Menyusun model matematika. Model matematika dalam praktiknya Jenis model matematika apa yang menggunakan algoritma

Pemodelan matematika

1. Apa yang dimaksud dengan pemodelan matematika?

Sejak pertengahan abad ke-20. Metode matematika dan komputer mulai banyak digunakan dalam berbagai bidang aktivitas manusia. Disiplin ilmu baru telah muncul seperti “ekonomi matematika”, “kimia matematika”, “linguistik matematika”, dll., mempelajari model matematika dari objek dan fenomena yang relevan, serta metode untuk mempelajari model tersebut.

Model matematika adalah deskripsi perkiraan dari setiap kelas fenomena atau objek di dunia nyata dalam bahasa matematika. Tujuan utama pemodelan adalah untuk mengeksplorasi objek-objek tersebut dan memprediksi hasil pengamatan di masa depan. Namun, pemodelan juga merupakan metode memahami dunia di sekitar kita, sehingga memungkinkan untuk mengendalikannya.

Pemodelan matematika dan eksperimen komputer yang terkait sangat diperlukan dalam kasus di mana eksperimen skala penuh tidak mungkin atau sulit karena satu dan lain alasan. Misalnya, tidak mungkin melakukan eksperimen alam dalam sejarah untuk memeriksa “apa yang akan terjadi jika…” Tidak mungkin untuk memeriksa kebenaran satu atau beberapa teori kosmologis. Ada kemungkinan, namun tidak masuk akal, untuk bereksperimen dengan penyebaran suatu penyakit, seperti wabah penyakit, atau melakukan ledakan nuklir untuk mempelajari konsekuensinya. Namun, semua ini dapat dilakukan di komputer dengan terlebih dahulu membuat model matematika dari fenomena yang sedang dipelajari.

2. Tahapan utama pemodelan matematika

1) Bangunan model. Pada tahap ini, beberapa objek "non-matematis" ditentukan - fenomena alam, desain, rencana ekonomi, proses produksi, dll. Dalam hal ini, sebagai suatu peraturan, sulit untuk menggambarkan situasinya dengan jelas. Pertama, ciri-ciri utama dari fenomena tersebut dan hubungan antara keduanya pada tingkat kualitatif diidentifikasi. Kemudian ketergantungan kualitatif yang ditemukan dirumuskan dalam bahasa matematika, yaitu dibangun model matematika. Ini adalah tahap pemodelan yang paling sulit.

2) Memecahkan masalah matematika yang dituju oleh model tersebut. Pada tahap ini, banyak perhatian diberikan pada pengembangan algoritma dan metode numerik untuk memecahkan masalah di komputer, yang dengannya hasilnya dapat ditemukan dengan akurasi yang diperlukan dan dalam waktu yang dapat diterima.

3) Interpretasi terhadap konsekuensi yang diperoleh dari model matematika. Konsekuensi yang diperoleh dari model dalam bahasa matematika diinterpretasikan dalam bahasa yang diterima di lapangan.

4) Memeriksa kecukupan model. Pada tahap ini ditentukan apakah hasil eksperimen sesuai dengan konsekuensi teoritis model dalam akurasi tertentu.

5) Modifikasi model. Pada tahap ini, model diperumit agar lebih sesuai dengan kenyataan, atau disederhanakan untuk mencapai solusi yang dapat diterima secara praktis.

3. Klasifikasi model

Model dapat diklasifikasikan menurut kriteria yang berbeda. Misalnya, menurut sifat masalah yang dipecahkan, model dapat dibagi menjadi fungsional dan struktural. Dalam kasus pertama, semua besaran yang mencirikan suatu fenomena atau objek dinyatakan secara kuantitatif. Dalam hal ini, beberapa di antaranya dianggap sebagai variabel bebas, sementara yang lain dianggap sebagai fungsi dari besaran-besaran tersebut. Model matematika biasanya merupakan sistem persamaan dari berbagai jenis (diferensial, aljabar, dll.) yang menetapkan hubungan kuantitatif antara besaran yang dipertimbangkan. Dalam kasus kedua, model mencirikan struktur objek kompleks yang terdiri dari bagian-bagian individual, di antaranya terdapat hubungan tertentu. Biasanya, hubungan ini tidak dapat diukur. Untuk membangun model seperti itu, akan lebih mudah untuk menggunakan teori grafik. Graf adalah suatu objek matematika yang menyatakan himpunan titik-titik (simpul) pada suatu bidang atau ruang, yang sebagian dihubungkan oleh garis (tepi).

Berdasarkan sifat data awal dan hasil, model prediksi dapat dibagi menjadi deterministik dan probabilistik-statistik. Model tipe pertama menghasilkan prediksi yang pasti dan tidak ambigu. Model tipe kedua didasarkan pada informasi statistik, dan prediksi yang diperoleh dengan bantuannya bersifat probabilistik.

4. Contoh model matematika

1) Soal gerak proyektil.

Perhatikan permasalahan mekanika berikut.

Proyektil diluncurkan dari Bumi dengan kecepatan awal v 0 = 30 m/s dengan sudut a = 45° terhadap permukaannya; diperlukan untuk mencari lintasan pergerakannya dan jarak S antara titik awal dan akhir lintasan tersebut.

Kemudian, sebagaimana diketahui dari mata pelajaran fisika sekolah, gerak proyektil dijelaskan dengan rumus:

dimana t adalah waktu, g = 10 m/s 2 adalah percepatan gravitasi. Rumus ini memberikan model matematis dari permasalahan tersebut. Menyatakan t melalui x dari persamaan pertama dan mensubstitusikannya ke persamaan kedua, kita memperoleh persamaan lintasan proyektil:

Kurva (parabola) ini memotong sumbu x di dua titik: x 1 = 0 (awal lintasan) dan (tempat jatuhnya proyektil). Mengganti nilai v0 dan a yang diberikan ke dalam rumus yang dihasilkan, kita memperoleh

jawaban: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Perhatikan bahwa ketika membangun model ini, sejumlah asumsi digunakan: misalnya, diasumsikan bahwa Bumi datar, dan udara serta rotasi Bumi tidak mempengaruhi pergerakan proyektil.

2) Soal tentang tangki dengan luas permukaan terkecil.

Diperlukan untuk mencari tinggi h 0 dan jari-jari r 0 sebuah tangki timah dengan volume V = 30 m 3, berbentuk silinder melingkar tertutup, yang luas permukaannya S minimal (dalam hal ini, paling kecil jumlah timah yang akan digunakan untuk produksinya).

Mari kita tuliskan rumus volume dan luas permukaan silinder dengan tinggi h dan jari-jari r berikut ini:

V = p r 2 jam, S = 2p r(r + jam).

Mengekspresikan h melalui r dan V dari rumus pertama dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam rumus kedua, kita memperoleh:

Jadi, dari sudut pandang matematika, masalahnya adalah menentukan nilai r ketika fungsi S(r) mencapai nilai minimumnya. Mari kita cari nilai r 0 yang merupakan turunannya

menjadi nol: Anda dapat memeriksa bahwa turunan kedua dari fungsi S(r) berubah tanda dari minus menjadi plus ketika argumen r melewati titik r 0 . Akibatnya, pada titik r0 fungsi S(r) mempunyai nilai minimum. Nilai yang sesuai adalah h 0 = 2r 0 . Mengganti nilai V yang diberikan ke dalam ekspresi r 0 dan h 0, kita memperoleh radius yang diinginkan dan tinggi badan

3) Masalah transportasi.

Kota ini memiliki dua gudang tepung dan dua toko roti. Setiap hari, 50 ton tepung diangkut dari gudang pertama, dan 70 ton dari gudang kedua ke pabrik, 40 ton ke gudang pertama, dan 80 ton ke pabrik kedua.

Mari kita nyatakan dengan A ij adalah biaya pengangkutan 1 ton tepung dari gudang ke-i ke pabrik ke-j (i, j = 1.2). Membiarkan

A 11 = 1,2 rubel, A 12 = 1,6 rubel, A 21 = 0,8 gosok., A 22 = 1 gosok.

Bagaimana seharusnya transportasi direncanakan agar biayanya minimal?

Mari kita berikan rumusan matematis pada masalahnya. Mari kita nyatakan dengan x 1 dan x 2 jumlah tepung yang harus diangkut dari gudang pertama ke pabrik pertama dan kedua, dan dengan x 3 dan x 4 - dari gudang kedua ke pabrik pertama dan kedua. Kemudian:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Total biaya seluruh transportasi ditentukan oleh rumus

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

Dari sudut pandang matematika, masalahnya adalah menemukan empat bilangan x 1, x 2, x 3 dan x 4 yang memenuhi semua kondisi tertentu dan memberikan fungsi minimum f. Mari kita selesaikan sistem persamaan (1) untuk xi (i = 1, 2, 3, 4) dengan menghilangkan yang tidak diketahui. Kami mengerti

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

dan x 4 tidak dapat ditentukan secara unik. Karena x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), maka dari persamaan (2) diperoleh bahwa 30Ј x 4 Ј 70. Substitusikan persamaan x 1, x 2, x 3 ke dalam rumus f, kita peroleh

f = 148 – 0,2x 4.

Sangat mudah untuk melihat bahwa nilai minimum dari fungsi ini dicapai pada nilai maksimum yang mungkin dari x 4, yaitu pada x 4 = 70. Nilai-nilai yang sesuai dari hal-hal lain yang tidak diketahui ditentukan oleh rumus (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Masalah peluruhan radioaktif.

Misalkan N(0) adalah jumlah awal atom suatu zat radioaktif, dan N(t) adalah jumlah atom yang tidak membusuk pada waktu t. Telah ditetapkan secara eksperimental bahwa laju perubahan jumlah atom N"(t) sebanding dengan N(t), yaitu, N"(t)=–l N(t), l >0 adalah konstanta radioaktivitas suatu zat. Dalam mata pelajaran analisis matematis sekolah ditunjukkan bahwa penyelesaian persamaan diferensial ini berbentuk N(t) = N(0)e –l t. Waktu T di mana jumlah atom awal berkurang setengahnya disebut waktu paruh, dan merupakan karakteristik penting dari radioaktivitas suatu zat. Untuk menentukan T, kita harus memasukkan rumusnya Kemudian Misalnya, untuk radon l = 2,084 · 10 –6, maka T = 3,15 hari.

5) Masalah penjual keliling.

Seorang penjual keliling yang tinggal di kota A 1 perlu mengunjungi kota A 2 , A 3 dan A 4 , masing-masing kota tepat satu kali, dan kemudian kembali ke A 1 . Diketahui semua kota dihubungkan berpasangan melalui jalan raya, dan panjang jalan b ij antara kota A i dan A j (i, j = 1, 2, 3, 4) adalah sebagai berikut:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Penting untuk menentukan urutan kota yang dikunjungi yang panjang jalurnya minimal.

