Kecepatan gerak saat bergerak melingkar. Gerakan tubuh dalam lingkaran dengan kecepatan modulo konstan
Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan gerak lengkung, yaitu gerak beraturan suatu benda dalam lingkaran. Kita akan mempelajari apa itu kecepatan linier, percepatan sentripetal ketika sebuah benda bergerak melingkar. Kami juga memperkenalkan besaran-besaran yang mencirikan gerak rotasi (periode rotasi, frekuensi rotasi, kecepatan sudut), dan menghubungkan besaran-besaran ini satu sama lain.
Dengan gerakan seragam dalam lingkaran dipahami bahwa tubuh berputar melalui sudut yang sama untuk periode waktu yang identik (lihat Gambar 6).
Beras. 6. Gerakan melingkar seragam
Artinya, modul kecepatan sesaat tidak berubah:
Kecepatan ini disebut linier.
Meskipun modulus kecepatan tidak berubah, arah kecepatan berubah terus menerus. Pertimbangkan vektor kecepatan di titik-titik SEBUAH Dan B(lihat Gambar 7). Mereka diarahkan ke arah yang berbeda, sehingga mereka tidak sama. Jika dikurangi kecepatan di titik B kecepatan titik SEBUAH, kita mendapatkan sebuah vektor .
Beras. 7. Vektor kecepatan
Rasio perubahan kecepatan () dengan waktu selama perubahan ini terjadi () adalah percepatan.
Oleh karena itu, setiap gerak lengkung dipercepat.
Jika kita perhatikan segitiga kecepatan yang diperoleh pada Gambar 7, maka dengan susunan titik yang sangat dekat SEBUAH Dan B satu sama lain, sudut (α) antara vektor kecepatan akan mendekati nol:
Diketahui juga bahwa segitiga ini sama kaki, sehingga modul kecepatannya sama (gerak seragam):
Oleh karena itu, kedua sudut di alas segitiga ini dekat tanpa batas dengan:
Ini berarti bahwa percepatan yang diarahkan sepanjang vektor sebenarnya tegak lurus terhadap garis singgung. Diketahui bahwa garis pada lingkaran yang tegak lurus garis singgung adalah jari-jari, jadi percepatan diarahkan sepanjang jari-jari menuju pusat lingkaran. Percepatan ini disebut sentripetal.
Gambar 8 menunjukkan segitiga kecepatan yang dibahas sebelumnya dan segitiga sama kaki (dua sisi adalah jari-jari lingkaran). Segitiga ini serupa, karena mereka memiliki sudut yang sama yang dibentuk oleh garis yang saling tegak lurus (jari-jari, seperti vektor, tegak lurus terhadap garis singgung).
Beras. 8. Ilustrasi penurunan rumus percepatan sentripetal
Bagian AB adalah bergerak(). Kami sedang mempertimbangkan gerak melingkar beraturan, jadi:
Kami mengganti ekspresi yang dihasilkan untuk AB ke dalam rumus persamaan segitiga:
Konsep "kecepatan linier", "percepatan", "koordinat" tidak cukup untuk menggambarkan gerakan di sepanjang lintasan melengkung. Oleh karena itu, perlu untuk mengenalkan besaran-besaran yang mencirikan gerak rotasi.
1. Periode rotasi (T ) disebut waktu satu putaran penuh. Itu diukur dalam satuan SI dalam hitungan detik.
Contoh periode: Bumi berputar pada porosnya dalam 24 jam (), dan mengelilingi Matahari - dalam 1 tahun ().
Rumus untuk menghitung periode:
di mana total waktu rotasi; - jumlah putaran.
2. Frekuensi rotasi (n ) - jumlah putaran yang dilakukan benda per satuan waktu. Ini diukur dalam satuan SI dalam detik timbal balik.
