Temukan ekspektasi matematis dari nilai variabel acak. Ekspektasi Rata-Rata dan Matematis di EXCEL

Akan ada juga masalah yang harus Anda selesaikan sendiri, dan Anda dapat melihat jawabannya.

Ekspektasi dan varians adalah karakteristik numerik yang paling umum digunakan dari variabel acak. Mereka mencirikan ciri-ciri distribusi yang paling penting: posisi dan tingkat penyebarannya. Nilai yang diharapkan sering kali disebut rata-rata saja. variabel acak. Dispersi variabel acak - ciri dispersi, penyebaran variabel acak tentang ekspektasi matematisnya.

Dalam banyak masalah praktis, karakteristik variabel acak yang lengkap dan lengkap - hukum distribusi - tidak dapat diperoleh atau tidak diperlukan sama sekali. Dalam kasus ini, seseorang dibatasi pada deskripsi perkiraan variabel acak menggunakan karakteristik numerik.

Ekspektasi variabel acak diskrit

Mari kita membahas konsep ekspektasi matematis. Misalkan massa suatu zat terdistribusi di antara titik-titik sumbu x X1 , X 2 , ..., X N. Selain itu, setiap titik material memiliki massa yang sesuai dengan probabilitas P1 , P 2 , ..., P N. Diperlukan untuk memilih satu titik pada sumbu absis, yang mencirikan posisi seluruh sistem titik material, dengan mempertimbangkan massanya. Adalah wajar untuk menganggap pusat massa sistem titik-titik material sebagai titik tersebut. Ini adalah rata-rata tertimbang dari variabel acak X, yang absisnya setiap titik XSaya masuk dengan “bobot” yang sama dengan probabilitas yang sesuai. Nilai rata-rata dari variabel acak diperoleh dengan cara ini X disebut ekspektasi matematisnya.

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dan probabilitas dari nilai-nilai ini:

Contoh 1. Lotere win-win telah diselenggarakan. Ada 1000 kemenangan, 400 di antaranya adalah 10 rubel. 300 - 20 rubel masing-masing. 200 - 100 rubel masing-masing. dan masing-masing 100 - 200 rubel. Berapa rata-rata kemenangan seseorang yang membeli satu tiket?

Larutan. Kita akan menemukan kemenangan rata-rata jika kita membagi jumlah total kemenangan, yaitu 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubel, dengan 1000 (jumlah total kemenangan). Maka kita mendapatkan 50.000/1000 = 50 rubel. Namun ekspresi untuk menghitung rata-rata kemenangan dapat disajikan dalam bentuk berikut:

Sebaliknya, dalam kondisi ini, ukuran kemenangan adalah variabel acak, yang dapat bernilai 10, 20, 100, dan 200 rubel. dengan probabilitas masing-masing sama dengan 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Oleh karena itu, kemenangan rata-rata yang diharapkan sama dengan jumlah produk dari ukuran kemenangan dan kemungkinan menerimanya.

Contoh 2. Penerbit memutuskan untuk menerbitkan buku baru. Dia berencana untuk menjual buku itu seharga 280 rubel, di mana dia sendiri akan menerima 200, 50 - ke toko buku dan 30 - penulisnya. Tabel tersebut memberikan informasi tentang biaya penerbitan buku dan kemungkinan penjualan sejumlah eksemplar buku tersebut.

Temukan keuntungan yang diharapkan penerbit.

Larutan. Variabel acak “keuntungan” sama dengan selisih antara pendapatan dari penjualan dan biaya biaya. Misalnya, jika 500 eksemplar sebuah buku terjual, maka pendapatan dari penjualan tersebut adalah 200 * 500 = 100.000, dan biaya penerbitannya adalah 225.000 rubel. Dengan demikian, penerbit menghadapi kerugian sebesar 125.000 rubel. Tabel berikut merangkum nilai yang diharapkan dari variabel acak - keuntungan:

Jadi, kita memperoleh ekspektasi matematis dari keuntungan penerbit:

.

Contoh 3. Kemungkinan mengenai dengan satu tembakan P= 0,2. Tentukan konsumsi proyektil yang memberikan ekspektasi matematis dari jumlah pukulan sebesar 5.

Larutan. Dari rumus ekspektasi matematis yang sama yang telah kita gunakan selama ini, kita nyatakan X- konsumsi cangkang:

.

Contoh 4. Tentukan ekspektasi matematis dari variabel acak X jumlah pukulan dengan tiga tembakan, jika peluang mengenai pukulan dengan setiap tembakan P = 0,4 .

Petunjuk: cari peluang nilai variabel acak dengan rumus Bernoulli .

Sifat ekspektasi matematis

Mari kita perhatikan sifat-sifat ekspektasi matematis.

Properti 1. Ekspektasi matematis dari nilai konstanta sama dengan konstanta ini:

Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda ekspektasi matematis:

Properti 3. Ekspektasi matematis dari jumlah (selisih) variabel acak sama dengan jumlah (selisih) ekspektasi matematisnya:

Properti 4. Ekspektasi matematis suatu produk variabel acak sama dengan produk ekspektasi matematisnya:

Properti 5. Jika semua nilai variabel acak X berkurang (meningkat) dengan jumlah yang sama DENGAN, maka ekspektasi matematisnya akan berkurang (meningkat) dengan jumlah yang sama:

Ketika Anda tidak dapat membatasi diri hanya pada ekspektasi matematis

Dalam kebanyakan kasus, ekspektasi matematis saja tidak cukup untuk mengkarakterisasi variabel acak.

Biarkan variabel acak X Dan Y diberikan oleh hukum distribusi berikut:

Ekspektasi matematis dari besaran-besaran ini adalah sama - sama dengan nol:

Namun pola distribusinya berbeda. Nilai acak X hanya dapat mengambil nilai yang sedikit berbeda dari ekspektasi matematis, dan variabel acak Y dapat mengambil nilai yang menyimpang secara signifikan dari ekspektasi matematis. Contoh serupa: upah rata-rata tidak memungkinkan untuk menilai proporsi pekerja berupah tinggi dan rendah. Dengan kata lain, seseorang tidak dapat menilai dari ekspektasi matematis penyimpangan apa yang mungkin terjadi, setidaknya secara rata-rata. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari varians dari variabel acak.

Varians dari variabel acak diskrit

Perbedaan variabel acak diskrit X disebut ekspektasi matematis dari kuadrat deviasinya dari ekspektasi matematis:

Simpangan baku suatu variabel acak X nilai aritmatika dari akar kuadrat variansnya disebut:

.

Contoh 5. Hitung varians dan deviasi standar variabel acak X Dan Y, hukum distribusinya diberikan pada tabel di atas.

Larutan. Ekspektasi matematis dari variabel acak X Dan Y, seperti ditemukan di atas, sama dengan nol. Menurut rumus dispersi di E(X)=E(kamu)=0 kita mendapatkan:

Kemudian simpangan baku variabel acak X Dan Y dandan

.

Jadi, dengan ekspektasi matematis yang sama, varians dari variabel acak X sangat kecil, tetapi variabel acak Y- penting. Hal ini disebabkan oleh perbedaan distribusinya.

Contoh 6. Investor memiliki 4 proyek investasi alternatif. Tabel tersebut merangkum keuntungan yang diharapkan dalam proyek-proyek ini dengan probabilitas yang sesuai.

Temukan ekspektasi matematis, varians, dan deviasi standar untuk setiap alternatif.

Larutan. Mari kita tunjukkan bagaimana nilai-nilai ini dihitung untuk alternatif ke-3:

Tabel tersebut merangkum nilai yang ditemukan untuk semua alternatif.

Semua alternatif memiliki ekspektasi matematis yang sama. Artinya dalam jangka panjang setiap orang mempunyai pendapatan yang sama. Deviasi standar dapat diartikan sebagai ukuran risiko - semakin tinggi, semakin besar risiko investasi. Seorang investor yang tidak menginginkan banyak risiko akan memilih proyek 1 karena mempunyai standar deviasi terkecil (0). Jika investor lebih menyukai risiko dan keuntungan tinggi dalam waktu singkat, maka ia akan memilih proyek dengan standar deviasi terbesar - proyek 4.

Sifat dispersi

Mari kita sajikan sifat-sifat dispersi.

Properti 1. Varians dari nilai konstan adalah nol:

Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya:

.

Properti 3. Varians suatu variabel acak sama dengan ekspektasi matematis dari kuadrat nilai ini, yang kemudian dikurangi kuadrat ekspektasi matematis dari nilai itu sendiri:

,

Di mana .

