Memecahkan persamaan trigonometri. Persamaan Trigonometri Selesaikan persamaan trigonometri sinx 1 2

Kursus video "Dapatkan A" mencakup semua topik yang diperlukan agar berhasil lulus ujian matematika pada poin 60-65. Menyelesaikan semua tugas 1-13 dari Ujian Profil Negara Terpadu di Matematika. Juga cocok untuk lulus ujian Dasar matematika. Jika Anda ingin lulus ujian untuk 90-100 poin, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan ujian untuk kelas 10-11, serta untuk para guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan bagian 1 dari USE dalam matematika (12 soal pertama) dan soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin dalam ujian, dan baik siswa seratus poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa mereka.

Semua teori dibutuhkan. Solusi cepat, jebakan, dan rahasia ujian. Semua tugas terkait bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Unified State Exam-2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas ujian. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Trik rumit, lembar contekan yang bermanfaat, mengembangkan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan visual dari konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, derajat dan logaritma, fungsi dan turunan. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks dari bagian ke-2 ujian.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi berarti data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau menghubunginya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang dapat kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengirimkan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lain serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami sediakan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
Jika Anda berpartisipasi dalam pengundian berhadiah, kompetisi, atau acara promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses pengadilan, dan / atau atas dasar permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami memutuskan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau alasan sosial penting lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan ke pihak ketiga yang sesuai - penerus hukum.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, pengubahan, dan perusakan yang tidak sah.

Hormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami membawa aturan kerahasiaan dan keamanan kepada karyawan kami, dan secara ketat memantau pelaksanaan langkah-langkah kerahasiaan.

Suatu kali saya menyaksikan percakapan antara dua pelamar:

- Kapan Anda harus menambahkan 2πn, dan kapan - πn? Saya tidak ingat!

- Dan saya memiliki masalah yang sama.

Jadi saya ingin memberi tahu mereka: "Penting untuk tidak menghafal, tetapi untuk memahami!"

Artikel ini ditujukan terutama untuk siswa sekolah menengah dan, saya harap, akan membantu mereka dengan "pemahaman" untuk memecahkan persamaan trigonometri yang paling sederhana:

Lingkaran nomor

Seiring dengan konsep garis bilangan, ada pula konsep lingkaran bilangan. Seperti yang kita tahu, dalam sistem koordinat persegi panjang, lingkaran dengan pusat pada titik (0; 0) dan jari-jari 1 disebut satuan. Bayangkan sebuah garis lurus numerik dengan benang tipis dan lilitkan di sekitar lingkaran ini: titik awal (titik 0), kita pasang ke titik "kanan" dari lingkaran satuan, kita putar semiaxis positif berlawanan arah jarum jam, dan semiaxis negatif ke arah (Gbr. 1). Lingkaran satuan seperti itu disebut lingkaran bilangan.

Properti nomor lingkaran

Setiap bilangan real terletak pada satu titik lingkaran bilangan.
Ada banyak bilangan real tak terhingga di setiap titik lingkaran bilangan. Karena panjang lingkaran satuan adalah 2π, selisih antara dua bilangan pada satu titik lingkaran sama dengan salah satu bilangan ± 2π; ± 4π; ± 6π; ...

Mari kita simpulkan: mengetahui salah satu bilangan titik A, kita dapat menemukan semua bilangan titik A..

Mari menggambar diameter speaker (Gbr. 2). Karena x_0 adalah salah satu bilangan titik A, bilangan tersebut x_0 ± π; x_0 ± 3π; x_0 ± 5π; ... dan hanya bilangan tersebut yang akan menjadi bilangan titik C. Mari pilih salah satu bilangan ini, katakanlah, x_0 + π, dan tuliskan semua bilangan titik C menggunakannya: x_C \u003d x_0 + π + 2πk, k∈Z. Perhatikan bahwa angka-angka pada titik A dan C dapat digabungkan menjadi satu rumus: x_ (A; C) \u003d x_0 + πk, k∈Z (untuk k \u003d 0; ± 2; ± 4; ... kita mendapatkan jumlah titik A, dan untuk k \u003d ± 1; ± 3; ± 5;… - jumlah titik C).

Mari kita simpulkan: mengetahui salah satu angka di salah satu titik A atau C dari diameter AC, kita dapat menemukan semua angka di titik-titik ini.

Dua angka yang berlawanan terletak pada titik-titik lingkaran yang simetris di sekitar sumbu absis.

