Jika 2 sejajar. Garis sejajar, tanda dan syarat garis sejajar

Tanda-tanda kesejajaran dua garis

Teorema 1. Jika, ketika dua garis berpotongan dengan garis potong:

sudut bersilangan sama besar, atau

sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau

jumlah sudut satu sisinya adalah 180°

garis sejajar(Gbr. 1).

Bukti. Kami membatasi diri untuk membuktikan kasus 1.

Misalkan garis potong a dan b bersilangan dan sudut AB sama besar. Misalnya, ∠ 4 = ∠ 6. Mari kita buktikan bahwa a || B.

Misalkan garis a dan b tidak sejajar. Kemudian keduanya berpotongan di suatu titik M dan oleh karena itu, salah satu sudut 4 atau 6 adalah sudut luar segitiga ABM. Agar lebih pasti, misalkan ∠ 4 adalah sudut luar segitiga ABM, dan ∠ 6 adalah sudut dalam. Dari teorema sudut luar suatu segitiga diperoleh bahwa ∠ 4 lebih besar dari ∠ 6, dan hal ini bertentangan dengan syarat, yaitu garis a dan 6 tidak dapat berpotongan sehingga sejajar.

Akibat wajar 1. Dua garis berbeda pada suatu bidang yang tegak lurus terhadap garis yang sama adalah sejajar(Gbr. 2).

Komentar. Cara kita membuktikan kasus 1 Teorema 1 tadi disebut metode pembuktian dengan kontradiksi atau reduksi ke absurditas. Metode ini mendapat nama depannya karena pada awal argumentasi dibuat asumsi yang bertentangan (berlawanan) dengan apa yang perlu dibuktikan. Disebut mengarah pada absurditas karena dengan menalar berdasarkan asumsi yang dibuat, kita sampai pada suatu kesimpulan yang absurd (to the absurd). Menerima kesimpulan seperti itu memaksa kita untuk menolak asumsi yang dibuat di awal dan menerima asumsi yang perlu dibuktikan.

Tugas 1. Buatlah garis yang melalui titik M dan sejajar dengan garis a, tidak melalui titik M.

Larutan. Kita tarik garis lurus p melalui titik M yang tegak lurus terhadap garis lurus a (Gbr. 3).

Kemudian kita tarik garis b melalui titik M yang tegak lurus garis p. Garis b sejajar dengan garis a menurut akibat wajar Teorema 1.

Kesimpulan penting berikut dari masalah yang dipertimbangkan:
melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, selalu mungkin untuk menggambar garis yang sejajar dengan garis tersebut.

Sifat utama garis sejajar adalah sebagai berikut.

Aksioma garis sejajar. Melalui suatu titik tertentu yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis tersebut.

Mari kita perhatikan beberapa sifat garis sejajar yang mengikuti aksioma ini.

1) Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga memotong garis lainnya (Gbr. 4).

2) Jika dua garis berbeda sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar (Gbr. 5).

Teorema berikut juga benar.

Teorema 2. Jika dua garis sejajar berpotongan dengan garis transversal, maka:

sudut-sudut melintangnya sama besar;

sudut-sudut yang bersesuaian sama besar;

jumlah sudut satu sisi adalah 180°.

Akibat wajar 2. Jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya(lihat Gambar 2).

Komentar. Teorema 2 disebut invers dari Teorema 1. Kesimpulan dari Teorema 1 merupakan syarat dari Teorema 2. Dan syarat dari Teorema 1 adalah kesimpulan dari Teorema 2. Tidak semua teorema mempunyai invers, yaitu jika suatu teorema tertentu adalah benar, maka teorema invers mungkin salah.

Mari kita jelaskan dengan menggunakan contoh teorema sudut vertikal. Teorema ini dapat dirumuskan sebagai berikut: jika dua sudut tegak lurus, maka keduanya sama besar. Teorema kebalikannya adalah: jika dua sudut sama besar, maka keduanya vertikal. Dan ini tentu saja tidak benar. Dua sudut yang sama besar tidak harus vertikal.

Contoh 1. Dua garis sejajar berpotongan sepertiga. Diketahui selisih dua sudut sepihak dalam adalah 30°. Temukan sudut-sudut ini.

Larutan. Biarkan Gambar 6 memenuhi kondisi tersebut.