Properti 4. Varians jumlah (selisih) variabel acak sama dengan jumlah (selisih) variansnya:

Contoh 7. Diketahui variabel acak diskrit X hanya mengambil dua nilai: −3 dan 7. Selain itu, ekspektasi matematisnya diketahui: E(X) = 4 . Temukan varians dari variabel acak diskrit.

Larutan. Mari kita nyatakan dengan P probabilitas suatu variabel acak mengambil suatu nilai X1 = −3 . Maka probabilitas nilainya X2 = 7 akan menjadi 1 - P. Mari kita turunkan persamaan ekspektasi matematis:

E(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,

di mana kita mendapatkan probabilitas: P= 0,3 dan 1 − P = 0,7 .

Hukum distribusi variabel acak:

Kami menghitung varians variabel acak ini menggunakan rumus dari properti 3 dispersi:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Temukan sendiri ekspektasi matematis dari variabel acak, lalu lihat solusinya

Contoh 8. Variabel acak diskrit X hanya mengambil dua nilai. Ia menerima nilai yang lebih besar dari 3 dengan probabilitas 0,4. Selain itu, varians dari variabel acak diketahui D(X) = 6 . Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak.

Contoh 9. Ada 6 bola putih dan 4 bola hitam di dalam guci. 3 bola diambil dari guci. Banyaknya bola putih di antara bola-bola yang diambil merupakan peubah acak diskrit X. Temukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak ini.

Larutan. Nilai acak X dapat mengambil nilai 0, 1, 2, 3. Probabilitas yang sesuai dapat dihitung dari aturan perkalian probabilitas. Hukum distribusi variabel acak:

Oleh karena itu ekspektasi matematis dari variabel acak ini:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varians dari variabel acak tertentu adalah:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Ekspektasi dan varians dari variabel acak kontinu

Untuk variabel acak kontinu, penafsiran mekanis ekspektasi matematis akan tetap memiliki arti yang sama: pusat massa untuk satuan massa yang terdistribusi secara kontinu pada sumbu x dengan kepadatan F(X). Berbeda dengan variabel acak diskrit, yang argumen fungsinya XSaya berubah secara tiba-tiba; untuk variabel acak kontinu, argumennya terus berubah. Namun ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu juga berhubungan dengan nilai rata-ratanya.

Untuk mencari ekspektasi matematis dan varians suatu variabel acak kontinu, Anda perlu mencari integral tertentu . Jika fungsi kepadatan suatu variabel acak kontinu diberikan, maka variabel tersebut langsung masuk ke dalam integral. Jika fungsi distribusi probabilitas diberikan, maka dengan membedakannya, Anda perlu mencari fungsi kepadatan.

Rata-rata aritmatika dari semua nilai yang mungkin dari suatu variabel acak kontinu disebut nya ekspektasi matematis, dilambangkan dengan atau .

Ekspektasi adalah distribusi probabilitas dari suatu variabel acak

Ekspektasi matematis, definisi, ekspektasi matematis variabel acak diskrit dan kontinu, sampel, ekspektasi kondisional, perhitungan, sifat-sifat, permasalahan, estimasi ekspektasi, dispersi, fungsi distribusi, rumus, contoh perhitungan

Perluas isinya

Ciutkan konten

Ekspektasi matematis adalah definisinya

Salah satu konsep terpenting dalam statistik matematika dan teori probabilitas, yang mencirikan distribusi nilai atau probabilitas suatu variabel acak. Biasanya dinyatakan sebagai rata-rata tertimbang dari semua parameter yang mungkin dari variabel acak. Banyak digunakan dalam analisis teknis, studi tentang deret angka, dan studi tentang proses yang berkelanjutan dan memakan waktu. Penting dalam menilai risiko, memprediksi indikator harga saat berdagang di pasar keuangan, dan digunakan dalam mengembangkan strategi dan metode taktik permainan dalam teori perjudian.

Harapan matematisnya adalah nilai rata-rata suatu variabel acak, distribusi probabilitas suatu variabel acak dipertimbangkan dalam teori probabilitas.

Harapan matematisnya adalah ukuran nilai rata-rata variabel acak dalam teori probabilitas. Ekspektasi matematis dari variabel acak X dilambangkan dengan M(x).

Harapan matematisnya adalah

Harapan matematisnya adalah dalam teori probabilitas, rata-rata tertimbang dari semua nilai yang mungkin diambil oleh variabel acak.

Harapan matematisnya adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas nilai-nilai ini.

Harapan matematisnya adalah manfaat rata-rata dari suatu keputusan tertentu, asalkan keputusan tersebut dapat dipertimbangkan dalam kerangka teori jumlah besar dan jarak jauh.

Harapan matematisnya adalah dalam teori perjudian, rata-rata jumlah kemenangan yang dapat diperoleh atau dikalahkan seorang pemain untuk setiap taruhan. Dalam istilah perjudian, hal ini terkadang disebut “player’s edge” (jika positif bagi pemain) atau “house edge” (jika negatif bagi pemain).

Harapan matematisnya adalah persentase keuntungan per kemenangan dikalikan dengan keuntungan rata-rata, dikurangi kemungkinan kerugian dikalikan dengan rata-rata kerugian.

Ekspektasi matematis terhadap variabel acak dalam teori matematika

Salah satu karakteristik numerik penting dari variabel acak adalah ekspektasi matematisnya. Mari kita perkenalkan konsep sistem variabel acak. Mari kita perhatikan sekumpulan variabel acak yang merupakan hasil percobaan acak yang sama. Jika adalah salah satu nilai yang mungkin dari sistem, maka kejadian tersebut sesuai dengan probabilitas tertentu yang memenuhi aksioma Kolmogorov. Suatu fungsi yang didefinisikan untuk setiap kemungkinan nilai variabel acak disebut hukum distribusi gabungan. Fungsi ini memungkinkan Anda menghitung probabilitas kejadian apa pun. Secara khusus, hukum distribusi gabungan variabel acak dan, yang mengambil nilai dari himpunan dan, diberikan oleh probabilitas.

Istilah “ekspektasi matematis” diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) dan berasal dari konsep “nilai kemenangan yang diharapkan”, yang pertama kali muncul pada abad ke-17 dalam teori perjudian karya Blaise Pascal dan Christiaan. Huygens. Namun, pemahaman teoritis lengkap pertama dan penilaian konsep ini diberikan oleh Pafnuty Lvovich Chebyshev (pertengahan abad ke-19).

Hukum distribusi variabel numerik acak (fungsi distribusi dan deret distribusi atau kepadatan probabilitas) secara lengkap menggambarkan perilaku variabel acak. Namun dalam beberapa soal, cukup mengetahui beberapa karakteristik numerik dari besaran yang diteliti (misalnya, nilai rata-rata dan kemungkinan penyimpangannya) untuk menjawab pertanyaan yang diajukan. Karakteristik numerik utama dari variabel acak adalah ekspektasi matematis, varians, modus dan median.

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari nilai yang mungkin dan probabilitas yang sesuai. Kadang-kadang ekspektasi matematis disebut rata-rata tertimbang, karena kira-kira sama dengan rata-rata aritmatika dari nilai yang diamati dari variabel acak dalam sejumlah besar percobaan. Dari definisi ekspektasi matematis dapat disimpulkan bahwa nilainya tidak kurang dari nilai terkecil yang mungkin dari suatu variabel acak dan tidak lebih dari nilai terbesar. Ekspektasi matematis suatu variabel acak adalah variabel non-acak (konstan).

Ekspektasi matematis memiliki arti fisis yang sederhana: jika Anda menempatkan suatu satuan massa pada garis lurus, menempatkan massa tertentu di beberapa titik (untuk distribusi diskrit), atau “mengolesinya” dengan kepadatan tertentu (untuk distribusi yang benar-benar kontinu) , maka titik yang sesuai dengan ekspektasi matematis akan menjadi koordinat "pusat gravitasi" lurus.

Nilai rata-rata suatu variabel acak adalah suatu bilangan tertentu yang seolah-olah merupakan “perwakilan” dan menggantikannya dalam perhitungan perkiraan kasar. Ketika kita mengatakan: "waktu pengoperasian lampu rata-rata adalah 100 jam" atau "titik tumbukan rata-rata digeser relatif terhadap target sebesar 2 m ke kanan", kita menunjukkan karakteristik numerik tertentu dari variabel acak yang menggambarkan lokasinya. pada sumbu numerik, mis. "karakteristik posisi".

