Luas segitiga - rumus dan contoh pemecahan masalah. Dalil luas segitiga, teorema sinus dan kosinus Luas segitiga menurut kosinus dan dua sisinya

Dapat dicari dengan mengetahui alas dan tingginya. Kesederhanaan diagram ini terletak pada kenyataan bahwa ketinggian membagi alas a menjadi dua bagian a 1 dan a 2, dan segitiga itu sendiri menjadi dua segitiga siku-siku, yang luasnya adalah dan. Maka luas seluruh segitiga akan menjadi jumlah dari dua luas yang ditunjukkan, dan jika kita mengambil satu detik dari tinggi dari tanda kurung, maka kita mendapatkan kembali alasnya:

Metode perhitungan yang lebih sulit adalah rumus Heron, yang mana Anda perlu mengetahui ketiga sisinya. Untuk rumus ini, pertama-tama Anda perlu menghitung setengah keliling segitiga: Rumus Heron sendiri menyiratkan akar kuadrat dari setengah keliling, dikalikan dengan selisihnya di setiap sisi.

Metode berikut, juga relevan untuk segitiga apa pun, memungkinkan Anda mencari luas segitiga melalui dua sisi dan sudut di antara keduanya. Buktinya berasal dari rumus tinggi - kita menggambar tinggi pada salah satu sisi yang diketahui dan melalui sinus sudut α kita memperoleh h=a⋅sinα. Untuk menghitung luas, kalikan setengah tinggi dengan sisi kedua.

Cara lainnya adalah dengan mencari luas segitiga dengan mengetahui 2 sudut dan sisi di antara keduanya. Pembuktian rumus ini cukup sederhana dan terlihat jelas dari diagram.

Kami menurunkan ketinggian dari titik sudut ketiga ke sisi yang diketahui dan masing-masing memanggil segmen yang dihasilkan x. Dari segitiga siku-siku terlihat ruas pertama x sama dengan hasil kali

Sederhananya, ini adalah sayuran yang dimasak dalam air sesuai resep khusus. Saya akan mempertimbangkan dua komponen awal (salad sayuran dan air) dan hasil akhirnya - borscht. Secara geometris, dapat digambarkan sebagai persegi panjang, dengan satu sisi melambangkan selada dan sisi lainnya melambangkan air. Jumlah kedua sisi ini akan menunjukkan borscht. Diagonal dan luas persegi panjang “borscht” adalah konsep matematika murni dan tidak pernah digunakan dalam resep borscht.

Anda tidak akan menemukan apa pun tentang fungsi sudut linier di buku teks matematika. Tapi tanpa mereka tidak akan ada matematika. Hukum matematika, seperti hukum alam, bekerja terlepas dari apakah kita mengetahui keberadaannya atau tidak.

Fungsi sudut linier adalah hukum penjumlahan. Lihat bagaimana aljabar berubah menjadi geometri dan geometri berubah menjadi trigonometri.

Apakah mungkin dilakukan tanpa fungsi sudut linier? Hal ini mungkin terjadi, karena matematikawan masih dapat melakukannya tanpa mereka. Trik para ahli matematika adalah mereka selalu memberi tahu kita hanya tentang masalah-masalah yang mereka sendiri tahu cara menyelesaikannya, dan tidak pernah membicarakan masalah-masalah yang tidak dapat mereka pecahkan. Lihat. Jika kita mengetahui hasil penjumlahan dan satu suku, kita menggunakan pengurangan untuk mencari suku lainnya. Semua. Kami tidak mengetahui masalah lain dan tidak mengetahui cara menyelesaikannya. Apa yang harus kita lakukan jika kita hanya mengetahui hasil penjumlahan dan tidak mengetahui kedua sukunya? Dalam hal ini, hasil penjumlahan harus didekomposisi menjadi dua suku menggunakan fungsi sudut linier. Selanjutnya, kita sendiri yang memilih salah satu sukunya, dan fungsi sudut linier menunjukkan berapa suku kedua yang seharusnya agar hasil penjumlahannya sesuai dengan yang kita butuhkan. Pasangan suku seperti itu jumlahnya tidak terbatas. Dalam kehidupan sehari-hari, kita baik-baik saja tanpa menguraikan jumlahnya; Namun dalam penelitian ilmiah mengenai hukum alam, menguraikan suatu penjumlahan menjadi komponen-komponennya bisa sangat berguna.

Hukum penjumlahan lain yang tidak suka dibicarakan oleh para ahli matematika (trik mereka yang lain) mengharuskan suku-suku tersebut memiliki satuan pengukuran yang sama. Untuk salad, air, dan borscht, ini bisa berupa satuan berat, volume, nilai, atau satuan ukuran.

