adalah variabel acak kontinu. Variabel acak kontinu

3. NILAI RANDOM

3. Variabel acak kontinu.

Selain variabel acak diskrit, yang nilainya mungkin membentuk barisan bilangan berhingga atau tak hingga yang tidak sepenuhnya mengisi interval apa pun, seringkali ada variabel acak yang nilainya mungkin membentuk interval tertentu. Contoh variabel acak semacam itu adalah penyimpangan dari nilai nominal ukuran tertentu bagian dengan proses teknologi yang ditetapkan dengan benar. Variabel acak semacam ini tidak dapat ditentukan menggunakan hukum distribusi probabilitas p(x). Namun, mereka dapat ditentukan menggunakan fungsi distribusi probabilitas F(x). Fungsi ini didefinisikan dengan cara yang persis sama seperti dalam kasus variabel acak diskrit:

Jadi, di sini juga fungsinya F(x) didefinisikan pada sumbu bilangan bulat, dan nilainya di titik X sama dengan probabilitas bahwa variabel acak akan mengambil nilai kurang dari X.
Rumus () dan sifat 1° dan 2° valid untuk fungsi distribusi dari sembarang variabel acak. Pembuktian dilakukan serupa dengan kasus besaran diskrit.
Variabel acak disebut kontinu, jika untuk itu terdapat fungsi tak-negatif sepotong-sepotong-kontinyu* yang memenuhi untuk nilai apa pun x persamaan
Berdasarkan makna geometris integral sebagai luas, kita dapat mengatakan bahwa peluang memenuhi pertidaksamaan sama dengan luas trapesium lengkung dengan alas dibatasi di atas oleh kurva (Gbr. 6).
Sejak , dan berdasarkan rumus ( )
, kemudian
Perhatikan bahwa untuk variabel acak kontinu, fungsi distribusi F(x) terus menerus di setiap titik X, dimana fungsi kontinu. Ini mengikuti dari fakta bahwa F(x) terdiferensiasi pada titik-titik tersebut.
Berdasarkan rumus (), dengan asumsi x 1 =x, , kita punya

Karena kontinuitas fungsi F(x) kita mengerti itu

Akibatnya

Lewat sini, probabilitas bahwa variabel acak kontinu dapat mengambil nilai tunggal x apa pun adalah nol.
Dari sini dapat disimpulkan bahwa peristiwa-peristiwa yang terdiri dari pemenuhan masing-masing ketidaksetaraan
, , ,
Mereka memiliki kemungkinan yang sama, yaitu

Memang, misalnya,

karena

Komentar. Seperti yang kita ketahui, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka peluang terjadinya adalah nol. Dalam definisi klasik probabilitas, ketika jumlah hasil tes terbatas, proposisi sebaliknya juga terjadi: jika probabilitas suatu peristiwa adalah nol, maka peristiwa itu tidak mungkin, karena dalam kasus ini tidak ada hasil tes yang mendukungnya. Dalam kasus variabel acak kontinu, jumlah kemungkinan nilainya tidak terbatas. Probabilitas bahwa nilai ini akan mengambil nilai tertentu x 1 seperti yang telah kita lihat, sama dengan nol. Namun, tidak berarti bahwa peristiwa ini tidak mungkin, karena sebagai hasil pengujian, variabel acak dapat, khususnya, mengambil nilai x 1. Oleh karena itu, dalam kasus variabel acak kontinu, masuk akal untuk berbicara tentang probabilitas bahwa variabel acak jatuh ke dalam interval, dan bukan tentang probabilitas bahwa itu akan mengambil nilai tertentu.
Jadi, misalnya, dalam pembuatan roller, kami tidak tertarik pada probabilitas bahwa diameternya akan sama dengan nilai nominal. Bagi kami, probabilitas bahwa diameter roller tidak keluar dari toleransi adalah penting.

Kepadatan distribusi kemungkinan X panggil fungsinya f(x) adalah turunan pertama dari fungsi distribusi F(x):

Konsep kepadatan distribusi probabilitas dari variabel acak X untuk kuantitas diskrit tidak berlaku.

Kepadatan probabilitas f(x) disebut fungsi distribusi diferensial:

Properti 1. Kepadatan distribusi adalah nilai non-negatif:

Properti 2. Integral tak wajar dari kerapatan distribusi dalam rentang dari sampai sama dengan satu:

Contoh 1.25. Mengingat fungsi distribusi dari variabel acak kontinu X:

f(x).

