Fungsi irasional. Cara grafis untuk menyelesaikan persamaan irasional

Materi metodologi ini hanya untuk referensi dan mengacu pada berbagai topik. Artikel ini memberikan gambaran umum tentang grafik fungsi dasar utama dan mempertimbangkan masalah yang paling penting - bagaimana membangun grafik dengan benar dan CEPAT... Dalam proses mempelajari matematika tingkat tinggi tanpa mengetahui grafik fungsi dasar akan sulit, oleh karena itu sangat penting untuk mengingat bagaimana grafik parabola, hiperbola, sinus, cosinus, dll., Untuk mengingat beberapa nilai fungsi. Kami juga akan berbicara tentang beberapa properti dari fungsi utama.

Saya tidak berpura-pura dengan kelengkapan dan soliditas ilmiah dari materi, penekanannya akan dibuat, pertama-tama, dalam praktik - hal-hal yang dengannya seseorang harus menghadapi secara harfiah di setiap langkah, dalam topik matematika yang lebih tinggi... Grafik untuk boneka? Bisa dibilang begitu.

Dengan permintaan populer dari pembaca daftar isi yang dapat diklik:

Selain itu, ada sinopsis ultra pendek tentang topik tersebut
- kuasai 16 jenis grafik dengan memeriksa ENAM halaman!

Serius, enam tahun, bahkan aku kaget. Sinopsis ini berisi grafik yang ditingkatkan dan tersedia dengan biaya token, versi demo dapat dilihat. Lebih mudah untuk mencetak file sehingga grafik selalu tersedia. Terima kasih telah mendukung proyek ini!

Dan segera kami mulai:

Bagaimana cara memplot sumbu koordinat dengan benar?

Dalam praktiknya, ujian hampir selalu dibuat oleh siswa dalam buku catatan terpisah yang dilapisi dalam sangkar. Mengapa Anda membutuhkan garis kotak-kotak? Bagaimanapun, pekerjaan pada prinsipnya bisa dilakukan pada lembar A4. Dan kandang diperlukan hanya untuk desain gambar yang berkualitas tinggi dan akurat.

Gambar grafik dari suatu fungsi dimulai dengan sumbu koordinat.

Gambarnya 2D dan 3D.

Pertimbangkan dulu kasus dua dimensi sistem koordinat persegi panjang kartesian:

1) Kami menggambar sumbu koordinat. Sumbu disebut absis dan porosnya adalah ordinat ... Kami selalu mencoba menggambar mereka rapi dan tidak bengkok... Anak panah juga tidak boleh menyerupai janggut Papa Carlo.

2) Kami menandatangani sumbu dengan huruf kapital "X" dan "Y". Jangan lupa untuk menandatangani sumbu.

3) Atur skala di sepanjang sumbu: gambar nol dan dua orang... Saat membuat gambar, skala yang paling nyaman dan umum adalah: 1 unit \u003d 2 sel (gambar di sebelah kiri) - jika memungkinkan, pertahankan. Namun, dari waktu ke waktu terjadi gambar yang tidak muat pada lembar notebook - maka kami mengurangi skala: 1 unit \u003d 1 sel (gambar di sebelah kanan). Jarang, tetapi kebetulan skala gambar harus dikurangi (atau ditingkatkan) lebih banyak lagi

TIDAK PERLU "mencoret-coret dari senapan mesin" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Karena bidang koordinat bukanlah monumen bagi Descartes, dan siswa bukanlah burung merpati. Kami meletakkan nol dan dua unit di sepanjang sumbu... Terkadang sebagai gantinya unit, akan lebih mudah untuk "menandai" nilai-nilai lain, misalnya, "dua" pada absis dan "tiga" pada ordinat - dan sistem ini (0, 2 dan 3) juga akan secara unik mengatur kisi koordinat.

Lebih baik memperkirakan perkiraan dimensi gambar SEBELUM gambar dibuat.... Jadi, misalnya, jika tugas mengharuskan Anda menggambar segitiga dengan simpul ,,, maka cukup jelas bahwa skala populer 1 unit \u003d 2 sel tidak akan berfungsi. Mengapa? Mari kita lihat intinya - di sini Anda harus mengukur lima belas sentimeter ke bawah, dan, jelas, gambar itu tidak akan muat (atau hampir tidak muat) di lembar buku catatan. Oleh karena itu, kami segera memilih skala yang lebih kecil 1 unit \u003d 1 sel.

