Temukan peristiwa yang dapat diandalkan dan mustahil di antara peristiwa ai. Topik pelajaran: “Peristiwa yang dapat diandalkan, tidak mungkin, dan acak”

Hanya saja tidak di penerjemah online.

Gerbang Emas adalah simbol Kyiv, salah satu contoh arsitektur tertua yang bertahan hingga saat ini. Gerbang Emas Kyiv dibangun di bawah pemerintahan pangeran Kiev yang terkenal, Yaroslav the Wise pada tahun 1164. Awalnya mereka disebut Selatan dan merupakan bagian dari sistem benteng pertahanan kota, praktis tidak berbeda dengan gerbang penjaga kota lainnya. Gerbang Selatan itulah yang oleh Metropolitan Hilarion Rusia pertama disebut “Hebat” dalam “Sermon on Law and Grace” (Khotbah tentang Hukum dan Kasih Karunia). Setelah Gereja Hagia Sophia yang megah dibangun, Gerbang “Besar” menjadi pintu masuk utama ke Kyiv dari sisi barat daya. Menyadari pentingnya hal tersebut, Yaroslav the Wise memerintahkan pembangunan Gereja Kabar Sukacita kecil di atas gerbang tersebut untuk memberi penghormatan kepada agama Kristen yang dominan di kota tersebut dan di Rus. Sejak saat itu, semua sumber kronik Rusia mulai menyebut Gerbang Selatan Kyiv sebagai Gerbang Emas. Lebar gapura 7,5 m, tinggi lorong 12 m, dan panjang sekitar 25 m.

le sport ce n'est pas seulement des cours de gym. C'est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport mengembangkan banyak korps dan juga banyak cerveau. Ketika Anda meningkatkan "escalier dan bukan l" ascenseur Anda fais du sport. Saat Anda melakukan cabane di tempat yang Anda sukai untuk olahraga. Saat Anda memukul dengan banyak pukulan yang Anda lakukan saat berolahraga. Saat kursus Anda, karena Anda terlambat ke sekolah, Anda melakukan olahraga.

Suatu peristiwa adalah hasil dari sebuah ujian. Apa itu acara? Satu bola diambil secara acak dari guci. Mengambil bola dari guci adalah sebuah ujian. Munculnya bola dengan warna tertentu merupakan suatu peristiwa. Dalam teori probabilitas, suatu peristiwa dipahami sebagai sesuatu yang, setelah suatu titik waktu tertentu, hanya satu dari dua hal yang dapat dikatakan. Ya, itu terjadi. Tidak, itu tidak terjadi. Kemungkinan hasil suatu percobaan disebut kejadian elementer, dan himpunan hasil tersebut disebut kejadian.

Peristiwa yang tidak dapat diprediksi disebut acak. Suatu peristiwa disebut acak jika, dalam kondisi yang sama, peristiwa itu mungkin terjadi atau tidak. Saat melempar dadu, hasilnya adalah enam. Saya punya tiket lotre. Setelah hasil lotere dipublikasikan, peristiwa yang menarik minat saya - memenangkan seribu rubel - terjadi atau tidak terjadi. Contoh.

Dua peristiwa yang pada kondisi tertentu dapat terjadi secara bersamaan disebut peristiwa gabungan, dan peristiwa yang tidak dapat terjadi secara bersamaan disebut tidak kompatibel. Sebuah koin dilempar. Kemunculan “lambang” tidak termasuk kemunculan prasasti. Peristiwa “munculnya lambang negara” dan “munculnya sebuah prasasti” tidak sejalan. Contoh.

Suatu peristiwa yang selalu terjadi disebut dapat diandalkan. Suatu peristiwa yang tidak dapat terjadi disebut mustahil. Misalnya, sebuah bola diambil dari sebuah guci yang hanya berisi bola-bola hitam. Maka kemunculan bola hitam merupakan peristiwa yang dapat diandalkan; Munculnya bola putih merupakan peristiwa yang mustahil terjadi. Contoh. Tidak akan ada salju tahun depan. Saat melempar dadu, hasilnya adalah tujuh. Ini adalah kejadian yang mustahil. Akan ada salju tahun depan. Saat Anda melempar dadu, Anda akan mendapatkan angka kurang dari tujuh. Matahari terbit setiap hari. Ini adalah peristiwa yang dapat diandalkan.

Pemecahan masalah Untuk setiap peristiwa yang dijelaskan, tentukan apakah peristiwa itu: tidak mungkin, dapat diandalkan, atau acak. 1. Dari 25 siswa di kelas tersebut, dua orang merayakan ulang tahunnya pada a) tanggal 30 Januari; b) 30 Februari. 2. Buku teks sastra terbuka secara acak dan kata kedua ditemukan di halaman kiri. Kata ini diawali: a) dengan huruf “K”; b) dimulai dengan huruf “Ъ”.

3. Hari ini di Sochi barometer menunjukkan tekanan atmosfer normal. Dalam hal ini: a) air dalam panci direbus pada suhu 80º C; b) ketika suhu turun hingga -5º C, air di genangan air membeku. 4. Dua dadu dilempar: a) dadu pertama menunjukkan 3 poin, dan dadu kedua - 5 poin; b) jumlah poin yang dilemparkan pada kedua dadu adalah 1; c) jumlah poin yang dilemparkan pada kedua dadu adalah 13; d) kedua dadu mendapat 3 poin; e) jumlah poin pada dua dadu kurang dari 15. Pemecahan masalah

5. Anda membuka buku ke halaman mana pun dan membaca kata benda pertama yang Anda temukan. Ternyata: a) ejaan kata yang dipilih mengandung huruf vokal; b) ejaan kata yang dipilih mengandung huruf “O”; c) tidak ada vokal dalam ejaan kata yang dipilih; d) terdapat tanda lembut pada ejaan kata yang dipilih. Penyelesaian masalah

kelas 5. Pengantar Probabilitas (4 jam)

(pengembangan 4 pelajaran tentang topik ini)

Tujuan belajar : - memperkenalkan definisi peristiwa yang acak, dapat diandalkan, dan tidak mungkin;

Berikan ide awal tentang penyelesaian masalah kombinatorial: menggunakan pohon pilihan dan menggunakan aturan perkalian.

Tujuan pendidikan: perkembangan pandangan dunia siswa.

Tujuan perkembangan : pengembangan imajinasi spasial, peningkatan keterampilan bekerja dengan penggaris.

Peristiwa yang dapat diandalkan, tidak mungkin, dan acak (2 jam)

Soal kombinatorial (2 jam)

Peristiwa yang dapat diandalkan, tidak mungkin, dan acak.

Pelajaran pertama

Perlengkapan pelajaran: dadu, koin, backgammon.

Hidup kita sebagian besar terdiri dari kecelakaan. Ada ilmu seperti “Teori Probabilitas”. Dengan menggunakan bahasanya, Anda dapat menggambarkan banyak fenomena dan situasi.

Bahkan pemimpin primitif pun memahami bahwa selusin pemburu memiliki “kemungkinan” lebih besar untuk memukul bison dengan tombak daripada satu pemburu. Itu sebabnya mereka berburu secara kolektif saat itu.

Komandan kuno seperti Alexander Agung atau Dmitry Donskoy, yang bersiap untuk berperang, tidak hanya mengandalkan keberanian dan seni para pejuang, tetapi juga pada kesempatan.

Banyak orang menyukai matematika karena kebenaran abadi: dua kali dua selalu empat, jumlah bilangan genap adalah genap, luas persegi panjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan, dll. Dalam soal apa pun yang Anda pecahkan, semuanya mendapat jawaban yang sama - Anda hanya perlu tidak membuat kesalahan dalam mengambil keputusan.

Kehidupan nyata tidak sesederhana dan semudah itu. Hasil dari banyak peristiwa tidak dapat diprediksi sebelumnya. Misalnya, tidak mungkin untuk mengatakan dengan pasti di sisi mana koin yang dilempar akan jatuh, kapan salju pertama akan turun tahun depan, atau berapa banyak orang di kota yang ingin menelepon dalam satu jam berikutnya. Peristiwa yang tidak terduga seperti ini disebut acak .

Namun, kebetulan juga memiliki hukumnya sendiri, yang mulai terwujud ketika fenomena acak terulang berkali-kali. Jika Anda melempar koin sebanyak 1000 kali, koin tersebut akan muncul separuhnya, tidak demikian halnya dengan dua atau bahkan sepuluh kali pelemparan. "Kira-kira" bukan berarti setengah. Secara umum hal ini mungkin terjadi atau mungkin juga tidak. Undang-undang tidak menyatakan sesuatu secara pasti, namun memberikan tingkat kepastian tertentu bahwa suatu peristiwa acak akan terjadi. Pola seperti itu dipelajari oleh cabang matematika khusus - Teori probabilitas . Dengan bantuannya, Anda dapat memprediksi dengan lebih percaya diri (tetapi masih belum pasti) tanggal turunnya salju pertama dan jumlah panggilan telepon.

Teori probabilitas terkait erat dengan kehidupan kita sehari-hari. Hal ini memberi kita peluang bagus untuk menetapkan banyak hukum probabilistik secara eksperimental, mengulangi eksperimen acak berkali-kali. Bahan untuk eksperimen ini paling sering berupa koin biasa, dadu, satu set kartu domino, backgammon, roulette, atau bahkan setumpuk kartu. Masing-masing item ini terkait dengan permainan dalam satu atau lain cara. Faktanya adalah bahwa kasus ini muncul di sini dalam bentuk yang paling sering terjadi. Dan tugas probabilistik pertama terkait dengan menilai peluang pemain untuk menang.

Teori probabilitas modern telah beralih dari perjudian, namun alat pendukungnya masih tetap menjadi sumber peluang yang paling sederhana dan paling dapat diandalkan. Setelah berlatih dengan roulette dan dadu, Anda akan belajar menghitung kemungkinan kejadian acak dalam situasi kehidupan nyata, yang memungkinkan Anda mengevaluasi peluang keberhasilan, menguji hipotesis, dan membuat keputusan optimal tidak hanya dalam permainan dan lotere.

