Memecahkan contoh sistem persamaan aljabar linier homogen. Sistem keputusan fundamental (contoh spesifik)

Tujuan layanan. Kalkulator online dirancang untuk menemukan solusi non-sepele dan mendasar terhadap SLAE. Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word (lihat contoh solusi).

instruksi. Pilih dimensi matriks:

Sifat-sifat sistem persamaan linier homogen

Dalil. Suatu sistem dalam kasus m=n mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan sistem ini sama dengan nol.

Dalil. Kombinasi linier apa pun dari solusi suatu sistem juga merupakan solusi sistem tersebut.
Definisi. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier homogen disebut sistem dasar solusi, jika himpunan ini terdiri dari solusi-solusi yang bebas linier dan setiap solusi pada sistem tersebut merupakan kombinasi linier dari solusi-solusi tersebut.

Dalil. Jika pangkat r matriks sistem lebih kecil dari bilangan n yang tidak diketahui, maka terdapat sistem solusi fundamental yang terdiri dari (n-r) solusi.

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linier homogen

1. Mencari rank matriks.
2. Kami memilih minor dasar. Kami membedakan antara yang tidak diketahui yang bergantung (dasar) dan yang bebas.
3. Kami mencoret persamaan-persamaan sistem yang koefisiennya tidak termasuk dalam basis minor, karena merupakan konsekuensi dari persamaan lain (menurut teorema basis minor).
4. Kami memindahkan suku-suku persamaan yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui bebas ke ruas kanan. Hasilnya, kita memperoleh sistem persamaan r dengan r persamaan yang tidak diketahui, setara dengan persamaan tertentu, yang determinannya bukan nol.
5. Kami memecahkan sistem yang dihasilkan dengan menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui. Kami menemukan hubungan yang mengekspresikan variabel terikat melalui variabel bebas.
6. Jika pangkat matriks tidak sama dengan jumlah variabel, maka kita mencari solusi fundamental sistem tersebut.
7. Dalam kasus rang = n kita mempunyai solusi sepele.

Contoh. Tentukan basis dari sistem vektor (a 1, a 2,...,am), rangking dan nyatakan vektor-vektor tersebut berdasarkan basisnya. Jika a 1 =(0,0,1,-1), dan 2 =(1,1,2,0), dan 3 =(1,1,1,1), dan 4 =(3,2,1 ,4), dan 5 =(2,1,0,3).
Mari kita tuliskan matriks utama sistem:

Sistem homogen selalu konsisten dan mempunyai penyelesaian yang sepele
. Agar solusi nontrivial ada, diperlukan pangkat matriks kurang dari jumlah yang tidak diketahui:

.

Sistem solusi mendasar sistem homogen
memanggil sistem solusi dalam bentuk vektor kolom
, yang sesuai dengan dasar kanonik, yaitu. dasar di mana konstanta sewenang-wenang
bergantian ditetapkan sama dengan satu, sedangkan sisanya ditetapkan ke nol.

Maka solusi umum sistem homogen tersebut berbentuk:

Di mana
- konstanta sewenang-wenang. Dengan kata lain, solusi keseluruhan merupakan kombinasi linier dari sistem solusi fundamental.

Dengan demikian, solusi dasar dapat diperoleh dari solusi umum jika hal-hal yang tidak diketahui bebas diberi nilai satu secara bergantian, dan semua yang lain sama dengan nol.

Contoh. Mari kita cari solusi untuk sistemnya

Mari kita terima, maka kita mendapatkan solusi berupa:

Sekarang mari kita membangun sistem solusi mendasar:

.

Solusi umum akan ditulis sebagai:

Penyelesaian sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

Dengan kata lain, setiap kombinasi solusi linier terhadap sistem homogen juga merupakan solusi.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Pemecahan sistem persamaan linear telah menarik perhatian para matematikawan selama beberapa abad. Hasil pertama diperoleh pada abad ke-18. Pada tahun 1750, G. Kramer (1704–1752) menerbitkan karyanya tentang determinan matriks persegi dan mengusulkan algoritma untuk mencari matriks invers. Pada tahun 1809, Gauss menguraikan metode penyelesaian baru yang dikenal sebagai metode eliminasi.

Metode Gauss, atau metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui, terdiri dari fakta bahwa, dengan menggunakan transformasi dasar, suatu sistem persamaan direduksi menjadi sistem ekuivalen berbentuk langkah (atau segitiga). Sistem seperti itu memungkinkan untuk menemukan semua hal yang tidak diketahui secara berurutan dalam urutan tertentu.

Mari kita asumsikan bahwa dalam sistem (1)
(yang selalu memungkinkan).