Dari karakteristik suatu posisi dalam teori probabilitas, peran terpenting dimainkan oleh ekspektasi matematis dari suatu variabel acak, yang kadang-kadang disebut hanya nilai rata-rata dari suatu variabel acak.

Pertimbangkan variabel acak X, memiliki nilai yang mungkin x1, x2, …, xn dengan probabilitas hal1, hal2, …, hal. Kita perlu mengkarakterisasi dengan bilangan tertentu posisi nilai-nilai variabel acak pada sumbu x, dengan mempertimbangkan fakta bahwa nilai-nilai ini memiliki probabilitas yang berbeda. Untuk tujuan ini, wajar jika menggunakan nilai yang disebut “rata-rata tertimbang”. xi, dan setiap nilai xi selama rata-rata harus diperhitungkan dengan “bobot” yang sebanding dengan probabilitas nilai ini. Jadi, kita akan menghitung rata-rata variabel acak X, yang kami tunjukkan M |X|:

Rata-rata tertimbang ini disebut ekspektasi matematis dari variabel acak. Oleh karena itu, kami mempertimbangkan salah satu konsep terpenting dari teori probabilitas - konsep ekspektasi matematis. Ekspektasi matematis dari suatu variabel acak adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitas dari nilai-nilai tersebut.

Biarkan itu diproduksi N eksperimen independen, yang masing-masing bernilai X mengambil nilai tertentu. Anggap saja nilainya x1 muncul m1 kali, nilai x2 muncul m2 sekali, dalam arti umum xi muncul mi kali. Mari kita hitung mean aritmatika dari nilai observasi dari nilai X, yang berbeda dengan ekspektasi matematis M|X| kami menunjukkan M*|X|:

Dengan semakin banyaknya percobaan N frekuensi pi akan mendekati (konvergen dalam probabilitas) probabilitas yang sesuai. Akibatnya, mean aritmatika dari nilai observasi variabel acak M|X| dengan bertambahnya jumlah eksperimen, probabilitasnya akan mendekati (probabilitas konvergen) sesuai ekspektasi matematisnya. Hubungan antara mean aritmatika dan ekspektasi matematis yang dirumuskan di atas merupakan isi dari salah satu bentuk hukum bilangan besar.

Kita telah mengetahui bahwa semua bentuk hukum bilangan besar menyatakan fakta bahwa beberapa rata-rata stabil pada sejumlah besar percobaan. Di sini kita berbicara tentang kestabilan mean aritmatika dari serangkaian pengamatan dengan besaran yang sama. Dengan sejumlah kecil percobaan, rata-rata aritmatika dari hasilnya adalah acak; dengan peningkatan jumlah eksperimen yang cukup, itu menjadi "hampir non-acak" dan, setelah stabil, mendekati nilai konstan - ekspektasi matematis.

Stabilitas rata-rata pada sejumlah besar eksperimen dapat dengan mudah diverifikasi secara eksperimental. Misalnya, ketika menimbang suatu benda di laboratorium dengan timbangan yang presisi, sebagai hasil penimbangan kita memperoleh nilai baru setiap kali; Untuk mengurangi kesalahan pengamatan, kami menimbang benda beberapa kali dan menggunakan rata-rata aritmatika dari nilai yang diperoleh. Sangat mudah untuk melihat bahwa dengan peningkatan lebih lanjut dalam jumlah percobaan (penimbangan), rata-rata aritmatika semakin sedikit bereaksi terhadap peningkatan ini dan, dengan jumlah percobaan yang cukup besar, secara praktis berhenti berubah.

Perlu dicatat bahwa karakteristik terpenting dari posisi variabel acak - ekspektasi matematis - tidak ada untuk semua variabel acak. Dimungkinkan untuk membuat contoh variabel acak yang ekspektasi matematisnya tidak ada, karena jumlah atau integral yang sesuai berbeda. Namun, kasus-kasus seperti itu tidak terlalu menarik untuk dipraktikkan. Biasanya, variabel acak yang kita tangani memiliki rentang nilai yang mungkin terbatas dan, tentu saja, memiliki ekspektasi matematis.

Selain karakteristik terpenting dari posisi variabel acak - ekspektasi matematis - dalam praktiknya, karakteristik posisi lain terkadang digunakan, khususnya modus dan median variabel acak.

Modus suatu variabel acak adalah nilai yang paling mungkin. Istilah "nilai yang paling mungkin" sebenarnya hanya berlaku untuk kuantitas yang tidak diskontinu; untuk besaran kontinyu, modus adalah nilai dimana kepadatan probabilitasnya maksimum. Gambar-gambar tersebut masing-masing menunjukkan modus untuk variabel acak terputus-putus dan kontinu.

Jika poligon distribusi (kurva distribusi) mempunyai lebih dari satu maksimum, maka distribusi tersebut disebut “multimodal”.

Terkadang ada distribusi yang memiliki nilai minimum di tengah, bukan maksimum. Distribusi seperti ini disebut “anti-modal”.

Dalam kasus umum, modus dan ekspektasi matematis dari variabel acak tidak bersamaan. Dalam kasus tertentu, jika distribusinya simetris dan modal (yaitu memiliki modus) dan terdapat ekspektasi matematis, maka distribusi tersebut bertepatan dengan modus dan pusat simetri distribusi.

Karakteristik posisi lain yang sering digunakan - yang disebut median dari variabel acak. Karakteristik ini biasanya hanya digunakan untuk variabel acak kontinu, meskipun dapat juga didefinisikan secara formal untuk variabel diskontinyu. Secara geometris, median adalah absis suatu titik dimana luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dibagi dua.

Dalam kasus distribusi modal simetris, mediannya bertepatan dengan ekspektasi dan modus matematis.

Ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari variabel acak - karakteristik numerik dari distribusi probabilitas variabel acak. Secara paling umum, ekspektasi matematis dari variabel acak X(w) didefinisikan sebagai integral Lebesgue terhadap ukuran probabilitas R dalam ruang probabilitas asli:

Ekspektasi matematis juga dapat dihitung sebagai integral Lebesgue dari X dengan distribusi probabilitas piksel jumlah X:

Konsep variabel acak dengan ekspektasi matematis tak terhingga dapat didefinisikan secara alami. Contoh tipikalnya adalah waktu kembalinya beberapa jalan acak.

Dengan menggunakan ekspektasi matematis, banyak karakteristik numerik dan fungsional dari suatu distribusi ditentukan (sebagai ekspektasi matematis dari fungsi yang sesuai dari variabel acak), misalnya, fungsi pembangkit, fungsi karakteristik, momen orde apa pun, khususnya dispersi, kovarians .

Ekspektasi matematis merupakan ciri letak nilai suatu variabel acak (nilai rata-rata sebarannya). Dalam kapasitas ini, ekspektasi matematis berfungsi sebagai parameter distribusi “tipikal” dan perannya mirip dengan peran momen statis - koordinat pusat gravitasi distribusi massa - dalam mekanika. Dari karakteristik lokasi lain yang dengannya distribusi dijelaskan secara umum - median, mode, ekspektasi matematis berbeda dalam nilai yang lebih besar dan karakteristik hamburan yang sesuai - dispersi - miliki dalam teorema batas teori probabilitas. Makna ekspektasi matematis terungkap paling lengkap melalui hukum bilangan besar (pertidaksamaan Chebyshev) dan hukum bilangan besar yang diperkuat.

Ekspektasi variabel acak diskrit

Misalkan ada beberapa variabel acak yang dapat mengambil salah satu dari beberapa nilai numerik (misalnya, jumlah poin saat melempar dadu bisa 1, 2, 3, 4, 5 atau 6). Seringkali dalam praktiknya, untuk nilai seperti itu, muncul pertanyaan: berapa nilai yang dibutuhkan “rata-rata” dengan sejumlah besar tes? Berapa pendapatan (atau kerugian) rata-rata kita dari setiap transaksi berisiko?

