Temukan nilai terbesar suatu fungsi dari beberapa variabel. Fungsi

Pada Juli 2020, NASA meluncurkan ekspedisi ke Mars. Pesawat luar angkasa tersebut akan mengirimkan media elektronik ke Mars dengan nama semua peserta ekspedisi yang terdaftar.

Pendaftaran peserta sudah dibuka. Dapatkan tiket Anda ke Mars menggunakan tautan ini.

Jika postingan ini memecahkan masalah Anda atau Anda hanya menyukainya, bagikan tautannya dengan teman-teman Anda di jejaring sosial.

Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke dalam kode laman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag. Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman. Namun opsi kedua secara otomatis memantau dan memuat MathJax versi terbaru. Jika Anda memasukkan kode pertama, kode tersebut perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda memasukkan kode kedua, halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.

Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode unduhan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal template (omong-omong, ini sama sekali tidak diperlukan, karena skrip MathJax dimuat secara asinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML, dan Anda siap memasukkan rumus matematika ke halaman web situs Anda.

Malam Tahun Baru lagi... cuaca dingin dan kepingan salju di kaca jendela... Semua ini mendorong saya untuk menulis lagi tentang... fraktal, dan apa yang diketahui Wolfram Alpha tentangnya. Ada artikel menarik tentang hal ini, yang berisi contoh struktur fraktal dua dimensi. Di sini kita akan melihat contoh fraktal tiga dimensi yang lebih kompleks.

Suatu fraktal dapat direpresentasikan (digambarkan) secara visual sebagai bangun atau benda geometris (artinya keduanya merupakan himpunan, dalam hal ini himpunan titik-titik), yang rinciannya mempunyai bentuk yang sama dengan bangun aslinya. Artinya, ini adalah struktur serupa diri, jika diperiksa detailnya, jika diperbesar, kita akan melihat bentuk yang sama seperti tanpa perbesaran. Sedangkan pada bangun geometri biasa (bukan fraktal), jika diperbesar kita akan melihat detail yang bentuknya lebih sederhana dari bangun aslinya. Misalnya, pada perbesaran yang cukup tinggi, bagian elips tampak seperti ruas garis lurus. Hal ini tidak terjadi pada fraktal: dengan peningkatan apa pun, kita akan kembali melihat bentuk kompleks yang sama, yang akan berulang lagi dan lagi dengan setiap peningkatan.

Benoit Mandelbrot, pendiri ilmu fraktal, menulis dalam artikelnya Fraktal dan Seni atas Nama Ilmu Pengetahuan: "Fraktal adalah bentuk geometris yang detailnya sama rumitnya dengan bentuk keseluruhannya. Artinya, jika bagian dari fraktal akan diperbesar menjadi ukuran keseluruhan, maka akan tampak secara keseluruhan, baik persis, atau mungkin dengan sedikit deformasi."

Teorema 1.5 Biarkan di daerah tertutup D fungsi yang ditentukan z=z(x,y), memiliki turunan parsial kontinu orde pertama. Berbatasan G wilayah D halus sebagian (yaitu, terdiri dari potongan kurva atau garis lurus yang “halus saat disentuh”). Kemudian di daerah tersebut D fungsi z(x,y) mencapai yang terbesar M dan yang paling sedikit M nilai-nilai.

Tidak ada bukti.

Anda dapat mengusulkan rencana pencarian berikut M Dan M.
1. Kita membuat gambar, pilih semua bagian batas area D dan temukan semua titik “sudut” perbatasan.
2. Temukan titik stasioner di dalamnya D.
3. Temukan titik stasioner pada setiap batas.
4. Kita hitung semua titik diam dan titik sudut, lalu pilih yang terbesar M dan paling tidak M makna.

Contoh 1.14 Temukan yang terbesar M dan paling tidak M nilai fungsi z= 4x2-2xy+y2-8x di area tertutup D, terbatas: X= 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Mari kita bangun suatu daerah D(Gbr. 1.5) di pesawat Oho.

Titik sudut: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0).

Berbatasan G wilayah D terdiri dari tiga bagian:

2. Temukan titik-titik stasioner di dalam wilayah tersebut D:

3. Titik-titik stasioner pada batas-batas aku 1, aku 2, aku 3:

4. Kami menghitung enam nilai:

Contoh

Contoh 1.

Fungsi ini didefinisikan untuk semua nilai variabel X Dan kamu, kecuali di titik asal yang penyebutnya menjadi nol.

Polinomial x 2 +kamu 2 kontinu di mana-mana, dan oleh karena itu akar kuadrat dari suatu fungsi kontinu adalah kontinu.

Pecahan tersebut kontinu di semua tempat, kecuali pada titik yang penyebutnya nol. Artinya, fungsi yang ditinjau kontinu pada seluruh bidang koordinat Oho, tidak termasuk asal.