Ngomong-ngomong, sekitar sentimeter dan sel notebook. Benarkah 30 sel tetrad mengandung 15 sentimeter? Ukur di buku catatan untuk bunga 15 sentimeter dengan penggaris. Di Uni Soviet, mungkin ini benar ... Sangat menarik untuk dicatat bahwa jika Anda mengukur sentimeter ini secara horizontal dan vertikal, hasilnya (dalam sel) akan berbeda! Tegasnya, notebook modern tidak berbentuk kotak-kotak, melainkan persegi panjang. Mungkin ini tampak tidak masuk akal, tetapi menggambar, misalnya, lingkaran dengan kompas dalam tata letak seperti itu sangat merepotkan. Sejujurnya, pada saat-saat seperti itu Anda mulai berpikir tentang kebenaran Kamerad Stalin, yang dikirim ke kamp-kamp untuk pekerjaan hack dalam produksi, belum lagi industri otomotif dalam negeri, pesawat jatuh atau pembangkit listrik yang meledak.

Berbicara tentang kualitas, atau rekomendasi singkat untuk alat tulis. Hari ini, sebagian besar notebook dijual, bukan untuk mengatakan kata-kata buruk, penuh dengan homoseksualitas. Karena mereka basah, dan tidak hanya dari pena gel, tetapi juga dari pulpen! Mereka menghemat kertas. Untuk pendaftaran tes, saya sarankan untuk menggunakan notebook dari PPM Arkhangelsk (18 lembar, kotak) atau "Pyaterochka", namun lebih mahal. Dianjurkan untuk memilih pena gel, bahkan isi ulang gel Cina termurah jauh lebih baik daripada pena bolpoin, yang dapat melumuri atau merobek kertas. Satu-satunya pulpen yang "kompetitif" dalam ingatan saya adalah "Erich Krause". Dia menulis dengan jelas, indah dan stabil - baik dengan batang penuh atau dengan batang yang hampir kosong.

Selain itu: Melihat sistem koordinat persegi panjang melalui mata geometri analitik tercakup dalam artikel Ketergantungan linear (non) vektor. Dasar vektor, informasi rinci tentang koordinat kuarter dapat ditemukan di paragraf kedua pelajaran Ketidaksetaraan linier.

Kasus 3D

Hampir sama di sini.

1) Kami menggambar sumbu koordinat. Standar: sumbu berlaku - mengarah ke atas, sumbu - mengarah ke kanan, sumbu - kiri dan bawah dengan ketat pada sudut 45 derajat.

2) Kami menandatangani sumbu.

3) Atur skala di sepanjang sumbu. Skala sumbu - setengah dari ukuran sumbu lainnya... Perhatikan juga bahwa pada gambar di sebelah kanan saya telah menggunakan "serif" non-standar di sepanjang sumbu (kemungkinan ini telah disebutkan di atas)... Dari sudut pandang saya, ini lebih akurat, lebih cepat dan lebih estetis - tidak perlu mencari bagian tengah sel di bawah mikroskop dan "memahat" unit tepat di sebelah asalnya.

Saat melakukan gambar 3D, sekali lagi - berikan prioritas pada skala
1 unit \u003d 2 sel (gambar di sebelah kiri).

Untuk apa semua aturan ini? Aturan ada untuk dilanggar. Apa yang akan saya lakukan sekarang. Faktanya adalah bahwa gambar artikel selanjutnya akan saya buat di Excel, dan sumbu koordinat akan terlihat salah dari sudut pandang desain yang benar. Saya bisa menggambar semua grafik dengan tangan, tetapi menggambarnya sebenarnya mengerikan karena Excel akan menggambarnya dengan lebih akurat.

Grafik dan sifat dasar fungsi dasar

Fungsi linier diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi linier adalah lurus... Untuk membangun garis lurus, cukup mengetahui dua titik.

Contoh 1

Plot fungsinya. Mari temukan dua poin. Adalah menguntungkan untuk memilih nol sebagai salah satu poin.

Jika kemudian

Kami mengambil beberapa poin lain, misalnya, 1.

Jika kemudian

Saat mengisi tugas, koordinat titik biasanya ditabulasikan:

Dan nilainya sendiri dihitung secara lisan atau pada konsep, kalkulator.

Dua poin ditemukan, mari jalankan gambar:

Saat menggambar, kami selalu menandatangani grafik.

Tidak akan berlebihan untuk mengingat kasus khusus dari fungsi linier:

Perhatikan bagaimana saya mengatur tanda tangan, tanda tangan tidak boleh membiarkan perbedaan saat mempelajari gambar... Dalam kasus ini, sangat tidak diinginkan untuk memberi tanda tangan di dekat titik perpotongan garis, atau di kanan bawah di antara grafik.

1) Fungsi linier dari bentuk () disebut proporsionalitas langsung. Contohnya, . Grafik proporsional langsung selalu melewati titik awal. Jadi, konstruksi garis lurus disederhanakan - cukup untuk menemukan hanya satu titik.