Saat memecahkan masalah probabilistik, berhati-hatilah, cobalah untuk membenarkan setiap langkah yang Anda ambil, karena tidak ada bidang matematika lain yang mengandung begitu banyak paradoks. Seperti teori probabilitas. Dan mungkin penjelasan utamanya adalah hubungannya dengan dunia nyata tempat kita tinggal.

Banyak permainan yang menggunakan dadu dengan jumlah titik berbeda dari 1 hingga 6 di setiap sisinya.Pemain melempar dadu, melihat berapa banyak titik yang muncul (di sisi yang terletak di atas), dan membuat jumlah gerakan yang sesuai. : 1,2,3 ,4,5, atau 6. Pelemparan sebuah dadu dapat dianggap sebagai pengalaman, percobaan, ujian, dan hasil yang diperoleh dapat dianggap suatu peristiwa. Orang biasanya sangat tertarik untuk menebak terjadinya suatu peristiwa tertentu dan memprediksi hasilnya. Prediksi apa yang dapat mereka buat saat melempar dadu? Prediksi pertama: akan muncul salah satu angka 1,2,3,4,5, atau 6. Kira-kira kejadian yang diprediksi akan terjadi atau tidak? Tentu saja itu pasti akan datang. Suatu peristiwa yang pasti terjadi pada suatu pengalaman tertentu disebut peristiwa yang dapat diandalkan.

Prediksi kedua : akan muncul angka 7. Kira-kira kejadian yang diramalkan itu akan terjadi atau tidak? Tentu saja hal itu tidak akan terjadi, mustahil. Suatu peristiwa yang tidak dapat terjadi dalam suatu pengalaman tertentu disebut peristiwa yang mustahil.

Prediksi ketiga : akan muncul angka 1. Kira-kira kejadian yang diramalkan itu terjadi atau tidak? Kami tidak dapat menjawab pertanyaan ini dengan pasti, karena peristiwa yang diprediksi mungkin terjadi atau tidak. Suatu peristiwa yang mungkin terjadi atau tidak terjadi dalam suatu pengalaman tertentu disebut peristiwa acak.

Latihan : Jelaskan peristiwa yang dibahas dalam tugas di bawah ini. Seperti pasti, tidak mungkin, atau acak.

Mari kita melempar koin. Sebuah lambang muncul. (acak)

Pemburu itu menembak serigala itu dan memukulnya. (acak)

Anak sekolah pergi jalan-jalan setiap malam. Saat berjalan pada hari Senin, dia bertemu dengan tiga orang kenalannya. (acak)

Mari kita lakukan percobaan berikut secara mental: balikkan segelas air. Jika percobaan ini dilakukan bukan di luar angkasa, melainkan di rumah atau di ruang kelas, maka air akan tumpah. (dapat diandalkan)

Tiga tembakan dilepaskan ke sasaran.” Ada lima pukulan" (tidak mungkin)

Lemparkan batu itu ke atas. Batu itu tetap tergantung di udara. (mustahil)

Kita menyusun ulang huruf-huruf dari kata “antagonisme” secara acak. Hasilnya adalah kata “anakroisme.” (mustahil)

№959. Petya memikirkan bilangan asli. Acaranya sebagai berikut:

a) bilangan genap dimaksudkan; (acak) b) yang dimaksudkan adalah bilangan ganjil; (acak)

c) disusun suatu bilangan yang tidak genap dan tidak ganjil; (mustahil)

d) Dianggap suatu bilangan genap atau ganjil. (dapat diandalkan)

№ 961. Petya dan Tolya membandingkan hari ulang tahun mereka. Acaranya sebagai berikut:

a) ulang tahun mereka tidak bersamaan; (acak) b) tanggal lahir mereka sama; (acak)

d) kedua ulang tahun mereka jatuh pada hari libur - Tahun Baru (1 Januari) dan Hari Kemerdekaan Rusia (12 Juni). (acak)

№ 962. Saat bermain backgammon, dua dadu digunakan. Banyaknya gerakan yang dilakukan seorang peserta dalam permainan ditentukan dengan menjumlahkan angka-angka pada kedua sisi kubus yang jatuh, dan jika “ganda” dilempar (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6 ), maka jumlah gerakan menjadi dua kali lipat. Anda melempar dadu dan mencari tahu berapa banyak gerakan yang harus Anda lakukan. Acaranya sebagai berikut:

a) Anda harus melakukan satu gerakan; b) Anda harus melakukan 7 gerakan;

c) Anda harus melakukan 24 gerakan; d) Anda harus melakukan 13 gerakan.

a) – tidak mungkin (1 gerakan dapat dilakukan jika kombinasi 1 + 0 dilempar, tetapi tidak ada angka 0 pada dadu).

b) – acak (jika 1 + 6 atau 2 + 5 digulirkan).

c) – acak (jika muncul kombinasi 6 +6).

d) – tidak mungkin (tidak ada kombinasi angka dari 1 sampai 6, yang jumlahnya 13; angka ini tidak dapat diperoleh bahkan ketika “ganda” digulirkan, karena ganjil).

Periksa dirimu sendiri. (dikte matematika)

1) Tunjukkan kejadian mana yang tidak mungkin terjadi, mana yang dapat diandalkan, dan mana yang acak:

Pertandingan sepak bola "Spartak" - "Dynamo" akan berakhir seri. (acak)

Anda akan menang dengan berpartisipasi dalam lotere win-win (dapat diandalkan)

Salju akan turun pada tengah malam dan matahari akan bersinar 24 jam kemudian. (mustahil)

Besok akan ada ulangan matematika. (acak)

Anda akan terpilih sebagai Presiden Amerika Serikat. (mustahil)

Anda akan terpilih sebagai presiden Rusia. (acak)

2) Anda membeli TV di toko yang produsennya memberikan garansi dua tahun. Manakah dari kejadian berikut ini yang tidak mungkin terjadi, mana yang acak, dan mana yang dapat diandalkan:

TV tidak akan rusak selama setahun. (acak)

TV tidak akan rusak selama dua tahun. (acak)

Anda tidak perlu membayar perbaikan TV selama dua tahun. (dapat diandalkan)

TV akan rusak pada tahun ketiga. (acak)

3) Sebuah bus yang mengangkut 15 penumpang harus berhenti sebanyak 10 kali. Manakah dari kejadian berikut ini yang tidak mungkin terjadi, mana yang acak, dan mana yang dapat diandalkan:

Semua penumpang akan turun dari bus di halte yang berbeda. (mustahil)

Semua penumpang akan turun di halte yang sama. (acak)

Di setiap perhentian setidaknya ada seseorang yang turun. (acak)

Akan ada perhentian di mana tidak ada yang turun. (acak)

Jumlah penumpang genap akan turun di semua halte. (mustahil)

Jumlah penumpang ganjil akan turun di semua halte. (mustahil)

Pekerjaan rumah : hal.53 No.960, 963, 965 (buat sendiri dua kejadian yang dapat diandalkan, acak, dan mustahil).

Pelajaran kedua.

Memeriksa pekerjaan rumah. (secara lisan)

a) Menjelaskan apa yang dimaksud dengan kejadian pasti, acak, dan mustahil.

b) Tunjukkan kejadian mana yang dapat diandalkan, mana yang tidak mungkin, dan mana yang acak:

Tidak akan ada liburan musim panas. (mustahil)

Sandwich akan jatuh dengan mentega menghadap ke bawah. (acak)

Tahun ajaran akan berakhir suatu hari nanti. (dapat diandalkan)

Mereka akan bertanya padaku di kelas besok. (acak)

Hari ini saya akan bertemu kucing hitam. (acak)

№ 960. Anda membuka buku teks ini ke halaman mana pun dan memilih kata benda pertama yang muncul. Acaranya sebagai berikut:

a) terdapat vokal pada ejaan kata yang dipilih. ((dapat diandalkan)

b) ejaan kata yang dipilih mengandung huruf “o”. (acak)

c) tidak ada vokal dalam ejaan kata yang dipilih. (mustahil)

d) terdapat tanda lembut pada ejaan kata yang dipilih. (acak)

№ 963. Anda bermain backgammon lagi. Jelaskan peristiwa berikut ini:

a) pemain harus melakukan tidak lebih dari dua gerakan. (tidak mungkin - dengan kombinasi angka terkecil 1 + 1, pemain melakukan 4 gerakan; kombinasi 1 + 2 menghasilkan 3 gerakan; semua kombinasi lainnya menghasilkan lebih dari 3 gerakan)

b) pemain harus melakukan lebih dari dua gerakan. (dapat diandalkan - kombinasi apa pun menghasilkan 3 gerakan atau lebih)

c) pemain harus melakukan tidak lebih dari 24 gerakan. (dapat diandalkan - kombinasi angka terbesar 6 + 6 menghasilkan 24 gerakan, dan angka lainnya menghasilkan kurang dari 24 gerakan)

d) pemain harus melakukan gerakan sebanyak dua digit. (acak – misalnya, kombinasi 2 + 3 menghasilkan jumlah gerakan satu digit: 5, dan menggulung dua empat menghasilkan jumlah gerakan dua digit)

2. Pemecahan masalah.

№ 964. Ada 10 bola di dalam kantong: 3 biru, 3 putih, dan 4 merah. Jelaskan peristiwa berikut ini:

a) diambil 4 bola dari tas, semuanya berwarna biru; (mustahil)

b) diambil 4 bola dari tas, semuanya berwarna merah; (acak)

c) 4 bola dikeluarkan dari tas, dan semuanya berubah warna; (mustahil)

d) Dikeluarkan 4 bola dari kantong, dan diantaranya tidak ada bola hitam. (dapat diandalkan)

Tugas 1. Kotak tersebut berisi 10 pulpen merah, 1 hijau, dan 2 biru. Dua buah benda diambil secara acak dari kotak tersebut. Manakah kejadian berikut yang tidak mungkin terjadi, mana yang acak, dan mana yang pasti:

a) dua buah pulpen merah dikeluarkan (acak)

b) dua pegangan hijau dikeluarkan; (mustahil)

c) dua pena biru dikeluarkan; (acak)

d) pegangan dengan dua warna berbeda dikeluarkan; (acak)

e) dua pegangan dilepas; (dapat diandalkan)

f) dua pensil dikeluarkan. (mustahil)

Tugas 2. Winnie the Pooh, Piglet dan semuanya - semuanya - semuanya duduk di meja bundar untuk merayakan ulang tahunnya. Pada nomor berapa dari semua - semua - semua kejadian “Winnie the Pooh dan Piglet duduk bersebelahan” dapat diandalkan, dan pada nomor berapa kejadian tersebut acak?