Larutan: Kepadatan distribusi sama dengan turunan pertama dari fungsi distribusi:

1. Mengingat fungsi distribusi dari variabel acak kontinu X:

Cari kepadatan distribusi.

2. Fungsi distribusi dari variabel acak kontinu diberikan X:

Temukan kerapatan distribusi f(x).

1.3. Karakteristik numerik dari acak kontinu

kuantitas

Nilai yang diharapkan variabel acak kontinu X, nilai yang mungkin dimiliki oleh seluruh sumbu Oh, ditentukan oleh persamaan:

Integral diasumsikan konvergen mutlak.

a, b), kemudian:

f(x) adalah densitas distribusi variabel acak.

Penyebaran variabel acak kontinu X, nilai yang mungkin dimiliki oleh seluruh sumbu, ditentukan oleh persamaan:

Kasus spesial. Jika nilai variabel acak termasuk dalam interval ( a, b), kemudian:

Kemungkinan bahwa X akan mengambil nilai-nilai milik interval ( a, b), ditentukan oleh persamaan:

Contoh 1.26. Variabel acak kontinu X

Temukan ekspektasi matematis, varians, dan probabilitas memukul variabel acak X dalam interval (0; 0.7).

Larutan: Variabel acak terdistribusi pada interval (0,1). Mari kita definisikan kerapatan distribusi dari variabel acak kontinu X:

a) Harapan matematis :

b) Dispersi

di)

Tugas untuk pekerjaan mandiri:

1. Variabel acak X diberikan oleh fungsi distribusi:

M(x);

b) dispersi D(x);

X ke dalam interval (2,3).

2. Variabel acak X

Temukan: a) ekspektasi matematis M(x);

b) dispersi D(x);

c) tentukan peluang memukul variabel acak X dalam interval (1; 1.5).

3. Nilai acak X diberikan oleh fungsi distribusi integral:

Temukan: a) ekspektasi matematis M(x);

b) dispersi D(x);

c) tentukan peluang memukul variabel acak X dalam interval.

1.4. Hukum distribusi variabel acak kontinu

1.4.1. Distribusi seragam

Variabel acak kontinu X memiliki distribusi seragam pada interval [ a, b], jika pada segmen ini kerapatan distribusi probabilitas variabel acak konstan, dan di luarnya sama dengan nol, yaitu:

Beras. empat.

; ; .

Contoh 1.27. Sebuah bus dengan rute tertentu bergerak beraturan dengan selang waktu 5 menit. Tentukan peluang munculnya variabel acak terdistribusi seragam X– waktu tunggu bus kurang dari 3 menit.

Larutan: Nilai acak X- terdistribusi secara merata selama interval .

Kepadatan Probabilitas: .

Agar waktu tunggu tidak lebih dari 3 menit, penumpang harus tiba di halte dalam waktu 2 hingga 5 menit setelah keberangkatan bus sebelumnya, yaitu. nilai acak X harus berada dalam interval (2;5). Itu. probabilitas yang diinginkan:

Tugas untuk pekerjaan mandiri:

1. a) temukan ekspektasi matematis dari variabel acak X terdistribusi merata dalam interval (2; 8);

b) menemukan varians dan standar deviasi dari variabel acak X, terdistribusi seragam dalam interval (2;8).

2. Jarum menit dari jam listrik melompat di akhir setiap menit. Temukan peluang bahwa pada saat tertentu jam akan menunjukkan waktu yang berbeda dari waktu sebenarnya tidak lebih dari 20 detik.

1.4.2. Distribusi eksponensial (eksponensial)

Variabel acak kontinu X terdistribusi secara eksponensial jika kerapatan peluangnya berbentuk:

di mana adalah parameter dari distribusi eksponensial.

Lewat sini

Beras. 5.

Karakteristik numerik:

Contoh 1.28. Nilai acak X- waktu pengoperasian bola lampu - memiliki distribusi eksponensial. Tentukan probabilitas bahwa lampu akan bertahan setidaknya 600 jam jika umur lampu rata-rata adalah 400 jam.

Larutan: Menurut kondisi masalah, harapan matematis dari variabel acak X sama dengan 400 jam, jadi:

;

Probabilitas yang diinginkan , dimana

Akhirnya:

Tugas untuk pekerjaan mandiri:

1. Tulis fungsi densitas dan distribusi dari hukum eksponensial, jika parameter .

2. Variabel acak X

Temukan harapan matematis dan varians dari suatu kuantitas X.

3. Nilai acak X diberikan oleh fungsi distribusi probabilitas:

Temukan ekspektasi matematis dan simpangan baku dari variabel acak.