2) Persamaan bentuk mengatur garis lurus sejajar dengan sumbu, khususnya, sumbu itu sendiri diatur oleh persamaan. Grafik fungsi segera dibuat, tanpa menemukan titik apa pun. Artinya, record harus dipahami sebagai berikut: "game selalu sama dengan –4, untuk nilai x berapa pun".

3) Persamaan bentuk mengatur garis lurus yang sejajar dengan sumbu, khususnya, sumbu itu sendiri ditentukan oleh persamaan. Grafik fungsi juga segera dibuat. Notasi harus dipahami sebagai berikut: "x selalu, untuk setiap nilai y, sama dengan 1".

Beberapa akan bertanya, nah, mengapa ingat kelas 6?! Jadi, mungkin demikian, hanya selama bertahun-tahun praktik, saya bertemu dengan belasan siswa yang bingung dengan tugas membuat grafik seperti atau.

Menggambar garis lurus adalah tindakan paling umum dalam menggambar.

Garis lurus dibahas secara rinci dalam kursus geometri analitik, dan mereka yang ingin dapat merujuk ke artikel Persamaan garis lurus pada bidang.

Kuadrat, grafik fungsi kubik, grafik polinomial

Parabola. Grafik fungsi kuadrat () adalah parabola. Pertimbangkan kasus terkenal:

Mari kita mengingat kembali beberapa properti dari fungsi tersebut.

Jadi, solusi untuk persamaan kita: - pada titik inilah titik puncak parabola berada. Mengapa demikian, Anda dapat belajar dari artikel teoritis tentang turunan dan pelajaran tentang ekstrema suatu fungsi. Sementara itu, kami menghitung nilai yang sesuai dari "game":

Jadi puncaknya ada di titik

Sekarang kita menemukan titik lain, sementara dengan berani menggunakan simetri parabola. Perlu diperhatikan bahwa fungsinya – tidak genapNamun demikian, kesimetrisan parabola belum dibatalkan.

Dalam urutan apa untuk menemukan poin yang tersisa, saya pikir, akan jelas dari tabel terakhir:

Algoritma konstruksi ini dapat secara kiasan disebut prinsip "pesawat ulang-alik" atau "bolak-balik" dengan Anfisa Chekhova.

Mari jalankan gambarnya:

Satu lagi tanda berguna muncul dari grafik yang diperiksa:

Untuk fungsi kuadrat () berikut ini benar:

Jika, maka cabang parabola mengarah ke atas.

Jika, maka cabang parabola mengarah ke bawah.

Pengetahuan mendalam tentang kurva dapat diperoleh di pelajaran Hiperbola dan Parabola.

Parabola kubik diberikan oleh sebuah fungsi. Ini gambar yang familiar dari sekolah:

Kami mencantumkan properti utama fungsi

Grafik fungsi

Ini mewakili salah satu cabang parabola. Mari jalankan gambarnya:

Properti utama fungsi:

Dalam hal ini, sumbu adalah asimtot vertikal untuk grafik hiperbola di.

Ini akan menjadi kesalahan BESAR jika Anda lalai mengizinkan perpotongan grafik dengan asimtot saat menggambar.

Juga batas satu sisi memberitahu kita bahwa hiperbola tidak dibatasi dari atas dan tidak dibatasi dari bawah.

Mari kita periksa fungsi pada tak terhingga: yaitu, jika kita mulai bergerak sepanjang sumbu ke kiri (atau ke kanan) hingga tak terhingga, maka "permainan" akan menjadi sangat dekat mendekati nol, dan, karenanya, cabang dari hiperbola sangat dekat mendekati sumbu.

Jadi porosnya asimtot horizontal untuk grafik fungsi, jika "x" cenderung plus atau minus tak terhingga.

Fungsinya adalah aneh, dan, karenanya, hiperbola simetris tentang asalnya. Fakta ini terlihat jelas dari gambar, selain itu, mudah diperiksa secara analitik: .

Grafik dari fungsi bentuk () mewakili dua cabang hiperbola.

Jika, maka hiperbola berada di koordinat pertama dan ketiga (lihat gambar di atas).

Jika, maka hiperbola berada pada koordinat kuarter kedua dan keempat.

Keteraturan yang ditunjukkan dari tempat tinggal hiperbola mudah dianalisis dari sudut pandang transformasi geometris grafik.

Contoh 3

Buatlah cabang kanan hiperbola

Kami menggunakan metode konstruksi titik-demi-titik, sementara itu menguntungkan untuk memilih nilai sehingga dibagi seluruhnya:

Mari jalankan gambarnya:

Tidak akan sulit untuk membangun cabang kiri dari hiperbola, di sini fungsi ganjil hanya akan membantu. Secara kasar, dalam tabel konstruksi poin demi poin, secara mental tambahkan minus ke setiap angka, letakkan poin yang sesuai dan gambar cabang kedua.