(1)

Mengalikan persamaan pertama satu per satu dengan apa yang disebut nomor yang cocok

dan menjumlahkan hasil perkalian dengan persamaan sistem yang bersesuaian, kita memperoleh sistem ekuivalen dimana di semua persamaan kecuali persamaan pertama tidak akan ada yang tidak diketahui. X 1

(2)

Sekarang mari kita kalikan persamaan kedua sistem (2) dengan bilangan yang sesuai, dengan asumsi demikian

,

dan menambahkannya dengan yang lebih rendah, kita menghilangkan variabelnya dari semua persamaan, dimulai dari persamaan ketiga.

Melanjutkan proses ini, setelahnya
langkah yang kita dapatkan:

(3)

Jika setidaknya salah satu angkanya
tidak sama dengan nol, maka persamaan yang bersangkutan bertentangan dan sistem (1) tidak konsisten. Sebaliknya, untuk sistem bilangan gabungan apa pun
sama dengan nol. Nomor tidak lebih dari pangkat matriks sistem (1).

Peralihan dari sistem (1) ke (3) disebut lurus ke depan Metode Gauss, dan menemukan yang tidak diketahui dari (3) – kebalikan .

Komentar : Akan lebih mudah untuk melakukan transformasi bukan dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks yang diperluas dari sistem (1).

Contoh. Mari kita cari solusi untuk sistemnya

.

Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem:

.

Mari kita tambahkan yang pertama ke baris 2,3,4, dikalikan dengan (-2), (-3), (-2):

.

Mari kita tukar baris 2 dan 3, lalu pada matriks yang dihasilkan tambahkan baris 2 ke baris 4, dikalikan dengan :

.

Tambahkan ke baris 4 baris 3 dikalikan
:

.

Jelas sekali
, oleh karena itu, sistemnya konsisten. Dari sistem persamaan yang dihasilkan

kami menemukan solusinya dengan substitusi terbalik:

,
,
,
.

Contoh 2. Temukan solusi untuk sistem:

.

Jelas sekali sistemnya tidak konsisten, karena
, A
.

Keuntungan dari metode Gauss :

Kurang padat karya dibandingkan metode Cramer.

Jelas menetapkan kompatibilitas sistem dan memungkinkan Anda menemukan solusi.

Memungkinkan untuk menentukan peringkat matriks apa pun.

Persamaan linier disebut homogen, jika suku bebasnya sama dengan nol, dan sebaliknya tidak homogen. Suatu sistem yang terdiri dari persamaan-persamaan homogen disebut homogen dan mempunyai bentuk umum:

Jelas bahwa setiap sistem homogen adalah konsisten dan mempunyai solusi nol (trivial). Oleh karena itu, ketika diterapkan pada sistem persamaan linier homogen, sering kali kita harus mencari jawaban atas pertanyaan tentang keberadaan solusi bukan nol. Jawaban atas pertanyaan tersebut dapat dirumuskan sebagai teorema berikut.

Dalil . Suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian bukan nol jika dan hanya jika pangkatnya lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui .

Bukti: Mari kita asumsikan bahwa sistem yang peringkatnya sama mempunyai solusi bukan nol. Yang jelas jumlahnya tidak melebihi. Jika sistem memiliki solusi unik. Karena sistem persamaan linier homogen selalu memiliki solusi nol, maka solusi unik tersebut adalah solusi nol. Oleh karena itu, solusi bukan nol hanya mungkin untuk .

Akibat wajar 1 : Sistem persamaan homogen, yang jumlah persamaannya lebih kecil dari jumlah persamaan yang tidak diketahui, selalu mempunyai penyelesaian yang bukan nol.

Bukti: Jika suatu sistem persamaan mempunyai , maka pangkat sistem tersebut tidak melebihi banyaknya persamaan, yaitu . Dengan demikian, kondisinya terpenuhi dan oleh karena itu, sistem mempunyai solusi yang tidak nol.

Akibat wajar 2 : Sistem persamaan homogen yang tidak diketahui mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinannya nol.

Bukti: Mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan linier homogen, yang matriksnya memiliki determinan , mempunyai solusi bukan nol. Kemudian menurut teorema yang terbukti, berarti matriksnya tunggal, yaitu. .

Sistem persamaan aljabar linier homogen.

Suatu sistem persamaan linier dengan n variabel disebut sistem persamaan linier homogen jika semua suku bebasnya sama dengan 0. Suatu sistem persamaan linier homogen selalu konsisten, karena ia selalu memiliki setidaknya solusi nol. Suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian bukan nol jika dan hanya jika pangkat matriks koefisien variabelnya lebih kecil dari jumlah variabelnya, yaitu untuk peringkat A (n. Kombinasi linier apa pun

Solusi sistem Lin. homogen. ur-ii juga merupakan solusi untuk sistem ini.