Rumus untuk mencari frekuensi:
di mana total waktu rotasi; - jumlah putaran
Frekuensi dan periode berbanding terbalik:
3. kecepatan sudut () disebut rasio perubahan sudut di mana tubuh berbelok ke waktu selama belokan ini terjadi. Ini diukur dalam satuan SI dalam radian dibagi dengan detik.
Rumus untuk mencari kecepatan sudut:
di mana perubahan sudut; adalah waktu yang diperlukan untuk terjadinya giliran.
Kasus tertentu yang penting dari gerak partikel sepanjang lintasan tertentu adalah gerak melingkar. Posisi partikel pada lingkaran (Gbr. 46) dapat ditentukan dengan menentukan bukan jarak dari beberapa titik awal A, tetapi sudut yang dibentuk oleh jari-jari yang ditarik dari pusat O lingkaran ke partikel, dengan jari-jari yang ditarik ke titik awal A
Seiring dengan kecepatan gerakan di sepanjang lintasan, yang didefinisikan sebagai
akan lebih mudah untuk memperkenalkan kecepatan sudut yang mencirikan laju perubahan sudut
Kecepatan gerakan sepanjang lintasan disebut juga kecepatan linier. Mari kita bangun hubungan antara kecepatan linier dan sudut. Panjang busur I di bawah sudut adalah di mana jari-jari lingkaran, dan sudut diukur dalam radian. Oleh karena itu, kecepatan sudut juga terkait dengan kecepatan linier oleh hubungan
Beras. 46.Sudut menentukan posisi suatu titik pada lingkaran
Percepatan ketika bergerak di sepanjang lingkaran, serta selama gerak lengkung sewenang-wenang, umumnya memiliki dua komponen: tangensial, diarahkan secara tangensial ke lingkaran dan mencirikan kecepatan perubahan nilai kecepatan, dan normal, diarahkan ke pusat lingkaran dan mencirikan kecepatan perubahan arah kecepatan.
Nilai komponen normal percepatan, yang disebut dalam kasus ini (gerakan melingkar) percepatan sentripetal, diberikan oleh rumus umum (3) 8, di mana kecepatan linier sekarang dapat dinyatakan dalam kecepatan sudut menggunakan rumus (3 ):
Di sini jari-jari lingkaran, tentu saja, sama untuk semua titik lintasan.
Dengan gerak seragam dalam lingkaran, ketika nilainya konstan, kecepatan sudut , seperti yang terlihat dari (3), juga konstan. Dalam hal ini, kadang-kadang disebut frekuensi siklik.
periode dan frekuensi. Untuk mengkarakterisasi gerakan seragam di sepanjang lingkaran, bersama dengan, lebih mudah untuk menggunakan periode revolusi T, yang didefinisikan sebagai waktu selama satu putaran penuh dibuat, dan frekuensi - kebalikan dari periode T, yang sama dengan jumlah putaran per satuan waktu:
Dari definisi (2) dari kecepatan sudut berikut hubungan antara besaran
Hubungan ini memungkinkan kita untuk menulis rumus (4) untuk percepatan sentripetal juga dalam bentuk berikut:
Perhatikan bahwa kecepatan sudut diukur dalam radian per detik, dan frekuensi diukur dalam putaran per detik. Dimensi dengan dan adalah sama karena besaran-besaran ini hanya berbeda oleh faktor numerik
Sebuah tugas
Sepanjang jalan lingkar. Rel kereta api mainan membentuk cincin radius (Gbr. 47). Trailer bergerak di sepanjang mereka, didorong oleh batang yang berputar dengan kecepatan sudut konstan di sekitar titik yang terletak di dalam cincin hampir di rel. Bagaimana kecepatan trailer berubah saat bergerak?