Informasi geometris terperinci tentang garis yang dipertimbangkan dapat ditemukan di artikel Hiperbola dan Parabola.

Grafik fungsi eksponensial

Pada bagian ini, saya akan segera mempertimbangkan fungsi eksponensial, karena dalam masalah matematika yang lebih tinggi dalam 95% kasus itu adalah eksponensial yang terjadi.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa - ini adalah bilangan irasional: ini akan diperlukan saat membuat grafik, yang sebenarnya akan saya buat tanpa upacara. Tiga poin mungkin cukup:

Mari kita tinggalkan grafik fungsi untuk saat ini, lebih banyak lagi nanti.

Properti utama fungsi:

Pada prinsipnya, grafik fungsi terlihat sama, dll.

Saya harus mengatakan bahwa kasus kedua kurang umum dalam praktiknya, tetapi memang terjadi, jadi saya merasa perlu untuk memasukkannya ke dalam artikel ini.

Grafik fungsi logaritmik

Pertimbangkan fungsi dengan logaritma natural.
Mari kita jalankan gambar poin demi poin:

Jika Anda lupa apa itu logaritma, silakan merujuk ke buku teks sekolah Anda.

Properti utama fungsi:

Domain:

Jarak nilai:.

Fungsinya tidak dibatasi dari atas: , meskipun lambat, tetapi cabang logaritma naik hingga tak terbatas.
Mari kita periksa perilaku fungsi mendekati nol di sebelah kanan: ... Jadi porosnya asimtot vertikal untuk grafik fungsi dengan "x" cenderung ke nol di sebelah kanan.

Sangat penting untuk mengetahui dan mengingat nilai khas dari logaritma: .

Pada prinsipnya grafik dari logaritma basis terlihat sama: ,, (logaritma desimal basis 10), dll. Selain itu, semakin besar alasnya, semakin datar grafiknya.

Kami tidak akan mempertimbangkan kasusnya, karena alasan tertentu saya tidak ingat kapan terakhir kali saya membuat grafik dengan dasar seperti itu. Dan logaritma tampaknya menjadi tamu yang sangat langka dalam masalah matematika tingkat tinggi.

Sebagai penutup paragraf, saya akan mengatakan satu fakta lagi: Fungsi eksponensial dan fungsi logaritmikAdalah dua fungsi yang saling terbalik... Jika Anda melihat lebih dekat pada grafik logaritma, Anda dapat melihat bahwa ini adalah eksponen yang sama, hanya saja letaknya sedikit berbeda.

Grafik fungsi trigonometri

Bagaimana siksaan trigonometri di sekolah dimulai? Benar. Dari sinus

Mari kita plot fungsinya

Baris ini disebut sinusoid.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa "pi" adalah bilangan irasional :, dan dalam trigonometri, ia menyilaukan mata.

Properti utama fungsi:

Fungsi ini berkala dengan suatu periode. Apa artinya? Mari kita lihat segmennya. Di sebelah kiri dan kanannya, potongan grafik yang persis sama diulang tanpa henti.

Domain:, yaitu, untuk setiap nilai "x" ada nilai sinus.

Jarak nilai:. Fungsinya adalah terbatas:, yaitu, semua "pemain" duduk dengan ketat di segmen tersebut.
Ini tidak terjadi: atau, lebih tepatnya, itu terjadi, tetapi persamaan ini tidak memiliki solusi.

"Mengubah grafik fungsi" - Peregangan. Simetri. Perbaiki plotting fungsi menggunakan transformasi grafik dari fungsi dasar. Merencanakan fungsi kompleks. Pekerjaan mandiri Opsi 1 Opsi 2. Transfer paralel. Tetapkan fungsi untuk setiap grafik. Mengonversi grafik fungsi. Mari pertimbangkan contoh transformasi, jelaskan setiap jenis transformasi.

"Persamaan irasional" - Algoritma untuk memecahkan persamaan. Sejarah angka yang tidak masuk akal. Langkah apa dalam menyelesaikan persamaan yang mengarah pada munculnya akar tambahan. "Pelajaran-diskusi". Temukan kesalahannya. Pengantar. "Melalui persamaan, teorema, saya telah memecahkan banyak masalah." Selama kelas. Dalam perselisihan, penghinaan, celaan, niat buruk sehubungan dengan teman sekelas mereka tidak dapat diterima.