BAB III.
LANGSUNG PARALEL

§ 38. KETERGANTUNGAN ANTARA SUDUT,
DIBENTUK OLEH DUA GARIS PARALEL DAN SEKUNDER.

Kita mengetahui bahwa dua garis dikatakan sejajar jika, ketika keduanya memotong garis ketiga, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau sudut dalam atau sudut luar yang terletak bersilangan adalah sama besar, atau jumlah sudut dalam, atau jumlah sudut luar satu sisi sama dengan 2 D. Mari kita buktikan bahwa teorema kebalikannya juga benar, yaitu:

Jika dua garis sejajar berpotongan dengan garis ketiga, maka:

1) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar;
2) sudut-sudut melintang dalam adalah sama besar;
3) sudut melintang luar sama besar;
4) jumlah sudut satu sisi dalam adalah sama dengan 2 D ;
5) jumlah sudut luar satu sisi sama dengan 2 D .

Mari kita buktikan, misalnya, jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Misalkan garis lurus AB dan CD sejajar, dan MN adalah garis potongnya (Gbr. 202), Mari kita buktikan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian 1 dan 2 sama besar.

Mari kita asumsikan itu / 1 dan / 2 tidak sama. Kemudian di titik O kita dapat membangunnya / IOC, sesuai dan setara / 2 (gambar 203).

Tapi jika / MOQ = / 2, maka garis lurus OK akan sejajar dengan CD (§ 35).

Diketahui dua garis lurus AB dan OK ditarik melalui titik O sejajar dengan garis lurus CD. Namun hal ini tidak mungkin terjadi (§ 37).

Kami sampai pada kontradiksi karena kami berasumsi demikian / 1 dan / 2 tidak sama. Oleh karena itu, asumsi kami salah dan / 1 harus sama / 2, yaitu sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Mari kita buat hubungan antara sudut-sudut yang tersisa. Misalkan garis lurus AB dan CD sejajar, dan MN adalah garis potongnya (Gbr. 204).

Kita baru saja membuktikan bahwa dalam kasus ini sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Mari kita asumsikan bahwa dua di antaranya masing-masing memiliki 119°. Mari kita hitung ukuran masing-masing enam sudut lainnya. Berdasarkan sifat-sifat sudut berdekatan dan vertikal, kita menemukan bahwa empat dari delapan sudut masing-masing berukuran 119°, dan sisanya masing-masing berukuran 61°.

Ternyata sudut melintang dalam dan luar sama besar berpasangan, dan jumlah sudut satu sisi dalam atau luar sama dengan 180° (atau 2 D).

Hal yang sama juga berlaku untuk nilai sudut bersesuaian yang sama besar.

Akibat wajar 1. Jika masing-masing dua garis AB dan CD sejajar dengan garis ketiga MN yang sama, maka dua garis pertama sejajar satu sama lain (gambar 205).

Faktanya, dengan menggambar EF garis potong (Gbr. 206), kita memperoleh:
A) / 1 = / 3, sejak AB || M N; B) / 2 = / 3, karena CO || M N.

Cara, / 1 = / 2, dan ini adalah sudut-sudut yang bersesuaian dengan garis AB dan CD serta garis potong EF, oleh karena itu garis AB dan CD sejajar.

Akibat wajar 2. Jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya (gambar 207).

Memang jika EF _|_ AB, maka / 1 = D; jika AB || CD-nya, kalau begitu / 1 = / 2.

Karena itu, / 2 = D yaitu EF _|_ CD .

1) Jika dua garis berpotongan dengan garis transversal, sudut-sudutnya sama besar, maka kedua garis tersebut sejajar.

2) Jika dua garis berpotongan dengan garis transversal, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua garis tersebut sejajar.

3) Jika dua garis lurus berpotongan dengan garis transversal, jumlah sudut satu sisinya sama dengan 180°, maka garis lurus tersebut sejajar.

3. Melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis tersebut.

4 Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga memotong garis lainnya.

5. Jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar.

Sifat-sifat garis sejajar

1) Jika dua garis sejajar berpotongan garis transversal, maka sudut-sudut yang berpotongan sama besar.

2) Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis transversal, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

3) Jika dua garis sejajar berpotongan garis transversal, maka jumlah sudut satu sisinya adalah 180°.

7. Jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya.

8. Menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua Sepasang bilangan seperti itu disebut tidak diketahui X Dan pada , yang jika disubstitusikan ke dalam sistem ini, mengubah setiap persamaannya menjadi persamaan numerik yang benar.

9.Memecahkan sistem persamaan- berarti menemukan semua solusinya atau menetapkan bahwa tidak ada solusi apa pun.

1. Cara menyelesaikan sistem persamaan:

a) substitusi

b) penambahan;

c) grafis.

10. Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°.

11. Sudut luar suatu segitiga adalah sudut yang berdekatan dengan salah satu sudut segitiga tersebut.

Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak berdekatan.

12. Dalam segitiga mana pun, semua sudutnya lancip, atau dua sudut lancip, dan sudut ketiga tumpul atau lurus.

13Jika ketiga sudut suatu segitiga lancip, maka segitiga tersebut disebut bersudut lancip.

14.Jika salah satu sudut suatu segitiga tumpul, maka segitiga tersebut disebut bersudut tumpul.

15. Jika salah satu sudut suatu segitiga siku-siku, maka segitiga tersebut disebut persegi panjang.

16. Sisi segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut sisi miring, dan dua sisi lainnya adalah kaki.

17. Dalam suatu segitiga: 1) sudut yang lebih besar terletak berhadapan dengan sisi yang lebih besar; 2) belakang, sisi yang lebih besar terletak berhadapan dengan sudut yang lebih besar.

18. Pada segitiga siku-siku, sisi miring lebih panjang dari pada kaki.

19. Jika dua sudut suatu segitiga sama besar, maka segitiga tersebut sama kaki (tanda segitiga sama kaki).

20. Setiap sisi suatu segitiga lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya.

21 Jumlah dua sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah 90°.

22. Kaki segitiga siku-siku yang terletak di hadapan sudut 30° sama dengan setengah sisi miring.

Tanda persamaan segitiga siku-siku: 1) pada dua sisi; 2) sepanjang sisi miring dan sudut lancip; 3) sepanjang sisi miring dan kaki; 4) sepanjang kaki dan sudut lancip

Panjang garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik ke suatu garis disebut jarak titik tersebut ke garis tersebut.

Pada artikel kali ini kita akan membahas tentang garis sejajar, memberikan definisi, dan menguraikan tanda dan syarat paralelisme. Untuk memperjelas materi teoritis, kami akan menggunakan ilustrasi dan solusi contoh-contoh tipikal.

Yandex.RTB RA-339285-1 Definisi 1

Garis sejajar pada bidang datar– dua garis lurus pada suatu bidang yang tidak mempunyai titik persekutuan.

Definisi 2

Garis sejajar dalam ruang tiga dimensi– dua garis lurus dalam ruang tiga dimensi, terletak pada bidang yang sama dan tidak mempunyai titik persekutuan.

Perlu diperhatikan bahwa untuk menentukan garis sejajar dalam ruang, klarifikasi “terletak pada bidang yang sama” sangatlah penting: dua garis dalam ruang tiga dimensi yang tidak mempunyai titik persekutuan dan tidak terletak pada bidang yang sama adalah tidak sejajar. , tapi berpotongan.

Untuk menunjukkan garis sejajar, biasanya digunakan simbol ∥. Artinya, jika garis a dan b sejajar, maka kondisi ini harus ditulis secara singkat sebagai berikut: a ‖ b. Secara lisan kesejajaran garis dinotasikan sebagai berikut: garis a dan b sejajar, atau garis a sejajar dengan garis b, atau garis b sejajar dengan garis a.

Mari kita rumuskan pernyataan yang memegang peranan penting dalam topik yang diteliti.

Aksioma

Melalui suatu titik yang tidak termasuk dalam suatu garis tertentu melewati satu-satunya garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut. Pernyataan ini tidak dapat dibuktikan berdasarkan aksioma planimetri yang diketahui.

Jika kita berbicara tentang ruang, teorema berikut ini benar:

Teorema 1

Melalui titik mana pun dalam ruang yang tidak termasuk dalam suatu garis tertentu, akan ada satu garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut.