Mari kita gambarkan setiap kota sebagai sebuah titik pada bidang dan tandai dengan label yang sesuai Ai (i = 1, 2, 3, 4). Mari kita hubungkan titik-titik ini dengan garis lurus: titik-titik tersebut akan mewakili jalan antar kota. Untuk setiap “jalan” kami menunjukkan panjangnya dalam kilometer (Gbr. 2). Hasilnya adalah grafik - objek matematika yang terdiri dari sekumpulan titik tertentu pada bidang (disebut simpul) dan sekumpulan garis tertentu yang menghubungkan titik-titik tersebut (disebut tepi). Selain itu, graf ini diberi label, karena simpul dan sisinya diberi label tertentu - angka (tepi) atau simbol (simpul). Suatu siklus pada suatu graf adalah barisan simpul-simpul V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 sedemikian rupa sehingga simpul-simpul V 1 , ..., V k berbeda, dan setiap pasangan simpul V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) dan pasangan V 1, V k dihubungkan oleh sebuah rusuk. Jadi, masalah yang dibahas adalah menemukan siklus pada graf yang melewati keempat simpul yang jumlah seluruh bobot sisinya minimal. Mari kita telusuri semua siklus berbeda yang melewati empat simpul dan dimulai dari A 1:

1) SEBUAH 1, SEBUAH 4, SEBUAH 3, SEBUAH 2, SEBUAH 1;
2) SEBUAH 1, SEBUAH 3, SEBUAH 2, SEBUAH 4, SEBUAH 1;
3) SEBUAH 1, SEBUAH 3, SEBUAH 4, SEBUAH 2, SEBUAH 1.

Sekarang mari kita cari panjang siklus berikut (dalam km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Jadi, lintasan yang paling pendek adalah yang pertama.

Perhatikan bahwa jika ada n simpul dalam suatu graf dan semua simpul terhubung berpasangan oleh sisi-sisinya (graf seperti itu disebut lengkap), maka jumlah siklus yang melewati semua simpul adalah Oleh karena itu, dalam kasus kita terdapat tepat tiga siklus.

6) Masalah menemukan hubungan antara struktur dan sifat-sifat zat.

Mari kita lihat beberapa senyawa kimia yang disebut alkana normal. Mereka terdiri dari n atom karbon dan n + 2 atom hidrogen (n = 1, 2 ...), saling berhubungan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3 untuk n = 3. Diketahui nilai percobaan titik didih senyawa-senyawa ini:

kamu (3) = – 42°, kamu (4) = 0°, kamu (5) = 28°, kamu (6) = 69°.

Diperlukan untuk menemukan perkiraan hubungan antara titik didih dan angka n untuk senyawa-senyawa ini. Mari kita asumsikan bahwa ketergantungan ini mempunyai bentuk

kamu" A n+b,

Di mana A, b - konstanta yang akan ditentukan. Mencari A dan b kita substitusikan ke dalam rumus ini secara berurutan n = 3, 4, 5, 6 dan nilai titik didih yang sesuai. Kita punya:

– 42 » 3 A+ b, 0 » 4 A+ b, 28 » 5 A+ b, 69 » 6 A+ b.

Untuk menentukan yang terbaik A dan b ada banyak metode yang berbeda. Mari kita gunakan yang paling sederhana. Mari kita ungkapkan b melalui A dari persamaan ini:

b » – 42 – 3 A, B " – 4 A, b » 28 – 5 A, b » 69 – 6 A.

Mari kita ambil mean aritmatika dari nilai-nilai ini sebagai b yang diinginkan, yaitu kita masukkan b » 16 – 4.5 A. Mari kita substitusikan nilai b ini ke dalam sistem persamaan asli dan, hitung A, kami mengerti A nilai-nilai berikut: A» 37, A» 28, A» 28, A" 36. Mari kita ambil sesuai kebutuhan A nilai rata-rata dari angka-angka ini, yaitu, katakanlah A" 34. Jadi, persamaan yang diperlukan mempunyai bentuk

kamu » 34n – 139.

Mari kita periksa keakuratan model keempat senyawa asli, yang titik didihnya kita hitung menggunakan rumus yang dihasilkan:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Jadi, kesalahan dalam menghitung sifat senyawa ini tidak melebihi 5°. Kita menggunakan persamaan yang dihasilkan untuk menghitung titik didih suatu senyawa dengan n = 7, yang tidak termasuk dalam himpunan aslinya, lalu kita substitusikan n = 7 ke dalam persamaan ini: y р (7) = 99°. Hasilnya cukup akurat: diketahui nilai percobaan titik didih y e (7) = 98°.

7) Masalah penentuan keandalan suatu rangkaian listrik.

Di sini kita akan melihat contoh model probabilistik. Pertama, kami menyajikan beberapa informasi dari teori probabilitas - suatu disiplin matematika yang mempelajari pola fenomena acak yang diamati selama pengulangan percobaan yang berulang-ulang. Mari kita sebut kejadian acak A sebagai hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Peristiwa A 1, ..., A k membentuk kelompok lengkap jika salah satunya terjadi sebagai hasil percobaan. Peristiwa disebut tidak sesuai jika tidak dapat terjadi secara bersamaan dalam satu pengalaman. Misalkan kejadian A terjadi m kali selama percobaan diulang sebanyak n kali. Frekuensi kejadian A adalah bilangan W = . Jelasnya, nilai W tidak dapat diprediksi secara akurat sampai serangkaian n percobaan dilakukan. Namun, sifat kejadian acak sedemikian rupa sehingga dalam praktiknya efek berikut kadang-kadang diamati: ketika jumlah percobaan meningkat, nilainya praktis tidak lagi bersifat acak dan stabil di sekitar bilangan non-acak P(A), yang disebut probabilitas kejadian A. Untuk kejadian mustahil (yang tidak pernah terjadi dalam percobaan) P(A)=0, dan untuk kejadian yang dapat diandalkan (yang selalu terjadi dalam percobaan) P(A)=1. Jika kejadian A 1 , ..., A k membentuk kelompok lengkap kejadian-kejadian tak serasi, maka P(A 1)+...+P(A k)=1.

Misalkan percobaannya terdiri dari pelemparan sebuah dadu dan mengamati banyaknya titik X yang dilempar. Maka kita dapat memasukkan kejadian acak berikut A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Mereka membentuk kelompok lengkap kejadian-kejadian yang sama-sama mungkin tidak kompatibel, oleh karena itu P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Jumlah kejadian A dan B adalah kejadian A + B, yang terdiri dari fakta bahwa paling sedikit salah satu kejadian tersebut terjadi dalam pengalaman. Hasil kali kejadian A dan B adalah kejadian AB yang terdiri dari kejadian-kejadian tersebut yang terjadi secara bersamaan. Untuk kejadian bebas A dan B, rumus berikut ini benar:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Sekarang mari kita perhatikan hal berikut tugas. Mari kita asumsikan bahwa tiga elemen dihubungkan secara seri ke suatu rangkaian listrik dan beroperasi secara independen satu sama lain. Peluang kegagalan elemen ke-1, ke-2, dan ke-3 masing-masing sama dengan P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Kami akan menganggap suatu rangkaian dapat diandalkan jika probabilitas tidak akan ada arus dalam rangkaian tidak lebih dari 0,4. Penting untuk menentukan apakah suatu rangkaian dapat diandalkan.

Karena elemen-elemen dihubungkan secara seri, tidak akan ada arus dalam rangkaian (peristiwa A) jika setidaknya salah satu elemen gagal. Misalkan A i adalah kejadian elemen ke-i bekerja (i = 1, 2, 3). Maka P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Jelasnya, A 1 A 2 A 3 adalah kejadian dimana ketiga unsur bekerja secara bersamaan, dan

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Maka P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, jadi P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa contoh model matematika di atas (termasuk fungsional dan struktural, deterministik dan probabilistik) bersifat ilustratif dan, jelas, tidak menghabiskan seluruh variasi model matematika yang muncul dalam ilmu alam dan humaniora.

Apa itu model matematika?

Konsep model matematika.

Model matematika adalah konsep yang sangat sederhana. Dan sangat penting. Model matematikalah yang menghubungkan matematika dan kehidupan nyata.

Secara sederhana, model matematika adalah deskripsi matematis dari situasi apa pun. Itu saja. Modelnya bisa primitif, atau bisa juga super kompleks. Apa pun situasinya, itulah modelnya.)

Dalam hal apa pun (saya ulangi - di mana saja!) dalam kasus di mana Anda perlu menghitung dan menghitung sesuatu - kami terlibat dalam pemodelan matematika. Bahkan jika kita tidak mencurigainya.)

P = 2 CB + 3 CM

Entri ini akan menjadi model matematika dari biaya pembelian kita. Model tidak memperhitungkan warna kemasan, tanggal kadaluwarsa, kesopanan kasir, dll. Itu sebabnya dia model, bukan pembelian sebenarnya. Tapi biaya, mis. apa yang kita butuhkan- kita akan mencari tahu dengan pasti. Tentu saja jika modelnya benar.

Memang berguna untuk membayangkan apa itu model matematika, tetapi itu saja tidak cukup. Yang terpenting adalah mampu membangun model-model tersebut.

Menyusun (membangun) model matematika dari suatu masalah.

Membuat model matematika berarti menerjemahkan kondisi permasalahan ke dalam bentuk matematika. Itu. mengubah kata menjadi persamaan, rumus, pertidaksamaan, dll. Selain itu, transformasikan sehingga matematika ini benar-benar sesuai dengan teks sumber. Jika tidak, kita akan mendapatkan model matematika dari beberapa masalah lain yang tidak kita ketahui.)

Lebih khusus lagi, Anda membutuhkannya

Ada banyak sekali tugas di dunia ini. Oleh karena itu, berikan petunjuk langkah demi langkah yang jelas untuk menyusun model matematika setiap tugas tidak mungkin.

Namun ada tiga poin utama yang perlu Anda perhatikan.

1. Masalah apa pun berisi teks, anehnya.) Teks ini biasanya berisi informasi yang eksplisit dan terbuka. Angka, nilai, dll.

2. Ada masalah apa pun informasi tersembunyi. Ini adalah teks yang mengasumsikan pengetahuan tambahan di kepala Anda. Tidak ada jalan tanpa mereka. Selain itu, informasi matematika sering kali tersembunyi di balik kata-kata sederhana dan... luput dari perhatian.

3. Tugas apa pun harus diberikan koneksi data satu sama lain. Hubungan ini dapat diberikan dalam teks biasa (sesuatu sama dengan sesuatu), atau dapat disembunyikan di balik kata-kata sederhana. Namun fakta yang sederhana dan jelas sering kali diabaikan. Dan modelnya tidak dikompilasi dengan cara apa pun.

Saya akan langsung mengatakan: untuk menerapkan ketiga poin ini, Anda harus membaca soal (dan hati-hati!) beberapa kali. Hal yang biasa.

Dan sekarang - contoh.

Mari kita mulai dengan masalah sederhana:

Petrovich kembali dari memancing dan dengan bangga mempersembahkan hasil tangkapannya kepada keluarganya. Setelah diteliti lebih dekat, ternyata 8 ikan tersebut berasal dari laut utara, 20% dari seluruh ikan tersebut berasal dari laut selatan, dan tidak ada satupun yang berasal dari sungai setempat tempat Petrovich memancing. Berapa banyak ikan yang dibeli Petrovich di toko Makanan Laut?