Beras. 47. Untuk menemukan kecepatan sudut saat berkendara di sepanjang jalan lingkar
Larutan. Sudut yang dibentuk oleh batang dengan arah tertentu berubah terhadap waktu menurut hukum linier: . Sebagai arah dari mana sudut diukur, akan lebih mudah untuk mengambil diameter lingkaran yang melewati titik (Gbr. 47). Titik O adalah pusat lingkaran. Jelas, sudut pusat yang menentukan posisi trailer pada lingkaran adalah dua kali sudut tertulis berdasarkan busur yang sama: Oleh karena itu, kecepatan sudut trailer ketika bergerak di sepanjang rel adalah dua kali kecepatan sudut saat batang berputar:
Dengan demikian, kecepatan sudut dari trailer ternyata konstan. Ini berarti bahwa trailer bergerak di sepanjang rel secara merata. Kecepatan liniernya konstan dan sama dengan
Percepatan trailer dengan gerakan seragam seperti itu dalam lingkaran selalu diarahkan ke pusat O, dan modulnya diberikan oleh ekspresi (4):
Perhatikan rumus (4). Bagaimana memahaminya: apakah percepatan masih proporsional atau berbanding terbalik?
Jelaskan mengapa, dengan gerakan tidak rata sepanjang lingkaran, kecepatan sudut mempertahankan artinya, tetapi kehilangan artinya?
Kecepatan sudut sebagai vektor. Dalam beberapa kasus, lebih mudah untuk mempertimbangkan kecepatan sudut sebagai vektor, yang modulusnya adalah arah konstan yang tegak lurus terhadap bidang di mana lingkaran berada. Dengan menggunakan vektor seperti itu, seseorang dapat menulis rumus yang mirip dengan (3), yang menyatakan vektor kecepatan partikel yang bergerak dalam lingkaran.
Beras. 48. Vektor Kecepatan Sudut
Kami menempatkan titik asal di pusat O lingkaran. Kemudian, ketika partikel bergerak, vektor jari-jarinya hanya akan berputar dengan kecepatan sudut , dan modulusnya selalu sama dengan jari-jari lingkaran (Gbr. 48). Dapat dilihat bahwa vektor kecepatan yang diarahkan secara tangensial ke lingkaran dapat direpresentasikan sebagai produk vektor dari vektor kecepatan sudut dan vektor jari-jari partikel:
produk vektor. Menurut definisi, perkalian silang dari dua vektor adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang di mana vektor-vektor yang dikalikan berada. Pemilihan arah perkalian vektor dibuat menurut aturan berikut. Pengganda pertama secara mental berbalik ke arah yang kedua, seolah-olah itu adalah pegangan kunci pas. Produk vektor diarahkan ke arah yang sama seperti sekrup tangan kanan akan bergerak.
Jika faktor-faktor dalam produk vektor dipertukarkan, maka itu akan berubah arah ke sebaliknya: Ini berarti bahwa produk vektor tidak komutatif.
Dari gambar. 48 dapat dilihat bahwa rumus (8) akan memberikan arah yang benar untuk vektor jika vektor co diarahkan persis seperti yang ditunjukkan pada gambar ini. Oleh karena itu, kita dapat merumuskan aturan berikut: arah vektor kecepatan sudut bertepatan dengan arah gerakan sekrup dengan ulir kanan, yang kepalanya berputar ke arah yang sama dengan gerakan partikel di sekitar keliling.
Menurut definisi, modul produk silang sama dengan produk modul vektor yang dikalikan dengan sinus sudut a di antara mereka:
Dalam rumus (8), vektor dikalikan w dan saling tegak lurus, oleh karena itu, sebagaimana mestinya sesuai dengan rumus (3).
Apa yang dapat dikatakan tentang perkalian silang dua vektor paralel?
Apa arah vektor kecepatan sudut jarum jam? Bagaimana perbedaan vektor-vektor ini untuk jarum menit dan jam?
Gerak melingkar beraturan adalah contoh paling sederhana. Misalnya, ujung jarum jam bergerak di sepanjang putaran di sepanjang lingkaran. Kelajuan suatu benda dalam lingkaran disebut kecepatan garis.
