, dan semuanya berbeda. Kemudian, berdasarkan bukti tadi, f(x) dibagi menjadi (x-c1) (x -c2)…(x-cm). Dalam hal ini, Seni. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= st. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m, yaitu seni. f(x)≥m, dan m adalah banyaknya akar polinomial yang dimaksud. Tetapi polinomial nol memiliki banyak akar yang tak terhingga, karena nilainya untuk setiap x sama dengan 0. Khususnya, karena alasan ini, tidak ditentukan derajat tertentu. Pernyataan berikut mengikuti teorema yang baru saja dibuktikan.

Jika suatu polinomial f(x) bukan merupakan polinomial yang berderajat lebih besar dari n dan mempunyai lebih dari n akar, maka f(x) adalah polinomial nol. Faktanya, dari ketentuan pernyataan ini dapat disimpulkan bahwa f(x) adalah polinomial nol, atau Art. f (x) ≤n. Jika kita berasumsi bahwa polinomial f(x) bukan nol, maka Art. f (x) ≤n, dan f (x) mempunyai paling banyak n akar. Kita sampai pada suatu kontradiksi. Artinya f(x) adalah polinomial bukan nol. Misalkan f (x) dan g (x) adalah polinomial bukan nol yang berderajat paling banyak n. Jika polinomial ini mempunyai nilai yang sama untuk n+1 nilai variabel x, maka f(x) =g(x).

Untuk membuktikannya, perhatikan polinomial h (x) =f (x) - g (x). Jelas bahwa h (x) =0 atau st. h (x) ≤n, yaitu h (x) bukan polinomial yang derajatnya lebih besar dari n. Sekarang misalkan bilangan c sedemikian rupa sehingga f (c) = g (c). Maka h (c) = f (c) - g (c) = 0, yaitu c adalah akar dari polinomial h (x). Oleh karena itu, polinomial h (x) memiliki n+1 akar, dan ketika, seperti yang baru saja dibuktikan, h (x) =0, yaitu f (x) =g (x). Jika f(x) dan g(x) mengambil nilai yang sama untuk semua nilai variabel x, maka polinomial tersebut sama

Akar-akar ganda suatu polinomial Jika suatu bilangan c merupakan akar suatu polinomial f(x), maka polinomial tersebut diketahui habis dibagi x-c. Bisa jadi f(x) juga habis dibagi suatu pangkat polinomial x-c, yaitu dengan (x-c) k, k>1. Dalam hal ini, c disebut akar ganda. Mari kita rumuskan definisinya dengan lebih jelas. Suatu bilangan c disebut akar multiplisitas k (k-fold root) dari suatu polinomial f(x) jika polinomial tersebut habis dibagi (x - c) k, k>1 (k adalah bilangan asli), tetapi tidak habis dibagi oleh (x - c) k+ 1. Jika k=1, maka c disebut akar sederhana, dan jika k>1, maka disebut akar kelipatan dari polinomial f(x).

Jika polinomial f(x) direpresentasikan sebagai f(x)=(x-c)mg(x), m adalah bilangan asli, maka bilangan tersebut habis dibagi (x-c) m+1 jika dan hanya jika g(x) habis dibagi pada x-s. Faktanya, jika g(x) habis dibagi x-c, yaitu g(x)=(x-c)s(x), maka f(x)=(x-c) m+1 s(x), dan ini berarti f(x ) habis dibagi (x-c) m+1. Sebaliknya jika f(x) habis dibagi (x-c) m+1, maka f(x)=(x-c) m+1 s(x). Kemudian (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) dan setelah direduksi sebesar (x-c)m kita mendapatkan g(x)=(x-c)s(x). Oleh karena itu g(x) habis dibagi x-c.