1.4.3. Distribusi normal

normal disebut distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu X, yang kerapatannya berbentuk:

di mana sebuah– harapan matematis, – simpangan baku X.

Kemungkinan bahwa X akan mengambil nilai milik interval:

, di mana

adalah fungsi Laplace.

Distribusi yang memiliki ; , yaitu dengan kerapatan peluang disebut standar.

Beras. 6.

Probabilitas bahwa nilai absolut deviasi kurang dari angka positif:

Khususnya, ketika a = 0 persamaan benar:

Contoh 1.29. Nilai acak X didistribusikan secara normal. Standar deviasi. Temukan probabilitas bahwa penyimpangan variabel acak dari ekspektasi matematisnya dalam nilai absolut akan kurang dari 0,3.

Larutan: .

Tugas untuk pekerjaan mandiri:

1. Tulislah kerapatan peluang dari distribusi normal suatu peubah acak X, mengetahui bahwa M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Ekspektasi matematis dan simpangan baku dari variabel acak terdistribusi normal X berturut-turut adalah 20 dan 5. Tentukan peluang bahwa sebagai hasil dari tes X akan mengambil nilai yang terdapat pada interval (15;20).

3. Kesalahan pengukuran acak tunduk pada hukum normal dengan standar deviasi mm dan ekspektasi matematis a = 0. Temukan probabilitas bahwa kesalahan setidaknya satu dari 3 pengukuran independen tidak melebihi 4 mm dalam nilai absolut.

4. Beberapa zat ditimbang tanpa kesalahan sistematis. Kesalahan penimbangan acak tunduk pada hukum normal dengan standar deviasi r. Temukan probabilitas bahwa penimbangan akan dilakukan dengan kesalahan tidak melebihi 10 g dalam nilai absolut.

Fungsi distribusi dalam hal ini, menurut (5.7), akan berbentuk:

dimana: m adalah ekspektasi matematis, s adalah standar deviasi.

Distribusi normal juga disebut Gaussian setelah ahli matematika Jerman Gauss. Fakta bahwa variabel acak memiliki distribusi normal dengan parameter: m,, dinotasikan sebagai berikut: N (m, s), di mana: m =a =M ;

Cukup sering, dalam rumus, ekspektasi matematis dilambangkan dengan sebuah . Jika suatu peubah acak terdistribusi menurut hukum N(0,1), maka peubah tersebut disebut peubah normal ternormalisasi atau terstandardisasi. Fungsi distribusi untuk itu memiliki bentuk:

Grafik densitas distribusi normal, yang disebut kurva normal atau kurva Gaussian, ditunjukkan pada Gambar 5.4.

Beras. 5.4. Kepadatan distribusi normal

Menentukan karakteristik numerik dari variabel acak dengan kepadatannya dipertimbangkan pada contoh.

Contoh 6.

Variabel acak kontinu diberikan oleh kepadatan distribusi: .

Tentukan jenis distribusi, temukan ekspektasi matematis M(X) dan varians D(X).

Membandingkan kepadatan distribusi yang diberikan dengan (5.16), kita dapat menyimpulkan bahwa hukum distribusi normal dengan m =4 diberikan. Oleh karena itu, ekspektasi matematis M(X)=4, varians D(X)=9.

Simpangan baku s=3.

Fungsi Laplace, yang memiliki bentuk:

terkait dengan fungsi distribusi normal (5.17), dengan relasi:

F 0 (x) \u003d F (x) + 0,5.

Fungsi Laplace ganjil.

(-x)=-Ф(x).

Nilai fungsi Laplace (х) ditabulasi dan diambil dari tabel sesuai dengan nilai x (lihat Lampiran 1).

Distribusi normal dari variabel acak kontinu memainkan peran penting dalam teori probabilitas dan dalam deskripsi realitas; itu sangat luas dalam fenomena alam acak. Dalam praktiknya, sangat sering ada variabel acak yang terbentuk secara tepat sebagai hasil penjumlahan banyak suku acak. Secara khusus, analisis kesalahan pengukuran menunjukkan bahwa itu adalah jumlah dari berbagai jenis kesalahan. Praktek menunjukkan bahwa distribusi probabilitas kesalahan pengukuran mendekati hukum normal.

Dengan menggunakan fungsi Laplace, seseorang dapat memecahkan masalah menghitung probabilitas jatuh ke dalam interval tertentu dan penyimpangan tertentu dari variabel acak normal.