Gambar tersebut menunjukkan dua tingkat perbedaan matematika. Tingkat pertama adalah perbedaan dalam bidang angka yang ditunjukkan A, B, C. Inilah yang dilakukan para ahli matematika. Tingkat kedua adalah perbedaan bidang satuan pengukuran, yang ditunjukkan dalam tanda kurung siku dan ditandai dengan huruf kamu. Inilah yang dilakukan fisikawan. Kita dapat memahami tingkat ketiga - perbedaan luas benda yang dideskripsikan. Benda yang berbeda dapat mempunyai jumlah satuan pengukuran yang sama. Betapa pentingnya hal ini dapat kita lihat pada contoh trigonometri borscht. Jika kita menambahkan subskrip ke satuan pengukuran yang sama untuk objek yang berbeda, kita dapat mengetahui dengan pasti besaran matematis apa yang mendeskripsikan objek tertentu dan bagaimana perubahannya seiring waktu atau karena tindakan kita. Surat W Saya akan menunjukkan air dengan surat itu S Saya akan menunjuk salad dengan surat B- borscht. Seperti inilah fungsi sudut linier untuk borscht.

Jika kita mengambil sebagian air dan sebagian salad, keduanya akan berubah menjadi satu porsi borscht. Di sini saya sarankan Anda beristirahat sejenak dari borscht dan mengingat masa kecil Anda yang jauh. Ingat bagaimana kita diajari untuk menyatukan kelinci dan bebek? Penting untuk mengetahui berapa banyak hewan yang ada. Apa yang diajarkan kepada kita saat itu? Kami diajari untuk memisahkan satuan ukuran dari angka dan menjumlahkan angka. Ya, satu nomor dapat ditambahkan ke nomor lainnya. Ini adalah jalan langsung menuju autisme matematika modern - kita melakukannya dengan tidak dapat dipahami apa, tidak dapat dipahami mengapa, dan sangat kurang memahami bagaimana hal ini berhubungan dengan kenyataan, karena tiga tingkat perbedaan, ahli matematika beroperasi hanya dengan satu tingkat. Akan lebih tepat jika mempelajari cara berpindah dari satu satuan pengukuran ke satuan pengukuran lainnya.

Kelinci, bebek, dan binatang kecil dapat dihitung satu per satu. Satu satuan pengukuran umum untuk objek yang berbeda memungkinkan kita untuk menjumlahkannya. Ini adalah masalah versi anak-anak. Mari kita lihat masalah serupa pada orang dewasa. Apa yang Anda dapatkan jika menambahkan kelinci dan uang? Di sini kami dapat menawarkan dua solusi.

Pilihan pertama. Kami menentukan nilai pasar kelinci dan menambahkannya ke jumlah uang yang tersedia. Kami mendapatkan nilai total kekayaan kami dalam bentuk moneter.

Pilihan kedua. Anda dapat menambahkan jumlah kelinci ke jumlah uang kertas yang kita miliki. Kami akan menerima sejumlah barang bergerak dalam potongan.

Seperti yang Anda lihat, hukum penjumlahan yang sama memungkinkan Anda mendapatkan hasil yang berbeda. Itu semua tergantung pada apa sebenarnya yang ingin kita ketahui.

Tapi mari kita kembali ke borscht kita. Sekarang kita dapat melihat apa yang akan terjadi pada nilai sudut yang berbeda dari fungsi sudut linier.

Sudutnya nol. Kami punya salad, tapi tidak ada air. Kami tidak bisa memasak borscht. Jumlah borscht juga nol. Ini tidak berarti bahwa nol borscht sama dengan nol air. Tidak ada borscht dengan nol salad (sudut kanan).

Bagi saya pribadi, ini adalah bukti matematis utama dari fakta bahwa . Nol tidak mengubah angka ketika dijumlahkan. Hal ini terjadi karena penjumlahan sendiri tidak mungkin dilakukan jika hanya ada satu suku dan suku kedua tidak ada. Anda dapat merasakan hal ini sesuka Anda, tetapi ingat - semua operasi matematika dengan nol ditemukan oleh ahli matematika sendiri, jadi buang logika Anda dan dengan bodohnya menjejalkan definisi yang ditemukan oleh ahli matematika: "pembagian dengan nol tidak mungkin", "bilangan apa pun dikalikan dengan nol sama dengan nol”, “di luar titik tusukan nol” dan omong kosong lainnya. Cukup diingat sekali bahwa nol bukanlah suatu bilangan, dan anda tidak akan pernah lagi mempertanyakan apakah nol itu bilangan asli atau bukan, karena pertanyaan seperti itu kehilangan maknanya: bagaimana sesuatu yang bukan bilangan dapat dianggap suatu bilangan? ? Ini seperti menanyakan warna apa yang harus diklasifikasikan sebagai warna yang tidak terlihat. Menambah angka nol pada suatu angka sama saja dengan mengecat dengan cat yang tidak ada. Kami melambaikan kuas kering dan memberi tahu semua orang bahwa “kami melukis”. Tapi saya ngelantur sedikit.

Sudutnya lebih besar dari nol tetapi kurang dari empat puluh lima derajat. Kami punya banyak selada, tapi airnya tidak cukup. Hasilnya, kita akan mendapatkan borscht yang kental.

Sudutnya empat puluh lima derajat. Kami memiliki jumlah air dan salad yang sama. Ini borscht yang sempurna (maafkan saya, koki, ini hanya matematika).