Teorema ini mudah dibuktikan berdasarkan aksioma di atas (program geometri untuk kelas 10 - 11).

Kriteria paralelisme merupakan syarat cukup yang pemenuhannya menjamin paralelisme garis. Dengan kata lain, terpenuhinya syarat ini cukup untuk menegaskan fakta paralelisme.

Secara khusus, terdapat kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis pada bidang dan ruang. Mari kita jelaskan: perlu berarti syarat yang pemenuhannya diperlukan untuk garis sejajar; jika tidak terpenuhi maka garis-garisnya tidak sejajar.

Ringkasnya, syarat perlu dan cukup untuk kesejajaran garis adalah syarat yang perlu dan cukup dipenuhi agar garis-garis sejajar satu sama lain. Di satu sisi, ini adalah tanda paralelisme, di sisi lain, ini adalah sifat yang melekat pada garis sejajar.

Sebelum memberikan rumusan pasti tentang syarat perlu dan syarat cukup, mari kita ingat kembali beberapa konsep tambahan.

Definisi 3

Garis potong– garis lurus yang memotong masing-masing dua garis lurus yang tidak berhimpitan.

Memotong dua garis lurus, sebuah garis transversal membentuk delapan sudut yang belum berkembang. Untuk merumuskan syarat perlu dan syarat cukup, kita akan menggunakan jenis sudut bersilangan, bersesuaian, dan satu sisi. Mari kita tunjukkan dalam ilustrasi:

Teorema 2

Jika dua garis pada suatu bidang berpotongan dengan garis transversal, maka agar garis-garis tersebut sejajar, sudut-sudut yang berpotongan harus sama besar, atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau jumlah sudut satu sisi sama dengan 180 derajat.

Mari kita ilustrasikan secara grafis kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis pada suatu bidang:

Bukti kondisi tersebut terdapat pada program geometri untuk kelas 7 – 9.

Secara umum, kondisi ini juga berlaku untuk ruang tiga dimensi, asalkan dua garis dan satu garis potong berada pada bidang yang sama.

Mari kita tunjukkan beberapa teorema lagi yang sering digunakan untuk membuktikan fakta bahwa garis sejajar.

Teorema 3

Pada sebuah bidang, dua garis yang sejajar dengan garis ketiga sejajar satu sama lain. Ciri ini dibuktikan berdasarkan aksioma paralelisme yang ditunjukkan di atas.

Teorema 4

Dalam ruang tiga dimensi, dua garis yang sejajar dengan garis ketiga sejajar satu sama lain.

Pembuktian suatu tanda dipelajari pada kurikulum geometri kelas 10.

Mari kita beri ilustrasi teorema ini:

Mari kita tunjukkan satu pasang teorema lagi yang membuktikan paralelisme garis.

Teorema 5

Pada sebuah bidang, dua garis yang tegak lurus sepertiga sejajar satu sama lain.

Mari kita rumuskan hal serupa untuk ruang tiga dimensi.

Teorema 6

Dalam ruang tiga dimensi, dua garis yang tegak lurus sepertiga sejajar satu sama lain.

Mari kita ilustrasikan:

Semua teorema, tanda, dan kondisi di atas memungkinkan pembuktian paralelisme garis dengan mudah menggunakan metode geometri. Artinya, untuk membuktikan kesejajaran garis, seseorang dapat menunjukkan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau menunjukkan fakta bahwa dua garis tertentu tegak lurus terhadap garis ketiga, dan seterusnya. Namun perhatikan bahwa seringkali lebih mudah menggunakan metode koordinat untuk membuktikan paralelisme garis pada bidang atau ruang tiga dimensi.

Paralelisme garis pada sistem koordinat persegi panjang

Dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu, garis lurus ditentukan oleh persamaan garis lurus pada bidang dari salah satu jenis yang mungkin. Demikian pula, garis lurus yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi berhubungan dengan beberapa persamaan garis lurus dalam ruang.

Mari kita tuliskan syarat-syarat perlu dan cukup untuk kesejajaran garis-garis dalam sistem koordinat persegi panjang bergantung pada jenis persamaan yang menggambarkan garis-garis tersebut.

Mari kita mulai dengan kondisi paralelisme garis pada suatu bidang. Hal ini didasarkan pada definisi vektor arah suatu garis dan vektor normal suatu garis pada suatu bidang.