Mari kita cari tahu, misalnya, apakah bilangan 2 merupakan akar dari polinomial f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, dan jika iya, carilah multiplisitasnya. Untuk menjawab pertanyaan pertama, mari kita periksa menggunakan rangkaian Horner apakah f(x) habis dibagi x-2. kita punya: Tabel 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Seperti yang Anda lihat, sisa pembagian f(x) dengan x-2 sama dengan 0, yaitu dibagi x-2. Artinya 2 adalah akar dari polinomial tersebut. Selain itu, kita mendapatkan f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Sekarang mari kita cari tahu apakah f(x) ada di (x-2) 2. Hal ini bergantung, seperti yang baru saja kita buktikan, pada pembagian polinomial g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x -12 kali x-2.

Mari kita gunakan skema Horner lagi: Tabel 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Diketahui bahwa g(x) habis dibagi x-2 dan g(x)=(x-2)( x 3 -x 2 -5 x+6). Maka f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Jadi f(x) habis dibagi (x-2)2, sekarang kita perlu mencari tahu apakah f(x) habis dibagi (x-2)3. Untuk melakukannya, mari kita periksa apakah h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 habis dibagi x-2: Tabel 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Kita mengetahui bahwa h(x ) habis dibagi x-2, artinya f(x) habis dibagi (x-2) 3, dan f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Selanjutnya kita periksa juga apakah f(x) habis dibagi (x-2)4, yaitu apakah s(x)=x 2+x-3 habis dibagi x-2: Tabel 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Kita mengetahui bahwa sisa pembagian s(x) dengan x-2 sama dengan 3, yaitu s(x) tidak habis dibagi x-2. Artinya f(x) tidak habis dibagi (x-2)4, jadi f(x) habis dibagi (x-2)3 tetapi tidak habis dibagi (x-2)4. Oleh karena itu, bilangan 2 merupakan akar multiplisitas 3 dari polinomial f(x).

Biasanya, pemeriksaan multiplisitas root dilakukan dalam satu tabel. Untuk contohnya, tabelnya terlihat seperti ini: Tabel 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Dengan kata lain, menurut skema pembagian polinomial f(x) Horner dengan x-2, pada baris kedua kita mendapatkan koefisien polinomial g(x). Kemudian kita anggap baris kedua ini sebagai baris pertama sistem Horner yang baru dan bagi g(x) dengan x-2, dst. Kita lanjutkan perhitungan hingga diperoleh sisa yang bukan nol. Dalam hal ini, banyaknya akar sama dengan jumlah nol residu yang diperoleh. Garis yang memuat sisa bukan nol terakhir juga memuat koefisien hasil bagi ketika f (x) dibagi (x-2) 3.

Sekarang, dengan menggunakan skema yang baru saja diusulkan untuk memeriksa multiplisitas akar, kita akan menyelesaikan masalah berikut. Untuk a dan b apakah polinomial f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 mempunyai bilangan - 2 sebagai akar kelipatan 2? Karena multiplisitas akar - 2 harus sama dengan 2, maka ketika membagi dengan x+2 sesuai dengan skema yang diusulkan, kita harus mendapatkan sisa 0 dua kali, dan untuk ketiga kalinya - sisa selain nol. Kita mempunyai: Tabel 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Jadi, bilangan - 2 adalah akar multiplisitas 2 dari polinomial asal jika dan hanya jika

Akar rasional suatu polinomial Jika pecahan tak tersederhanakan l/m (l, m adalah bilangan bulat) adalah akar dari suatu polinomial f (x) dengan koefisien bilangan bulat, maka koefisien utama polinomial tersebut dibagi dengan m, dan suku bebasnya adalah dibagi 1. Memang, jika f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, di mana an, an-1, . . . , a 1, a 0 adalah bilangan bulat, maka f(l/m) =0, yaitu an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Mari kalikan kedua ruas persamaan ini dengan mn. Kita peroleh anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Ini menyiratkan anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Kita melihat bahwa bilangan bulat anln habis dibagi m. Tetapi l/m adalah pecahan tak tereduksi, yaitu bilangan l dan m adalah koprima, dan kemudian, seperti diketahui dari teori pembagian bilangan bulat, bilangan ln dan m juga koprima. Jadi, anln habis dibagi m dan m koprima dengan ln, artinya an habis dibagi m. Mari kita cari akar rasional polinomial f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. Menurut teorema, akar-akar rasional polinomial ini termasuk pecahan tak tereduksi berbentuk l/m, dengan l adalah pembagi suku bebas a 0=8, dan m adalah pembagi koefisien utama a 4=6 . Selain itu, jika pecahan l/m negatif, maka pembilangnya diberi tanda “-”. Misalnya, - (1/3) = (-1) /3. Jadi kita dapat mengatakan bahwa l adalah pembagi dari angka 8, dan m adalah pembagi positif dari angka 6.