NILAI RANDOM

Contoh 2.1. Nilai acak X diberikan oleh fungsi distribusi

Tentukan peluang bahwa sebagai hasil dari tes X akan mengambil nilai antara (2.5; 3.6).

Larutan: X dalam interval (2.5; 3.6) dapat ditentukan dengan dua cara:

Contoh 2.2. Berapa nilai parameternya? TETAPI dan PADA fungsi F(x) = A + Jadilah - x dapat menjadi fungsi distribusi untuk nilai non-negatif dari variabel acak X.

Larutan: Karena semua nilai yang mungkin dari variabel acak X termasuk dalam interval , maka agar fungsi tersebut merupakan fungsi distribusi untuk X, properti harus memiliki:

Menjawab: .

Contoh 2.3. Variabel acak X diberikan oleh fungsi distribusi

Temukan probabilitas bahwa, sebagai hasil dari empat percobaan independen, nilai X tepat 3 kali akan mengambil nilai yang termasuk dalam interval (0,25; 0,75).

Larutan: Probabilitas memukul nilai X dalam interval (0,25; 0,75) kita temukan dengan rumus:

Contoh 2.4. Peluang bola mengenai keranjang dalam satu kali lemparan adalah 0,3. Buatlah hukum distribusi jumlah pukulan dalam tiga lemparan.

Larutan: Nilai acak X- jumlah pukulan dalam keranjang dengan tiga lemparan - dapat mengambil nilai: 0, 1, 2, 3. Probabilitas yang X

Contoh 2.5. Dua penembak membuat satu tembakan ke sasaran. Probabilitas memukulnya oleh penembak pertama adalah 0,5, yang kedua - 0,4. Tuliskan hukum distribusi jumlah hit pada target.

Larutan: Temukan hukum distribusi variabel acak diskrit X- jumlah hit pada target. Biarkan acara menjadi hit pada target oleh penembak pertama, dan - dipukul oleh penembak kedua, dan - masing-masing, meleset.

Mari kita buat hukum distribusi probabilitas SV X:

Contoh 2.6. 3 elemen diuji, bekerja secara independen satu sama lain. Durasi waktu (dalam jam) operasi elemen yang bebas kegagalan memiliki fungsi kepadatan distribusi: untuk yang pertama: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, untuk kedua: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, untuk yang ketiga: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Temukan probabilitas bahwa dalam selang waktu dari 0 hingga 5 jam: hanya satu elemen yang akan gagal; hanya dua elemen yang akan gagal; ketiga elemen gagal.

Larutan: Mari kita gunakan definisi fungsi pembangkitan peluang:

Probabilitas bahwa dalam uji coba independen, di mana probabilitas terjadinya suatu peristiwa TETAPI sama dengan , di detik, dll., acara TETAPI muncul tepat satu kali, sama dengan koefisien di dalam perluasan fungsi pembangkit dalam pangkat . Mari kita cari probabilitas kegagalan dan non-kegagalan, masing-masing, dari elemen pertama, kedua dan ketiga dalam interval waktu dari 0 hingga 5 jam:

Mari kita buat fungsi pembangkit:

Koefisien di sama dengan peluang kejadian TETAPI akan muncul tepat tiga kali, yaitu probabilitas kegagalan ketiga elemen; koefisien di sama dengan probabilitas bahwa tepat dua elemen akan gagal; koefisien at sama dengan probabilitas bahwa hanya satu elemen yang akan gagal.

Contoh 2.7. Diberikan kepadatan probabilitas f(x) variabel acak X:

Temukan fungsi distribusi F(x).

Larutan: Kami menggunakan rumus:

Dengan demikian, fungsi distribusi memiliki bentuk:

Contoh 2.8. Perangkat ini terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen. Probabilitas kegagalan setiap elemen dalam satu percobaan adalah 0,1. Menyusun hukum distribusi jumlah elemen gagal dalam satu percobaan.

Larutan: Nilai acak X- jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan - dapat mengambil nilai: 0, 1, 2, 3. Peluang itu X mengambil nilai-nilai ini, kami menemukan dengan rumus Bernoulli:

Dengan demikian, kita memperoleh hukum berikut dari distribusi probabilitas dari variabel acak: X:

Contoh 2.9. Ada 4 bagian standar dalam banyak 6 bagian. 3 item dipilih secara acak. Buatlah hukum distribusi jumlah bagian standar di antara yang dipilih.