(bila hanya ada 1 – semua – semuanya, maka kejadian tersebut reliabel, jika lebih dari 1 maka acak).

Tugas 3. Di antara 100 tiket lotere amal, 20 adalah pemenangnya.Berapa banyak tiket yang perlu Anda beli agar acara “Anda tidak akan memenangkan apa pun” menjadi mustahil?

Tugas 4. Ada 10 laki-laki dan 20 perempuan di kelas. Manakah dari kejadian berikut yang tidak mungkin terjadi pada kelas ini, mana yang acak, dan mana yang dapat diandalkan

Ada dua orang di kelas yang lahir di bulan berbeda. (acak)

Ada dua orang di kelas yang lahir di bulan yang sama. (dapat diandalkan)

Ada dua anak laki-laki di kelas yang lahir di bulan yang sama. (acak)

Ada dua anak perempuan di kelas yang lahir di bulan yang sama. (dapat diandalkan)

Semua anak laki-laki dilahirkan pada bulan yang berbeda. (dapat diandalkan)

Semua anak perempuan dilahirkan di bulan yang berbeda. (acak)

Ada seorang laki-laki dan perempuan yang lahir pada bulan yang sama. (acak)

Ada seorang laki-laki dan perempuan yang lahir pada bulan yang berbeda. (acak)

Tugas 5. Ada 3 bola merah, 3 kuning, 3 bola hijau di dalam kotak. Kami mengeluarkan 4 bola secara acak. Perhatikan kejadian “Di antara bola-bola yang ditarik akan ada bola-bola yang warnanya persis M.” Untuk setiap M dari 1 sampai 4, tentukan jenis kejadiannya - tidak mungkin, dapat diandalkan, atau acak, dan isi tabelnya:

Pekerjaan mandiri.

SAYApilihan

a) nomor ulang tahun teman anda kurang dari 32;

c) besok akan ada ulangan matematika;

d) Tahun depan salju pertama di Moskow akan turun pada hari Minggu.

Melempar dadu. Jelaskan peristiwa tersebut:

a) kubus, setelah jatuh, akan berdiri di tepinya;

b) akan muncul salah satu angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

c) akan muncul angka 6;

d) bilangan kelipatan 7 akan digulirkan.

Sebuah kotak berisi 3 bola merah, 3 bola kuning, dan 3 bola hijau. Jelaskan peristiwa tersebut:

a) semua bola yang diambil mempunyai warna yang sama;

b) semua bola yang ditarik memiliki warna berbeda;

c) di antara bola-bola yang ditarik ada bola-bola dengan warna berbeda;

c) di antara bola-bola yang ditarik ada bola berwarna merah, kuning dan hijau.

IIpilihan

Jelaskan peristiwa yang dimaksud sebagai peristiwa yang dapat diandalkan, tidak mungkin, atau tidak disengaja:

a) sandwich yang jatuh dari meja akan jatuh tertelungkup ke lantai;

b) salju akan turun di Moskow pada tengah malam, dan setelah 24 jam matahari akan bersinar;

c) Anda akan menang dengan berpartisipasi dalam lotere win-win;

d) tahun depan di bulan Mei guntur pertama musim semi akan terdengar.

Semua angka dua digit tertulis di kartu. Satu kartu dipilih secara acak. Jelaskan peristiwa tersebut:

a) ada angka nol di kartu;

b) pada kartu tersebut terdapat angka kelipatan 5;

c) pada kartu terdapat angka kelipatan 100;

d) ada angka pada kartu yang lebih besar dari 9 dan kurang dari 100.

Kotak tersebut berisi 10 pulpen merah, 1 hijau, dan 2 biru. Dua buah benda diambil secara acak dari kotak tersebut. Jelaskan peristiwa tersebut:

a) dua pena biru dikeluarkan;

b) dua pulpen merah dikeluarkan;

c) dua pegangan hijau dikeluarkan;

d) gagang hijau dan hitam dicabut.

Pekerjaan rumah: 1). Munculkan dua peristiwa yang dapat diandalkan, acak, dan mustahil.

2). Tugas . Ada 3 bola merah, 3 kuning, 3 bola hijau di dalam kotak. Kami mengambil N bola secara acak. Bayangkan kejadian “di antara bola-bola yang ditarik akan ada bola-bola dengan tepat tiga warna.” Untuk setiap N dari 1 sampai 9, tentukan jenis kejadiannya - tidak mungkin, dapat diandalkan, atau acak, dan isi tabelnya:

Masalah kombinatorial.

Pelajaran pertama

Memeriksa pekerjaan rumah. (secara lisan)

a) kami memeriksa masalah yang diajukan siswa.

b) tugas tambahan.

Saya sedang membaca kutipan dari buku V. Levshin “Three Days in Karlikania.”

“Awalnya, diiringi bunyi waltz yang halus, angka-angka tersebut membentuk kelompok: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Kemudian para skater muda mulai berpindah tempat, semakin banyak membentuk kelompok baru: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10, dst.

Ini berlanjut sampai para skater kembali ke posisi awal.”

Berapa kali mereka berpindah tempat?

Hari ini di kelas kita akan belajar bagaimana menyelesaikan masalah seperti itu. Mereka dipanggil kombinatorial.

3. Mempelajari materi baru.

Tugas 1. Berapa banyak bilangan dua angka yang dapat dibuat dari bilangan 1, 2, 3?

Larutan: 11, 12, 13

31, 32, 33. Total 9 angka.

Saat memecahkan masalah ini, kami mencari semua opsi yang mungkin, atau, seperti yang biasanya mereka katakan dalam kasus ini. Semua kemungkinan kombinasi. Oleh karena itu, masalah seperti ini disebut kombinatorial. Anda harus cukup sering menghitung opsi yang mungkin (atau tidak mungkin) dalam hidup, jadi mengenal masalah kombinatorial akan berguna.

№ 967. Beberapa negara telah memutuskan untuk menggunakan simbol bendera nasionalnya berupa tiga garis horizontal dengan lebar yang sama dengan warna berbeda - putih, biru, merah. Berapa banyak negara yang dapat menggunakan simbol-simbol tersebut, asalkan setiap negara memiliki benderanya sendiri?

Larutan. Anggaplah garis pertama berwarna putih. Kemudian garis kedua bisa berwarna biru atau merah, dan garis ketiga masing-masing berwarna merah atau biru. Kami punya dua pilihan: putih, biru, merah atau putih, merah, biru.

Biarkan sekarang garis pertama menjadi biru, sekali lagi kita mendapatkan dua pilihan: putih, merah, biru atau biru, merah, putih.

Biarkan garis pertama berwarna merah, lalu ada dua pilihan lagi: merah, putih, biru atau merah, biru, putih.

Ada total 6 opsi yang memungkinkan. Bendera ini dapat digunakan oleh 6 negara.

Jadi, ketika memecahkan masalah ini, kami mencari cara untuk membuat daftar opsi yang memungkinkan. Dalam banyak kasus, membuat gambar - diagram opsi enumerasi ternyata berguna. Ini, pertama, jelas, dan kedua, memungkinkan kita memperhitungkan segala sesuatunya dan tidak melewatkan apa pun.

Diagram ini juga disebut pohon opsi yang memungkinkan.

Halaman Depan

Garis kedua

Jalur ketiga

Kombinasi yang dihasilkan

№ 968. Berapa banyak bilangan dua angka yang dapat dibuat dari bilangan 1, 2, 4, 6, 8?

Larutan. Untuk bilangan dua angka yang kita minati, tempat pertama dapat berupa salah satu dari angka-angka tersebut, kecuali 0. Jika kita meletakkan angka 2 pada tempat pertama, maka salah satu angka tersebut dapat berada pada tempat kedua. Anda akan mendapatkan lima angka dua digit: 2.,22, 24, 26, 28. Demikian pula, akan ada lima angka dua digit dengan digit pertama 4, lima angka dua digit dengan digit pertama 6 dan lima angka dua- digit angka dengan digit pertama 8.

Jawaban: Totalnya akan ada 20 angka.

Mari kita buat pohon pilihan yang memungkinkan untuk memecahkan masalah ini.

Angka ganda

Angka pertama

Angka kedua

Nomor yang diterima

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

Selesaikan permasalahan berikut dengan membuat pohon pilihan yang mungkin.

№ 971. Pimpinan suatu negara memutuskan untuk membuat bendera nasionalnya terlihat seperti ini: pada latar belakang persegi panjang satu warna, sebuah lingkaran dengan warna berbeda ditempatkan di salah satu sudut. Diputuskan untuk memilih warna dari tiga kemungkinan: merah, kuning, hijau. Berapa banyak varian bendera ini?

ada? Gambar tersebut menunjukkan beberapa opsi yang memungkinkan.

Jawaban: 24 pilihan.

№ 973. a) Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat dari bilangan 1,3, 5,? (27 angka)

b) Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat dari bilangan 1,3, 5, asalkan bilangan tersebut tidak berulang? (6 angka)

№ 979. Pentathlet modern berpartisipasi dalam kompetisi dalam lima cabang olahraga selama dua hari: pertunjukan lompat, anggar, renang, menembak, dan lari.

a) Ada berapa pilihan urutan penyelesaian jenis perlombaan? (120 opsi)

b) Berapa banyak pilihan urutan acara kompetisi, jika diketahui acara terakhir harus berjalan? (24 pilihan)

c) Berapa banyak pilihan urutan perlombaan jika diketahui perlombaan terakhir yang harus dijalankan, dan yang pertama adalah show jumping? (6 pilihan)

№ 981. Dua guci berisi lima bola masing-masing dalam lima warna berbeda: putih, biru, merah, kuning, hijau. Satu bola diambil dari setiap guci pada satu waktu.

a) Ada berapa banyak kombinasi berbeda dari bola yang diambil (kombinasi seperti “putih - merah” dan “merah - putih” dianggap sama)?