Semua kata-kata ini perlu diubah menjadi semacam persamaan. Untuk melakukan ini, Anda perlu, saya ulangi, membangun hubungan matematis antara semua data dalam soal.

Mulai dari mana? Pertama, mari kita ekstrak semua data dari tugas tersebut. Mari kita mulai secara berurutan:

Mari kita perhatikan poin pertama.

Yang mana di sini? eksplisit informasi matematika? 8 ikan dan 20%. Tidak banyak, tapi kita tidak perlu banyak.)

Mari kita perhatikan poin kedua.

Mencari tersembunyi informasi. Itu disini. Ini adalah kata-katanya: “20% dari seluruh ikan". Di sini Anda perlu memahami apa itu persentase dan bagaimana cara menghitungnya. Jika tidak, masalahnya tidak dapat diselesaikan. Inilah informasi tambahan yang harus ada di kepala Anda.

Ada juga matematis informasi yang sama sekali tidak terlihat. Ini pertanyaan tugas: "Berapa banyak ikan yang saya beli..." Ini juga sebuah angka. Dan tanpanya, tidak akan ada model yang terbentuk. Oleh karena itu, mari kita nyatakan angka ini dengan huruf "X". Kita belum tahu apa itu x, tapi sebutan ini akan sangat berguna bagi kita. Lebih jelasnya apa yang harus diambil untuk X dan cara mengatasinya tertulis pada pelajaran Bagaimana menyelesaikan masalah matematika? Yuk langsung tuliskan:

x potongan - jumlah total ikan.

Dalam soal kita, ikan selatan diberikan dalam persentase. Kita perlu mengubahnya menjadi beberapa bagian. Untuk apa? Lalu apa yang ada di dalamnya setiap masalah model harus disusun dalam jenis kuantitas yang sama. Potongan - jadi semuanya berkeping-keping. Jika diberikan, katakanlah, jam dan menit, kami menerjemahkan semuanya menjadi satu hal - baik hanya jam, atau hanya menit. Tidak peduli apa itu. Itu penting semua nilai memiliki tipe yang sama.

Mari kita kembali ke keterbukaan informasi. Siapa yang belum tahu berapa persentasenya, tidak akan pernah membeberkannya ya.. Namun siapa pun yang tahu akan langsung mengatakan bahwa persentase di sini berdasarkan jumlah ikan seluruhnya. Dan kami tidak mengetahui nomor ini. Tidak ada yang berhasil!

Bukan tanpa alasan kami menuliskan jumlah total ikan (dalam potongan!) "X" ditunjuk. Tidak mungkin menghitung ikan selatan menjadi beberapa bagian, tapi kita bisa menuliskannya? Seperti ini:

0,2 x potong - jumlah ikan dari laut selatan.

Sekarang kami telah mengunduh semua informasi dari tugas tersebut. Baik yang jelas maupun yang tersembunyi.

Mari kita perhatikan poin ketiga.

Mencari koneksi matematika antar data tugas. Koneksi ini sangat sederhana sehingga banyak yang tidak menyadarinya... Hal ini sering terjadi. Di sini berguna untuk sekadar menuliskan data yang dikumpulkan dalam satu tumpukan dan melihat apa itu.

Apa yang kita punya? Makan 8 buah ikan utara, 0,2 x potongan- ikan selatan dan x ikan- jumlah total. Apakah mungkin untuk menghubungkan data ini bersama-sama? Ya Mudah! Jumlah ikan seluruhnya sama jumlah selatan dan utara! Nah, siapa sangka...) Maka kita tuliskan:

x = 8 + 0,2x

Inilah persamaannya model matematika dari masalah kita.

Harap dicatat bahwa dalam masalah ini Kami tidak diminta melipat apa pun! Kami sendiri, tanpa sadar, menyadari bahwa jumlah ikan selatan dan utara akan memberi kami jumlah totalnya. Masalahnya begitu jelas sehingga luput dari perhatian. Namun tanpa bukti ini, model matematika tidak dapat dibuat. Seperti ini.

Sekarang Anda dapat menerapkan kekuatan penuh matematika untuk menyelesaikan persamaan ini). Inilah sebabnya mengapa model matematika disusun. Kami memecahkan persamaan linear ini dan mendapatkan jawabannya.

Menjawab: x=10

Mari kita buat model matematika dari soal lain:

Mereka bertanya kepada Petrovich: “Apakah Anda punya banyak uang?” Petrovich mulai menangis dan menjawab: “Ya, sedikit saja. Jika saya menghabiskan separuh dari seluruh uang, dan separuh sisanya, maka saya hanya akan mempunyai satu kantong uang yang tersisa…” Berapa banyak uang yang dimiliki Petrovich?

Sekali lagi kami bekerja poin demi poin.

1. Kami mencari informasi eksplisit. Anda tidak akan langsung menemukannya! Informasi eksplisit adalah satu tas uang. Ada beberapa bagian lainnya... Baiklah, kita akan membahasnya di paragraf kedua.

2. Kami mencari informasi tersembunyi. Ini adalah separuhnya. Apa? Tidak begitu jelas. Kami mencari lebih jauh. Ada pertanyaan tugas lain: "Berapa banyak uang yang dimiliki Petrovich?" Mari kita nyatakan jumlah uang dengan huruf "X":

X- semua uang

Dan sekali lagi kita membaca masalahnya. Sudah mengetahui bahwa Petrovich X uang. Di sinilah separuhnya akan bekerja! Kami menulis:

0,5x- setengah dari seluruh uang.

Sisanya juga akan menjadi setengahnya, mis. 0,5x. Dan setengah dari setengahnya dapat ditulis seperti ini:

0,5 0,5x = 0,25x- setengah dari sisanya.

Kini semua informasi tersembunyi telah terungkap dan dicatat.

3. Kita mencari hubungan antar data yang direkam. Di sini Anda cukup membaca penderitaan Petrovich dan menuliskannya secara matematis):

Jika saya menghabiskan setengah dari seluruh uang...

Mari kita rekam proses ini. Semua uang - X. Setengah - 0,5x. Menghabiskan berarti mengambil. Ungkapan itu berubah menjadi rekaman:

x - 0,5x

ya separuh sisanya...

Mari kita kurangi separuh sisanya:

x - 0,5x - 0,25x

maka uangku hanya tersisa satu kantong...

Dan di sini kita menemukan kesetaraan! Setelah semua pengurangan, satu kantong uang tersisa:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Ini dia, model matematika! Ini lagi-lagi persamaan linier, kita selesaikan, kita dapatkan:

Pertanyaan untuk dipertimbangkan. Apa itu empat? Rubel, dolar, yuan? Dan dalam satuan apa uang ditulis dalam model matematika kita? Di dalam tas! Itu berarti empat tas uang dari Petrovich. Bagus juga.)

Tugas-tugasnya, tentu saja, bersifat dasar. Hal ini khusus untuk menangkap esensi penyusunan model matematika. Beberapa tugas mungkin berisi lebih banyak data, sehingga mudah hilang. Hal ini sering terjadi pada apa yang disebut. tugas kompetensi. Cara mengekstrak konten matematika dari tumpukan kata dan angka ditunjukkan dengan contoh

Satu catatan lagi. Dalam masalah sekolah klasik (pipa yang mengisi kolam, perahu yang mengapung di suatu tempat, dll.), semua data, biasanya, dipilih dengan sangat hati-hati. Ada dua aturan:
- ada cukup informasi dalam masalah untuk menyelesaikannya,
- Tidak ada informasi yang tidak perlu dalam suatu soal.

Ini adalah sebuah petunjuk. Jika ada nilai yang belum digunakan dalam model matematika, pikirkan apakah ada kesalahan. Jika data tidak cukup, kemungkinan besar, tidak semua informasi tersembunyi telah diidentifikasi dan dicatat.

Dalam tugas-tugas yang berkaitan dengan kompetensi dan tugas-tugas kehidupan lainnya, aturan-aturan ini tidak dipatuhi secara ketat. Tidak tahu. Namun masalah seperti itu juga bisa diselesaikan. Jika, tentu saja, Anda berlatih dengan cara klasik.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Menurut buku teks oleh Sovetov dan Yakovlev: “model (lat. modulus - ukuran) adalah objek pengganti objek aslinya, yang memastikan studi tentang beberapa properti aslinya.” (hal. 6) “Mengganti suatu objek dengan objek lain untuk memperoleh informasi tentang sifat-sifat terpenting dari objek asli dengan menggunakan objek model disebut pemodelan.” (hal. 6) “Dengan pemodelan matematika kita memahami proses pembentukan korespondensi suatu objek nyata tertentu dengan objek matematika tertentu, yang disebut model matematika, dan studi tentang model ini, yang memungkinkan kita memperoleh karakteristik dari objek nyata. objek yang sedang dipertimbangkan. Jenis model matematika bergantung pada sifat objek nyata dan tugas mempelajari objek serta keandalan dan keakuratan yang diperlukan untuk memecahkan masalah ini.”

Terakhir, definisi paling ringkas dari model matematika: "Persamaan yang mengungkapkan suatu gagasan."

Klasifikasi model

Klasifikasi formal model

Klasifikasi formal model didasarkan pada klasifikasi alat matematika yang digunakan. Seringkali dikonstruksikan dalam bentuk dikotomi. Misalnya, salah satu rangkaian dikotomi yang populer:

dan seterusnya. Setiap model yang dibangun adalah linier atau nonlinier, deterministik atau stokastik, ... Secara alami, tipe campuran juga dimungkinkan: terkonsentrasi di satu sisi (dalam hal parameter), didistribusikan di sisi lain, dll.

Klasifikasi menurut cara objek direpresentasikan

Seiring dengan klasifikasi formal, model berbeda dalam cara mereka merepresentasikan suatu objek:

• Model struktural atau fungsional

Model struktural merepresentasikan suatu objek sebagai suatu sistem dengan struktur dan mekanisme fungsinya sendiri. Model fungsional tidak menggunakan representasi seperti itu dan hanya mencerminkan perilaku (fungsi) objek yang dirasakan secara eksternal. Dalam ekspresi ekstrimnya, model ini juga disebut model “kotak hitam”. Jenis model gabungan juga dimungkinkan, yang terkadang disebut model “kotak abu-abu”.

Konten dan model formal

Hampir semua penulis yang menjelaskan proses pemodelan matematika menunjukkan bahwa pertama-tama struktur ideal khusus dibangun, model konten. Tidak ada terminologi yang ditetapkan di sini, dan penulis lain menyebut objek ideal ini model konseptual , model spekulatif atau premodel. Dalam hal ini, konstruksi matematika akhir disebut model formal atau sekadar model matematika yang diperoleh sebagai hasil formalisasi model bermakna tertentu (pra-model). Konstruksi model yang bermakna dapat dilakukan dengan menggunakan seperangkat idealisasi yang sudah jadi, seperti dalam mekanika, di mana pegas ideal, benda tegar, pendulum ideal, media elastis, dll. menyediakan elemen struktural siap pakai untuk pemodelan yang bermakna. Namun, dalam bidang pengetahuan di mana tidak ada teori formal yang lengkap (fisika, biologi, ekonomi, sosiologi, psikologi, dan sebagian besar bidang lainnya), penciptaan model yang bermakna menjadi jauh lebih sulit.