Larutan: Nilai acak X- jumlah bagian standar di antara yang dipilih - dapat mengambil nilai: 1, 2, 3 dan memiliki distribusi hipergeometrik. Probabilitas yang X

di mana -- jumlah bagian dalam lot;

-- jumlah suku cadang standar dalam lot;

– jumlah bagian yang dipilih;

-- jumlah bagian standar di antara yang dipilih.

Contoh 2.10. Variabel acak memiliki kepadatan distribusi

dimana dan tidak diketahui, tetapi , a dan . Temukan dan .

Larutan: Dalam hal ini, variabel acak X memiliki distribusi segitiga (distribusi Simpson) pada interval [ a, b]. Karakteristik numerik X:

Akibatnya, . Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan dua pasang nilai: . Karena, sesuai dengan kondisi masalah, kami akhirnya memiliki: .

Menjawab: .

Contoh 2.11. Rata-rata, untuk 10% dari kontrak, perusahaan asuransi membayar uang pertanggungan sehubungan dengan terjadinya peristiwa yang diasuransikan. Hitung ekspektasi matematis dan varians dari jumlah kontrak tersebut di antara empat kontrak yang dipilih secara acak.

Larutan: Ekspektasi dan varians matematis dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:

Kemungkinan nilai SV (jumlah kontrak (dari empat) dengan terjadinya peristiwa yang diasuransikan): 0, 1, 2, 3, 4.

Kami menggunakan rumus Bernoulli untuk menghitung probabilitas sejumlah kontrak yang berbeda (dari empat) di mana jumlah pertanggungan dibayarkan:

Rangkaian distribusi CV (jumlah kontrak dengan terjadinya peristiwa yang diasuransikan) berbentuk:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Menjawab: , .

Contoh 2.12. Dari lima mawar, dua berwarna putih. Tulis hukum distribusi untuk variabel acak yang menyatakan jumlah mawar putih di antara dua yang diambil pada waktu yang sama.

Larutan: Dalam sampel dua mawar, mungkin tidak ada mawar putih, atau mungkin ada satu atau dua mawar putih. Oleh karena itu, variabel acak X dapat mengambil nilai: 0, 1, 2. Probabilitas bahwa X mengambil nilai-nilai ini, kami menemukan dengan rumus:

di mana -- jumlah mawar;

-- jumlah mawar putih;

– jumlah mawar yang diambil secara bersamaan;

-- jumlah mawar putih di antara yang diambil.

Maka hukum distribusi variabel acak adalah sebagai berikut:

Contoh 2.13. Di antara 15 unit rakitan, 6 membutuhkan pelumasan tambahan. Buatlah hukum distribusi untuk jumlah unit yang membutuhkan pelumasan tambahan, di antara lima yang dipilih secara acak dari jumlah total.

Larutan: Nilai acak X- jumlah unit yang membutuhkan pelumasan tambahan di antara lima yang dipilih - dapat mengambil nilai: 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan memiliki distribusi hipergeometrik. Probabilitas yang X mengambil nilai-nilai ini, kami menemukan dengan rumus:

di mana -- jumlah unit yang dirakit;

-- jumlah unit yang membutuhkan pelumasan tambahan;

– jumlah agregat yang dipilih;

-- jumlah unit yang membutuhkan pelumasan tambahan di antara yang dipilih.

Maka hukum distribusi variabel acak adalah sebagai berikut:

Contoh 2.14. Dari 10 jam tangan yang diterima untuk diperbaiki, 7 membutuhkan pembersihan umum mekanisme. Jam tangan tidak diurutkan berdasarkan jenis perbaikan. Sang master, ingin menemukan arloji yang perlu dibersihkan, memeriksanya satu per satu dan, setelah menemukan arloji seperti itu, berhenti menonton lebih jauh. Temukan ekspektasi matematis dan varians dari jumlah jam menonton.

Larutan: Nilai acak X- jumlah unit yang membutuhkan pelumasan tambahan di antara lima yang dipilih - dapat mengambil nilai berikut: 1, 2, 3, 4. Probabilitas bahwa X mengambil nilai-nilai ini, kami menemukan dengan rumus:

Maka hukum distribusi variabel acak adalah sebagai berikut:

Sekarang mari kita hitung karakteristik numerik dari kuantitas:

Menjawab: , .

Contoh 2.15. Pelanggan lupa digit terakhir dari nomor telepon yang dia butuhkan, tetapi ingat bahwa itu ganjil. Temukan ekspektasi matematis dan varians dari jumlah panggilan yang dia buat sebelum mencapai angka yang diinginkan, jika dia memutar angka terakhir secara acak dan tidak memutar angka yang dipanggil di masa depan.