Sudutnya lebih besar dari empat puluh lima derajat, tetapi kurang dari sembilan puluh derajat. Kami punya banyak air dan sedikit salad. Anda akan mendapatkan borscht cair.

Sudut kanan. Kami punya air. Yang tersisa dari salad tersebut hanyalah kenangan, saat kami terus mengukur sudut dari garis yang pernah menandai salad tersebut. Kami tidak bisa memasak borscht. Jumlah borschtnya nol. Dalam hal ini, tunggu dan minumlah air selagi Anda meminumnya)))

Di Sini. Sesuatu seperti ini. Saya dapat menceritakan kisah-kisah lain di sini yang lebih dari pantas di sini.

Dua orang teman mempunyai saham dalam bisnis yang sama. Setelah membunuh salah satu dari mereka, semuanya berpindah ke yang lain.

Munculnya matematika di planet kita.

Semua cerita ini diceritakan dalam bahasa matematika menggunakan fungsi sudut linier. Di lain waktu saya akan menunjukkan kepada Anda kedudukan sebenarnya dari fungsi-fungsi ini dalam struktur matematika. Sementara itu, mari kembali ke trigonometri borscht dan pertimbangkan proyeksi.

Sabtu, 26 Oktober 2019

Saya menonton video menarik tentang Seri kasar Satu dikurangi satu ditambah satu dikurangi satu - Numberphile. Matematikawan berbohong. Mereka tidak melakukan pemeriksaan kesetaraan selama penalaran mereka.

Ini menggemakan pemikiran saya tentang.

Mari kita lihat lebih dekat tanda-tanda bahwa ahli matematika menipu kita. Pada awal argumennya, ahli matematika mengatakan bahwa jumlah suatu barisan TERGANTUNG pada apakah jumlah elemennya genap atau tidak. Ini adalah FAKTA YANG DITETAPKAN SECARA OBJEKTIF. Apa yang terjadi selanjutnya?

Selanjutnya, ahli matematika mengurangkan barisan tersebut dari kesatuan. Hal ini menyebabkan apa? Hal ini menyebabkan perubahan jumlah elemen barisan - bilangan genap berubah menjadi bilangan ganjil, bilangan ganjil berubah menjadi bilangan genap. Lagi pula, kami menambahkan satu elemen yang sama dengan satu ke urutannya. Terlepas dari semua kesamaan eksternal, barisan sebelum transformasi tidak sama dengan barisan setelah transformasi. Sekalipun kita berbicara tentang barisan tak hingga, kita harus ingat bahwa barisan tak hingga dengan jumlah elemen ganjil tidak sama dengan barisan tak hingga dengan jumlah elemen genap.

Dengan memberi tanda sama dengan di antara dua barisan yang jumlah unsurnya berbeda, para ahli matematika menyatakan bahwa jumlah barisan tersebut TIDAK TERGANTUNG pada banyaknya unsur barisan tersebut, yang bertentangan dengan FAKTA YANG DITETAPKAN SECARA OBJEKTIF. Penalaran lebih lanjut mengenai jumlah suatu barisan tak hingga adalah salah, karena didasarkan pada persamaan yang salah.

Jika Anda melihat ahli matematika menempatkan tanda kurung selama pembuktian, mengatur ulang elemen ekspresi matematika, menambah atau menghapus sesuatu, berhati-hatilah, kemungkinan besar mereka mencoba menipu Anda. Seperti pesulap kartu, ahli matematika menggunakan berbagai manipulasi ekspresi untuk mengalihkan perhatian Anda sehingga pada akhirnya memberikan hasil yang salah. Jika Anda tidak dapat mengulangi trik kartu tanpa mengetahui rahasia penipuan, maka dalam matematika semuanya jauh lebih sederhana: Anda bahkan tidak mencurigai apa pun tentang penipuan, tetapi mengulangi semua manipulasi dengan ekspresi matematika memungkinkan Anda meyakinkan orang lain tentang kebenarannya. hasil yang didapat, sama seperti saat -mereka meyakinkan Anda.

Pertanyaan dari hadirin: Apakah tak terhingga (sebagai banyaknya unsur barisan S) genap atau ganjil? Bagaimana cara mengubah paritas sesuatu yang tidak memiliki paritas?

Ketidakterbatasan adalah untuk ahli matematika, seperti Kerajaan Surga untuk para pendeta - tidak ada seorang pun yang pernah ke sana, tetapi semua orang tahu persis bagaimana segala sesuatunya bekerja di sana))) Saya setuju, setelah kematian Anda akan benar-benar tidak peduli apakah Anda hidup dalam bilangan genap atau ganjil hari, tapi... Menambahkan hanya satu hari ke awal hidup Anda, kita akan mendapatkan orang yang sama sekali berbeda: nama belakangnya, nama depan dan patronimiknya persis sama, hanya tanggal lahirnya yang benar-benar berbeda - dia lahir satu hari sebelum kamu.