Katakanlah ada semacam lotere. Kami ingin memahami apakah menguntungkan atau tidak untuk berpartisipasi di dalamnya (atau bahkan berpartisipasi berulang kali, secara rutin). Katakanlah setiap tiket keempat adalah pemenangnya, hadiahnya adalah 300 rubel, dan harga tiket mana pun adalah 100 rubel. Dengan jumlah partisipasi yang sangat besar, inilah yang terjadi. Dalam tiga perempat kasus kita akan kalah, setiap tiga kerugian akan menelan biaya 300 rubel. Dalam setiap kasus keempat kami akan memenangkan 200 rubel. (hadiah dikurangi biaya), yaitu, untuk empat partisipasi kami kehilangan rata-rata 100 rubel, untuk satu partisipasi - rata-rata 25 rubel. Secara total, tarif rata-rata kehancuran kami adalah 25 rubel per tiket.

Kami melempar dadu. Jika tidak curang (tanpa menggeser pusat gravitasi, dll), lalu berapa rata-rata poin yang kita peroleh dalam satu waktu? Karena setiap pilihan memiliki kemungkinan yang sama, kita cukup mengambil mean aritmatika dan mendapatkan 3,5. Karena ini RATA-RATA, tidak perlu marah karena tidak ada gulungan tertentu yang akan memberikan 3,5 poin - yah, kubus ini tidak memiliki permukaan dengan angka seperti itu!

Sekarang mari kita rangkum contoh-contoh kita:

Mari kita lihat gambar yang baru saja diberikan. Di sebelah kiri adalah tabel distribusi variabel acak. Nilai X dapat mengambil salah satu dari n nilai yang mungkin (ditampilkan di baris paling atas). Tidak mungkin ada arti lain. Di bawah setiap nilai yang mungkin, probabilitasnya ditulis di bawah ini. Di sebelah kanan adalah rumus, dimana M(X) disebut ekspektasi matematis. Arti dari nilai ini adalah dengan jumlah tes yang banyak (dengan sampel yang besar), nilai rata-rata akan cenderung ke ekspektasi matematis yang sama.

Mari kita kembali lagi ke permainan kubus yang sama. Ekspektasi matematis jumlah poin saat melempar adalah 3,5 (hitung sendiri menggunakan rumus jika tidak percaya). Katakanlah Anda melemparkannya beberapa kali. Hasilnya 4 dan 6. Rata-ratanya 5, jauh dari 3,5. Mereka melemparnya sekali lagi, mendapat 3, yaitu rata-rata (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Jauh dari ekspektasi matematis. Sekarang lakukan eksperimen gila - lempar kubus 1000 kali! Dan meskipun rata-ratanya tidak tepat 3,5, angkanya akan mendekati angka tersebut.

Mari kita hitung ekspektasi matematis untuk lotere yang dijelaskan di atas. Piringnya akan terlihat seperti ini:

Maka ekspektasi matematisnya adalah, seperti yang kita tetapkan di atas:

Hal lainnya adalah melakukannya “dengan jari”, tanpa rumus, akan sulit jika ada lebih banyak pilihan. Katakanlah akan ada 75% tiket yang kalah, 20% tiket yang menang, dan 5% terutama tiket yang menang.

Sekarang beberapa sifat ekspektasi matematis.

Cara membuktikannya mudah:

Faktor konstanta dapat diambil sebagai tanda ekspektasi matematis, yaitu:

Ini adalah kasus khusus dari sifat linearitas ekspektasi matematis.

Konsekuensi lain dari linearitas ekspektasi matematis:

yaitu ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari variabel acak.

Misalkan X, Y adalah variabel acak bebas, Kemudian:

Ini juga mudah dibuktikan) Berhasil XY itu sendiri adalah variabel acak, dan jika nilai awalnya bisa diambil N Dan M nilai-nilai yang sesuai, lalu XY dapat mengambil nilai nm. Probabilitas setiap nilai dihitung berdasarkan fakta bahwa probabilitas kejadian independen dikalikan. Hasilnya, kami mendapatkan ini:

Ekspektasi variabel acak kontinu

Variabel acak kontinu mempunyai ciri seperti kepadatan distribusi (kepadatan probabilitas). Ini pada dasarnya mencirikan situasi di mana variabel acak lebih sering mengambil beberapa nilai dari himpunan bilangan real, dan beberapa lebih jarang. Misalnya, perhatikan grafik ini:

Di Sini X- variabel acak aktual, f(x)- kepadatan distribusi. Dilihat dari grafik ini, selama percobaan nilainya X sering kali berupa angka yang mendekati nol. Peluangnya terlampaui 3 atau menjadi lebih kecil -3 agak murni teoretis.

Misalkan terdapat distribusi seragam:

Hal ini cukup konsisten dengan pemahaman intuitif. Katakanlah, jika kita menerima banyak bilangan real acak dengan distribusi seragam, masing-masing segmennya |0; 1| , maka mean aritmatikanya harus sekitar 0,5.

Sifat-sifat ekspektasi matematis - linearitas, dll., yang berlaku untuk variabel acak diskrit, juga berlaku di sini.

Hubungan antara ekspektasi matematis dan indikator statistik lainnya

Dalam analisis statistik, selain ekspektasi matematis, terdapat sistem indikator yang saling bergantung yang mencerminkan homogenitas fenomena dan stabilitas proses. Indikator variasi seringkali tidak memiliki arti tersendiri dan digunakan untuk analisis data lebih lanjut. Pengecualiannya adalah koefisien variasi, yang mencirikan homogenitas data, yang merupakan karakteristik statistik yang berharga.

Derajat variabilitas atau kestabilan proses dalam ilmu statistika dapat diukur dengan menggunakan beberapa indikator.

Indikator terpenting yang mencirikan variabilitas suatu variabel acak adalah Penyebaran, yang paling erat dan berhubungan langsung dengan ekspektasi matematis. Parameter ini secara aktif digunakan dalam jenis analisis statistik lainnya (pengujian hipotesis, analisis hubungan sebab-akibat, dll). Seperti deviasi linier rata-rata, varians juga mencerminkan sejauh mana penyebaran data di sekitar nilai rata-rata.

Hal ini berguna untuk menerjemahkan bahasa isyarat ke dalam bahasa kata-kata. Ternyata dispersi adalah kuadrat rata-rata dari simpangan tersebut. Artinya, nilai rata-rata dihitung terlebih dahulu, kemudian selisih masing-masing nilai asli dan rata-rata diambil, dikuadratkan, dijumlahkan, lalu dibagi dengan banyaknya nilai dalam populasi. Perbedaan antara nilai individu dan rata-rata mencerminkan ukuran penyimpangan. Hal ini dikuadratkan sedemikian rupa sehingga semua deviasi hanya menjadi angka positif dan untuk menghindari saling menghancurkan deviasi positif dan negatif saat menjumlahkannya. Kemudian, dengan mengetahui simpangan kuadratnya, kita cukup menghitung mean aritmatikanya. Rata-rata - persegi - penyimpangan. Penyimpangan dikuadratkan dan rata-rata dihitung. Jawaban atas kata ajaib “dispersi” hanya terletak pada tiga kata.

Namun, dalam bentuknya yang murni, seperti mean aritmatika, atau indeks, dispersi tidak digunakan. Ini lebih merupakan indikator tambahan dan perantara yang digunakan untuk jenis analisis statistik lainnya. Ia bahkan tidak memiliki satuan pengukuran normal. Dilihat dari rumusnya, ini adalah kuadrat satuan ukuran data asli.

Mari kita mengukur variabel acak N kali, misalnya kita mengukur kecepatan angin sepuluh kali dan ingin mencari nilai rata-ratanya. Bagaimana hubungan nilai rata-rata dengan fungsi distribusi?

Atau kita akan melempar dadu berkali-kali. Jumlah poin yang akan muncul pada dadu pada setiap lemparan adalah variabel acak dan dapat mengambil nilai natural apa pun dari 1 hingga 6. Rata-rata aritmatika dari poin yang dijatuhkan yang dihitung untuk semua lemparan dadu juga merupakan variabel acak, tetapi untuk yang besar N itu cenderung ke angka yang sangat spesifik - ekspektasi matematis Mx. Dalam hal ini Mx = 3,5.

Bagaimana Anda mendapatkan nilai ini? Biarkan masuk N tes n1 1 poin digulirkan satu kali n2 sekali - 2 poin dan seterusnya. Maka banyaknya hasil yang kehilangan satu poin:

Demikian pula untuk hasil ketika 2, 3, 4, 5 dan 6 poin dilempar.

Sekarang mari kita asumsikan bahwa kita mengetahui hukum distribusi variabel acak x, yaitu kita mengetahui bahwa variabel acak x dapat mengambil nilai x1, x2, ..., xk dengan probabilitas p1, p2, ..., pk.