Larutan: Variabel acak dapat mengambil nilai: . Karena pelanggan tidak memutar nomor yang dipanggil di masa mendatang, probabilitas nilai-nilai ini sama.

Mari kita buat deret distribusi variabel acak:


	0,2

Mari kita hitung ekspektasi matematis dan varians dari jumlah upaya panggilan:

Menjawab: , .

Contoh 2.16. Probabilitas kegagalan selama uji keandalan untuk setiap perangkat seri sama dengan p. Tentukan ekspektasi matematis dari jumlah perangkat yang gagal, jika diuji N peralatan.

Larutan: Variabel acak diskrit X adalah jumlah perangkat yang gagal di N tes independen, di mana masing-masing probabilitas kegagalan sama dengan p, didistribusikan menurut hukum binomial. Ekspektasi matematis dari distribusi binomial sama dengan produk dari jumlah percobaan dan probabilitas suatu peristiwa yang terjadi dalam satu percobaan:

Contoh 2.17. Variabel acak diskrit X mengambil 3 kemungkinan nilai: dengan probabilitas ; dengan probabilitas dan dengan probabilitas. Temukan dan ketahui bahwa M( X) = 8.

Larutan: Kami menggunakan definisi ekspektasi matematis dan hukum distribusi variabel acak diskrit:

Kami menemukan: .

Contoh 2.18. Departemen kontrol teknis memeriksa produk untuk standaritas. Probabilitas bahwa item tersebut standar adalah 0,9. Setiap batch berisi 5 item. Temukan harapan matematis dari variabel acak X- jumlah batch, yang masing-masing berisi tepat 4 produk standar, jika 50 batch harus diverifikasi.

Larutan: Dalam hal ini, semua eksperimen yang dilakukan adalah independen, dan probabilitas bahwa setiap batch berisi tepat 4 produk standar adalah sama, oleh karena itu, ekspektasi matematis dapat ditentukan dengan rumus:

di mana jumlah partai;

Probabilitas bahwa suatu batch berisi tepat 4 item standar.

Kami menemukan probabilitas menggunakan rumus Bernoulli:

Menjawab: .

Contoh 2.19. Temukan varians dari variabel acak X– jumlah kemunculan acara SEBUAH dalam dua percobaan bebas, jika peluang terjadinya suatu kejadian dalam percobaan ini adalah sama dan diketahui bahwa M(X) = 0,9.

Larutan: Masalahnya dapat diselesaikan dengan dua cara.

1) Kemungkinan nilai CB X: 0, 1, 2. Dengan menggunakan rumus Bernoulli, kita tentukan peluang kejadian-kejadian berikut:

, , .

Maka hukum distribusi X seperti:

Dari definisi ekspektasi matematis, kita menentukan probabilitas:

Mari kita cari varians dari SW X:

2) Anda dapat menggunakan rumus:

Menjawab: .

Contoh 2.20. Ekspektasi matematis dan simpangan baku dari variabel acak terdistribusi normal X berturut-turut adalah 20 dan 5. Tentukan peluang bahwa sebagai hasil dari tes X akan mengambil nilai yang terdapat pada interval (15; 25).

Larutan: Probabilitas memukul variabel acak normal X pada bagian dari ke dinyatakan dalam fungsi Laplace:

Contoh 2.21. Diberikan sebuah fungsi:

Berapa nilai parameternya? C fungsi ini adalah densitas distribusi dari beberapa variabel acak kontinu X? Temukan harapan matematis dan varians dari variabel acak X.

Larutan: Agar suatu fungsi menjadi rapat distribusi dari beberapa variabel acak , itu harus non-negatif, dan harus memenuhi properti:

Akibatnya:

Hitung ekspektasi matematis menggunakan rumus:

Hitung varians menggunakan rumus:

T adalah p. Hal ini diperlukan untuk menemukan harapan matematis dan varians dari variabel acak ini.

Larutan: Hukum distribusi variabel acak diskrit X - jumlah kemunculan suatu peristiwa dalam percobaan independen, di mana masing-masing probabilitas terjadinya suatu peristiwa adalah , disebut binomial. Ekspektasi matematis dari distribusi binomial sama dengan produk dari jumlah percobaan dan probabilitas terjadinya peristiwa A dalam satu percobaan:

Contoh 2.25. Tiga tembakan independen ditembakkan ke sasaran. Probabilitas memukul setiap tembakan adalah 0,25. Tentukan standar deviasi jumlah pukulan dengan tiga tembakan.