Sekarang mari kita langsung ke intinya))) Katakanlah barisan berhingga yang memiliki paritas kehilangan paritasnya ketika menuju tak terhingga. Maka setiap segmen berhingga dari barisan tak hingga harus kehilangan paritasnya. Kami tidak melihat ini. Fakta bahwa kita tidak dapat mengatakan dengan pasti apakah suatu barisan tak hingga mempunyai jumlah elemen genap atau ganjil tidak berarti bahwa paritas telah hilang. Paritas, jika ada, tidak bisa hilang tanpa jejak hingga tak terhingga, seperti di lengan orang yang tajam. Ada analogi yang sangat bagus untuk kasus ini.

Pernahkah Anda bertanya kepada burung kukuk yang duduk di jam, ke arah mana jarum jam berputar? Baginya, panah berputar berlawanan arah dengan apa yang kita sebut “searah jarum jam”. Meski terdengar paradoks, arah rotasi hanya bergantung pada sisi mana kita mengamati rotasi tersebut. Jadi, kita mempunyai satu roda yang berputar. Kita tidak dapat mengatakan ke arah mana rotasi terjadi, karena kita dapat mengamatinya baik dari satu sisi bidang rotasi maupun dari sisi lainnya. Kami hanya bisa bersaksi tentang fakta bahwa ada rotasi. Analogi lengkap dengan paritas barisan tak terhingga S.

Sekarang mari kita tambahkan roda berputar kedua, yang bidang putarannya sejajar dengan bidang putaran roda berputar pertama. Kami masih belum bisa memastikan ke arah mana roda-roda ini berputar, namun kami dapat mengetahui secara pasti apakah kedua roda berputar ke arah yang sama atau berlawanan arah. Membandingkan dua barisan tak terhingga S Dan 1-S, Saya menggunakan matematika untuk menunjukkan bahwa barisan ini memiliki paritas yang berbeda dan memberi tanda sama dengan di antara keduanya adalah sebuah kesalahan. Secara pribadi, saya percaya matematika, saya tidak percaya ahli matematika))) Omong-omong, untuk memahami sepenuhnya geometri transformasi barisan tak hingga, perlu diperkenalkan konsepnya "keserentakan". Ini perlu ditarik.

Rabu, 7 Agustus 2019

Mengakhiri pembicaraan tentang, kita perlu mempertimbangkan himpunan tak terhingga. Intinya adalah bahwa konsep “tak terhingga” mempengaruhi ahli matematika seperti ular boa mempengaruhi kelinci. Kengerian yang menggetarkan akan ketidakterbatasan menghilangkan akal sehat para ahli matematika. Berikut ini contohnya:

Sumber aslinya berada. Alpha adalah singkatan dari bilangan real. Tanda sama dengan pada ekspresi di atas menunjukkan bahwa jika Anda menambahkan angka atau tak terhingga ke tak terhingga, tidak ada yang berubah, hasilnya akan sama tak terhingga. Jika kita mengambil himpunan bilangan asli tak terhingga sebagai contoh, maka contoh yang dipertimbangkan dapat direpresentasikan dalam bentuk ini:

Untuk membuktikan dengan jelas bahwa mereka benar, ahli matematika menemukan banyak metode berbeda. Secara pribadi, saya melihat semua metode ini sebagai dukun yang menari dengan rebana. Pada dasarnya, semuanya bermuara pada fakta bahwa beberapa kamar kosong dan ada tamu baru yang pindah, atau beberapa pengunjung dibuang ke koridor untuk memberi ruang bagi tamu (sangat manusiawi). Saya memaparkan pandangan saya tentang keputusan tersebut dalam bentuk cerita fantasi tentang si Pirang. Berdasarkan apa alasan saya? Merelokasi pengunjung dalam jumlah tak terbatas membutuhkan waktu yang tak terbatas. Setelah kita mengosongkan kamar pertama untuk seorang tamu, salah satu pengunjung akan selalu berjalan menyusuri koridor dari kamarnya ke kamar berikutnya hingga akhir zaman. Tentu saja faktor waktu bisa saja diabaikan begitu saja, namun hal ini akan masuk dalam kategori “tidak ada undang-undang yang ditulis untuk orang bodoh”. Itu semua tergantung pada apa yang kita lakukan: menyesuaikan kenyataan dengan teori matematika atau sebaliknya.

Apa itu “hotel tanpa akhir”? Hotel tak terhingga adalah hotel yang selalu mempunyai jumlah tempat tidur kosong berapa pun, berapa pun jumlah kamar yang ditempati. Jika semua ruangan di koridor "pengunjung" tak berujung terisi, ada koridor tak berujung lainnya dengan kamar "tamu". Jumlah koridor seperti itu tidak terbatas. Terlebih lagi, “hotel tanpa batas” memiliki jumlah lantai yang tidak terbatas pada jumlah bangunan yang tidak terbatas pada jumlah planet yang tidak terbatas dalam jumlah alam semesta yang tidak terbatas yang diciptakan oleh Dewa yang jumlahnya tidak terbatas. Matematikawan tidak bisa menjauhkan diri dari permasalahan sehari-hari yang dangkal: selalu hanya ada satu Tuhan-Allah-Buddha, hanya ada satu hotel, hanya ada satu koridor. Jadi para ahli matematika mencoba mengatur nomor seri kamar hotel, meyakinkan kita bahwa “mendorong hal-hal yang mustahil” adalah mungkin.