(15 kombinasi)

b) Berapa banyak kombinasi yang bola-bolanya diambil warnanya sama?

(5 kombinasi)

c) berapa banyak kombinasi yang bola-bolanya diambil warnanya berbeda-beda?

(15 – 5 = 10 kombinasi)

Pekerjaan rumah: hal.54, No.969, 972, buatlah sendiri soal kombinatorial.

№ 969. Beberapa negara telah memutuskan untuk menggunakan simbol bendera nasionalnya berupa tiga garis vertikal dengan lebar yang sama dengan warna berbeda: hijau, hitam, kuning. Berapa banyak negara yang dapat menggunakan simbol-simbol tersebut, asalkan setiap negara memiliki benderanya sendiri?

№ 972. a) Berapa banyak bilangan dua angka yang dapat dibuat dari bilangan 1, 3, 5, 7, 9?

b) Berapa banyak bilangan dua angka yang dapat dibuat dari bilangan 1, 3, 5, 7, 9, asalkan bilangan tersebut tidak berulang?

Pelajaran kedua

Memeriksa pekerjaan rumah. a) No. 969 dan No. 972a) dan No. 972b) - buatlah pohon pilihan yang memungkinkan di papan tulis.

b) kami memeriksa tugas yang diselesaikan secara lisan.

Penyelesaian masalah.

Jadi, sebelum ini, kita telah mempelajari cara menyelesaikan masalah kombinatorial menggunakan pohon opsi. Apakah ini cara yang baik? Mungkin ya, tapi sangat rumit. Mari kita coba menyelesaikan soal pekerjaan rumah No. 972 secara berbeda. Siapa yang bisa menebak bagaimana hal ini bisa dilakukan?

Menjawab: Untuk masing-masing lima warna kaos terdapat 4 warna celana dalam. Total: 4 * 5 = 20 pilihan.

№ 980. Guci tersebut berisi lima bola yang masing-masing memiliki lima warna berbeda: putih, biru, merah, kuning, hijau. Satu bola diambil dari setiap guci pada satu waktu. Jelaskan peristiwa berikut sebagai sesuatu yang pasti, acak, atau tidak mungkin:

a) mengeluarkan bola dengan warna berbeda; (acak)

b) mengeluarkan bola-bola dengan warna yang sama; (acak)

c) diambil bola hitam putih; (mustahil)

d) diambil dua bola yang keduanya diwarnai dengan salah satu warna berikut: putih, biru, merah, kuning, hijau. (dapat diandalkan)

№ 982. Sekelompok wisatawan berencana mendaki sepanjang rute Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Dari Antonovo ke Borisovo Anda dapat berarung jeram di sungai atau berjalan kaki. Dari Borisovo ke Vlasovo Anda bisa berjalan kaki atau bersepeda. Dari Vlasovo ke Gribovo Anda bisa berenang di sepanjang sungai, bersepeda, atau berjalan kaki. Berapa banyak pilihan trekking yang bisa dipilih wisatawan? Berapa banyak pilihan pendakian yang bisa dipilih wisatawan, dengan syarat mereka harus menggunakan sepeda setidaknya di satu bagian rute?

(12 pilihan rute, 8 diantaranya menggunakan sepeda)

Pekerjaan mandiri.

1 pilihan

a) Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat dari angka-angka tersebut: 0, 1, 3, 5, 7?

b) Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat dari angka-angka tersebut: 0, 1, 3, 5, 7, asalkan bilangan-bilangan tersebut tidak berulang?

Athos, Porthos dan Aramis hanya memiliki pedang, belati dan pistol.

a) Dengan berapa cara musketeer dapat dipersenjatai?

b) Berapa banyak pilihan senjata yang ada jika Aramis harus menggunakan pedang?

c) Berapa banyak pilihan senjata yang ada jika Aramis harus menggunakan pedang dan Porthos harus menggunakan pistol?

Di suatu tempat Tuhan mengirimi Raven sepotong keju, serta keju feta, sosis, roti putih dan hitam. Setelah bertengger di pohon cemara, burung gagak hendak sarapan, tetapi dia mulai berpikir: dengan berapa cara membuat sandwich dari produk ini?

pilihan 2

a) Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat dari angka-angka tersebut: 0, 2, 4, 6, 8?

b) Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat dari angka-angka tersebut: 0, 2, 4, 6, 8, asalkan angka-angka tersebut tidak boleh berulang?

Count Monte Cristo memutuskan untuk memberikan anting, kalung, dan gelang kepada Putri Hayde. Setiap perhiasan harus mengandung salah satu jenis batu permata berikut: berlian, rubi, atau garnet.

a) Ada berapa pilihan untuk memadukan perhiasan batu mulia?

b) Berapa banyak pilihan perhiasan yang ada jika antingnya harus berlian?

c) Berapa banyak pilihan perhiasan yang ada jika antingnya harus berlian dan gelangnya harus garnet?

Untuk sarapan Anda bisa memilih bun, sandwich atau gingerbread dengan kopi atau kefir. Berapa banyak pilihan sarapan yang dapat Anda buat?

Pekerjaan rumah : No.974, 975. (dengan menyusun pohon pilihan dan menggunakan aturan perkalian)

№ 974 . a) Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat dari bilangan 0, 2, 4?

b) Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat dari bilangan 0, 2, 4, asalkan bilangan tersebut tidak berulang?

№ 975 . a) Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat dari bilangan 1,3, 5,7?

b) Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat dari bilangan 1,3, 5,7 dengan syarat. Angka apa yang tidak boleh terulang?

Nomor soal diambil dari buku teks

"Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.

1.1. Beberapa informasi dari kombinatorik

1.1.1. Penempatan

Mari kita pertimbangkan konsep paling sederhana yang terkait dengan pemilihan dan penataan sekumpulan objek tertentu.
Menghitung jumlah cara tindakan ini dapat dilakukan sering kali dilakukan ketika memecahkan masalah probabilistik.
Definisi. Akomodasi dari N elemen oleh k (k ≤N) adalah subset apa pun yang diurutkan k elemen suatu himpunan yang terdiri dari N berbagai elemen.
Contoh. Barisan bilangan berikut merupakan penempatan 2 anggota dari 3 anggota himpunan (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Perhatikan bahwa penempatannya berbeda dalam urutan elemen yang termasuk di dalamnya dan komposisinya. Penempatan 12 dan 21 berisi nomor yang sama, tetapi urutannya berbeda. Oleh karena itu, penempatan tersebut dianggap berbeda.
Jumlah penempatan berbeda dari N elemen oleh k ditunjuk dan dihitung dengan rumus:
,
Di mana N! = 1∙2∙...∙(N - 1)∙N(membaca " N- faktorial").
Banyaknya bilangan dua angka yang dapat dibuat dari angka-angka 1, 2, 3 asalkan tidak ada angka yang berulang sama dengan: .

1.1.2. Penataan ulang

Definisi. Permutasi dari N elemen disebut penempatan seperti itu N unsur-unsur yang berbeda hanya pada letak unsur-unsurnya.
Banyaknya permutasi dari N elemen hal dihitung dengan rumus: hal=N!
Contoh. Berapa banyak cara 5 orang dapat berbaris? Banyaknya cara sama dengan banyaknya permutasi 5 unsur, yaitu.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definisi. Jika di antara N elemen k identik, lalu disusun ulang N elemen disebut permutasi dengan pengulangan.
Contoh. Misalkan 2 dari 6 buku itu identik. Setiap penataan semua buku di rak merupakan penataan ulang dengan pengulangan.
Banyaknya permutasi berbeda dengan pengulangan (dari N elemen, termasuk k identik) dihitung menggunakan rumus: .
Dalam contoh kita, banyaknya cara menyusun buku pada rak adalah: .

1.1.3. Kombinasi

Definisi. Kombinasi dari N elemen oleh k penempatan seperti itu disebut N elemen oleh k, yang berbeda satu sama lain setidaknya dalam satu elemen.
Jumlah kombinasi berbeda dari N elemen oleh k ditunjuk dan dihitung dengan rumus: .
Menurut definisi, 0!=1.
Properti berikut berlaku untuk kombinasi:
1.
2.
3.
4.
Contoh. Ada 5 bunga dengan warna berbeda. 3 bunga dipilih untuk buket. Banyaknya karangan bunga berbeda yang terdiri dari 3 bunga dari 5 bunga sama dengan: .