Contoh 2.

Periksa kontinuitas suatu fungsi z=tg(x,y). Garis singgung terdefinisi dan kontinu untuk semua nilai argumen yang berhingga, kecuali nilai yang sama dengan bilangan ganjil dari besaran tersebut π /2 , yaitu. tidak termasuk titik di mana

Untuk setiap tetap "k" persamaan (1.11) mendefinisikan hiperbola. Oleh karena itu, fungsi yang dipertimbangkan adalah fungsi kontinu Xdan kamu, tidak termasuk titik-titik yang terletak pada kurva (1.11).

Contoh 3.

Temukan turunan parsial suatu fungsi kamu=z -xy, z > 0.

Contoh 4.

Tunjukkan fungsi itu

memenuhi identitas:

– persamaan ini berlaku untuk semua poin M(x;y;z), kecuali intinya M 0 (a;b;c).

Mari kita perhatikan fungsi z=f(x,y) dari dua variabel independen dan menetapkan arti geometri dari variabel parsial z"x =f"x(x,y) Dan z" kamu =f" kamu(x,y).

Dalam hal ini, persamaannya z=f(x,y) ada persamaan beberapa permukaan (Gbr. 1.3). Ayo menggambar pesawat kamu= konstanta. Di bagian bidang permukaan ini z=f(x,y) Anda mendapatkan beberapa garis aku 1 persimpangan yang hanya besarannya saja yang berubah X Dan z.

Turunan parsial z" x(makna geometriknya langsung mengikuti makna geometrik yang diketahui dari turunan fungsi suatu variabel) secara numerik sama dengan garis singgung sudut α kemiringan, relatif terhadap sumbu Oh, bersinggungan L 1 ke kurva aku 1, menghasilkan bagian permukaan z=f(x,y) pesawat kamu= konstanta pada intinya M(x,y,f(xy)): z" x = tanα.

Di bagian permukaan z=f(x,y) pesawat X= konstanta Anda mendapatkan garis persimpangan aku 2, yang hanya kuantitasnya saja yang berubah pada Dan z. Kemudian turunan parsialnya z" kamu secara numerik sama dengan garis singgung sudut β kemiringan relatif terhadap sumbu kamu, bersinggungan L 2 ke baris yang ditentukan aku 2 persimpangan pada suatu titik M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ.

Contoh 5.

Berapakah sudut yang dibentuknya terhadap sumbu? Oh bersinggungan dengan garis:

pada intinya M(2,4,5)?

Kami menggunakan arti geometris dari turunan parsial terhadap suatu variabel X(pada konstan pada):

Contoh 6.

Menurut (1.31):

Contoh 7.

Dengan asumsi persamaan tersebut

secara implisit mendefinisikan suatu fungsi

menemukan z" x, z" kamu.

oleh karena itu, menurut (1.37), kita mendapatkan jawabannya.

Contoh 8.

Jelajahi secara ekstrem:

1. Temukan titik stasioner dengan menyelesaikan sistem (1.41):

yaitu ditemukan empat titik stasioner.
2.

menurut Teorema 1.4 pada titik tersebut terdapat minimum.

Lebih-lebih lagi

4. Kami menghitung enam nilai:

Dari keenam nilai yang didapat, pilih yang terbesar dan terkecil.

Bibliografi:

ü Belko I.V., Kuzmich K.K.Matematika yang lebih tinggi untuk ekonom. Semester I : Kursus Ekspres. – M.: Pengetahuan baru, 2002. – 140 hal.

ü Gusak A. A.. Analisis matematika dan persamaan diferensial – Mn.: TetraSystems, 1998. – 416 hal.

ü Gusak A.A.. Matematika yang lebih tinggi. Buku teks untuk mahasiswa dalam 2 jilid. – Mn., 1998. – 544 hal. (1 volume), 448 hal. (2 jilid).

ü Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridman M.N.Matematika tinggi untuk ekonom: Buku teks untuk universitas / Ed. Prof. N.Sh.Kremer. – M.: UNITI, 2002. – 471 hal.

ü Yablonsky A.I., Kuznetsov A.V., Shilkina E.I. dan lain-lain Matematika yang lebih tinggi. Mata kuliah umum : Buku Ajar / Bawah Umum. ed. S. A. Samal. – Mn.: Vysh. sekolah, 2000. – 351 hal.

Biarkan fungsi $z=f(x,y)$ terdefinisi dan kontinu di beberapa domain tertutup berbatas $D$. Biarkan fungsi tertentu di wilayah ini memiliki turunan parsial berhingga orde pertama (kecuali, mungkin, untuk sejumlah titik berhingga). Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi dua variabel pada suatu daerah tertutup tertentu, diperlukan tiga langkah algoritma sederhana.

