Memecahkan persamaan trigonometri. Persamaan trigonometri Selesaikan persamaan trigonometri sinx 1 2

Kursus video "Dapatkan nilai A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika dengan 60-65 poin. Selesaikan semua tugas 1-13 Profil Ujian Negara Bersatu dalam matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan Ujian Negara Terpadu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.

Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Bersatu 2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks Bagian 2 Ujian Negara Bersatu.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Saya pernah menyaksikan percakapan antara dua pelamar:

– Kapan Anda harus menambahkan 2πn, dan kapan Anda harus menambahkan πn? Saya tidak ingat!

– Dan saya memiliki masalah yang sama.

Saya hanya ingin memberi tahu mereka: “Tidak perlu menghafal, tapi pahami!”

Artikel ini ditujukan terutama kepada siswa sekolah menengah dan, saya harap, akan membantu mereka memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana dengan “pemahaman”:

Lingkaran angka

Selain konsep garis bilangan, ada pula konsep lingkaran bilangan. Seperti yang kita tahu, dalam sistem koordinat persegi panjang, lingkaran yang berpusat di titik (0;0) dan berjari-jari 1 disebut lingkaran satuan. Mari kita bayangkan garis bilangan sebagai benang tipis dan melilitkannya di sekeliling lingkaran ini: kita akan menempelkan titik asal (titik 0) ke titik “kanan” lingkaran satuan, kita akan membungkus sumbu semi positif berlawanan arah jarum jam, dan semi-sumbu negatif -sumbu searah (Gbr. 1). Lingkaran satuan seperti ini disebut lingkaran bilangan.

Sifat-sifat lingkaran bilangan

Setiap bilangan real terletak pada satu titik pada lingkaran bilangan.
Terdapat tak terhingga banyaknya bilangan real di setiap titik pada lingkaran bilangan. Karena panjang lingkaran satuan adalah 2π, selisih antara dua bilangan apa pun pada satu titik pada lingkaran sama dengan salah satu bilangan ±2π; ±4π ; ±6π ; ...

Mari kita simpulkan: mengetahui salah satu bilangan titik A, kita dapat mencari semua bilangan titik A.

Mari kita menggambar diameter AC (Gbr. 2). Karena x_0 adalah salah satu bilangan titik A, maka bilangan x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... dan hanya angka-angka tersebut yang akan menjadi bilangan di titik C. Mari kita pilih salah satu dari bilangan-bilangan ini, katakanlah, x_0+π, dan gunakan bilangan tersebut untuk menuliskan semua bilangan di titik C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Perhatikan bahwa bilangan-bilangan di titik A dan C dapat digabungkan menjadi satu rumus: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (untuk k = 0; ±2; ±4; ... kita memperoleh bilangan titik A, dan untuk k = ±1;

Mari kita simpulkan: mengetahui salah satu bilangan di salah satu titik A atau C dengan diameter AC, kita dapat mencari semua bilangan di titik-titik tersebut.

Dua buah bilangan yang berhadapan terletak pada titik-titik lingkaran yang simetris terhadap sumbu absis.

Mari kita menggambar tali busur vertikal AB (Gbr. 2). Karena titik A dan B simetris terhadap sumbu Ox, bilangan -x_0 terletak di titik B dan oleh karena itu, semua bilangan di titik B diberikan dengan rumus: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Kita menulis bilangan di titik A dan B menggunakan satu rumus: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Mari kita simpulkan: dengan mengetahui salah satu bilangan di salah satu titik A atau B pada tali busur vertikal AB, kita dapat mencari semua bilangan di titik-titik tersebut. Mari kita perhatikan tali busur horizontal AD dan temukan bilangan titik D (Gbr. 2). Karena BD adalah diameter dan bilangan -x_0 merupakan bilangan titik B, maka -x_0 + π adalah salah satu bilangan titik D dan oleh karena itu, semua bilangan titik tersebut diberikan dengan rumus x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Bilangan di titik A dan D dapat ditulis dengan satu rumus: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (untuk k= 0; ±2; ±4; … kita mendapatkan banyaknya titik A, dan untuk k = ±1; ±3; ±5; … – banyaknya titik D).

Mari kita simpulkan: dengan mengetahui salah satu bilangan pada salah satu titik A atau D pada tali busur mendatar AD, kita dapat mencari semua bilangan pada titik-titik tersebut.

Enam belas poin utama lingkaran bilangan

Dalam praktiknya, menyelesaikan sebagian besar persamaan trigonometri paling sederhana melibatkan enam belas titik pada sebuah lingkaran (Gbr. 3). Apa titik-titik ini? Titik merah, biru dan hijau membagi lingkaran menjadi 12 bagian yang sama besar. Karena panjang setengah lingkaran adalah π, maka panjang busur A1A2 adalah π/2, panjang busur A1B1 adalah π/6, dan panjang busur A1C1 adalah π/3.

Sekarang kita dapat menunjukkan satu nomor dalam satu waktu:

π/3 pada C1 dan

Titik-titik sudut pada persegi jingga adalah titik tengah busur pada setiap bagian, oleh karena itu, panjang busur A1D1 sama dengan π/4 dan oleh karena itu, π/4 adalah salah satu bilangan dari titik D1. Dengan menggunakan sifat-sifat lingkaran bilangan, kita dapat menggunakan rumus untuk menuliskan semua bilangan pada semua titik yang ditandai pada lingkaran kita. Koordinat titik-titik ini juga ditandai pada gambar (kami akan menghilangkan deskripsi perolehannya).

Setelah mempelajari hal di atas, sekarang kita memiliki persiapan yang cukup untuk menyelesaikan kasus-kasus khusus (untuk sembilan nilai bilangan A) persamaan paling sederhana.