"Grafik suatu fungsi" - Jika fungsi linier diberikan dengan rumus berbentuk y \u003d kx, yaitu, b \u003d 0, itu disebut proporsionalitas langsung. Jika fungsi linier diberikan dengan rumus y \u003d b, yaitu k \u003d 0, maka grafiknya melewati titik dengan koordinat (b; 0) sejajar dengan sumbu OX. Fungsi. Fungsi linier adalah fungsi yang dapat didefinisikan dengan rumus y \u003d kx + b, di mana x adalah variabel bebas, k dan b adalah beberapa bilangan.

Bagaimana cara merencanakan fungsi linier? - Nilai y dimana x \u003d 3. Konsolidasi materi yang dilewati. Tema metodis. Plotkan fungsi linier y \u003d -3x + 6. - Tentukan properti dari fungsi yang diberikan. Periksa: Siswa di papan tulis. Menjelajahi fungsi. Ditulis dengan verifikasi. Dalam lingkup kurikulum sekolah.

"Grafik dari fungsi Y X" - Contoh 1. Mari kita buat grafik dari fungsi y \u003d (x - 2) 2, dengan mengandalkan grafik dari fungsi y \u003d x2 (klik mouse). Klik untuk melihat grafik. Contoh 2. Mari kita buat grafik dari fungsi y \u003d x2 + 1, dengan mengandalkan grafik dari fungsi y \u003d x2 (klik mouse). Pola parabola y \u003d x2. Grafik fungsi y \u003d (x - m) 2 adalah parabola dengan puncak pada titik (m; 0).

"Persamaan dan pertidaksamaan irasional" - Metode penyelesaian. 3. Pengenalan variabel pembantu. 1. Eksponensial. Persamaan irasional Metode solusi. Persamaan dan pertidaksamaan irasional. 2. Perkalian dengan ekspresi konjugasi. 4. Memilih kotak lengkap di bawah tanda akar. 6. Metode grafis. Ketimpangan irasional.

Pengetahuan fungsi dasar dasar, sifat dan grafiknya tidak kalah pentingnya dengan mengetahui tabel perkalian. Mereka seperti sebuah yayasan, semuanya didasarkan pada mereka, semuanya dibangun dari mereka dan semuanya turun kepada mereka.

Pada artikel ini kita akan mendaftar semua fungsi dasar, memberikan grafiknya dan memberikannya tanpa penurunan dan pembuktian. sifat fungsi dasar dasar menurut skema:

• perilaku fungsi pada batas-batas domain definisi, asimtot vertikal (jika perlu, lihat artikel tentang klasifikasi breakpoints suatu fungsi);
• genap dan ganjil;
• interval konveksitas (konveksitas ke atas) dan cekung (konveksitas ke bawah), titik belok (jika perlu, lihat artikel konveksitas suatu fungsi, arah konveksitas, titik infleksi, kondisi konveksitas dan infleksi);
• asimtot miring dan horizontal;
• poin fungsi khusus;
• properti khusus dari beberapa fungsi (misalnya, periode positif terkecil untuk fungsi trigonometri).

Jika Anda tertarik pada atau, Anda dapat pergi ke bagian teori ini.

Fungsi Dasar Dasar adalah: fungsi konstanta (konstanta), akar derajat ke-n, fungsi daya, eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometri dan invers trigonometri.

Navigasi halaman.

Fungsi permanen.

Fungsi konstanta ditentukan pada himpunan semua bilangan real dengan rumus, di mana C adalah bilangan real. Fungsi konstanta menetapkan ke setiap nilai riil dari variabel bebas x nilai yang sama dari variabel terikat y - nilai C. Fungsi konstanta juga disebut konstanta.

Grafik fungsi konstanta berupa garis lurus yang sejajar dengan sumbu absis dan melewati suatu titik dengan koordinat (0, C). Sebagai contoh, kami akan menunjukkan grafik fungsi konstan y \u003d 5, y \u003d -2 dan, yang masing-masing sesuai dengan garis hitam, merah dan biru pada gambar di bawah.

Properti fungsi konstan.

• Cakupan: seluruh rangkaian bilangan real.
• Fungsi konstanta genap.
• Rentang nilai: satu set yang terdiri dari satu angka C.
• Fungsi konstanta bersifat non-naik dan non-menurun (itulah sebabnya ia konstan).
• Tidak masuk akal untuk berbicara tentang konveksitas dan cekung konstanta.
• Tidak ada asimtot.
• Fungsi tersebut melewati titik (0, C) dari bidang koordinat.

Akar ke-n.

Pertimbangkan fungsi dasar dasar, yang diberikan oleh rumus, di mana n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu.

Akar ke-n, n adalah bilangan genap.

Mari kita mulai dengan fungsi akar ke-n untuk nilai genap eksponen dari akar n.

Misalnya, kami memberikan gambar dengan gambar grafik fungsi dan, mereka sesuai dengan garis hitam, merah dan biru.