Ekspektasi matematis Mx dari variabel acak x sama dengan:

Ekspektasi matematis tidak selalu merupakan estimasi yang masuk akal dari beberapa variabel acak. Oleh karena itu, untuk memperkirakan gaji rata-rata, lebih masuk akal menggunakan konsep median, yaitu nilai yang bertepatan dengan jumlah orang yang menerima gaji lebih rendah dari median dan lebih besar.

Peluang p1 munculnya variabel acak x lebih kecil dari x1/2, dan peluang p2 munculnya variabel acak x lebih besar dari x1/2, adalah sama dan sama dengan 1/2. Median tidak ditentukan secara unik untuk semua distribusi.

Standar atau Standar Deviasi dalam statistika disebut derajat penyimpangan data pengamatan atau himpunan dari nilai RATA-RATA. Dilambangkan dengan huruf s atau s. Deviasi standar yang kecil menunjukkan bahwa data mengelompok di sekitar mean, sedangkan deviasi standar yang besar menunjukkan bahwa data awal terletak jauh dari mean. Simpangan baku sama dengan akar kuadrat suatu besaran yang disebut varians. Merupakan rata-rata jumlah selisih kuadrat data awal yang menyimpang dari nilai rata-rata. Simpangan baku suatu variabel acak adalah akar kuadrat dari variansnya:

Contoh. Dalam kondisi pengujian saat menembak sasaran, hitung dispersi dan deviasi standar variabel acak:

Variasi- fluktuasi, perubahan nilai suatu karakteristik antar unit populasi. Nilai numerik individu dari suatu karakteristik yang terdapat pada populasi yang diteliti disebut varian nilai. Ketidakcukupan nilai rata-rata untuk sepenuhnya mengkarakterisasi populasi memaksa kita untuk melengkapi nilai rata-rata dengan indikator yang memungkinkan kita menilai kekhasan rata-rata tersebut dengan mengukur variabilitas (variasi) dari karakteristik yang sedang dipelajari. Koefisien variasi dihitung dengan menggunakan rumus:

Rentang variasi(R) mewakili selisih antara nilai maksimum dan minimum suatu atribut pada populasi yang diteliti. Indikator ini memberikan gambaran paling umum tentang variabilitas karakteristik yang dipelajari, karena hanya menunjukkan perbedaan antara nilai maksimum opsi. Ketergantungan pada nilai ekstrim suatu karakteristik memberikan ruang lingkup variasi yang tidak stabil dan bersifat acak.

Deviasi linier rata-rata mewakili rata-rata aritmatika dari simpangan absolut (modulo) semua nilai populasi yang dianalisis dari nilai rata-ratanya:

Harapan dalam teori perjudian

Harapan matematisnya adalah Jumlah rata-rata uang yang bisa dimenangkan atau dikalahkan oleh seorang penjudi pada taruhan tertentu. Ini adalah konsep yang sangat penting bagi pemain karena merupakan dasar penilaian sebagian besar situasi permainan. Ekspektasi matematis juga merupakan alat optimal untuk menganalisis tata letak kartu dasar dan situasi permainan.

Katakanlah Anda bermain permainan koin dengan seorang teman, membuat taruhan yang sama sebesar $1 setiap kali bermain, apa pun yang muncul. Ekor berarti menang, kepala berarti kalah. Kemungkinannya satu banding satu bahwa hal itu akan muncul, jadi Anda bertaruh $1 hingga $1. Jadi, ekspektasi matematis Anda adalah nol, karena Dari sudut pandang matematika, Anda tidak dapat mengetahui apakah Anda akan memimpin atau kalah setelah dua lemparan atau setelah 200 lemparan.

Keuntungan per jam Anda adalah nol. Kemenangan setiap jam adalah jumlah uang yang Anda harapkan untuk dimenangkan dalam satu jam. Anda dapat melempar koin 500 kali dalam satu jam, tetapi Anda tidak akan menang atau kalah karena... peluang Anda tidak positif atau negatif. Jika dilihat dari sudut pandang pemain yang serius, sistem taruhan ini lumayan. Tapi ini hanya membuang-buang waktu saja.

Namun katakanlah seseorang ingin bertaruh $2 melawan $1 Anda pada permainan yang sama. Kemudian Anda langsung memiliki ekspektasi positif sebesar 50 sen dari setiap taruhan. Mengapa 50 sen? Rata-rata, Anda memenangkan satu taruhan dan kalah pada taruhan kedua. Taruhan dolar pertama dan Anda akan kehilangan $1, bertaruh dolar kedua dan Anda akan memenangkan $2. Anda bertaruh $1 dua kali dan unggul $1. Jadi setiap taruhan satu dolar Anda memberi Anda 50 sen.

Jika koin muncul 500 kali dalam satu jam, kemenangan per jam Anda sudah menjadi $250, karena... Rata-rata, Anda kehilangan satu dolar 250 kali dan memenangkan dua dolar 250 kali. $500 dikurangi $250 sama dengan $250, yang merupakan total kemenangan. Harap dicatat bahwa nilai yang diharapkan, yaitu jumlah rata-rata yang Anda menangkan per taruhan, adalah 50 sen. Anda memenangkan $250 dengan bertaruh satu dolar 500 kali, yang sama dengan 50 sen per taruhan.

Ekspektasi matematis tidak ada hubungannya dengan hasil jangka pendek. Lawan Anda, yang memutuskan untuk bertaruh $2 melawan Anda, dapat mengalahkan Anda pada sepuluh lemparan pertama berturut-turut, namun Anda, yang memiliki keunggulan taruhan 2 banding 1, jika semua hal lain dianggap sama, akan mendapatkan 50 sen untuk setiap $1 taruhan dalam taruhan apa pun. keadaan. Tidak ada bedanya apakah Anda menang atau kalah dalam satu atau beberapa taruhan, selama Anda memiliki cukup uang untuk menutupi biayanya dengan nyaman. Jika Anda terus bertaruh dengan cara yang sama, maka dalam jangka waktu yang lama kemenangan Anda akan mendekati jumlah ekspektasi dalam lemparan individu.

Setiap kali Anda membuat taruhan terbaik (taruhan yang mungkin menguntungkan dalam jangka panjang), ketika peluangnya menguntungkan Anda, Anda pasti akan memenangkan sesuatu, tidak peduli apakah Anda kalah atau tidak dalam taruhan tersebut. tangan yang diberikan. Sebaliknya, jika Anda membuat taruhan underdog (taruhan yang tidak menguntungkan dalam jangka panjang) ketika peluangnya melawan Anda, Anda kehilangan sesuatu terlepas dari apakah Anda menang atau kalah.

Anda memasang taruhan dengan hasil terbaik jika ekspektasi Anda positif, dan positif jika peluangnya berpihak pada Anda. Ketika Anda memasang taruhan dengan hasil terburuk, Anda mempunyai ekspektasi negatif, yang terjadi ketika peluangnya melawan Anda. Pemain yang serius hanya bertaruh pada hasil terbaik; jika yang terburuk terjadi, mereka gulung tikar. Apa arti peluang yang menguntungkan Anda? Anda mungkin akan menang lebih dari peluang sebenarnya. Peluang sebenarnya untuk mendaratkan kepala adalah 1 banding 1, tetapi Anda mendapatkan 2 banding 1 karena rasio odds. Dalam hal ini, kemungkinannya menguntungkan Anda. Anda pasti mendapatkan hasil terbaik dengan ekspektasi positif 50 sen per taruhan.

Berikut adalah contoh ekspektasi matematis yang lebih kompleks. Seorang teman menuliskan angka dari satu sampai lima dan bertaruh $5 melawan $1 Anda sehingga Anda tidak akan menebak nomor tersebut. Haruskah Anda menyetujui taruhan seperti itu? Apa harapannya di sini?

Rata-rata Anda akan salah empat kali. Berdasarkan hal ini, peluang Anda untuk menebak angka tersebut adalah 4 banding 1. Peluang Anda kehilangan satu dolar dalam satu upaya. Namun, Anda menang 5 banding 1, dengan kemungkinan kalah 4 banding 1. Jadi kemungkinannya menguntungkan Anda, Anda dapat mengambil taruhan dan berharap hasil terbaik. Jika Anda membuat taruhan ini lima kali, rata-rata Anda akan kehilangan $1 empat kali dan memenangkan $5 sekali. Berdasarkan ini, untuk kelima upaya Anda akan mendapatkan $1 dengan ekspektasi matematis positif sebesar 20 sen per taruhan.