Saya akan menunjukkan kepada Anda logika alasan saya menggunakan contoh himpunan bilangan asli tak terhingga. Pertama, Anda perlu menjawab pertanyaan yang sangat sederhana: ada berapa himpunan bilangan asli - satu atau banyak? Tidak ada jawaban yang benar untuk pertanyaan ini, karena kita sendiri yang menemukan angka; angka tidak ada di Alam. Ya, Alam sangat pandai berhitung, tetapi untuk ini ia menggunakan alat matematika lain yang tidak kita kenal. Saya akan memberi tahu Anda apa yang dipikirkan Alam lain kali. Sejak kita menemukan bilangan, kita sendiri yang akan memutuskan berapa banyak himpunan bilangan asli yang ada. Mari kita pertimbangkan kedua pilihan tersebut, sebagaimana layaknya ilmuwan sejati.

Opsi satu. “Mari kita diberikan” satu set bilangan asli, yang terletak dengan tenang di rak. Kami mengambil set ini dari rak. Itu saja, tidak ada bilangan asli lain yang tersisa di rak dan tidak ada tempat untuk membawanya. Kami tidak dapat menambahkan satu pun ke set ini, karena kami sudah memilikinya. Bagaimana jika Anda benar-benar menginginkannya? Tidak masalah. Kita dapat mengambil satu dari set yang telah kita ambil dan mengembalikannya ke rak. Setelah itu, kita dapat mengambil satu dari rak dan menambahkannya ke sisa yang tersisa. Hasilnya, kita kembali mendapatkan himpunan bilangan asli tak terhingga. Anda dapat menuliskan semua manipulasi kami seperti ini:

Saya menuliskan tindakan dalam notasi aljabar dan notasi teori himpunan, dengan daftar rinci elemen-elemen himpunan. Subskrip menunjukkan bahwa kita mempunyai satu-satunya himpunan bilangan asli. Ternyata himpunan bilangan asli tidak akan berubah hanya jika bilangan tersebut dikurangi satu dan ditambah satuan yang sama.

Opsi dua. Kami memiliki banyak himpunan bilangan asli tak terhingga yang berbeda di rak kami. Saya tekankan - BERBEDA, meskipun faktanya keduanya praktis tidak dapat dibedakan. Mari kita ambil salah satu dari set ini. Kemudian kita ambil satu dari himpunan bilangan asli lain dan menjumlahkannya ke himpunan yang telah kita ambil. Kita bahkan dapat menjumlahkan dua himpunan bilangan asli. Inilah yang kami dapatkan:

Subskrip "satu" dan "dua" menunjukkan bahwa unsur-unsur ini termasuk dalam himpunan yang berbeda. Ya, kalau dijumlahkan satu ke himpunan tak hingga, hasilnya juga himpunan tak hingga, tapi tidak sama dengan himpunan aslinya. Jika Anda menambahkan himpunan tak hingga lainnya ke satu himpunan tak hingga, hasilnya adalah himpunan tak hingga baru yang terdiri dari elemen-elemen dari dua himpunan pertama.

Himpunan bilangan asli digunakan untuk menghitung dengan cara yang sama seperti penggaris untuk mengukur. Sekarang bayangkan Anda menambahkan satu sentimeter pada penggaris. Ini akan menjadi garis yang berbeda, tidak sama dengan garis aslinya.

Anda dapat menerima atau tidak menerima alasan saya - itu urusan Anda sendiri. Namun jika Anda pernah menghadapi masalah matematika, pikirkan apakah Anda mengikuti jalur penalaran salah yang telah dilakukan oleh generasi ahli matematika. Lagi pula, mempelajari matematika, pertama-tama, membentuk stereotip berpikir yang stabil dalam diri kita, dan baru kemudian menambah kemampuan mental kita (atau, sebaliknya, menghilangkan kebebasan berpikir kita).

pozg.ru

Minggu, 4 Agustus 2019

Saya sedang menyelesaikan catatan tambahan untuk sebuah artikel tentang dan melihat teks indah ini di Wikipedia:

Kita membaca: "... landasan teori yang kaya dari matematika Babel tidak memiliki karakter holistik dan direduksi menjadi seperangkat teknik yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti."

Wow! Seberapa pintar kita dan seberapa baik kita bisa melihat kekurangan orang lain. Apakah sulit bagi kita untuk melihat matematika modern dalam konteks yang sama? Sedikit memparafrasekan teks di atas, saya pribadi mendapatkan yang berikut:

Landasan teori matematika modern yang kaya tidak bersifat holistik dan direduksi menjadi sekumpulan bagian yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti.