Suatu sistem yang mempunyai solusi-solusi bebas linier e1, e2,...,еk disebut fundamental jika setiap solusi sistem tersebut merupakan kombinasi solusi-solusi linier. Teorema: jika pangkat r matriks koefisien variabel-variabel sistem persamaan linier homogen lebih kecil dari jumlah variabel n, maka setiap sistem fundamental solusi sistem terdiri dari n-r solusi. Oleh karena itu, solusi umum sistem linier. Satu hari ur-th memiliki bentuk: c1e1+c2e2+...+skek, dengan e1, e2,..., ek – sistem solusi fundamental apa pun, c1, c2,..., ck – bilangan sembarang dan k=n-r. Solusi umum sistem persamaan linear m dengan n variabel sama dengan jumlah

solusi umum sistem yang bersesuaian dengannya adalah homogen. persamaan linear dan solusi partikular arbitrer dari sistem ini.

7. Ruang linier. Subruang. Dasar, dimensi. Cangkang linier. Ruang linier disebut n-dimensi, jika terdapat sistem vektor-vektor bebas linier di dalamnya, dan sistem apa pun dengan jumlah vektor yang lebih besar adalah sistem bergantung linier. Nomor tersebut dipanggil dimensi (jumlah dimensi) ruang linier dan dilambangkan dengan . Dengan kata lain, dimensi suatu ruang adalah jumlah maksimum vektor-vektor bebas linier pada ruang tersebut. Jika bilangan tersebut ada, maka ruang tersebut disebut berdimensi hingga. Jika, untuk sembarang bilangan asli n, terdapat sistem dalam ruang yang terdiri dari vektor-vektor bebas linier, maka ruang tersebut disebut berdimensi tak hingga (ditulis: ). Berikut ini, kecuali dinyatakan lain, ruang berdimensi hingga akan dipertimbangkan.

Basis ruang linier berdimensi n adalah kumpulan vektor bebas linier yang terurut ( vektor dasar).

Teorema 8.1 tentang perluasan suatu vektor dalam suatu basis. Jika merupakan basis dari ruang linier berdimensi n, maka vektor apa pun dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
dan, terlebih lagi, dengan satu-satunya cara, yaitu. koefisien ditentukan secara unik. Dengan kata lain, setiap vektor ruang dapat diperluas menjadi basis dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik.

Memang benar dimensi ruang adalah . Sistem vektor bebas linier (ini adalah basis). Setelah menambahkan vektor apa pun ke basis, kita memperoleh sistem bergantung linier (karena sistem ini terdiri dari vektor-vektor ruang berdimensi n). Dengan menggunakan sifat 7 vektor bergantung linier dan bebas linier, kita memperoleh kesimpulan dari teorema tersebut.

6.3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN

Biarkan sekarang di sistem (6.1).

Sistem yang homogen selalu konsisten. Solusi () disebut nol, atau remeh.

Suatu sistem homogen (6.1) mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika pangkatnya ( ) lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui. Secara khusus, sistem homogen yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinannya sama dengan nol.

Karena kali ini segalanya, alih-alih rumus (6.6) kita mendapatkan yang berikut:

(6.7)

Rumus (6.7) berisi solusi apa pun dari sistem homogen (6.1).

1. Himpunan semua solusi sistem persamaan linier homogen (6.1) membentuk ruang linier.

2. Ruang linierRsemua solusi sistem persamaan linear homogen (6.1) denganNtidak diketahui dan pangkat matriks utama sama denganR, memiliki dimensin–r.

Himpunan apa pun (n–r) solusi bebas linier dari sistem homogen (6.1) membentuk basis dalam ruangRsemua keputusan. Itu disebut mendasar himpunan solusi sistem persamaan homogen (6.1). Penekanan khusus ditempatkan pada "normal" himpunan dasar solusi sistem homogen (6.1):

(6.8)

Menurut definisi dasar, solusi apa pun X sistem homogen (6.1) dapat direpresentasikan dalam bentuk

(6.9)

Di mana – konstanta sembarang.

Karena rumus (6.9) berisi solusi apa pun untuk sistem homogen (6.1), maka rumus tersebut menghasilkan keputusan bersama sistem ini.

Contoh.

Larutan temukan menggunakan kalkulator. Algoritma penyelesaiannya sama dengan sistem persamaan linear tak homogen.
Hanya beroperasi dengan baris, kita mencari pangkat matriks, basis minor; Kami mendeklarasikan ketidaktahuan dependen dan bebas dan menemukan solusi umum.

Contoh 2. Temukan solusi umum dan sistem dasar solusi sistem
Larutan.



,
maka pangkat matriksnya adalah 3 dan sama dengan banyaknya yang tidak diketahui. Ini berarti bahwa sistem tidak memiliki hal-hal yang tidak diketahui secara bebas, dan oleh karena itu mempunyai solusi yang unik - solusi yang sepele.

Latihan . Jelajahi dan pecahkan sistem persamaan linear.
Contoh 4

Latihan . Temukan solusi umum dan khusus dari setiap sistem.
Larutan. Mari kita tuliskan matriks utama sistem:

Tugas . Temukan himpunan solusi mendasar untuk sistem persamaan linear homogen.