Klasifikasi konten model

Tidak ada hipotesis dalam sains yang dapat dibuktikan untuk selamanya. Richard Feynman merumuskannya dengan sangat jelas:

“Kita selalu mempunyai kesempatan untuk menyangkal sebuah teori, namun perlu diingat bahwa kita tidak akan pernah bisa membuktikan kebenarannya. Misalkan Anda telah mengajukan hipotesis yang berhasil, menghitung ke mana hipotesis tersebut mengarah, dan menemukan bahwa semua konsekuensinya dikonfirmasi secara eksperimental. Apakah ini berarti teori Anda benar? Tidak, itu berarti Anda gagal membantahnya.”

Jika model tipe pertama dibangun, ini berarti model tersebut untuk sementara diakui sebagai kebenaran dan seseorang dapat berkonsentrasi pada masalah lain. Namun hal ini tidak bisa menjadi poin dalam penelitian, melainkan hanya jeda sementara: status model tipe pertama hanya bisa bersifat sementara.

Tipe 2: Model fenomenologis (kita berperilaku seolah-olah…)

Model fenomenologi memuat mekanisme untuk menggambarkan suatu fenomena. Namun, mekanisme ini tidak cukup meyakinkan, tidak dapat dikonfirmasi secara memadai oleh data yang tersedia, atau tidak sesuai dengan teori yang ada dan akumulasi pengetahuan tentang objek tersebut. Oleh karena itu, model fenomenologis berstatus solusi sementara. Jawabannya diyakini masih belum diketahui dan pencarian “mekanisme sebenarnya” harus terus dilakukan. Peierls mencakup, misalnya, model kalori dan model kuark partikel elementer sebagai tipe kedua.

Peran model dalam penelitian dapat berubah seiring waktu, dan mungkin saja data dan teori baru mengkonfirmasi model fenomenologis dan dipromosikan ke status hipotesis. Demikian pula, pengetahuan baru secara bertahap dapat bertentangan dengan model-hipotesis jenis pertama, dan dapat diterjemahkan ke dalam model kedua. Dengan demikian, model quark secara bertahap berpindah ke kategori hipotesis; atomisme dalam fisika muncul sebagai solusi sementara, namun seiring berjalannya sejarah, atomisme menjadi tipe pertama. Namun model eter telah berkembang dari tipe 1 ke tipe 2, dan sekarang berada di luar ilmu pengetahuan.

Ide penyederhanaan sangat populer saat membuat model. Namun penyederhanaan hadir dalam berbagai bentuk. Peierls mengidentifikasi tiga jenis penyederhanaan dalam pemodelan.

Tipe 3: Perkiraan (kita menganggap sesuatu yang sangat besar atau sangat kecil)

Jika persamaan dapat dibangun yang menggambarkan sistem yang diteliti, bukan berarti persamaan tersebut dapat diselesaikan bahkan dengan bantuan komputer. Teknik umum dalam hal ini adalah penggunaan perkiraan (model tipe 3). Diantara mereka model respons linier. Persamaan diganti dengan persamaan linier. Contoh standarnya adalah hukum Ohm.

Inilah tipe 8, yang tersebar luas dalam model matematika sistem biologis.

Tipe 8: Demonstrasi Fitur (yang utama adalah menunjukkan konsistensi internal dari kemungkinan tersebut)

Ini juga merupakan eksperimen pemikiran dengan entitas imajiner, yang menunjukkan hal itu fenomena yang seharusnya konsisten dengan prinsip-prinsip dasar dan konsisten secara internal. Inilah perbedaan utama dari model tipe 7, yang mengungkapkan kontradiksi tersembunyi.

Salah satu eksperimen yang paling terkenal adalah geometri Lobachevsky (Lobachevsky menyebutnya “geometri imajiner”). Contoh lainnya adalah produksi massal model kinetik formal dari getaran kimia dan biologi, gelombang otomatis, dll. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen disusun sebagai model tipe 7 untuk menunjukkan ketidakkonsistenan mekanika kuantum. Dengan cara yang sama sekali tidak direncanakan, akhirnya berubah menjadi model tipe 8 - sebuah demonstrasi kemungkinan teleportasi informasi kuantum.

Contoh

Pertimbangkan sistem mekanis yang terdiri dari pegas yang dipasang di salah satu ujungnya dan bermassa M melekat pada ujung pegas yang bebas. Kita asumsikan bahwa beban hanya dapat bergerak searah dengan sumbu pegas (misalnya pergerakan terjadi sepanjang batang). Mari kita membangun model matematika dari sistem ini. Kami akan menggambarkan keadaan sistem berdasarkan jarak X dari pusat beban ke posisi setimbangnya. Mari kita uraikan interaksi pegas dan beban yang digunakan hukum Hooke (F = − kX ) dan kemudian gunakan hukum kedua Newton untuk menyatakannya dalam bentuk persamaan diferensial:

dimana berarti turunan kedua dari X Oleh waktu: .

Persamaan yang dihasilkan menggambarkan model matematika dari sistem fisik yang dipertimbangkan. Model ini disebut "osilator harmonik".

Menurut klasifikasi formal, model ini bersifat linier, deterministik, dinamis, terkonsentrasi, kontinu. Dalam proses pembangunannya, kami banyak membuat asumsi (tentang tidak adanya gaya luar, tidak adanya gesekan, kecilnya penyimpangan, dll), yang pada kenyataannya mungkin tidak terpenuhi.

Sehubungan dengan kenyataan, ini paling sering merupakan model tipe 4 penyederhanaan(“kami akan menghilangkan beberapa detail untuk kejelasan”), karena beberapa fitur universal yang penting (misalnya, disipasi) dihilangkan. Untuk beberapa perkiraan (katakanlah, meskipun deviasi beban dari kesetimbangan kecil, dengan gesekan rendah, dalam waktu yang tidak terlalu lama dan tunduk pada kondisi tertentu lainnya), model seperti itu menggambarkan sistem mekanis nyata dengan cukup baik, karena faktor-faktor yang dibuang memiliki efek yang dapat diabaikan pada perilakunya. Namun, model tersebut dapat disempurnakan dengan mempertimbangkan beberapa faktor berikut. Hal ini akan menghasilkan model baru, dengan cakupan penerapan yang lebih luas (walaupun terbatas).

Namun, ketika model disempurnakan, kompleksitas penelitian matematisnya dapat meningkat secara signifikan dan membuat model tersebut praktis tidak berguna. Seringkali, model yang lebih sederhana memungkinkan eksplorasi sistem nyata yang lebih baik dan lebih dalam dibandingkan model yang lebih kompleks (dan, secara formal, “lebih tepat”).

Jika kita menerapkan model osilator harmonik pada objek yang jauh dari fisika, status substantifnya mungkin berbeda. Misalnya, ketika menerapkan model ini pada populasi biologis, kemungkinan besar model tersebut harus diklasifikasikan sebagai tipe 6 analogi(“mari kita pertimbangkan beberapa fitur saja”).

Model keras dan lunak

Osilator harmonik adalah contoh dari apa yang disebut model “keras”. Hal ini diperoleh sebagai hasil idealisasi yang kuat terhadap sistem fisik yang nyata. Untuk mengatasi masalah penerapannya, penting untuk memahami betapa pentingnya faktor-faktor yang telah kita abaikan. Dengan kata lain, perlu dipelajari model “lunak”, yang diperoleh dengan sedikit gangguan terhadap model “keras”. Misalnya dapat diberikan dengan persamaan berikut:

Berikut adalah beberapa fungsi yang dapat memperhitungkan gaya gesekan atau ketergantungan koefisien kekakuan pegas pada derajat regangannya - beberapa parameter kecil. Bentuk fungsi eksplisit F Kami tidak tertarik saat ini. Jika kita membuktikan bahwa perilaku model lunak tidak berbeda secara mendasar dari perilaku model keras (terlepas dari jenis faktor pengganggu yang jelas, jika faktor tersebut cukup kecil), maka masalahnya akan direduksi menjadi mempelajari model keras. Jika tidak, penerapan hasil yang diperoleh dari mempelajari model kaku akan memerlukan penelitian tambahan. Misalnya, penyelesaian persamaan osilator harmonik adalah fungsi berbentuk , yaitu osilasi dengan amplitudo konstan. Apakah berarti osilator nyata akan berosilasi tanpa batas dengan amplitudo konstan? Tidak, karena dengan mempertimbangkan sistem dengan gesekan kecil yang sewenang-wenang (selalu ada dalam sistem nyata), kita mendapatkan osilasi teredam. Perilaku sistem telah berubah secara kualitatif.

Jika suatu sistem mempertahankan perilaku kualitatifnya di bawah gangguan kecil, maka sistem tersebut dikatakan stabil secara struktural. Osilator harmonik adalah contoh sistem yang tidak stabil secara struktural (tidak kasar). Namun, model ini dapat digunakan untuk mempelajari proses dalam jangka waktu terbatas.

Fleksibilitas model

Model matematika yang paling penting biasanya mempunyai sifat penting keserbagunaan: Fenomena nyata yang berbeda secara fundamental dapat dijelaskan dengan model matematika yang sama. Misalnya, osilator harmonik tidak hanya menggambarkan perilaku beban pada pegas, tetapi juga proses osilasi lainnya, seringkali sifatnya sangat berbeda: osilasi kecil pendulum, fluktuasi level cairan dalam kamu bejana berbentuk atau perubahan kekuatan arus dalam rangkaian osilasi. Jadi, dengan mempelajari satu model matematika, kita segera mempelajari seluruh kelas fenomena yang dijelaskan oleh model tersebut. Isomorfisme hukum yang diungkapkan oleh model matematika di berbagai segmen pengetahuan ilmiah inilah yang mengilhami Ludwig von Bertalanffy untuk menciptakan “Teori Umum Sistem”.

Masalah pemodelan matematika langsung dan terbalik

Ada banyak masalah yang terkait dengan pemodelan matematika. Pertama, Anda perlu membuat diagram dasar objek yang dimodelkan, mereproduksinya dalam kerangka idealisasi ilmu ini. Dengan demikian, gerbong kereta berubah menjadi sistem pelat dan benda yang lebih kompleks dari bahan yang berbeda, setiap bahan ditentukan sebagai idealisasi mekanis standarnya (massa jenis, modulus elastis, karakteristik kekuatan standar), setelah itu persamaan dibuat, dan sepanjang jalan beberapa detail dibuang karena tidak penting, dilakukan perhitungan, dibandingkan dengan pengukuran, model disempurnakan, dan sebagainya. Namun, untuk mengembangkan teknologi pemodelan matematika, ada gunanya membongkar proses ini menjadi komponen-komponen utamanya.

Secara tradisional, ada dua kelompok masalah utama yang terkait dengan model matematika: langsung dan invers.