Dengan gerakan seragam tubuh sepanjang lingkaran, modul kecepatan tubuh tidak berubah dari waktu ke waktu, yaitu, v = const, dan hanya arah vektor kecepatan yang berubah dalam hal ini (ar = 0), dan perubahan vektor kecepatan dalam arah ditandai dengan nilai yang disebut percepatan sentripetal() n atau CA. Pada setiap titik, vektor percepatan sentripetal diarahkan ke pusat lingkaran sepanjang jari-jari.
Modul percepatan sentripetal sama dengan
a CS \u003d v 2 / R
Dimana v adalah kecepatan linier, R adalah jari-jari lingkaran
Beras. 1.22. Gerakan tubuh dalam lingkaran.
Saat menggambarkan gerakan tubuh dalam lingkaran, gunakan sudut putar radius adalah sudut yang jari-jarinya ditarik dari pusat lingkaran ke titik di mana benda yang bergerak pada saat itu berputar dalam waktu t. Sudut rotasi diukur dalam radian. sama dengan sudut antara dua jari-jari lingkaran, panjang busur di antaranya sama dengan jari-jari lingkaran (Gbr. 1.23). Artinya, jika l = R, maka
1 radian = l / R
Karena lingkar adalah sama dengan
l = 2πR
360 o \u003d 2πR / R \u003d 2π rad.
Akibatnya
1 rad. \u003d 57.2958 tentang \u003d 57 tentang 18 '
Kecepatan sudut gerak seragam tubuh dalam lingkaran adalah nilai , sama dengan rasio sudut rotasi jari-jari dengan interval waktu selama rotasi ini dilakukan:
= / t
Satuan ukuran untuk kecepatan sudut adalah radian per detik [rad/s]. Modulus kecepatan linier ditentukan oleh rasio jarak yang ditempuh l dengan interval waktu t:
v = l / t
Kecepatan garis dengan gerak beraturan sepanjang lingkaran, itu diarahkan secara tangensial pada titik tertentu pada lingkaran. Ketika sebuah titik bergerak, panjang l dari busur lingkaran yang dilalui oleh titik tersebut berhubungan dengan sudut rotasi dengan persamaan
l = Rφ
dimana R adalah jari-jari lingkaran.
Kemudian, dalam kasus gerak beraturan suatu titik, kecepatan linier dan kecepatan sudut dihubungkan oleh hubungan:
v = l / t = Rφ / t = Rω atau v = Rω
Beras. 1.23. Radian.
Periode sirkulasi- ini adalah periode waktu T, selama benda (titik) membuat satu putaran mengelilingi keliling. Frekuensi sirkulasi- ini adalah kebalikan dari periode sirkulasi - jumlah putaran per satuan waktu (per detik). Frekuensi peredaran dilambangkan dengan huruf n.
n=1/T
Untuk satu periode, sudut rotasi titik adalah 2π rad, oleh karena itu 2π = T, dari mana
T = 2π /
Artinya, kecepatan sudut adalah
= 2π / T = 2πn
percepatan sentripetal dapat dinyatakan dalam periode T dan frekuensi putaran n:
a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
Karena kecepatan linier berubah arah secara seragam, maka gerakan sepanjang lingkaran tidak dapat disebut seragam, ia dipercepat secara seragam.
Kecepatan sudut
Pilih satu titik pada lingkaran 1 . Mari kita membangun radius. Untuk satuan waktu, titik akan pindah ke titik 2 . Dalam hal ini, jari-jari menggambarkan sudut. Kecepatan sudut secara numerik sama dengan sudut rotasi jari-jari per satuan waktu.
Periode dan frekuensi
Periode rotasi T adalah waktu yang diperlukan tubuh untuk melakukan satu putaran.
RPM adalah jumlah putaran per detik.