1.2. Peristiwa Acak

1.2.1. Acara

Pengetahuan tentang realitas dalam ilmu-ilmu alam terjadi sebagai hasil tes (eksperimen, observasi, pengalaman).
Tes atau pengalaman adalah implementasi dari serangkaian kondisi tertentu yang dapat direproduksi berkali-kali.
Acak adalah suatu peristiwa yang mungkin terjadi atau tidak terjadi sebagai akibat dari suatu ujian (pengalaman).
Dengan demikian, peristiwa tersebut dianggap sebagai hasil ujian.
Contoh. Melempar koin adalah sebuah tantangan. Kemunculan burung elang pada saat pelemparan merupakan suatu peristiwa.
Peristiwa-peristiwa yang kita amati berbeda-beda dalam tingkat kemungkinan terjadinya dan sifat keterhubungannya.
Peristiwa tersebut dinamakan dapat diandalkan , jika hal itu pasti terjadi akibat pengujian ini.
Contoh. Seorang siswa yang mendapat nilai positif atau negatif dalam suatu ujian merupakan peristiwa yang dapat diandalkan jika ujian berlangsung menurut aturan yang biasa.
Peristiwa tersebut dinamakan mustahil , jika hal tersebut tidak dapat terjadi akibat pengujian ini.
Contoh. Mengeluarkan bola putih dari wadah yang hanya berisi bola berwarna (bukan putih) adalah peristiwa yang mustahil. Perhatikan bahwa dalam kondisi eksperimen lain, kemunculan bola putih tidak dikecualikan; dengan demikian, peristiwa ini tidak mungkin terjadi hanya berdasarkan pengalaman kita.
Berikut ini, kita akan menyatakan kejadian acak dengan huruf latin kapital A, B, C... Kita akan menyatakan kejadian yang dapat diandalkan dengan huruf Ω, dan kejadian yang mustahil dengan Ø.
Dua peristiwa atau lebih disebut sama mungkinnya dalam pengujian tertentu jika ada alasan untuk meyakini bahwa tidak satu pun dari peristiwa tersebut yang lebih atau kurang mungkin dibandingkan peristiwa lainnya.
Contoh. Dengan satu pelemparan sebuah dadu, munculnya angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 merupakan kejadian yang sama-sama mungkin terjadi. Tentu saja diasumsikan bahwa dadu tersebut terbuat dari bahan yang homogen dan memiliki bentuk yang benar.
Kedua peristiwa tersebut disebut tidak kompatibel dalam suatu pengujian tertentu, jika kemunculan salah satunya tidak termasuk kemunculan yang lain, dan persendian jika tidak.
Contoh. Kotak berisi bagian standar dan non-standar. Mari kita ambil satu detail untuk keberuntungan. Tampilan part standar menghilangkan tampilan part non-standar. Peristiwa-peristiwa ini tidak sejalan.
Beberapa peristiwa terbentuk kumpulan acara lengkap dalam suatu pengujian tertentu, jika setidaknya salah satu di antaranya pasti terjadi sebagai akibat dari pengujian tersebut.
Contoh. Peristiwa-peristiwa dalam contoh tersebut membentuk suatu kelompok lengkap peristiwa-peristiwa yang sama-sama mungkin terjadi dan tidak kompatibel berpasangan.
Dua kejadian tak serasi yang membentuk kelompok kejadian lengkap dalam suatu percobaan tertentu disebut kejadian yang berlawanan.
Jika salah satunya ditunjuk oleh A, maka yang lain biasanya dilambangkan dengan (dibaca “tidak A»).
Contoh. Pukulan dan kegagalan dengan satu tembakan ke sasaran adalah kejadian yang berlawanan.

1.2.2. Definisi klasik tentang probabilitas

Kemungkinan kejadian – ukuran numerik dari kemungkinan terjadinya hal tersebut.
Peristiwa A ditelepon baik peristiwa DI DALAM jika suatu saat suatu peristiwa terjadi A, acara itu tiba DI DALAM.
Acara A 1 , A 2 , ..., AN membentuk diagram kasus , jika mereka:
1) sama mungkinnya;
2) tidak kompatibel berpasangan;
3) membentuk kelompok yang lengkap.
Dalam skema kasus (dan hanya dalam skema ini) definisi klasik tentang probabilitas terjadi P(A) acara A. Di sini, kasus adalah masing-masing peristiwa yang termasuk dalam kelompok lengkap terpilih dari peristiwa-peristiwa yang sama-sama mungkin terjadi dan tidak kompatibel berpasangan.
Jika N adalah jumlah seluruh kasus dalam skema, dan M– jumlah kasus yang mendukung peristiwa tersebut A, Itu kemungkinan suatu peristiwa A ditentukan oleh persamaan:

Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:
1. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.
Memang benar, jika suatu peristiwa pasti terjadi, maka setiap kasus dalam skema kasus menguntungkan peristiwa tersebut. Pada kasus ini M = N dan maka dari itu

2. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol.
Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada kasus dalam pola kasus yang mendukung peristiwa tersebut. Itu sebabnya M=0 dan oleh karena itu

Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu.
Memang benar, hanya sebagian kecil dari jumlah total kasus dalam pola kasus yang disukai oleh kejadian acak. Oleh karena itu 0<M<N, yang artinya 0<M/N<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Jadi, probabilitas suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan tersebut
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Saat ini, sifat-sifat probabilitas didefinisikan dalam bentuk aksioma yang dirumuskan oleh A.N. Kolmogorov.
Salah satu keuntungan utama dari definisi klasik tentang probabilitas adalah kemampuan untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa secara langsung, yaitu. tanpa menggunakan eksperimen, yang digantikan oleh penalaran logis.

Masalah perhitungan probabilitas secara langsung

Masalah 1.1. Berapa peluang munculnya angka genap (kejadian A) pada pelemparan sebuah dadu?
Larutan. Pertimbangkan kejadiannya ASaya- keluar Saya kacamata, Saya= 1, 2, …,6. Jelaslah bahwa peristiwa-peristiwa ini membentuk suatu pola kasus. Lalu jumlah semua kasus N= 6. Kasus mendukung perolehan poin dalam jumlah genap A 2 , A 4 , A 6, yaitu M= 3. Lalu .
Masalah 1.2. Ada 5 bola putih dan 10 bola hitam dalam sebuah guci. Bola-bola tersebut tercampur rata kemudian diambil 1 bola secara acak. Berapa peluang terambilnya bola berwarna putih?
Larutan. Total ada 15 kasus yang membentuk pola kasus. Apalagi acara yang diharapkan A– Oleh karena itu, munculnya bola putih disukai oleh 5 orang diantaranya .
Masalah 1.3. Seorang anak bermain dengan enam huruf alfabet: A, A, E, K, R, T. Tentukan peluang dia dapat secara acak membentuk kata CARRIAGE (kejadian A).
Larutan. Solusinya diperumit oleh kenyataan bahwa di antara huruf-huruf tersebut ada huruf yang identik - dua huruf "A". Oleh karena itu, banyaknya kasus yang mungkin dalam suatu pengujian tertentu sama dengan banyaknya permutasi dengan pengulangan 6 huruf:
.
Kasus-kasus ini sama-sama mungkin, tidak konsisten berpasangan dan membentuk kelompok peristiwa yang lengkap, yaitu. membentuk diagram kasus. Hanya satu peluang yang mendukung acara tersebut A. Itu sebabnya
.
Masalah 1.4. Tanya dan Vanya sepakat untuk merayakan Tahun Baru bersama 10 orang. Mereka berdua sangat ingin duduk bersebelahan. Berapa peluang terkabulnya keinginan mereka jika merupakan kebiasaan membagi tempat di antara teman-temannya melalui undian?
Larutan. Mari kita nyatakan dengan A acara “pemenuhan keinginan Tanya dan Vanya.” 10 orang bisa duduk di meja 10 orang! cara yang berbeda. Berapa banyak dari ini N= 10! cara yang sama mungkin menguntungkan Tanya dan Vanya? Tanya dan Vanya yang duduk bersebelahan dapat mengambil 20 posisi berbeda. Pada saat yang sama, delapan temannya dapat duduk di meja yang berisi 8 orang! dengan cara yang berbeda, jadi M= 20∙8!. Karena itu,
.
Soal 1.5. Sekelompok 5 perempuan dan 20 laki-laki memilih tiga delegasi. Dengan asumsi bahwa setiap orang yang hadir dapat dipilih dengan peluang yang sama, tentukan peluang terambilnya dua perempuan dan satu laki-laki.
Larutan. Jumlah total kemungkinan hasil tes yang sama sama dengan banyaknya cara memilih tiga delegasi dari 25 orang, yaitu. . Sekarang mari kita hitung jumlah kasus yang menguntungkan, yaitu. jumlah kasus dimana peristiwa menarik terjadi. Seorang delegasi laki-laki dapat dipilih dengan dua puluh cara. Pada saat yang sama, dua delegasi yang tersisa harus perempuan, dan Anda dapat memilih dua dari lima delegasi perempuan. Karena itu, . Itu sebabnya
.
Soal 1.6. Empat bola tersebar secara acak di empat lubang, masing-masing bola jatuh ke dalam satu lubang atau lainnya dengan probabilitas yang sama dan independen dari yang lain (tidak ada hambatan bagi beberapa bola yang jatuh ke dalam lubang yang sama). Tentukan peluang munculnya tiga bola di salah satu lubang, satu bola di lubang lainnya, dan tidak ada bola di dua lubang lainnya.
Larutan. Jumlah total kasus N=4 4 . Banyaknya cara seseorang dapat memilih satu lubang dimana akan terdapat tiga bola, . Banyaknya cara dimana anda dapat memilih lubang dimana akan terdapat satu bola, . Banyaknya cara untuk memilih tiga dari empat bola untuk dimasukkan ke dalam lubang pertama adalah . Jumlah total kasus yang menguntungkan. Kemungkinan kejadian:
Soal 1.7. Ada 10 bola identik di dalam kotak, ditandai dengan angka 1, 2, ..., 10. Enam bola diambil untuk keberuntungan. Tentukan peluang terambilnya bola-bola: a) bola No.1; b) bola no.1 dan no.2.
Larutan. a) Jumlah total kemungkinan hasil dasar dari tes tersebut sama dengan banyaknya cara untuk mengambil enam bola dari sepuluh, yaitu.
Mari kita cari banyaknya hasil yang mendukung kejadian yang kita minati: di antara enam bola yang dipilih terdapat bola No. 1 dan oleh karena itu, lima bola sisanya mempunyai nomor yang berbeda. Banyaknya hasil tersebut tentu saja sama dengan banyaknya cara untuk memilih lima bola dari sembilan bola yang tersisa, yaitu.
Probabilitas yang diperlukan sama dengan rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa tersebut dengan jumlah total kemungkinan hasil dasar:
b) Banyaknya hasil yang menguntungkan kejadian yang kita minati (di antara bola-bola yang dipilih terdapat bola No. 1 dan No. 2, oleh karena itu, empat bola mempunyai nomor yang berbeda) sama dengan banyaknya cara keempat bola tersebut dapat lolos. diekstraksi dari delapan sisanya, yaitu Probabilitas yang diperlukan

1.2.3. Probabilitas statistik

Definisi statistik tentang probabilitas digunakan ketika hasil suatu eksperimen tidak mungkin sama.
Frekuensi kejadian relatif A ditentukan oleh persamaan:
,
Di mana M– jumlah uji coba di mana acara tersebut A Itu telah datang N– jumlah total tes yang dilakukan.
J. Bernoulli membuktikan bahwa dengan peningkatan jumlah percobaan yang tidak terbatas, frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa akan berbeda hampir sesedikit yang diinginkan dari suatu bilangan konstan. Ternyata angka konstan tersebut adalah peluang terjadinya suatu peristiwa. Oleh karena itu, wajar jika frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa dengan jumlah percobaan yang cukup besar disebut sebagai probabilitas statistik, berbeda dengan probabilitas yang diperkenalkan sebelumnya.
Contoh 1.8. Bagaimana cara kira-kira menentukan jumlah ikan di danau?
Biarkan di danau X ikan Kita memasang jaring dan, katakanlah, kita menemukannya N ikan Kami menandai masing-masing dan melepaskannya kembali. Beberapa hari kemudian, dalam cuaca dan tempat yang sama, kami memasang jaring yang sama. Mari kita asumsikan bahwa kita menemukan m ikan di dalamnya, di antaranya k ditandai. Biarkan acaranya A- “ikan yang ditangkap ditandai.” Kemudian menurut definisi frekuensi relatif.
Tapi kalau di danau X ikan dan kami melepaskannya ke dalamnya N diberi label, lalu.
Karena R * (A) » R(A), Itu .