Seorang pemain yang akan menang lebih dari yang dipertaruhkannya, seperti pada contoh di atas, berarti mengambil peluang. Sebaliknya, ia merusak peluangnya ketika ia mengharapkan kemenangan lebih kecil dari yang ia pertaruhkan. Seorang petaruh dapat memiliki ekspektasi positif atau negatif, yang bergantung pada apakah dia menang atau menghancurkan peluangnya.

Jika Anda bertaruh $50 untuk memenangkan $10 dengan peluang menang 4 banding 1, Anda akan mendapatkan ekspektasi negatif sebesar $2 karena... Rata-rata, Anda akan memenangkan $10 empat kali dan kalah $50 satu kali, yang menunjukkan bahwa kerugian per taruhan adalah $10. Tetapi jika Anda bertaruh $30 untuk memenangkan $10, dengan peluang menang yang sama 4 banding 1, maka dalam kasus ini Anda mempunyai ekspektasi positif sebesar $2, karena Anda kembali memenangkan $10 empat kali dan kehilangan $30 sekali, untuk mendapat untung $10. Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa taruhan pertama buruk, dan taruhan kedua bagus.

Ekspektasi matematis adalah inti dari setiap situasi permainan. Ketika seorang bandar taruhan mendorong penggemar sepak bola untuk bertaruh $11 untuk memenangkan $10, dia memiliki ekspektasi positif sebesar 50 sen untuk setiap $10. Jika kasino membayar uang genap dari garis lulus dalam dadu, maka ekspektasi positif kasino adalah sekitar $1,40 untuk setiap $100, karena Permainan ini disusun sedemikian rupa sehingga siapa pun yang bertaruh pada garis ini rata-rata kehilangan 50,7% dan menang 49,3% dari total waktu. Tidak diragukan lagi, ekspektasi positif yang tampaknya minimal inilah yang mendatangkan keuntungan besar bagi pemilik kasino di seluruh dunia. Seperti yang dicatat oleh pemilik kasino Vegas World, Bob Stupak, “seperseribu persen probabilitas negatif dalam jarak yang cukup jauh akan menghancurkan orang terkaya di dunia.”

Harapan saat bermain Poker

Permainan Poker adalah contoh yang paling ilustratif dan ilustratif dalam hal penggunaan teori dan sifat ekspektasi matematis.

Nilai yang Diharapkan dalam Poker adalah keuntungan rata-rata dari suatu keputusan tertentu, asalkan keputusan tersebut dapat dipertimbangkan dalam kerangka teori jumlah besar dan jarak jauh. Permainan poker yang sukses adalah selalu menerima gerakan dengan nilai harapan positif.

Arti matematis dari ekspektasi matematis saat bermain poker adalah kita sering menjumpai variabel acak saat mengambil keputusan (kita tidak tahu kartu apa yang dimiliki lawan, kartu apa yang akan muncul pada ronde pertaruhan selanjutnya). Kita harus mempertimbangkan setiap solusi dari sudut pandang teori bilangan besar, yang menyatakan bahwa dengan sampel yang cukup besar, nilai rata-rata suatu variabel acak akan cenderung sesuai dengan ekspektasi matematisnya.

Di antara rumus khusus untuk menghitung ekspektasi matematis, berikut ini yang paling dapat diterapkan dalam poker:

Saat bermain poker, nilai yang diharapkan dapat dihitung untuk taruhan dan panggilan. Dalam kasus pertama, ekuitas lipat harus diperhitungkan, dalam kasus kedua, peluang bank itu sendiri. Saat menilai ekspektasi matematis dari suatu gerakan tertentu, Anda harus ingat bahwa lipatan selalu memiliki ekspektasi nol. Oleh karena itu, membuang kartu akan selalu menjadi keputusan yang lebih menguntungkan daripada tindakan negatif apa pun.

Ekspektasi memberi tahu Anda apa yang dapat Anda harapkan (untung atau rugi) untuk setiap dolar yang Anda pertaruhkan. Kasino menghasilkan uang karena ekspektasi matematis dari semua permainan yang dimainkan di dalamnya menguntungkan kasino. Dengan rangkaian permainan yang cukup panjang, Anda dapat berharap bahwa klien akan kehilangan uangnya, karena “peluang” menguntungkan kasino. Namun, pemain kasino profesional membatasi permainan mereka dalam jangka waktu yang singkat, sehingga meningkatkan peluang yang menguntungkan mereka. Hal yang sama berlaku untuk investasi. Jika ekspektasi Anda positif, Anda bisa menghasilkan lebih banyak uang dengan melakukan banyak perdagangan dalam waktu singkat. Ekspektasinya adalah persentase keuntungan per kemenangan Anda dikalikan dengan keuntungan rata-rata Anda, dikurangi kemungkinan kerugian Anda dikalikan dengan rata-rata kerugian Anda.

Poker juga dapat dilihat dari sudut pandang ekspektasi matematis. Anda mungkin berasumsi bahwa suatu langkah tertentu menguntungkan, namun dalam beberapa kasus mungkin bukan yang terbaik karena langkah lain lebih menguntungkan. Katakanlah Anda mencapai full house dalam poker undian lima kartu. Lawan Anda membuat taruhan. Anda tahu bahwa jika Anda menaikkan taruhan, dia akan merespons. Oleh karena itu, membesarkan tampaknya merupakan taktik terbaik. Namun jika Anda menaikkan taruhan, dua pemain yang tersisa pasti akan melipat. Namun jika Anda menelepon, Anda memiliki keyakinan penuh bahwa dua pemain lain di belakang Anda akan melakukan hal serupa. Saat Anda menaikkan taruhan, Anda mendapat satu unit, dan saat Anda menelepon, Anda mendapat dua. Oleh karena itu, menelepon memberi Anda nilai positif yang diharapkan lebih tinggi dan akan menjadi taktik terbaik.

Ekspektasi matematis juga dapat memberikan gambaran taktik poker mana yang kurang menguntungkan dan mana yang lebih menguntungkan. Misalnya, jika Anda memainkan tangan tertentu dan menurut Anda kerugian Anda rata-rata 75 sen termasuk ante, maka Anda harus memainkan tangan itu karena ini lebih baik daripada melipat ketika taruhannya $1.

Alasan penting lainnya untuk memahami konsep nilai yang diharapkan adalah karena konsep ini memberi Anda rasa tenang apakah Anda memenangkan taruhan atau tidak: jika Anda membuat taruhan yang bagus atau melipat pada waktu yang tepat, Anda akan tahu bahwa Anda telah memperoleh atau menghemat sejumlah uang yang tidak dapat disimpan oleh pemain yang lebih lemah. Jauh lebih sulit untuk melipat jika Anda kesal karena lawan Anda memiliki tangan yang lebih kuat. Dengan semua ini, uang yang Anda hemat dengan tidak bermain daripada bertaruh ditambahkan ke kemenangan Anda untuk malam atau bulan tersebut.

Ingatlah bahwa jika Anda berpindah tangan, lawan Anda akan memanggil Anda, dan seperti yang akan Anda lihat di artikel Teorema Dasar Poker, ini hanyalah salah satu keuntungan Anda. Anda seharusnya senang ketika ini terjadi. Anda bahkan dapat belajar menikmati kekalahan karena Anda tahu bahwa pemain lain di posisi Anda akan kalah lebih banyak.

Seperti disebutkan dalam contoh permainan koin di awal, tingkat keuntungan per jam saling terkait dengan ekspektasi matematis, dan konsep ini sangat penting bagi pemain profesional. Saat Anda bermain poker, Anda harus memperkirakan secara mental berapa banyak yang bisa Anda menangkan dalam satu jam bermain. Dalam sebagian besar kasus, Anda perlu mengandalkan intuisi dan pengalaman, namun Anda juga bisa menggunakan perhitungan matematika. Misalnya, Anda bermain seri lowball dan Anda melihat tiga pemain bertaruh $10 dan kemudian menukar dua kartu, yang merupakan taktik yang sangat buruk, Anda dapat mengetahui bahwa setiap kali mereka bertaruh $10, mereka kehilangan sekitar $2. Masing-masing dari mereka melakukan ini delapan kali per jam, yang berarti ketiganya kehilangan sekitar $48 per jam. Anda adalah salah satu dari empat pemain tersisa yang kira-kira sama, jadi keempat pemain ini (dan Anda di antara mereka) harus membagi $48, masing-masing mendapat untung $12 per jam. Peluang per jam Anda dalam hal ini sama dengan bagian Anda dari jumlah uang yang hilang oleh tiga pemain buruk dalam satu jam.