Saya tidak akan mengkonfirmasi kata-kata saya terlalu jauh - ia memiliki bahasa dan konvensi yang berbeda dari bahasa dan konvensi banyak cabang matematika lainnya. Nama yang sama pada cabang matematika yang berbeda dapat mempunyai arti yang berbeda. Saya ingin mencurahkan seluruh rangkaian publikasi untuk kesalahan paling nyata dalam matematika modern. Sampai berjumpa lagi.

Sabtu, 3 Agustus 2019

Bagaimana cara membagi himpunan menjadi himpunan bagian? Untuk melakukan ini, Anda perlu memasukkan satuan pengukuran baru yang ada di beberapa elemen himpunan yang dipilih. Mari kita lihat sebuah contoh.

Semoga kita punya banyak A terdiri dari empat orang. Himpunan ini dibentuk atas dasar “orang”. Mari kita nyatakan unsur-unsur himpunan ini dengan huruf A, subskrip dengan nomor akan menunjukkan nomor seri setiap orang dalam kumpulan ini. Mari kita perkenalkan unit pengukuran baru "gender" dan nyatakan dengan huruf B. Karena karakteristik seksual melekat pada semua orang, kami mengalikan setiap elemen dari himpunan tersebut A berdasarkan jenis kelamin B. Perhatikan bahwa kumpulan “orang” kita kini telah menjadi kumpulan “orang dengan karakteristik gender”. Setelah ini kita bisa membagi ciri-ciri seksual menjadi laki-laki bm dan wanita bw karakteristik seksual. Sekarang kita dapat menerapkan filter matematis: kita memilih salah satu dari karakteristik seksual ini, tidak peduli yang mana - pria atau wanita. Kalau ada orang, maka kita kalikan dengan satu, jika tidak ada tandanya, kita kalikan dengan nol. Dan kemudian kami menggunakan matematika sekolah biasa. Lihat apa yang terjadi.

Setelah perkalian, reduksi, dan penataan ulang, kita mendapatkan dua himpunan bagian: himpunan bagian laki-laki Bm dan sebagian perempuan Bw. Para matematikawan bernalar dengan cara yang kira-kira sama ketika mereka menerapkan teori himpunan dalam praktik. Namun mereka tidak memberi tahu kita rinciannya, namun memberi kita hasil akhirnya - “banyak orang terdiri dari sebagian laki-laki dan sebagian perempuan.” Tentu saja, Anda mungkin mempunyai pertanyaan: seberapa benar penerapan matematika dalam transformasi yang diuraikan di atas? Saya berani meyakinkan Anda bahwa, pada dasarnya, transformasi dilakukan dengan benar; cukup mengetahui dasar matematika aritmatika, aljabar Boolean, dan cabang matematika lainnya. Apa itu? Lain kali saya akan menceritakan hal ini kepada Anda.

Sedangkan untuk superset, Anda dapat menggabungkan dua himpunan menjadi satu superset dengan memilih satuan ukuran yang ada pada elemen kedua himpunan tersebut.

Seperti yang Anda lihat, satuan pengukuran dan matematika biasa menjadikan teori himpunan sebagai peninggalan masa lalu. Tanda bahwa teori himpunan tidak berjalan baik adalah para ahli matematika telah menciptakan bahasa dan notasi mereka sendiri untuk teori himpunan. Matematikawan pernah bertindak seperti dukun. Hanya dukun yang tahu bagaimana menerapkan “pengetahuan” mereka dengan “benar”. Mereka mengajari kita “pengetahuan” ini.

Sebagai kesimpulan, saya ingin menunjukkan kepada Anda bagaimana ahli matematika memanipulasi
Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu atau lain cara. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut hingga hari ini; komunitas ilmiah belum dapat mencapai konsensus tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru dilibatkan dalam studi masalah ini ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara umum untuk masalah ini..."[Wikipedia," Zeno's Aporia ". Semua orang mengerti bahwa mereka sedang dibodohi, tapi tidak ada yang mengerti apa isi penipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari kuantitas ke kuantitas. Transisi ini menyiratkan penerapan, bukan penerapan permanen. Sejauh yang saya pahami, peralatan matematika untuk menggunakan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Menerapkan logika biasa membawa kita ke dalam jebakan. Karena kelembaman berpikir, kita menerapkan satuan waktu yang konstan pada nilai timbal balik. Dari sudut pandang fisik, ini tampak seperti waktu yang melambat hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles menyusul penyu tersebut. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi berlari lebih cepat dari kura-kura.

Jika kita membalikkan logika kita yang biasa, semuanya akan beres. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen jalur berikutnya sepuluh kali lebih pendek dari segmen sebelumnya. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dibandingkan waktu sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep “tak terhingga” dalam situasi ini, maka benar jika dikatakan “Achilles akan menyusul penyu dengan sangat cepat.”