Apa saja poin kritisnya? tunjukan Sembunyikan

Di bawah poin kritis menyiratkan titik-titik di mana kedua turunan parsial orde pertama sama dengan nol (yaitu $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ dan $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) atau setidaknya satu turunan parsial tidak ada.

Seringkali titik-titik di mana turunan parsial orde pertama sama dengan nol disebut titik stasioner. Jadi, titik stasioner adalah bagian dari titik kritis.

Contoh No.1

Carilah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=x^2+2xy-y^2-4x$ pada daerah tertutup yang dibatasi oleh garis $x=3$, $y=0$ dan $y=x +1$.

Kita akan mengikuti cara di atas, tetapi pertama-tama kita akan menggambar suatu luas tertentu, yang akan kita tandai dengan huruf $D$. Kita diberikan persamaan tiga garis lurus yang membatasi luas tersebut. Garis lurus $x=3$ melalui titik $(3;0)$ sejajar sumbu ordinat (sumbu Oy). Garis lurus $y=0$ merupakan persamaan sumbu absis (sumbu Sapi). Nah, untuk membuat garis $y=x+1$, kita akan mencari dua titik yang melaluinya kita akan menggambar garis tersebut. Anda tentu saja dapat mengganti beberapa nilai arbitrer alih-alih $x$. Misalnya, mengganti $x=10$, kita mendapatkan: $y=x+1=10+1=11$. Kita telah menemukan titik $(10;11)$ terletak pada garis $y=x+1$. Namun, lebih baik mencari titik di mana garis lurus $y=x+1$ memotong garis $x=3$ dan $y=0$. Mengapa ini lebih baik? Karena kita akan membunuh beberapa burung dengan satu batu: kita akan mendapatkan dua titik untuk membuat garis lurus $y=x+1$ dan sekaligus mencari tahu di titik mana garis lurus tersebut memotong garis lain yang membatasi luas tertentu. Garis $y=x+1$ memotong garis $x=3$ di titik $(3;4)$, dan garis $y=0$ berpotongan di titik $(-1;0)$. Agar tidak mengacaukan kemajuan solusi dengan penjelasan tambahan, saya akan mengajukan pertanyaan untuk mendapatkan dua poin ini dalam sebuah catatan.

Bagaimana poin $(3;4)$ dan $(-1;0)$ diperoleh? tunjukan Sembunyikan

Mari kita mulai dari titik potong garis $y=x+1$ dan $x=3$. Koordinat titik yang diinginkan termasuk dalam garis lurus pertama dan kedua, oleh karena itu, untuk mencari koordinat yang tidak diketahui, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \kiri \( \begin(rata) & y=x+1;\\ & x=3. \end(rata) \kanan. $$

Solusi untuk sistem seperti ini sangatlah mudah: dengan mensubstitusikan $x=3$ ke dalam persamaan pertama kita akan mendapatkan: $y=3+1=4$. Titik $(3;4)$ adalah titik potong yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $x=3$.

Sekarang mari kita cari titik potong garis $y=x+1$ dan $y=0$. Mari kita kembali menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \kiri \( \begin(rata) & y=x+1;\\ & y=0. \end(rata) \kanan. $$

Mengganti $y=0$ ke persamaan pertama, kita mendapatkan: $0=x+1$, $x=-1$. Titik $(-1;0)$ adalah titik potong yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $y=0$ (sumbu x).

Semuanya siap untuk membuat gambar yang akan terlihat seperti ini:

Pertanyaan tentang catatan itu tampak jelas, karena semuanya terlihat di gambar. Namun perlu diingat bahwa gambar tidak bisa dijadikan bukti. Gambar ini hanya untuk tujuan ilustrasi.

Daerah kami ditentukan menggunakan persamaan garis lurus yang mengikatnya. Jelas sekali, garis-garis ini mendefinisikan sebuah segitiga, bukan? Atau tidak sepenuhnya jelas? Atau mungkin kita diberi luas berbeda, dibatasi oleh garis yang sama:

Tentu saja kondisinya mengatakan area tersebut tertutup sehingga gambar yang ditampilkan tidak tepat. Namun untuk menghindari ambiguitas seperti itu, lebih baik mendefinisikan wilayah berdasarkan kesenjangan. Apakah kita tertarik pada bagian bidang yang terletak di bawah garis lurus $y=x+1$? Oke, jadi $y ≤ x+1$. Haruskah area kita terletak di atas garis $y=0$? Bagus, itu berarti $y ≥ 0$. Omong-omong, dua pertidaksamaan terakhir dapat dengan mudah digabungkan menjadi satu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \kiri \( \begin(rata) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(rata) \kanan. $$