Karena pembagi bilangan 8 adalah ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, dan pembagi positif bilangan 6 adalah 1, 2, 3, 6, maka akar-akar rasional polinomial yang dimaksud adalah di antara bilangan-bilangan tersebut. ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Ingatlah bahwa kita hanya menuliskan pecahan tak tereduksi. Jadi, kita memiliki dua puluh angka - "kandidat" untuk akar. Yang tersisa hanyalah memeriksa masing-masing dan memilih yang benar-benar berakar. teorema berikut menyederhanakan pekerjaan ini. Jika pecahan tak tersederhanakan l/m adalah akar polinomial f (x) dengan koefisien bilangan bulat, maka f (k) habis dibagi l-km untuk sembarang bilangan bulat k, asalkan l-km≠ 0.

Untuk membuktikan teorema ini, bagi f(x) dengan x-k dengan sisa. Kita peroleh f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Karena f(x) adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat, maka polinomial s(x) juga merupakan polinomial, dan f(k) adalah bilangan bulat. Misalkan s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Maka f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). Mari kita masukkan 1 x=l/m ke dalam persamaan ini. Mengingat f(l/m)=0, kita mendapatkan f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Mari kalikan kedua ruas persamaan terakhir dengan mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Oleh karena itu bilangan bulat mnf (k) habis dibagi l-km. Namun karena l dan m koprima, maka mn dan l-km juga koprima, artinya f(k) habis dibagi l-km. Teorema tersebut telah terbukti.

Mari kita kembali ke contoh kita dan, dengan menggunakan teorema yang telah terbukti, kita akan semakin mempersempit jangkauan pencarian akar rasional. Mari kita terapkan teorema ini untuk k=1 dan k=-1, yaitu jika pecahan tak tereduksi l/m adalah akar polinomial f(x), maka f(1)/(l-m), dan f(-1) /(aku +m). Kita dengan mudah menemukannya dalam kasus kita f(1)=-5, dan f(-1)= -15. Perhatikan bahwa pada saat yang sama kita mengecualikan ± 1 dari pertimbangan. Jadi, akar rasional polinomial kita harus dicari di antara bilangan ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Misalkan l/m=1/2. Maka l-m=-1 dan f(1) =-5 dibagi dengan bilangan tersebut. Selanjutnya, l+m=3 dan f (1) =-15 juga habis dibagi 3. Artinya, pecahan 1/2 tetap berada di antara “calon” akar.

Misalkan sekarang lm=-(1/2)=(-1)/2. Dalam hal ini, l-m=-3 dan f (1) =-5 tidak habis dibagi - 3. Artinya pecahan -1/2 tidak dapat menjadi akar dari polinomial ini, dan kita mengecualikannya dari pertimbangan lebih lanjut. Mari kita periksa setiap pecahan yang tertulis di atas dan temukan bahwa akar-akar yang diperlukan ada di antara bilangan 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Jadi, dengan menggunakan teknik yang cukup sederhana, kita telah mempersempit area pencarian bilangan rasional secara signifikan. akar polinomial yang bersangkutan. Nah, untuk mengecek sisa angkanya, kita gunakan skema Horner: Tabel 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Kita melihat bahwa 1/2 adalah akar dari polinomial f(x) dan f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Jelas bahwa semua akar polinomial f (x) lainnya bertepatan dengan akar-akar polinomial g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, yang berarti verifikasi lebih lanjut terhadap “kandidat” akar dapat dilakukan untuk polinomial ini. Kita temukan: Tabel 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Kita temukan bahwa sisa pembagian g(x) dengan x-2/3 sama dengan - 80/9, yaitu 2/3 bukan merupakan akar dari polinomial g(x), dan oleh karena itu f(x) juga bukan akar. Selanjutnya kita temukan bahwa - 2/3 adalah akar dari polinomial g(x) dan g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).