Frekuensi dan periode dihubungkan oleh relasi
Hubungan dengan kecepatan sudut
Kecepatan garis
Setiap titik pada lingkaran bergerak dengan kecepatan tertentu. Kecepatan ini disebut linier. Arah vektor kecepatan linier selalu berimpit dengan garis singgung lingkaran. Misalnya, percikan api dari bawah penggiling bergerak, mengulangi arah kecepatan sesaat.
Pertimbangkan sebuah titik pada lingkaran yang membuat satu putaran, waktu yang dihabiskan - ini adalah periode T.Jalan yang dilalui titik adalah keliling lingkaran.
percepatan sentripetal
Ketika bergerak sepanjang lingkaran, vektor percepatan selalu tegak lurus terhadap vektor kecepatan, diarahkan ke pusat lingkaran.
Dengan menggunakan rumus sebelumnya, kita dapat memperoleh hubungan berikut:
Titik-titik yang terletak pada garis lurus yang sama yang berasal dari pusat lingkaran (misalnya, ini dapat berupa titik-titik yang terletak pada jari-jari roda) akan memiliki kecepatan sudut, periode, dan frekuensi yang sama. Artinya, mereka akan berputar dengan cara yang sama, tetapi dengan kecepatan linier yang berbeda. Semakin jauh titik dari pusat, semakin cepat ia akan bergerak.
Hukum penambahan kecepatan juga berlaku untuk gerak rotasi. Jika gerakan suatu benda atau kerangka acuan tidak seragam, maka hukum berlaku untuk kecepatan sesaat. Misalnya, kecepatan seseorang yang berjalan di sepanjang tepi korsel yang berputar sama dengan jumlah vektor dari kecepatan linier rotasi tepi korsel dan kecepatan orang tersebut.
Bumi berpartisipasi dalam dua gerakan rotasi utama: harian (di sekitar porosnya) dan orbit (di sekitar Matahari). Periode rotasi Bumi mengelilingi Matahari adalah 1 tahun atau 365 hari. Bumi berputar pada porosnya dari barat ke timur, periode rotasi ini adalah 1 hari atau 24 jam. Lintang adalah sudut antara bidang ekuator dan arah dari pusat bumi ke suatu titik di permukaannya.
Menurut hukum kedua Newton, penyebab setiap percepatan adalah gaya. Jika benda yang bergerak mengalami percepatan sentripetal, maka sifat gaya yang menyebabkan percepatan ini mungkin berbeda. Misalnya, jika sebuah benda bergerak melingkar pada tali yang diikatkan padanya, maka gaya yang bekerja adalah gaya elastis.
Jika benda yang terletak di atas piringan berputar bersama piringan di sekitar porosnya, maka gaya tersebut adalah gaya gesekan. Jika gaya berhenti bekerja, maka tubuh akan terus bergerak dalam garis lurus
Pertimbangkan pergerakan titik pada lingkaran dari A ke B. Kecepatan linier sama dengan
Sekarang mari kita beralih ke sistem tetap yang terhubung ke bumi. Percepatan total titik A akan tetap sama baik dalam nilai absolut maupun arahnya, karena percepatan tidak berubah ketika berpindah dari satu kerangka acuan inersia ke kerangka acuan inersia lainnya. Dari sudut pandang pengamat diam, lintasan titik A bukan lagi lingkaran, tetapi kurva yang lebih kompleks (sikloid), di mana titik itu bergerak tidak rata.
Gerak melingkar adalah kasus paling sederhana dari gerak lengkung suatu benda. Ketika sebuah benda bergerak di sekitar titik tertentu, bersama dengan vektor perpindahan, akan lebih mudah untuk memperkenalkan perpindahan sudut (sudut rotasi relatif terhadap pusat lingkaran), diukur dalam radian.
Mengetahui perpindahan sudut, dimungkinkan untuk menghitung panjang busur lingkaran (jalur) yang telah dilalui benda.
l = R
Jika sudut rotasi kecil, maka l ∆ s .