1.2.4. Operasi pada acara. Teorema penjumlahan probabilitas

Jumlah, atau gabungan beberapa peristiwa, adalah suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya sekurang-kurangnya salah satu peristiwa tersebut (dalam sidang yang sama).
Jumlah A 1 + A 2 + … + AN dilambangkan sebagai berikut:
atau .
Contoh. Dua buah dadu dilempar. Biarkan acaranya A terdiri dari pelemparan 4 poin pada 1 dadu, dan event DI DALAM– ketika 5 poin dilempar pada dadu lain. Acara A Dan DI DALAM persendian. Oleh karena itu acara tersebut A +DI DALAM terdiri dari pelemparan 4 titik pada dadu pertama, atau 5 titik pada dadu kedua, atau 4 titik pada dadu pertama dan 5 titik pada dadu kedua secara bersamaan.
Contoh. Peristiwa A– kemenangan untuk 1 pinjaman, acara DI DALAM– kemenangan pada pinjaman ke-2. Lalu acaranya A+B– memenangkan setidaknya satu pinjaman (mungkin dua pinjaman sekaligus).
Pekerjaan atau perpotongan beberapa peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya gabungan semua peristiwa tersebut (dalam percobaan yang sama).
Bekerja DI DALAM acara A 1 , A 2 , …, AN dilambangkan sebagai berikut:
.
Contoh. Acara A Dan DI DALAM terdiri dari keberhasilan melewati putaran pertama dan kedua, masing-masing, setelah masuk ke institut. Lalu acaranya A×B terdiri dari berhasil menyelesaikan kedua putaran.
Konsep jumlah dan hasil kali kejadian memiliki interpretasi geometris yang jelas. Biarkan acaranya A ada titik memasuki area tersebut A, dan acara tersebut DI DALAM– titik memasuki area tersebut DI DALAM. Lalu acaranya A+B ada titik yang memasuki kesatuan area-area ini (Gbr. 2.1), dan acaranya ADI DALAM ada sebuah titik yang menyentuh perpotongan area tersebut (Gbr. 2.2).

Beras. 2.1 Gambar. 2.2
Dalil. Jika peristiwa dan saya(Saya = 1, 2, …, N) tidak konsisten berpasangan, maka peluang jumlah kejadian sama dengan jumlah peluang kejadian berikut:
.
Membiarkan A Dan Ā – kejadian yang berlawanan, mis. SEBUAH + Ā= Ω, dimana Ω adalah kejadian yang dapat diandalkan. Dari teorema penjumlahan berikut ini
(Ω) = R(A) + R(Ā ) = 1, oleh karena itu
R(Ā ) = 1 – R(A).
Jika peristiwa A 1 dan A 2 kompatibel, maka peluang jumlah dua kejadian serentak adalah:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) – P( A 1× A 2).
Teorema penjumlahan probabilitas memungkinkan kita beralih dari menghitung probabilitas secara langsung ke menentukan probabilitas terjadinya peristiwa kompleks.
Masalah 1.8. Penembak melepaskan satu tembakan ke sasaran. Kemungkinan mencetak 10 poin (event A), 9 poin (acara DI DALAM) dan 8 poin (acara DENGAN) masing-masing sama dengan 0,11; 0,23; 0,17. Temukan probabilitas bahwa dengan satu tembakan penembak akan mencetak kurang dari 8 poin (event D).
Larutan. Mari beralih ke acara sebaliknya - dengan satu tembakan, penembak akan mencetak setidaknya 8 poin. Suatu peristiwa terjadi jika itu terjadi A atau DI DALAM, atau DENGAN, yaitu. . Sejak kejadian A, B, DENGAN tidak konsisten berpasangan, maka, dengan teorema penjumlahan,
, Di mana .
Soal 1.9. Dari tim brigade yang terdiri dari 6 laki-laki dan 4 perempuan, dipilih dua orang untuk konferensi serikat pekerja. Berapa probabilitas bahwa di antara mereka yang terpilih paling sedikit satu perempuan (peristiwa A).
Larutan. Jika suatu peristiwa terjadi A, maka salah satu kejadian tidak kompatibel berikut pasti akan terjadi: DI DALAM– “seorang pria dan seorang wanita dipilih”; DENGAN- "dua wanita dipilih." Oleh karena itu kita dapat menulis: SEBUAH=B+C. Mari kita cari kemungkinan kejadiannya DI DALAM Dan DENGAN. Dua dari 10 orang dapat dipilih dengan cara yang berbeda. Dua dari 4 wanita dapat dipilih dengan cara yang berbeda. Seorang pria dan seorang wanita dapat dipilih dengan cara 6×4. Kemudian . Sejak peristiwa DI DALAM Dan DENGAN tidak konsisten, maka dengan teorema penjumlahan,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Soal 1.10. Terdapat 15 buku teks yang disusun secara acak di rak perpustakaan, lima di antaranya dijilid. Pustakawan mengambil tiga buku pelajaran secara acak. Tentukan peluang paling sedikit salah satu buku teks yang diambil akan dijilid (kejadian A).
Larutan. Cara pertama. Persyaratan - minimal satu dari tiga buku teks terikat yang diambil - akan terpenuhi jika salah satu dari tiga kejadian tidak sesuai berikut ini terjadi: DI DALAM– satu buku teks terikat, DENGAN– dua buku pelajaran yang dijilid, D– tiga buku teks terikat.
Acara yang menarik bagi kami A dapat direpresentasikan sebagai jumlah peristiwa: SEBUAH=B+C+D. Menurut teorema penjumlahan,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Mari kita cari kemungkinan kejadiannya B, C Dan D(lihat skema kombinatorial):

Mewakili probabilitas ini dalam persamaan (2.1), kita akhirnya memperolehnya
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Cara kedua. Peristiwa A(minimal satu dari tiga buku teks yang diambil dijilid) dan Ā (tidak ada buku teks yang diambil yang terikat) - oleh karena itu, sebaliknya P(A) + P(Ā) = 1 (jumlah peluang dua kejadian yang berlawanan sama dengan 1). Dari sini P(A) = 1 – P(Ā). Kemungkinan terjadinya peristiwa Ā (tidak ada satupun buku pelajaran yang diambil yang terikat)
Probabilitas yang diperlukan
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Probabilitas bersyarat. Teorema perkalian probabilitas