Ketimpangan ini mendefinisikan wilayah $D$, dan mendefinisikannya secara jelas, tanpa menimbulkan ambiguitas. Namun bagaimana hal ini membantu kita menjawab pertanyaan yang disebutkan di awal catatan ini? Ini juga akan membantu :) Kita perlu memeriksa apakah titik $M_1(1;1)$ termasuk dalam wilayah $D$. Mari kita substitusikan $x=1$ dan $y=1$ ke dalam sistem ketidaksetaraan yang mendefinisikan wilayah ini. Jika kedua pertidaksamaan tersebut terpenuhi, maka titik tersebut terletak di dalam daerah tersebut. Jika paling sedikit salah satu pertidaksamaan tersebut tidak terpenuhi, maka titik tersebut bukan milik daerah. Jadi:

$$ \kiri \( \begin(rata) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(rata) \kanan. \;\; \kiri \( \begin(rata) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(rata) \kanan.$$

Kedua ketidaksetaraan itu valid. Titik $M_1(1;1)$ milik wilayah $D$.

Sekarang saatnya mempelajari perilaku fungsi pada batas wilayah, yaitu. Mari pergi ke . Mari kita mulai dengan garis lurus $y=0$.

Garis lurus $y=0$ (sumbu absis) membatasi daerah $D$ dengan syarat $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita substitusikan $y=0$ ke dalam fungsi yang diberikan $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Kami menyatakan fungsi dari satu variabel $x$ yang diperoleh sebagai hasil substitusi sebagai $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sekarang untuk fungsi $f_1(x)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita cari turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2.$$

Nilai $x=2$ termasuk dalam segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, jadi kita juga akan menambahkan $M_2(2;0)$ ke daftar poin. Selain itu, mari kita hitung nilai fungsi $z$ di ujung segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, yaitu. di titik $M_3(-1;0)$ dan $M_4(3;0)$. Omong-omong, jika titik $M_2$ tidak termasuk dalam segmen yang dipertimbangkan, maka tentu saja tidak perlu menghitung nilai fungsi $z$ di dalamnya.

Jadi, mari kita hitung nilai fungsi $z$ di titik $M_2$, $M_3$, $M_4$. Anda tentu saja dapat mengganti koordinat titik-titik ini ke dalam ekspresi awal $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Misalnya, untuk poin $M_2$ kita mendapatkan:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Namun perhitungannya bisa sedikit disederhanakan. Untuk melakukan ini, perlu diingat bahwa pada segmen $M_3M_4$ kita memiliki $z(x,y)=f_1(x)$. Saya akan menuliskannya secara detail:

\mulai(sejajar) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(sejajar)

Tentu saja, catatan rinci seperti itu biasanya tidak diperlukan, dan di masa depan kami akan menuliskan semua perhitungan secara singkat:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sekarang mari kita beralih ke garis lurus $x=3$. Garis lurus ini membatasi daerah $D$ dengan syarat $0 ≤ y ≤ 4$. Mari kita substitusikan $x=3$ ke dalam fungsi $z$ yang diberikan. Sebagai hasil dari substitusi ini kita mendapatkan fungsi $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Untuk fungsi $f_2(y)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $0 ≤ y ≤ 4$. Mari kita cari turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Nilai $y=3$ termasuk dalam segmen $0 ≤ y ≤ 4$, jadi kita juga akan menambahkan $M_5(3;3)$ ke titik yang ditemukan sebelumnya. Selain itu, perlu menghitung nilai fungsi $z$ pada titik-titik di ujung segmen $0 ≤ y ≤ 4$, yaitu. di titik $M_4(3;0)$ dan $M_6(3;4)$. Pada titik $M_4(3;0)$ kita telah menghitung nilai $z$. Mari kita hitung nilai fungsi $z$ di titik $M_5$ dan $M_6$. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa pada segmen $M_4M_6$ kita memiliki $z(x,y)=f_2(y)$, oleh karena itu:

\mulai(sejajar) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(sejajar)

Dan terakhir, perhatikan batas terakhir wilayah $D$, yaitu. garis lurus $y=x+1$. Garis lurus ini membatasi daerah $D$ dengan syarat $-1 ≤ x ≤ 3$. Mengganti $y=x+1$ ke dalam fungsi $z$, kita akan mendapatkan:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Sekali lagi kita memiliki fungsi dari satu variabel $x$. Dan sekali lagi kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi ini pada interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita cari turunan dari fungsi $f_(3)(x)$ dan samakan dengan nol:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1.$$

Nilai $x=1$ termasuk dalam interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Jika $x=1$, maka $y=x+1=2$. Mari tambahkan $M_7(1;2)$ ke daftar poin dan cari tahu berapa nilai fungsi $z$ pada titik ini. Titik di ujung ruas $-1 ≤ x ≤ 3$, mis. poin $M_3(-1;0)$ dan $M_6(3;4)$ telah dipertimbangkan sebelumnya, kami telah menemukan nilai fungsi di dalamnya.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Langkah kedua dari solusi selesai. Kami menerima tujuh nilai:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Mari kita beralih ke. Memilih nilai terbesar dan terkecil dari angka-angka yang diperoleh pada paragraf ketiga, kita akan mendapatkan:

$$z_(menit)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Masalahnya sudah terpecahkan, tinggal menuliskan jawabannya.