Grafik fungsi akar derajat genap memiliki bentuk yang sama untuk nilai indikator lainnya.

Properti dari fungsi root ke n bahkan untuk n.

Akar ke-n, n adalah bilangan ganjil.

Fungsi akar ke-n dengan eksponen ganjil dari akar n didefinisikan pada seluruh rangkaian bilangan real. Misalnya, kami akan memberikan grafik fungsi dan, mereka sesuai dengan kurva hitam, merah dan biru.

Untuk nilai ganjil eksponen akar lainnya, grafik fungsi tersebut akan memiliki tampilan yang serupa.

Properti dari fungsi akar ke n untuk ganjil n.

Fungsi daya.

Fungsi pangkat diberikan oleh rumus bentuk.

Perhatikan bentuk grafik dari fungsi pangkat dan sifat dari fungsi pangkat tergantung pada nilai eksponennya.

Mari kita mulai dengan fungsi pangkat dengan eksponen integer a. Dalam hal ini, bentuk grafik fungsi pangkat dan sifat fungsinya bergantung pada genap atau ganjil eksponen, serta tandanya. Oleh karena itu, pertama-tama kita pertimbangkan fungsi pangkat untuk nilai positif ganjil dari eksponen a, kemudian untuk eksponen positif genap, kemudian untuk eksponen negatif ganjil, dan, akhirnya, untuk eksponen negatif genap a.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen pecahan dan irasional (serta bentuk grafik dari fungsi pangkat tersebut) bergantung pada nilai eksponen a. Mereka akan dipertimbangkan, pertama, dengan a dari nol ke satu, kedua, saat a adalah unit besar, ketiga, saat a dari minus satu ke nol, dan keempat, saat a kurang dari minus satu.

Untuk menyimpulkan bagian ini, untuk kelengkapan, kami menjelaskan fungsi pangkat dengan eksponen nol.

Fungsi pangkat dengan eksponen positif ganjil.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen positif ganjil, yaitu, dengan a \u003d 1,3,5,….

Gambar dibawah menunjukkan grafik fungsi power-law - garis hitam, - garis biru, - garis merah, - garis hijau. Untuk a \u003d 1 yang kita miliki fungsi linear y \u003d x.

Properti fungsi pangkat dengan eksponen positif ganjil.

Fungsi daya dengan eksponen positif genap.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen positif genap, yaitu, dengan a \u003d 2,4,6,….

Sebagai contoh, kami akan memberikan grafik fungsi daya - garis hitam, - garis biru, - garis merah. Untuk a \u003d 2 kita memiliki fungsi kuadrat yang grafiknya adalah parabola kuadrat.

Properti fungsi pangkat dengan eksponen positif genap.

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif ganjil.

Perhatikan grafik fungsi pangkat untuk nilai negatif ganjil eksponen, yaitu untuk a \u003d -1, -3, -5,….

Gambar menunjukkan grafik fungsi daya sebagai contoh - garis hitam, - garis biru, - garis merah, - garis hijau. Untuk a \u003d -1 kita punya proporsi terbalikyang grafiknya hiperbola.

Properti fungsi pangkat dengan eksponen negatif ganjil.

Fungsi daya dengan eksponen negatif genap.

Mari kita beralih ke fungsi pangkat untuk a \u003d -2, -4, -6,….

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi daya - garis hitam, - garis biru, - garis merah.

Properti fungsi pangkat dengan eksponen negatif genap.

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional, yang nilainya lebih besar dari nol dan kurang dari satu.

Catatan! Jika a adalah pecahan positif dengan penyebut ganjil, maka beberapa penulis menganggap interval sebagai domain definisi fungsi pangkat. Pada saat yang sama, ditetapkan bahwa eksponen a adalah pecahan yang tidak dapat direduksi. Sekarang penulis banyak buku teks tentang aljabar dan prinsip-prinsip analisis JANGAN MENENTUKAN fungsi pangkat dengan eksponen dalam bentuk pecahan dengan penyebut ganjil untuk nilai negatif argumen. Kami akan mengikuti pandangan seperti itu, yaitu, kami akan mempertimbangkan domain definisi fungsi pangkat dengan eksponen positif pecahan dari himpunan. Kami mendorong siswa untuk mengetahui perspektif guru Anda tentang poin sensitif ini untuk menghindari perselisihan.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional a, dan.

Berikut adalah grafik fungsi daya untuk a \u003d 11/12 (garis hitam), a \u003d 5/7 (garis merah), (garis biru), a \u003d 2/5 (garis hijau).

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional non-integer lebih besar dari satu.

Pertimbangkan fungsi kekuatan dengan eksponen rasional atau irasional nonbilangan bulat a, dan.