Probabilitas bersyarat P(B/A) adalah peluang kejadian B, dihitung dengan asumsi kejadian A telah terjadi.
Dalil. Probabilitas terjadinya gabungan dua peristiwa sama dengan hasil kali probabilitas salah satu peristiwa dan probabilitas bersyarat dari peristiwa lainnya, dihitung dengan asumsi bahwa peristiwa pertama telah terjadi:
P(A∙B) = P(A)∙P( DI DALAM/A). (2.2)
Dua kejadian disebut saling bebas jika terjadinya salah satu kejadian tidak mengubah peluang terjadinya kejadian yang lain, yaitu.
P(A) = P(A/B) atau P(B) = P(B/A). (2.3)
Jika peristiwa A Dan DI DALAM bersifat bebas, maka dari rumus (2.2) dan (2.3) berikut ini
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Pernyataan sebaliknya juga benar, yaitu. jika persamaan (2.4) berlaku untuk dua kejadian, maka kejadian-kejadian tersebut saling bebas. Memang dari rumus (2.4) dan (2.2) berikut ini
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/A), Di mana P(A) = P(B/A).
Rumus (2.2) dapat digeneralisasikan pada kasus sejumlah kejadian berhingga A 1 , A 2 ,…,Sebuah:
P(A 1 ∙A 2 ∙…∙Sebuah)=P(A 1)∙P(A 2 /A 1)∙P(A 3 /A 1 A 2)∙…∙Panci/A 1 A 2 …Sebuah -1).
Soal 1.11. Dari sebuah guci yang berisi 5 bola putih dan 10 bola hitam, diambil dua bola berturut-turut. Tentukan peluang terambilnya kedua bola berwarna putih (kejadian A).
Larutan. Mari kita simak kejadiannya: DI DALAM– bola pertama yang ditarik berwarna putih; DENGAN– bola kedua yang ditarik berwarna putih. Kemudian SEBUAH = SM.
Eksperimen dapat dilakukan dengan dua cara:
1) dengan pengembalian: bola yang dikeluarkan, setelah diperbaiki warnanya, dikembalikan ke guci. Dalam hal ini peristiwa DI DALAM Dan DENGAN mandiri:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 ×5/15 = 1/9;
2) tanpa pengembalian: bola yang dikeluarkan disisihkan. Dalam hal ini peristiwa DI DALAM Dan DENGAN bergantung:
P(A) = P(B)∙R(S/DI DALAM).
Untuk sebuah acara DI DALAM kondisinya sama, dan untuk DENGAN situasinya telah berubah. Telah terjadi DI DALAM, jadi di dalam guci terdapat 14 bola yang tersisa, termasuk 4 bola putih.
Jadi, .
Soal 1.12. Di antara 50 bola lampu, 3 di antaranya nonstandar. Tentukan peluang terambilnya dua bola lampu secara bersamaan adalah bola lampu nonstandar.
Larutan. Mari kita simak kejadiannya: A– bola lampu pertama tidak standar, DI DALAM– bola lampu kedua tidak standar, DENGAN– kedua bohlam tidak standar. Sudah jelas itu C = SEBUAH∙DI DALAM. Peristiwa A 3 kasus dari 50 kemungkinan menguntungkan, mis. P(A) = 3/50. Jika acara tersebut A sudah tiba, maka acaranya DI DALAM dua kasus dari 49 kemungkinan menguntungkan, yaitu. P(B/A) = 2/49. Karena itu,
.
Soal 1.13. Dua atlet menembak sasaran yang sama secara terpisah satu sama lain. Peluang atlet pertama mengenai sasaran adalah 0,7, dan atlet kedua adalah 0,8. Berapa probabilitas target akan tercapai?
Larutan. Target akan terkena jika salah satu penembak pertama, atau penembak kedua, atau keduanya, mengenainya, yaitu. suatu peristiwa akan terjadi A+B, dimana acaranya A terdiri dari atlet pertama yang mencapai sasaran, dan event DI DALAM- Kedua. Kemudian
P(A+DI DALAM)=P(A)+P(B)–P(A∙DI DALAM)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Soal 1.14. Ruang baca memiliki enam buku teks tentang teori probabilitas, tiga di antaranya terikat. Pustakawan mengambil dua buku pelajaran secara acak. Tentukan peluang terhimpitnya dua buku teks.
Larutan. Mari kita perkenalkan sebutan acara : A– buku teks pertama yang diambil dijilid, DI DALAM– buku teks kedua dijilid. Peluang terambilnya buku teks pertama adalah
P(A) = 3/6 = 1/2.
Peluang terjilidnya buku teks kedua, asalkan buku teks pertama diambil terjilid, yaitu. probabilitas bersyarat suatu kejadian DI DALAM, adalah seperti ini: P(B/A) = 2/5.
Peluang yang diinginkan agar kedua buku teks terikat, menurut teorema perkalian peluang kejadian, sama dengan
P(AB) = P(A) ∙ P(B/A)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Soal 1.15. Ada 7 laki-laki dan 3 perempuan yang bekerja di bengkel tersebut. Tiga orang dipilih secara acak menggunakan nomor personelnya. Tentukan peluang bahwa semua orang yang terpilih adalah laki-laki.
Larutan. Mari kita perkenalkan sebutan acara: A– pria itu dipilih terlebih dahulu, DI DALAM– yang terpilih kedua adalah laki-laki, DENGAN - Yang ketiga terpilih adalah seorang laki-laki. Peluang terambilnya laki-laki pertama adalah P(A) = 7/10.
Probabilitas bahwa seorang laki-laki terpilih yang kedua, dengan ketentuan bahwa seorang laki-laki telah dipilih terlebih dahulu, yaitu. probabilitas bersyarat suatu kejadian DI DALAM Berikutnya : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Probabilitas bahwa seorang laki-laki akan terpilih ketiga, mengingat dua laki-laki telah dipilih, yaitu. probabilitas bersyarat suatu kejadian DENGAN Apakah ini: P(C/AB) = 5/8.
Peluang yang diinginkan bahwa ketiga orang yang terpilih adalah laki-laki adalah P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.

1.2.6. Rumus Probabilitas Total dan Rumus Bayes

Membiarkan B 1 , B 2 ,…, Bn– peristiwa yang tidak kompatibel berpasangan (hipotesis) dan A– suatu peristiwa yang hanya bisa terjadi bersama-sama dengan salah satu dari mereka.
Beri tahu kami juga P(B i) Dan P(A/B saya) (Saya = 1, 2, …, N).
Dalam kondisi ini rumusnya valid:
(2.5)
(2.6)
Rumus (2.5) disebut rumus probabilitas total . Ini menghitung kemungkinan suatu peristiwa A(probabilitas total).
Rumus (2.6) disebut rumus Bayes . Ini memungkinkan Anda menghitung ulang probabilitas hipotesis jika suatu peristiwa terjadi A telah terjadi.
Saat menyusun contoh, akan lebih mudah untuk mengasumsikan bahwa hipotesis membentuk kelompok yang lengkap.
Soal 1.16. Keranjang itu berisi apel dari empat pohon dengan varietas yang sama. Dari yang pertama - 15% dari seluruh apel, dari yang kedua - 35%, dari yang ketiga - 20%, dari yang keempat - 30%. Apel matang masing-masing 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Berapa peluang terambilnya sebuah apel secara acak akan matang (event A).
b) Diketahui sebuah apel yang diambil secara acak ternyata sudah matang, hitunglah peluang apel tersebut berasal dari pohon pertama.
Larutan. a) Kami memiliki 4 hipotesis:
B 1 – sebuah apel yang diambil secara acak diambil dari pohon pertama;
B 2 – sebuah apel yang diambil secara acak diambil dari pohon ke-2;
B 3 – sebuah apel yang diambil secara acak diambil dari pohon ke-3;
B 4 – sebuah apel yang diambil secara acak diambil dari pohon ke-4.
Probabilitasnya menurut kondisi: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Probabilitas bersyarat suatu kejadian A:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Peluang terambilnya sebuah apel secara acak akan matang ditentukan dengan menggunakan rumus peluang total:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Rumus Bayes untuk kasus kita terlihat seperti:
.
Soal 1.17. Sebuah bola putih dijatuhkan ke dalam sebuah guci yang berisi dua bola, setelah itu diambil satu bola secara acak. Tentukan peluang terambilnya bola berwarna putih jika semua asumsi yang mungkin tentang komposisi awal bola (berdasarkan warna) sama-sama memungkinkan.
Larutan. Mari kita nyatakan dengan A acara – sebuah bola putih diambil. Asumsi (hipotesis) berikut tentang komposisi awal bola mungkin terjadi: B1– tidak ada bola putih, PADA 2– satu bola putih, DI 3- dua bola putih.
Karena totalnya ada tiga hipotesis, dan jumlah probabilitas hipotesis adalah 1 (karena hipotesis tersebut membentuk kelompok kejadian yang lengkap), maka probabilitas masing-masing hipotesis adalah 1/3, yaitu.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Peluang bersyarat terambilnya sebuah bola putih, jika pada awalnya tidak ada bola putih di dalam guci, P(A/B 1)=1/3. Peluang bersyarat terambilnya sebuah bola putih, jika pada mulanya terdapat satu bola putih di dalam guci, P(A/B 2)=2/3. Probabilitas bersyarat terambilnya sebuah bola putih jika pada mulanya terdapat dua bola putih di dalam guci P(A/B 3)=3/ 3=1.
Kita mencari peluang terambilnya bola putih dengan menggunakan rumus peluang total:
R(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Soal 1.18. Dua mesin menghasilkan komponen identik yang dimasukkan ke dalam konveyor umum. Produktivitas mesin pertama dua kali lipat produktivitas mesin kedua. Mesin pertama menghasilkan rata-rata 60% suku cadang dengan kualitas sangat baik, dan mesin kedua - 84%. Bagian yang diambil secara acak dari jalur perakitan ternyata memiliki kualitas yang sangat baik. Temukan probabilitas bahwa bagian ini diproduksi oleh mesin pertama.
Larutan. Mari kita nyatakan dengan A acara - detail dengan kualitas luar biasa. Dua asumsi dapat dibuat: B1– suku cadang diproduksi oleh mesin pertama, dan (karena mesin pertama memproduksi suku cadang dua kali lebih banyak dibandingkan mesin kedua) P(A/B 1) = 2/3; B 2 – bagian tersebut diproduksi oleh mesin kedua, dan P(B 2) = 1/3.
Probabilitas bersyarat bahwa suatu suku cadang akan memiliki kualitas yang sangat baik jika diproduksi oleh mesin pertama, P(A/B 1)=0,6.
Peluang bersyarat bahwa suatu suku cadang akan mempunyai kualitas yang sangat baik jika diproduksi oleh mesin kedua adalah P(A/B 1)=0,84.
Peluang terambilnya suatu bagian secara acak mempunyai kualitas yang sangat baik, menurut rumus peluang total, adalah sama dengan
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
Probabilitas yang diperlukan bahwa bagian luar biasa yang dipilih diproduksi oleh mesin pertama, menurut rumus Bayes, adalah sama dengan

Soal 1.19. Ada tiga kumpulan suku cadang, masing-masing berisi 20 suku cadang. Jumlah part standar pada batch pertama, kedua dan ketiga masing-masing adalah 20, 15, 10. Part yang ternyata standar dikeluarkan secara acak dari batch yang dipilih. Bagian-bagian tersebut dikembalikan ke batch dan suatu bagian dikeluarkan secara acak dari batch yang sama, yang ternyata juga merupakan standar. Temukan probabilitas bahwa bagian-bagian tersebut dikeluarkan dari kelompok ketiga.
Larutan. Mari kita nyatakan dengan A acara - di masing-masing dari dua percobaan (dengan pengembalian), bagian standar diambil. Tiga asumsi (hipotesis) dapat dibuat: B 1 – bagian dikeluarkan dari batch pertama, DI DALAM 2 – bagian dikeluarkan dari batch kedua, DI DALAM 3 – bagian dikeluarkan dari batch ketiga.
Bagian-bagian tersebut diambil secara acak dari kumpulan tertentu, sehingga probabilitas hipotesisnya sama: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Mari kita cari probabilitas bersyarat P(A/B 1), yaitu kemungkinan bahwa dua bagian standar akan dikeluarkan secara berurutan dari batch pertama. Acara ini dapat diandalkan, karena di batch pertama semua part standar, jadi P(A/B 1) = 1.
Mari kita cari probabilitas bersyarat P(A/B 2), yaitu probabilitas bahwa dua bagian standar akan dihapus (dan dikembalikan) secara berurutan dari batch kedua: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Mari kita cari probabilitas bersyarat P(A/B 3), yaitu kemungkinan bahwa dua bagian standar akan dikeluarkan (dan dikembalikan) secara berurutan dari batch ketiga: P(A/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Probabilitas yang diinginkan bahwa kedua bagian standar yang diekstraksi diambil dari batch ketiga, menurut rumus Bayes, adalah sama dengan