Menjawab: $z_(menit)=-4; \; z_(maks)=6$.

Contoh No.2

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=x^2+y^2-12x+16y$ pada daerah $x^2+y^2 ≤ 25$.

Pertama, mari kita membuat gambar. Persamaan $x^2+y^2=25$ (ini adalah garis batas suatu luas tertentu) mendefinisikan sebuah lingkaran dengan pusat di titik asal (yaitu di titik $(0;0)$) dan berjari-jari 5. Pertidaksamaan $x^2 +y^2 ≤ $25 memenuhi semua titik di dalam dan pada lingkaran tersebut.

Kami akan bertindak sesuai dengan. Mari kita cari turunan parsial dan cari tahu titik kritisnya.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Tidak ada titik di mana turunan parsial yang ditemukan tidak ada. Mari kita cari tahu di titik mana kedua turunan parsial sama dengan nol secara bersamaan, yaitu. mari kita cari titik stasioner.

$$ \kiri \( \begin(rata) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(rata) \kanan. \;\; \kiri \( \begin(rata) & x =6;\\ & y=-8.\end(sejajar)\kanan.$$

Kita telah memperoleh titik stasioner $(6;-8)$. Namun, titik yang ditemukan bukan milik wilayah $D$. Ini mudah untuk ditunjukkan bahkan tanpa harus menggambar. Mari kita periksa apakah pertidaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ berlaku, yang mendefinisikan wilayah kita $D$. Jika $x=6$, $y=-8$, maka $x^2+y^2=36+64=100$, mis. pertidaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ tidak berlaku. Kesimpulan: titik $(6;-8)$ bukan termasuk area $D$.

Jadi, tidak ada titik kritis di dalam wilayah $D$. Mari kita lanjutkan ke... Kita perlu mempelajari perilaku suatu fungsi pada batas suatu daerah tertentu, mis. pada lingkaran $x^2+y^2=25$. Tentu saja kita dapat menyatakan $y$ dalam bentuk $x$, dan kemudian mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam fungsi $z$. Dari persamaan lingkaran kita mendapatkan: $y=\sqrt(25-x^2)$ atau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Mengganti, misalnya, $y=\sqrt(25-x^2)$ ke dalam fungsi yang diberikan, kita akan mendapatkan:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5.$$

Penyelesaian selanjutnya akan sepenuhnya identik dengan mempelajari perilaku fungsi pada batas daerah pada contoh No. 1 sebelumnya. Namun, menurut saya lebih masuk akal untuk menerapkan metode Lagrange dalam situasi ini. Kami hanya akan tertarik pada bagian pertama dari metode ini. Setelah menerapkan bagian pertama metode Lagrange, kita akan memperoleh titik di mana kita akan memeriksa fungsi $z$ untuk nilai minimum dan maksimum.

Kami menyusun fungsi Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Kami menemukan turunan parsial dari fungsi Lagrange dan menyusun sistem persamaan yang sesuai:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \kiri \( \mulai (sejajar) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(sejajar) \ kanan. \;\; \kiri \( \begin(rata) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( sejajar)\kanan.$$

Untuk mengatasi sistem ini, mari kita segera tunjukkan bahwa $\lambda\neq -1$. Mengapa $\lambda\neq -1$? Mari kita coba substitusikan $\lambda=-1$ ke dalam persamaan pertama:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Kontradiksi $0=6$ yang dihasilkan menunjukkan bahwa nilai $\lambda=-1$ tidak dapat diterima. Keluaran: $\lambda\neq -1$. Mari kita nyatakan $x$ dan $y$ dalam bentuk $\lambda$:

\mulai(sejajar) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(sejajar)

Saya yakin di sini menjadi jelas mengapa kami secara khusus menetapkan kondisi $\lambda\neq -1$. Hal ini dilakukan untuk menyesuaikan ekspresi $1+\lambda$ ke dalam penyebut tanpa gangguan. Yaitu, untuk memastikan bahwa penyebutnya $1+\lambda\neq 0$.

