Fungsi y=sinx, sifat dan grafik utamanya. Fungsi y = sin x, y = cos x, sifat dan grafiknya - Knowledge Hypermarket Grafik fungsi y sama dengan sinus x

"Sekolah Tinggi Teknologi Layanan Yoshkar-Ola"

Konstruksi dan studi grafik fungsi trigonometri y=sinx dalam spreadsheetMS Unggul

/pengembangan metodologis/

Yoshkar – Ola

Subjek. Konstruksi dan studi grafik fungsi trigonometrikamu = dosa dalam lembar kerja MS Excel

Jenis pelajaran– terintegrasi (mendapatkan pengetahuan baru)

Sasaran:

Tujuan didaktik - mengeksplorasi perilaku grafik fungsi trigonometrikamu= dosatergantung odds menggunakan komputer

Pendidikan:

1. Cari tahu perubahan grafik fungsi trigonometri kamu= dosa X tergantung pada peluang

2. Menampilkan pengenalan teknologi komputer dalam pengajaran matematika, integrasi dua mata pelajaran: aljabar dan ilmu komputer.

3. Mengembangkan keterampilan penggunaan teknologi komputer dalam pembelajaran matematika

4. Memperkuat keterampilan mempelajari fungsi dan membuat grafiknya

Pendidikan:

1. Mengembangkan minat kognitif siswa terhadap disiplin akademik dan kemampuan menerapkan pengetahuannya dalam situasi praktis

2. Mengembangkan kemampuan menganalisis, membandingkan, menonjolkan hal yang pokok

3. Berkontribusi dalam meningkatkan tingkat perkembangan siswa secara keseluruhan

Mendidik :

1. Menumbuhkan kemandirian, ketelitian, dan kerja keras

2. Menumbuhkan budaya dialog

Bentuk pekerjaan dalam pelajaran - digabungkan

Fasilitas dan perlengkapan didaktik:

1. Komputer

2. Proyektor multimedia

4. Selebaran

5. Slide presentasi

Selama kelas

SAYA. Organisasi awal pelajaran

· Menyapa siswa dan tamu

· Suasana hati untuk pelajaran

II. Penetapan tujuan dan aktualisasi topik

Dibutuhkan banyak waktu untuk mempelajari suatu fungsi dan membuat grafiknya, Anda harus melakukan banyak perhitungan yang rumit, ini tidak nyaman, teknologi komputer datang untuk menyelamatkan.

Hari ini kita akan mempelajari cara membuat grafik fungsi trigonometri di lingkungan spreadsheet MS Excel 2007.

Topik pelajaran kita adalah “Membangun dan mempelajari grafik fungsi trigonometri kamu= dosa dalam prosesor tabel"

Dari mata kuliah aljabar kita mengetahui skema mempelajari suatu fungsi dan membuat grafiknya. Mari kita ingat bagaimana melakukan ini.

Geser 2

Skema studi fungsi

1. Domain fungsi (D(f))

2. Rentang fungsi E(f)

3. Penentuan paritas

4. Frekuensi

5. Nol dari fungsi (y=0)

6. Interval tanda konstan (y>0, y<0)

7. Masa-masa monoton

8. Fungsi ekstrem

AKU AKU AKU. Asimilasi utama materi pendidikan baru

Buka MS Excel 2007.

Mari kita gambarkan fungsinya y=sin X

Membangun grafik dalam prosesor spreadsheetMS Unggul 2007

Kami akan memplot grafik fungsi ini pada segmen tersebut X[-2π; 2π]

Kami akan mengambil nilai argumen secara bertahap , untuk membuat grafik lebih akurat.

Karena editor bekerja dengan angka, mari kita ubah radian menjadi angka, dengan mengetahui hal itu P ≈ 3.14 . (tabel terjemahan di handout).

1. Temukan nilai fungsi pada titik tersebut x=-2P. Selebihnya, editor menghitung nilai fungsi terkait secara otomatis.

2. Sekarang kita memiliki tabel dengan nilai argumen dan fungsi. Dengan data ini, kita harus memplot fungsi ini menggunakan Chart Wizard.