Tugas langsung: struktur model dan semua parameternya dianggap diketahui, tugas utamanya adalah melakukan studi model untuk mengekstraksi pengetahuan yang berguna tentang objek. Berapakah beban statis yang dapat ditahan jembatan tersebut? Bagaimana reaksinya terhadap beban dinamis (misalnya, terhadap barisan tentara, atau terhadap lintasan kereta api dengan kecepatan berbeda), bagaimana pesawat akan mengatasi penghalang suara, apakah akan hancur karena bergetar - ini adalah contoh khas dari masalah langsung. Menetapkan masalah langsung yang tepat (mengajukan pertanyaan yang tepat) memerlukan keahlian khusus. Jika pertanyaan yang tepat tidak diajukan, sebuah jembatan bisa saja runtuh, meskipun model yang baik untuk perilakunya telah dibangun. Jadi, pada tahun 1879, sebuah jembatan logam yang melintasi Sungai Tay runtuh di Inggris, perancang yang membuat model jembatan tersebut, menghitungnya memiliki faktor keamanan 20 kali lipat untuk aksi muatan, tetapi terus-menerus melupakan angin. bertiup di tempat-tempat itu. Dan setelah satu setengah tahun, itu runtuh.

Dalam kasus paling sederhana (satu persamaan osilator, misalnya), permasalahan langsungnya sangat sederhana dan direduksi menjadi solusi eksplisit persamaan ini.

Masalah terbalik: banyak model yang mungkin diketahui, model tertentu harus dipilih berdasarkan data tambahan tentang objek tersebut. Seringkali, struktur model diketahui, dan beberapa parameter yang tidak diketahui perlu ditentukan. Informasi tambahan dapat berupa data empiris tambahan, atau persyaratan objek ( masalah desain). Data tambahan dapat diperoleh terlepas dari proses penyelesaian masalah invers ( observasi pasif) atau merupakan hasil percobaan yang direncanakan secara khusus selama penyelesaian ( pengawasan aktif).

Salah satu contoh pertama dari solusi hebat terhadap masalah invers dengan memanfaatkan sepenuhnya data yang tersedia adalah metode yang dibangun oleh I. Newton untuk merekonstruksi gaya gesekan dari osilasi teredam yang diamati.

Contoh tambahan

Di mana X S- ukuran populasi “ekuilibrium”, di mana angka kelahiran diimbangi secara tepat dengan angka kematian. Besarnya populasi pada model seperti itu cenderung pada nilai keseimbangan X S, dan perilaku ini stabil secara struktural.

Sistem ini mempunyai keadaan setimbang jika jumlah kelinci dan rubah tetap. Penyimpangan dari keadaan ini mengakibatkan fluktuasi jumlah kelinci dan rubah, mirip dengan fluktuasi osilator harmonik. Seperti halnya osilator harmonik, perilaku ini tidak stabil secara struktural: perubahan kecil pada model (misalnya, dengan mempertimbangkan terbatasnya sumber daya yang dibutuhkan kelinci) dapat menyebabkan perubahan perilaku secara kualitatif. Misalnya, keadaan keseimbangan bisa menjadi stabil, dan fluktuasi jumlah akan padam. Situasi sebaliknya juga mungkin terjadi, ketika penyimpangan kecil apa pun dari posisi keseimbangan akan mengakibatkan konsekuensi bencana, hingga kepunahan total salah satu spesies. Model Volterra-Lotka tidak menjawab pertanyaan tentang skenario mana yang sedang direalisasikan: diperlukan penelitian tambahan di sini.

Catatan

1. “Representasi matematis dari realitas” (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Tentang isu filosofis pemodelan cybernetic. M., Pengetahuan, 1964.
3. Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Pemodelan sistem: Proc. untuk universitas - edisi ke-3, direvisi. dan tambahan - M.: Lebih tinggi. sekolah, 2001. - 343 hal. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A.A., Mikhailov A.P. Pemodelan matematika. Ide ide. Metode. Contoh. . - Edisi ke-2, direvisi - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Unsur teori model matematika. - Edisi ke-3, Pdt. - M.: KomKniga, 2007. - 192 dengan ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wiktionary: model matematika
7. Catatan Tebing
8. Pendekatan Reduksi Model dan Butir Kasar untuk Fenomena Multiskala, Springer, seri Kompleksitas, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 hal. ISBN 3-540-35885-4
9. “Suatu teori dianggap linier atau nonlinier tergantung pada jenis peralatan matematikanya - linier atau nonlinier - dan jenis model matematika linier atau nonlinier yang digunakannya. ...tanpa menyangkal yang terakhir. Seorang fisikawan modern, jika ia harus menciptakan kembali definisi entitas penting seperti nonlinier, kemungkinan besar akan bertindak berbeda, dan, dengan lebih memilih nonlinier sebagai yang lebih penting dan tersebar luas di antara dua hal yang berlawanan, akan mendefinisikan linearitas sebagai “bukan nonlinier.” Danilov Yu., Kuliah tentang dinamika nonlinier. Pengenalan dasar. Seri “Sinergik: dari masa lalu ke masa depan.” Edisi 2. - M.: URSS, 2006. - 208 hal. ISBN 5-484-00183-8
10. “Sistem dinamis yang dimodelkan dengan sejumlah persamaan diferensial biasa yang terbatas disebut sistem terkonsentrasi atau sistem titik. Mereka dijelaskan menggunakan ruang fase berdimensi terbatas dan dicirikan oleh sejumlah derajat kebebasan yang terbatas. Sistem yang sama dalam kondisi yang berbeda dapat dianggap terkonsentrasi atau terdistribusi. Model matematika sistem terdistribusi adalah persamaan diferensial parsial, persamaan integral, atau persamaan penundaan biasa. Jumlah derajat kebebasan suatu sistem terdistribusi tidak terbatas, dan diperlukan jumlah data yang tidak terbatas untuk menentukan statusnya.” Anishchenko V.S., Sistem dinamis, jurnal pendidikan Soros, 1997, No.11, hal. 77-84.
11. “Tergantung pada sifat proses yang dipelajari dalam sistem S, semua jenis pemodelan dapat dibagi menjadi deterministik dan stokastik, statis dan dinamis, diskrit, kontinu, dan kontinu diskrit. Pemodelan deterministik mencerminkan proses deterministik, yaitu proses yang diasumsikan tidak adanya pengaruh acak; pemodelan stokastik menggambarkan proses dan peristiwa probabilistik. ... Pemodelan statis berfungsi untuk menggambarkan perilaku suatu objek pada titik waktu mana pun, dan pemodelan dinamis mencerminkan perilaku suatu objek dari waktu ke waktu. Pemodelan diskrit digunakan untuk menggambarkan proses yang dianggap diskrit, masing-masing, pemodelan kontinu memungkinkan kita untuk mencerminkan proses kontinu dalam sistem, dan pemodelan kontinu diskrit digunakan untuk kasus ketika mereka ingin menyoroti keberadaan proses diskrit dan kontinu. ” Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Pemodelan sistem: Proc. untuk universitas - edisi ke-3, direvisi. dan tambahan - M.: Lebih tinggi. sekolah, 2001. - 343 hal. ISBN 5-06-003860-2
12. Biasanya, model matematika mencerminkan struktur (perangkat) objek yang dimodelkan, sifat-sifat dan hubungan komponen-komponen objek tersebut yang penting untuk tujuan penelitian; model seperti itu disebut struktural. Jika model hanya mencerminkan bagaimana suatu objek berfungsi - misalnya, bagaimana ia bereaksi terhadap pengaruh eksternal - maka model tersebut disebut fungsional atau, secara kiasan, kotak hitam. Model gabungan juga dimungkinkan. Myshkis A.D., Unsur teori model matematika. - Edisi ke-3, Pdt. - M.: KomKniga, 2007. - 192 dengan ISBN 978-5-484-00953-4
13. “Tahap awal yang jelas namun paling penting dalam membangun atau memilih model matematika adalah memperoleh gambaran sejelas mungkin tentang objek yang dimodelkan dan menyempurnakan model bermaknanya, berdasarkan diskusi informal. Anda tidak boleh meluangkan waktu dan tenaga pada tahap ini; keberhasilan seluruh penelitian sangat bergantung padanya. Telah terjadi lebih dari sekali upaya signifikan yang dihabiskan untuk memecahkan masalah matematika ternyata tidak efektif atau bahkan sia-sia karena kurangnya perhatian pada sisi masalah ini.” Myshkis A.D., Unsur teori model matematika. - Edisi ke-3, putaran. - M.: KomKniga, 2007. - 192 dengan ISBN 978-5-484-00953-4, hal. 35.
14. « Deskripsi model konseptual sistem. Pada subtahap membangun model sistem ini: a) model konseptual M dijelaskan dalam istilah dan konsep abstrak; b) deskripsi model diberikan dengan menggunakan skema matematika standar; c) hipotesis dan asumsi akhirnya diterima; d) pilihan prosedur untuk memperkirakan proses nyata ketika membangun model dapat dibenarkan.” Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Pemodelan sistem: Proc. untuk universitas - edisi ke-3, direvisi. dan tambahan - M.: Lebih tinggi. sekolah, 2001. - 343 hal. ISBN 5-06-003860-2, hal. 93.
15. Blekhman I.I., Myshkis A.D., Panovko N.G., Matematika terapan: Mata pelajaran, logika, fitur pendekatan. Dengan contoh dari mekanika: Buku Teks. - Edisi ke-3, putaran. dan tambahan - M.: URSS, 2006. - 376 hal. ISBN 5-484-00163-3, Bab 2.

Kuliah 1.

DASAR-DASAR METODOLOGI PEMODELAN

Keadaan saat ini dari masalah pemodelan sistem

Konsep Pemodelan dan Simulasi

Pemodelan dapat dianggap sebagai penggantian objek yang diteliti (asli) dengan gambaran konvensional, deskripsi atau objek lain yang disebut model dan memberikan perilaku yang mendekati aslinya dalam kerangka asumsi tertentu dan kesalahan yang dapat diterima. Pemodelan biasanya dilakukan dengan tujuan memahami sifat-sifat aslinya dengan mempelajari modelnya, dan bukan objeknya sendiri. Tentu saja, pemodelan dibenarkan jika lebih sederhana daripada membuat yang asli itu sendiri, atau jika karena alasan tertentu lebih baik tidak membuat yang asli sama sekali.

Di bawah model dipahami sebagai suatu benda fisik atau abstrak, yang sifat-sifatnya dalam arti tertentu mirip dengan sifat-sifat benda yang diteliti. Dalam hal ini, persyaratan model ditentukan oleh masalah yang dipecahkan dan sarana yang tersedia. Ada sejumlah persyaratan umum untuk model:

2) kelengkapan – menyediakan semua informasi yang diperlukan kepada penerima

tentang objeknya;

3) fleksibilitas - kemampuan untuk mereproduksi situasi yang berbeda dalam segala hal

rentang perubahan kondisi dan parameter;

4) kompleksitas pembangunan harus dapat diterima oleh kondisi yang ada

waktu dan perangkat lunak.

Pemodelan adalah proses membangun model suatu benda dan mempelajari sifat-sifatnya dengan memeriksa model tersebut.

Dengan demikian, pemodelan melibatkan 2 tahap utama:

1) pengembangan model;

2) mempelajari model dan menarik kesimpulan.