Mari kita gantikan ekspresi yang dihasilkan untuk $x$ dan $y$ ke dalam persamaan ketiga sistem, yaitu. dalam $x^2+y^2=25$:

$$ \kiri(\frac(6)(1+\lambda) \kanan)^2+\kiri(\frac(-8)(1+\lambda) \kanan)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Dari persamaan yang dihasilkan maka $1+\lambda=2$ atau $1+\lambda=-2$. Oleh karena itu kita mempunyai dua nilai parameter $\lambda$, yaitu: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Oleh karena itu, kita mendapatkan dua pasang nilai $x$ dan $y$:

\begin(sejajar) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(sejajar)

Jadi, kami memperoleh dua titik dari kemungkinan ekstrem bersyarat, yaitu. $M_1(3;-4)$ dan $M_2(-3;4)$. Mari kita cari nilai fungsi $z$ di titik $M_1$ dan $M_2$:

\begin(sejajar) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(sejajar)

Kita harus memilih nilai terbesar dan terkecil dari yang kita peroleh pada langkah pertama dan kedua. Namun dalam hal ini pilihannya kecil :) Kami punya:

$$ z_(menit)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Menjawab: $z_(menit)=-75; \; z_(maks)=$125.

Dari sudut pandang praktis, minat terbesar adalah menggunakan turunan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi. Apa hubungannya ini? Memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya, menentukan beban peralatan yang optimal... Dengan kata lain, di banyak bidang kehidupan kita harus memecahkan masalah dalam mengoptimalkan beberapa parameter. Dan inilah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.

Perlu diperhatikan bahwa nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi biasanya dicari pada interval X tertentu, yang merupakan seluruh domain fungsi atau sebagian dari domain definisi. Interval X sendiri dapat berupa segmen, interval terbuka , interval tak terbatas.

Pada artikel ini kita akan membahas tentang mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang didefinisikan secara eksplisit dari satu variabel y=f(x) .

Navigasi halaman.

Mari kita lihat secara singkat definisi utama.

Nilai fungsi terbesar itu untuk siapa pun ketimpangan memang benar adanya.

Nilai terkecil dari fungsi y=f(x) pada interval X adalah nilai tersebut itu untuk siapa pun ketimpangan memang benar adanya.

Definisi ini intuitif: nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi adalah nilai terbesar (terkecil) yang diterima pada interval yang dipertimbangkan pada absis.

Titik stasioner adalah nilai argumen yang turunan fungsinya menjadi nol.

Mengapa kita memerlukan titik stasioner saat mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Fermat. Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa jika suatu fungsi terdiferensiasi mempunyai ekstrem (minimum lokal atau maksimum lokal) di suatu titik, maka titik tersebut stasioner. Jadi, suatu fungsi sering kali mengambil nilai terbesar (terkecil) pada interval X di salah satu titik stasioner dari interval ini.

Selain itu, suatu fungsi sering kali dapat mengambil nilai terbesar dan terkecilnya pada titik-titik di mana turunan pertama dari fungsi tersebut tidak ada, dan fungsi itu sendiri terdefinisi.

Mari kita segera menjawab salah satu pertanyaan paling umum tentang topik ini: “Apakah selalu mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi”? Tidak, tidak selalu. Kadang-kadang batas interval X bertepatan dengan batas domain definisi fungsi, atau interval X tidak terbatas. Dan beberapa fungsi pada jarak tak terhingga dan pada batas domain definisi dapat memiliki nilai yang sangat besar dan nilai yang sangat kecil. Dalam kasus ini, tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut.

Untuk lebih jelasnya, kami akan memberikan ilustrasi grafis. Lihatlah gambar-gambarnya dan banyak hal akan menjadi lebih jelas.

Di segmen tersebut

Pada gambar pertama, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik stasioner yang terletak di dalam segmen [-6;6].

Perhatikan kasus yang digambarkan pada gambar kedua. Mari kita ubah segmennya menjadi. Dalam contoh ini, nilai fungsi terkecil dicapai pada titik stasioner, dan nilai terbesar dicapai pada titik dengan absis yang sesuai dengan batas kanan interval.

Pada Gambar 3, titik batas ruas [-3;2] adalah absis titik-titik yang sesuai dengan nilai fungsi terbesar dan terkecil.

Pada interval terbuka

Pada gambar keempat, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik stasioner yang terletak di dalam interval terbuka (-6;6).

Pada interval , tidak dapat diambil kesimpulan mengenai nilai terbesarnya.

Tanpa batas

Pada contoh yang disajikan pada gambar ketujuh, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) pada titik stasioner dengan absis x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada batas kanan interval. Pada minus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati y=3 secara asimtotik.

Selama interval tersebut, fungsi tersebut tidak mencapai nilai terkecil maupun terbesar. Ketika x=2 mendekat dari kanan, nilai fungsinya cenderung minus tak terhingga (garis x=2 adalah asimtot vertikal), dan karena absisnya cenderung plus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati y=3 secara asimtotik. Ilustrasi grafis dari contoh ini ditunjukkan pada Gambar 8.

Mari kita menulis sebuah algoritma yang memungkinkan kita menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.