1.2.7. Tes berulang

Jika beberapa tes dilakukan, dan kemungkinan kejadiannya A dalam setiap pengujian tidak bergantung pada hasil pengujian yang lain, maka disebut pengujian yang demikian independen terhadap kejadian A. Dalam uji coba independen yang berbeda acara tersebut A mungkin mempunyai probabilitas yang berbeda atau probabilitas yang sama. Kami selanjutnya hanya akan mempertimbangkan tes independen yang acaranya A mempunyai probabilitas yang sama.
Biarkan itu diproduksi P uji coba independen, yang masing-masing acaranya A mungkin muncul atau tidak. Mari kita sepakat untuk berasumsi bahwa kemungkinan suatu peristiwa A dalam setiap percobaan adalah sama yaitu setara R. Oleh karena itu, kemungkinan peristiwa tersebut tidak terjadi A pada setiap percobaan juga konstan dan sama dengan 1– R. Skema probabilistik ini disebut Skema Bernoulli. Mari kita tentukan sendiri tugas menghitung probabilitas kapan P Acara uji Bernoulli A akan terwujud k sekali ( k– jumlah keberhasilan) dan, oleh karena itu, tidak akan menjadi kenyataan P- sekali. Penting untuk ditekankan bahwa acara tersebut tidak diperlukan A diulangi dengan tepat k kali dalam urutan tertentu. Kami menunjukkan probabilitas yang diinginkan R hal (k). Misalnya saja simbol R 5(3) berarti peluang bahwa dalam lima percobaan kejadian tersebut akan muncul tepat 3 kali dan oleh karena itu tidak terjadi 2 kali.
Masalah yang diajukan dapat diselesaikan dengan menggunakan apa yang disebut rumus Bernoulli, yang terlihat seperti:
.
Soal 1.20. Peluang konsumsi listrik dalam satu hari tidak melebihi norma yang ditetapkan adalah sama dengan R=0,75. Tentukan peluang bahwa dalam 6 hari berikutnya konsumsi listrik selama 4 hari tidak melebihi normal.
Larutan. Peluang konsumsi energi normal selama 6 hari adalah konstan dan sama dengan R=0,75. Akibatnya, kemungkinan konsumsi energi berlebihan setiap hari juga konstan dan sama q= 1–R=1–0,75=0,25.
Probabilitas yang diperlukan menurut rumus Bernoulli adalah
.
Soal 1.21. Dua pemain catur yang setara bermain catur. Mana yang lebih mungkin: memenangkan dua pertandingan dari empat atau tiga pertandingan dari enam pertandingan (hasil imbang tidak diperhitungkan)?
Larutan. Pemain catur yang sama bermain, jadi ada kemungkinan menang R= 1/2, maka kemungkinan kalah Q juga sama dengan 1/2. Karena di semua permainan kemungkinan menang adalah konstan dan tidak peduli dalam urutan apa permainan itu dimenangkan, maka rumus Bernoulli dapat diterapkan.
Mari kita cari peluang memenangkan dua dari empat pertandingan:

Mari kita cari peluang memenangkan tiga dari enam pertandingan:

Karena P 4 (2) > P 6 (3), maka lebih mungkin untuk memenangkan dua pertandingan dari empat pertandingan daripada tiga dari enam pertandingan.
Namun terlihat menggunakan rumus Bernoulli untuk nilai yang besar N cukup sulit, karena rumusnya memerlukan operasi pada jumlah yang besar dan oleh karena itu kesalahan menumpuk selama proses perhitungan; Akibatnya, hasil akhirnya mungkin berbeda secara signifikan dari hasil sebenarnya.
Untuk menyelesaikan masalah ini, ada beberapa teorema limit yang digunakan untuk kasus pengujian dalam jumlah besar.
1. Teorema Poisson
Saat melakukan pengujian dalam jumlah besar menggunakan skema Bernoulli (dengan N=> ∞) dan dengan sejumlah kecil hasil yang menguntungkan k(diasumsikan bahwa kemungkinan sukses P kecil), rumus Bernoulli mendekati rumus Poisson
.
Contoh 1.22. Kemungkinan terjadinya cacat pada saat suatu perusahaan memproduksi satu unit produk adalah sama dengan P=0,001. Berapa probabilitas bahwa ketika memproduksi 5.000 unit produk, kurang dari 4 unit akan rusak (peristiwa A Larutan. Karena N besar, kami menggunakan teorema lokal Laplace:

Mari kita hitung X:
Fungsi – genap, jadi φ(–1.67) = φ(1.67).
Dengan menggunakan tabel pada Lampiran A.1, kita mendapatkan φ(1,67) = 0,0989.
Probabilitas yang diperlukan P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Teorema integral Laplace
Jika kemungkinannya R terjadinya suatu peristiwa A pada setiap percobaan menurut skema Bernoulli adalah konstan dan berbeda dari nol dan satu, kemudian dengan jumlah percobaan yang banyak N, kemungkinan R hal (k 1 , k 2) terjadinya peristiwa tersebut A dalam tes ini dari k 1 sampai k 2 kali kira-kira sama
Rp(k 1 , k 2) = ( X"") – Φ ( X"), Di mana
– Fungsi Laplace,

Integral pasti pada fungsi Laplace tidak dapat dihitung pada golongan fungsi analitik, sehingga digunakan tabel untuk menghitungnya. Klausul 2, diberikan dalam lampiran.
Contoh 1.24. Peluang suatu kejadian terjadi pada setiap seratus percobaan bebas adalah konstan dan sama dengan P= 0,8. Tentukan peluang terjadinya peristiwa: a) paling sedikit 75 kali dan tidak lebih dari 90 kali; b) paling sedikit 75 kali; c) tidak lebih dari 74 kali.
Larutan. Mari kita gunakan teorema integral Laplace:
Rp(k 1 , k 2) = ( X"") – Φ( X"), di mana ( X) – Fungsi Laplace,

a) Sesuai dengan kondisinya, N = 100, P = 0,8, Q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Mari kita hitung X"" Dan X" :


Mengingat fungsi Laplace ganjil, yaitu. F(- X) = – ( X), kita mendapatkan
P 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
Menurut tabel hal.2. kami akan menemukan aplikasi:
F(2,5) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
Probabilitas yang diperlukan
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Syarat munculnya suatu peristiwa paling sedikit 75 kali berarti banyaknya kemunculan peristiwa itu bisa 75, atau 76, ..., atau 100. Dengan demikian, dalam hal yang dipertimbangkan, harus diterima k 1 = 75, k 2 = 100. Lalu

.
Menurut tabel hal.2. penerapannya kita temukan Ф(1.25) = 0.3944; (5) = 0,5.
Probabilitas yang diperlukan
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Acara – “ A muncul setidaknya 75 kali" dan " A muncul tidak lebih dari 74 kali" berlawanan, sehingga jumlah peluang kejadian-kejadian ini sama dengan 1. Oleh karena itu, peluang yang diinginkan
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Teori probabilitas, seperti cabang matematika lainnya, beroperasi dengan serangkaian konsep tertentu. Sebagian besar konsep teori probabilitas diberikan definisi, tetapi ada pula yang dianggap primer, tidak terdefinisi, seperti titik, garis lurus, bidang dalam geometri. Konsep utama teori probabilitas adalah suatu peristiwa. Suatu peristiwa dipahami sebagai sesuatu yang, setelah suatu titik waktu tertentu, hanya satu dari dua hal yang dapat dikatakan:

• · Ya, itu terjadi.
• · Tidak, itu tidak terjadi.

Misalnya, saya punya tiket lotre. Setelah hasil lotere dipublikasikan, peristiwa yang menarik minat saya - memenangkan seribu rubel - terjadi atau tidak terjadi. Peristiwa apa pun terjadi sebagai hasil ujian (atau pengalaman). Ujian (atau pengalaman) mengacu pada kondisi-kondisi yang mengakibatkan suatu peristiwa terjadi. Misalnya, melempar koin adalah sebuah ujian, dan munculnya “lambang” di atasnya adalah sebuah peristiwa. Suatu peristiwa biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital: A,B,C,…. Peristiwa di dunia material dapat dibagi menjadi tiga kategori - dapat diandalkan, tidak mungkin, dan acak.

Peristiwa tertentu adalah suatu peristiwa yang diketahui terlebih dahulu terjadinya. Dilambangkan dengan huruf W. Dengan demikian, dapat dipercaya bahwa tidak lebih dari enam titik yang muncul pada pelemparan dadu biasa, munculnya bola putih ketika dikeluarkan dari guci yang hanya berisi bola putih, dan seterusnya.

Peristiwa yang mustahil adalah peristiwa yang diketahui sebelumnya dan tidak akan terjadi. Dilambangkan dengan huruf E. Contoh kejadian mustahil adalah pengambilan lebih dari empat kartu as dari tumpukan kartu biasa, pengambilan bola merah dari guci yang hanya berisi bola putih dan hitam, dll.

Kejadian acak adalah suatu kejadian yang mungkin terjadi atau tidak terjadi sebagai akibat dari suatu pengujian. Peristiwa A dan B disebut inkonsistensi apabila terjadinya salah satu peristiwa tersebut meniadakan kemungkinan terjadinya peristiwa yang lain. Dengan demikian, kemunculan sejumlah poin yang mungkin terjadi pada pelemparan sebuah dadu (peristiwa A) tidak sesuai dengan kemunculan angka lain (peristiwa B). Menggulung angka genap tidak konsisten dengan menggulirkan angka ganjil. Sebaliknya, pengguliran sejumlah titik genap (kejadian A) dan sejumlah titik yang merupakan kelipatan tiga (kejadian B) tidak akan bertentangan, karena pengguliran enam titik berarti terjadinya peristiwa A dan peristiwa B, jadi terjadinya salah satunya tidak menutup kemungkinan terjadinya yang lain. Anda dapat melakukan operasi pada acara. Gabungan dua kejadian C=AUB adalah kejadian C yang terjadi jika dan hanya jika paling sedikit salah satu kejadian A dan B terjadi.Perpotongan dua kejadian D=A?? B adalah suatu peristiwa yang terjadi jika dan hanya jika peristiwa A dan B keduanya terjadi.