3. Untuk membuat grafik, Anda perlu memilih rentang data yang diperlukan, garis dengan argumen dan nilai fungsi

4..jpg" lebar="667" tinggi="236 src=">

Kesimpulannya kami tuliskan di buku catatan (Slide 5)

Kesimpulan. Grafik fungsi berbentuk y=sinx+k diperoleh dari grafik fungsi y=sinx dengan translasi paralel sepanjang sumbu op-amp sebanyak k satuan

Jika k >0, maka grafiknya bergeser ke atas sebanyak k satuan

Jika k<0, то график смещается вниз на k единиц

Konstruksi dan studi tentang fungsi bentukkamu=k*sinx,k- konstanta

Tugas 2. Sedang bekerja Lembar2 menggambar grafik fungsi dalam satu sistem koordinat kamu= dosa kamu=2* dosa, kamu= * dosa, pada interval (-2π; 2π) dan perhatikan bagaimana tampilan grafiknya berubah.

(Agar tidak menyetel ulang nilai argumen, mari salin nilai yang ada. Sekarang Anda perlu menyetel rumus dan membuat grafik menggunakan tabel yang dihasilkan.)

Kami membandingkan grafik yang dihasilkan. Bersama siswa, kami menganalisis perilaku grafik fungsi trigonometri bergantung pada koefisiennya. (Geser 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , pada interval (-2π; 2π) dan perhatikan bagaimana tampilan grafiknya berubah.

Kami membandingkan grafik yang dihasilkan. Bersama siswa, kami menganalisis perilaku grafik fungsi trigonometri bergantung pada koefisiennya. (Geser 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Kesimpulannya kami tuliskan di buku catatan (Slide 11)

Kesimpulan. Grafik fungsi berbentuk y=sin(x+k) diperoleh dari grafik fungsi y=sinx dengan translasi paralel sepanjang sumbu OX sebanyak k satuan

Jika k >1, maka grafik bergeser ke kanan sepanjang sumbu OX

Jika 0

IV. Konsolidasi utama dari pengetahuan yang diperoleh

Kartu yang dibedakan dengan tugas membangun dan mempelajari suatu fungsi menggunakan grafik

V. Organisasi pekerjaan rumah

Plot grafik fungsi y=-2*sinх+1, periksa dan periksa kebenaran konstruksi di lingkungan spreadsheet Microsoft Excel. (Geser 12)

VI. Cerminan

Dalam pelajaran ini kita akan melihat secara detail fungsi y = sin x, sifat dasar dan grafiknya. Pada awal pembelajaran kita akan memberikan definisi fungsi trigonometri y = sin t pada lingkaran koordinat dan memperhatikan grafik fungsi pada lingkaran dan garis. Mari kita tunjukkan periodisitas fungsi ini pada grafik dan pertimbangkan sifat-sifat utama fungsi tersebut. Di akhir pelajaran, kita akan menyelesaikan beberapa masalah sederhana menggunakan grafik suatu fungsi dan propertinya.

Topik: Fungsi trigonometri

Pelajaran: Fungsi y=sinx, sifat dasar dan grafiknya

Saat mempertimbangkan suatu fungsi, penting untuk mengaitkan setiap nilai argumen dengan satu nilai fungsi. Ini hukum korespondensi dan disebut fungsi.

Mari kita definisikan hukum korespondensi untuk .

Bilangan real apa pun berhubungan dengan satu titik pada lingkaran satuan. Suatu titik mempunyai ordinat tunggal, yang disebut sinus bilangan tersebut (Gbr. 1).

Setiap nilai argumen dikaitkan dengan satu nilai fungsi.

Sifat-sifat yang jelas mengikuti definisi sinus.

Gambar tersebut menunjukkan hal itu Karena adalah ordinat suatu titik pada lingkaran satuan.

Perhatikan grafik fungsinya. Mari kita mengingat interpretasi geometris dari argumen tersebut. Argumennya adalah sudut pusat, diukur dalam radian. Sepanjang sumbu kita akan memplot bilangan real atau sudut dalam radian, sepanjang sumbu kita akan memplot nilai fungsi yang sesuai.

Misalnya, sudut pada lingkaran satuan berhubungan dengan suatu titik pada grafik (Gbr. 2)

Kita telah memperoleh grafik fungsi dalam luas. Namun dengan mengetahui periode sinus, kita dapat menggambarkan grafik fungsi pada seluruh domain definisi (Gbr. 3).

Periode utama dari fungsi tersebut Artinya grafik dapat diperoleh pada suatu segmen dan kemudian dilanjutkan ke seluruh domain definisi.