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke satuan timbal balik. Dalam bahasa Zeno tampilannya seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama selang waktu berikutnya yang sama dengan waktu pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa adanya paradoks logis. Tapi ini bukanlah solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tak tertahankan sangat mirip dengan aporia Zeno “Achilles and the Tortoise”. Kita masih harus mempelajari, memikirkan kembali dan menyelesaikan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah yang sangat besar, namun dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Anak panah yang terbang tidak bergerak, karena ia diam pada setiap saat, dan karena ia diam pada setiap saat, maka ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap momen waktu sebuah panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto sebuah mobil di jalan raya, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan apakah sebuah mobil sedang bergerak, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi Anda tidak dapat menentukan jarak dari keduanya. Untuk menentukan jarak ke sebuah mobil, Anda memerlukan dua buah foto yang diambil dari titik ruang yang berbeda pada satu titik waktu, namun dari foto tersebut Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakannya (tentunya Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungannya, trigonometri akan membantu Anda ). Yang ingin saya tarik perhatian khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan, karena keduanya memberikan peluang penelitian yang berbeda.
Saya akan menunjukkan prosesnya dengan sebuah contoh. Kami memilih "padat merah dalam jerawat" - ini adalah "keseluruhan" kami. Pada saat yang sama, kita melihat bahwa benda-benda ini ada yang memiliki busur, dan ada yang tidak memiliki busur. Setelah itu, kita pilih bagian dari “keseluruhan” dan membentuk satu set “dengan busur”. Beginilah cara dukun mendapatkan makanannya dengan mengaitkan teori himpunan mereka dengan kenyataan.

Sekarang mari kita lakukan sedikit trik. Mari kita ambil "padat dengan jerawat dengan busur" dan gabungkan "keseluruhan" ini menurut warna, pilih elemen merah. Kami mendapat banyak "merah". Sekarang pertanyaan terakhir: apakah himpunan yang dihasilkan “dengan busur” dan “merah” merupakan himpunan yang sama atau dua himpunan berbeda? Hanya dukun yang tahu jawabannya. Lebih tepatnya, mereka sendiri tidak tahu apa-apa, tetapi seperti yang mereka katakan, memang begitulah adanya.

Contoh sederhana ini menunjukkan bahwa teori himpunan sama sekali tidak berguna jika dikaitkan dengan kenyataan. Apa rahasianya? Kami membentuk satu set "padatan merah dengan jerawat dan busur". Pembentukannya terjadi dalam empat satuan ukuran yang berbeda: warna (merah), kekuatan (padat), kekasaran (berjerawat), hiasan (dengan busur). Hanya seperangkat satuan pengukuran yang memungkinkan kita mendeskripsikan objek nyata secara memadai dalam bahasa matematika. Seperti inilah tampilannya.

Huruf "a" dengan indeks berbeda menunjukkan satuan pengukuran yang berbeda. Unit pengukuran yang membedakan "keseluruhan" pada tahap awal ditandai dalam tanda kurung. Satuan ukuran yang digunakan untuk membentuk himpunan dikeluarkan dari tanda kurung. Baris terakhir menunjukkan hasil akhir - elemen himpunan. Seperti yang Anda lihat, jika kita menggunakan satuan pengukuran untuk membentuk suatu himpunan, maka hasilnya tidak bergantung pada urutan tindakan kita. Dan ini matematika, dan bukan tarian dukun dengan rebana. Dukun dapat “secara intuitif” mendapatkan hasil yang sama, dengan alasan bahwa hal tersebut “jelas”, karena satuan pengukuran bukanlah bagian dari persenjataan “ilmiah” mereka.

Dengan menggunakan satuan ukuran, sangat mudah untuk membagi satu set atau menggabungkan beberapa set menjadi satu superset. Mari kita lihat lebih dekat aljabar dari proses ini.

Teorema luas segitiga

Teorema 1

Luas segitiga sama dengan setengah hasil kali kedua sisinya dan sinus sudut antara sisi-sisinya.

Bukti.

Mari kita diberikan segitiga sembarang $ABC$. Mari kita nyatakan panjang sisi segitiga ini sebagai $BC=a$, $AC=b$. Mari kita perkenalkan sistem koordinat Kartesius, sehingga titik $C=(0,0)$, titik $B$ terletak pada setengah sumbu kanan $Ox$, dan titik $A$ terletak pada kuadran koordinat pertama. Mari kita menggambar tinggi $h$ dari titik $A$ (Gbr. 1).

Gambar 1. Ilustrasi Teorema 1

Oleh karena itu, tinggi $h$ sama dengan ordinat titik $A$

Teorema sinus

Teorema 2

Sisi-sisi suatu segitiga sebanding dengan sinus sudut-sudut yang berhadapan.

Bukti.

Mari kita diberikan segitiga sembarang $ABC$. Mari kita nyatakan panjang sisi segitiga ini sebagai $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (Gbr. 2).

Gambar 2.

Mari kita buktikan itu

Berdasarkan Teorema 1, kita punya

Menyamakan mereka secara berpasangan, kita mengerti

Teorema kosinus

Teorema 3

Kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi segitiga lainnya tanpa dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dengan kosinus sudut antara sisi-sisi tersebut.

Bukti.