Larutan: Karena tiga percobaan independen dilakukan, dan probabilitas terjadinya peristiwa A (hit) di setiap percobaan adalah sama, kita akan mengasumsikan bahwa variabel acak diskrit X - jumlah hit pada target - didistribusikan menurut binomial hukum.

Varians dari distribusi binomial sama dengan produk dari jumlah percobaan dan probabilitas terjadinya dan tidak terjadinya suatu peristiwa dalam satu percobaan:

Contoh 2.26. Jumlah rata-rata klien yang mengunjungi perusahaan asuransi dalam 10 menit adalah tiga. Temukan probabilitas bahwa setidaknya satu pelanggan tiba dalam 5 menit berikutnya.

Jumlah rata-rata pelanggan yang tiba dalam 5 menit: . .

Contoh 2.29. Waktu tunggu aplikasi dalam antrian prosesor mematuhi hukum distribusi eksponensial dengan nilai rata-rata 20 detik. Temukan probabilitas bahwa permintaan (sewenang-wenang) berikutnya akan menunggu prosesor selama lebih dari 35 detik.

Larutan: Dalam contoh ini, harapan , dan tingkat kegagalannya adalah .

Maka peluang yang diinginkan adalah:

Contoh 2.30. Sekelompok 15 siswa mengadakan pertemuan di sebuah aula dengan 20 baris masing-masing 10 kursi. Setiap siswa mengambil tempat duduk di aula secara acak. Berapa peluang bahwa tidak lebih dari tiga orang akan berada di urutan ketujuh?

Larutan:

Contoh 2.31.

Kemudian menurut definisi klasik dari probabilitas:

di mana -- jumlah bagian dalam lot;

-- jumlah bagian non-standar dalam lot;

– jumlah bagian yang dipilih;

-- jumlah bagian non-standar di antara yang dipilih.

Maka hukum distribusi variabel acak adalah sebagai berikut.

Variabel acak kontinu memiliki jumlah kemungkinan nilai yang tak terbatas. Oleh karena itu, tidak mungkin untuk memperkenalkan seri distribusi untuk mereka.

Alih-alih probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai yang sama dengan x, yaitu. p(X = x), pertimbangkan probabilitas bahwa X akan mengambil nilai kurang dari x, yaitu. P(X< х).

Kami memperkenalkan karakteristik baru dari variabel acak - fungsi distribusi dan mempertimbangkan propertinya.

Fungsi distribusi adalah karakteristik paling universal dari variabel acak. Ini dapat didefinisikan untuk variabel acak diskrit dan kontinu:

F(x) = p(X< x).

Sifat fungsi distribusi.

Fungsi distribusi adalah fungsi non-penurunan dari argumennya, mis. jika:

Pada minus tak terhingga, fungsi distribusi adalah nol:

Pada plus tak terhingga, fungsi distribusi sama dengan satu:

Probabilitas variabel acak jatuh ke dalam interval tertentu ditentukan oleh rumus:

Fungsi f(x), yang sama dengan turunan dari fungsi distribusi, disebut kerapatan probabilitas dari variabel acak X atau kerapatan distribusi:

Mari kita nyatakan probabilitas memukul bagian b ke c dalam hal f(x). Ini sama dengan jumlah elemen probabilitas di bagian ini, yaitu. integral:

Dari sini, kita dapat menyatakan fungsi distribusi dalam hal kepadatan probabilitas:

Sifat kepadatan probabilitas.

Kepadatan probabilitas adalah fungsi non-negatif (karena fungsi distribusi adalah fungsi non-penurunan):

Kepadatan mungkin

sti adalah fungsi kontinu.

Integral dalam batas tak hingga dari kerapatan probabilitas sama dengan 1:

Kepadatan probabilitas memiliki dimensi variabel acak.

Ekspektasi matematis dan dispersi variabel acak kontinu

Arti dari ekspektasi matematis dan varians tetap sama seperti dalam kasus variabel acak diskrit. Bentuk rumus untuk mencarinya berubah dengan mengganti:

Kemudian kami memperoleh rumus untuk menghitung ekspektasi matematis dan dispersi dari variabel acak kontinu:

Contoh. Fungsi distribusi variabel acak kontinu diberikan oleh:

Temukan nilai a, densitas probabilitas, probabilitas memukul situs (0,25-0,5), ekspektasi matematis dan varians.

Karena fungsi distribusi F(x) kontinu, maka untuk x = 1 ax2 = 1, maka a = 1.