Mari kita menganalisis algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.

Contoh.

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

• pada segmen tersebut;
• di segmen [-4;-1] .

Larutan.

Daerah definisi suatu fungsi adalah seluruh himpunan bilangan real, kecuali nol, yaitu. Kedua segmen termasuk dalam domain definisi.

Temukan turunan fungsi terhadap:

Jelasnya, turunan dari fungsi tersebut ada di semua titik pada segmen dan [-4;-1].

Kami menentukan titik stasioner dari persamaan. Satu-satunya akar real adalah x=2. Titik stasioner ini termasuk dalam segmen pertama.

Untuk kasus pertama, kita menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner, yaitu untuk x=1, x=2 dan x=4:

Oleh karena itu, nilai fungsi terbesar dicapai pada x=1, dan nilai terkecil – pada x=2.

Untuk kasus kedua, kami menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen [-4;-1] (karena tidak mengandung satu titik stasioner):

Larutan.

Mari kita mulai dengan domain fungsinya. Trinomial kuadrat pada penyebut pecahan tidak boleh hilang:

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua interval dari pernyataan masalah termasuk dalam domain definisi fungsi.

Mari kita bedakan fungsinya:

Jelasnya, turunannya ada di seluruh domain definisi fungsi.

Mari kita cari titik stasioner. Turunannya menjadi nol pada . Titik stasioner ini berada pada interval (-3;1] dan (-3;2).

Sekarang Anda dapat membandingkan hasil yang diperoleh di setiap titik dengan grafik fungsinya. Garis putus-putus berwarna biru menunjukkan asimtot.

Pada tahap ini kita dapat menyelesaikannya dengan mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut. Algoritme yang dibahas dalam artikel ini memungkinkan Anda mendapatkan hasil dengan tindakan minimal. Namun, akan berguna jika terlebih dahulu menentukan interval kenaikan dan penurunan suatu fungsi dan baru setelah itu menarik kesimpulan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut pada interval mana pun. Hal ini memberikan gambaran yang lebih jelas dan justifikasi yang tepat atas hasilnya.

§ Ekstrem, Nilai maksimum dan minimum fungsi beberapa variabel - halaman No. 1/1

Dot
ditelepon titik maksimal fungsi
, jika untuk suatu hal

ketimpangan tetap terjadi

.

Begitu pula poinnya
ditelepon poin minimum fungsi
, jika untuk suatu hal
dari beberapa lingkungan suatu titik
ketimpangan tetap terjadi

.

Catatan. 1) Menurut definisinya, fungsinya
harus didefinisikan di beberapa lingkungan titik tersebut
. Itu. titik maksimum dan minimum dari fungsi tersebut
hanya ada titik-titik internal wilayah tersebut
.

2) Jika ada lingkungan suatu titik
, di mana untuk titik mana pun
berbeda dari
ketimpangan tetap terjadi

(

), lalu intinya
ditelepon titik maksimum yang ketat(masing-masing titik minimum yang ketat) fungsi
. Dalam hal ini, titik maksimum dan minimum yang ditentukan di atas kadang-kadang disebut titik maksimum dan minimum tidak ketat.

Konsep ekstrem bersifat lokal: nilai suatu fungsi pada suatu titik
dibandingkan dengan nilai fungsi pada titik yang cukup dekat. Di suatu area tertentu, suatu fungsi mungkin tidak memiliki ekstrem sama sekali, atau mungkin memiliki beberapa minimum, beberapa maksimum, dan bahkan keduanya dalam jumlah tak terhingga. Selain itu, beberapa nilai minimum mungkin lebih besar dari beberapa nilai maksimumnya. Jangan bingung antara nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan nilai maksimum dan minimumnya.

Mari kita temukan kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem. Misalkan,
– titik maksimum dari fungsi tersebut
. Kemudian, menurut definisi, ada gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-lingkungan titik
seperti yang
untuk titik mana pun
dari sekitar ini. Secara khusus,

(1)

Di mana
,
, Dan

(2)

Di mana
,
. Tetapi (1) berarti merupakan fungsi dari satu variabel
ada pada intinya maksimum atau berada pada interval
konstan. Karena itu,

atau
- tidak ada,

⇒
atau
- tidak ada.

Demikian pula dari (2) kita memperolehnya

atau
- tidak ada.

Jadi, teorema berikut ini valid.

TEOREMA 8.1. (kondisi yang diperlukan untuk ekstrem). Jika fungsinya
pada intinya
memiliki titik ekstrem, maka pada titik ini kedua turunan parsial orde pertama sama dengan nol, atau paling sedikit salah satu dari turunan parsial tersebut tidak ada.