Teorema 7

Agar dua garis yang tidak berhimpitan sejajar pada suatu bidang, vektor-vektor arah dari garis-garis tertentu harus segaris, atau vektor-vektor normal dari garis-garis tersebut adalah segaris, atau vektor arah suatu garis tegak lurus terhadap vektor normal garis lainnya.

Jelaslah bahwa syarat kesejajaran garis pada suatu bidang didasarkan pada syarat kolinearitas vektor atau syarat tegak lurus dua vektor. Artinya, jika a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) adalah vektor arah garis a dan b ;

dan n b → = (n b x , n b y) adalah vektor normal garis a dan b, maka syarat perlu dan cukup di atas kita tuliskan sebagai berikut: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y atau n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y atau a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , dimana t adalah bilangan real. Koordinat pemandu atau vektor lurus ditentukan oleh persamaan garis lurus yang diberikan. Mari kita lihat contoh utamanya.

1. Garis a pada sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan umum garis: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; garis lurus b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Maka vektor-vektor normal dari garis-garis tersebut masing-masing mempunyai koordinat (A 1, B 1) dan (A 2, B 2). Kondisi paralelismenya kita tuliskan sebagai berikut:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Garis a digambarkan dengan persamaan garis yang kemiringannya berbentuk y = k 1 x + b 1 . Garis lurus b - y = k 2 x + b 2. Maka vektor-vektor normal dari garis-garis tersebut masing-masing mempunyai koordinat (k 1, - 1) dan (k 2, - 1), dan kita tuliskan kondisi paralelismenya sebagai berikut:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Jadi, jika garis-garis sejajar pada suatu bidang dalam sistem koordinat persegi panjang diberikan oleh persamaan dengan koefisien sudut, maka koefisien sudut garis-garis tersebut akan sama. Dan pernyataan sebaliknya yang benar: jika garis-garis yang tidak berhimpitan pada suatu bidang dalam sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan garis dengan koefisien sudut yang sama, maka garis-garis tersebut sejajar.

1. Garis a dan b pada sistem koordinat persegi panjang ditentukan dengan persamaan kanonik garis pada bidang: x - x 1 a x = y - y 1 a y dan x - x 2 b x = y - y 2 b y atau dengan persamaan parametrik garis pada bidang: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y dan x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Maka vektor-vektor arah dari garis-garis tersebut masing-masing adalah: a x, a y dan b x, b y, dan kita tuliskan kondisi paralelismenya sebagai berikut:

ax = tbx ay = tb y

Mari kita lihat contohnya.

Contoh 1

Diberikan dua garis: 2 x - 3 y + 1 = 0 dan x 1 2 + y 5 = 1. Penting untuk menentukan apakah keduanya paralel.

Larutan

Mari kita tuliskan persamaan garis lurus dalam ruas-ruas dalam bentuk persamaan umum:

x 1 2 + kamu 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 kamu - 1 = 0

Kita lihat bahwa n a → = (2, - 3) adalah vektor normal garis 2 x - 3 y + 1 = 0, dan n b → = 2, 1 5 adalah vektor normal garis x 1 2 + y 5 = 1.

Vektor-vektor yang dihasilkan tidak segaris, karena tidak ada nilai tat yang persamaannya akan benar:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Dengan demikian, syarat perlu dan cukup agar kesejajaran garis pada suatu bidang tidak terpenuhi, artinya garis-garis tersebut tidak sejajar.

Menjawab: garis-garis yang diberikan tidak sejajar.

Contoh 2

Diberikan garis y = 2 x + 1 dan x 1 = y - 4 2. Apakah keduanya paralel?

Larutan

Mari kita ubah persamaan kanonik garis lurus x 1 = y - 4 2 menjadi persamaan garis lurus dengan kemiringan:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Kita melihat bahwa persamaan garis y = 2 x + 1 dan y = 2 x + 4 tidak sama (jika sebaliknya, garis-garisnya akan berhimpitan) dan koefisien sudut garis-garisnya sama, yang berarti garis-garis tertentu sejajar.