Dalam jangka waktu yang lama, total kemenangan pemain adalah jumlah ekspektasi matematisnya di masing-masing tangan. Semakin banyak tangan yang Anda mainkan dengan ekspektasi positif, semakin banyak Anda menang, dan sebaliknya, semakin banyak tangan yang Anda mainkan dengan ekspektasi negatif, semakin banyak Anda kalah. Oleh karena itu, Anda harus memilih permainan yang dapat memaksimalkan antisipasi positif Anda atau meniadakan antisipasi negatif Anda sehingga Anda dapat memaksimalkan kemenangan setiap jamnya.

Ekspektasi matematis positif dalam strategi permainan

Jika Anda tahu cara menghitung kartu, Anda bisa mendapatkan keuntungan dibandingkan kasino jika mereka tidak memperhatikan dan mengusir Anda. Kasino menyukai pemain mabuk dan tidak mentolerir pemain yang menghitung kartu. Keuntungan akan memungkinkan Anda menang lebih banyak daripada kalah seiring waktu. Pengelolaan uang yang baik menggunakan penghitungan nilai yang diharapkan dapat membantu Anda mendapatkan lebih banyak keuntungan dari keunggulan Anda dan mengurangi kerugian Anda. Tanpa keuntungan, lebih baik Anda memberikan uang itu untuk amal. Dalam permainan di bursa, keuntungan diberikan oleh sistem permainan yang menghasilkan keuntungan lebih besar dibandingkan kerugian, selisih harga dan komisi. Pengelolaan uang sebanyak apa pun tidak dapat menyelamatkan sistem permainan yang buruk.

Ekspektasi positif didefinisikan sebagai nilai yang lebih besar dari nol. Semakin besar angkanya, semakin kuat ekspektasi statistiknya. Jika nilainya kurang dari nol, maka ekspektasi matematisnya juga akan negatif. Semakin besar modul nilai negatifnya, semakin buruk situasinya. Jika hasilnya nol, maka penantiannya adalah titik impas. Anda hanya bisa menang jika Anda memiliki ekspektasi matematis yang positif dan sistem permainan yang masuk akal. Bermain berdasarkan intuisi menyebabkan bencana.

Ekspektasi matematis dan perdagangan saham

Ekspektasi matematis adalah indikator statistik yang cukup banyak digunakan dan populer ketika melakukan perdagangan bursa di pasar keuangan. Pertama-tama, parameter ini digunakan untuk menganalisis keberhasilan perdagangan. Tidak sulit untuk menebak bahwa semakin tinggi nilainya, semakin banyak alasan untuk menganggap perdagangan yang dipelajari berhasil. Tentu saja, analisis terhadap pekerjaan seorang trader tidak dapat dilakukan hanya dengan menggunakan parameter ini. Namun, nilai yang dihitung, jika dikombinasikan dengan metode penilaian kualitas pekerjaan lainnya, dapat meningkatkan keakuratan analisis secara signifikan.

Ekspektasi matematis sering kali dihitung dalam layanan pemantauan akun perdagangan, yang memungkinkan Anda mengevaluasi pekerjaan yang dilakukan pada deposit dengan cepat. Pengecualian mencakup strategi yang menggunakan perdagangan “duduk di luar” yang tidak menguntungkan. Seorang pedagang mungkin beruntung untuk beberapa waktu, dan oleh karena itu mungkin tidak ada kerugian sama sekali dalam pekerjaannya. Dalam hal ini tidak mungkin hanya berpedoman pada ekspektasi matematis, karena risiko yang digunakan dalam pekerjaan tidak akan diperhitungkan.

Dalam perdagangan pasar, ekspektasi matematis paling sering digunakan ketika memprediksi profitabilitas strategi perdagangan apa pun atau ketika memprediksi pendapatan pedagang berdasarkan data statistik dari perdagangan sebelumnya.

Berkenaan dengan pengelolaan uang, sangat penting untuk dipahami bahwa ketika melakukan perdagangan dengan ekspektasi negatif, tidak ada skema pengelolaan uang yang pasti dapat mendatangkan keuntungan tinggi. Jika Anda terus bermain di pasar saham dalam kondisi ini, tidak peduli bagaimana Anda mengelola uang Anda, Anda akan kehilangan seluruh akun Anda, tidak peduli seberapa besar awalnya.

Aksioma ini berlaku tidak hanya untuk permainan atau perdagangan dengan ekspektasi negatif, namun juga berlaku untuk permainan dengan peluang yang sama. Oleh karena itu, satu-satunya saat Anda memiliki peluang untuk mendapatkan keuntungan dalam jangka panjang adalah jika Anda melakukan perdagangan dengan nilai ekspektasi positif.

Perbedaan antara ekspektasi negatif dan ekspektasi positif adalah perbedaan antara hidup dan mati. Tidak peduli seberapa positif atau negatif ekspektasi tersebut; Yang penting adalah apakah itu positif atau negatif. Oleh karena itu, sebelum mempertimbangkan pengelolaan uang, Anda harus mencari permainan dengan ekspektasi positif.

Jika Anda tidak memiliki permainan itu, maka semua pengelolaan uang di dunia tidak akan menyelamatkan Anda. Di sisi lain, jika Anda memiliki ekspektasi positif, melalui pengelolaan uang yang tepat, Anda dapat mengubahnya menjadi fungsi pertumbuhan eksponensial. Tidak peduli seberapa kecil harapan positifnya! Dengan kata lain, tidak peduli seberapa menguntungkan sistem perdagangan yang didasarkan pada satu kontrak. Jika Anda memiliki sistem yang memenangkan $10 per kontrak per perdagangan (setelah komisi dan slippage), Anda dapat menggunakan teknik pengelolaan uang untuk membuatnya lebih menguntungkan daripada sistem yang rata-rata $1.000 per perdagangan (setelah dikurangi komisi dan slippage).

Yang penting bukanlah seberapa menguntungkan sistem tersebut, namun seberapa yakin sistem tersebut dapat dikatakan menunjukkan setidaknya keuntungan minimal di masa depan. Oleh karena itu, persiapan terpenting yang dapat dilakukan seorang trader adalah memastikan bahwa sistem akan menunjukkan nilai positif yang diharapkan di masa depan.

Untuk mendapatkan nilai harapan positif di masa depan, sangat penting untuk tidak membatasi derajat kebebasan sistem Anda. Hal ini dicapai tidak hanya dengan menghilangkan atau mengurangi jumlah parameter yang akan dioptimalkan, namun juga dengan mengurangi sebanyak mungkin aturan sistem. Setiap parameter yang Anda tambahkan, setiap aturan yang Anda buat, setiap perubahan kecil yang Anda lakukan pada sistem akan mengurangi jumlah derajat kebebasan. Idealnya, Anda perlu membangun sistem yang cukup primitif dan sederhana yang secara konsisten akan menghasilkan keuntungan kecil di hampir semua pasar. Sekali lagi, penting bagi Anda untuk memahami bahwa tidak masalah seberapa menguntungkan sistem tersebut, yang penting sistem tersebut menguntungkan. Uang yang Anda hasilkan dalam perdagangan akan dihasilkan melalui pengelolaan uang yang efektif.

Sistem perdagangan hanyalah sebuah alat yang memberi Anda nilai positif yang diharapkan sehingga Anda dapat menggunakan pengelolaan uang. Sistem yang berfungsi (menunjukkan setidaknya keuntungan minimal) hanya di satu atau beberapa pasar, atau memiliki aturan atau parameter berbeda untuk pasar berbeda, kemungkinan besar tidak akan berfungsi dalam waktu lama dalam waktu nyata. Masalah dengan sebagian besar pedagang yang berorientasi teknis adalah mereka menghabiskan terlalu banyak waktu dan tenaga untuk mengoptimalkan berbagai aturan dan nilai parameter sistem perdagangan. Ini memberikan hasil yang sangat berlawanan. Daripada membuang-buang energi dan waktu komputer untuk meningkatkan keuntungan sistem perdagangan, arahkan energi Anda untuk meningkatkan tingkat keandalan dalam memperoleh keuntungan minimum.