Maka f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Verifikasi lebih lanjut dapat dilakukan untuk polinomial x 2+2 x-4, yang tentu saja lebih sederhana daripada g (x) atau, terlebih lagi, untuk f (x). Hasilnya, kita menemukan bahwa bilangan 2 dan - 4 bukanlah akar. Jadi, polinomial f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 mempunyai dua akar rasional: 1/2 dan - 2/3. Metode ini memungkinkan untuk menemukan hanya akar rasional dari suatu polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Sementara itu, polinomial juga dapat memiliki akar-akar irasional. Jadi, misalnya, polinomial yang dibahas dalam contoh ini memiliki dua akar lagi: - 1±√ 5 (ini adalah akar-akar polinomial x2+2 x-4). polinomial mungkin tidak memiliki akar rasional sama sekali.

Saat menguji akar “kandidat” dari polinomial f(x) menggunakan teorema kedua yang dibuktikan di atas, teorema kedua biasanya digunakan untuk kasus k = ± 1. Dengan kata lain, jika l/m adalah akar “kandidat”, maka periksa apakah f( 1) dan f (-1) masing-masing sebesar l-m dan l+m. Namun mungkin saja, misalnya, f(1) =0, yaitu 1 adalah akar, lalu f(1) habis dibagi bilangan apa pun, dan pengecekan kita menjadi tidak ada artinya. Dalam hal ini, Anda harus membagi f(x) dengan x-1, yaitu mendapatkan f(x)=(x-1)s(x), dan menguji polinomial s(x). Pada saat yang sama, kita tidak boleh lupa bahwa kita telah menemukan satu akar polinomial f(x)-x 1=1. Jika kita memeriksa “kandidat” akar-akar yang tersisa setelah menggunakan teorema kedua tentang akar-akar rasional, dengan menggunakan skema Horner, kita menemukan bahwa, misalnya, l/m adalah sebuah akar, maka multiplisitasnya harus dicari. Jika sama dengan, katakanlah, k, maka f(x)=(x-l/m) ks (x), dan pengujian lebih lanjut dapat dilakukan pada s(x), sehingga mengurangi komputasi.

Larutan. Setelah mengganti variabel y=2 x, kita beralih ke polinomial dengan koefisien sama dengan satu pada derajat tertinggi. Untuk melakukannya, pertama-tama kalikan ekspresi tersebut dengan 4. Jika fungsi yang dihasilkan memiliki akar bilangan bulat, maka fungsi tersebut termasuk di antara pembagi suku bebasnya. Mari kita tuliskan: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60

Mari kita hitung secara berurutan nilai fungsi g(y) pada titik-titik tersebut hingga mencapai nol. Artinya, y=-5 adalah akar dan karenanya merupakan akar dari fungsi aslinya. Mari kita bagi polinomial dengan binomial menggunakan kolom (sudut)

Tidak disarankan untuk terus memeriksa pembagi yang tersisa, karena lebih mudah untuk memfaktorkan trinomial kuadrat yang dihasilkan.

Menggunakan Rumus Perkalian Singkatan dan Binomial Newton untuk Memfaktorkan Polinomial Terkadang kemunculan polinomial menunjukkan cara untuk memfaktorkannya. Misalnya, setelah transformasi sederhana, koefisien-koefisien disejajarkan dalam garis dari segitiga Pascal untuk koefisien binomial Newton. Contoh. Faktorkan polinomialnya.