Mari kita ilustrasikan apa yang telah dikatakan:
Kecepatan sudut
Dengan gerak lengkung, konsep kecepatan sudut diperkenalkan, yaitu laju perubahan sudut rotasi.
Definisi. Kecepatan sudut
Kecepatan sudut pada suatu titik lintasan tertentu adalah batas rasio perpindahan sudut dengan selang waktu t selama perpindahan itu terjadi. t → 0 .
= t , t → 0 .
Satuan ukuran untuk kecepatan sudut adalah radian per sekon (r a d s).
Ada hubungan antara kecepatan sudut dan kecepatan linier benda ketika bergerak dalam lingkaran. Rumus untuk mencari kecepatan sudut:
Dengan gerak beraturan dalam lingkaran, kecepatan v dan tetap tidak berubah. Hanya arah vektor kecepatan linier yang berubah.
Dalam hal ini, gerakan seragam sepanjang lingkaran pada benda dipengaruhi oleh sentripetal, atau percepatan normal, yang diarahkan sepanjang jari-jari lingkaran ke pusatnya.
a n = v → t , t → 0
Modul percepatan sentripetal dapat dihitung dengan rumus:
a n = v 2 R = 2 R
Mari kita buktikan hubungan ini.
Mari kita perhatikan bagaimana vektor v → berubah selama periode waktu yang kecil t . v → = v B → - v A → .
Di titik A dan B, vektor kecepatan diarahkan secara tangensial ke lingkaran, sedangkan modul kecepatan di kedua titik adalah sama.
Menurut definisi percepatan:
a → = v → t , t → 0
Mari kita lihat gambarnya:
Segitiga OAB dan BCD sebangun. Dari sini dapat disimpulkan bahwa O A A B = B C C D .
Jika besar sudut kecil, maka jarak A B = s v · t . Mempertimbangkan bahwa O A \u003d R dan C D \u003d v untuk segitiga serupa yang dipertimbangkan di atas, kita mendapatkan:
R v t = v v atau v ∆ t = v 2 R
Ketika → 0 , arah vektor v → = v B → - v A → mendekati arah ke pusat lingkaran. Dengan asumsi bahwa t → 0 , kita peroleh:
a → = a n → = v → t ; t → 0 ; a n → = v 2 R .
Dengan gerakan seragam di sepanjang lingkaran, modul percepatan tetap konstan, dan arah vektor berubah seiring waktu, sambil mempertahankan orientasi ke pusat lingkaran. Itulah sebabnya percepatan ini disebut sentripetal: vektor setiap saat diarahkan ke pusat lingkaran.
Catatan percepatan sentripetal dalam bentuk vektor adalah sebagai berikut:
a n → = - 2 R → .
Di sini R → adalah vektor jari-jari suatu titik pada lingkaran dengan titik asal di pusatnya.
Dalam kasus umum, percepatan ketika bergerak sepanjang lingkaran terdiri dari dua komponen - normal dan tangensial.
Pertimbangkan kasus ketika tubuh bergerak di sepanjang lingkaran secara tidak seragam. Mari kita perkenalkan konsep percepatan tangensial (tangensial). Arahnya bertepatan dengan arah kecepatan linier tubuh dan pada setiap titik lingkaran diarahkan secara tangensial ke sana.
a = v t ; t → 0
Di sini v τ \u003d v 2 - v 1 adalah perubahan dalam modul kecepatan selama interval t
Arah percepatan penuh ditentukan oleh penjumlahan vektor percepatan normal dan percepatan tangensial.
Gerak melingkar pada bidang dapat digambarkan dengan menggunakan dua koordinat: x dan y. Pada setiap momen waktu, kecepatan benda dapat diuraikan menjadi komponen v x dan v y .
Jika gerak beraturan maka nilai v x dan v y serta koordinat yang bersesuaian akan berubah terhadap waktu menurut hukum harmonik dengan periode T = 2 R v = 2 ω
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