Mari kita sajikan grafik fungsi pangkat yang diberikan oleh rumus (garis hitam, merah, biru dan hijau, masing-masing).

Untuk nilai eksponen a lainnya, grafik fungsinya akan terlihat serupa.

Properti fungsi daya untuk.

Fungsi pangkat dengan eksponen nyata lebih besar dari minus satu dan kurang dari nol.

Catatan! Jika a adalah pecahan negatif dengan penyebut ganjil, maka beberapa penulis mempertimbangkan intervalnya ... Pada saat yang sama, ditetapkan bahwa eksponen a adalah pecahan yang tidak dapat direduksi. Sekarang penulis banyak buku teks tentang aljabar dan prinsip-prinsip analisis JANGAN MENENTUKAN fungsi pangkat dengan eksponen dalam bentuk pecahan dengan penyebut ganjil untuk nilai negatif argumen. Kami akan mengikuti pandangan seperti itu, yaitu, kami akan mempertimbangkan domain definisi fungsi daya dengan eksponen negatif pecahan pecahan, masing-masing. Kami mendorong siswa untuk mengetahui perspektif guru Anda tentang poin sensitif ini untuk menghindari perselisihan.

Kami beralih ke fungsi daya, kg.

Untuk mendapatkan gambaran yang baik tentang bentuk grafik fungsi pangkat, kami berikan contoh grafik fungsi (kurva hitam, merah, biru dan hijau, masing-masing).

Sifat fungsi pangkat dengan eksponen a ,.

Fungsi pangkat dengan eksponen riil bukan bilangan bulat kurang dari minus satu.

Mari kita berikan contoh grafik fungsi daya untuk , masing-masing digambarkan dengan garis hitam, merah, biru dan hijau.

Properti fungsi pangkat dengan eksponen negatif bukan bilangan bulat kurang dari minus satu.

Ketika a \u003d 0 dan kita memiliki fungsi - ini adalah garis lurus dari mana titik (0; 1) dikecualikan (ekspresi 0 0 disepakati untuk tidak menambahkan makna apa pun).

Fungsi eksponensial.

Salah satu fungsi dasar adalah fungsi eksponensial.

Grafik fungsi eksponensial, di mana dan mengambil bentuk yang berbeda, tergantung pada nilai basis a. Mari kita cari tahu.

Pertama, pertimbangkan kasus ketika basis fungsi eksponensial mengambil nilai dari nol menjadi satu, yaitu ,.

Sebagai contoh, kita akan memberikan grafik fungsi eksponensial dengan a \u003d 1/2 - garis biru, a \u003d 5/6 - garis merah. Plot fungsi eksponensial untuk nilai lain dari basis dari interval memiliki bentuk yang serupa.

Properti fungsi eksponensial dengan basis kurang dari satu.

Kita beralih ke kasus ketika basis fungsi eksponensial lebih besar dari satu, yaitu ,.

Sebagai ilustrasi, kami menyajikan grafik fungsi eksponensial - garis biru dan - garis merah. Untuk nilai basis lainnya, yang lebih besar dari satu, grafik fungsi eksponensial akan memiliki tampilan yang serupa.

Properti fungsi eksponensial dengan basis lebih besar dari satu.

Fungsi logaritmik.

Fungsi dasar selanjutnya adalah fungsi logaritmik, dimana ,. Fungsi logaritmik hanya ditentukan untuk nilai positif dari argumen, yaitu untuk.

Grafik fungsi logaritmik mengambil bentuk yang berbeda tergantung pada nilai basis a.

Dalam artikel ini, kami merangkum informasi yang berkaitan dengan konsep matematika penting sebagai fungsi. Kami akan berbicara tentang apa itu fungsi numerik dan apa Anda perlu tahu dan bisa meneliti.

Apa fungsi numerik? Misalkan kita memiliki dua himpunan numerik: X dan Y, dan ada hubungan tertentu antara himpunan ini. Artinya, setiap elemen x dari himpunan X, menurut aturan tertentu, dikaitkan dengan elemen tunggal y dari himpunan Y.

Itu penting setiap elemen x dari himpunan X sesuai dengan satu dan hanya satu elemen y dari himpunan Y.

Aturan yang mengaitkan setiap elemen dari himpunan X dengan satu elemen dari himpunan Y disebut fungsi numerik.

Himpunan X disebut ruang lingkup fungsi.

Himpunan Y disebut kumpulan nilai dari nilai fungsi.

Kesetaraan disebut persamaan fungsi. Dalam persamaan ini - variabel independen, atau argumen fungsi. - variabel tak bebas.