Mengetahui bahwa pengelolaan uang hanyalah permainan angka yang memerlukan penggunaan ekspektasi positif, seorang trader dapat berhenti mencari “cawan suci” dalam perdagangan saham. Sebaliknya, dia bisa mulai menguji metode tradingnya, mencari tahu seberapa logis metode ini, dan apakah memberikan ekspektasi positif. Metode pengelolaan uang yang tepat, yang diterapkan pada metode perdagangan apa pun, bahkan yang sangat biasa-biasa saja, akan melakukan sisanya dengan sendirinya.

Agar sukses dalam pekerjaannya, setiap trader perlu menyelesaikan tiga tugas terpenting: . Untuk memastikan bahwa jumlah transaksi yang berhasil melebihi kesalahan dan kesalahan perhitungan yang tidak dapat dihindari; Atur sistem perdagangan Anda sehingga Anda mempunyai kesempatan untuk menghasilkan uang sesering mungkin; Raih hasil positif yang stabil dari operasi Anda.

Dan di sini, bagi kami trader yang bekerja, ekspektasi matematis bisa sangat membantu. Istilah ini adalah salah satu istilah kunci dalam teori probabilitas. Dengan bantuannya, Anda dapat memberikan perkiraan rata-rata dari beberapa nilai acak. Ekspektasi matematis dari variabel acak mirip dengan pusat gravitasi jika kita membayangkan semua kemungkinan yang mungkin sebagai titik dengan massa berbeda.

Sehubungan dengan strategi perdagangan, ekspektasi matematis atas keuntungan (atau kerugian) paling sering digunakan untuk mengevaluasi efektivitasnya. Parameter ini didefinisikan sebagai jumlah produk pada tingkat keuntungan dan kerugian tertentu serta kemungkinan terjadinya. Misalnya, strategi perdagangan yang dikembangkan mengasumsikan bahwa 37% dari semua transaksi akan menghasilkan keuntungan, dan sisanya - 63% - tidak menguntungkan. Pada saat yang sama, pendapatan rata-rata dari transaksi yang berhasil adalah $7, dan kerugian rata-rata adalah $1,4. Mari kita hitung ekspektasi matematis dari perdagangan menggunakan sistem ini:

Apa arti dari angka ini? Dikatakan bahwa, dengan mengikuti aturan sistem ini, rata-rata kami akan menerima $1,708 dari setiap transaksi yang ditutup. Karena peringkat efisiensi yang dihasilkan lebih besar dari nol, sistem seperti ini dapat digunakan untuk pekerjaan nyata. Jika, sebagai hasil perhitungan, ekspektasi matematisnya ternyata negatif, maka ini sudah menunjukkan kerugian rata-rata dan perdagangan tersebut akan menyebabkan kehancuran.

Besarnya keuntungan per transaksi juga dapat dinyatakan sebagai nilai relatif dalam bentuk %. Misalnya:

– persentase pendapatan per 1 transaksi - 5%;

– persentase operasi perdagangan yang sukses - 62%;

– persentase kerugian per 1 transaksi - 3%;

– persentase transaksi yang gagal - 38%;

Artinya, rata-rata perdagangan akan menghasilkan 1,96%.

Ada kemungkinan untuk mengembangkan sistem yang, meskipun terdapat dominasi perdagangan yang tidak menguntungkan, akan menghasilkan hasil yang positif, karena MO>0.

Namun menunggu saja tidak cukup. Sulit menghasilkan uang jika sistem memberikan sedikit sinyal perdagangan. Dalam hal ini profitabilitasnya akan sebanding dengan bunga bank. Biarkan setiap operasi menghasilkan rata-rata hanya 0,5 dolar, tapi bagaimana jika sistem melibatkan 1000 operasi per tahun? Ini akan menjadi jumlah yang sangat besar dalam waktu yang relatif singkat. Oleh karena itu secara logis ciri khas lain dari sistem perdagangan yang baik adalah jangka waktu memegang posisi yang singkat.

Sumber dan tautan

dic.academic.ru – kamus online akademik

math.ru – situs web pendidikan matematika

nsu.ru – situs pendidikan Universitas Negeri Novosibirsk

webmath.ru adalah portal pendidikan untuk siswa, pelamar, dan anak sekolah.

exponenta.ru situs web matematika pendidikan

ru.tradimo.com – sekolah perdagangan online gratis

crypto.hut2.ru – sumber informasi multidisiplin

poker-wiki.ru – ensiklopedia poker gratis

sernam.ru – Perpustakaan ilmiah publikasi ilmu alam pilihan

reshim.su – situs web KAMI AKAN MEMECAHKAN masalah tugas ujian

unfx.ru – Forex di UNFX: pelatihan, sinyal perdagangan, manajemen kepercayaan

slovopedia.com – Kamus Ensiklopedis Besar Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Panduan Anda dalam dunia poker

statanaliz.info – blog informasi “Analisis data statistik”

forex-trader.rf – Portal Pedagang Forex

megafx.ru – analisis Forex terkini

fx-by.com – segalanya untuk trader

Dalam teori probabilitas dan banyak penerapannya, berbagai karakteristik numerik dari variabel acak sangatlah penting. Yang utama adalah ekspektasi dan varians matematis.

1. Ekspektasi matematis dari suatu variabel acak dan sifat-sifatnya.

Mari kita perhatikan contoh berikut terlebih dahulu. Biarkan pabrik menerima batch yang terdiri dari N bantalan. Di mana:

m 1 x 1,
m 2- jumlah bantalan dengan diameter luar x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M N- jumlah bantalan dengan diameter luar xn,

Di Sini m 1 +m 2 +...+m n =N. Mari kita cari mean aritmatikanya x rata-rata diameter luar bantalan. Jelas sekali,
Diameter luar bantalan yang diambil secara acak dapat dianggap sebagai variabel acak yang mengambil nilainya x 1, x 2, ..., xn, dengan probabilitas yang sesuai hal 1 =m 1 /N, hal 2 =m 2 /N, ..., p n =m n /T, karena kemungkinannya pi saya penampilan bantalan dengan diameter luar x saya sama dengan saya /T. Jadi, mean aritmatika x rata-rata Diameter luar bantalan dapat ditentukan dengan menggunakan relasi
Misalkan adalah variabel acak diskrit dengan hukum distribusi probabilitas tertentu

Harapan matematis variabel acak diskrit adalah jumlah produk berpasangan dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dengan probabilitas yang sesuai, mis. *
Dalam hal ini, diasumsikan bahwa integral tak wajar pada ruas kanan persamaan (40) ada.

Mari kita perhatikan sifat-sifat ekspektasi matematis. Dalam hal ini, kita akan membatasi diri pada pembuktian hanya dua sifat pertama, yang akan kita lakukan untuk variabel acak diskrit.

1°. Ekspektasi matematis dari konstanta C sama dengan konstanta ini.
Bukti. Konstan C dapat dianggap sebagai variabel acak yang hanya dapat mengambil satu nilai C dengan probabilitas sama dengan satu. Itu sebabnya

2°. Faktor konstanta dapat diambil melampaui tanda ekspektasi matematis, yaitu
Bukti. Menggunakan relasi (39), kita punya

3°. Ekspektasi matematis dari jumlah beberapa variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari variabel-variabel tersebut:

Penyebaran variabel acak kontinu X, yang kemungkinan nilainya dimiliki oleh seluruh sumbu Ox, ditentukan oleh persamaan:

Tujuan layanan. Kalkulator online dirancang untuk memecahkan masalah yang mana pun kepadatan distribusi f(x) atau fungsi distribusi F(x) (lihat contoh). Biasanya dalam tugas seperti itu Anda perlu menemukannya ekspektasi matematis, simpangan baku, plot grafik fungsi f(x) dan F(x).

instruksi. Pilih jenis data sumber: kepadatan distribusi f(x) atau fungsi distribusi F(x).

Kepadatan distribusi f(x) diberikan:

Fungsi distribusi F(x) diberikan:

Variabel acak kontinu ditentukan oleh kepadatan probabilitas
(Hukum distribusi Rayleigh - digunakan dalam teknik radio). Temukan M(x) , D(x) .

Variabel acak X disebut kontinu , jika fungsi distribusinya F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Fungsi distribusi variabel acak kontinu digunakan untuk menghitung peluang suatu variabel acak jatuh ke dalam interval tertentu:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Selain itu, untuk variabel acak kontinu, tidak menjadi masalah apakah batas-batasnya termasuk dalam interval ini atau tidak:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Kepadatan distribusi variabel acak kontinu disebut fungsi
f(x)=F’(x) , turunan dari fungsi distribusi.

Sifat kepadatan distribusi