Kepadatan probabilitas ditemukan sebagai turunan dari fungsi distribusi:

Perhitungan probabilitas memukul area tertentu dapat dilakukan dengan dua cara: menggunakan fungsi distribusi dan menggunakan kepadatan probabilitas.

cara pertama. Kami menggunakan rumus untuk menemukan probabilitas melalui fungsi distribusi:
cara ke-2. Kami menggunakan rumus untuk menemukan probabilitas melalui kepadatan probabilitas:

Menemukan harapan matematis:

Menemukan varians:

Distribusi seragam

Pertimbangkan variabel acak kontinu X, nilai yang mungkin terletak pada interval tertentu dan sama-sama mungkin.

Kepadatan probabilitas dari variabel acak seperti itu adalah:

dimana c adalah suatu konstanta.

Grafik densitas probabilitas akan ditampilkan sebagai berikut:

Kami menyatakan parameter c dalam hal b dan c. Untuk melakukan ini, kami menggunakan fakta bahwa integral dari kepadatan probabilitas di seluruh wilayah harus sama dengan 1:

Kerapatan distribusi variabel acak terdistribusi seragam

Carilah fungsi distribusinya:

Fungsi distribusi variabel acak terdistribusi seragam

Mari kita plot fungsi distribusinya:

Mari kita hitung ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak yang mengikuti distribusi seragam.

Maka standar deviasi akan terlihat seperti:

Distribusi Normal (Gaussian)

Sebuah variabel acak kontinu X disebut terdistribusi normal dengan parameter a, y > 0 jika memiliki kerapatan peluang:

Kurva distribusi variabel acak memiliki bentuk:

Tes 2

Tugas 1. Menyusun hukum distribusi variabel acak diskrit X, menghitung ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak.

Pilihan 1

QCD memeriksa produk untuk standarisasi. Probabilitas bahwa item tersebut standar adalah 0,7. 20 item yang diuji. Temukan hukum distribusi variabel acak X - jumlah produk standar di antara produk yang diuji. Hitung ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak.

pilihan 2

Ada 4 bola di dalam guci, di mana poin 2 ditunjukkan; empat; 5; 5. Sebuah bola diambil secara acak. Temukan hukum distribusi variabel acak X - jumlah titik di atasnya. Hitung ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak.

Opsi 3

Pemburu menembak permainan sampai mengenai, tetapi dapat menembakkan tidak lebih dari tiga tembakan. Probabilitas memukul setiap tembakan adalah 0,6. Tulis hukum distribusi variabel acak X - jumlah tembakan yang ditembakkan oleh penembak. Hitung ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak.

Opsi 4

Probabilitas melebihi akurasi yang ditentukan dalam pengukuran adalah 0,4. Tulis hukum distribusi variabel acak X - jumlah kesalahan dalam 10 pengukuran. Hitung ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak.

Opsi 5

Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,45. 20 tembakan dilepaskan. Tulis hukum distribusi variabel acak X - jumlah hit. Hitung ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak.

Opsi 6

Produk dari pabrik tertentu mengandung 5% dari perkawinan. Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak X - jumlah produk cacat di antara lima yang diambil untuk keberuntungan. Hitung ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak.

Opsi 7

Suku cadang yang dibutuhkan oleh assembler ada di tiga dari lima kotak. Assembler membuka kotak sampai dia menemukan bagian yang tepat. Tulis hukum distribusi variabel acak X - jumlah kotak yang terbuka. Hitung ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak.

Opsi 8

Sebuah guci berisi 3 bola hitam dan 2 bola putih. Ekstraksi bola secara berurutan tanpa pengembalian dilakukan hingga muncul warna hitam. Tulis hukum distribusi variabel acak X - jumlah bola yang diekstraksi. Hitung ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak.

Opsi 9

Siswa mengetahui 15 pertanyaan dari 20. Ada 3 pertanyaan di tiket. Tulis hukum distribusi variabel acak X - jumlah pertanyaan yang diketahui siswa di tiket. Hitung ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak.

Opsi 10

Ada 3 bola lampu, yang masing-masing memiliki cacat dengan probabilitas 0,4. Saat dinyalakan, bola lampu yang rusak akan padam dan diganti dengan yang lain. Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak X - jumlah lampu yang diuji. Hitung ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak.

Tugas 2. Variabel acak X diberikan oleh fungsi distribusi F(X). Carilah densitas distribusi, ekspektasi matematis, varians, dan juga peluang sebuah variabel acak jatuh ke dalam interval (b, c). Buatlah grafik fungsi F(X) dan f(X).

Pilihan 1