Jika kita mengambil semua pasangan dan menugaskannya ke titik-titik yang sesuai dari bidang koordinat, maka kita dapatkan grafik fungsi. Grafik fungsi adalah representasi grafik dari hubungan antara himpunan X dan Y.

Properti fungsi kita dapat menentukan dengan melihat grafik fungsi, dan sebaliknya, dengan memeriksa kita bisa merencanakannya.

Sifat dasar fungsi.

1. Domain definisi fungsi.

Domain dari fungsi D (y)adalah himpunan dari semua nilai yang dapat diterima dari argumen x (variabel bebas x), yang ekspresi di sisi kanan persamaan fungsinya masuk akal. Dengan kata lain, itu adalah ekspresi.

Untuk dengan grafik fungsi, temukan domain definisinya, nbagaimanapun, pindah dengan kiri ke kanan sepanjang sumbu OX, tuliskan semua interval nilai x di mana ada grafik fungsi tersebut.

2. Himpunan nilai fungsi.

Himpunan nilai fungsi E (y)adalah himpunan dari semua nilai yang dapat diambil variabel dependen y.

Untuk sesuai dengan jadwal fungsi untuk menemukan kumpulan nilainya, perlu, bergerak dari bawah ke atas sepanjang sumbu OY, untuk menuliskan semua interval nilai y di mana terdapat grafik fungsi tersebut.

3. Nol fungsi.

Fungsi nol - ini adalah nilai argumen x yang nilai fungsinya (y) sama dengan nol.

Untuk mencari angka nol dari suatu fungsi, Anda harus menyelesaikan persamaannya. Akar persamaan ini akan menjadi nol dari fungsinya.

Untuk mencari angka nol dari suatu fungsi dari grafiknya, Anda perlu mencari titik perpotongan grafik dengan sumbu OX. Absis dari titik persimpangan akan menjadi nol dari fungsi tersebut.

4. Interval keteguhan fungsi.

Interval tanda konstanta suatu fungsi adalah interval nilai argumen di mana fungsi tersebut mempertahankan tandanya, yaitu, atau.

Mencari , itu perlu untuk menyelesaikan ketidaksetaraan dan.

Mencari interval keteguhan fungsi menurut jadwalnya, Anda perlu

5. Interval monotonisitas fungsi.

Interval monotonisitas suatu fungsi adalah interval nilai dari argumen x, di mana fungsi tersebut bertambah atau berkurang.

Mereka mengatakan bahwa suatu fungsi meningkat pada interval I jika untuk dua nilai argumen yang termasuk dalam interval I sedemikian rupa sehingga relasi berikut berlaku: .

Dengan kata lain, fungsi meningkat dalam interval I, jika nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar.

Untuk menentukan interval kenaikan fungsi sesuai dengan grafik fungsi, perlu, bergerak dari kiri ke kanan di sepanjang garis grafik fungsi, untuk memilih interval nilai argumen x, di mana grafik naik.

Mereka mengatakan bahwa suatu fungsi menurun pada interval I jika untuk dua nilai argumen yang termasuk dalam interval I sedemikian rupa sehingga relasi berikut berlaku: .

Dengan kata lain, fungsi menurun pada interval I, jika nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Untuk menentukan interval penurunan fungsi sesuai dengan grafik fungsi, perlu, bergerak dari kiri ke kanan di sepanjang garis grafik fungsi, untuk memilih interval nilai argumen x, di mana grafik turun.

6. Poin maksimum dan minimum fungsi.

Sebuah titik disebut titik maksimum suatu fungsi jika ada lingkungan I dari titik tersebut sehingga untuk setiap titik x dari lingkungan ini hubungan berikut terpenuhi:

.

Secara grafis, ini berarti bahwa titik dengan absis x_0 berada di atas titik lain dari lingkungan I pada grafik fungsi y \u003d f (x).

Sebuah titik disebut titik minimum dari suatu fungsi jika ada lingkungan I dari titik tersebut sehingga untuk setiap titik x dari lingkungan ini, relasi berikut berlaku:

Secara grafis, ini berarti bahwa titik dengan absis terletak di bawah titik lain dari sekitar grafik I fungsi tersebut.

Kami biasanya menemukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi dengan memeriksa fungsi menggunakan turunannya.

7. Paritas (keanehan) fungsi.

Sebuah fungsi dipanggil bahkan jika dua kondisi terpenuhi:

Dengan kata lain, domain definisi fungsi genap simetris tentang asalnya.

b) Untuk nilai apa pun dari argumen x yang termasuk dalam domain fungsi, relasinya .

Suatu fungsi disebut ganjil jika dua kondisi terpenuhi:

a) Untuk nilai argumen apa pun yang termasuk dalam lingkup fungsi, juga termasuk dalam lingkup fungsi.