Mari menggambar akord vertikal AB (Gbr. 2). Karena titik A dan B simetris terhadap sumbu Kerbau, bilangan -x_0 terletak di titik B dan, oleh karena itu, semua bilangan titik B diberikan dengan rumus: x_B \u003d -x_0 + 2πk, k∈Z. Kami menulis angka-angka pada titik A dan B dengan satu rumus: x_ (A; B) \u003d ± x_0 + 2πk, k∈Z. Mari kita simpulkan: mengetahui salah satu angka di salah satu titik A atau B dari akord vertikal AB, kita dapat menemukan semua angka pada titik-titik ini. Perhatikan akord horizontal AD dan temukan angka dari titik D (Gbr. 2). Karena BD adalah diameter dan bilangan -x_0 milik titik B, maka -x_0 + π adalah salah satu bilangan titik D dan, oleh karena itu, semua bilangan titik ini diberikan dengan rumus x_D \u003d -x_0 + π + 2πk, k∈Z. Angka-angka pada titik A dan D dapat ditulis dengan satu rumus: x_ (A; D) \u003d (- 1) ^ k ∙ x_0 + πk, k∈Z. (untuk k \u003d 0; ± 2; ± 4;… kita mendapatkan jumlah titik A, dan untuk k \u003d ± 1; ± 3; ± 5;… - jumlah titik D).

Mari kita simpulkan: mengetahui salah satu angka di salah satu titik A atau D dari akor horizontal AD, kita dapat menemukan semua angka di titik ini.

Enam belas poin utama dari lingkaran angka

Dalam praktiknya, solusi untuk sebagian besar persamaan trigonometri yang paling sederhana dikaitkan dengan enam belas titik lingkaran (Gbr. 3). Apa poin-poin ini? Titik merah, biru dan hijau membagi lingkaran menjadi 12 bagian yang sama. Karena panjang setengah lingkaran adalah π, panjang busur A1A2 adalah π / 2, panjang busur A1B1 adalah π / 6, dan panjang busur A1C1 adalah π / 3.

Sekarang kita dapat menunjukkan satu angka pada satu waktu:

π / 3 pada C1 dan

Simpul dari persegi oranye adalah titik tengah dari setiap kuartal, oleh karena itu, panjang busur A1D1 sama dengan π / 4 dan, oleh karena itu, π / 4 adalah salah satu bilangan titik D1. Dengan menggunakan properti lingkaran bilangan, kita dapat menuliskan dengan bantuan rumus semua bilangan pada semua titik yang ditandai pada lingkaran kita. Gambar tersebut juga menunjukkan koordinat titik-titik ini (kami akan menghilangkan deskripsi bagaimana mereka diperoleh).

Setelah menguasai hal-hal di atas, kami sekarang memiliki persiapan yang cukup untuk menyelesaikan kasus-kasus khusus (untuk sembilan nilai angka sebuah) persamaan paling sederhana.

Pecahkan Persamaan

1) sinx \u003d 1⁄ (2).

- Apa yang dibutuhkan dari kita?

– Temukan semua bilangan x yang sinusnya 1/2.

Mari kita ingat definisi sinus: sinx - ordinat dari titik lingkaran bilangan tempat bilangan x berada ... Kami memiliki dua titik pada lingkaran yang ordinatnya adalah 1/2. Ini adalah ujung dari akord horizontal B1B2. Oleh karena itu, syarat “menyelesaikan persamaan sinx \u003d 1⁄2” sama dengan syarat “mencari semua bilangan di titik B1 dan semua bilangan di titik B2”.

2) sinx \u003d -√3⁄2 .

Kita perlu menemukan semua angka di titik C4 dan C3.

3) sinx \u003d 1... Pada lingkaran kita hanya memiliki satu titik dengan ordinat 1 - titik A2 dan, oleh karena itu, kita hanya perlu menemukan semua angka dari titik ini.

Jawab: x \u003d π / 2 + 2πk, k∈Z.

4) sinx \u003d -1 .

Hanya titik A_4 yang memiliki ordinat -1. Semua angka dari titik ini akan menjadi kuda persamaan.

Jawab: x \u003d -π / 2 + 2πk, k∈Z.

5) sinx \u003d 0 .

Pada lingkaran kita memiliki dua titik dengan ordinat 0 - titik A1 dan A3. Anda dapat menentukan angka-angka pada setiap titik secara terpisah, tetapi, mengingat titik-titik ini berlawanan secara diametris, lebih baik untuk menggabungkannya menjadi satu rumus: x \u003d πk, k∈Z.

Jawab: x \u003d πk, k∈Z .

6) cosx \u003d √2⁄2 .

Mari kita ingat definisi cosinus: cosx - absis dari titik lingkaran bilangan tempat bilangan x berada. Pada lingkaran kita memiliki dua titik dengan absis √2⁄2 - ujung tali horizontal D1D4. Kita perlu menemukan semua angka di titik ini. Mari tuliskan dengan menggabungkannya menjadi satu rumus.