Perhatikan sifat-sifat fungsi:

1) Ruang lingkup definisi:

2) Rentang nilai:

3) Fungsi ganjil:

4) Periode positif terkecil:

5) Koordinat titik potong grafik dengan sumbu absis:

6) Koordinat titik potong grafik dengan sumbu ordinat:

7) Interval di mana fungsi tersebut bernilai positif:

8) Interval di mana fungsi tersebut bernilai negatif:

9) Peningkatan interval:

10) Penurunan interval:

11) Poin minimal:

12) Fungsi minimal:

13) Poin maksimum:

14) Fungsi maksimum:

Kami melihat properti fungsi dan grafiknya. Properti tersebut akan digunakan berulang kali saat menyelesaikan masalah.

Bibliografi

1. Aljabar dan Analisis Awal Kelas 10 (dalam dua bagian). Buku teks untuk lembaga pendidikan umum (tingkat profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Aljabar dan Analisis Awal Kelas 10 (dalam dua bagian). Buku Soal Institusi Pendidikan (Tingkat Profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Aljabar dan analisis matematika untuk kelas 10 (buku teks untuk siswa sekolah dan kelas dengan studi matematika mendalam - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Kajian mendalam tentang aljabar dan analisis matematis.-M.: Pendidikan, 1997.

5. Kumpulan soal-soal matematika bagi pelamar perguruan tinggi (diedit oleh M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator aljabar.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Soal aljabar dan prinsip analisis (panduan untuk siswa kelas 10-11 lembaga pendidikan umum - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Kumpulan soal aljabar dan prinsip analisis: buku teks. tunjangan untuk kelas 10-11. dengan kedalaman dipelajari Matematika.-M.: Pendidikan, 2006.

Pekerjaan rumah

Aljabar dan awal analisis, kelas 10 (dalam dua bagian). Buku Soal Institusi Pendidikan (Tingkat Profil), ed.

A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Sumber daya web tambahan

3. Portal pendidikan untuk persiapan ujian ().

Bagaimana cara membuat grafik fungsi y=sin x? Pertama, mari kita lihat grafik sinus pada intervalnya.

Kami mengambil satu segmen sepanjang 2 sel di buku catatan. Pada sumbu Oy kami menandai satu.

Untuk memudahkan, kita membulatkan angka π/2 menjadi 1,5 (dan bukan menjadi 1,6, seperti yang disyaratkan oleh aturan pembulatan). Dalam hal ini, segmen dengan panjang π/2 setara dengan 3 sel.

Pada sumbu Ox kami menandai bukan segmen tunggal, tetapi segmen dengan panjang π/2 (setiap 3 sel). Oleh karena itu, segmen dengan panjang π sama dengan 6 sel, dan segmen dengan panjang π/6 sama dengan 1 sel.

Dengan pilihan segmen satuan ini, grafik yang digambarkan pada selembar buku catatan di dalam kotak sedapat mungkin sesuai dengan grafik fungsi y=sin x.

Mari kita buat tabel nilai sinus pada interval:

Kami menandai titik-titik yang dihasilkan pada bidang koordinat:

Karena y=sin x merupakan fungsi ganjil, grafik sinusnya simetris terhadap titik asal - titik O(0;0). Dengan mempertimbangkan fakta ini, mari kita lanjutkan menggambar grafik ke kiri, lalu titik -π:

Fungsi y=sin x periodik dengan periode T=2π. Oleh karena itu, grafik suatu fungsi yang diambil pada interval [-π;π] diulang berkali-kali ke kanan dan ke kiri.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat secara detail fungsi y = sin x, sifat dasar dan grafiknya. Pada awal pembelajaran kita akan memberikan definisi fungsi trigonometri y = sin t pada lingkaran koordinat dan memperhatikan grafik fungsi pada lingkaran dan garis. Mari kita tunjukkan periodisitas fungsi ini pada grafik dan pertimbangkan sifat-sifat utama fungsi tersebut. Di akhir pelajaran, kita akan menyelesaikan beberapa masalah sederhana menggunakan grafik suatu fungsi dan propertinya.

Topik: Fungsi trigonometri

Pelajaran: Fungsi y=sinx, sifat dasar dan grafiknya

Saat mempertimbangkan suatu fungsi, penting untuk mengaitkan setiap nilai argumen dengan satu nilai fungsi. Ini hukum korespondensi dan disebut fungsi.

Mari kita definisikan hukum korespondensi untuk .

Bilangan real apa pun berhubungan dengan satu titik pada lingkaran satuan. Suatu titik mempunyai ordinat tunggal, yang disebut sinus bilangan tersebut (Gbr. 1).

Setiap nilai argumen dikaitkan dengan satu nilai fungsi.

Sifat-sifat yang jelas mengikuti definisi sinus.

Gambar tersebut menunjukkan hal itu Karena adalah ordinat suatu titik pada lingkaran satuan.