Secara geometris, Teorema 8.1 berarti jika
– titik ekstrem dari fungsi tersebut
, maka bidang singgung grafik fungsi ini di titik tersebut sejajar dengan bidang tersebut
, atau tidak ada sama sekali. Untuk memverifikasinya, cukup mengingat bagaimana mencari persamaan bidang singgung suatu permukaan (lihat rumus (4.6)).

Titik-titik yang memenuhi syarat Teorema 8.1 disebut poin kritis fungsi
. Seperti halnya fungsi satu variabel, kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem tidaklah cukup. Itu. tidak semua titik kritis suatu fungsi akan menjadi titik ekstremnya.

CONTOH. Pertimbangkan fungsinya
. Dot
sangat penting untuk fungsi ini, karena pada saat ini kedua turunan parsial orde pertama
Dan
sama dengan nol. Namun, ini tidak akan menjadi titik ekstrem. Benar-benar,
, tetapi di lingkungan mana pun pada intinya
ada titik di mana fungsi tersebut bernilai positif dan ada titik di mana fungsi tersebut bernilai negatif. Ini mudah diverifikasi jika Anda membuat grafik fungsi - paraboloid hiperbolik.

Untuk fungsi dua variabel, kondisi cukup yang paling sesuai diberikan oleh teorema berikut.

TEOREMA 8.2. (kondisi cukup untuk ekstrem suatu fungsi dua variabel). Membiarkan
– titik kritis dari fungsi tersebut
dan di beberapa lingkungan intinya
fungsi tersebut memiliki turunan parsial kontinu hingga orde kedua. Mari kita tunjukkan

,
,
.

Lalu 1) jika
, lalu tunjuk
bukan merupakan titik ekstrem;


Jika kita menggunakan Teorema 8.2 untuk menyelidiki titik kritis
gagal (yaitu jika
atau fungsinya sama sekali tidak ada gunanya di lingkungan tersebut
turunan parsial kontinu dari orde yang diperlukan), jawaban atas pertanyaan tentang keberadaan suatu titik
ekstrem akan memberikan tanda kenaikan fungsi pada titik ini.

Memang dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa jika fungsinya
ada pada intinya
maksimum yang ketat kalau begitu

untuk semua poin
dari beberapa lingkungan suatu titik
, atau, sebaliknya

untuk semua cukup kecil
Dan
. Demikian pula jika
adalah titik minimum yang ketat, maka untuk semua cukup kecil
Dan
ketimpangan akan terpenuhi
.

Nah, untuk mengetahui apakah titik kritisnya adalah
titik ekstrem, perlu dilakukan pengujian pertambahan fungsi pada titik tersebut. Jika untuk semua cukup kecil
Dan
itu akan mempertahankan tandanya, lalu pada intinya
fungsinya memiliki ekstrem yang ketat (minimum jika
, dan maksimum jika
).

Komentar. Aturan ini tetap berlaku untuk ekstrem yang tidak ketat, tetapi dengan amandemen untuk beberapa nilai
Dan
kenaikan fungsi akan menjadi nol
CONTOH. Temukan fungsi ekstrem:

1)
; 2)
.

Untuk mempelajari titik-titik kritis, kita menerapkan Teorema 8.2. Kita punya:

,
,
.

Mari kita telusuri maksudnya
:

,
,
,

;
.

Oleh karena itu, pada intinya
fungsi ini memiliki minimum yaitu
.

Menjelajahi titik kritis
:

,
,
,


.

Oleh karena itu, titik kritis kedua bukanlah titik ekstrem dari fungsi tersebut.

Untuk mempelajari titik kritis, kita menerapkan Teorema 8.2. Kita punya:

,
,
,

,
,
,

.

Tentukan ada tidaknya titik ekstrim pada suatu titik
menggunakan Teorema 8.2 gagal.

Mari kita periksa tanda pertambahan fungsi pada titik tersebut
:

Jika
, Itu
;

Jika
, Itu
.

Karena
tidak mempertahankan tanda di lingkungan suatu titik
, maka pada titik ini fungsinya tidak memiliki ekstrem.

.

Begitu pula dengan nilai fungsi di titik tersebut
ditelepon Terkecil, jika untuk suatu hal
dari wilayah tersebut
ketimpangan tetap terjadi

.

Sebelumnya kita telah mengatakan bahwa jika suatu fungsi kontinu dan luasnya
– tertutup dan terbatas, maka fungsi tersebut mengambil nilai terbesar dan terkecil di area tersebut. Pada saat yang sama, poin
Dan
bisa berbohong baik di dalam area tersebut
, dan di perbatasannya. Jika intinya
(atau
) terletak di dalam wilayah tersebut
, maka ini akan menjadi titik maksimum (minimum) dari fungsi tersebut
, yaitu. titik kritis suatu fungsi dalam suatu wilayah
. Oleh karena itu, untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut
di daerah
perlu:
.