Pada saat yang sama, pada setiap tahap, tugas yang berbeda diselesaikan dan

pada dasarnya metode dan cara yang berbeda.

Dalam praktiknya, berbagai metode pemodelan digunakan. Tergantung pada metode implementasinya, semua model dapat dibagi menjadi dua kelas besar: fisika dan matematika.

Pemodelan matematika Biasanya dianggap sebagai sarana mempelajari proses atau fenomena dengan menggunakan model matematikanya.

Di bawah pemodelan fisik mengacu pada studi objek dan fenomena pada model fisik, ketika proses yang dipelajari direproduksi sambil mempertahankan sifat fisiknya atau fenomena fisik lain yang serupa dengan yang sedang dipelajari digunakan. Di mana model fisik Biasanya, mereka mengasumsikan perwujudan nyata dari sifat fisik asli yang penting dalam situasi tertentu. Misalnya, ketika merancang pesawat baru, dibuat model yang memiliki sifat aerodinamis yang sama; Ketika merencanakan suatu pembangunan, arsitek membuat model yang mencerminkan penataan ruang elemen-elemennya. Dalam hal ini, pemodelan fisik juga disebut pembuatan prototipe.

Pemodelan paruh waktu adalah studi tentang sistem yang dapat dikontrol pada kompleks pemodelan dengan memasukkan peralatan nyata ke dalam model. Seiring dengan peralatan nyata, model tertutup mencakup simulator pengaruh dan interferensi, model matematika dari lingkungan eksternal dan proses yang deskripsi matematikanya tidak diketahui secara memadai. Dimasukkannya peralatan nyata atau sistem nyata dalam rangkaian pemodelan proses yang kompleks memungkinkan untuk mengurangi ketidakpastian apriori dan mengeksplorasi proses yang tidak memiliki deskripsi matematis pasti. Dengan menggunakan pemodelan semi-alami, penelitian dilakukan dengan mempertimbangkan konstanta waktu kecil dan linearitas yang melekat pada peralatan nyata. Saat mempelajari model dengan menggunakan peralatan nyata, konsep yang digunakan simulasi dinamis, ketika mempelajari sistem dan fenomena yang kompleks - evolusioner, imitasi Dan pemodelan sibernetika.

Jelasnya, manfaat nyata dari pemodelan hanya dapat diperoleh jika dua kondisi terpenuhi:

1) model menyediakan tampilan properti yang benar (memadai).

asli, penting dari sudut pandang operasi yang diteliti;

2) model memungkinkan Anda untuk menghilangkan masalah-masalah yang melekat di atas

melakukan penelitian terhadap benda nyata.

2. Konsep dasar pemodelan matematika

Penyelesaian masalah praktik dengan menggunakan metode matematika dilakukan secara konsisten dengan merumuskan masalah (mengembangkan model matematika), memilih metode untuk mempelajari model matematika yang dihasilkan, dan menganalisis hasil matematika yang diperoleh. Rumusan masalah matematis biasanya disajikan dalam bentuk gambar geometri, fungsi, sistem persamaan, dan lain-lain. Deskripsi suatu objek (fenomena) dapat direpresentasikan dengan menggunakan bentuk matematika kontinu atau diskrit, deterministik atau stokastik dan lainnya.

Teori pemodelan matematika memastikan identifikasi pola terjadinya berbagai fenomena di dunia sekitar atau pengoperasian sistem dan perangkat melalui deskripsi dan pemodelan matematisnya tanpa melakukan pengujian skala penuh. Dalam hal ini digunakan ketentuan dan hukum matematika yang menggambarkan fenomena, sistem atau perangkat yang disimulasikan pada tingkat idealisasi tertentu.

Model matematika (MM) adalah deskripsi formal dari suatu sistem (atau operasi) dalam beberapa bahasa abstrak, misalnya, dalam bentuk sekumpulan hubungan matematika atau diagram algoritma, yaitu. yaitu deskripsi matematis yang memberikan simulasi pengoperasian sistem atau perangkat pada tingkat yang cukup dekat dengan perilaku sebenarnya yang diperoleh selama pengujian sistem atau perangkat skala penuh.

Setiap MM mendeskripsikan objek, fenomena, atau proses nyata dengan tingkat perkiraan tertentu terhadap kenyataan. Jenis MM bergantung pada sifat objek nyata dan tujuan penelitian.

Pemodelan matematika fenomena sosial, ekonomi, biologi dan fisik, objek, sistem dan berbagai perangkat adalah salah satu cara terpenting untuk memahami alam dan merancang berbagai sistem dan perangkat. Ada contoh penggunaan pemodelan yang efektif dalam penciptaan teknologi nuklir, sistem penerbangan dan ruang angkasa, dalam meramalkan fenomena atmosfer dan samudera, cuaca, dll.

Namun, bidang pemodelan yang serius seperti itu sering kali memerlukan superkomputer dan kerja bertahun-tahun oleh tim ilmuwan yang besar untuk menyiapkan data untuk pemodelan dan proses debugnya. Namun, dalam hal ini, pemodelan matematis dari sistem dan perangkat yang kompleks tidak hanya menghemat uang untuk penelitian dan pengujian, tetapi juga dapat menghilangkan bencana lingkungan - misalnya, memungkinkan Anda untuk meninggalkan pengujian senjata nuklir dan termonuklir demi pemodelan matematisnya. atau pengujian sistem dirgantara sebelum penerbangan sebenarnya. Oleh karena itu, pemodelan matematika pada tingkat penyelesaian masalah yang lebih sederhana, misalnya dari bidang mekanika, teknik elektro, elektronika, teknik radio dan banyak bidang ilmu pengetahuan dan teknologi lainnya kini telah menjadi. tersedia untuk dijalankan pada PC modern. Dan ketika menggunakan model umum, dimungkinkan untuk mensimulasikan sistem yang cukup kompleks, misalnya sistem dan jaringan telekomunikasi, sistem navigasi radar atau radio.

Tujuan pemodelan matematika adalah analisis proses nyata (di alam atau teknologi) dengan menggunakan metode matematika. Pada gilirannya, hal ini memerlukan formalisasi proses MM yang akan dipelajari. Model dapat berupa ekspresi matematis yang berisi variabel yang perilakunya mirip dengan perilaku sistem nyata kemungkinan tindakan dari dua atau lebih “pemain”, seperti, misalnya, dalam permainan teori; atau mungkin mewakili variabel nyata dari bagian-bagian sistem operasi yang saling berhubungan.

Pemodelan matematika untuk mempelajari karakteristik sistem dapat dibagi menjadi analitis, simulasi dan gabungan. Pada gilirannya, MM dibagi menjadi simulasi dan analitis.

Pemodelan Analitik

Untuk pemodelan analitis Merupakan ciri khas bahwa proses berfungsinya sistem ditulis dalam bentuk hubungan fungsional tertentu (persamaan aljabar, diferensial, integral). Model analisisnya dapat dipelajari dengan menggunakan metode sebagai berikut:

1) analitis, ketika mereka berusaha untuk memperoleh, dalam bentuk umum, ketergantungan yang jelas pada karakteristik sistem;

2) numerik, ketika tidak mungkin menemukan solusi persamaan dalam bentuk umum dan diselesaikan untuk data awal tertentu;

3) kualitatif, bila tidak ada larutan, sebagian sifat-sifatnya ditemukan.

Model analitik hanya dapat diperoleh untuk sistem yang relatif sederhana. Untuk sistem yang kompleks, permasalahan matematika yang besar sering kali muncul. Untuk menerapkan metode analitis, mereka melakukan penyederhanaan signifikan dari model aslinya. Namun, penelitian yang menggunakan model yang disederhanakan hanya membantu memperoleh hasil indikatif. Model analitik secara matematis mencerminkan dengan tepat hubungan antara variabel dan parameter masukan dan keluaran. Tetapi strukturnya tidak mencerminkan struktur internal objek tersebut.

Selama pemodelan analitik, hasilnya disajikan dalam bentuk ekspresi analitis. Misalnya dengan menghubungkan R.C.- rangkaian ke sumber tegangan konstan E(R, C Dan E- komponen model ini), kita dapat membuat ekspresi analitis untuk ketergantungan tegangan terhadap waktu kamu(T) pada kapasitor C:

Persamaan diferensial linier (DE) ini merupakan model analisis rangkaian linier sederhana ini. Solusi analitisnya, pada kondisi awal kamu(0) = 0, artinya kapasitor habis C di awal pemodelan, memungkinkan Anda menemukan ketergantungan yang diinginkan - dalam bentuk rumus:

kamu(T) = E(1− mantanP(- T/RC)). (2)

Namun, bahkan dalam contoh paling sederhana ini, upaya tertentu diperlukan untuk menyelesaikan DE (1) atau menerapkannya sistem matematika komputer(SCM) dengan perhitungan simbolik – sistem aljabar komputer. Untuk kasus yang sangat sepele ini, penyelesaian masalah pemodelan linier R.C.-rangkaian memberikan ekspresi analitis (2) dalam bentuk yang cukup umum - cocok untuk menggambarkan pengoperasian rangkaian untuk peringkat komponen apa pun R, C Dan E, dan menjelaskan muatan eksponensial kapasitor C melalui sebuah resistor R dari sumber tegangan konstan E.

Tentu saja, menemukan solusi analitis selama pemodelan analitik ternyata sangat berharga untuk mengidentifikasi pola teoritis umum dari rangkaian, sistem, dan perangkat linier sederhana, namun kompleksitasnya meningkat tajam seiring dengan semakin kompleksnya pengaruh pada model dan urutan serta jumlahnya persamaan keadaan yang menggambarkan peningkatan objek yang dimodelkan. Anda bisa mendapatkan hasil yang kurang lebih terlihat saat memodelkan objek orde kedua atau ketiga, tetapi dengan orde yang lebih tinggi, ekspresi analitis menjadi terlalu rumit, rumit, dan sulit dipahami. Misalnya, penguat elektronik sederhana pun sering kali berisi lusinan komponen. Namun, banyak SCM modern, misalnya, sistem matematika simbolik Maple, Matematika atau lingkungan MATLAB, sebagian besar mampu mengotomatiskan solusi masalah pemodelan analitis yang kompleks.

Salah satu jenis pemodelan adalah pemodelan numerik, yang terdiri dari memperoleh data kuantitatif yang diperlukan tentang perilaku sistem atau perangkat dengan metode numerik yang sesuai, seperti metode Euler atau Runge-Kutta. Dalam praktiknya, pemodelan sistem dan perangkat nonlinier menggunakan metode numerik jauh lebih efektif daripada pemodelan analitik rangkaian, sistem, atau perangkat linier tertentu. Misalnya, untuk menyelesaikan sistem DE(1) atau DE dalam kasus yang lebih kompleks, solusi dalam bentuk analitis tidak dapat diperoleh, tetapi dengan menggunakan data simulasi numerik, data yang cukup lengkap tentang perilaku sistem dan perangkat yang disimulasikan juga dapat diperoleh. sebagai membangun grafik ketergantungan yang menggambarkan perilaku ini.