Perhatikan grafik fungsinya. Mari kita mengingat interpretasi geometris dari argumen tersebut. Argumennya adalah sudut pusat, diukur dalam radian. Sepanjang sumbu kita akan memplot bilangan real atau sudut dalam radian, sepanjang sumbu kita akan memplot nilai fungsi yang sesuai.

Misalnya, sudut pada lingkaran satuan berhubungan dengan suatu titik pada grafik (Gbr. 2)

Kita telah memperoleh grafik fungsi dalam luas. Namun dengan mengetahui periode sinus, kita dapat menggambarkan grafik fungsi pada seluruh domain definisi (Gbr. 3).

Periode utama dari fungsi tersebut Artinya grafik dapat diperoleh pada suatu segmen dan kemudian dilanjutkan ke seluruh domain definisi.

Perhatikan sifat-sifat fungsi:

1) Ruang lingkup definisi:

2) Rentang nilai:

3) Fungsi ganjil:

4) Periode positif terkecil:

5) Koordinat titik potong grafik dengan sumbu absis:

6) Koordinat titik potong grafik dengan sumbu ordinat:

7) Interval di mana fungsi tersebut bernilai positif:

8) Interval di mana fungsi tersebut bernilai negatif:

9) Peningkatan interval:

10) Penurunan interval:

11) Poin minimal:

12) Fungsi minimal:

13) Poin maksimum:

14) Fungsi maksimum:

Kami melihat properti fungsi dan grafiknya. Properti tersebut akan digunakan berulang kali saat menyelesaikan masalah.

Bibliografi

1. Aljabar dan Analisis Awal Kelas 10 (dalam dua bagian). Buku teks untuk lembaga pendidikan umum (tingkat profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Aljabar dan Analisis Awal Kelas 10 (dalam dua bagian). Buku Soal Institusi Pendidikan (Tingkat Profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Aljabar dan analisis matematika untuk kelas 10 (buku teks untuk siswa sekolah dan kelas dengan studi matematika mendalam - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Kajian mendalam tentang aljabar dan analisis matematis.-M.: Pendidikan, 1997.

5. Kumpulan soal-soal matematika bagi pelamar perguruan tinggi (diedit oleh M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator aljabar.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Soal aljabar dan prinsip analisis (panduan untuk siswa kelas 10-11 lembaga pendidikan umum - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Kumpulan soal aljabar dan prinsip analisis: buku teks. tunjangan untuk kelas 10-11. dengan kedalaman dipelajari Matematika.-M.: Pendidikan, 2006.

Pekerjaan rumah

Aljabar dan awal analisis, kelas 10 (dalam dua bagian). Buku Soal Institusi Pendidikan (Tingkat Profil), ed.

A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Sumber daya web tambahan

3. Portal pendidikan untuk persiapan ujian ().

Kami menemukan perilaku fungsi trigonometri, dan fungsinya y = dosa x secara khusus, pada seluruh garis bilangan (atau untuk semua nilai argumen X) sepenuhnya ditentukan oleh perilakunya dalam interval tersebut 0 < X < π / 2 .

Oleh karena itu, pertama-tama, kita akan memplot fungsinya y = dosa x tepatnya pada interval ini.

Mari kita buat tabel nilai fungsi kita berikut ini;

Dengan menandai titik-titik yang bersesuaian pada bidang koordinat dan menghubungkannya dengan garis halus, kita memperoleh kurva yang ditunjukkan pada gambar

Kurva yang dihasilkan juga dapat dibuat secara geometris, tanpa menyusun tabel nilai fungsi y = dosa x .

1. Bagilah seperempat bagian pertama lingkaran yang berjari-jari 1 menjadi 8 bagian yang sama besar. Koordinat titik-titik pemisah lingkaran adalah sinus sudut-sudut yang bersesuaian.

2. Seperempat pertama lingkaran berhubungan dengan sudut dari 0 sampai π / 2 . Oleh karena itu, pada porosnya X Mari kita ambil satu ruas dan membaginya menjadi 8 bagian yang sama besar.

3. Mari kita menggambar garis lurus yang sejajar dengan sumbu X, dan dari titik pembagian kita buat garis tegak lurus sampai berpotongan dengan garis mendatar.

4. Hubungkan titik potong tersebut dengan garis halus.

Sekarang mari kita lihat intervalnya π / 2 < X < π .
Setiap nilai argumen X dari interval ini dapat direpresentasikan sebagai

X = π / 2 + φ

Di mana 0 < φ < π / 2 . Menurut rumus reduksi

dosa( π / 2 + φ ) = karena φ = dosa ( π / 2 - φ ).