Mari kita coba menyelesaikan masalah ini secara berbeda. Pertama, mari kita periksa apakah garis-garis yang diberikan bertepatan. Kita gunakan sembarang titik pada garis y = 2 x + 1, misalnya (0, 1), koordinat titik tersebut tidak sesuai dengan persamaan garis x 1 = y - 4 2, artinya garis-garis tersebut sesuai tidak bertepatan.

Langkah selanjutnya adalah menentukan apakah kondisi paralelisme garis-garis tertentu terpenuhi.

Vektor normal garis y = 2 x + 1 adalah vektor na → = (2 , - 1) , dan vektor arah garis kedua adalah b → = (1 , 2) . Produk skalar dari vektor-vektor ini sama dengan nol:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Jadi, vektor-vektornya tegak lurus: ini menunjukkan kepada kita terpenuhinya kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis asli. Itu. garis-garis yang diberikan sejajar.

Menjawab: garis-garis ini sejajar.

Untuk membuktikan kesejajaran garis pada sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi digunakan syarat perlu dan syarat cukup sebagai berikut.

Teorema 8

Agar dua garis yang tidak berhimpitan dalam ruang tiga dimensi menjadi sejajar, vektor-vektor arah garis-garis tersebut harus segaris dan cukup.

Itu. Mengingat persamaan garis-garis dalam ruang tiga dimensi, jawaban atas pertanyaan apakah garis-garis itu sejajar atau tidak, ditemukan dengan menentukan koordinat vektor-vektor arah garis-garis tersebut, serta memeriksa kondisi kolinearitasnya. Dengan kata lain, jika a → = (a x, a y, a z) dan b → = (b x, b y, b z) berturut-turut adalah vektor-vektor arah dari garis a dan b, maka agar garis-garis tersebut sejajar, maka harus ada bilangan real t diperlukan agar persamaannya berlaku:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Contoh 3

Diberikan garis x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 dan x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Kita perlu membuktikan paralelisme garis-garis ini.

Larutan

Kondisi permasalahan diberikan oleh persamaan kanonik suatu garis dalam ruang dan persamaan parametrik garis lain dalam ruang. Vektor panduan sebuah → dan b → garis-garis tertentu mempunyai koordinat: (1, 0, - 3) dan (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , maka a → = 1 2 · b → .

Oleh karena itu, syarat perlu dan syarat cukup bagi kesejajaran garis-garis dalam ruang terpenuhi.

Menjawab: paralelisme garis-garis yang diberikan terbukti.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

sudut yang sesuai: 1 dan 5, 4 dan 8, 2 dan 6, 3 dan 7;

sudut melintang dalam: 3 dan 5, 4 dan 6;

sudut melintang luar: 1 dan 7, 2 dan 8;

sudut satu sisi bagian dalam: 3 dan 6, 4 dan 5;

sudut satu sisi luar: 1 dan 8, 2 dan 7.

Jadi, ∠ 2 = ∠ 4 dan ∠ 8 = ∠ 6, namun menurut yang sudah dibuktikan, ∠ 4 = ∠ 6.

Oleh karena itu, ∠ 2 =∠ 8.

3. Sudut yang sesuai 2 dan 6 adalah sama, karena ∠ 2 = ∠ 4, dan ∠ 4 = ∠ 6. Pastikan juga sudut-sudut lain yang bersesuaian sama besar.

4. Jumlah sudut satu sisi bagian dalam 3 dan 6 akan menjadi 2d karena jumlahnya sudut yang berdekatan 3 dan 4 sama dengan 2d = 180 0, dan ∠ 4 dapat diganti dengan ∠ 6 yang identik. Kita juga pastikan bahwa jumlah sudut 4 dan 5 sama dengan 2d.

5. Jumlah sudut satu sisi luar akan menjadi 2d karena sudut-sudutnya masing-masing sama besar sudut satu sisi bagian dalam seperti sudut vertikal.

Dari pembenaran terbukti di atas kami peroleh teorema kebalikan.

Ketika, pada perpotongan dua garis dengan garis ketiga sembarang, kita peroleh bahwa:

1. Sudut melintang dalam adalah sama;

atau 2. Sudut melintang luar adalah identik;

atau 3. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar;

atau 4. Jumlah sudut satu sisi dalam adalah 2d = 180 0;

atau 5. Jumlah sisi luar satu sisi adalah 2d = 180 0 ,

maka dua garis pertama sejajar.