Pemodelan simulasi

Pada imitasi 10dan pemodelan, algoritma yang mengimplementasikan model mereproduksi proses fungsi sistem dari waktu ke waktu. Fenomena dasar yang membentuk proses tersebut disimulasikan, dengan mempertahankan struktur logis dan urutan kejadiannya dari waktu ke waktu.

Keunggulan utama model simulasi dibandingkan model analitik adalah kemampuannya dalam memecahkan masalah yang lebih kompleks.

Model simulasi memudahkan untuk memperhitungkan keberadaan elemen diskrit atau kontinu, karakteristik nonlinier, pengaruh acak, dll. Oleh karena itu, metode ini banyak digunakan pada tahap desain sistem yang kompleks. Sarana utama penerapan pemodelan simulasi adalah komputer, yang memungkinkan pemodelan sistem dan sinyal secara digital.

Sehubungan dengan hal tersebut, mari kita definisikan ungkapan “ pemodelan komputer”, yang semakin banyak digunakan dalam literatur. Mari kita asumsikan itu pemodelan komputer adalah pemodelan matematika dengan menggunakan teknologi komputer. Oleh karena itu, teknologi pemodelan komputer melibatkan tindakan berikut:

1) menentukan tujuan pemodelan;

2) pengembangan model konseptual;

3) formalisasi model;

4) implementasi perangkat lunak model;

5) merencanakan eksperimen model;

6) pelaksanaan rencana percobaan;

7) analisis dan interpretasi hasil pemodelan.

Pada pemodelan simulasi MM yang digunakan mereproduksi algoritma (“logika”) dari fungsi sistem yang diteliti dari waktu ke waktu untuk berbagai kombinasi nilai parameter sistem dan lingkungan eksternal.

Contoh model analitik yang paling sederhana adalah persamaan gerak lurus beraturan. Ketika mempelajari proses seperti itu dengan menggunakan model simulasi, observasi terhadap perubahan jalur yang dilalui dari waktu ke waktu harus dilakukan. Jelasnya, dalam beberapa kasus pemodelan analitis lebih disukai, dalam kasus lain - simulasi (atau kombinasi keduanya). Untuk membuat pilihan yang sukses, Anda perlu menjawab dua pertanyaan.

Apa tujuan pemodelan?

Ke kelas manakah fenomena yang dimodelkan dapat diklasifikasikan?

Jawaban atas kedua pertanyaan ini dapat diperoleh selama dua tahap pertama pemodelan.

Model simulasi tidak hanya sesuai sifat-sifatnya, tetapi juga strukturnya sesuai dengan objek yang dimodelkan. Dalam hal ini, terdapat korespondensi yang jelas dan jelas antara proses yang diperoleh pada model dan proses yang terjadi pada objek. Kekurangan dari simulasi adalah membutuhkan waktu yang lama dalam menyelesaikan permasalahan hingga diperoleh akurasi yang baik.

Hasil pemodelan simulasi pengoperasian sistem stokastik merupakan realisasi variabel atau proses acak. Oleh karena itu, untuk menemukan karakteristik sistem diperlukan pengulangan yang berulang-ulang dan pengolahan data selanjutnya. Paling sering dalam hal ini, jenis simulasi digunakan - statistik

pemodelan(atau metode Monte Carlo), mis. reproduksi faktor acak, peristiwa, kuantitas, proses, bidang dalam model.

Berdasarkan hasil pemodelan statistik, estimasi kriteria kualitas probabilistik, umum dan khusus, yang mencirikan fungsi dan efisiensi sistem yang dikelola ditentukan. Pemodelan statistik banyak digunakan untuk memecahkan masalah ilmiah dan terapan di berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Metode pemodelan statistik banyak digunakan dalam studi sistem dinamis yang kompleks, menilai fungsi dan efisiensinya.

Tahap akhir pemodelan statistik didasarkan pada pengolahan matematis dari hasil yang diperoleh. Di sini digunakan metode statistik matematika (estimasi parametrik dan nonparametrik, pengujian hipotesis). Contoh penduga parametrik adalah mean sampel dari suatu ukuran kinerja. Di antara metode nonparametrik, tersebar luas metode histogram.

Skema yang dipertimbangkan didasarkan pada pengujian statistik berulang terhadap sistem dan metode statistik variabel acak independen. Skema ini tidak selalu alami dalam praktiknya dan optimal dari segi biaya. Mengurangi waktu pengujian sistem dapat dicapai melalui penggunaan metode evaluasi yang lebih akurat. Seperti diketahui dari statistik matematika, estimasi efektif memiliki akurasi terbesar untuk ukuran sampel tertentu. Pemfilteran optimal dan metode kemungkinan maksimum memberikan metode umum untuk memperoleh perkiraan tersebut. Dalam masalah pemodelan statistik, implementasi pemrosesan dari proses acak diperlukan tidak hanya untuk menganalisis proses keluaran.

Pengendalian karakteristik pengaruh acak masukan juga sangat penting. Pengendalian terdiri dari pemeriksaan kesesuaian distribusi proses yang dihasilkan dengan distribusi yang diberikan. Masalah ini sering dirumuskan sebagai masalah pengujian hipotesis.

Tren umum dalam pemodelan komputer dari sistem terkontrol yang kompleks adalah keinginan untuk mengurangi waktu pemodelan, serta melakukan penelitian secara real time. Lebih mudah untuk merepresentasikan algoritma komputasi dalam bentuk berulang, memungkinkan implementasinya pada tingkat penerimaan informasi terkini.

PRINSIP PENDEKATAN SISTEM DALAM PEMODELAN

Prinsip dasar teori sistem

Prinsip dasar teori sistem muncul dalam studi sistem dinamis dan elemen fungsionalnya. Suatu sistem dipahami sebagai sekelompok elemen yang saling berhubungan yang bertindak bersama untuk menyelesaikan tugas yang telah ditentukan. Analisis sistem memungkinkan kita menentukan cara paling realistis untuk melakukan tugas tertentu, memastikan kepuasan maksimal dari persyaratan yang dinyatakan.

Unsur-unsur yang menjadi dasar teori sistem tidak diciptakan melalui hipotesis, namun ditemukan secara eksperimental. Untuk mulai membangun suatu sistem, perlu memiliki karakteristik umum dari proses teknologi. Hal yang sama juga berlaku sehubungan dengan prinsip-prinsip penciptaan kriteria yang dirumuskan secara matematis yang harus dipenuhi oleh suatu proses atau deskripsi teoretisnya. Pemodelan adalah salah satu metode penelitian dan eksperimen ilmiah yang paling penting.

Dalam membangun model objek digunakan pendekatan sistem, yaitu metodologi untuk memecahkan masalah yang kompleks, yang didasarkan pada pertimbangan objek sebagai suatu sistem yang beroperasi dalam lingkungan tertentu. Pendekatan sistematis melibatkan pengungkapan integritas suatu objek, identifikasi dan studi struktur internalnya, serta hubungannya dengan lingkungan eksternal. Dalam hal ini objek dihadirkan sebagai bagian dari dunia nyata, yang diisolasi dan dipelajari sehubungan dengan masalah konstruksi suatu model. Selain itu, pendekatan sistem melibatkan transisi yang konsisten dari umum ke khusus, ketika tujuan desain menjadi dasar pertimbangan, dan objek dipertimbangkan dalam kaitannya dengan lingkungan.

Suatu objek yang kompleks dapat dibagi menjadi subsistem, yaitu bagian-bagian dari objek yang memenuhi persyaratan sebagai berikut:

1) subsistem adalah bagian objek yang independen secara fungsional. Ia terhubung dengan subsistem lain, bertukar informasi dan energi dengan mereka;

2) untuk setiap subsistem, fungsi atau properti dapat didefinisikan yang tidak sesuai dengan properti keseluruhan sistem;

3) masing-masing subsistem dapat dibagi lebih lanjut ke tingkat elemen.

Dalam hal ini, suatu elemen dipahami sebagai subsistem tingkat yang lebih rendah, yang pembagiannya lebih lanjut tidak tepat dari sudut pandang masalah yang sedang dipecahkan.

Dengan demikian, sistem dapat diartikan sebagai representasi suatu objek dalam bentuk sekumpulan subsistem, elemen, dan hubungan untuk tujuan pembuatan, penelitian, atau perbaikannya. Dalam hal ini, representasi sistem yang diperbesar, termasuk subsistem utama dan hubungan di antara mereka, disebut struktur makro, dan pengungkapan rinci tentang struktur internal sistem hingga ke tingkat elemen disebut struktur mikro.

Selain sistem, biasanya terdapat supersistem – sistem yang tingkatnya lebih tinggi, yang mencakup objek yang bersangkutan, dan fungsi suatu sistem hanya dapat ditentukan melalui supersistem.

Konsep lingkungan perlu ditonjolkan sebagai sekumpulan objek dunia luar yang secara signifikan mempengaruhi efisiensi sistem, tetapi bukan merupakan bagian dari sistem dan supersistemnya.

Sehubungan dengan pendekatan sistem dalam membangun model, digunakan konsep infrastruktur yang menggambarkan hubungan sistem dengan lingkungannya (environment). Dalam hal ini identifikasi, deskripsi dan studi tentang sifat-sifat suatu objek yang bersifat esensial dalam kerangka tugas tertentu disebut stratifikasi objek, dan model objek apa pun disebut deskripsi bertingkatnya.

Untuk pendekatan sistem, penting untuk menentukan struktur sistem, yaitu. sekumpulan hubungan antar elemen sistem, yang mencerminkan interaksinya. Untuk melakukan hal ini, pertama-tama kita mempertimbangkan pendekatan struktural dan fungsional terhadap pemodelan.

Dengan pendekatan struktural, komposisi elemen-elemen sistem yang dipilih dan hubungan di antara mereka terungkap. Himpunan elemen dan koneksi memungkinkan kita menilai struktur sistem. Deskripsi paling umum dari suatu struktur adalah deskripsi topologi. Ini memungkinkan Anda untuk menentukan komponen sistem dan hubungannya menggunakan grafik. Yang kurang umum adalah deskripsi fungsional, ketika masing-masing fungsi dipertimbangkan, yaitu algoritma untuk perilaku sistem. Dalam hal ini, pendekatan fungsional diterapkan yang mendefinisikan fungsi-fungsi yang dijalankan sistem.

Berdasarkan pendekatan sistem, urutan pengembangan model dapat diusulkan, ketika dua tahap desain utama dibedakan: desain makro dan desain mikro.

Pada tahap desain makro, model lingkungan eksternal dibangun, sumber daya dan batasan diidentifikasi, model sistem dan kriteria untuk menilai kecukupan dipilih.

Tahap desain mikro sangat bergantung pada jenis model spesifik yang dipilih. Secara umum, ini melibatkan pembuatan sistem pemodelan informasi, matematika, teknis dan perangkat lunak. Pada tahap ini, karakteristik teknis utama dari model yang dibuat ditetapkan, waktu yang diperlukan untuk mengerjakannya dan biaya sumber daya untuk mendapatkan kualitas model yang ditentukan diperkirakan.