Poin sumbu X dengan absis π / 2 + φ Dan π / 2 - φ simetris satu sama lain terhadap titik sumbu X dengan absis π / 2 , dan sinus pada titik-titik tersebut adalah sama. Hal ini memungkinkan kita memperoleh grafik fungsi y = dosa x dalam interval [ π / 2 , π ] hanya dengan menampilkan grafik fungsi ini secara simetris dalam interval relatif terhadap garis lurus X = π / 2 .

Sekarang menggunakan properti fungsi paritas ganjil y = dosa x,

dosa(- X) = - dosa X,

mudah untuk memplot fungsi ini dalam interval [- π , 0].

Fungsi y = sin x periodik dengan periode 2π ;. Oleh karena itu, untuk membuat grafik keseluruhan fungsi ini, cukup dengan melanjutkan kurva yang ditunjukkan pada gambar ke kiri dan ke kanan secara berkala dengan suatu periode. 2π .

Kurva yang dihasilkan disebut sinusoidal . Ini mewakili grafik fungsi y = dosa x.

Gambar tersebut menggambarkan dengan baik semua properti fungsi y = dosa x , yang telah kami buktikan sebelumnya. Mari kita mengingat kembali sifat-sifat ini.

1) Fungsi y = dosa x didefinisikan untuk semua nilai X , jadi domainnya adalah himpunan semua bilangan real.

2) Fungsi y = dosa x terbatas. Semua nilai yang diterimanya adalah antara -1 dan 1, termasuk kedua angka tersebut. Oleh karena itu, rentang variasi fungsi ini ditentukan oleh pertidaksamaan -1 < pada < 1. Kapan X = π / 2 + 2k π fungsi tersebut mengambil nilai terbesar sama dengan 1, dan untuk x = - π / 2 + 2k π - nilai terkecil sama dengan - 1.

3) Fungsi y = dosa x ganjil (gelombang sinus simetris terhadap titik asal).

4) Fungsi y = dosa x periodik dengan periode 2 π .

5) Dalam interval 2n π < X < π + 2n π (n adalah bilangan bulat apa pun) itu positif, dan dalam interval π + 2k π < X < 2π + 2k π (k adalah bilangan bulat apa pun) negatif. Pada x = k π fungsinya menjadi nol. Oleh karena itu, nilai argumen x (0; ± π ; ±2 π ; ...) disebut fungsi nol y = dosa x

6) Secara berkala - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π fungsi kamu = dosa X meningkat secara monoton, dan dalam interval π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π itu menurun secara monoton.

Anda harus memberi perhatian khusus pada perilaku fungsinya y = dosa x dekat titik tersebut X = 0 .

Misalnya dosa 0,012 ≈ 0,012; dosa(-0,05) ≈ -0,05;

dosa 2° = dosa π 2 / 180 = dosa π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Namun perlu diperhatikan bahwa untuk setiap nilai x

| dosa X| < | x | . (1)

Memang benar, jari-jari lingkaran yang ditunjukkan pada gambar sama dengan 1,
A / AOB = X.

Lalu dosa X= AC. Tapi AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Panjang busur ini jelas sama dengan X, karena jari-jari lingkaran adalah 1. Jadi, di 0< X < π / 2

dosa x< х.

Oleh karena itu, karena keanehan fungsinya y = dosa x mudah untuk menunjukkan bahwa ketika - π / 2 < X < 0

| dosa X| < | x | .

Akhirnya kapan X = 0

| dosa x | = | x |.

Jadi, untuk | X | < π / 2 ketimpangan (1) telah terbukti. Faktanya, ketimpangan ini juga berlaku untuk | X | > π / 2 karena fakta bahwa | dosa X | < 1, sebuah π / 2 > 1

Latihan

1.Menurut grafik fungsinya y = dosa x tentukan: a) dosa 2; b) dosa 4; c) dosa (-3).

2.Menurut grafik fungsi y = dosa x tentukan bilangan mana dari interval tersebut
[ - π / 2 , π / 2 ] memiliki sinus sama dengan: a) 0,6; b) -0,8.

3. Berdasarkan grafik fungsinya y = dosa x tentukan bilangan mana yang mempunyai sinus,
sama dengan 1/2.

4. Cari kira-kira (tanpa menggunakan tabel): a) sin 1°; b) dosa 0,03;
c) dosa (-0,015); d) dosa (-2°30").