Jawab: x \u003d ± π / 4 + 2πk, k∈Z.

7) cosx \u003d -1⁄2 .

Anda perlu mencari angka di titik C_2 \u200b\u200bdan C_3.

Jawab: x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k∈Z .

10) cosx \u003d 0 .

Hanya titik A2 dan A4 yang memiliki absis 0, yang berarti semua bilangan di masing-masing titik ini akan menjadi solusi persamaan.
.

Solusi dari persamaan sistem adalah bilangan pada titik B_3 dan B_4 Pertidaksamaan cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Jawab: x \u003d -5π / 6 + 2πk, k∈Z.

Perhatikan bahwa untuk nilai x yang dapat diterima, faktor kedua adalah positif dan, oleh karena itu, persamaannya setara dengan sistem

Solusi dari persamaan sistem adalah jumlah titik D_2 dan D_3. Jumlah titik D_2 tidak memenuhi pertidaksamaan sinx≤0.5, dan jumlah titik D_3 memenuhi.

situs blog, dengan materi yang disalin seluruhnya atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri adalah: pengurangan persamaan menjadi yang paling sederhana (menggunakan rumus trigonometri), pengenalan variabel baru, faktorisasi. Mari pertimbangkan penerapannya dengan contoh. Perhatikan desain pencatatan solusi persamaan trigonometri.

Prasyarat agar penyelesaian persamaan trigonometri berhasil adalah pengetahuan tentang rumus trigonometri (topik 13 pekerjaan 6).

Contoh.

1. Persamaan yang direduksi menjadi yang paling sederhana.

1) Pecahkan persamaannya

Keputusan:

Menjawab:

2) Temukan akar persamaan

(sinx + cosx) 2 \u003d 1 - sinxcosx termasuk dalam segmen.

Keputusan:

Menjawab:

2. Persamaan yang direduksi menjadi kuadrat.

1) Selesaikan persamaan 2 sin 2 x - cosx –1 \u003d 0.

Keputusan: Menggunakan rumus sin 2 x \u003d 1 - cos 2 x, kami memperoleh

Menjawab:

2) Selesaikan persamaan cos 2x \u003d 1 + 4 cosx.

Keputusan: Menggunakan rumus cos 2x \u003d 2 cos 2 x - 1, kita dapatkan

Menjawab:

3) Selesaikan persamaan tgx - 2ctgx + 1 \u003d 0

Keputusan:

Menjawab:

3. Persamaan homogen

1) Selesaikan persamaan 2sinx - 3cosx \u003d 0

Solusi: Misalkan cosx \u003d 0, lalu 2sinx \u003d 0 dan sinx \u003d 0 - kontradiksi dengan fakta bahwa sin 2 x + cos 2 x \u003d 1. Jadi cosx ≠ 0 dan Anda dapat membagi persamaan tersebut dengan cosx. Kita mendapatkan

Menjawab:

2) Selesaikan persamaan 1 + 7 cos 2 x \u003d 3 sin 2x

Keputusan:

Menggunakan rumus 1 \u003d sin 2 x + cos 2 x dan sin 2x \u003d 2 sinxcosx, kita dapatkan

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x \u003d 6sinxcosx
sin 2 x - 6sinxcosx + 8cos 2 x \u003d 0

Misalkan cosx \u003d 0, lalu sin 2 x \u003d 0 dan sinx \u003d 0 - kontradiksi dengan fakta bahwa sin 2 x + cos 2 x \u003d 1.
Oleh karena itu cosx ≠ 0 dan persamaan tersebut dapat dibagi dengan cos 2 x . Kita mendapatkan

tg 2 x - 6 tgx + 8 \u003d 0
Sebutkan tgx \u003d y
y 2 - 6 y + 8 \u003d 0
y 1 \u003d 4; y 2 \u003d 2
a) tgx \u003d 4, x \u003d arctg4 + 2 k, k
b) tgx \u003d 2, x \u003d arctg2 + 2 k, k .

Menjawab: arctg4 + 2 k, arctg2 + 2 k, k

4. Persamaan bentuk Sebuah sinx + b cosx \u003d s, s≠ 0.

1) Pecahkan persamaannya.

Keputusan:

Menjawab:

5. Persamaan diselesaikan dengan faktorisasi.

1) Selesaikan persamaan sin2x - sinx \u003d 0.

Akar persamaan f ( x) = φ ( x), hanya angka 0 yang dapat digunakan. Mari kita periksa:

cos 0 \u003d 0 + 1 - persamaan itu benar.

Angka 0 adalah satu-satunya akar persamaan ini.

Menjawab: 0.