Selesaikan persamaan

1)sinx=1⁄(2).

– Apa yang diminta dari kita?

– Temukan semua bilangan x yang sinusnya 1/2.

Mari kita ingat kembali definisi sinus: sinx – ordinat titik pada lingkaran bilangan tempat bilangan x berada. Kita mempunyai dua titik pada lingkaran yang ordinatnya sama dengan 1/2. Ini adalah ujung tali busur horizontal B1B2. Artinya syarat “selesaikan persamaan sinx=1⁄2” sama dengan syarat “temukan semua bilangan di titik B1 dan semua bilangan di titik B2”.

2)sinx=-√3⁄2 .

Kita perlu mencari semua angka di titik C4 dan C3.

3) dosax=1. Pada lingkaran kita hanya mempunyai satu titik dengan ordinat 1 - titik A2 dan oleh karena itu, kita hanya perlu mencari semua bilangan pada titik tersebut.

Jawaban: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)dosax=-1 .

Hanya titik A_4 yang mempunyai ordinat -1. Semua bilangan pada titik ini akan menjadi kuda-kuda persamaan.

Jawaban: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) dosax=0 .

Pada lingkaran kita mempunyai dua titik dengan ordinat 0 - titik A1 dan A3. Anda dapat menunjukkan angka-angka di masing-masing titik secara terpisah, tetapi mengingat titik-titik ini berlawanan secara diametral, lebih baik menggabungkannya ke dalam satu rumus: x=πk,k∈Z.

Jawaban: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Mari kita ingat kembali definisi cosinus: cosx adalah absis titik pada lingkaran bilangan tempat bilangan x berada. Pada lingkaran kita memiliki dua titik dengan absis √2⁄2 - ujung tali busur horizontal D1D4. Kita perlu menemukan semua angka pada titik-titik ini. Mari kita tuliskan, gabungkan menjadi satu rumus.

Jawaban: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Kita perlu mencari angka di titik C_2 dan C_3.

Jawaban: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Hanya titik A2 dan A4 yang mempunyai absis 0, artinya semua bilangan pada masing-masing titik tersebut merupakan penyelesaian persamaan tersebut.
.

Penyelesaian persamaan sistem adalah bilangan di titik B_3 dan B_4 pada pertidaksamaan cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Jawaban: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Perhatikan bahwa untuk setiap nilai x yang diperbolehkan, faktor kedua adalah positif dan, oleh karena itu, persamaan tersebut ekuivalen dengan sistem

Penyelesaian persamaan sistem adalah banyaknya titik D_2 dan D_3. Bilangan di titik D_2 tidak memenuhi pertidaksamaan sinx≤0,5, tetapi bilangan di titik D_3 memenuhi.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Metode utama penyelesaian persamaan trigonometri adalah: mereduksi persamaan menjadi yang paling sederhana (menggunakan rumus trigonometri), memasukkan variabel baru, dan memfaktorkan. Mari kita lihat penggunaannya dengan contoh. Perhatikan format penulisan penyelesaian persamaan trigonometri.

Prasyarat untuk berhasil menyelesaikan persamaan trigonometri adalah pengetahuan tentang rumus trigonometri (topik 13 pekerjaan 6).

Contoh.

1. Persamaan direduksi menjadi yang paling sederhana.

1) Selesaikan persamaannya

Larutan:

Menjawab:

2) Temukan akar persamaannya

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, termasuk dalam segmen tersebut.

Larutan:

Menjawab:

2. Persamaan yang direduksi menjadi kuadrat.

1) Selesaikan persamaan 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Larutan: Dengan menggunakan rumus sin 2 x = 1 – cos 2 x, kita peroleh

Menjawab:

2) Selesaikan persamaan cos 2x = 1 + 4 cosx.

Larutan: Dengan menggunakan rumus cos 2x = 2 cos 2 x – 1, kita peroleh

Menjawab:

3) Selesaikan persamaan tgx – 2ctgx + 1 = 0

Larutan:

Menjawab:

3. Persamaan homogen

1) Selesaikan persamaan 2sinx – 3cosx = 0

Penyelesaian: Misalkan cosx = 0, maka 2sinx = 0 dan sinx = 0 – kontradiksi dengan sin 2 x + cos 2 x = 1. Artinya cosx ≠ 0 dan persamaan tersebut dapat kita bagi dengan cosx. Kita mendapatkan

Menjawab:

2) Selesaikan persamaan 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Larutan:

Kita menggunakan rumus 1 = sin 2 x + cos 2 x dan sin 2x = 2 sinxcosx, kita peroleh

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Misalkan cosx = 0, maka sin 2 x = 0 dan sinx = 0 – kontradiksi dengan fakta bahwa sin 2 x + cos 2 x = 1.
Artinya cosx ≠ 0 dan kita dapat membagi persamaan tersebut dengan cos 2 x . Kita mendapatkan

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Mari kita nyatakan tgx = y
kamu 2 – 6 kamu + 8 = 0
kamu 1 = 4; kamu2=2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Menjawab: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Persamaan bentuk A sinx + B karenax = s, s≠ 0.

1) Selesaikan persamaannya.

Larutan:

Menjawab:

5. Persamaan diselesaikan dengan faktorisasi.

1) Selesaikan persamaan sin2x – sinx = 0.

Akar persamaan F (X) = φ ( X) hanya dapat berfungsi sebagai angka 0. Mari kita periksa ini:

cos 0 = 0 + 1 – persamaan tersebut benar.

Angka 0 adalah satu-satunya akar persamaan ini.

Menjawab: 0.