Mari kita diberikan segitiga sembarang $ABC$. Mari kita nyatakan panjang sisinya sebagai $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Mari kita perkenalkan sistem koordinat Kartesius, sehingga titik $A=(0,0)$, titik $B$ terletak pada sumbu semi positif $Ox$, dan titik $C$ terletak pada kuadran koordinat pertama (Gbr. 2). 3).

Gambar 3.

Mari kita buktikan itu

Dalam sistem koordinat ini, kita memperolehnya

Carilah panjang sisi $BC$ dengan menggunakan rumus jarak antar titik

Contoh soal yang menggunakan teorema tersebut

Contoh 1

Buktikan bahwa diameter lingkaran yang dibatasi suatu segitiga sembarang sama dengan perbandingan sisi mana pun dari segitiga tersebut dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut.

Larutan.

Mari kita diberikan segitiga sembarang $ABC$. $R$ adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi. Mari kita menggambar diameter $BD$ (Gbr. 4).

Luas segitiga sama dengan setengah hasil kali sisi-sisinya dan sinus sudut di antara keduanya.

Bukti:

Perhatikan segitiga sembarang ABC. Misalkan sisi BC = a, sisi CA = b dan S adalah luas segitiga tersebut. Hal ini perlu dibuktikan S = (1/2)*a*b*sin(C).

Pertama, mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang dan tempatkan titik asal koordinat di titik C. Mari kita posisikan sistem koordinat kita sehingga titik B terletak pada arah positif sumbu Cx, dan titik A mempunyai ordinat positif.

Jika semuanya dilakukan dengan benar, Anda akan mendapatkan gambar berikut.

Luas suatu segitiga dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut: S = (1/2)*a*h, dimana h adalah tinggi segitiga. Dalam kasus kita, tinggi segitiga h sama dengan ordinat titik A, yaitu h = b*sin(C).

Dengan memperhatikan hasil yang diperoleh, maka rumus luas segitiga dapat ditulis ulang sebagai berikut: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Penyelesaian masalah

Tugas 1. Hitunglah luas segitiga ABC, jika a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, sudut A = 60 derajat b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, sudut B = 45 derajat c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, sudut C = 48 derajat.

Berdasarkan teorema yang dibuktikan di atas, luas S segitiga ABC sama dengan:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Mari kita lakukan perhitungan:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Kami menghitung nilai sinus suatu sudut pada kalkulator atau menggunakan nilai dari tabel nilai sudut trigonometri. Menjawab:

a) 12*√6 cm^2.

c) kira-kira 36,41 cm^2.

Soal 2. Luas segitiga ABC adalah 60 cm^2. Tentukan sisi AB jika AC = 15 cm, sudut A = 30˚.

Misalkan S adalah luas segitiga ABC. Berdasarkan teorema luas segitiga kita mempunyai:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Mari kita substitusikan nilai-nilai yang kita miliki ke dalamnya:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Dari sini kita nyatakan panjang sisi AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Jika soal memberikan panjang dua sisi segitiga dan sudut di antara keduanya, maka Anda dapat menerapkan rumus luas segitiga melalui sinus.

Contoh menghitung luas segitiga menggunakan sinus. Sisi-sisi yang diketahui adalah a = 3, b = 4, dan sudut γ = 30°. Sinus sudut 30° adalah 0,5

Luas segitiga tersebut adalah 3 meter persegi. cm.

Luasnya sama dengan setengah kuadrat sisi dikalikan pecahan. Pembilangnya adalah hasil kali sinus sudut-sudut yang berdekatan, dan penyebutnya adalah sinus sudut yang berhadapan. Sekarang kita menghitung luasnya menggunakan rumus berikut:

Misalnya, diberikan segitiga dengan sisi a=3 dan sudut γ=60°, β=60°. Hitung sudut ketiga:
Mengganti data ke dalam rumus
Diketahui luas segitiga tersebut adalah 3,87 meter persegi. cm.

II. Luas segitiga melalui kosinus

Untuk mencari luas segitiga, Anda perlu mengetahui panjang semua sisinya. Dengan menggunakan teorema kosinus, Anda dapat menemukan sisi yang tidak diketahui, dan baru kemudian menggunakannya.
Menurut teorema kosinus, kuadrat sisi-sisi yang tidak diketahui suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang tersisa dikurangi dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dan kosinus sudut di antara keduanya.

Dari teorema tersebut kita memperoleh rumus untuk mencari panjang sisi yang tidak diketahui:

Mengetahui cara mencari sisi yang hilang, memiliki dua sisi dan sudut di antara keduanya, Anda dapat dengan mudah menghitung luasnya. Rumus luas segitiga melalui kosinus membantu menemukan solusi berbagai masalah dengan cepat dan mudah.

Contoh menghitung rumus luas segitiga menggunakan cosinus
Diketahui sebuah segitiga yang diketahui sisi-sisinya a = 3, b = 4, dan sudut γ = 45°. Pertama, mari kita temukan sisi yang hilang Dengan. Kosinus 45°=0,7. Untuk melakukan ini, kami mengganti data ke dalam persamaan yang berasal dari teorema kosinus.
Sekarang dengan menggunakan rumus, kita temukan