Terlepas dari jenis modelnya, dalam membangunnya perlu berpedoman pada sejumlah prinsip pendekatan sistematis:

1) kemajuan yang konsisten melalui tahapan pembuatan model;

2) koordinasi informasi, sumber daya, keandalan dan karakteristik lainnya;

3) hubungan yang benar antara berbagai tingkat konstruksi model;

4) integritas masing-masing tahapan desain model.

Pada artikel ini, kami menawarkan contoh model matematika. Selain itu, kita akan memperhatikan tahapan pembuatan model dan menganalisis beberapa masalah yang berkaitan dengan pemodelan matematika.

Pertanyaan lain yang kita miliki adalah model matematika di bidang ekonomi, contohnya akan kita lihat definisinya nanti. Kami mengusulkan untuk memulai percakapan kami dengan konsep "model", pertimbangkan secara singkat klasifikasinya dan beralih ke pertanyaan utama kami.

Konsep "model"

Kita sering mendengar kata “model”. Apa itu? Istilah ini memiliki banyak definisi, berikut tiga di antaranya:

• objek tertentu yang dibuat untuk menerima dan menyimpan informasi, yang mencerminkan beberapa sifat atau karakteristik, dan seterusnya, dari objek asli tersebut (objek spesifik ini dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk: mental, deskripsi menggunakan tanda, dan sebagainya);
• Model juga berarti representasi situasi, kehidupan, atau manajemen tertentu;
• model dapat berupa salinan kecil dari suatu objek (dibuat untuk studi dan analisis yang lebih rinci, karena model mencerminkan struktur dan hubungan).

Berdasarkan semua hal di atas, kita dapat menarik kesimpulan kecil: model memungkinkan Anda mempelajari sistem atau objek yang kompleks secara detail.

Semua model dapat diklasifikasikan menurut beberapa karakteristik:

• berdasarkan area penggunaan (pendidikan, eksperimental, ilmiah dan teknis, permainan, simulasi);
• secara dinamis (statis dan dinamis);
• menurut cabang ilmu pengetahuan (fisika, kimia, geografis, sejarah, sosiologi, ekonomi, matematika);
• dengan metode penyajian (materi dan informasional).

Model informasi, pada gilirannya, dibagi menjadi simbolik dan verbal. Dan yang simbolis - menjadi komputer dan non-komputer. Sekarang mari kita beralih ke pembahasan rinci tentang contoh model matematika.

Model matematika

Seperti yang Anda duga, model matematika mencerminkan fitur apa pun dari suatu objek atau fenomena dengan menggunakan simbol matematika khusus. Matematika diperlukan untuk memodelkan pola-pola dunia sekitar dalam bahasa tertentu.

Metode pemodelan matematika sudah ada sejak lama, ribuan tahun yang lalu, seiring dengan munculnya ilmu pengetahuan ini. Namun dorongan berkembangnya metode pemodelan ini diberikan oleh munculnya komputer (komputer elektronik).

Sekarang mari kita beralih ke klasifikasi. Itu juga dapat dilakukan menurut beberapa tanda. Mereka disajikan pada tabel di bawah ini.

Kami mengusulkan untuk berhenti dan melihat lebih dekat klasifikasi terbaru, karena ini mencerminkan pola umum pemodelan dan tujuan dari model yang dibuat.

Model deskriptif

Dalam bab ini, kami mengusulkan untuk membahas lebih detail model matematika deskriptif. Untuk memperjelas semuanya, sebuah contoh akan diberikan.

Mari kita mulai dengan fakta bahwa tipe ini bisa disebut deskriptif. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa kita hanya membuat perhitungan dan perkiraan, tetapi kita tidak dapat mempengaruhi hasil dari suatu peristiwa dengan cara apapun.

Contoh mencolok dari model matematika deskriptif adalah penghitungan jalur penerbangan, kecepatan, dan jarak komet dari Bumi yang menginvasi hamparan Tata Surya kita. Model ini bersifat deskriptif, karena semua hasil yang diperoleh hanya dapat memperingatkan kita akan adanya bahaya. Sayangnya, kami tidak dapat mempengaruhi hasil acara tersebut. Namun, berdasarkan perhitungan yang diperoleh, tindakan apa pun dapat diambil untuk melestarikan kehidupan di Bumi.

Model optimasi

Sekarang kita akan berbicara sedikit tentang model ekonomi dan matematika, contohnya dapat berupa berbagai situasi saat ini. Dalam hal ini, kita berbicara tentang model yang membantu menemukan jawaban yang benar dalam kondisi tertentu. Mereka pasti memiliki beberapa parameter. Agar lebih jelas, mari kita lihat contoh dari sektor pertanian.

Kami mempunyai lumbung, tetapi biji-bijian cepat rusak. Dalam hal ini, kita perlu memilih kondisi suhu yang tepat dan mengoptimalkan proses penyimpanan.

Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan konsep “model optimasi”. Dalam pengertian matematis, ini adalah sistem persamaan (baik linier maupun tidak), yang solusinya membantu menemukan solusi optimal dalam situasi ekonomi tertentu. Kita telah melihat contoh model matematika (optimasi), namun saya ingin menambahkan: jenis ini termasuk dalam kelas masalah ekstrim, mereka membantu menggambarkan fungsi sistem ekonomi.

Mari kita perhatikan satu nuansa lagi: model dapat memiliki sifat yang berbeda (lihat tabel di bawah).

Model multikriteria

Sekarang kami mengundang Anda untuk berbicara sedikit tentang model matematika optimasi multikriteria. Sebelumnya, kami telah memberikan contoh model matematika untuk mengoptimalkan suatu proses menurut salah satu kriteria, tetapi bagaimana jika ada banyak kriteria?

Contoh mencolok dari tugas multi-kriteria adalah pengorganisasian nutrisi yang tepat, sehat dan sekaligus ekonomis untuk sekelompok besar orang. Tugas seperti ini sering dijumpai di ketentaraan, kantin sekolah, perkemahan musim panas, rumah sakit, dan sebagainya.

Kriteria apa yang diberikan kepada kita dalam tugas ini?

1. Nutrisi harus sehat.
2. Pengeluaran makanan harus minimal.

Seperti yang Anda lihat, tujuan-tujuan ini tidak bersamaan sama sekali. Artinya dalam menyelesaikan suatu masalah perlu dicari solusi yang optimal, keseimbangan antara dua kriteria.

Model permainan

Ketika berbicara tentang model permainan, perlu dipahami konsep “teori permainan”. Sederhananya, model-model ini mencerminkan model matematis dari konflik nyata. Anda hanya perlu memahami bahwa, tidak seperti konflik sebenarnya, model matematika permainan memiliki aturan spesifiknya sendiri.

Sekarang kami akan memberikan sedikit informasi dari teori permainan yang akan membantu Anda memahami apa itu model permainan. Jadi, model tersebut tentu memuat pihak-pihak (dua atau lebih), yang biasa disebut pemain.

Semua model memiliki karakteristik tertentu.

Model permainannya bisa berpasangan atau ganda. Jika kita memiliki dua subjek, maka konfliknya berpasangan; jika lebih banyak, maka konfliknya berlipat ganda. Anda juga bisa membedakan permainan antagonis, disebut juga permainan zero-sum. Ini adalah model di mana keuntungan salah satu peserta sama dengan kerugian peserta lainnya.

Model simulasi

Pada bagian ini kita akan memperhatikan model matematika simulasi. Contoh tugas meliputi:

• model dinamika populasi mikroorganisme;
• model pergerakan molekul, dan sebagainya.

Dalam hal ini, kita berbicara tentang model yang sedekat mungkin dengan proses nyata. Pada umumnya, mereka meniru beberapa manifestasi di alam. Pada kasus pertama misalnya, kita bisa mensimulasikan dinamika jumlah semut dalam satu koloni. Pada saat yang sama, Anda dapat mengamati nasib setiap individu. Dalam hal ini, deskripsi matematis jarang digunakan, kondisi tertulis lebih sering ditemukan:

• setelah lima hari betina bertelur;
• setelah dua puluh hari semut mati, dan seterusnya.

Jadi, mereka digunakan untuk menggambarkan sistem yang besar. Kesimpulan matematis adalah pengolahan data statistik yang diperoleh.

Persyaratan

Penting untuk diketahui bahwa model jenis ini memiliki beberapa persyaratan, termasuk yang tercantum pada tabel di bawah.

Tahapan pemodelan

Secara total, pemodelan matematika biasanya dibagi menjadi empat tahap.

1. Perumusan hukum yang menghubungkan bagian-bagian model.
2. Studi masalah matematika.
3. Penentuan kebetulan hasil praktis dan teoritis.
4. Analisis dan modernisasi model.

Model ekonomi dan matematika

Di bagian ini kami akan menyoroti masalah ini secara singkat. Contoh tugas meliputi:

• pembentukan program produksi untuk produksi produk daging yang menjamin keuntungan produksi yang maksimal;
• memaksimalkan keuntungan organisasi dengan menghitung jumlah optimal meja dan kursi yang diproduksi di pabrik furnitur, dan sebagainya.

Model ekonomi-matematis menampilkan abstraksi ekonomi yang dinyatakan dengan menggunakan istilah dan simbol matematika.

Model matematika komputer

Contoh model matematika komputer adalah:

• masalah hidrolik menggunakan diagram alur, diagram, tabel, dll;
• masalah pada mekanika benda padat, dan sebagainya.

Model komputer adalah gambaran suatu objek atau sistem, yang disajikan dalam bentuk:

• tabel;
• diagram blok;
• diagram;
• grafis, dan sebagainya.

Selain itu, model ini mencerminkan struktur dan interkoneksi sistem.

Konstruksi model ekonomi dan matematika

Kita telah membicarakan tentang apa itu model ekonomi-matematis. Contoh penyelesaian masalah akan dipertimbangkan sekarang. Kita perlu menganalisis program produksi untuk mengidentifikasi cadangan untuk meningkatkan keuntungan dengan adanya pergeseran variasi.

Kami tidak akan mempertimbangkan masalahnya sepenuhnya, tetapi hanya membangun model ekonomi dan matematika. Kriteria tugas kita adalah maksimalisasi keuntungan. Maka fungsinya berbentuk: А=р1*х1+р2*х2..., cenderung maksimal. Dalam model ini, p adalah keuntungan per unit dan x adalah jumlah unit yang diproduksi. Selanjutnya berdasarkan model yang dibangun perlu dilakukan perhitungan dan rangkuman.

Contoh membangun model matematika sederhana

Tugas. Nelayan itu kembali dengan hasil tangkapan sebagai berikut:

• 8 ikan - penghuni laut utara;
• 20% hasil tangkapan adalah penghuni laut selatan;
• Tidak ada satu pun ikan yang ditemukan dari sungai setempat.

Berapa banyak ikan yang dia beli di toko?

Jadi, contoh pembuatan model matematika dari permasalahan ini adalah sebagai berikut. Kami menyatakan jumlah total ikan dengan x. Mengikuti kondisi tersebut, 0,2x adalah jumlah ikan yang hidup di garis lintang selatan. Sekarang kita menggabungkan semua informasi yang tersedia dan mendapatkan model matematika dari soal: x=0,2x+8. Kami memecahkan persamaan dan mendapatkan jawaban atas pertanyaan utama: dia membeli 10 ikan di toko.