Larutan. Mari kita ubah persamaannya menjadi bentuk: Barisan koefisien penjumlahan dalam tanda kurung dengan jelas menunjukkan bahwa ini adalah Oleh karena itu, Sekarang kita terapkan rumus selisih kuadrat: Ekspresi dalam tanda kurung kedua tidak memiliki akar real, dan untuk polinomial dari braket pertama kita sekali lagi menerapkan rumus selisih kuadrat

Rumus Vieta yang menyatakan koefisien suatu polinomial melalui akar-akarnya. Rumus ini mudah digunakan untuk memeriksa kebenaran pencarian akar-akar suatu polinomial, serta untuk menyusun polinomial berdasarkan akar-akarnya. Rumusan Jika merupakan akar-akar suatu polinomial, maka koefisiennya dinyatakan dalam bentuk polinomial simetris dari akar-akarnya, yaitu

Dengan kata lain, ak sama dengan jumlah semua hasil kali k akar-akar yang mungkin. Jika koefisien utama adalah polinomial, maka untuk menerapkan rumus Vieta, semua koefisien harus dibagi terlebih dahulu dengan 0. Dalam hal ini, rumus Vieta memberikan ekspresi rasio semua koefisien terhadap koefisien utama. Dari rumus terakhir Vieta dapat disimpulkan bahwa jika akar-akar suatu polinomial adalah bilangan bulat, maka akar-akar tersebut adalah pembagi suku bebasnya, yang juga bilangan bulat. Pembuktiannya dilakukan dengan mempertimbangkan persamaan yang diperoleh dengan memperluas polinomial dengan akar-akarnya, dengan memperhatikan bahwa a 0 = 1 Menyamakan koefisien pada pangkat x yang sama, kita memperoleh rumus Vieta.

Selesaikan persamaan x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Solusi. Mari kita nyatakan y = x 3, maka persamaan aslinya berbentuk y 2 – 5 y + 4 = 0, penyelesaiannya kita peroleh Y 1 = 1; Y 2 = 4. Jadi persamaan aslinya ekuivalen dengan himpunan persamaan: x 3 = 1 atau x 3 = 4, yaitu X 1 = 1 atau X 2 = Jawaban: 1;

Definisi Teorema Bezout 1. Suatu unsur disebut akar suatu polinomial jika f(c)=0. teorema Bezout. Sisa pembagian polinomial Pn(x) dengan binomial (xa) sama dengan nilai polinomial tersebut di x = a. Bukti. Berdasarkan algoritma pembagian, f(x)=(xc)q(x)+r(x), di mana r(x)=0, atau, dan oleh karena itu. Jadi f(x)=(x-c)q(x)+r, maka f(c)=(c-c)q(c)+r=r, dan oleh karena itu f(x)=(xc)q(x) +f (C).

Akibat wajar 1: Sisa pembagian polinomial Pn (x) dengan binomial ax+b sama dengan nilai polinomial ini di x = -b/a, yaitu R=Pn (-b/a). Akibat wajar 2: Jika bilangan a adalah akar dari polinomial P (x), maka polinomial tersebut habis dibagi (x-a) tanpa sisa. Akibat wajar 3: Jika polinomial P(x) mempunyai akar-akar berbeda berpasangan a 1 , a 2 , ... , an, maka polinomial tersebut dibagi dengan hasil kali (x-a 1) ... (x-an) tanpa sisa. Akibat wajar 4: Polinomial berderajat n mempunyai paling banyak n akar yang berbeda. Akibat wajar 5: Untuk sembarang polinomial P(x) dan bilangan a, selisih (P(x)-P(a)) habis dibagi binomial (xa) tanpa sisa. Akibat wajar 6: Suatu bilangan a adalah akar suatu polinomial P(x) berderajat paling sedikit pertama jika dan hanya jika P(x) habis dibagi (xa) tanpa sisa.

Penguraian pecahan rasional menjadi pecahan sederhana Mari kita tunjukkan bahwa pecahan rasional apa pun dapat diuraikan menjadi jumlah pecahan sederhana. Biarkan pecahan rasional yang tepat (1) diberikan.

Teorema 1. Misalkan x=a adalah akar penyebut singkatnya k, yaitu di mana f(a)≠ 0, maka pecahan biasa ini dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua pecahan biasa lainnya sebagai berikut: (2) , di mana A adalah konstanta yang tidak sama dengan nol, dan F 1(x) adalah polinomial yang derajatnya lebih kecil dari derajat penyebutnya